CLASSPAD Algebra Lineal

7/21/2019 CLASSPAD Algebra Lineal

1/58

Onofre Monz del OlmoDepartament de matemtiques

IES Veles e Vents. Torrent

Matemtiques aplicadesa les cincies socials

Curs 2007-08


2/58

lgebr line l1 Les matrius i els determinants2 Els sistemes dequacions lineals3 La programaci lineal


3/58

Onofre Monz Departament de Matemtiques ___________________________________________

Les matrius i elsdeterminatsAbans de comenar

Per estudiar situacions en qu intervenen gran quantitat de dadesnumriques, s convenient estructurar-les per tal de poder analitzarmillor el seu significat i per poder simplificar els procedimentsnecessaris per a la seua manipulaci. En veurem un exemple:

Una empresa fabrica cinc articles diferents i els comercialitza a travsde tres distribudores. La gerent de lempresa reflecteix les comandesen una taula de doble entrada com aquesta:

C1 C2 C3 C4 C5F1 1500 300 500 1200 500F2 600 800 500 900 600F3 2000 1000 0 0 1000

Taula 1 (comandes octubre)Observa la taula, i contesta les segents preguntes:

Quina distribudora ha demanat 900 unitats de larticle C4? De quin article ha demanat 2000 unitats lempresa F3? Quin significat t el nombre 300 que apareix a la taula?

Per tal dorganitzar la producci s necessari saber la demandatotal de cada article. Com es pot obtenir?

Suposem que lempresa, a ms de les comandes que apareixen a lataula 1, tenia pendent de servir una certa part de comandes anteriors,segons el que recull la taula 2:

C1 C2 C3 C4 C5F1 0 500 200 0 0F2 500 0 500 100 0F3 0 0 0 1000 0

Taula 2 (pendent de servir: setembre)

IES Veles e Vents Torrent _____________________________________________________/1


4/58


Construeix una taula, que mostre el total dunitats de cada un delsarticles que sha de servir a cada distribudora. Quan la tingues,descriu el que has fet per omplir-la.

Els ponts de Knisberg

Knigsberg s una ciutat russa prxima a Kaunas, a la vora del Bltic.Est travessada pel riu Pregel que la divideix en quatre partsconnectades entre si per set ponts.

Els vens es preguntaven quina seria la ruta per a travessar els setponts passant noms una vegada per cada u. Euler va demostrar queaix era impossible, donant de pas origen a una nova branca lesmatemtiques, la teoria de grafs i xarxes.

Com recolliries la informaci per poder transmetre-la amb majorclaredat ?

Si anomenem cada zona i ho substitum per un diagrama o graf queextraga el que s essencial del problema (dos regions connectades permitj dun punt es representen per una lnia que les uneix):

C

BD



5/58


I ara ho podem posar a una taula:

A B C DA 0 2 2 1

B 2 0 0 1C 2 0 0 1D 1 1 1 0

I per simplificar:Al men daplicacions polsem sobre Principal (Main) i desprs

Keyboardper veure el teclat virtual.

Triem el teclat 2D i lopci CLC:

Polsem els botons de columna, fila o matriu per crear-ne una, i

introdum les dades:

El nmero 2 -fila 3, col. 1-, indica que hi ha dues formes de passar dela regi A a la C.



6/58


Introducci

Les matrius i els determinants sn ferramentes de llgebra quefaciliten lordenament de dades, aix com la seua mnipulaci.

Els conceptes de matriu i tots els relacionats van ser desenvolupatsbsicament en el segle XIX per matemtics com els anglesos J.J.Sylvester i Arthur Cayley i l'irlands William Hamilton.Les matrius es troben en aquells mbits en qu es treballa amb dadesregularment ordenats i apareixen en situacions prpies de lesCincies Socials , Econmiques i Biolgiques.

Matrius. Definici i primers exemples

Una matriu s un conjunt de nombres reals ordenats segons dos

ndexs. Els nombres se solen escriure en una disposici rectangularque refora visualment el fet daquest doble criteri dordenaci. Lamatriu tindr tantes files com indique el primer ndex, i tantescolumnescom indique el segon.

Per exemple:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA Files de la matriu A

a a a

Columnes de la matriu A

=

Abreujadament es pot expressar A = (a ij). Cada element de la matriuporta dos subndexs. El primer dells "i", indica la fila en qu estroba lelement, i el segon, "j", la columna.Aix lelement a23est a la fila 2 i columna 3. Les matrius sempre esrepresentaran amb lletres majscules.

Sn exemples de matrius els segents:3 1 0

2 4 02 1 6 4 0

13 4 1 21 2 1

51 0 0

A B C

= = =

A t 2 files i 2 columnes, direm que el seu grandria s 2 x 2.Quinelement s a

2l

?.

B t 2 files i 3 columnes, direm que el seu grandria s 2 x 3.Quinelement s b23?.



7/58


C t 4files i 3 columnes, direm que el seu grandria s 4 x 3.Quinelement s c42?.En general, si una matriu A t m files i n columnes, direm que el seugrandria o dimensi s m x n (es llig "m per n"), sempre en primerlloc el nm. de files i en segon lloc el de columnes.

Tipus de matrius

Sanomena matriu nullaa la qu t tots els elements zero.Per exemple,

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0A

=

s una matriu nulla de grandria 2x5.

Sanomena matriu fila (vector fila)quan noms t una fila, s a dir laseua dimensi s l x n.Per exemple,

(1 0 -4 9) s una matriu fila de grandria 1 x 4.

Sanomena matriu columna (vector columna) quan noms constaduna columna, s a dir la seua dimensi ser m x 1, com per

exemple:

1

0

8

C

=

s una matriu columna de grandria 3 x 1.

Una matriu s quadrada quan t el mateix nombre de files que de

columnes, s a dir la seua dimensi s n x n. La matriu del

primer exemple anterior s quadrada de grandria 2 x 2 o simplementdorde 2.

2 1

3 4

Un altre exemple de matriu quadrada s:

1 2 3

6 5 4

3 4 0

D

=

dorde 3.Dins de les matrius quadrades anomenarem diagonal principal a laformada pels elements a11, a22, a33, . . . , ann, sent la matriu:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=



8/58


En la matriu D de lexemple anterior, la seua diagonal principal estariaformada per: 1, 5, 0.Sanomena traa de la matriu a la suma dels elements de ladiagonal. s a dir, Traa (A)= all+ a22+ a33+ . . . + ann, i en el cas

de D, Traa (D)= 1+5+0 = 6.La diagonal secundria s la formada pels elements: a ln, a2,n-l, a3,n-2, . .., anl.En la matriu D estaria formada per: 3, 5, -3.

Una classe especial de matrius quadrades sn les matrius triangulars.Una matriu s triangular superiorsi tots els elements per davall dela diagonal principal sn nuls i triangular inferior si sn nuls tots elselements situats per damunt de la dita diagonal.Sn exemples daquestes matrius:

11 0 0 0 1 43

0 4 0 00 9 5

3 4 5 00 0

1 3 16 78

Triangular inferior Triangular superior

E F

= =

Si una matriu s al mateix temps triangular superior i inferior,noms t elements en la diagonal principal. Una matriu daquest

tipus es denomina matriu diagonal.Un exemple de matriu diagonal seria:1 0 0 0

0 45 0 0

0 0 3 0

0 0 0 0

G

=

Finalment, si una matriu diagonal t en la seua diagonal principalnoms uns, es denomina matriu unitat o identitat. Se solenrepresentar per In, on n s lorde o grandria de la matriu. Algunes

matrius identitat sn:

2 3 4

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 00 1 0

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

I I I

= = =



9/58


Aplicacions de les matrius

Les matrius es fan servir en el context de les cincies com aelements que serveixen per a classificar valors numrics atenent a

dos criteris o variables.

Globus

Un importador de globus els importa de dos colors, taronja (T) imaduixa (M). Tots ells senvasen en paquets de 2, 5 i 10 unitats, quees venen al preu (en euros) indicat per la taula segent:

2 unitats 5 unitats 10 unitats

Color T 0'04 008 02Color M 0'03 0'05 008

Sabent que en un any es venen el segent nombre de paquets:

Color T Color M2 unitats 700000 500005 unitats 600000 4000010 unitats 500000 500000

Resumir la informaci anterior en 2 matrius A i B, de grandria

respectiva 2x3 i 3x2 que arrepleguen les vendes en un any (A) i elspreus (B).

LIVE

L IVE (Institut Valenci dEstadstica) vol saber la despesa de lesfamlies valencianes durant els anys 2002, 2003, 2004, 2005 i 2006.Per a aix tria 4 famlies F1, F2, F3, i F4, i els consums i preu del pa,carn i mantega.

CONSUMS PREUS

Pa Carn Mant. 2002 2003 2004 2005 2006430 157 8 F1 0,49 0,52 0,57 0,6 0,63 Pa545 210 1 F2 4,63 4,21 4,51 4,81 5,17 Carn1230 80 3 F3 5,05 5,47 4,81 6,01 6,31 Mant.860 110 0 F4

Despeses totals2002 2003 2004 2005 2006

F1 978,01F2 1244,40

F3 988,25F4 930,70



10/58


a. Completa la matriu anterior .b. Quina relaci hi ha entre les tres matrius que apareixen?

Fabricaci de joguets

La marca Mattoy fabrica quatre tipus danimals de peluix: ssospanda, cangurs, conills i dinosaures. Per a produir un nino fa faltatallar al material, cosir i donar lacabat. La segent taula mostra elnombre dhores necessari en cada tipus de treball per a cada tipus denino:

s Panda Cangur Conill DinosaureTallar 0'5 0'8 0'4 1'0Cosir 0'8 1'0 0'5 1'5Acabat 0'6 0'4 0'5 2

La fbrica ha rebut les comandes per als mesos doctubre i novembre.En la segent taula es mostra el nombre de cada tipus de ninos quehan de fabricar cada mes.

Octubre Novembres Panda 1.000 1.100Cangur 600 850Conill 800 725Dinosaure 2.500 2.000

a. Hem de calcular el nombre total dhores de treball per a octubre inovembre. Com ho calcularies?

b. Lempresa t tres fbriques: una en el nord, una altra en el centre iuna altra en el sud del pas. En esta taula es donen els salaris en

pessetes que cobren a lhora cada tipus de treballador en cada una deles fbriques:

Tallar Cosir AcabatNord 750 900 840Centre 700 800 760Sud 840 1.050 1000

Volem saber quant costa produir cada tipus de nino en cada una de lesfbriques. Arrodoneix els resultats a dos decimals

La urbanitzaci

Un constructor fa una urbanitzaci amb tres tipus de vivendes: S(senzilles), N (normals) i L (luxe). Cada vivenda del tipus S t 1finestra gran, 7 mitjanes i 1 xicoteta. Cada vivenda del tipus N t 2

finestres grans, 9 mitjanes i 2 xicotetes. I cada vivenda del tipus L t 4finestres grans, 10 mitjanes i 3 xicotetes.



11/58


Cada finestra gran t 4 vidres i 8 frontisses; cada finestra mitjana t 2vidres i 4 frontisses; i cada finestra xicoteta t 1 vidre i 2 frontisses. Alseu torn cada vidre costa 10 . i cada frontissa 2 .

Quant gasta el constructor en vidres i frontisses en cada vivenda?

Estudi de les relacions en un grup

Podem fer servir les matrius per a analitzarles relacions dins dun grup. En aquestdiagrama establim amb una fletxa lainfluncia que exerceix una persona sobreuna altra en un grup de cinc: Rosa, Slvia,Llus, Alcia i Vicent.

s La matriu associada en la que l'1 queapareix en la fila 3, columna 2 vol dir queSlvia (col. 2) exerceix influncia sobreLlus (fila 3).

El clcul del quadrat de la matriu A2 t elsignificat que podem veure al diagrama de ladreta, la quantitat dinfluncies que exerceixcada un dells cap als altres, per per mitjduna altra persona, s a dir, serien influnciesde segon orde que han de realitzar-se per mitj

duna altra persona.

El 2 que apareix en la fila 3, columna 5sn les dos relacions de domini queexerceix Vicent sobre Llus, una per mitjd'Alcia i una altra amb Slvia com aintermediria.



12/58


A0 seria la matriu unitat, cada un dells exerceix control sobre simateix.

Calcula i interpreta A3i A0+A+A2+A3

Matrius de Leslie. Moviments migratoris entre ciutatsTenim un exemple interessant en lestudi de les migracions entreciutats amb les matrius de Leslie molt utilitzades en biologia per alestudi de levoluci de poblacions.

A lesquerra tenim el graf (diagrama) dela relaci entre tres ciutats X, Y i Z.Cada fletxa indica la poblaci queemigra duna ciutat a una altra al capdun determinat perode de temps -10

anys al nostre cas -. Per exemple, la Ysincrementar en un 2% en deu anys i ams rebr el 12% de la poblaci de X,mentre emigra el 5% emigra cap a Z.

Si partim duna poblaci - en milers dhabitants -, de 200 en X, 50 enI i 80 en Z, al cap de 10 anys la quantitat dhabitants de cada ciutatvindr donada pel producte de les matrius:

Amb la utilitzaci duna calculadora grfica calcula la poblaci de lestres ciutats al cap de 10, 20, ... , 100 anys.

0.020.2

0.05

0.12

Z0.95

Y

1.02

X0.9



13/58


Propietat de la vivenda

En un estudi recent sha trobat que cada any en la ciutat de Metrpolisel 40% de les famlies que lloguen la vivenda en qu resideixencompren una vivenda, mentre que el 10% dels propietaris de vivenda

passen a llogar el seu allotjament. Si en lactualitat un 45% delshabitants de Metrpolis sn propietaris, com canviar aquest

percentatge en el futur?.

Com canvia la distribuci final si canvia el percentatge inicial depropietaris. Passar el mateix amb qualsevol matriu de transici?.

0.6

0.4

0.1

A D 0.9

Ll P

Operacions amb matrius

Addici i subtracci

Donades dos matrius A i B podem realitzar la seua suma odiferncia dacord amb la segent regla. Per a sumar o restar dosmatrius de la mateixa grandria, se sumen o resten els elements quees troben en la mateixa posici, resultant una altra matriu de lamateixa grandria.Per exemple:

2 1 3 2 0 4 0 1 1

4 2 1 3 2 5 7 0 4

2x3 2x3 2x3

=

Si les matrius tenen diferent grandria, no es poden sumar o restarentre si.

Laddici de matrius en cada conjunt de matrius de dimensi mxn suna llei de composici interna(la matriu suma s tamb un element

del conjunt de matrius de dimensi mxn), amb les segentspropietats:

a) Commutativa: A + B = B + Ab) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + Cc) Element neutre: La matriu nulla de la grandriacorresponent: O + A = A + O = Ad) Element oposat de A: La matriu -A, que resulta de canviar designe als elements de A: A+(-A)=-A+A=O

Exemple:Si



14/58


0 1 0 1

4 2 4 2

3 9 3 9

3x2 3x2

A A

= =

perqu:0 1 0 1 0 0

4 2 4 2 0 0

3 9 3 9 0 0

3x2 3x2 3x2

+ =

Demostraci de la propietat associativa:

Siguen: Amxn= ( aij) , Bmxn= (bij) i Cmxn= ( cij) tres matrius. Hem dedemostrar que:(A+B)+C=A+(B+C)

Cada un dels elements de la matriu (A + B) + C sobtindr pel segentprocediment:

Si es tracta de lelement que ocupa el lloc definit per la fila i i per lacolumna j, farem primer aij+ bij, i, desprs: (aij+ bij) + cij. s a dir:

(A+B)+C=((aij+bij)+cij)

Un raonament paregut ens du a establir que:

A + (B + C) = ( aij+ (bij+ cij) )

I com que (aij + bij) + cij= aij+ (bij+ cij) i I, j J (ja que aij, bijicijsn nombres reals), podem concloure que, efectivament:

(A + B) + C = A + (B + C).

Comentari

La propietat associativa mereix un comentari: quan escrivim 5 + 3 +4, ho fem perqu s indiferent efectuar loperaci com 8 + 4 = 12 oalternativament com 5 + 7 = 12. No importa de quina manera femlagrupament. Estem tan acostumats que normalment no hi paremesment. Ara b, que passa amb la subtracci? No s el mateix.Per exemple,(10-3)-6=7-6=1,mentre que10-(3-6)=10-(-3)=10+3=13.10 - 3 - 6 sols coincideix amb la primera. Veiem que la subtraccide nombres no t la propietat associativa.

Degut a aix no t sentit parlar de "restar tres o ms nombres" si nosespecifica clarament com shan dagrupar, mentre que la definici



15/58


de suma de dos nombres es pot estendre sense problemes a tres oms nombres. Igual ocorre amb les matrius. Per exemple:

Donades A = ( aij) , B = ( bij), C = ( cij) i D = ( dij), matrius de lamateixa dimensi, la matriu suma s A+B+C+D = (aij+bij+cij+dij).

Exercicis:

1.- Les exportacions, en milions deuros, de 3 pasos A, B, C a altrestres X, I, Z, en els anys 2005 i 2006 vnen donades per les matrius:

2000 2001

11 6.7 0.5 13.3 7 1

14.5 10 1.2 15.7 11.1 3.2

20.9 3.2 2.3 21 0.2 4.3

X Y Z X Y Z

A A

A B A B

C C

= =

4 4

1

2

6

Calcula i expressa en forma de matriu el total dexportacions per alconjunt dels dos anys.

Quants milions ha exportat el pas B al Z en total?

Calcula l'increment de les exportacions de lany 2005 al 2006 amb lesdades de lexemple anterior.

2.- Calcula x, i, z en la suma:

1 2 0 1 1 3

1 2 3 0

0 2 2 3 2 4

x y y z

y x z

z x

+ =

3.- Calcula a, b, c perqu es complisca la igualtat:

3 2 2 4 1

4 1 6 1 2 0 2 0

a b a b a

c c

+ + =

+

Biblioteca

En una biblioteca anoten els prstecs diaris de llibres aix:

INF. CIENT. DIVULG. C. FICCI AVENTURESCASA 150 120 70 45 95

BIBLIOTECA 190 80 210 90 170

El director vol fer balan i per aix, suposa que tots els dies (dilluns a

dissabte) el nombre de llibres prestats en les distintes modalitatsroman constant.



16/58


Expressa en forma matricial el nombre de llibres prestats en lesdistintes modalitats en una setmana i en un mes.

Producte per un nombre real

Donada una matriu qualsevol A i un nombre real k, el producte kAes realitza multiplicant tots els elements de A per k, resultant unaaltra matriu de la mateixa grandria. (Evidentment la mateixa reglaserveix per a dividir una matriu per un nombre real). Per exemple:

2 1 3 10 5 155

4 2 1 20 10 5

2x3 2x3

=

Donats k Ri una matriu A = (aij), definim el producte de lescalar

k, per la matriu A com una matriu k A de la mateixa dimensi queA i tal que: kA = ( k aij).

La matriu oposada duna matriu A la podem considerar tamb comel producte del nombre -1 per la matriu A: -A = (-1)A.

La multiplicaci descalars per matrius en cada conjunt de matriusde dimensi mxn s una llei de composici externa (tot i efectuar-seentre elements de conjunts diferents, la matriu resultant s tamb unelement del conjunt de matrius de dimensi mxn), amb les segents

propietats (noteu que, encara que emprem la mateixa notaci,apareixen dos signes de multiplicaci amb diferent significat):Si k i d sn nombres reals i A i B matrius amb la mateixa dimensi

a) Associativa: k(dA)=(kd)Ab) Distributiva respecte de la suma de matrius: k(A + B) =kA + kBc) Distributiva respecte de la suma de nmeros: (k + d)A=kA + dAd) Element neutre descalars, el nmero 1: 1A=A

Demostraci de la propietat associativa:

La matriu kA tindr la mateixa dimensi que la matriu A i cada undeis seus elements sobtindr multiplicant k pel corresponentelement de A. s a dir:

kA= ( kaij)

Per a multiplicar d, per aquesta nova matriu, repetirem elprocediment. Cada element ser multiplicat per d, i tindrem:

d(k A) = ( d( kaij)

Per com que d, w i cada un dels aijsn nombres reals, podem

eliminar els parntesis de l'ltima expressi, i tindrem:d(kA) = ( d kaij)



17/58


s a dir, per a obtenir d(kA) , basta amb multiplicar el productedk, per cada element de A. Per tant, sobt el mateix resultat que enfer loperaci (dk )A.

Exercicis:1. Si , troba una matriu X que verifique

lequaci: 2X-4A=B

1 1 1 0

0 1 0 2A i B

= =

2. Determina les matrius X i Y sabent que:

1 23 5

8 1

2 433 0

X Y

X Y

=

+ =

Transposici de matrius

Donada una matriu qualsevol A, sanomena matriu transposicidA, i es representa per Ata la matriu que resulta dintercanviar lesfiles i les columnes de A.

Per exemple, si , llavors la matriu transposici

dA s:

2 1 0 7

3 4 2 1A

=

2 3

1 4

0 2

7 1

tA

=

Evidentment, si A s una matriu de grandria m x n, la seuatransposici Attindr grandria n x m, per tant el nombre de

columnes passa a ser el de files i viceversa. Si la matriu A squadrada, la seua transposici tindr la mateixa grandria.

Propietats:a) (At)t= A, s a dir, la transposici de la transposici s lamatriu inicial.

b) (A+ B)t = At+ Bt

c) (kA)t= kAtBasant-se en aquesta nova operaci,podem definir altres dos classes de matrius, que sn:

Matriu simtrica, que s aquella per a la que es compleix que At= A,

per exemple la matriu:



18/58


2 1 3

1 0 2

3 2 7

A

=

s simtrica (comprova-ho).

En una matriu simtrica, els elements sn simtrics respecte a ladiagonal principal.

Questi:Pot ser simtrica una matriu que no siga quadrada? Per qu?.

Matriu antisimtrica, s aquella per a la que es compleix que At= -A.Per exemple:

0 1 3

1 0 23 2 0

B

=

s antisimtrica (comprova-ho).En una matriu antisimtrica, els elements de la diagonal

principal sn sempre nuls (per qu?), i els restants sn oposatsrespecte a la dita diagonal.

Exercicis:

1. Donades les matrius

1 3 3 1 1 2

1 4 3 2 0 1

1 3 4 6 1 0

A i B

= =

, calcula

3At- Bt.

2. Obtindre les matrius X e Y que verifiquen els sistemes:

1 5 2 1 3 12 3 2

4 2 3 0 0 2) ) )

1 0 6 2 1 02

3 6 0 1 2 4

X Y X Y X Y

a b c

X Y X Y X Y

= + = + =

= = + =

Producte de matrius

Hem vist en les operacions que hem definit anteriorment que, en elprimer cas (laddici de matrius), es tracta duna operaci interna peruna dimensi determinada i que en el segon cas (multiplicaci dunnombre per una matriu), es tracta duna operaci externa. Loperacique ara introdum no t, en general, cap daquestes qualitats. La rala veurem de seguida:

Per poder multiplicar dues matrius s necessari que el nombre decolumnes de la primera i el nombre de files de la segona siguen



19/58


iguals. Aix s aix perqu cada element de la matriu producte sobtcom la suma dels productes element a element duna fila de la

primera per una columna de la segona:

Si Amxn = (aij) i Bnxp = (bij), la matriu producte P tindr dimensi

mxp (nombre de files de A per nombre de columnes de B) i cadaelement pij de Pmxp sobtindr multiplicant la fila i de A per lacolumna j de B, de la segent forma:

( ) ( )

1

2

1 2 1 1 2 2

j

j

i i ik in i j i j ik kj in nj

kj

nj

b

b

a a a a a b a b a b a bb

b

= + + + + +

Vegem-ho per mitj dun exemple:

Per multiplicar les matrius:

1 1 0 1 1 12 0 1 2

0 3 6 3 0 32 1 0 1

2 5 6 5 2 1

=

(-2)(-2)+5(-1)= -1

Per parlar de les propietats daquesta operaci, ho farem comenantper una que no es verifica: la propietat commutativa. De fet, siexisteix el producte AB, no necessriament ha dexistir el producteBA: per exemple, A3x2B2x5s una multiplicaci que sempre donaruna matriu producte de dimensi 3x5, per no ser pertinent plantejarla multiplicaci de B per A, perqu 5, el nombre de columnes de B i3, el nombre de files de A, no sn iguals.

Per fins i tot, quan considerem matrius amb les quals s possibleplantejar les dues multiplicacions, no necessriament els productescoincidiran. Ho veurem amb un exemple molt senzill:

1 3 0 1Siguen A= i B

2 5 3 5

9 16 2 5Tenim que: AB= i BA

15 27 13 34

=

=



20/58



Nomina

Una empresa s propietria de dues factories, amb les plantilles detreballadores i treballadors que es recullen en la taula 1. En la taula 2es fan constar els salaris individuals mensuals en euros, que shan de

pagar al personal de cada categoria en cada una de les factories.Utilitza el clcul matricial per tal de determinar la nomina total quehaur de pagar lempresa en cada una de les dues factories.

TAULA 1 (distribuci del personal) TAULA 2 (salari mensual,)

Categ. A Categ. B Categ. C Categ. DFactora 1 2 4 50 220Factora 2 4 25 100 514

Categ. A Categ. B Categ. C Categ. DFactora 1 2500 1910 1025 810Factora 2 2825 2025 950 742

Propietats del producte de matrius

a) Associativa: A(BC)=(AB)Cb) Distributiva respecte de la suma:

A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA

c) Element neutre, la matriu identitat corresponent, si A s m x n:

A In= AImA = A

d) En general el producte de matrius no s commutatiu:

AB BAHom pot veure exemples als exercicis anteriors. Aquesta s unapropietat molt important.

e) El producte de dos matrius no nulles A i B pot donar lloc a unamatriu nulla:

52 1 3 0

20 2 1 0

4

2x3 3x1 2x1

=

Es diu que el conjunt de les matrius amb loperaci producte tdivisors de zero, s a dir, hi ha matrius no nulles el producte del quals nul.


21/58


La matriu inversa

Sabem ja multiplicar matrius i hem vist algunes de les propietats

daquesta operaci.Recordem, en primer lloc, que no sempre s possible efectuar lamultiplicaci de dues matrius, i en segon lloc, que encara que siga

possible fer aquesta multiplicaci, en general no s commutatiu, s adir AB s diferent de BA.En el cas particular de qu tractem amb matrius quadrades delmateix orde A i B, s clar que podem efectuar els productes AB iBA, que donaran com resultat una altra matriu del mateix orde,encara que, com ja sha dit, les matrius resultants seran, en general,distintes.Sabem tamb que lelement neutre del producte de matrius s la

matriu identitat In.Per analogia amb el cas dels nombres reals, podem plantejar-nos laqesti segent:Si tenim un nombre real, per exemple el 2, podem interessar-nos en

buscar l'invers del 2 per al producte, s a dir un nombre real x talque 2x = 1, el producte de 2 per x siga igual a lelement neutre, l'1.Evidentment, en el cas dels nombres reals s ben fcil allar x per aobtindrel, en el nostre cas, que x =, s a dir, l'invers dun nombrereal s un altre nombre que multiplicat per ell dna lelement neutre,l'1.Tot nombre real, excepte el 0, t invers.

Traslladant a a les matrius, ens podem plantejar si donada unamatriu quadrada A dorde n, qualsevol, existeix la seua inversa X

per al producte de matrius, tal que

AX = In

s a dir, el producte de A per la seua inversa produeix lelement neutrematricial, la matriu identitat In.

No obstant, hi ha algunes diferncies respecte al cas dels nombresreals:

1) No podem "allar" la matriu X del mode X = nI

A, perqu no hem

definit la divisi de matrius.2) No totes les matrius quadrades no nulles tenen matriu "inversa"(siga el que siga, per analogia amb els nombres).Definim, en primer lloc, el terme de matriu inversa:

Donada una matriu quadrada dorde n , A, es diu que A s invertible(o que posseeix inversa o que s no singular o que s regular ), si hiha una altra matriu del mateix orde, denominada matriu inversa dA

i representada per A-1

i tal que:AA-1= In i A

-1A = In



22/58


Si A no t inversa, es diu que s singularo no invertible.Si una matriu t inversa, la dita matriu inversa s nica (noms hi hauna). Per a calcular la dita matriu inversa, podem fer servir variesvies:

Per exemple:

Mtode directe:

Calculem la inversa de . Hem de trobar una matriu

, de forma que:

=

11

12A

=

tz

yxA

1

=

11

12

tz

yx

=+

=

=+

=

1ty

0t-2y

0

12

10

01

zx

zx

2/3 t3/1z1/3y3/1 ==== x

=

3/23/1

3/13/11A

Mtode de Gauss-Jordan:

Donada una matriu An, regular, un mtode eficient per a calcular-ne lamatriu inversa s el segent:

- Es forma una nova matriu ampliant la matriu A amb les columnes dela matriu identitat In.- Es transforma aquesta matriu ampliada pel mtode de Gauss, fins a

obtenir la corresponent matriu escalonada reduda.Sanomena transformaci elemental en una matriu a:

T1) Multiplicar o dividir una fila per un nombre real diferent dezero.T2) Sumar o restar a una fila una altra multiplicada per un nombrereal no nul.T3) Intercanviar el lloc de dos files entre si.

- En aquesta matriu, a lesquerra veurem les columnes de In, i a la dreta,

les corresponents a A-1.

Exemple:

Siga A = . Comprovem en primer lloc si s una matriu

regular: det A =

112

121

011

112

121

011

= 4

Com veiem que det A

0, tenim la seguretat que existeix A

-1

. Si noferem aquesta comprovaci, quan es tractara duna matriu singular ho



23/58


detectarem perqu durant el procs de transformaci de Gaussobtindrem alguna fila de la matriu amb tots els elements nuls. Enaquest punt pararem i conclourem que la matriu no tindria inversa.Aix i tot, sembla ms cmode decidir-ho prviament amb el clculdel determinant, que s un procs ms senzill.

Formem la matriu ampliada amb la matriu identitat dordre 3:

100112

010121

001011

Emprant com apivotl1 que ocupa la posici (1, 1), fem zeros en lesposicions (2, 1) i (3, 1):

F2 s substituda per F2 F1 i F3 s substituda per F3 2F1:

102130

011110

001011

Amb l1 que ocupa la posici (2, 2) com a pivot, fem un zero en laposici (3, 2):

F3 s substituda per F3+ 3F2: . Dividim per 4 la

fila 3:

135400

011110

001011

4

1

4

3

4

5100

011110

001011

Utilitzant com a pivot l1 que hem format amb aquesta darreratransformaci (el que ocupa la posici (3, 3)), fem un zero en la

posici (2, 3):

F2s substituda per F2 F3:

4

1

4

3

4

5100

4

1

4

1

4

1010

001011

Finalment, emprant com a pivot l1 que ocupa la posici (2, 2), fem un

zero en la posici (1, 2):

F1s substituda per F1 F2:

4

1

4

3

4

5100

4

1

4

1

4

1010

4

1

4

1

4

3001

. Tenim doncs que

A-1=

4

1

4

3

4

54

1

4

1

4

14

1

4

1

4

3

Si al realitzar el mtode de Gauss-Jordan en algun moment algunafila s de zeros, la matriu no t inversa.



24/58


Quant major siga lorde de la matriu, millor s aquest mtode enfrontdel directe.

Ms endavant veurem com calcular la matriu inversa fent servirdeterminants.

Rang duna matriu

Un concepte molt important relacionat amb les matrius s el derang. E1 concepte de rang es troba lligat al de "independncialineal" de files o columnes duna matriu, per no sintroduirdaquesta manera perqu es requereixen conceptes que noconeixem.Tenim prou en saber que es defineix el rang duna matriu com elnombre mxim de files o columnes linealment independents.

No obstant, el clcul del rang duna matriu labordarem des dunaaltra perspectiva, utilitzant el mtode de Gauss.Suposem que tenim una matriu qualsevol A a la que apliquem elmtode de Gauss a fi de simplificar-la el ms possible (s a dir,aconseguint que tinga el nombre ms gran de zeros possible),realitzant operacions elementals en files.Anomenarem rang de la matriu A i el representarem per Rg(A) alnombre de files no nulles de la matriu desprs daplicar-li el mtodede Gauss.

Propietats:

a) Si A s una matriu de grandria m x n no nulla es compleixque: 1 Rg(A)min{m, n}

b) Una matriu quadrada A t inversa Rg(A) s mxim.

Determinants

Introduirem a continuaci el concepte de determinant associat a unamatriu quadrada. Aquest concepte permet simplificar operacionsmatricials com ara el clcul del rang o de la matriu inversa.

Definici:Si s una matriu 2 x 2 es defineix el determinant de la matriu A, isexpressa com det(A) o b |A|, com el nombre:

11 1211 22 12 21

21 22

det( ) a a

A a aa a

= = a a

Per a definir determinants de matrius dorde major que 2 s necessariintroduir prviament alguns conceptes.



25/58


26/58


- Els elements de la lnia parallela superior a la diagonal principal perlelement allat del cant inferior esquerra: a12 a23 a31.- Els elements de la lnia parallela inferior a la diagonal principal perlelement allat del cant superior dreta: a21 a32 a13.

Grficament:11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

a a a

a a a

a

Figura: Sumands positiusAnomenarem sumands negatius als obtinguts al multiplicar:- Els elements de la diagonal secundria, a13 a22 a31.- Els elements de la lnia parallela superior a la diagonal secundria

per lelement allat del cant inferior dreta: a12 a21 a33.- Els elements de la lnia parallela inferior a la diagonal secundria

per lelement allat del cant superior esquerra: a32 a23 a11.

Grficament:

11 12

21 22

31 32

a a

a a

a a

13

23

33

a

a

a

Figura: Sumands negatiusI llavors det (A)= Sumands positius - Sumands negatius.Per exemple, en el cas de la matriu anterior:

2 2 22 1 0

3 2 2

A

=

, es t que aplicant la regla de Sarrus:

det(A)=212 + -203 + 2(-2)2 (213 + 2(-2)2 + (-2)02) == 4 8 6 +8 = 2

Altra regla per calcular determinants 3x3 s la segent:Sescriuen a la dreta o davall de la matriu les dues primeres

lnies. La diagonal principal i les seues dues paralleles seransumands positius i la diagonal secundria i les seues dues parallelessumands negatius:

Sumands positius Sumands negatius

11 12 13 11

21 22 23 21

31 32 33 31

a a a a

a a a a

a a a a

12

22

32

a

a

a

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a

a a a a

a a a a

a

a

a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

a a a

a a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

a a a

a a aa a a



27/58


Determinants amb calculadora grfica

Una vegada introduda la matriu i emmagatzemada a una variable

farem servir lordre Accin\matriz-Calcular\det:

Propietats dels determinants

Algunes propietats importants que tenen els determinants, i quesenuncien sense demostraci,sn:

1. Si una matriu t una lnia (fila o columna) de zeros, el determinantval zero.

definici de determinant,determinant ser 0.

Aquesta propietat s evident, ja que perbasta triar dita lnia, per a desenvolupar i el

2. Si una matriu t dos files iguals o proporcionals, el seu determinants nul.3. Si permutem dos lnies paralleles duna matriu quadrada, el seudeterminant canvia de signe,

per exemple:0 1 2 3 0 1 2 3

1 3 2 5 1 3 2 591 91

2

4 3 1 3 2 8 1= =

3 2 8 1 2 4 3 1

tots els elements duna lnia dun determinant perun nombre, el determinant queda multiplicat per eixe nombre. Per

ple:

4. Si multipliquem

exem



28/58


0 1 2 3 0 1 2 3

1 3 2 5 2 6 4 10

91 182

3 1 2 4 3 1

3 2 8 1 3 2 8 1

= =

per

2 4

0 2 4 6

2 6 4 101691 1456

4 8 6 2

6 4 16 2

= =

una lnia duna matriu se li suma na altra lnia multiplicadaper un nombre, el determinant no canvia.Aquesta propietat permet utilitzar un mtode ms senzill per a calcular

eterminants dorde major que 3.de la seua transposici,

. Si A t matriu inversa,A-1, es verifica que:

5. Si a u

d6. El determinant duna matriu s igual al

|A| = |At|

7

1 1A

= A

Una estratgia a tindre en compte en aquest cas de determinantsdorde 4 o superior, o incls de orde 3 si la matriu s complexa, s elmtode de fer zeros, ja que el valor del determinant no varia al

alitzar a la matriu certes transformacions elementals en files,com

a

a matriu adjunta de A, i esen substituir cada element

reindica la propietat 5 anterior, si b hem de tindre cura a lhoradaplicar la dita propietat.Aix, la millor forma de calcular un determinant s fer zeros en unfila o columna i desenvolupar per la dita fila o columna, perqu

llavors sols haurem de calcular un adjunt.

Clcul de la matriu inversa per mitja de determinants

Donada una matriu quadrada A, sanomenrepresenta per Adj A, la matriu que sobt

pel seu adjunt.Exemple:

2det012

222

=

= AA

223



29/58


Els adjunts de cada element sn: i la matriu adjunta:

64

742

33

131211

==2

220

3231

232221

=

===

===

A

AAA

AA

AAA

220adjA

=

642

742

A continuaci trobem la transp i la multipliquem per la matr

Resumint, per trobar la matriu inversa hem daplicar la frmula

segent:

osada iu A

=

020424

223

012

200

002

627

202222

1 ( )

det

tadjA

A A

=

Aplicaci dels determinants al clcul del rang

ls determinants tamb proporcionen una forma senzilla de calcular el

l Rang duna matriu A s la grandria del major menor

Erang duna matriu qualsevol.Un definici alternativa de rang duna matriu s:Ecomplementari no nul que estiga incls dins de la matriu.

Problem

2

S-A Problema 2. Obteniu de forma raonada la matriu X que verificaX = 2 B C, en qu:

2003

J-A Problema 1.Donada lequaci matricial segent:

Obteniu de forma raonada els valors dex,y, z.

es PAU

002

A

=12

A 05 11 213

=43

B

=72

C

310 z

y

=

+

6

10

12

23

y

xx



30/58


2004

A= , B= i C=

alculeu la matriu X que verifica lequaci AXB=2C.

S-A Problema 1. Obteniu la matriu X que verifica AX B = 3X ,esse

2005

S-B Problema 1.Calculeu la matriu que verifica lequaci

matricialAXB = C, sent: i .

2006

S-B Problema 1. Determina la matriu A que verifica lequaci

J-A Problema 1.Donades les matrius

11

04

02

21

21

02

C

nt:

312

123

= 103A i

= 1B .

1

2

=

c

baX

0

=31

21B

=

11

0A

1,

=

83

21C

tBAAB 2=+ , onB=

3 represen atriu trans

20

1i ta la m posada de

2007

J-A Problema triu

nt

tB

B.

1.Donada la ma 21

A , calcula 1 AAA t ,

=31

5

tA i 1Ase les matrius transp A, resp

osada i inversa de ectivament.



31/58


Els sistemesdequacions linealsIntroducci

Es denomina equaci lineal a aquella que t la forma dun polinomi deprimer grau, s a dir, les incgnites no estan elevades a potncies, nimultiplicades entre si, ni en el denominador.Per exemple, 3x + 2y + 6z = 6 s una equaci lineal amb tresincgnites.Com s ben sabut, les equacions lineals amb 2 incgnites representenuna recta en el pla.Si lequaci lineal t 3 incgnites, la seua representaci grfica s un

pla en lespai.Un exemple dambds representacions pot observar-se en la figura:

Representaci grfica de la rectay-2x = 3 en el pla i del plax +y +z =1en lespai.

Lobjectiu del tema s lestudi dels sistemes dequacions lineals, s a

dir, un conjunt de diverses equacions lineals.



32/58


Definici i classificaci dels sistemes dequacions lineals

Una soluci del sistema s un conjunt ordenat de nombres realsde manera que en substituir les incgnites x1per S1,

x2per S2 etc. les equacions se satisfan alhora.

),...,,,( 321 nSSSS

Resoldreun sistema dequacions, s trobar les solucions del sistema.

Direm que dos equacions sn equivalents si tenen les mateixessolucions,o geomtricament representen la mateixa recta o pla.

Per resoldre un sistema dequacions, caldr transformar el sistema ensistemes dequacions equivalents al primer mitjanant les propietatscorresponents, i que quede un sistema el ms redut possible aplicantles propietats de les equivalncies dequacions i les prioritats vistes enles equacions.

Propietats dequivalncia dels sistemes dequacions:

1) Si canviem lordre de les equacions, sobt un sistema equivalent.2) Al canviar una de les equacions per un altra equivalent, el sistemaser equivalent.3) Si sumen o restem costat a costat dues o ms equacions dun

sistema i substitum una delles (de les que shan sumat) per lequaciresultant, sobt un sistema equivalent.4) Si en una equaci allem una de les lletres i la substitum en unaaltra, queda un sistema equivalent.

Podem classificar els sistemes de la segent manera:

Indeterminat(infinites solucions)

Determinat(soluci nica)

Incompatible(No t soluci)

Compatible

Sistema



33/58


Siga el sistema: ,

anomenem:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

...

...

n n

n n

n n

m m m mn n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + = + + + =

+ + + =

+ +

m=

Matriu del sistema

=

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

Matriu ampliada del sistema

=

mmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M

...

...

...............

...

...

...

* 3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

s compatible determinat quan el sistema t una nica soluci. Aix,

per exemple, el sistema:

5 5 12

2 5

3 6

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

, t la soluci (1, 1, 2) i cap

altra terna de nombres s soluci del sistema, cosa que es potcomprovar analitzant el sistema escalonat equivalent:

5 5 12

5 3

2

x y z

y z

z

+ + =

= =

s compatible indeterminatquan el sistema t infinites solucions. Per

exemple, el sistema:

5 6 12

2 4

3 4 8

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

5 5 12

2

x y z

y z

+ + =

+ =

,s equivalent al segent

sistema escalonat:

Ara s fcil veure que t un conjunt infinit de solucions compost per

les ternes de la forma: (z, 2 z,z); z R. s a dir, donant diferents

valors, qualssevol, a z (incgnita lliure) podem obtenir tantessolucions particulars com vulguem. Aix, per exemple:



34/58


z = 0, (0, 2, 0). z = 2, (2, 0, 2) z = 5, (5, 7, 5)

z= ,1 3 1

( , , )2 2 2

z= 3 , ( 3,2 3, 3) ...

Recordem que si un sistema amb igual nombre dequacions quedincgnites s compatible indeterminat, ha docrrer que una de lesequacions es puga escriure com a combinaci lineal de les altres. En elcas estudiat es pot comprovar que la tercera equaci es pot obtenirdividint entre 2 la suma de les dues primeres equacions.

s incompatiblequan el sistema no t cap soluci. Per exemple, si enel sistema anterior conservem les dues primeres equacions imodifiquem noms el terme independent de la tercera, mantenim ladependncia lineal dels primers membres de les equacions i no la dels

segons, amb la qual cosa produm una incompatibilitat:

Ara el sistema s:

5 6 12

2 4

3 4 10

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

(hem canviat el 8 per un 10)

Quan obtenim el sistema escalonat equivalent, ens trobem amb:5 6 12

3

0 1

x y z

y z

+ + =

+ = =

I fem el segent raonament: si existeixen tres nombres que verifiquenles tres equacions del sistema inicial, tamb es compliran les igualtatsque apareixen en el sistema escalonat, ja que aquest sha dedutlgicament daquell. Per aix significa admetre que 0 = 1, cosa ques absurda. Per tant el sistema inicial no t cap soluci.

Problemes

Resol els segents problemes. En cada cas has de plantejar el sistemacorresponent, classificar-lo i, si s compatible, resoldrel:

1) Per dues copes de gelat, una orxata i un batut ens cobraren 480 .Lendem, a la mateixa gelateria ens cobraren 840 per tres copes degelat, dues orxates i dos batuts. Un tercer dia, per tres copes de gelat,una orxata i un batut, hagurem de pagar 6 .Digues tot el que siga possible sobre els preus.Qu cobraran per una consumici consistent en una copa de gelat,dues orxates i dos batuts?

2) Tornrem un quart dia a la mateixa gelateria i prengurem 3 copesde gelat, una orxata i dos batuts. El compte fou de 750 . Resol

novament el problema.



35/58


3) Tres amics han comprat arbres fruiters. El primer ha comprat 10pomeres, 5 cirerers i 1 magraner. El segon, 6 pomeres, 3 cirerers i 1magraner. El tercer, 8 pomeres, 4 cirerers i 2 magraners. El primer ha

pagat 30 , el segon 20 i el tercer 40 . Qu cobraran per la compra

de 5 pomeres i 1 magraner?

Teorema de Rouch

Un sistema s compatible si el rang de la matriu dels coeficients de lesincgnites s igual al rang de la matriu ampliada amb la columna delstermes independents.

Dins el teorema de Rouch podem tenir els segents tipus de sistemes:

S.C.D. incgnitesn* == rgMrgM

S.C.I. incgnitesn*


36/58


Multipliquem la 1a equaci per 2, deixem la segona com estava i

sumem.

12015x10849

1246

=

=+

=

yx

yx

Don podem concloure que: x = 8. Ara noms cal substituir x a

lequaci principal per extreure el valor dey.

9y108472 ==+ y

Soluci: x=8, y=9

Sistema de tres equacions

Els sistema de tres equacions de Gauss consisteix a fer zeros a la

matriu per tal de trobar les incgnites. Fixem-nos en el segent

exemple:

+=

=

=++

=+

=+

2020

0220

1111

'

'

1111

1111

1111

1

1

1

313

212

FFF

FFF

zyx

zyx

zyx

=

2200

0220

1111

'' 323 FFF

Daquesta ltima matriu podem extreure que 1=z . A partir daquesta

incgnita desvelada podem saber les altres dues:

111-1x10122 ==+== xyy S.C.D.

Soluci (1,1,1)Mtode de Gauss amb calculadora grfica

Per resoldre el sistema:

2 5 3 23

5 3 8

6 4 2 22

x y z

x y z

x y z

=

+ + = + =

, comencem per introduir la

matriu ampliada.Per facilitar la seua manipulaci posterior emmagatzemem aquestamatriu a la variable M.Triem Accin \Matriz-Calcular\ref (escalona la matriu) :



37/58


Indiquem que la matriu est a la variable M i ho executem:

La matriu que ens dna la calculadora s equivalent al sistema:

5 3 23

2 2 217 99

31 314

x y z

y z

z

=

+ =

=

i ara s fcil calcular la soluci: (3, -1, -4)

Tamb podem fer servir la matriuescalonada reduda (rref), que sols ensdeixa una diagonal i lultima columnaamb les solucions:



38/58


Mtode de Cramer

Un sistema dequacions lineals s un sistema de Cramer si compleix:

T nequacions i nincgnites. El determinant de la matriu de coeficients del sistema s

diferent a zero. s un Sistema Compatible (S.C.)

Per tal de trobar les incgnites hem de seguir els passos que es podenapreciar a lexemple segent:

=+

=+

=++

2z2y-3x

4

72

zx

zyx

14

4

123

101

112

122

104

117

==

=x 2

4

8

123

101

112

123

141

172

==

=y 34

12

123

101

112

223

401

712

==

=z

Hom pot observar que el denominador s el determinant de la matriu

del sistema i el numerador s el determinant de la matriu que resultade substituir en aquesta, la columna corresponent a cada incgnita perla dels termes independents.

Resoluci de sistemes per la matriu inversa

Si una matriu A s regular, hi ha dhaver alguna manera de trobar-nela seva inversa. La frmula per esbrinar-la s la segent:

BAXBAAXA111 ==

Comprovem-ho amb el segent exercici resolt:

=

=+

=+

=++

2

3

6

1-13

11-2

111

:smatricialformaenque

23

32

6

z

y

x

zyx

zyx

zyx

;

com que |A|0, existeix A-1i:

=

=

=

3

2

1

2

3

6

3/10-1/51/2

1/102/5-1/2

1/51/50

2

3

6

1-13

11-2

1111

z

y

x

Per tant, 3,2,1 === zyx



39/58


Amb la calculadora grfica:

Problemes PAU

2000

J-A Problema 4. Per un gelat, dues orxates i quatre batuts enscobraren en una gelateria 1.700 ptes. un dia. Un altre dia per quatregelats i quatre orxates ens cobraren 2.200 ptes. Un tercer dia haguremde pagar 1.300 ptes. per una orxata i quatre batuts. Raoneu si hi ha ono motius per a pensar que algun dels dies ens presentaren una facturaincorrecta.

J-B Problema 4. El senyor Gmez deixa als seus fills en herncia laseua fortuna, amb les segents condicions:

El gran rebr la mitjana aritmtica del que reben els altres dos

ms 30.000 euros. Al mitj li deixa la mitjana aritmtica del que reben els altres

dos.

El menut rebr la mitjana aritmtica del que perceben els altresdos menys 30.000 euros.

Expliqueu, raonadament, si amb aquesta informaci spossible esbrinar quant ha heretat cada un dels tres fills.



40/58


S-A Problema 4. Entre els partits poltics A i B obtingueren el 90%dels vots en unes eleccions.Calcular el percentatge de vots que va obtindre cada partit, sabent queen les eleccions segents: el partit poltic A va sofrir un descens d'un10% en el nombre de votants respecte a les anteriors eleccions, el

partit poltic B va tindre un 10% daugment en el nombre de votantsrespecte a les anteriors eleccions, i que entre els dos partits van tornara obindre el 90% del total dels vots.

S-B Problema 1. Troba totes les solucions del sistema : x + y + z = 1y +z = 2

-x + y + z = 32001

J-A Problema 1.Calculeu els determinants21

31 ,

41

01 i

2430 . Apliqueu els resultats obtinguts per a resoldre per la regla de

Cramer el sistema

=+

=

42

03

yx

yx

J-B Problema 2. Hem invertit 4.000.000 de pessetes en accions de lesempreses A, B i C. Desprs dun any, lempresa A va repartir un

benefici del 6%, la B del 8% i la C del 10%. En total rebem 324.826pessetes.

a) Deduu raonadament si es pot esbrinar o no qu invertim encada empresa.

b) Deduu raonadament qu invertim en cada empresa sabent quea lempresa C invertim el doble que a lempresa A.

S-A Problema 1.En una reuni hi ha 40 persones. La suma delnombre dhomes i de dones triplica el nombre de xiquets. El nombrede dones excedeix en 6 la suma del nombre dhomes ms el nombrede xiquets. Esbrineu raonadament quants homes, dones i xiquets hi ha.

S-B Problema 2. Un estudiant va obtenir un 6 en un examen dematemtiques que constava de tres preguntes. En la primera pregunta

va obtenir una qualificaci igual al doble de la qualificaci que vaobtenir en la segona pregunta i en la tercera pregunta va obtenir unaqualificaci igual a la suma de les qualificacions de les altres dues

preguntes. Esbrineu raonadament la qualificaci de cada pregunta.

2002

J-A Problema 2. Un tren transporta 500 viatgers i la recaptaci del'import dels bitllets destos ascendeix a 2.115 . Calculeu de formaraonada quants viatgers han pagat l'import total del bitllet, que val 9 ,

quants han pagat el 20% del bitllet i quants el 50%, sabent que elnombre de viatgers que han pagat el 20% s el doble del nombre deviatgers que han pagat el bitllet sencer.



41/58


2003J-B Problema 3. Cinc amics solen prendre caf junts. El primer dia van

prendre 2 cafs, 2 tallats i un caf amb llet i van haver de pagar 3 .Lendem van prendre un caf, un tallat i tres cafs amb llet, per la qualcosa van pagar 3,25 . El tercer dia noms es van reunir quatre amics i

van prendre un caf, dos tallats i un caf amb llet, el compte va ascendira 2,45 . Calculeu de forma raonada el preu del caf, del tallat i del cafamb llet.

S-B Problema 1.El preu del bitllet duna lnia dautobs sobtsumant dues quantitats, una fixa i una altra proporcional alsquilmetres recorreguts. Per un bitllet entre les poblacions A i B shan

pagat 20 i per un bitllet entre les poblacions A i C shan pagat 32 .Si la distncia de A a C s el doble de la distncia de A a B, calculeude forma raonada quant shaur de pagar per un bitllet a una poblacique dista de A la meitat que B.

2004

J-B Problema 1.Joan decideix invertir una quantitat de 12.000 enborsa, comprant accions de tres empreses diferents, A, B i C. Inverteixen A el doble que en B i C juntes. Transcorregut un any, les accionsde lempresa A shan revaloritzat un 4%, les de B un 5% i les de Chan perdut un 2% del seu valor original. Com a resultat de tot a,Joan ha obtingut un benefici de 432,5 . Determineu quant va invertirJoan en cadascuna de les empreses.

S-B Problema 1.Dos fills decideixen fer un regal de 100 a sa mare.Com que no tenen prou diner, compten amb lajuda de son pare idecideixen pagar el regal de la segent forma: el pare paga el triple delque paguen els dos fills junts i, per cada 2 que paga el germ menor,el major paga 3 . Quants diners ha de posar cadasc?

2005J-A Problema 1.Helena, Pere i Joan colloquen diriament fulls de

propaganda sobre els parabrises dels cotxes aparcats al carrer. Perereparteix sempre el 20% del total de la propaganda, Joan reparteix 100fulls ms que Helena i entre Pere i Helena colloquen 850 fulls als

parabrises. Plantegeu un sistema dequacions que permeta esbrinarquants fulls reparteixen, respectivament, Helena, Pere i Joan i calculeuaquests valors.

J-B Problema 1.Siga la matriu dels coeficients dun

sistema dequacions lineals i la matriu dels seus termes

independents. Es demana:

152

132

122

1

1

1

a) Escriviu les tres equacions que formen el sistema.b) Obteniu totes les solucions del sistema.



42/58


S-A Problema 1.Dos germans decideixen invertir 10000 cadascunen distints productes financers. El major va invertir una quantitat A enun producte que ha proporcionat un benefici del 6%, una quantitat Ben un altre que ha donat una rendibilitat del 5% i la resta en un termini

fix al 2% d'inters. El germ menor va invertir eixes mateixesquantitats en altres productes que li han proporcionat, respectivament,uns beneficis del 4, 3 i 7 %. Determineu les quantitats A, B i Cinvertides si els guanys del germ major han segut 415 i els delxicotet 460 .

2006

J-A Problema 1.Tres constructores inverteixen en la compra deterrenys de la forma segent: la primera va invertir mig mili deurosen terreny urb, 250.000 euros en terreny industrial i 250.000 euros en

terreny rstic. La segona, va invertir 125.000, 250.000 i 125.000euros en terreny urb, industrial i rstic, respectivament, i la tercera,100.000, 100.000 i 200.000 euros en aquests mateixos tipus deterreny, respectivament. Transcorregut un any, venen tots els terrenys.La rendibilitat que obt la primera constructora s del 13,75%, la de lasegona de l11,25% i, finalment, la de la tercera s del 10%.Determina la rendibilitat de cada un dels tipus de terreny per separat.

J-B Problema 1.Resol el segent sistema dequacions linealsutilitzant el mtode de Cramer:

2 65

2 1

x y z

x z

x y 1

+ = + =

=

S-B Problema 1. En el primer curs de batxillerat dun institut hi hamatriculats un total de 65 alumnes dividits en tres grups: A, B i C.Dinen en el centre 42dells, que corresponen a la meitat dels del grupA, les quatre cinquenes parts dels del B i les dues terceres parts delsdel C. A una eixida fora del centre van acudir les tres quartes parts

dels alumnes del grup A, tots els del B i les dues terceres parts dels delC, sumant en total 52 estudiants. Quants alumnes hi ha en cada grup?

2007

J-B Problema 1.Els tres models existents duna marca dautombilscosten 12.000, 15.000 i 22.000 euros, respectivament. Unconcessionari ha ingressat 1.265.000 euros per la venda dautombilsdaquesta marca. Quants cotxes ha venut de cadascun dels models sidel ms barat es van vendre tants com dels altres dos junts i del mscar la tercera part dels cotxes que costen 15.000 euros?



43/58


La programacilinealEn els segles XVII i XVIII, grans matemtics, com Newton, Leibnitz,Bernoulli i, sobretot, Lagrange, que tant havien contribut aldesenrotllament del clcul infinitesimal, es van ocupar del problema

d'obtenir mxims i mnims condicionats de determinades funcions.Posteriorment, el matemtic francs Jean Baptiste-Joseph Fourier(1768-1830) va ser el primer a intuir, encara que de forma imprecisa,els mtodes del que actualment anomenem programaci lineal i la

potencialitat que d'ells es deriva.Si exceptuem el matemtic Gaspar Monge (1746-1818), qui en 1776es va interessar per problemes daquest gnere, hem de remuntar-nos alany 1939 per a trobar nous estudis relacionats amb els mtodes del'actual programaci lineal. En eixe any, el matemtic rus LeonidVitalevich Kantorovitch publica una extensa monografia titulada

Mtodes matemtics dorganitzaci i planificaci de la producci enqu per primera vegada es fa correspondre a una extensa gamma deproblemes una teoria matemtica precisa i ben definida, anomenadaavui dia programaci lineal.En 1941-1942 es formula per primera vegada el problema detransport, estudiat independentment per Koopmans i per Kantorovitch,ra per la qual se sol conixer amb el nom de problema de Koopmans-Kantorovftch.Tres anys ms tard, G. Stigler planteja un altre problema particularconegut amb el nom de rgim alimentari optimal. En els anys

posteriors a la Segona Guerra Mundial, als Estats Units es va assumir

que defica coordinaci de totes les energies i recursos de la naci eraun problema de tal complexitat, que la seua resoluci i simplificaci

passava necessriament pels models doptimaci que resol laprogramaci lineal.Parallelament als fets descrits es desenvolupen les tcniques decomputaci i els ordinadors, instruments que farien possible laresoluci i simplificaci dels problemes que sestaven gestant. En1947, G. B. Dantzig formula, en termes matemtics molt precisos,lenunciat estndard a qu cap reduir tot problema de programacilineal. Dantzig, junt amb una srie dinvestigadors de l'United States

Departament of Air Force, formarien el grup que es va denominarSCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).



44/58


Els fonaments matemtics de la programaci lineal es deuen almatemtic nord-americ dorigen hongars John (Janos) Von

Neumann (1903-1957), qui en 1928 va publicar el seu fams treballTeoria de jocs. En 1947 conjectura lequivalncia dels problemes de

programaci lineal i la teoria de matrius desenvolupada en els seus

treballs. La influncia daquest respectat matemtic, deixeble deDavid Hilbert en Gotinga i, des de 1930, catedrtic de la Universitatde Princeton dels Estats Units, fa que altres investigadorssinteressaren gradualment pel desenvolupament rigors daquestadisciplina.

Desigualtats.

Ats que el conjunt dels nombres reals Rs totalment ordenat, donatsdos nombres reals a i b, sempre s certa alguna de les tres relacionssegents:

ab o a=bLes dues primeres sanomenen desigualtats.Entre les desigualtats numriques es compleixen les trestransformacions dequivalncia segents:a. Si als dos membres duna desigualtat sels suma un mateix nombre,la desigualtat es conserva en el mateix sentit, s a dir:

ab+c cR

b. Si els dos membres duna desigualtat es multipliquen o divideixenper un mateix nombre positiu, la desigualtat conserva el sentit, s adir:

Si cR+ a < b ac < bc i a > bac > bc

c. Si els dos membres duna desigualtat es multipliquen o divideixenper un mateix nombre negatiu,la desigualtat canvia de sentit, s a dir:

Si cR- a < b ac > bc i a > b ac < bc

d. Donats quatre nombre reals a, b, c i d qualssevol, es compleix lacompatibilitat de lordenaci amb la suma, s a dir:

a


45/58


Inequacions en la calculadora grfica

A vegades, els enunciats que donen lloc a una expressi algebraica no

diuen s igual, sin s major o s menor, per exemple:

Sabem que cada costat dun triangle s menor que la suma dels altresdos i major que la seua diferncia. Siguen x=2 i y=4 dos costats duntriangle, quant mesura laltre?

Si anomenem z a laltre costat, llavors z4-2.

Si tractem descriure una expressi algebraica que represente lasituaci, veiem que no podem posar el signe = entre les quantitats.

Si en una equaci substitum el signe = per , o obtenim unainequaci.

Inequacions lineals amb una variable

Al resoldre una inequaci lineal amb una variable utilitzant lespropietats de les desigualtats arribarem a una de les situacionssegents:

a) xa (a,+) o ]a, +[a-2 a-1 a a+1 a+2

d) xa [a,+) o [a, +[

a-2 a-1 a a+1a+2

Inequacions de primer grau amb dos incgnites. Regions del pla

Si volem saber quina s la regi del pla que verifica que y0.5x+4haurem de buscar el conjunt de punts del pla (x,y) que verifiquen ladesigualtat, i per tant la recta dividir el pla en dos trossos, i un dellss el que ens interessa. Haurem de fer el segent:



46/58


En el men de Grfics :

Seleccionem en Tipusy i introdum la inequaci: y0.5x+4

Ajustem la grandria de la finestra i dibuixem



47/58


Sistemes dinequacions lineals amb dos incgnites

Un sistema dinequacions de primer grau amb dos incgnites

est format per dos o ms inequacions amb dos incgnites que han de

verificar-se simultniament.

Tenint en compte que la soluci duna inequaci lineal amb dosincgnites s un semipl, la soluci dun sistema dinequacions linealsser la regi del pla que cont tots els punts les coordenades dels qualssn soluci de totes i cada una de les inequacions del sistema. Estaregi sobt a partir de la intersecci dels semiplans de cada una de lesinequacions que formen el sistema.

Vegem alguns exemples:

4 2

0

x y

x y

+

6

si transformem el sistema

obtenim:

3 2

2

y x

y x

La soluci del sistema est formada pels punts del pla que sn solucide les dos inequacions al mateix temps. Esta lobtenim persuperposici dels dos semiplans soluci de cada una de lesinequacions del sistema.

Com sobserva en aquest cas es tracta duna regi poligonal nofitada.

Vegem un altre cas:

2 2

0

x y

x y

+

6

si transformem el sistemaobtenim:

3y x

y x

i si procedim com en el cas anterior observem que no t soluci.



48/58


Finalment considerem el sistema segent:

42

2 2

x yx y

x y

+

transformant-ho i procedint comen les ocasions anteriors obtenim: 4 2

2 2

y xy x

y x

+

On la soluci s una regi poligonal tancada.

Punts ptims de funcions en conjunts convexos.

Es defineix una funci lineal amb dues variables com una expressi dela forma f(x, y) = ax + by. Hom a dobservar que per a cada valor de"c", el lloc geomtric dels punts les coordenades del qual (x, y)verifiquen f(x, y) = c s la recta dequaci ax+by=c. Al variar "c",sobtenen rectes paralleles tals que totes tenen el mateix pendent -a/bi tallen a l'eix Y en el punt (0, c/b). Si els valors de x i y no estantancats, tampoc ho estar f(x, y), en canvi, si estan restringits a un certconjunt C, la funci no podr prendre qualsevol valor. Es pot llavors

parlar de valor mxim o mnim (valors ptims) de f(x, y) en C. Escompleix el segent teorema: "Si una funci lineal f(x, y)=ax+by tmxim o mnim en un conjunt C convex, pren aquest valor ptim enun punt extrem". En efecte, si el valor c fra ptim i corresponguera a



49/58


un punt (x, y) interior al conjunt convex C, sempre es podrien trobardues rectes paralleles a ax+by+c=0, en les quals f(x, y) prendriavalors majors o menors que c i no podria ser c mxim o mnim. Pertant aquests valors noms poden presentar-se en els punts extrems.Usant aquest teorema, per a trobar els punts ptims de f(x, y) en el

conjunt convex C podem procedir de dues formes:

1. Estudiar els valors de la funci en els vrtexs (si el seu nombres redut) i decidir en quin d'ells hi ha mxim o mnim.Tinguem en compte que si la funci pren el mateix valor endos vrtexs consecutius, tamb pren eixe valor en tots els puntsdel segment que uneix eixos dos vrtexs.

2. Representar la funci en una grfica per a un valor qualsevolde c (se sol prendre c=0) i obtenir, per simple inspecci,desplaant la recta dibuixada parallelament a si mateixa el

punt ptim. Aquest procediment, per ser grfic s ms

imprecs llevat que realitzem el dibuix amb molta precisi.Nosaltres utilitzarem el mtode a) llevat que el nombre devrtexs siga molt elevat.

Exemples

El dilema(P.A.U. Matemtiques II 1997 Universitat de Valncia)

Marc M.M. ha estat treballant tot lestiu per a poder pagar-se la

matrcula del curs segent.

El seu problema ara s decidir el nombre de crdits terics i prctics

en qu es matricular, ja que han de complir-se els requisits segents:

1- Noms disposa de 84.000 PTA. El preu d'un crdit teric (CT) sd'1.000 PTA, i el d'un crdit prctic (CP) s de 2.000 PTA.2- Ha de triar un mnim de 20 CT i com a mxim 56 CT, i no volmatricular-se en ms de 70 crdits en total.3- La normativa de la seua Universitat exigix que el nombre de CP nosupere el 20% del total de crdits triats.

Si el seu objectiu s cursar el nombre ms gran possible de crdits, de

quants crdits terics i prctics haur de matricular-se?

SoluciSiguen x els CT que tria e i els CP, llavors

1.000x+2.000y 84.000x + y 70y (20/100)(x+y)x 20

x 56y 0



50/58


i lobjectiu s maximitzar x+yAmb les convenients manipulacions quedaria:Maximitzar x + y

Subjecte a :x + 2y 84 (y 42 x/2)x+y 70 (y 70 x)x 4y (yx/4)x 20, x 56, y 0

Introdum les funcions en leditor defuncions:

Restringim la grandria de la finestra en a -5x 70 y -5y 70:

I observem que amb -5y 40 tenim prou



51/58


Si tracem una parallela a la funci objectiu (y=-x)(y=70-x):observem que la soluci s la intersecci de les tres rectes, x=56 ey=14, amb un valor de la funci objectiu (x+y) de 70.

Una altra opci s fixar-nos en la regi factible, s a dir, la que contles possibles solucions. En el grfic es correspon amb la interseccidels semiplans. Esta regi s un polgon convex, els vrtexs del qualsn (22,0), (56,0), (56,14) i (22,22/4). Com la funci s contnua i elconjunt en qu cal maximitzar-la un convex tancat, el mximlaconseguir en un dels vrtexs o en una de les seues arestes(delimitada per dos dels seus vrtexs).

Si calculem el valor de la funci objectiu per a cada un dels punts:

Punt x+y(22,0) 22(56,0) 56(56,14) 70(22,22/4) 27.5

Observem que el mxim saconsegueix per a x=56 i y=14 amb unvalor de la funci objectiu de 70.

El problema de programaci lineal amb dues variables

Un problema de programaci lineal amb dues variables t per finalitatoptimar (maximitzar o minimitzar) una funci lineal: f(x,y) = ax + byanomenada funci objectiu, subjecta a una srie de restriccions

presentades en forma de sistema dinequacions amb dues incgnites

de la forma:

1 1 1

2 2 2

n n n

a x b y c

a x b y c

a x b y c

+ +

+



52/58


Cada desigualtat del sistema de restriccions determina un semipl. Elconjunt intersecci de tots eixos semiplans rep el nom de zona desolucions factibles. El conjunt dels vrtexs del recinte es denominaconjunt de solucions factibles bsiques i el vrtex on es presenta lasoluci ptima sanomena soluci mxima (o mnima segons el cas).

El valor que pren la funci objectiu en el vrtex de soluci ptimasanomena valor del programa lineal.El procediment a seguir per a resoldre un problema de programacilineal en dues variables ser, doncs:

1. Elegir les incgnites.2. Escriure la funci objectiu en funci de les dades del

problema.3. Escriure les restriccions en forma de sistema dinequacions.4. Esbrinar el conjunt de solucions factibles representant

grficament les restriccions.

5. Calcular les coordenades dels vrtexs del recinte de solucionsfactibles (si en sn pocs).

6. Calcular el valor de la funci objectiu en cada un dels vrtexsper a veure en quin dells presenta el valor mxim o mnimsegons ens demane el problema (cal tenir en compte ac la

possible no existncia de soluci si el recinte no s tancat).

Problemes PAU

2000

J-A PROBLEMA 2. Una factoria produeix cotxes dels models A i B.El benefici per la venda d'un cotxe del model A s 450 euros, i lavenda d'un del model B reporta un benefici de 600 euros.La capacitat de la factoria impedeix produir ms de 400 cotxes per diadel model A i ms de 300 cotxes per dia del model B. A ms, no s

possible produir diriament ms de 500 cotxes entre ambds models.

Es ven tota la producci que es fa i es vol saber, raonadament,quants cotxes interessa fabricar de cada model per a obtenir el mxim

benefici.

J-B PROBLEMA 2. Un venedor de llibres usats t 180 llibres deleditorial A i 160 de leditorial B, amb els quals decideix de fer dostipus de lots, el lot econmic amb tres llibres de leditorial A i un deleditorial B, que vendr a 800 PTA., i el lot selecte amb un llibre deleditorial A i dos de leditorial B, que vendr a 1.000 PTA. Deduuraonadament quants lots ha de fer de cada tipus per a maximitzar elsseus ingressos en vendre tots els lots.



53/58


S-A PROBLEMA 1Troba els mxims i mnims de la funci f(x , y)= 2x + 3y - 7 en la regi limitada pels segments que uneixen: el punt(0 , 0) i el (0 , 6); el punt (0 , 6) i el (4 , 4); el punt (4 , 4) i el (6 , 0); iel punt (6 , 0) i el punt (0 , 0).

S-B PROBLEMA 2He de menjar al menys 100 grams de lalimentA. Daltre aliment B he de menjar ms grams que de laliment A.Entre els aliments A i B no he de sobrepassar els 300 grams. El

producte A t 50 calories/gram. Quants grams he de menjar d'A iquants de B per a obtindre el mxim de calories?

2001

J-A PROBLEMA 2. Una fbrica produeix bombetes normals a900 pessetes cadascuna i focus halgens a 1.200 pessetes cadascun. La

capacitat mxima diria de fabricaci ns de 1.000, entre bombetesnormals i focus halgens, si b no es poden fabricar ms de 800

bombetes normals ni ms de 600 focus halgens.

Se sap que la fbrica ven tota la producci. Esbrineu raonadamentquantes bombetes i quants focus ha de produir per a obtenir la mximafacturaci possible i quina seria aquesta.

J-B PROBLEMA 3. Una indstria fabrica bolgrafs que ven a 400pessetes cadascun i plomes estilogrfiques que ven a 1.200 pessetescadascuna. Les mquines limiten la producci de manera que cada dia

no es poden produir ms de 200 bolgrafs ni ms de 150 plomesestilogrfiques, i el total de la producci (bolgrafs ms plomes) no potultrapassar les 250 unitats. La indstria ven sempre tota la producci.Deduu raonadament quants bolgrafs i plomes estilogrfiques ha de

produir al dia per a maximitzar el benefici i quin seria aquest.

S-A PROBLEMA 3. LINSERSO ha dorganitzar un viatge per a800 persones amb certa empresa que disposa de 16 autobusos de 40

places cadascun i 20 autobusos de 50 places cadascun. El lloguer dunautobs xicotet costa 3.000 pessetes i el lloguer dun autobs gran

costa 4.000 pessetesEsbrineu raonadament quants autobusos de cada classe shan decontractar per a minimitzar el cost i quin seria el cost mnim, sabentque lempresa noms disposa de 18 conductors

S-B PROBLEMA 1.La funci yxf(x,y) 32 += est definida en elpolgon de vrtexs (0,0), (6,0), (6,8), (4,12) i (0,15). Determineu deforma raonada tots els punts en qu la funci f assoleix un mxim.Justifiqueu de forma raonada si aquest mxim sassoleix en un sol

punt o no. En quin punt o punts sassoleix el mxim? Quin s el valor

del mxim?



54/58


55/58


56/58


J-B PROBLEMA 2. Un tren de mercaderies pot arrossegar, com a mxim,27 vagons. En cert viatge, transporta cotxes, i motocicletes. Per a cotxes hade dedicar un mnim de 12 vagons i per a motocicletes no menys de la meitatdels vagons que dedica als cotxes. Si els ingressos de la companyiaferroviria sn de 540 per vag de cotxes i 360 per vag demotocicletes, calculeu com shan de distribuir els vagons perqu el beneficidun transport de cotxes i motocicletes siga mxim i quant val aquestbenefici.

S-APROBLEMA 2. Un fabricant produeix en dos tallers tres modelsdiferents darxivadors, el A, el B i el C. Sha comproms a entregar 12arxivadors del model A, 8 del B i 24 del C. Al fabricant li costa 720 al dia el funcionament del primer taller i 960 el del segon. El primertaller produeix diriament 4 arxivadors del model A, 2 del B i 4 del C,mentre que el segon produeix 2, 2 i 12 arxivadors, respectivament.Quants dies ha de treballar cada taller per a, tot complint el contracte,aconseguir reduir al mxim els costos de funcionament? Quin s elvalor de lesmentat cost? Quedaria algun excedent dalgun producteals tallers? En cas afirmatiu, determineu-ne quant.

S- B PROBLEMA 2. Calculeu els punts de la regi definida per

52

63

152

6

+

+

y

x

yx

yx

on la funci yxz 23 += pren els valors mxim i mnim. Calculeu els

esmentats valors.2005J-A PROBLEMA 2. Les necessitats vitamniques diries duna

persona sn dun mnim de 36 mg de vitamina A, 28 mg de vitaminaC i 34 mg de vitamina D. Aquestes necessitats es cobreixen prenent

pastilles de la marcaEnergici de la marca Vigor. Cada pastilla de lamarca Energiccosta 0,03 i proporciona 2 mg de vitamina A, 2 mgde vitamina C i 8 mg de vitamina D. Cada pastilla de la marca Vigorcosta 0,04 i proporciona 3 mg de vitamina A, 2 mg de vitamina C i 2mg de vitamina D. Quantes pastilles de cada marca shan de prendrediriament si es desitja cobrir les necessitats vitamniques bsiques

amb el menor cost possible? Determineu lesmentat cost.

J-BPROBLEMA 2. Un venedor disposa de 350000 per a invertiren dos tipus de microones. El que disposa de ms accessoris t un costde 150 i reporta un benefici de 15 per unitat venuda, mentre quelaltre model sols proporciona un benefici d11 per unitat venuda i tun cost de 100 . Tot sabent que noms es poden emmagatzemar 3000microones i que no es vendran ms de 2000 del model ms car,determineu quants microones de cada classe es deuen comprar per amaximitzar el benefici i calculeu aquest.



57/58


S-A PROBLEMA 2. Representeu la regi factible donada pelsistema dinequacions:

2/13

1

2

1

+

yx

y

x

yx

i trobeu els punts de la regi factible on la funciassoleix els valors mxim i mnim i obtingueu tals valors.

( ) yxyxf 32, +=

S-B PROBLEMA 2. Una empresa farmacutica t en lactualitatdues lnies dinvestigaci, la de medicaments antiinflamatoris noesteroides i la de frmacs ansioltics. Desitja invertir en la investigacicom a mxim tres milions deuros, amb la condici de dedicaralmenys 1,5 milions deuros als ansioltics, amb els que esperaobtindre un benefici del 10%. En canvi en la investigaci sobre

medicaments antiinflamatoris, encara que es calcula un benefici del25% no ha dinvertir ms dun mili deuros. Quina quantitat ha dededicar a cada lnia dinvestigaci per a maximitzar beneficis, si a msha de dedicar als ansioltics almenys el doble de diners que alsantiinflamatoris? Quin benefici obtindr daquesta manera lempresa?

2006

J B PROBLEMA 2. Una refineria de petroli adquireix dos tipus decru, lleuger i pesat, a un preu de 70 i 65 euros per barril,respectivament. Amb cada barril de cru lleuger la refineria produeix0,3 barrils de gasolina 95, 0,4 barrils de gasolina 98 i 0,2 barrils de

gasoil. Aix mateix, amb cada barril de cru pesat produeix 0,1, 0,2 i0,5 barrils de cada un daquests tres productes, respectivament. Larefineria ha de subministrar almenys 26.300 barrils de gasolina 95,40.600 barrils de gasolina 98 i 29.500 barrils de gasoil. Determinaquants barrils de cada tipus de cru ha de comprar la refineria per acobrir les seues necessitats de producci amb un cost mnim i calculaaquest

S-A PROBLEMA 2. Una destilleria produeix dos tipus de whiskyblend mesclant noms dues maltes

CLASSPAD Algebra Lineal

Documents

Transcript of CLASSPAD Algebra Lineal