Clasificación y Conversión
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MATERIAL DE ESTUDIO
CURSO DE MATEMTICAS FINANCIERA
UNIDAD FORMATIVA: Clasificacin y conversin de tasas de inters.
SUBCOMPETENCIA: Aplicar de manera adecuada los principios financieros que permitan
identificar y manejar las tasas nominales y efectivas y la
conversin entre las mismas con el fin de determinar el
verdadero costo del dinero.
AUTOR: JOS EDUARDO JURADO NAVARRO
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Universidad Autnoma del Caribe CopyRight Curso 2011
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Curso de Matemticas financiera
Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 2
NDICE
INTRODUCCIN .............................................................................................................................. 3
2. CLASIFICACIN Y CONVERSIN DE TASAS DE INTERS ..................................... 4
2.1. CONCEPTOS ....................................................................................................................... 4
2.1.1. Tasa efectiva ..................................................................................................................... 4
2.1.2. Tasa nominal (j) ................................................................................................................ 5
2.1.3. Equivalencia ...................................................................................................................... 7
2.2. EQUIVALENCIA FINANCIERA ENTRE TASAS DE INTERS .................................... 9
2.2.1. Nominal a efectiva ............................................................................................................ 9
2.2.2. Efectiva a efectiva .......................................................................................................... 11
2.2.3. Nominal a nominal .......................................................................................................... 13
2.2.4. Efectiva a nominal .......................................................................................................... 16
2.3. EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................. 17
RESUMEN ....................................................................................................................................... 26
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFAA .............................................................................................................................................. 27
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFAA WWEEBB .................................................................................................................................... 28
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 3
INTRODUCCIN
Las tasas de inters que hemos aplicado en los ejercicios de la primera unidad
corresponden a tasas efectivas por cuanto son las que verdaderamente aplican en
las diversas operaciones financieras. No obstante, las distintas entidades
financieras se expresan en trminos nominales cuando ofrecen dinero a sus
clientes. Es decir dan la informacin para cierto periodo y el nmero de veces en
que los intereses se capitalizan para el periodo, pero frecuentemente no estn
expresadas en el tiempo de la operacin que se analiza o sobre la cual se
pretende tomar una decisin. Por esta razn se requiere expresarla para los
periodos que viene dado el proyecto sobre el cual se har la inversin. Es asi
como nos hablan de una tasa del 24% nominal anual capitalizable mensualmente
o lo que es lo mismo decir 24% anual capitalizable mensualmente o 24% AMV
(anual mes vencido) pero que en la realidad necesitamos pasarla a efectiva
mensual porque el proyecto materia de estudio esta manejndose en meses, por
ejemplo.
Lo claro es que una tasa que es capitalizable necesariamente se trata de una
nominal, pues las efectivas no capitalizan sino ms bien resultan de capitalizar las
nominales y son las que miden el costo del dinero.
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 4
UNIDAD 2
2. CLASIFICACIN Y CONVERSIN DE TASAS DE INTERS
2.1. CONCEPTOS
2.1.1. Tasa efectiva
Es aquel porcentaje que se aplica en la operacin financiera y que determina
realmente la cantidad que se debe pagar por el alquiler del dinero.
La tasa efectiva se identifica porque solamente aparece la parte numrica seguida
del periodo de liquidacin intereses. Ejemplos:
3% mensual
9% trimestral
15% semestral
32% anual o 32% EA (32% efectivo anual)
Para una mejor comprensin de la tasa efectiva, la haremos mediante el siguiente
ejemplo:
Ejercicio: Cuanto tendremos al cabo de un mes si hoy invertimos $1.000 al 3%
mensual.
En el primer mes:
C= $1.000
i= 3% mensual
n= 1 mes
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S=?
030.1$)03.01(000.1)1( 1 SSiCS n
Que corresponde a: 1.000 + 0,03(1.000)= $1.030
En el segundo mes:
C= $1.030
i= 3% mensual
n= 1 mes
S=?
901 ,060.1$)03.01(030.1)1( SSiCS n
Que corresponde a: 1.030 + 0,03(1.030)= $1.060,90
Conclusin
La tasa efectiva es aquella que se aplica cada mes al capital existente al final
del mes anterior, y es as como obtenemos los intereses reales o efectivos en
ese mes.
Aplicando la frmula de manera conjunta para los dos periodos tenemos que al
final de los mismos tendremos:
902 ,060.1$)03.01(000.1)1( SSiCS n
2.1.2. Tasa nominal (j)
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 6
Es aquella tasa que capitaliza ms de una vez al ao. Pero no refleja la realidad
de los intereses que se devengan al ao, de all su nombre. No obstante, se ha
hecho costumbre comercial en las distintas entidades financieras utilizar este tipo
de tasas para expresar los intereses que se deben pagar o cobrar en las
operaciones. Por esta razn si se va a realizar los clculos de una operacin
financiera, necesariamente deber convertirse la tasa nominal a tasa efectiva del
periodo que corresponda al ejercicio.
Una tasa nominal se puede denotar por las siguientes expresiones:
30% capitalizable mensualmente
30% nominal mensual
30% nominal anual capitalizable mensualmente
30% liquidable mensualmente
30% liquidable por mes vencido
30% MV (MV: mes vencido)
30% AMV (AMV: anual mes vencido)
La relacin entre una tasa nominal j que capitaliza m veces al ao y una tasa
efectiva i, se expresa en la siguiente relacin:
m
ji
Ejercicio: Invierto un capital de $250.000 en una entidad que reconoce intereses
del 30%AMV. Cuanto tendr al cabo de seis meses.
Paso 1) Primero debo convertir la tasa nominal del 30%AMV a efectiva mensual,
con la relacin m
ji por cuanto el ejercicio plantea periodos mensuales(al cabo de
6 meses). As:
mensualiim
ji %5,2
12
%30
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Paso 2) Con la tasa hallada ya estoy en condiciones de efectuar los clculos
solicitados. Si me preguntan por la cantidad al cabo de seis meses, debo pensar
en valor futuro y para eso utilizo la relacin matemtica n
iCS )1( .
3546,923.289$
6)025.01(000.250)1( SS
niCS
Respuesta: Al cabo de los seis meses la inversin de $250.000 acumular $289.923,3546
Explicacin: La tasa del 30% AMV se le llama nominal porque solo existe de nombre, pues la
verdadera rentabilidad de los $250.000 la mide el 2,5% para cada mensual, pero como son seis
que dura la inversin gener $289.923, 3546
.
Dicho de otra forma, quien midi la rentabilidad del dinero fue la tasa efectiva de all que sea la que
aplica en la formula matemtica.
2.1.3. Equivalencia
El trmino equivalencia1 (equi = igual, valente= valor) ha sido utilizado en varios
contextos, en esta unidad lo utilizaremos para significar dos tasas que
capitalizando en periodos diferentes o que una es vencida y la otra anticipada
financieramente producen los mismos resultados.
Ejemplo 1: Cuanto tendr al final de tres meses si invierto hoy la suma de
$1.000, sabiendo que la tasa de la operacin es del 26,4% nominal
mensual.
1 Igualdad en el valor, estimacin, potencia o eficacia de dos o ms cosas. (http://rae.es/rae.html)
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Paso 1) Debo convertir la tasa del 26,4% nominal mensual a efectiva mensual, por
cuanto la solicitud del ejercicio es a tres meses. Esto se hace con la relacin:
mensualiim
ji %2,2
12
%4,26
Paso 2) Hecha la conversin del paso 1 donde hall la tasa efectiva del 0,22
mensual calculo la cantidad final que tendr a los tres meses con la relacin 462648
,067.1$3
)022.01(000.1)1( SSn
iCS
Ejemplo 2: Cuanto tendr al final de tres meses si invierto hoy la suma de
$1.000 sabiendo que la tasa de la operacin es del 6,7462648% trimestral.
Paso 1) Debo convertir la tasa del 6,7462648% trimestral a efectiva mensual, por
cuanto la solicitud del ejercicio es a meses (tres meses). Esto se hace con la
expresin: 1)1(n
iIEA
a. Llevamos la tasa que tenemos a IEA (Inters efectivo anual) con la relacin
298406705067462648 ,014
),01(1)1( IEAIEAiIEAn
b. El IEA hallado lo llevamos a la tasa del ejercicio (efectiva mensual)
02212
298406705 ,01)1(,01)1( IEAiiIEAn
Paso 2) Hecha la conversin del paso 1 donde se hall la tasa efectiva del 0,022
mensual calculo la cantidad final que tendr a los tres meses con la relacin
4626483,067.1$)022.01(000.1)1( SSiCS
n
Explicacin: En ambos ejemplo 1 y 2 el capital y el tiempo esperado es el mismo, solo
cambiamos la tasa 26,4% nominal mensual y 6,
7462648% trimestral respectivamente. Pero el
resultado, al final es el mismo: en los tres meses la inversin de $1.000 arroj un valor futuro o
monto de $1.067,462648
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Por lo anterior podemos afirmar que una tasa del 26,4% nominal mensual y una tasa efectiva del
6,7462648
% trimestral son equivalentes, pues al estar expresadas en porcentajes diferentes y con
nombres diferentes generan el mismo resultado financiero.
Los pasos dados del segundo ejemplo se explican inmediata y detalladamente bajo el subtitulo
Equivalencia financiera entre tasas de inters.
2.2. EQUIVALENCIA FINANCIERA ENTRE TASAS DE INTERS
Habiendo explicado en forma detallada la equivalencia de dos o ms tasas, los
siguientes son los casos que se pueden presentar cuando dada una tasa se busca
hallar otra tasa equivalente y los pasos que se deben agotar para hallarla:
2.2.1. Nominal a efectiva
Iniciamos el proceso repasando algunas variables ya conocidas:
i = Tasa efectiva
j = Tasa nominal que capitaliza m veces al ao
m = Nmero de periodos en que se capitaliza la tasa nominal, es decir el nmero
de veces en que los intereses se hacen capital.
Ejemplo 1: Para una tasa (j) de 26,4% capitalizable mensual, hallar la tasa
efectiva mensual equivalente.
Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
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mensualaigualoiim
ji %,2100,0
12
%,0 2022264
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 12)
i = Tasa efectiva mensual solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 12 veces en el ao (j=0,264)
Respuesta: La tasa efectiva mensual que equivale a una tasa del 26,4% capitalizable
mensualmente, es 2,2%trimestral
Ejemplo 2: Para una tasa (j) de 26,4% capitalizable mensualmente, hallar la
tasa efectiva trimestral equivalente.
Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
mensualiim
ji 022
264
,012
%,0
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 12)
i = Tasa efectiva mensual solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 12 veces en el ao (j=0,264)
Paso 2) Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual
(IEA).
29840670512022 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
Paso 3) Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a
efectiva trimestral), utilizando la expresin del paso anterior:
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Trimestralaigualo
iiii
iiiIEA
l
n
%,6
100,01,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
746
0674626484 2984067054 2984067054298406705
42984067054298406705
Explicacin: La n=4 corresponde al nmero de trimestre que se capitalizan en el ao EFECTIVO
ANUAL que estoy convirtiendo.
Respuesta: La tasa efectiva trimestral que equivale a una tasa del 26,4% capitalizable
mensualmente, es 6,746 % trimestral
2.2.2. Efectiva a efectiva
Para los ejemplos desarrollados, la tasa efectiva corresponde al periodo en que se
capitaliza la tasa. Pero encontraremos casos en los cuales no siempre es este el
tiempo de capitalizacin que nos interesa, sino uno diferente. Como proceder en
estos casos cuando necesitamos pasar de una efectiva peridica a otra efectiva
para un tiempo diferente?
Ejemplo 1: Para una tasa (i) del 2,2% mensual hallemos su equivalente
efectiva para el ao.
11n
iIEA
Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i).
Este paso ya lo podemos obviar por cuanto contamos con lo solicitado: i i = 2,2% mensual
Paso 2) Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual
(IEA).
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%,29,0),01(11 8429840670512022 aigualoIEAIEAiIEAn
Explicacin: La n=12 corresponde al nmero de meses que se capitalizan el 2,2% mensual en el ao EFECTIVO
ANUAL que estoy convirtiendo.
Respuesta: La tasa efectiva anual que equivale a una tasa del 2,2% mensual,
es 29,84 % anual
Ejemplo 2: Para una tasa (i) del 2,2% mensual hallemos su equivalente
efectiva trimestral.
Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i).
Este paso ya lo podemos obviar por cuanto contamos con lo solicitado: i = 2,2% mensual
Paso 2) Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual
(IEA).
29840670512022 ,01),01(11 IEAIEAiIEAn
Paso 3) Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando
(efectiva trimestral), utilizando la misma expresin del paso anterior:
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Trimestralaigualo
iiii
iiiIEA
l
n
%,6
100,01,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
7462648
0674626484 2984067054 2984067054298406705
42984067054298406705
Explicacin: La n=4 corresponde al nmero de trimestre que se capitalizan en el ao EFECTIVO
ANUAL que estoy convirtiendo.
Respuesta: La tasa efectiva trimestral que equivale a una tasa del 2,2% mensual, es
6,746 % trimestral
2.2.3. Nominal a nominal
Para el caso de convertir tasas nominales a nominales, debemos ratificar el paso
numero 1 pues ser necesario con la expresin m
ji calcular el inters efectivo
que posteriormente se utilizar en la expresin 1)1( niIEA . Veamos:
Ejemplo 1: Para una tasa (j) de 26,4% capitalizable bimestralmente, hallar la
tasa nominal trimestral equivalente.
Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
bimestraliim
ji 044
264
,06
%,0
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 6 bimestres)
i = Tasa efectiva mensual solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 4 veces en el ao (j=0,264)
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Paso 2) Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual
(IEA).
2948008986044 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
Explicacin: La n=6 corresponde al nmero de bimestres que se capitalizan en el ao EFECTIVO
ANUAL que estoy convirtiendo.
Paso 3) Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a
nominal trimestral), utilizando la expresin del paso anterior:
a. En este paso aclaramos que al aplicar la expresin 1)1( niIEA
reemplazaremos la i por 4
jpues vamos a pasar de un IEA hallado a una tasa
nominal j que es la que vamos a buscar, y que capitaliza 4 veces al ao.
b. Habiendo hecho la aclaracin, procedemos:
Trimestral Nominal%,62100,0
4)1,1(1,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
68830478266883047
4 2948008984 294800898
444 2948008984
4
294800898
4
4
2948008984
4
294800898
aigualoj
j
iIEA
jjj
jjn
Respuesta: La tasa nominal trimestral que equivale a una tasa del 26,4% capitalizable
mensualmente, es 26,6883047 % nominal trimestral
Ejemplo 2: Para una tasa (j) del 18% capitalizable trimestralmente, hallar la tasa
nominal semestral equivalente.
Explicacin: La n=4 corresponde al nmero de trimestre que se capitalizan en el ao EFECTIVO
ANUAL que estoy convirtiendo.
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Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
trimestraliim
ji 045
18
,04
%,0
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 4 trimestres
i = Tasa efectiva trimestral solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 4 veces en el ao (j=0,18)
Paso 2) Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual
(IEA).
19251864045 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
Paso 3) Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a
nominal semestral), utilizando la expresin del paso anterior:
a. En este paso aclaramos que al aplicar la expresin 1)1( niIEA
reemplazaremos la i por 2
jpues vamos a pasar de un IEA hallado a una tasa
nominal j que es la que vamos a buscar, y que capitaliza 2 veces al ao.
b. Habiendo hecho la aclaracin, procedemos:
Semestral Nominal%,81100,0
2)1,1(1,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
40518405
4 2948008981925186
22
19251862
2
1925186
2
2
19251862
2
1925186
aigualoj
j
iIEA
jjj
jjn
Explicacin: La n=6 corresponde al nmero de bimestres que se capitalizan en el ao EFECTIVO ANUAL
que estoy convirtiendo.
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 16
Respuesta: La tasa nominal semestral que equivale a una tasa del 18% capitalizable
trimestralmente, es 18,405 % nominal trimestral
2.2.4. Efectiva a nominal
Para el caso de convertir tasas efectivas a nominales, podemos obviar el paso
numero 1 pues el hecho de contar con la tasa efectiva solicitada en l ya se
tienen, no obstante y por efectos de mantener la metodologa y el orden
establecido lo mencionaremos y debajo del mismo colocaremos la informacin que
ya se tiene.
Ejemplo 2: Para una tasa (j) de 26,4% capitalizable mensualmente, hallar la tasa
efectiva trimestral equivalente.
Ejemplo 1: Para una tasa (i) del 6,7462648% trimestral, hallar la tasa nominal
capitalizable mensualmente equivalente.
Paso 1) Hallamos la tasa efectiva (i).
Este paso ya lo podemos obviar por cuanto contamos con lo solicitado:
trimestrali 067462648,0
Paso 2) Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual
(IEA).
2984067054067462648 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
Explicacin: La n=2 corresponde al nmero de semestres que se capitalizan en el ao EFECTIVO ANUAL
que estoy convirtiendo.
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 17
Paso 3) Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a
nominal capitalizable mensualmente), utilizando la expresin del paso anterior:
a. En este paso aclaramos que al aplicar la expresin 1)1( niIEA
reemplazaremos la i por 12
j pues vamos a pasar de un IEA hallado a una tasa
nominal j (que es la que vamos a buscar), y que capitaliza 12 veces al ao.
b. Habiendo hecho la aclaracin, procedemos:
mensual Nominal%,26,0
121,11,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
4264
12 298406705
1212 298406705
1212 29840670512
12
298406705
12
12
29840670512
12
298406705
aigualoj
j
iIEA
jjj
jjn
Respuesta: La tasa capitalizable mensualmente a la que equivale una tasa del 6,7462648%
trimestral, es 26,4% capitalizable mensualmente
2.3. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Deseo disponer al finalizar marzo de 2010 de $670.550000 Cunto debo depositar el 1 de abril de 2009 en una entidad financiera que reconoce el 31,94% nominal capitalizable semestralmente? $547.347
Explicacin: La n=12 corresponde al nmero de meses que se capitalizan en el ao EFECTIVO ANUAL que
estoy convirtiendo.
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 18
Paso 1) Elaboro el diagrama tiempo-valor correspondiente al ejercicio
Fuente: El Autor.
Paso 2) Determino una fecha de anlisis: Abril 1/2009.
Paso 3) Determino una frmula inicial que me interprete el ejercicio, sin considerar
an el valor del dinero en el tiempo.
$670.500 = C
Paso 4) Determino el tiempo (en meses) que es la variable que me hace falta. As:
DD MM AA 30 das 1mes
31 03 2010 Fecha reciente 1 mes - 1mes
01 04 2009 Fecha antigua 1 ao 12 meses
30 -01 01
Restando tendra
30 das, -I mes y1 ao.
n = 12 meses
Paso 5) La tasa de inters es el 31,94% nominal capitalizable semestralmente y los
periodos de la operacin estn en meses (n=12 meses), debo pasarla a efectiva
mensual. As:
a. Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
Explicacin: Se toma la fecha cero (hoy: Abril 1/2009) por cuanto es la fecha donde me propongo realizar el
negocio
Explicacin: El valor de $670.500 que debo tener en Marzo debe ser el valor C que voy a depositar hoy,
lgicamente con sus respectivos intereses.
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 19
semestraliim
ji 1597
3194
,02
%,0
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 2)
i = Tasa efectiva mensual solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 2 veces en el ao (j=0,3194)
b. Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual (IEA).
3449040921597 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
c. Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a efectiva
mensual), utilizando la expresin del paso anterior:
alMiiii
iiiIEA n
ensu,01,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
02500096912 3449040912 344904091234490409
12344904091234490409
Paso 5) Hecho los pasos preliminares procedo con la solucin. Como me estn
preguntando por la cantidad que debo disponer hoy (Abril 1/2009),
inmediatamente pienso en el valor presente de ciertos valores a inters compuesto
lo cual se desarrolla utilizando la expresin:
2209
12,554.498$
),01(
500.670
)1(025
CC
i
SCn
Respuesta: La cantidad que debo cancelar hoy para que el marzo 31 de 2010 pueda
retirar $670.500, es $498.554
2. Que tasa nominal trimestral es equivalente es equivalente al 18% semestral.
Explicacin: La n=12 corresponde al nmero de meses que se capitalizan en el ao EFECTIVO ANUAL que
estoy convirtiendo
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 20
Paso 1) Como me estn solicitando trasladar una tasa efectiva a nominal recurro a
la expresin
3. Actualmente tengo las siguientes obligaciones que debo pagar: $220.000 que se vencen hoy, $350.000 con fecha de vencimiento dentro de 5 meses, $400.000 que se vencen dentro de 10 meses.
Si deseo cancelarlas con dos pagos: hoy $420.000 y el resto dentro de 7 meses.
Cunto debo pagar en esa fecha, si los intereses de negociacin son del 30,76%
nominal trimestral?
a. Tome como fecha de anlisis la de la hoy (Cero).
b. Tome como fecha de anlisis el mes siete.
c. Tome como fecha de anlisis el mes diez.
Paso 1) Elaboro el diagrama tiempo-valor correspondiente al ejercicio
(Con fecha de anlisis cero)
Paso 2) Determino una fecha de anlisis: Fecha cero (hoy).
Paso 3) Determino una ecuacin inicial que me interprete el ejercicio, sin
considerar an el valor del dinero en el tiempo.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$4
20
.00
0
X
Fecha de anlisis
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$2
20
.00
0
$3
50
.00
0
$4
00
.00
0
Fecha de anlisis
-
Curso de Matemticas financiera
Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 21
$220.000 + $350.000 + $400.000 = $420.000 + X
Paso 4) Determino el tiempo: El ejercicio viene expresado en meses
Paso 5) La tasa de inters es el 30,76% nominal trimestral y los periodos de la
operacin estn en meses (n=12 meses), debo pasarla a efectiva mensual. As:
b. Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
Trimestaliim
ji
07693076
,04
%,0
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 4 trimestres)
i = Tasa efectiva mensual solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 4 veces en el ao (j=0,3076)
b. Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual (IEA).
34493565740769 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
c. Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a efectiva
mensual), utilizando la expresin del paso anterior:
alMiiii
iiiIEA n
ensu,01,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
02500297412 34493565712 34493565712344935657
1234493565712344935657
Paso 6) Hecho los pasos preliminares procedo con la solucin. Como me estn
preguntando por la cantidad que debo pagar en el mes 7 y si la fecha de anlisis
Explicacin: La suma de las tres obligaciones debe ser igual a la forma de pago ($420.000 de hoy ms el
pago en la fecha siete). ESTA ECUACION SE DEBE DESARROLLAR EN UNA SOLA FECHA (LA DEL
ANLISIS)
Explicacin: La n=12 corresponde al nmero de meses que se capitalizan en el ao EFECTIVO ANUAL que
estoy convirtiendo
-
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 22
es hoy inmediatamente pienso en el valor presente del flujo de caja trabajados a
inters compuesto.
En este paso es trabajaremos con la ecuacin del paso 3, trasladando los flujo a la
fecha de anlisis con la expresin:
$220.000 + $350.000 + $400.000 = $420.000 + X
421.501$~,421.501$828. 36363614
025025025
025025025
421,1
),01(
000.420
),01(
000.400
),01(
000.350000.220
),01(
000.420
),01(
000.400
),01(
000.350000.220
,188685754
7
7
105
105
XX
X
X
Respuesta: La cantidad que debo cancelar en la fecha siete ser de $501.421
Explicacin: Como los flujos de caja se debe proyectar a la fecha de hoy (cero) debemos tener en cuenta:
Los $220.000 hoy tienen el mismo valor
Los $350.000 al proyectarlos a fecha cero, le hallamos su valor presente. Para ello la n= 5. Nos devolvemos cinco periodos hacia atrs.
Los $400.000 al proyectarlos a fecha cero, le hallamos su valor presente. Para ello la n= 10. Nos devolvemos diez periodos hacia atrs
Los $420.000 hoy tienen el mismo valor
La X que tambin es una valor en dinero que debo hallar, le calculamos su valor presente. Para ello la n= 7. Nos devolvemos siete periodos hacia atrs.
El lector debe observar que la ubicacin de cada uno de los valores va de acuerdo a la ecuacin inicial determinada en el paso 3
4. Actualmente tengo las siguientes obligaciones que debo pagar: $220.000 que se vencen hoy, $350.000 con fecha de vencimiento dentro de 5 meses, $400.000 que se vencen dentro de 10 meses.
Si deseo cancelarlas con dos pagos: hoy $420.000 y el resto dentro de 7 meses.
Cunto debo pagar en esa fecha, si los intereses de negociacin son del 30,76%
nominal trimestral?
a. Tome como fecha de anlisis el mes siete.
(Con fecha de anlisis mes siete)
Paso 1) Elaboro el diagrama tiempo-valor correspondiente al ejercicio
n
i
SC
)1(
-
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Paso 2) Determino una fecha de anlisis: Mes siete.
Paso 3) Determino una ecuacin inicial que me interprete el ejercicio, sin
considerar an el valor del dinero en el tiempo.
$220.000 + $350.000 + $400.000 = $420.000 + X
Paso 4) Determino el tiempo: El ejercicio viene expresado en meses
Explicacin: La suma de las tres obligaciones debe ser igual a la forma de pago ($420.000 de hoy ms el
pago en la fecha siete). ESTA ECUACION SE DEBE DESARROLLAR EN UNA SOLA FECHA (LA DEL
ANLISIS)
Paso 5) La tasa de inters es el 30,76% nominal trimestral y los periodos de la
operacin estn en meses (n=12 meses), debo pasarla a efectiva mensual. As:
a. Hallamos la tasa efectiva (i) con la relacin:
Trimestaliim
ji
07693076
,04
%,0
En donde,
m = Nmero de periodos que capitaliza la tasa en el ao (m = 4 trimestres)
i = Tasa efectiva mensual solicitada (i =?)
j = Tasa nominal que capitaliza 4 veces en el ao (j=0,3076)
Fuente: El autor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$2
20
.00
0
$3
50
.00
0
$4
00
.00
0
Fecha de
anlisis
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$42
0.0
0
0
X
Fecha de
anlisis
-
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 24
b. Llevamos la tasa efectiva hallada en el paso 1 a Inters Efectiva Anual (IEA).
34493565740769 ,01),01(1)1( IEAIEAiIEA n
c. Llevamos el IEA hallado en el paso 2 a lo que me estn solicitando (a efectiva
mensual), utilizando la expresin del paso anterior:
alMiiii
iiiIEA n
ensu,01,1)1(,1)1(,1
)1(,011)1(,01)1(
02500297412 34493565712 34493565712344935657
1234493565712344935657
Explicacin: La n=12 corresponde al nmero de meses que se capitalizan en el ao EFECTIVO ANUAL que
estoy convirtiendo
Paso 6) Como me estn preguntando por la cantidad que debo pagar en el mes 7
y si la fecha de anlisis es hoy inmediatamente pienso en el valor presente del
flujo de caja trabajados a inters compuesto.
En este paso es trabajaremos con la ecuacin del paso 3, trasladando los flujo a la
fecha de anlisis siete para lo cual debemos utilizar las expresiones
n
n
i
CCoyiCS
1/1 segn sea la necesidad.
$220.000 + $350.000 + $400.000 = $420.000 + X
421.501$,421.501$
,01000.420,01
000.400,01000.350,01000.220
,01000.420,01
000.400,01000.350,01000.220
~3636
7025
3025
20257025
7025
3025
20257025
X
X
X
Respuesta: La cantidad que debo cancelar en la fecha siete ser de $501.421
Explicacin: Como los flujos de caja se debe proyectar a la fecha siete debemos tener en cuenta:
Los $220.000 al proyectarlos a fecha siete, le hallamos su valor futuro. Para ello la n=7. Nos
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Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 25
proyectamos siete periodos hacia adelante.
Los $350.000 al proyectarlos a fecha siete, le hallamos su valor futuro. Para ello la n=2. Del periodo cinco donde est, hasta a la fecha de anlisis siete hay dos periodos.
Los $400.000 al traerlos desde la fecha diez donde esta ubicado hasta l a fecha siete, le hallamos su valor presente. Para ello la n= 3. Nos devolvemos tres periodos hacia atrs
Los $420.000 al proyectarlos a fecha siete, le hallamos su valor futuro. Para ello la n=7. Nos proyectamos siete periodos hacia adelante.
La X que tambin es una valor en dinero que debo hallar, y por estar ubicados en la fecha de anlisis no le calculamos ni presente, ni futuro. Su valor all es X
El lector debe observar que la ubicacin de cada uno de los valores va de acuerdo a la ecuacin inicial determinada en el paso 3
2. Determine en cuantos meses una inversin de $650.000 se convierte en
$1.350.000, si la tasa de la operacin es del 30,2% NMV
Paso 1) La tasa de inters es el del 30,2% NMV nominal mes vencido. Para
pasarla a efectiva mensual (el ejercicio lo solicita en meses). Lo logramos con la
expresin: m
ji
mensualiim
ji 0252025166666 ,0,0
12
302,0 ~
Paso 2) Para determinar los meses, planteamos el ejercicio con la expresin n
iCS 1
mesesmesesnn
nn
iCS
nn
nn
29~,29,0
,0
)(,0,0)(,1ln,2ln
,1,2,1000.650
000.350.1
,01000.650000.350.11
36740049
024887715
730887508
0248877157308875080252076923077
02520769230770252
0252
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Curso de Matemticas financiera
Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 26
RESUMEN
La tasa nominal, es utilizada por las entidades financieras para ofrecer el dinero a
sus clientes, pero realmente no mide la verdadera rentabilidad del dinero o lo que
se debe pagar por su alquiler.
La tasa efectiva, muestra la verdadera cantidad que se debe pagar por el alquiler.
Su estudio es preponderante en razn a que es la tasa que se requiere para medir
la rentabilidad de un proyecto financiero y adems es la que se aplica en las
formulas financieras.
Con las frmulas:
m
ji que permite pasar de una tasa nominal que capitaliza m veces al
ao, a una efectiva i.
11n
iIEA que traslada una tasa efectiva i a Inters efectiva para el
ao (IEA).
La expresin 11n
m
jIEA que traslada una tasa nominal que capitaliza
m veces al ao, a una tasa de inters efectiva anual.
El proceso de convertir una tasa nominal a nominal o a efectiva, as como de
efectiva a efectiva o a nominal tal cual se presenta, busca una mejor comprensin
y manejo del tema. De esta manera resulta ms fcil tomar decisiones en torno a
si el ofrecimiento del dinero a cierta tasa resulta mejor que el de otro que se ofrece
a otra tasa muy distinta.
Tambin aprendimos las tcnicas que permitieron comparar si dos tasas (nominal
nominal, efectiva- efectiva, nominal - efectiva, efectiva nomina) son
equivalentes, esto es producen los mismos resultados financieros.
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Curso de Matemticas financiera
Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 27
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFAA
CARDONA, Alberto. (1986). Tasa de inters nominales - efectivas. Matemticas
Financieras. Editorial Interamericana S.A. Bogot, Colombia
GARCA, Jaime. A. (2008). Inters y valores presente y futuro. Matemticas
financieras. Editorial PEARSON Prentice Hall. Bogot, D.C., Colombia.
PORTUS GOVINDEN, Lincoyn. (1997). Anualidades. Matemticas financieras.
Editorial Mc Graw Hill. Bogot D.C. Colombia.
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Curso de Matemticas financiera
Unidad 2. Clasificacin y conversin de tasas de inters 28
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFAA WWEEBB
Centro de estudios financieros (2006). Matemticas Financieras. Tantos
Equivalentes.
http://www.matematicas-financieras.com/search/node/TANTOS+EQUIVALENTES
http://www.cef.es/
Wikipedia (2010). Flujo de caja.
http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_caja
http://www.matematicas-financieras.com/search/node/TANTOS+EQUIVALENTEShttp://www.cef.es/http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_caja