CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Nombre Definición Figura

Ángulo recto Mide 90°

Ángulo agudo Mide menos de 90°

Ángulo obtuso Mide más de 90°

Ángulo extendido Mide 180°

Ángulo completo Mide 360°

ÁNGULOS COMPARATIVOS 

Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°.

Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°

Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°.

Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°

Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado común.

Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS 

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos entre paralelas

L1 / / L2

Propiedades que se obtienen son:

b=e ; a=f ; g=g ; d=h Ángulos correspondientes

g=f ; d=e Ángulos alternos internos

b=h ; a=g Ángulos alternos externos

b=d ; g=a ; e=h ; f=g Ángulos opuestos por el vértice

TEOREMAS DE ÁNGULOS Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.

Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.

Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don congruentes.

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOSLos triángulos se pueden clasificar según dos criterios: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

Según la medida de sus lados hay 3 tipos de triángulos. Estos son:

 

Equilátero

Es el único triángulo regular.

 

IsóscelesEl lado distinto se llama base = AB.

 

Escaleno

o Según la medida de sus ángulos, también encontramos 3 tipos de triángulos. Ellos son:

 

Acutángulo

Sus 3 ángulos interiores son agudos.

 

Rectángulo

< CAB = 90° < ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman catetos. El otro, hipotenusa.

 Obtusángulo

< CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos.

ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULOLas líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:

alturas (h) bisectrices (b) simetrales (s)

transversales de gravedad (t) medianas

AlturasSon segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc). El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

BisectricesEs la recta que  dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad. Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b  y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o MediatricesCorresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.Siempre debe tenerse en cuenta que:Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.

Transversales de gravedad Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (ta,  tb, tc ).El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

MedianasSon los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.FD  =  ½ AC;      DE  =  ½ AB;     EF  =  ½ CB Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.

Ángulos en un triáguloLos ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

 

1.- La suma de los ángulos internos de un triágulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º.

En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β  y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.

 

2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.

En la figura, α + β = 90º

 

3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos (opuestos).

En la figura, β = α + ε

 

4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.

En la figura,

β > (es mayor que) α

β > (es mayor que) e

 

5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º.

En la figura, α + β + γ = 360º

Ángulos del triángulo

En un triángulo  existen dos tipos de ángulos :

Los ángulos interiores   lo forman dos lados .

Los ángulos exteriores   lo forman un lado  y

su prolongación .

Propiedades de los ángulos de triángulo

1. La suma  de los ángulos interiores  de

un triángulo  es igual a 180° .

A + B + C = 180º

2.   El valor de un ángulo exterior  de

un triángulo  es igual a la  suma  de los dos interiores

no adyacentes .

α  = B + C

3.    Un ángulo interior y exterior  de

un triángulo  son suplementarios , es decir, suman 180º.

α  = 180º - A

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Un triángulo

rectángulo   t iene un

ángulo recto .

Triángulo obtusángulo

El  lado

mayor  del triángulo  se

l lama hipotenusa .

Los  lados

menores  del triángulo  son

los catetos .

Un triángulo

obtusángulo  t iene un

ángulo obtuso .

Triángulo obtusángulo

Un triángulo

obtusángulo  t iene un

ángulo obtuso .