Cálculo de factores teóricos de concentración de tensiones ...
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UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
ESCUELA DE INGENIERIAS INDUSTRIALES
Grado en Ingenieriacutea Mecaacutenica
Caacutelculo de factores teoacutericos de
concentracioacuten de tensiones mediante
meacutetodos de elementos finitos
Autor
Gonzaacutelez Izard Ricardo
Valladolid Julio - 2014
Tutor
Manso Burgos Gabriel
Departamento CMeIM EGI
ICGF IM IPF
1
Resumen Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Resumen
Las maacutequinas y elementos estructurales sometidos a tensioacuten suelen fallar
debido a varios factores Uno de ellos es la concentracioacuten de tensiones que se
origina debido a discontinuidades constructivas (cambios bruscos de seccioacuten
entallas orificios surcos etc)
Existe un factor teoacuterico Kt de concentracioacuten de tensiones que relaciona la
tensioacuten maacutexima con la tensioacuten nominal
El objetivo principal de este proyecto es modelizar y simular varias piezas
sometidas a distintas cargas para obtener las graacuteficas de Kt y compararlas
con las proporcionadas por la bibliografiacutea especiacutefica Para ello se cuenta con
un software de simulacioacuten y caacutelculo que usa el meacutetodo de elementos finitos
(MEF) para la resolucioacuten de los meacutetodos numeacutericos El programa usado para
ello es Autodesk Inventor
Palabras clave Meacutetodo de Elementos Finitos Factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones Kt Autodesk Inventor Anaacutelisis de Tensioacuten Simulacioacuten mecaacutenica
Abstract
Machines and structural elements strained often fail due to several factors
One is the stress concentration which arises due to constructive
discontinuities (sudden change in section notches holes grooves etc)
There is a theoretical stress concentration factor Kt which relates the
maximum stress with the nominal stress
The main objective of this project is to model and simulate many parts under
different loads to obtain Kt charts and compare them with the specific
bibliography To achieve it we have a simulation and calculating software
witch uses the finite element method (FEM) for solving numerical methods
The program which is used for it is Autodesk Inventor
Keywords Finite Element Method Theoretical stress concentration factor Kt
Autodesk Inventor Stress Analysis mechanical simulation
3
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Iacutendice paacutegina
1 Introduccioacuten 7
2-Concentracioacuten de tensiones 11
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232--Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
3-Meacutetodo de elementos finitos 19
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
4
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga 47
5-Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventor 51
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
6-Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEF 57
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
5
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
665-Resultados 147
6
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
7-Conclusioacuten 183
8-Bibliografiacutea 187
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
25
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
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tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
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tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
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de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
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tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
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de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
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tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
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tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
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Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
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y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
1
Resumen Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Resumen
Las maacutequinas y elementos estructurales sometidos a tensioacuten suelen fallar
debido a varios factores Uno de ellos es la concentracioacuten de tensiones que se
origina debido a discontinuidades constructivas (cambios bruscos de seccioacuten
entallas orificios surcos etc)
Existe un factor teoacuterico Kt de concentracioacuten de tensiones que relaciona la
tensioacuten maacutexima con la tensioacuten nominal
El objetivo principal de este proyecto es modelizar y simular varias piezas
sometidas a distintas cargas para obtener las graacuteficas de Kt y compararlas
con las proporcionadas por la bibliografiacutea especiacutefica Para ello se cuenta con
un software de simulacioacuten y caacutelculo que usa el meacutetodo de elementos finitos
(MEF) para la resolucioacuten de los meacutetodos numeacutericos El programa usado para
ello es Autodesk Inventor
Palabras clave Meacutetodo de Elementos Finitos Factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones Kt Autodesk Inventor Anaacutelisis de Tensioacuten Simulacioacuten mecaacutenica
Abstract
Machines and structural elements strained often fail due to several factors
One is the stress concentration which arises due to constructive
discontinuities (sudden change in section notches holes grooves etc)
There is a theoretical stress concentration factor Kt which relates the
maximum stress with the nominal stress
The main objective of this project is to model and simulate many parts under
different loads to obtain Kt charts and compare them with the specific
bibliography To achieve it we have a simulation and calculating software
witch uses the finite element method (FEM) for solving numerical methods
The program which is used for it is Autodesk Inventor
Keywords Finite Element Method Theoretical stress concentration factor Kt
Autodesk Inventor Stress Analysis mechanical simulation
3
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Iacutendice paacutegina
1 Introduccioacuten 7
2-Concentracioacuten de tensiones 11
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232--Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
3-Meacutetodo de elementos finitos 19
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
4
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga 47
5-Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventor 51
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
6-Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEF 57
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
5
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
665-Resultados 147
6
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
7-Conclusioacuten 183
8-Bibliografiacutea 187
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
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tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
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65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
188
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
189
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
3
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Iacutendice paacutegina
1 Introduccioacuten 7
2-Concentracioacuten de tensiones 11
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232--Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
3-Meacutetodo de elementos finitos 19
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
4
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga 47
5-Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventor 51
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
6-Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEF 57
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
5
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
665-Resultados 147
6
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
7-Conclusioacuten 183
8-Bibliografiacutea 187
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
9
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
10
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
11
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
13
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
15
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
17
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
19
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
24
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
25
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
28
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
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Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
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tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
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62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
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Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
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Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
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tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
188
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
189
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
4
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga 47
5-Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventor 51
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
6-Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEF 57
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
5
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
665-Resultados 147
6
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
7-Conclusioacuten 183
8-Bibliografiacutea 187
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
9
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
10
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
11
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
13
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
15
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
17
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
18
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
19
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
21
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
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de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
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341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
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Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
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342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
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Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
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Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
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Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
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tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
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El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
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tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
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ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
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Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
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Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
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Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
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Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
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Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
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daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
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Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
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Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
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de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
189
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
5
Iacutendice Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
665-Resultados 147
6
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
7-Conclusioacuten 183
8-Bibliografiacutea 187
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
21
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
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tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
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65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
188
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
189
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
6
Iacutendice Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
7-Conclusioacuten 183
8-Bibliografiacutea 187
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
9
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
10
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
11
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
13
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
15
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
17
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
18
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
19
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
24
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
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elementos finitos
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341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
28
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342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
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de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
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Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
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Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
7
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
24
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
25
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
28
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
8
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
15
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
17
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
18
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
19
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
25
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
28
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tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
188
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
189
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
9
Ricardo Gonzaacutelez Izard Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Durante deacutecadas muchos de los elementos de maacutequinas y construcciones
industriales han fallado en zonas donde existiacutea un cambio de seccioacuten o donde
se habiacutea formado alguna discontinuidad o entalla
Se estudiaron distintos casos de discontinuidades en piezas rectangulares y
ciliacutendricas y se llegoacute a la conclusioacuten de que alrededor de estas
discontinuidades se concentraban los esfuerzos Se establecioacute una relacioacuten
entre el esfuerzo maacuteximo soportado y una tensioacuten de referencia o tensioacuten
nominal El cociente de estos valores se denomina factor teoacuterico Kt de
concentracioacuten de tensiones
Como resultado se crearon unas tablas a partir de resultados
experimentales que relacionaban la geometriacutea de la pieza con el factor
teoacuterico Kt
Con el avance de las nuevas tecnologiacuteas se desarrollaron programas de
caacutelculo numeacuterico como el meacutetodo de los elementos finitos que baacutesicamente
consiste en subdividir la pieza en elementos maacutes pequentildeos y calcular los
esfuerzos y deformaciones de cada una de estas divisiones
En este proyecto se pretende estudiar las graacuteficas del factor teoacuterico Kt
mediante elementos finitos Para ello se va a usar el programa de simulacioacuten
Autodesk Inventor
Los objetivos que tiene la creacioacuten de este proyecto son los siguientes
Introducir al lector el meacutetodo de los elementos finitos y el factor teoacuterico
Kt de concentracioacuten de tensiones
Simular varios ejemplos del factor teoacuterico Kt mediante MEF
Estudiar los resultados de las tablas obtenidas de concentracioacuten de
tensiones y compararlos con los que aparecen en la bibliografiacutea
especiacutefica de Shigley
Validar el uso de Autodesk Inventor como programa de simulacioacuten
mecaacutenica
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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
17
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
19
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
21
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
24
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
25
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
28
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
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elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
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Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
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tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
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D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
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tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
10
Capiacutetulo 1 Introduccioacuten
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
11
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
12
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
13
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
15
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
17
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
18
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
19
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
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elementos finitos
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tensiones mediante Elementos Finitos
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de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
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Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
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32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
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Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
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El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
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341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
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Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
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342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
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Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
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Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
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Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
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La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
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de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
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tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
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ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
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Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
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Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
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Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
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Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
172
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
173
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
174
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
175
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
176
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
177
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
178
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
179
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
180
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
181
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
182
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
183
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
184
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
185
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
186
Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
187
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
188
Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-
11
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones
Iacutendice paacutegina
21 Introduccioacuten 13
22-Determinacioacuten del factor de concentracioacuten de tensiones 14
23-Meacutetodos de caacutelculo 15
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla 15
232-Recubrimiento fraacutegil 16
233-Meacutetodos excleromeacutetricos 17
234-Fotoelasticidad 17
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
21-Introduccioacuten
Cuando se desarrollaron las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para tensioacuten
compresioacuten flexioacuten y torsioacuten se supuso que no hubo irregularidades en el
elemento analizado El disentildeo de maacutequinas con geometriacuteas perfectas sin
cambios de secciones es muy complicado Un perno por ejemplo tiene una
cabeza en un extremo y una rosca en el otro y ambos estaacuten disentildeados para
soportar cambios bruscos en la seccioacuten transversal Otros ejemplos requieren
orificios surcos para aceite (es el caso de tornillos inyectados) y muescas o
mellas de diversos tipos
Cualquier discontinuidad altera la distribucioacuten de esfuerzos a su alrededor no
pudieacutendose cumplir de este modo las ecuaciones de esfuerzo baacutesicas para
tensioacuten
El factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzo Kt o Kts se emplea para
relacionar el esfuerzo maacuteximo real en la discontinuidad con el esfuerzo
nominal Kt se utiliza para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes
Los factores estaacuten definidos mediante las siguientes ecuaciones (eq 21 y
22)
El esfuerzo nominal σ0 y 0 es maacutes difiacutecil de definir y se calcula mediante el
uso de las ecuaciones elementales y el aacuterea neta de una seccioacuten transversal
Para cada caso estudiado en este proyecto se calcularaacute en cada apartado la
tensioacuten nominal correspondiente
El subiacutendice t en Kt significa que el valor de este factor solo depende de la
geometriacutea Esto quiere decir que el material usado no interfiere a la hora de
calcular el factor teoacuterico de concentracioacuten de esfuerzos
14
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
22-Determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones
La primera evidencia cuantitativa del efecto de la concentracioacuten de tensiones
en las grietas fue enunciada por Inglis el cual analizoacute los agujeros eliacutepticos en
placas planas Inglis analizoacute una placa plana con un agujero eliacuteptico de
longitud 2a y de ancho 2b a la que se le aplica una tensioacuten perpendicular al
eje mayor de la elipse (fig21) Inglis asumioacute que el agujero no estaacute
influenciado por las condiciones de contorno de la placa es decir la anchura
de la placa es mucho mayor que 2a y la altura mucho mayor que 2b
Figura 21 Agujero eliacuteptico de una placa plana [Mecaacutenica de la fractura Joseacute Luis Arana Javier Jesuacutes
Gonzaacutelez Servicio Editorial de la Universidad del Paiacutes Vasco Figura 21 Paacutegina 26]
A partir de este enunciado la tensioacuten en el extremo del eje mayor (Punto A)
estaacute dado por la siguiente ecuacioacuten (eq23)
En donde
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Si suponemos que el orificio es circular es decir a=b (fig22) obtenemos
que el valor de Kt=3 cifra bien conocida y que aparece en gran nuacutemero de
manuales
Figura 22 Placa plana de espesor con agujero transversal y sometida tensioacuten [WALKER D PILKEY
DEBORAH F PILKEY Stress Concentration Factors 2008]
23-Meacutetodos de caacutelculo
La mayoriacutea de los factores de concentracioacuten de tensiones se determinan a
traveacutes de las teacutecnicas experimentales Entre los meacutetodos que se aplican en
general se encuentran la fotoelasticidad meacutetodos de retiacutecula o rejilla
meacutetodos de revestimiento fraacutegil y meacutetodos extensomeacutetricos
231-Meacutetodos de retiacutecula o rejilla
Tambieacuten es llamado meacutetodo de Moireacute Permite a partir del estudio de los
desplazamientos obtener las deformaciones y posteriormente con ayuda de
la ley de Hooke los esfuerzos
Se ponen en contacto dos rejillas iguales de manera que las rayas
respectivamente forman un aacutengulo pequentildeo Ψ como muestra la fig23 La
separacioacuten entre elementos en la direccioacuten x es muy pequentildea (=2ecos Ψ) y
en la direccioacuten y es mucho mayor (=2esenΨ) Los espectros en la direccioacuten x
estaacuten ampliamente separados mientras que en la direccioacuten y lo estaacuten
estrechamente con lo que todos los maacuteximos principales se encuentran en
direcciones proacuteximas a la direccioacuten del eje Y Si los espectros son tales que
estaacuten constituidos por rayas se obtendraacuten franjas casi paralelas al eje X
denominadas franjas de Moireacute La nitidez de las franjas depende de las
16
Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
formas de las muescas y su direccioacuten depende de la relacioacuten exacta entre las
dos rejas
Figura 23 Rejas cruzadas un aacutengulo pequentildeo y franjas de Moireacute [RW DITCHBURN Light
Third Edition Academic Press London Paacutegina 183]
Si se superponen dos rejas de manera que aparezcan las franjas de moireacute y
una de ellas se desplaza una distancia x (perpendicularmente a sus rayas)
las franjas de moireacute se desplazan una distancia y=xΨ De esta manera si se
fija una de las rejillas se puede construir una escala de medida pudiendo
medir finalmente los esfuerzos
232-Recubrimiento fraacutegil
Es uno de los meacutetodos maacutes sencillos para estudiar el campo tensional en
una pieza Consiste en cubrir la superficie de la pieza con un recubrimiento
fraacutegil generalmente lacas la cual fractura a determinada magnitud de las
acciones externas que actuacutean sobre la pieza Las fracturas producidas nos
indican la direccioacuten de las direcciones principales puesto que estas son
perpendiculares a la direccioacuten de los esfuerzos normales maacuteximos (fig24)
Para determinar la magnitud de los esfuerzos para los cuales el material fraacutegil
fractura a medida que se incrementan las magnitudes de las acciones
externas se cargan simultaacuteneamente cintas metaacutelicas calibradas del mismo
material que el de la pieza y cubiertas con el mismo tipo de laca De esta
forma se pueden evaluar la magnitud de los esfuerzos que provocan la
fractura de la laca sobre la pieza
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 24 Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de tensiones mecaacutenicas [Dr
Carlos Novo Soto Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea Paacutegina 28]
233-Meacutetodos extensomeacutetricos
Es uno de los meacutetodos de caacutelculo maacutes usados Obtiene los esfuerzos
producidos en la pieza indirectamente midiendo la deformacioacuten ε y aplicando
la ley de Hooke (eq25)
La deformacioacuten es medida directamente sobre la pieza a estudio Los
extensoacutemetros son los instrumentos utilizados en este tipo de medidas Los
maacutes utilizados son los extensoacutemetros eleacutectricos debido a que son de
pequentildeas dimensiones y son capaces de determinar las deformaciones tanto
en condiciones estaacuteticas como dinaacutemicas El inconveniente de este tipo de
extensoacutemetros es que una vez fijados a la pieza el desmontaje conlleva su
destruccioacuten
234-Fotoelasticidad
Esta teacutecnica se basa en los fenoacutemenos experimentados por las ondas
electromagneacuteticas a su paso por materiales transparentes particularmente le
polarizacioacuten de la luz que ocurre a consecuencia de las tensiones presentes
en los cuerpos sometidos a cargas
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Capiacutetulo 2 Concentracioacuten de tensiones Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Los aacutetomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de ondas
praacutecticamente monocromaacuteticos (con una uacutenica longitud de onda) Cuando hay
un nuacutemero elevado de aacutetomos emitiendo luz la oscilacioacuten de la onda que
cada aacutetomo emite estaacute distribuida de forma aleatoria y las propiedades del
haz de luz son las mismas en todas direcciones y se dice asiacute que la luz no
estaacute polarizada Si el plano de oscilacioacuten de las ondas se unifica en uno soacutelo
se dice que la luz estaacute polarizada en un plano o polarizada linealmente
(fig25)
Figura 25 Polarizador de luz [Universidad de Santiago de Chile Facultad de ingenieriacutea
Experiencia E13 Paacutegina 4]
Algunas sustancias son anisoacutetropas es decir muestran propiedades distintas
seguacuten la direccioacuten del eje a lo largo del cual se midan En esos materiales la
velocidad de la luz depende de la direccioacuten en que eacutesta se propaga a traveacutes
de ellos Algunos cristales con estas caracteriacutesticas tambieacuten pueden generar
una alineacioacuten del plano de oscilacioacuten de las ondas de luz que los atraviesan
siendo llamados polarizadores Algunos materiales adquieren esta propiedad
polarizadora de la luz al ser sometidos a esfuerzos mecaacutenicos Si estos
materiales bajo tensioacuten se situacutean entre un polarizador y un analizador las
zonas coloreadas claras y oscuras que aparecen proporcionan informacioacuten
sobre las tensiones
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de elementos
s r finitos
Iacutendice paacutegina
31-Introduccioacuten 21
32-Historia de los elementos finitos 23
33-Conceptos generales 24
34-Elementos 25
341-Elementos lineales 26
342-Elementos bidimensionales 28
343-Elementos tridimensionales 29
35-Ecuaciones generales 31
36-Generacioacuten de la malla 39
361-Comprobaciones 40
362-Recomendaciones a seguir 43
37-Condiciones de contorno 45
20
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
21
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
31-Introduccioacuten
El meacutetodo de elementos finitos (MEF) ha adquirido gran importancia en la
resolucioacuten de problemas de ingenieriacutea ya que permite resolver casos que
hasta hace poco era impensable resolver por lo meacutetodos matemaacuteticos
tradicionales
Antiguamente la solucioacuten tomada era crear prototipos del sistema
ensayarlos y modificarlos iterativamente para obtener las mejoras necesarias
Esta teacutecnica resultaba costosa y suponiacutea gran parte del tiempo del desarrollo
del producto
Debido al alto coste y tiempo de desarrollo se estudioacute la posibilidad de crear
modelos matemaacuteticos mediante el uso de conceptos fiacutesicos quiacutemicos y
matemaacuteticos que pudieran definir el comportamiento del cuerpo
Una solucioacuten analiacutetica es aquella expresioacuten matemaacutetica que arroja resultados
con determinadas incoacutegnitas que requiere la solucioacuten de ecuaciones
diferenciales las cuales debido a su complejidad son imposibles de resolver
Sin embargo gracias a estas metodologiacuteas se permite que el problema sea
planteado como una serie de ecuaciones algebraicas simultaacuteneas en lugar
de utilizar una resolucioacuten a partir de ecuaciones diferenciales complejas
El meacutetodo de elementos finitos permite realizar un modelo matemaacutetico de
caacutelculo maacutes sencillo y econoacutemico que modificar los prototipos El MEF es sin
embargo un meacutetodo aproximado de caacutelculo debido a las hipoacutetesis baacutesicas
del mismo por lo que es necesario del uso de prototipos tradicionales pero
maacutes precisos y en menor nuacutemero
Este considera a la estructura con un ensamble de pequentildeas partiacuteculas de
tamantildeo finito El comportamiento de las partiacuteculas y de la estructura global es
obtenido formulando un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser
raacutepidamente resueltas con un ordenador
Las partiacuteculas de tamantildeo finito son llamadas elementos finitos o simplemente
elementos Los puntos donde los elementos finitos estaacuten interconectados se
conocen como nodos y el procedimiento de seleccionar los nodos se
denomina discretizacioacuten o modelado (fig31)
22
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 31 Elementos y nodos [Disentildeo optimizado de piezas de plaacutesticos Miguel Saacutenchez Antonio
Gordillo y Antonio Martiacutenez Universidad politeacutecnica de Valencia]
El concepto baacutesico del MEF es dividir el cuerpo en un nuacutemero finito de
elementos (discretizacioacuten del cuerpo) y posteriormente resolver cada
elemento con las ecuaciones del sistema para despueacutes ensamblar la solucioacuten
total
Dentro de la ingenieriacutea mecaacutenica las aplicaciones praacutecticas en la mecaacutenica
de soacutelidos pueden agruparse en dos grandes familias la de los problemas
asociados con sistemas discretos y la de problemas asociados a sistemas
continuos
Los sistemas discretos estaacuten formados por un ensamblaje de elementos
claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos
concretos de tal manera que el sistema total tenga forma de malla o retiacutecula
Los sistemas continuos son los maacutes frecuentes en ingenieriacutea El sistema no
puede ser dividido en forma natural o unidades simples por lo que su anaacutelisis
resulta mucho maacutes complejo Debido a esta razoacuten para su resolucioacuten es
necesario el uso de elementos finitos
23
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
32-Historia de los elementos finitos
El desarrollo moderno del meacutetodo de los elementos finitos se inicioacute en la
deacutecada de 1940 en el campo de la ingenieriacutea estructural con el trabajo de
Hrennikoff McHenry y Newmark quienes emplearon una rejilla de elementos
lineales para solucionar esfuerzos en soacutelidos continuos
En 1943 a partir de un artiacuteculo de 1940 Couran sugirioacute una interpolacioacuten
polinomial por pasos sobre regiones triangulares como el meacutetodo para
modelizar problemas de torsioacuten Con la llegada de los ordenadores digitales
en la deacutecada de 1950 esta propuesta se pudo llevar a la praacutectica por los
ingenieros para escribir y resolver las ecuaciones de rigidez en forma
matricial Un artiacuteculo claacutesico de Turner Clough Martin y Topp que se publicoacute
en 1956 presentaba las ecuaciones matriciales de rigidez de los puntales
viga y otros elementos
En 1947 Levy desarrolloacute la flexibilidad o el meacutetodo de la fuerza y en 1953 su
obra sugiere que otro meacutetodo (el meacutetodo de desplazamiento o rigidez) podriacutea
ser una alternativa prometedora para su uso en el anaacutelisis de estructuras
estaacuteticamente redundantes Sin embargo sus ecuaciones seriacutean engorrosas
para solucionar con la mano y por lo tanto el meacutetodo se hizo popular con la
llegada de la computadora digital de alta velocidad
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollaron meacutetodos matriciales de anaacutelisis
estructural utilizando los principios de la energiacutea Este hecho ilustra el
importante papel que jugariacutea los principios de la energiacutea en el meacutetodo de
elementos finitos El primer tratamiento de elementos bidimensionales fue
por Turner en 1956
El documento escrito por Turner indicaba matrices de rigidez para elementos
barra elementos viga y elementos bidimensionales triangulares y
rectangulares en tensioacuten plana describiendo tambieacuten el procedimiento
La extensioacuten del meacutetodo de elementos finitos a problemas en tres
dimensiones fue hecho por Martin en 1961 por Gallagher en 1962 y Melosh
en 1963 Estos autores desarrollaron en tres dimensiones una matriz
tetraedro riacutegido
Dada su generalidad el meacutetodo se amplioacute a otros campos no estructurales
como la conduccioacuten de calor mecaacutenica de fluidos etc donde compitioacute con
otros meacutetodos numeacutericos como el meacutetodo de diferencias fintas o el meacutetodo
de voluacutemenes finitos
24
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Con la llegada de los centros de caacutelculo y los primeros programas comerciales
en los antildeos 60 el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus
bases teoacutericas en los centros universitarios
En la deacutecada de los 70 en el antildeo 1971 aparece la famosa obra de OC
Zienkiewicz titulada The Finite Element Method (McGraw Hill 1971) Este
libro contiene una muy completa exposicioacuten del MEF donde las aplicaciones
van desde elasticidad lineal hasta problemas de campo con un tratamiento
exhaustivo y riguroso de la formulacioacuten matemaacutetica
Asiacute mismo el nuacutemero de congresos y reuniones internacionales para tratar los
desarrollos del MEF ha ido creciendo desde entonces contabilizaacutendose maacutes
de 20 conferencias internacionales por antildeo dedicadas al meacutetodo
Desde aquellos antildeos el meacutetodo de elementos finitos ha ido desarrollaacutendose
de manera logariacutetmica hasta la actualidad dando lugar a diversos software
comerciales de caacutelculo como son ANSYS ABAQUS COSMOS NASTRAN etc
33-Conceptos generales
En cualquier sistema que se vaya a analizar nos vamos a encontrar con un
dominio condiciones de contorno e incoacutegnitas
Dominio Es el espacio geomeacutetrico donde se va a analizar el sistema
Puede ser global (a todo el sistema) o local (estudio de una parte del
sistema)
Condiciones de contorno Conjunto de variables conocidas aplicadas
en el dominio que modifican el sistema Estas variables pueden ser
cargas desplazamientos temperatura etc
Incoacutegnitas Son aquellas variables que se desea conocer una vez que
se han aplicado las condiciones de contorno tensiones
deformaciones temperaturas etc
El problema se divide mediante puntos (caso lineal) liacuteneas (caso
bidimensional) o superficies (caso tridimensional) de tal manera que el
dominio total de estudio se aproxime mediante el conjunto de elementos en
que se subdivide
Los desplazamientos de los nudos son las incoacutegnitas baacutesicas del problema y
estos determinan uniacutevocamente la configuracioacuten deformada de la pieza Soacutelo
estos desplazamientos nodales se consideran independientes
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Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El desplazamiento de un punto cualquiera viene determinado por los
desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto
Para cada elemento existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos
que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento y a las
fuerzas exteriores sobre eacutel actuantes
Son diversas las fuentes de error en el anaacutelisis empleando MEF
Errores de modelizacioacuten En la modelizacioacuten de cargas exteriores
condiciones de contorno y propiedades de los materiales
Errores en la discretizacioacuten Se dividen en dos este tipo de errores
errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea y errores en la
discretizacioacuten
1 Errores en la aproximacioacuten de la geometriacutea Por falta de
capacidad de las funciones de forma geomeacutetricas de
representar con exactitud la geometriacutea real Este problema se
puede resolver aumentando el mallado o refinaacutendolo en las
zonas conflictivas
2 Errores en la discretizacioacuten Relacionados con el tamantildeo del
elemento y la funcioacuten de forma de los desplazamientos de los
nodos Como norma general se emplean elementos pequentildeos
en las zonas de variacioacuten raacutepida de la solucioacuten y elementos
grades en las zonas de variacioacuten lenta
Errores de computacioacuten Estaacute presente el error en la integracioacuten sobre
elementos dado que hay que tomar un grado de polinomio lo que se
acepta un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio) y el
error en la resolucioacuten del sistema de ecuaciones debido a errores de
truncamiento en la representacioacuten interna del ordenador de los
nuacutemeros reales y errores de redondeo
34-Tipos de elementos
En este apartado se explicaraacuten los elementos baacutesicos ya sean lineales
bidimensionales y tridimensionales Seguacuten el tipo de elasticidad para los que
esteacuten disentildeados se clasifican en
26
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
341-Elementos lineales
En el problema unidimensional el dominio continuo que se analiza se extiende
seguacuten una uacutenica dimensioacuten (eje x) El problema de elasticidad unidimensional
no es de gran aplicacioacuten praacutectica pero si estudio tiene intereacutes pues permite
obtener resultados muy precisos del MEF en problemas sencillo
Son elementos en los que las propiedades estaacuten definidas a lo largo de una
liacutenea Se aplican sobre todo en celosiacutea poacuterticos vigas rigidizadores etc Los
elementos maacutes caracteriacutesticos son el elemento Crod y el elemento cbar
--Elementos CROD
Es un elemento recto prismaacutetico con rigidez axial y rigidez a torsioacuten sobre el
eje del mismo Estaacute definido por dos puntos nodales G1 y G2 que representan
los extremos del elemento (fig32) Como propiedades a definir se
encuentran la seccioacuten transversal y la constante de torsioacuten J
Figura 32 Elemento Crod [httpwwwiberisacomsoportefemapcrodhtm]
- Elemento CBAR
Es un elemento prismaacutetico recto con rigidez axial a flexioacuten y a torsioacuten Estaacute
definido por dos puntos nodales A y B que representan los extremos del
elemento (fig33) La rigidez a flexioacuten y cortante transversal puede definirse
en 2 ejes perpendiculares al eje
Las propiedades deben ser constantes a lo largo de la longitud del elemento
27
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 33 Elemento CBAR [httpwwwiberisacomsoportefemapcbarhtm]
--Elemento CBEAM
Las propiedades de este elementos con como las del elemento CBAR
exceptuando que ademaacutes puede tener seccioacuten variable (fig34)
Figura 34 Elemento CBEAM [httpwwwiberisacomsoportefemapcbeamhtm]
28
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
342-Elementos bidimensionales
Estos elementos tambieacuten son llamados elementos placa (plate element) o
elementos laacutemina (Shell element) La diferencia fundamental entre ambas
estaacute en la curvatura Las placas son elementos cuya superficie media es
plana mientras que las laacuteminas son superficies curvadas como las cuacutepulas
las conchas o la superficie de los depoacutesitos Se utilizan para discretizar
modelos en los que una de las dimensiones es muy pequentildea en comparacioacuten
con las otras dos Algunos ejemplos de elementos bidimensionales son
-Elemento TRIA
Elemento triangular plano isoparameacutetrico de 3 nodos (fig35) Se utiliza en la
transicioacuten de malla Puede ser excesivamente riacutegido especialmente
trabajando con cargas de membrana
Figura 35 Elemento TRIA [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento CUAD4
Elemento cuadrilaacutetero plano isoparameacutetrico de 4 nodos que soporta
deformacioacuten plana (soacutelido plano) y cargas de flexioacuten cortantes (fig36) Se
comporta bien con mallas irregulares aunque se obtienen buenos resultados
con aacutengulos entre caras de hasta maacuteximo 45ordm
29
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 36 Elemento CUAD4[Biblioteca de elementos de NASTRAN]
--Elemento QUAD8
Elemento Shell curvado isoparameacutetrico paraboacutelico de alto orden con nodos
intermedios (8 nodos por elemento) (fig37) Es muy uacutetil para mallar
superficies de simple curvatura (cilindros) mientras que el QUAD4
proporciona mejores resultados con superficies de doble curvatura (esferas)
Figura 37 Elemento QUAD8 [Biblioteca de elementos de NASTRAN]
343-Elementos tridimensionales
Son tambieacuten los llamados elementos soacutelidos Las formas baacutesicas que
representan son hexaedros tetraedros y pentaedros
--Elemento HEXA
Elemento soacutelido hexaeacutedrico de 8 0 20 nodos (fig38) La precisioacuten se degrada
cuando el elemento estaacute afilado y deformado (skewed) o tiene mala relacioacuten
de aspecto (Aspect Ratio) En la mayoriacutea de los casos las prestaciones de los
elementos soacutelidos hexaeacutedricos es muy superior al resto de elementos 3D
30
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 38 Elemento HEXA de 8 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento TETRA
Elemento soacutelido tetraeacutedrico de 4 o 10 nodos y tres grados de libertad de
translacioacuten por nodo (los soacutelidos no tienen grado de libertad de rotacioacuten
(fig39) El elemento tetraedro de 10 nodos (alto orden) es el preferido frente
al de 4 nodos ya que el elemento de 4 nodos tiende a ser excesivamente
riacutegido El mallado con tetraedros se utiliza habitualmente para mallar soacutelidos
de geometriacutea compleja ya que los algoritmos de mallado soacutelido con tetraedros
son muy raacutepidos y eficientes
Figura 39 Elemento TETRA de 4 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
--Elemento PENTA
Elemento soacutelido prisma triangular de 6 o 15 nodos que se utiliza
normalmente como elemento de transicioacuten de soacutelidos a Shells o en aacutereas
donde se ha utilizado el triaacutengulo para mallar superficies (fig310)
31
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 310 Elemento PENTA de 6 nodos [Biblioteca de elementos de NSTRAM]
35-Ecuaciones generales
El campo de deformaciones en un punto cualquiera del dominio estaacute definido
por un ventor u que tiene tantas componentes como deformaciones existen
en el dominio Para el caso de un problema espacial es
(
)
Si se considera un elemento finito arbitrario el campo de deformaciones se
aproxima haciendo uso de la hipoacutetesis de interpolacioacuten como un promedio
ponderado de las deformaciones en cada uno de los n nudos del elemento
(eq32 eq33 y eq34) siendo los factores de interpolacioacuten las funciones de
interpolacioacuten o funciones de forma
sum
sum
sum
Esta interpolacioacuten puede ponerse en forma matricial (eq35)
Donde es el vector de todas las deformaciones nodales del elemento
(eq36)
32
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La matriz de funciones de interpolacioacuten o funciones de forma N tiene tres filas
y tantas columnas como grados de libertad haya entre todos los nudos del
elemento (eq37) La estructura de esta matriz siempre es del tipo
|
|
Las deformaciones unitarias en un punto cualquiera del elemento con la
suposicioacuten de pequentildeas deformaciones (eq38) son
Se puede poner en la forma matricial siguiente (eq39)
33
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El operador matricial part permite pasar de las deformaciones de un punto u a
las deformaciones unitarias ε Este operador tiene tantas filas como
deformaciones unitarias haya en el problema y tantas columnas como
componentes tenga el campo de desplazamientos u
Con ello obtenemos la siguiente relacioacuten (eq310)
En esta relacioacuten se identifica la matriz B (eq311)
Por lo que se cumple una relacioacuten entre ε y B (eq312)
Esta matriz B relaciona las deformaciones en los nudos del elemento con
las deformaciones unitarias en un punto interior cualquiera del elemento Por
tanto B representa el campo de deformaciones unitarias existente en el
interior del elemento finito
Dada la estructura de la matriz N la matriz B (eq313) se puede poner en la
forma
|
|
Cada una de las matrices Bi tiene la forma siguiente (eq314)
34
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
[
]
[
]
El estado de tensiones (eq315) en un punto cualquiera del dominio estaacute
definido por el tensor de tensiones en dicho punto cuya expresioacuten general es
Ademaacutes se conoce la ecuacioacuten constitutiva del material que forma el dominio
y que relaciona las tensiones con las deformaciones unitarias (eq316) Para
un material elaacutestico lineal esta ecuacioacuten constitutiva se puede poner de la
forma
Siendo
D la matriz elaacutestica que para un material elaacutestico lineal es constante y
depende del moacutedulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson
(eq317) Su valor es
[
]
Donde
35
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
ε0 es el vector de las deformaciones unitarias iniciales existentes en el
material en el punto considerado debidas normalmente a las
temperaturas aunque pueden incluirse en ellas las debidas a errores
de forma etc
σ0 son las tensiones iniciales presentes en el material de valor
conocido Estas tensiones pueden se debidas por ejemplo a tensiones
residuales tras un tratamiento teacutermico
Una vez establecidas las expresiones que relacionan los desplazamientos las
deformaciones unitarias y las tensiones en funcioacuten del desplazamiento de los
nudos se pueden obtener las ecuaciones de equilibrio de un elemento finito
Las fuerzas que actuacutean sobre un elemento finito cualquiera son las siguientes
(fig311)
Fuerzas exteriores de volumen aplicadas en el interior del elemento qv
que generalmente variacutean dentro de un mismo elemento y que tiene
tantas componentes como desplazamientos haya en cada punto
Fuerzas exteriores de superficie aplicadas en el contorno libre del
elemento qn que en general son variables a lo largo del contorno Al
contorno donde actuacutean estas fuerzas se le denomina s
Fuerzas interiores q0 aplicadas en la superficie del contorno de unioacuten
del elemento con los elementos vecinos que son desconocidas A
dicho contorno de unioacuten se le denomina c
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
36
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 311 Fuerzas sobre un elemento [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis estructural
Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 Paacuteg 19]
Aplicando PFV a estas fuerzas y utilizando las expresiones anteriores se llega
a la ecuacioacuten final de equilibrio (eq318) del elemento finito considerado
int
int
int int
int
Esta es la ecuacioacuten final de equilibrio del elemento finito considerado En ella
se diferencian los siguientes teacuterminos
Matriz de rigidez del elemento finito (eq319) Se trata de una matriz
cuadrada simeacutetrica y en general singular (no tendraacute inversa) de
tamantildeo igual al nuacutemero de grados de libertad del elemento
int
Vector de fuerzas nodales equivalentes debido a las fuerzas actuantes
por unidad de volumen (eq320) (fig312)
int
37
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 312 Fuerzas nodales equivalentes a las de volumen[ Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 22]
Vector de fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de
superficie (eq321) (fig313)
int
Figura 313 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores de superficie
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes producidas por las
deformaciones iniciales en el material (eq322) (fig314)
int
38
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elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 314 Fuerzas nodales equivalentes producidas por las deformaciones iniciales en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las tensiones
iniciales existentes en el material (eq323) (fig315)
int
Figura 315 Vector de fuerzas nodales debidas a las tensiones existentes en el material
[httpwww1ceitesasignaturasEstructuras2Ecuaciones20generalespdf]
Vector de fuerzas equivalentes a las fuerzas distribuidas aplicadas
sobre los contornos de unioacuten con elementos vecinos (fig316)
39
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 316 Fuerza de conexioacuten entre elementos [Meacutetodo de los Elementos finitos para Anaacutelisis
estructural Juan Tomaacutes Celigueta Lizarza TEcnun2008 paacutegina 21]
Fuerzas exteriores puntuales aplicadas sobre los nudos del elemento
e
Finalmente la ecuacioacuten de equilibrio del elemento (eq324) puede ponerse
en la forma compacta como
En esta ecuacioacuten son conocidos todos los teacuterminos de carga salvo el debido a
las fuerzas distribuidas interiores que se producen en el contorno de unioacuten
con los elementos vecinos
36-Generacioacuten de la malla
La red de elementos y nodos que ldquodiscretizanrdquo una regioacuten se conoce como
malla Cuantos maacutes elementos haya en una regioacuten dada mayor seraacute su
densidad Por lo general los resultados mejoran cuando la densidad de malla
se incremente en aacutereas de gradientes de esfuerzo alto yo cuando las zonas
de transicioacuten geomeacutetrica se enmallan de manera uniforme Generalmente
pero no siempre los resultados de MEF convergen hacia resultados exactos a
medida que el enmallado se refina continuamente Para valorar la mejora en
las regiones donde aparecen grandes gradientes de esfuerzo alto la
estructura puede volver a enmallarse con una densidad mayor Existen tres
formas baacutesicas para generar una malla de elementos manual
semiautomaacutetica o completamente automatizada
40
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Generacioacuten manual de mallas Este era el proceso por el cual se
creaban las mallas los primeros antildeos de existencia del MEF Es un
proceso lento y laborioso usado hoy en diacutea para problemas muy
simples
Generacioacuten semiautomaacutetica de malla A lo largo de los antildeos se han
desarrollado algoritmos computacionales que le permiten al
modelador enmallar de manera automaacutetica las regiones de la
estructura que se estaacute dividiendo mediante el empleo de algoritmos
bien definidos Puesto que el modelador tiene que definir estas
regiones la teacutecnica considerada es semiautomaacutetica
Generacioacuten completamente automatizada de mallas La mayor parte
de los distribuidores de software han concentrado sus esfuerzos en
desarrollar la generacioacuten completamente automaacutetica de mallas y en
algunos casos un refinamiento para mallas automaacuteticas
autoadaptable como es el caso de Autodesk Inventor El objetivo obvio
es reducir de manera significativa el tiempo de preprocesamiento del
modelador asiacute como del esfuerzo para llegar a una malla de elementos
finitos bien construida
361-Comprobaciones
Cuando el empleo de la malla es manual o semiautomaacutetico existen una serie
de comprobaciones que permiten saber si la malla se ha realizado de forma
correcta
Aspect Ratio Solo utilizable para elementos triangulares y
cuadrilaacuteteros La relacioacuten largoancho o ldquoAspect ratiordquo debe ser lo maacutes
cercana a 1 (fig317) Se permiten ratios de hasta 5 pero siempre que
sea posible se mantendraacute por debajo de 3
Figura 317 Aspect ratio [httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
41
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Warpage Permite controlar que los nodos de los elementos
bidimensionales estaacuten formando un plano Para elementos
bidimensionales se calcula cortando los elementos cuadrilaacuteteros en
dos triaacutengulos y encontrando el aacutengulo entre las normales de los
planos formados (fig318) Por criterio se establece un liacutemite de 50
Figura 318 Warpage
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite
2520Element2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Skew Se comprueba el aacutengulo formado por cada conjunto de lados
consecutivos del elemento (fig319) Para elementos triangulares
este aacutengulo interior debe estar comprendido entre 300 y 1200 y para
los elementos cuadrilaacuteteros entre 450 y 1350
Figura319 Aacutengulo de skew
[httpwwwmscsoftwarecomtraining_videospatranReverb_helpindexhtmlpageFinite2520Ele
ment2520Modelingverify_forms124htmlww1092]
Distorsioacuten de los elementos Se mide mediante un valor (iacutendice
jacobiano) que indica la desviacioacuten del elemento respecto al ideal
(fig320 y fig321) Modelos con un iacutendice jacobiano menor de 04
42
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
daraacute resultados poco precisos y aumentando el tiempo de caacutelculo
considerablemente incluso llegado a no poder calcular
Figura 320 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=1
Figura 321 Pieza con un iacutendice jacobiano de J=08
Elementos duplicados Es posible que haya dos elementos iguales en
la misma posicioacuten es preciso eliminar uno de ellos
Como tabla resumen (tabla 31) existe un rango de calidad para los
elementos finitos
43
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elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Distorsioacuten Warpage Aacutengulo
Interior
Cuadrilaacuteteros 06 50 135-450
Triaacutengulos 035 --- 90-300
Hexaedros 05 50 135-450
Pentaedros 035 --- 90-300
Tetraedros 01 --- 90-300
Tabla 31 Tabla resumen de comprobaciones de malla
362-Recomendaciones a seguir
A la hora de crear una malla es conveniente seguir las siguientes
recomendaciones
Siempre que sea posible usar un mallado uniforme (igual separacioacuten
entre nodos) En regiones de transicioacuten de alta a baja densidad de
malla no cambiar las dimensiones de los elementos adyacentes por
un factor mayor de 2 Si fuera necesario hacer la transicioacuten sobre una
serie de elementos para mantener este factor (fig322)
Figura 322Regioacuten de transicioacuten de un mallado de elementos finitos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Siempre que sea posible mallar con cuadrilaacuteteros en vez de elementos
triangulares Es recomendable usar elementos triangulares solo para
transiciones de malla o por exigencias geomeacutetricas (fig323)
44
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 323 Mallado con cuadrilaacuteteros en vez de elementos triangulares
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Los elementos triangulares y los cuadrilaacuteteros no deben presentar
aacutengulos extremadamente agudos u obtusos (fig324) No se permiten
desviaciones superiores a 30ordm del aacutengulo oacuteptimo equilaacutetero en
elementos triangulares y del aacutengulo recto en cuadrilaacuteteros
Figura 324 Desviaciones maacuteximas de aacutengulos en cuadrilaacuteteros y triaacutengulos
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
Las superficies curvadas pueden mallarse con elementos planos pero
el aacutengulo barrido no debe ser mayor de 15ordm y los nodos del elemento
deben estar en el mismo plano (fig325)
Figura 325 Aacutengulo de barrido maacuteximo
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
45
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Los elementos no deben abarcar zonas de cambios de espesor o con
discontinuidades geomeacutetricas lo que causariacutea errores numeacutericos y
resultados inexactos En estos casos es recomendable antildeadir nodos
adicionales y usar elementos de menor tamantildeo (fig326)
Figura 326 Zonas de cambio de espesor
[httpwwwiberisacomsoportefemapreglas_malladohtm]
En general un anaacutelisis de tensiones requiere una malla maacutes densa que
un anaacutelisis de desplazamientos En el caso de este proyecto el
programa calcularaacute tanto un anaacutelisis de tensiones como de
deformaciones puesto que el caacutelculo computacional no va a ser
elevado al tratarse de piezas sencillas y de geometriacutea bien definida
37-Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno son conocidas pero es muy importante saber
coacutemo implementarlas en elementos finitos
Las cargas son fuerzas aplicadas a una pieza o un ensamblaje durante la
operacioacuten Estas cargas provocan tensiones deformaciones y
desplazamientos de los componentes
Los tipos de cargas disponibles en Autodesk Inventor son Fuerza [N] Presioacuten
[MPa] carga de rodamientos [N] carga de momento [N˙mm] y fuerza remota
[N] (fig327)
46
Capiacutetulo 3 Meacutetodo de los
elementos finitos
Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 327 Aplicacioacuten de cargas de Autodesk Inventor
Tambieacuten es posible antildeadir cargas de la pieza las cuales actuacutean sobre toda la
masa o volumen de un componente En las piezas a utilizar para el caacutelculo del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones Kt no se van a utilizar este tipo
de cargas Las maacutes comunes son fuerza gravitatoria y cargas de la pieza que
se crean mediante aplicacioacuten lineal como aceleracioacuten lineal y velocidad y
aceleracioacuten angulares
En cuanto a las restricciones de movimiento hay restriccioacuten fija de pasador y
restriccioacuten sin friccioacuten
Restriccioacuten fija Se aplica a una cara arista o veacutertice de la pieza Esta
restriccioacuten permite establecer un desplazamiento igual a cero o
distinto de cero en direccioacuten x y z Por ejemplo si el componente estaacute
fijo o soldado normalmente se fijan tres direcciones
Restriccioacuten de pasador Se aplica en las caras ciliacutendricas Esta
restriccioacuten impide que las caras ciliacutendricas se desplacen o se
deformen en combinaciones de direcciones radiales axiales o
tangenciales
Restriccioacuten sin friccioacuten Se aplica sobre una superficie plana o
ciliacutendrica de la pieza Esta restriccioacuten impide que la superficie se
desplace o se deforme en la direccioacuten normal con respecto a la
superficie
47
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 4 Disentildeo de elementos
f sometidos a fatiga
48
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
49
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
El factor de concentracioacuten del esfuerzo en fatiga Kf debe utilizarse cuando se
disentildee un elemento para evitar la falla La cantidad por la que se debilita un
elemento por la presencia de una concentracioacuten de esfuerzos al considerar
tanto el material como agudeza de la muesca se define como Kf = ldquofactor de
reduccioacuten de resistencia a la fatigardquo
El factor resultante se define mediante la siguiente ecuacioacuten (eq41)
Este factor se podriacutea determinar en una prueba real Sin embargo en el caso
tiacutepico se determina al combinar el factor de concentracioacuten de tensiones Kf
definido en la seccioacuten anterior y el factor del material llamado sensibilidad a
la muesca ldquoqrdquo (eq42) Se define
o
(42)
donde q se encuentra normalmente ente 0 y la unidad y en consecuencia Kf
variacutea de 1 a Kt
Analizando la ecuacioacuten vemos que si q=0 Kf=1 y la pieza no tiene ninguna
sensibilidad a la muesca sin embargo si q=1 entonces Kf=Kt y la pieza tiene
total sensibilidad a la muesca puesto que el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones no depende del material
Como es difiacutecil obtener valores fiables de q lo maacutes seguro es tomar Kf=Kt
siendo q=1
Cuando se conoce q se puede calcular Kf mediante una de las ecuaciones
siguientes (eq43)
Kf = 1 + q (Kt - 1) o Kfs = 1 + q (Kts ndash 1) (43)
En el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a flexioacuten
inversa y cargas axiales inversas se puede usar la tabla siguiente (fig41)
para obtener el valor de q
50
Capiacutetulo 4 Disentildeo de
elementos sometidos a fatiga Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 41 Sensibilidad a la muesca en el caso de aceros y aleaciones de aluminio forjado sometidas a
flexioacuten inversa de cargas axiales inversas [Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G
Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 287 Figura 6-20]
Para materiales sometidos a torsioacuten inversa se puede usar la tabla mostrada
en la figura 42
Figura 42 Sensibilidad a la muesca de materiales sometidos a torsioacuten inversa [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd McGrawHillpaacuteg 288
Figura 6-21]
51
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
s simulacioacuten Autodesk Inventor
Iacutendice paacutegina
51-Fujo de trabajo 53
511- Pre-proceso 53
511- Solucioacuten 53
511- Pos-proceso 54
52- Autodesk Inventor 54
53-Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos 56
52
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
51-Flujo de trabajo
Una simulacioacuten depende de que la informacioacuten inicial sea precisa Si las
condiciones de contorno son malas el resultado nunca seraacute bueno Es
importante modelar con precisioacuten y especificar las condiciones fiacutesicas reales
(restricciones de movimiento materiales cargas etc)
Las tres fases principales para crear una simulacioacuten por elementos Finitos
son las siguientes (fig51)
Figura 51 Flujo de trabajo para la simulacioacuten mediante Elementos Finitos
511- Pre-proceso
El propoacutesito principal del pre-proceso es generar el modelo de elementos
finitos el cual consiste principalmente de nodos elementos y las propiedades
del material
Usualmente se inicia con la definicioacuten de la geometriacutea del modelo
El modelo soacutelido es una representacioacuten matemaacutetica de herramientas CAD que
define la geometriacutea del modelo Puede consistir de soacutelidos o superficies
dependiendo del anaacutelisis que se lleve a cabo El caso de este proyecto es un
anaacutelisis estaacutetico de tensioacuten por lo que las piezas son soacutelidas y en tres
dimensiones
512- Solucioacuten
En el paso de solucionar se deja que el solucionador calcule la solucioacuten de
elementos finitos
Es siempre recomendable revisar los datos del anaacutelisis antes de llevar a cabo
la solucioacuten
Pre-Proceso
Solucioacuten
Pos-proceso
54
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Propiedades del material Moacutedulo de Young densidad si es un anaacutelisis
inercial
Densidad de la malla especialmente en zonas de concentracioacuten de
esfuerzos
Valores de carga y direcciones
Restricciones de movimiento
Tipo de Elemento
513- Pos-proceso
El pos-proceso es el paso final en el proceso de anaacutelisis por elementos finitos
Es imprescindible que se interpreten los resultados de acuerdo a las
consideraciones tenidas en cuenta en la generacioacuten del modelo y en la
solucioacuten
En algunos casos hay que tomar decisiones de disentildeo basados en los
resultados por lo que es una buena idea no solo revisar los resultados si no
tambieacuten validar la solucioacuten
52- Autodesk Inventor
Autodesk Inventor es un paquete de modelado parameacutetrico de soacutelidos en 3D
producido por la empresa de software Autodesk Entroacute en el mercado en el
antildeo 1999 como respuesta a la creciente migracioacuten de su base de clientes de
disentildeo mecaacutenico en dos dimensiones hacia la competencia
Autodesk Inventor permite de manera sencilla modelar una pieza en 3D
(fig52)
55
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten y
simulacioacuten Autodesk Inventor Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 52 Autodesk Inventor
Crear un anaacutelisis de tensioacuten tampoco supone ninguacuten problema y de forma
raacutepida y precisa es posible obtener un anaacutelisis de tensioacuten (fig53) Un
programa de Elementos Finitos siempre da una solucioacuten pero es trabajo del
modelador el validar o no la simulacioacuten
Figura 53 Anaacutelisis de tensioacuten
56
Capiacutetulo 5 Software de modelizacioacuten
y simulacioacuten Autodesk Inventor Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
53- Queacute debe analizarse antes de un caacutelculo por elementos finitos
Cada vez que se use el meacutetodo de elementos finitos para resolver cualquier
problema conviene reflexionar sobre algunos aspectos
Objetivo del anaacutelisis Estudiar queacute es lo que se pretende conseguir en
el anaacutelisis (determinar tensiones temperaturas evolucioacuten del sistema
frecuencias etc) Este estudio determina el tipo de anaacutelisis a realizar
Geometriacutea a analizar Es conveniente simplificar al maacuteximo la
geometriacutea de la pieza ya que la mayoriacutea de los detalles son
insignificantes y lo uacutenico que conllevan es un consumo excesivo de
tiempo de caacutelculo y espacio de almacenamiento Para lograr este
objetivo se deben buscar simetriacuteas antisimetriacuteas axisimetriacuteas
problemas de tensioacuten o deformacioacuten plana etc Una vez que se ha
estudiado la geometriacutea se podraacute decidir el tipo o tipos de elementos a
utilizar caracteriacutesticas de los mismos asiacute como las propiedades de los
materiales a utilizar
Condiciones de contorno Las condiciones de contorno son conocidas
pero se debe estudiar si son o no influyentes en el tipo de anaacutelisis que
se va a realizar Una vez decididas las condiciones de contorno se ha
de estudiar la forma de aplicarlas si representan las condiciones
reales del problema si existe equilibrio (en anaacutelisis estaacuteticos) etc La
imposicioacuten de condiciones de contorno adecuadas una de las
decisiones maacutes complejas a la hora de realizar un anaacutelisis por
elementos finitos Ademaacutes se debe tener extremo cuidado cuando se
aplican cargas puntuales en los nodos puesto que estas cargas
produciriacutean picos de tensioacuten y los resultados estariacutean ldquofalseadosrdquo
Resultados Para saber si un anaacutelisis es correcto o si se ajusta a la
realidad hay que tener unas nociones baacutesicas de coacutemo se va a
comportar o coacutemo va a responder el sistema ante las condiciones de
contorno impuestas Por ejemplo si se va estudiar una viga sometida
a flexioacuten y como resultado se obtiene una viga que se contrae se
debe pensar que el problema no se ha realizado correctamente ya sea
por el modelado del cuerpo el mallado la aplicacioacuten de las cargas
etc
Una vez estudiados estos cuatro puntos se posible empezar a realizar un
anaacutelisis por Elementos Finitos
57
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis del factor teoacuterico de
s concentracioacuten de tensiones
s mediante MEF
Iacutendice paacutegina
61- Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
simple 61
611-Definicioacuten 61
612-Geometriacutea 62
613-Modelizacioacuten 63
614-Simulacioacuten 70
615-Resultados 74
616-Conclusiones 76
62-Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten 79
621-Definicioacuten 79
622-Geometriacutea 80
623-Modelizacioacuten 81
624-Simulacioacuten 84
625-Resultados 88
626-Conclusiones 90
58
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
63-Barra circular con entallas circunferenciales sometida a traccioacuten 92
631- Definicioacuten 92
632-Geometriacutea 93
633-Modelizacioacuten 95
634-Simulacioacuten 98
635-Resultados 102
636-Conclusiones 103
64-Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten 107
641-Definicioacuten 107
642-Geometriacutea 108
643-Modelizacioacuten 109
644-Simulacioacuten 112
645-Resultados 115
646-Conclusiones 117
65-Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten 121
651-Definicioacuten 121
652-Geometriacutea 122
653-Modelizacioacuten 123
654-Simulacioacuten 126
655-Resultados 132
656-Conclusiones 134
66-Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten 138
661-Definicioacuten 138
662-Geometriacutea 139
663-Modelizacioacuten 141
664-Simulacioacuten 144
59
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
665-Resultados 147
666-Conclusiones 149
67- Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten 152
671-Definicioacuten 152
672-Geometriacutea 153
673-Modelizacioacuten 154
674-Simulacioacuten 159
675-Resultados 162
676-Conclusiones 163
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten 167
681-Definicioacuten 167
682-Geometriacutea 168
683-Modelizacioacuten 171
684-Simulacioacuten 176
685-Resultados 179
686-Conclusiones 180
60
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
61
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
61-Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple
611-Definicioacuten
Se trata de una placa rectangular con cambio de seccioacuten mediante el
redondeo de un empalme de radio r
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq61)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 61
62
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 61 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten simple [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edcioacutenEd
McGrawHillTabla A-15 Apeacutendice A]
612-Geometriacutea
Como se ha dicho anteriormente se utilizaraacute Autodesk Inventor para la
modelizacioacuten de la pieza En primer lugar se realiza un croquis en 2D con la
forma requerida (fig62) a continuacioacuten se extruye el boceto con un espesor
de 10mm (fig63) fijaacutendose de esta manera el espesor de la pieza
Figura 62 Boceto 2D de una barra rectangular
63
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 63 Extrusioacuten a partir del boceto 2D de una barra rectangular
613-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros que se deben tener en cuenta son los siguientes D d r y F
Figura 64 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
En la figura del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones correspondiente
en este caso nos aparecen dos fuerzas del mismo moacutedulo y direccioacuten pero
de sentido opuesto La implementacioacuten en Autodesk Inventor se haraacute
mediante la fijacioacuten de la seccioacuten transversal de mayor aacuterea debido a que el
programa nos pide la sujecioacuten o apoyo de alguno de sus puntos Se aplicaraacute
una fuerza de valor F en la cara opuesta A causa de la ley de accioacuten y
reaccioacuten el programa generaraacute una fuerza (reaccioacuten) en la cara que hemos
fijado (fig64)
64
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto al material el programa nos ofrece por defecto una pequentildea
biblioteca con varios materiales con sus correspondientes caracteriacutesticas ya
implementadas Entre ellos se encuentran distintos tipos de acero aluminio
bronce cobre hierro latoacuten resinas vidrio y distintos tipos de plaacutesticos
Ademaacutes es posible antildeadir materiales que no se encuentren en la tabla
El material a utilizar en este proyecto seraacute un acero estructural metaacutelico con
un acabado laminado Este material se utilizaraacute en las sucesivas simulaciones
de todas las piezas que se haraacuten en este proyecto Las propiedades del
material se muestran en la tabla siguiente (fig65)
Figura 65 Caracteriacutesticas del acero estructural metaacutelico con acabado laminado
65
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez seleccionado el material y comprobado que las caracteriacutesticas del
material se ajustan a las exigencias podemos iniciar el anaacutelisis de tensioacuten
haciendo click en entornos y a continuacioacuten pinchando en anaacutelisis de tensioacuten
(fig66)
Iniciado el anaacutelisis se debe crear una simulacioacuten donde podremos
especificar los datos de partida
Figura 66 Inicio de anaacutelisis de tensioacuten
Llegados a este punto se deberaacuten seguir dos pasos el primero es antildeadir las
cargas y restricciones de movilidad y el segundo es generar la malla
Las restricciones son totalmente necesarias Autodesk inventor da por
supuesto que el modelo estaacute bien restringido es decir que no puede haber
caiacutedas libres ni movimientos de cuerpos riacutegidos Cualquier cuerpo riacutegido sin
restricciones tiene tres modos de cuerpo riacutegido de translacioacuten (eje x eje y eje
z) y tres modos de cuerpo riacutegido de rotacioacuten (alrededor de cada uno de los
ejes) Mediante la aplicacioacuten de distintos tipos de contactos y restricciones
se pueden eliminar los seis modos de cuerpo riacutegido
66
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como se mostraba en la figura 64 se fijaraacute la cara de mayor anchura (fig67)
con una restriccioacuten fija es decir el desplazamiento en el eje x en el eje y en
el eje z son nulos asiacute como los giros De esta manera se modeliza un
empotramiento
Figura 67 Restriccioacuten de movilidad nula
Para implementar la fuerza simplemente se antildeadiraacute una carga en la direccioacuten
del eje x en la cara opuesta al plano de la pieza que acabamos de restringir
(fig 68)
67
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 68 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F sobre una de las caras
La fuerza empleada F es de 10000 N Como teniacuteamos un espesor t
(t=10mm) y un ancho d (d=60mm) la tensioacuten nominal obtenida es
En cuanto a la malla el programa nos ofrece una solucioacuten por defecto que es
la mostrada en la figura 69
68
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 69 Malla generada con una configuracioacuten por defecto
Esta malla es muy simple y con pocos elementos Lo que nuestra pieza
necesita es que la densidad de la malla sea algo mayor sobre todo en las
zonas conflictivas que son aquellas en las que cambia bruscamente la
seccioacuten El programa nos ofrece una opcioacuten de configuracioacuten de la malla
(fig610) la cual nos permite modificar ciertos paraacutemetros como el tamantildeo
medio del elemento el tamantildeo miacutenimo el aacutengulo maacuteximo de giro y el factor
de modificacioacuten Este uacuteltimo paraacutemetro establece una relacioacuten maacutexima entre
un elemento y su colindante para evitar grandes saltos de tamantildeo de
elementos y asiacute suavizar la distribucioacuten de esfuerzos
Figura 610 Configuracioacuten de malla
Esta opcioacuten de configuracioacuten de malla es general a toda la pieza y es
recomendable usarla cuando te interesan los esfuerzos y desplazamientos
69
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
en cada punto En el caso de la placa rectangular se estaacute estudiando el
aumento de la tensioacuten en ciertas zonas debido a una concentracioacuten de las
mismas Es sabido que esta tensioacuten seraacute maacutexima en las zonas de cambio
brusco de seccioacuten y es en esta zona donde se haraacute un refinamiento de la
malla (aumento de la densidad de malla en una zona local) Ampliando las
entallas transversales (fig611) se observa que tan solo tiene 4 elementos y
estos datos podriacutean diferir notablemente de la realidad al concentrar todos
los esfuerzos en 4 elementos
Figura 611 Entallas transversales
Para este refinamiento se utilizaraacute otra opcioacuten que nos ofrece Autodesk
control de malla local (fig612) donde directamente pediraacute el tamantildeo
deseado del elemento en mm
Figura 612 Control de malla local
El tamantildeo de los elementos seraacute de 1mm por tanto como el espesor es de
10 mm habraacute 10 elementos por cada miliacutemetro (fig613)
70
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 613 Refinamiento local de la malla
614-Simulacioacuten
Una vez establecidas las condiciones de contorno se procederaacute con la
simulacioacuten El tiempo que tarda en simular es directamente proporcional al
nuacutemero de elementos Cuantos maacutes elementos haya mayor seraacute el tiempo
que tarde el programa en simular pero mayor seraacute la precisioacuten
Una manera sencilla de disminuir el tiempo de simulacioacuten es refinar la malla
localmente como es el caso de esta pieza De esta manera consigues mayor
precisioacuten en la zona de observacioacuten a cambio de un pequentildeo coste
computacional
Los resultados que ofrece la simulacioacuten en Autodesk Inventor son muy
amplios Para el anaacutelisis de tensioacuten estaacutetica se puede ver
Los resultados de la deformacioacuten que incluyen el tensor de
deformacioacuten y las deformaciones Principal y Equivalente
Presioacuten de contacto
Desplazamiento
Tensioacuten
Coeficiente de seguridad
El estado de tensioacuten se calcula para una pieza Seguacuten la teoriacutea de la
elasticidad el estado de tensioacuten tridimensional de un volumen de material
infinitesimal situado en una ubicacioacuten arbitraria contiene tensiones normales
y tensiones de corte
71
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Tres tensiones normales tensioacuten XX tensioacuten YY y tensioacuten ZZ y tres tensiones
de corte Tensioacuten XY Tensioacuten YZ y Tensioacuten XZ definen el estado de tensioacuten
Las tensiones normales de traccioacuten son positivas y las de compresioacuten
negativas
La ecuacioacuten que usa Autodesk en cuanto al estado de tensiones es la
ecuacioacuten de Von Mises (eq62)
radic
( )
Esta ecuacioacuten depende de las tres tensiones normales y las tres tangenciales
Haciendo simular al programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig614
fig615 fig616)
Figura 614 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=6mm rd=01
72
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 615 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=15 r=12mm rd=02
Figura 616 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd
=11 r=9mm rd=015
73
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Las figuras anteriores son algunos ejemplos de la simulacioacuten con distintos
tamantildeos y relaciones de rd Se puede ver en la parte izquierda una escala de
tensiones dada en MPa que ofrece desde la tensioacuten miacutenima a la tensioacuten
maacutexima Esta uacuteltima tensioacuten seraacute la que se corresponda con σmaacutex y la que se
usaraacute para el caacutelculo de Kt
Antes de ofrecer los resultados se deber pensar si las graacuteficas obtenidas se
corresponden con la realidad Analizando detalladamente la figura 615 con
unas relaciones Wd= 15 r=12mm y rd=02 es posible observar la zona de
maacutexima tensioacuten En este caso se puede ver a simple vista pero de todas
formas el programa nos ofrece una opcioacuten que nos indica el lugar y valor
maacuteximo de la tensioacuten de Von Mises (fig617)
Figura 617 Detalle de la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con entallas trasnversales
sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
En cuanto a la deformacioacuten provocada por el esfuerzo mostrada en la figura
618 (deformacioacuten exagerada) es faacutecil suponer que las fibras de la entalla la
cual suaviza el cambio de seccioacuten se estiran maacutes que el resto de la pieza y es
por tanto la zona de maacutexima tensioacuten
74
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 618 Detalle del desplazamiento en la zona de tensioacuten maacutexima en una barra rectangular con
entallas trasnversales sometida a traccioacuten simple Relacioacuten Wd =15 r=12mm rd=02
615-Resultados
Para este caso se han realizado 15 simulaciones En todas ellas se ha
mantenido el paraacutemetro constante con un valor de 60 mm
Para obtener las distintas relaciones de Dd=15 Dd=11 y Dd=105 se ha
fijado el valor de D en 90 66 y 63 mm respectivamente
En cuanto al radio de la entalla variacutea entre 3 y 15 mm obteniendo asiacute
relaciones de rd situadas entre 005 y 025
Para unir los distintos puntos se han utilizado curvas de regresioacuten donde se
indica la confianza de esta curva mediante el paraacutemetro R2 (eq63)
sum
Los resultados incluyen un apartado donde se indica el error relativo con
respecto del valor real tomada de las tablas del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones
75
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para el caacutelculo del error (eq64) se ha utilizado la siguiente foacutermula
[ ] | |
Los resultados se muestran en las tablas 61 62 y 63
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4762 1667 2857 267 7011
6 01 3797 1667 2278 218 4505
9 015 3362 1667 2017 187 7872
12 02 3099 1667 1859 177 5051
15 025 2919 1667 1751 168 4250
Tabla 61 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3312 1667 1987 198 0364
6 01 2865 1667 1719 165 418
9 015 2633 1667 1579 15 532
12 02 249 1667 1494 144 375
15 025 24 1667 144 141 212
Tabla 62 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=66mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2823 1667 1693 173 2092
6 01 2532 1667 1519 1635 7082
9 015 2373 1667 142 15 5079
12 02 2276 1667 1365 137 0320
15 025 2207 1667 1324 13 1861
Tabla 63 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
76
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig 619 la cual muestra el valor de Kt para
las distintas relaciones de D d y r
Figura 619 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a un esfuerzo axil
El valor de R2 en todas las curvas de la fig619 ha sido de 1
616-Conclusiones
Vistos los resultados estaacute claro que se produce una concentracioacuten de
esfuerzos en el cambio de seccioacuten Mediante la herramienta de Autodesk
Inventor se ha podido obtener las tensiones maacuteximas pero hay que
comprobar que la tensioacuten σ0 se aproxima al esfuerzo que soporta la seccioacuten
maacutes pequentildea de la pieza (fig620)
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a un efuerzo axil
Dd=15
Dd=105
Dd=11
77
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 620 Tensioacuten σ0 de referencia para una pieza rectangular con entallas transversales sometida a
tensioacuten
Las sondas que se han puesto sobre la seccioacuten de referencia nos muestran
que la tensioacuten que soporta la pieza en esa zona es de aproximadamente
1667 MPa un valor ideacutentico al ofrecido por las tablas de Shigley calculado
en la paacutegina 67 (1667 MPa)
Una vez que la referencia es ideacutentica se pueden comparar los datos
obtenidos experimentalmente con los teoacutericos
El error maacuteximo relativo que se ofrece en las 15 simulaciones es de 787 o
lo que es lo mismo un error absoluto de 014 (201-187=014) El resto de
valores tiene un error inferior habiendo algunos cuyo valor obtenido es
ideacutentico al teoacuterico
El error maacuteximo que se tiene es debido a que ambas graacuteficas son
experimentales y es posible que en alguna de las simulaciones los valores
difieran unos de otros Ademaacutes con una densidad de malla mayor el valor de
la tensioacuten maacutexima podiacutea cambiar pero en este caso cambiariacutea poco puesto
que es una pieza sencilla y bien mallada incialmente
En cuanto a la graacutefica en siacute se observa perfectamente que presenta menor
tensioacuten un disentildeo de pieza con un cambio de seccioacuten suave y radios de
78
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
curvatura grandes que un cambio de seccioacuten brusco y radios de curvatura
pequentildeos
Cuanto menor es el radio r mayor va a ser la concentracioacuten de las tensiones
debido al efecto de triaxialidad estando su punto aacutelgido en un cambio de
seccioacuten totalmente sin radios de acuerdo
Ademaacutes tambieacuten se aprecia que cuanto mayor es la relacioacuten de anchos Dd
mayores esfuerzos tendremos en los cambios de seccioacuten
Por tanto en el disentildeo de maacutequinas se deberaacute tener en cuenta este factor
tan importante de la concentracioacuten de tensiones Una solucioacuten alternativa
cuando se van a unir piezas por soldadura es crear un espesor de garganta lo
mayor posible cuyo efecto seriacutea el de radio de acuerdo en un cambio de
seccioacuten
79
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
62-Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
621-Definicioacuten
Se trata de un ejemplo igual al del apartado 71 variando en que la barra
rectangular estaacute sometida a flexioacuten y no a traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo del valor teoacuterico Kt la tensioacuten
σ0 (eq65)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
t espesor de la pieza [mm]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 621
80
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 621 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
622- Geometriacutea
La geometriacutea de esta pieza es la misma que la explicada para simular el
apartado 61 El espesor de la pieza sigue siendo igual de 10 mm La uacutenica
variacioacuten es el cambio del valor de la distancia D cuyos nuevos valores se
detallan maacutes adelante
La geometriacutea final es la expuesta en la fig622
81
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 622 Geometriacutea de una barra rectangular de espesor t=10mm
623-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
Al ser el mismo caso que el anterior tambieacuten se fijaraacute una de las caras
laterales y se aplicaraacute un momento de valor M en la cara apuesta a la
sujecioacuten (fig623)
Figura 623 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk
El material como ya se explicoacute anteriormente seraacute para todas las
simulaciones el mismo un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
82
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez visto coacutemo se va a solucionar la pieza se inicia el anaacutelisis de tensioacuten
donde primeramente se deben aplicar las restricciones de movimiento y las
cargas
Para la restriccioacuten de movimiento al igual que el apartado 71 se fijaraacute una
de las caras (fig624)
Figura 624 Restriccioacuten de movilidad nula
La carga aplicada es un momento generado alrededor del eje z de valor
100000 Nmm en la cara opuesta a la restriccioacuten fija Para la aplicacioacuten del
momento se deberaacute hacer click en carga de momento donde apareceraacute un
editor de momento (fig625) En eacutel es posible especificar en una de las caras
las componentes de dicho momento
Tal y como se ha dibujado la pieza el momento que se debe simular es
alrededor del eje z El valor positivo o negativo nos indica el sentido del
momento
83
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 625 Editor de momentos
Al ser el momento M=100000 Nmm el espesor t=10mm y d=60mm la
tensioacuten nominal seraacute de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 01000
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes tambieacuten se efectuacutea un refinamiento local de la malla en las zonas de
cambio brusco de la seccioacuten que es donde se espera que el esfuerzo sea
maacuteximo Este refinamiento es de 1mm
Teniendo en cuenta estos datos el mallado de la pieza se muestra en la
fig626
84
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 626 Configuracioacuten de la malla para una pieza rectangular sometida a flexioacuten
624-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig627
fig628 y fig629)
85
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 627 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =13
r=6mm rd=01
Figura 628 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =3 r=12mm
rd=02
86
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 629 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten Relacioacuten Dd =105
r=3mm rd=005
La tensioacuten maacutexima se encuentra en el cambio brusco de seccioacuten donde
efectivamente se deberiacutea encontrar Si ampliamos esta zona y se marca el
botoacuten de maacutexima tensioacuten para el caso de Dd=11 y r=6mm se diferencia
claramente un degradado de los esfuerzos hasta llegar a un valor maacuteximo de
2782 MPa (fig630)
En cuanto a la deformacioacuten al existir un momento la pieza deberiacutea
ldquodoblarserdquo alrededor del eje que gira el momento es decir alrededor del eje
z Si vemos la deformada (fig631) y se exagera este fenoacutemeno es faacutecilmente
apreciable Una de las caras estaacute fija y la otra gira alrededor del eje z
87
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 630 Maacutexima tensioacuten en una barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
Figura 631 Deformada de una barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
Relaciones Dd=11 r=6mm rd=01
88
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
625-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 13 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 64 65 66 y 67
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4249 1667 254 28 896
6 01 3232 1667 193 198 208
9 015 2846 1667 170 17 042
12 02 2625 1667 157 157 029
15 025 247 1667 148 15 121
Tabla 64 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
D=78 mm d=60mm Dd=13
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3768 1667 226 225 045
6 01 3016 1667 180 18 051
9 015 268 1667 160 161 014
12 02 2401 1667 144 147 201
15 025 2356 1667 141 14 095
Tabla 65 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=13
D=68 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3273 1667 196 2 182
6 01 2782 1667 166 18 728
9 015 2537 1667 152 16 488
12 02 2397 1667 143 148 284
15 025 2303 1667 138 138 011
Tabla 66 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
89
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2803 1667 1681 185 9110
6 01 2432 1667 1458 16 8818
9 015 2282 1667 1368 15 8738
12 02 2195 1667 1316 14 5947
15 025 2127 1667 1275 136 6180
Tabla 67 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con entallas transversales sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la figura 632 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 632 Barra rectangular con entallas trasnversales sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 68)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 0993
Dd=13 09915
Dd=11 09978
Dd=105 09925
Tabla 68 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra rectangular con entallas transversales sometida a flexioacuten
Dd=13
Dd=3
Dd=11
Dd=105
90
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
626-Conclusiones
Para saber si los resultados son o no son buenos se debe comprobar
primeramente si la tensioacuten que se ha fijado como referencia es decir la
tensioacuten nominal coincide con la proporcionada por Autodesk Inventor Para
ello es preciso marcar una sonda en la parte maacutes alejada de la zona de menor
anchura y este valor deberaacute coincidir con el valor de σ0 que ya se ha
calculado cuyo resultado dio 1667 MPa (fig633)
Figura 633 Comprobacioacuten de la tensioacuten nominal para una barra rectangular con entallas transversales
sometida a flexioacuten
El valor que nos ofrece el programa es igual al teoacuterico por tanto la referencia
del valor de Kt estaacute bien calculada y se pueden validar las simulaciones
Ademaacutes como curiosidad se puede comprobar la tensioacuten en la zona maacutes
ancha de la pieza utilizando la misma ecuacioacuten que para σ0 cambiando en
este caso el valor de d por el valor de D El valor obtenido seraacute vaacutelido para
toda seccioacuten que no esteacute perturbada por el cambio de seccioacuten que en cuyo
caso la tensioacuten seriacutea menor que la obtenida Para un valor de D=78mm la
tensioacuten en la zona maacutes alejada del eje es de
En el programa este valor se refleja en la figura 634
91
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 634 Tensioacuten maacutexima de la pieza sin perturbar para un valor de D=78mm
Como se puede observar en ambos casos el valor es de 986 MPa con lo que
el caacutelculo estaacute bien hecho
Vistas estas tensiones si nos fijamos en las tablas de resultados se puede
observar que el que mayor error ofrece es para la relacioacuten de Dd=105 Esto
se debe a que al haber un cambio de seccioacuten muy pequentildeo el arco que forma
la entalla es reducido y por tanto habraacute pocos elementos Lo que se ha hecho
entonces es un refinamiento mayor de esa zona pasando de elementos de 1
mm a elementos de 05mm Aun asiacute el error sigue siendo elevado Esto se
puede deber a que las graacuteficas de Shigley son experimentales y al igual que
las orecidas por Autodesk los resultados pueden diferir miacutenimamente
Tambieacuten es muy probable que como la relacioacuten es muy pequentildea los datos
variacuteen mucho a pequentildeas deformaciones ya que por ejemplo con una
relacioacuten de Dd=105 y rd=01 el valor de Kt es de 16 pero si ya la relacioacuten
de Dd=104 el valor de Kt bajariacutea hasta 14 y tan solo ha variado la relacioacuten
una centeacutesima
Para este caso a pesar que la carga es un momento y no un esfuerzo axil los
resultados son coherentes con el resultado teoacuterico Por ejemplo la tabla cuya
relacioacuten de Dd=13 los resultados son praacutecticamente ideacutenticos
Por tanto al igual que la barra rectangular sometida a axil el disentildeo de este
tipo de piezas sometidas a flexioacuten se debe hacer con una relacioacuten de Dd lo
maacutes pequentildea posible y con un radio de entalla lo mayor posible
92
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tensiones mediante Elementos Finitos
63- Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
631-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq66)
donde
σ0 tensioacuten nominal [MPa]
F fuerza axil aplacada a ambos lados de la pieza [MPa]
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
Para este caso la graacutefica que nos muestra el valor de Kt para las distintas
relaciones de la pieza es la mostrada en la fig635
Figura 635 Barra circular con entallas circunferenciales sometida a un esfuerzo axil [Disentildeo en
Ingenieriacutea Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill
Tabla A-15 Apeacutendice A]
93
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de tensiones mediante Elementos Finitos
632-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea al ser una pieza circular es sensato
revolucionar un perfil alrededor del eje El perfil es el mostrado en la fig636
con un valor fijo de d=60mm Para las distintas magnitudes de D el valor del
ancho mayor se cambiaraacute para las tres relaciones de Dd= 15 11 y 105
Figura 636 Geometriacutea para una barra circular con unos valores de d=60mm y D=90mm
Para la revolucioacuten del perfil de la figura anterior se debe salir del editor de
bocetos y crear una revolucioacuten En primer lugar el programa nos pide el aacuterea
del perfil a revolucionar (fig637)
Figura 637 Revolucioacuten de un boceto
94
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tensiones mediante Elementos Finitos
A continuacioacuten el programa pide el eje alrededor del cual se quiere que la
pieza gire En este caso la pieza gira alrededor del eje x y para modelizarlo en
el programa tan solo basta con seleccionar dicho eje (fig638)
Figura 638 Seleccioacuten del eje de revolucioacuten y figura completa
Para la creacioacuten de la entalla se usa la funcioacuten de empalme Esta funcioacuten
permite la creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r que
sucesivamente se cambia para obtener las distintas relaciones de medida de
la pieza (fig639)
95
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 639 Creacioacuten de una entalla circunferencial de radio r
633- Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig640)
Figura 640 Implementacioacuten en Autodesk Inventor de una pieza circular con una entalla circunferencial
de radio r
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
96
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig641)
Figura 641 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
Para la aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara contraria al plano fijado
(fig642)
97
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 642 Aplicacioacuten de una fuerza de valor F=50000N
El valor de la fuerza es de 50000N como d=60mm el valor de la tensioacuten
nominal es de
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 3mm
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 643
98
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 643 Configuracioacuten de la malla para una pieza circular sometida a traccioacuten
634- Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig644
fig645 y fig646)
99
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 644 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =15 r=6mm
rd=01
Figura 645 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =105 r=3mm
rd=005
100
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 646 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten Relacioacuten Dd =11 r=15mm
rd=025
En cada una de las figuras mostradas la tensioacuten maacutexima tambieacuten se
encuentra en el cambio brusco de seccioacuten como no podiacutea ser de otra
manera Para poder ver mejor esta zona en la fig647 se ampliacutea la entalla
circunferencial y se ha ordenado al programa que marque donde se
encuentra la maacutexima tensioacuten Este anaacutelisis corresponde con una relacioacuten de
Dd=15 r=12mm y rd=02
101
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 647 Maacuteximo esfuerzo en una pieza circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
En cuanto a la deformacioacuten al ser un esfuerzo axil eacuteste deberiacutea desplazarse
cierta distancia en la misma direccioacuten y sentido que la fuerza aplicada En la
fig648 se pude ver que este fenoacutemeno se cumple
Figura 648 Desplazamiento longitudinal de una pieza circular sometida a flexioacuten
102
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
635-Resultados
Se han realizado 15 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 69 610 y 611
D=90mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4309 1768 2437 24 1550
6 01 3394 1768 1919 19 1035
9 015 3001 1768 1697 165 2872
12 02 276 1768 1561 156 0069
15 025 2615 1768 1479 15 1395
Tabla 69 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3414 1768 1930 19 1631
6 01 2834 1768 1602 158 1451
9 015 2577 1768 1457 145 0522
12 02 2452 1768 1386 138 0498
15 025 2356 1768 1332 135 1290
Tabla 610 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 2908 1768 1644 17 3247
6 01 2578 1768 1458 148 1476
9 015 2414 1768 1365 136 0395
12 02 2305 1768 1303 13 0287
15 025 2246 1768 1270 127 0028
Tabla 611 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
traccioacuten con una relacioacuten de Dd=105
103
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Como resultado final se ofrece la fig649 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 649 Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 612)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=15 1
Dd=11 1
Dd=105 09975
Tabla 612 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
636-Conclusiones
Las curvas de liacutenea de tendencia tienen un valor de R2 praacutecticamente de 1
por lo que estas liacuteneas de tendencia representan con exactitud todos los
datos obtenidos
Para algunas simulaciones se ha tenido que hacer un refinamiento mayor de
la malla debido a que alguacuten elemento se saliacutea de las recomendaciones La
fig650 muestra coacutemo existe una discontinuidad en las tensiones
1
14
18
22
26
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a traccioacuten
Dd=15
Dd=11
Dd=105
104
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 650 Discontinuidad en las tensiones de Von Mises
Esto es debido a que el elemento situado en esa discontinuidad es
demasiado largo (fig651) con aacutengulo muy agudos no cumpliendo asiacute la
recomendacioacuten del Aspect Ratio Por lo tanto se ha tenido que refinar la malla
para que este elemento se divida en elementos maacutes pequentildeos (fig652)
Figura 651 Discontinuidad en la tensioacuten de Von Mises debido a la mal formacioacuten de uno de los
elementos
105
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 652 Refinamiento local de la malla para eliminacioacuten de la discontinuidad de la distribucioacuten de
tensioacuten de Von Mises
El valor de la tensioacuten maacutexima no ha cambiado al quitar la discontinuidad pero
siempre hay que observar bien la distribucioacuten de tensiones y que no exista
este tipo de fenoacutemenos ya que si esta discontinuidad se hubiera encontrado
en la zona de maacutexima tensioacuten eacutesta podriacutea haber variado notablemente al
hacer el refinamiento local de la malla
Viendo los errores relativos que se han obtenido los resultados son bastante
buenos siendo totalmente coherentes con el factor teoacuterico de concentracioacuten
de tensiones dado por las tablas de Shigley
En este ejemplo el programa Autodesk Inventor ofrece los resultados que
deberiacutean dar a pesar de ser un estado de tensioacuten tridimensional
Para comprobar que la tensioacuten de referencia es la misma que la ofrecida por
las tablas de Shigley se coloca una sonda en la seccioacuten que hemos tomado
como seccioacuten nominal (la de menos espesor)
En la fig653 se aprecia que el valor de la tensioacuten nominal es σ0=1768 MPa
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las graacuteficas se pueden dar por
vaacutelidas
106
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 653 Tensioacuten nominal σ0 en una barra circular
107
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de tensiones mediante Elementos Finitos
64- Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
641-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq67)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
I momento de inercia
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 654
108
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 654 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
642- Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig655
109
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 655 Geometriacutea de una barra circular con entalla circunferencial
643-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig656)
Figura 656 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig657)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
110
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 657 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se marca
la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje y (fig658)
111
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 658 Aplicacioacuten de un momento de 500000 Nmm alrededor del eje y
Como M=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
112
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute
de 08 mm cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 659
Figura 659 Configuracioacuten de la malla para una barra circular con una entalla circunferencial
644-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig660
y fig661)
113
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 660 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=15 r=6mm rd=01
Figura 661 Distribucioacuten de tensiones para barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Relacioacuten Dd=105 r=6mm rd=01
114
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Al ser un momento el que estaacute aplicado el resultado de la distribucioacuten de
tensiones va a depender de la distancia al centro de revolucioacuten puesto que el
momento de inercia y el momento son constantes Por ello como bien se ve
en las figuras anteriores las tensiones maacuteximas estaacuten en las cotas del eje z
maacutexima y miacutenima siendo la maacutes alta de todas la correspondiente al cambio
de seccioacuten donde existe una concentracioacuten de tensiones La figura siguiente
(fig662) muestra el valor de esta tensioacuten maacutexima corroborando que
efectivamente se encuentra en esta zona
Figura 662 Tensioacuten maacutexima para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
La deformada que deberiacutea seguir al igual que el momento deberiacutea girar
alrededor del eje y (fig663)
115
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 663 Desplazamiento para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Efectivamente el desplazamiento se realiza alrededor del eje y por lo que el
programa ha simulado bien la pieza y las condiciones de contorno son
correctas
645-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 11 y 105 En cuanto al radio de la
entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en las
tablas 613 614 615 y 616
D=180 mm d=60mm Dd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4975 23578 2110 23 8260
6 01 3899 23578 1653 18 8129
9 015 3444 23578 1460 159 8133
12 02 3198 23578 1356 145 6458
15 025 3038 23578 1288 138 6631
Tabla 613 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=3
116
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
D=90 mm d=60mm Dd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4841 23578 2053 207 0812
6 01 3859 23578 1636 166 1403
9 015 3442 23578 1459 15 2677
12 02 3206 23578 1359 138 1467
15 025 3053 23578 1294 133 2642
Tabla 614 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=15
D=66 mm d=60mm Dd=11
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 4123 23578 1748 19 7965
6 01 3506 23578 1486 16 70637
9 015 3232 23578 1370 142 3466
12 02 3073 23578 1303 135 3456
15 025 2969 23578 1259 13 3136
Tabla 615 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=11
D=63 mm d=60mm Dd=105
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
3 005 3741 23578 1586 18 11852
6 01 3282 23578 1391 15 7201
9 015 3072 23578 1302 141 7595
12 02 2951 23578 1251 135 7289
15 025 2869 23578 1216 125 2655
Tabla 616 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=105
Como resultado final se ofrece la fig664 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
117
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 664 Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 617)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09937
Dd=15 09945
Dd=11 09942
Dd=105 09941
Tabla 617 Valores de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
646-Conclusiones
El refinamiento de la malla no se ha hecho de 3 mm porque con este valor
claramente los contornos del anaacutelisis de tensioacuten no son coherentes con la
realidad producieacutendose grandes gradientes que alejan el resultado final de la
realidad (fig665) Tambieacuten se ha probado con un refinamiento de 1 mm pero
surgiacutean divergencias en los contornos (fig666) Para solucionarlo se ha
buscado la densidad de malla miacutenima para la cual estas divergencias dejaron
de estar presentes Este valor como ya se ha comentado es de 08 mm El
coste computacional es algo mayor pero es necesario para obtener resultados
acordes con la realidad
1
12
14
16
18
2
22
24
0 005 01 015 02 025 03
Kt
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a flexioacuten
Dd=3
Dd=15
Dd=11
Dd=105
118
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 665 Distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento local de 3mm
Figura 666 Discontinuidad en la distribucioacuten de tensiones de Von Mises para un refinamiento de 1mm
La tensioacuten σ0 ofrecida por Autodesk Inventor debe coincidir con la teoacuterica que
para este ejemplo vale 23578 MPa Esta tensioacuten se debe medir en una
seccioacuten sin perturbar por la concentracioacuten de tensiones y en una seccioacuten cuyo
119
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de tensiones mediante Elementos Finitos
diaacutemetro sea d Ademaacutes para que sea maacutexima el valor de c debe ser d2
(fig667)
Figura 667 Tensioacuten σ0 para una barra circular con relaciones Dd=15 r=9mm y rd=015
Autodesk tambieacuten ofrece un valor de la tensioacuten nominal acorde con la teoriacutea
por lo que la referencia estaacute bien marcada y las tablas se pueden dar por
vaacutelidas
Si se observa la graacutefica obtenida para las relaciones de Dd=3 y Dd=15 los
resultados son praacutecticamente ideacutenticos A partir de una relacioacuten de 15 no
importa cuaacutento maacutes grande sea el valor de D puesto que la concentracioacuten de
tensiones no va a aumentar maacutes
De estas dos curvas la que coincide maacutes con la teoacuterica es la de relacioacuten 15
Esto hace pensar que la curva de relacioacuten de 3 estaacute mal en el libro de Shigley
Para corroborar esta afirmacioacuten se han analizado para una relacioacuten de
rd=01 relaciones de Dd=2 y 4 obteniendo un valor de Kt de 181 y 182
respectivamente Comparando con la relacioacuten de tres cuyo valor de Kt es de
1813 se puede concluir que apenas ha cambiado y se puede dar por vaacutelida
la hipoacutetesis de que la curva de Dd=3 deberiacutea coincidir con la de Dd=15 en
las curvas ofrecidas por Shigley
A relaciones de diaacutemetro menores los datos son maacutes inciertos aumentando
asiacute el error llegando incluso hasta un 10 Tras haber comprobado que la
120
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tensiones mediante Elementos Finitos
simulacioacuten y mallado estaacuten perfectamente realizados se puede llegar a la
conclusioacuten que tanto en las tablas de Shigley como en el programa pueden
presentar un pequentildeo error Este error se debe a las grandes variaciones que
sufren las tensiones al variar miacutenimamente la relacioacuten de diaacutemetros cuando
dicha relacioacuten es pequentildea
121
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de tensiones mediante Elementos Finitos
65- Barra circular con entallas circunferenciales sometida torsioacuten
651-Definicioacuten
Se trata de una barra circular con una entalla circunferencial de radio r
sometida a un momento torsor de valor T produciendo asiacute un esfuerzo de
torsioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten (eq68)
Donde
Tensioacuten nominal [MPa]
T Momento torsor aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
c Mitad del ancho maacutes pequentildeo de la pieza (d2) [mm]
J momento torsional
d ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 668
122
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 668 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten[Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
652-Geometriacutea
La creacioacuten de la geometriacutea es ideacutentica a la explicada en el apartado 632
El valor de d es de 60 mm mientras que para obtener las distintas relaciones
de Dd se modifica el valor de D
El resultado final se muestra en la fig669
123
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 669 Geometriacutea de una pieza circular con entalla circunferencial de radio r
653-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y T
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig670)
Figura 670 Modelizacioacuten de una barra circular con entalla circunferencial de radio r
La restriccioacuten de movimiento es la misma que en el apartado 733 (fig671)
asiacute como el material (acero estructural metaacutelico con acabado laminado)
124
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 671 Restriccioacuten de movimiento nulo a una de las caras
El valor de la carga es distinto puesto que en este ejemplo se aplica un
momento torsor de valor 500000 Nmm Para implementar el momento se
marca la opcioacuten de carga de momento y se selecciona la cara opuesta a la
restriccioacuten fija haciendo que este gire alrededor del eje x en este caso
(fig672)
125
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 672 Aplicacioacuten de un momento alrededor del eje x (momento torsor)
Como T=500000Nmm d=60mm la tensioacuten nominal es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 007
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
126
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento en la entalla circunferencial Este refinamiento seraacute de 1 mm
cuya explicacioacuten se detalla en el apartado de conclusiones
La configuracioacuten total de la malla queda definida por la figura 673
Figura 673 Mallado final de barra circular con entallas circunferenciales
654-Simulacioacuten
Los resultados que ofrece por defecto Autodesk Inventor son las tensiones de
Von Mises y los datos que se deben usar para el caacutelculo del factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kts son las tensiones tangenciales Por tanto lo
que se hace es calcular las tensiones tangenciales a partir de la tensioacuten de
Von Mises (eq69)
radic
( )
Para ello de la ecuacioacuten de Von Mises se despeja la tensioacuten tangencial
sabiendo que las tensiones normales son nulas (eq610) Si el eje alrededor
del cual gira el momento torsor es el eje x la tensioacuten tangencial tambieacuten
es cero
127
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
radic
Una puntualizacioacuten muy importante es que el programa Autodesk Inventor
trabaja con las proyecciones de las tensiones tangenciales por tanto cuando
una es maacutexima la otra es cero y viceversa Si se selecciona un punto
arbitrario la tensioacuten tangencial en ese punto dependeraacute tanto como de
como de
y la suma del cuadrado de ambas seraacute el mismo valor que el
maacuteximo de cualquiera de ellas (fig674 y fig675) Por tanto se tomaraacute un
valor como la suma del cuadrado de ambas tensiones tangenciales Por
tanto la tensioacuten tangencial (eq611) en cualquier punto conocida la tensioacuten
de Von Mises es
radic
Figura 674 Tensioacuten tangencial en el plano XY
128
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 675 Tensioacuten tangencial en el plano XZ
En las dos figuras anteriores si se calcula la tensioacuten de Von Mises en dicho
punto y lo comparamos con la tensioacuten obtenida en el punto (fig676) se ve
que el resultado es ideacutentico corroborando la explicacioacuten anterior
radic radic
129
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 676 Tensioacuten de Von Mises en un punto arbitrario
Como los dos valores calculados (mediante la tensioacuten de Von Mises y
mediante las tensiones tangenciales) son ideacutenticos (2677 MPa) para el
caacutelculo del factor teoacuterico Kt se va obtener la tensioacuten de Von Mises y se hallaraacute
su tensioacuten tangencial correspondiente
Algunas de las simulaciones se muestran en las figuras 677 678 y 679
130
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 677 Tensioacuten de Von Mises para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten Relacioacuten Dd=133 r=3mm y rd=005
131
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 678 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=2 r=9 mm y
rd=015
Figura 679 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten Relacioacuten Dd=12 r=15 mm y
rd=025
132
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
655-Resultados
Se han realizado 20 simulaciones para distintos valores de r y D El valor de d
se ha mantenido fijo en 60mm
Las relaciones de Dd han sido de 2 133 12 y 109 En cuanto al radio de
la entalla variacutea desde los 3 hasta los 15 mm Los resultados se muestran en
las tablas 618 619 620 y 621
D=120 mm d=60mm Dd=2
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3377 19497 11789 1653 175 5494
6 01 2845 16425 11789 1393 145 3910
9 015 2631 15190 11789 1288 135 4555
12 02 2511 14497 11789 1229 125 1621
15 025 2432 14041 11789 1191 12 0746
Tabla 618 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
torsioacuten con una relacioacuten de Dd=2
D=80 mm d=60mm Dd=133
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3264 18844 11789 1598 17 5970
6 01 2785 16079 11789 1363 14 2578
9 015 2594 14976 11789 1270 13 2278
12 02 2486 14352 11789 1217 122 0206
15 025 2414 13937 11789 1182 119 0653
Tabla 619 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=133
D=72 mm d=60mm Dd=12
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 3169 18296 11789 1551 16 3001
6 01 2724 15727 11789 1334 135 1182
9 015 2555 14751 11789 1251 123 1729
12 02 2458 14191 11789 1203 118 2014
15 025 2396 13833 11789 1173 115 2035
Tabla 620 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=12
133
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
D=654 mm d=60mm Dd=109
r [mm] rd σvm [Mpa] τ [Mpa] τo [Mpa] Kts Kts teoacuterico error []
3 005 2907 16783 11789 1423 13 9512
6 01 2606 15045 11789 1276 121 5475
9 015 2471 14266 11789 1210 113 7091
12 02 2395 13827 11789 1172 112 4724
15 025 2345 13538 11789 1148 111 3462
Tabla 621 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con entalla circunferencial sometida a
flexioacuten con una relacioacuten de Dd=109
Como resultado final se ofrece la figura 680 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r
Figura 680 Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 622)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=2 1
Dd=133 1
Dd=12 1
Dd=109 1
Tabla 622 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
1
11
12
13
14
15
16
17
0 005 01 015 02 025 03
Kts
rd
Barra circular con entalla circunferencial sometida a torsioacuten
Dd=2
Dd=122
Dd=12
Dd=109
134
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
656-Conclusiones
Con una configuracioacuten de malla inadecuada surgen variaciones en los
contornos de tensiones debido a elementos mal situados Los contornos
deben ser uniformes y no tener picos de tensioacuten (fig681)
Figura 681 Variacioacuten en el contorno de tensiones
Esta distorsioacuten se debe a que uno de los elementos no cumple con el Aspect
Ratio recomendado (fig682)
Figura 682 Incumplimiento de un elemento del Aspect Ratio
135
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Por ello lo que se ha hecho ha sido refinar auacuten maacutes la malla en esa zona a un
valor de 1 mm como bien se mencionoacute en el apartado 653
Para ver si la tensioacuten tangencial de referencia es correcta una de las
opciones para comprobar este valor es calcular la tensioacuten de Von Mises en un
punto cuyo diaacutemetro sea d=60mm En la figura siguiente (fig683) se puede
observar que este valor es de 2042 Mpa
Figura 683 Tensioacuten de Von Mises en un punto de diaacutemetro d=60mm
Para ver si este valor es acorde con el valor de la tensioacuten tangencial nominal
calculada (11789 MPa) lo que se hace es elegir un punto cualquiera cuyo
diaacutemetro sea de d=60mm y obtener las tensiones tangenciales y
(fig684 y fig685)
136
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 684 Tensioacuten XY en un punto de diaacutemetro d=60mm
Figura 685 Tensioacuten XZ en un punto de diaacutemetro d=60mm
Una vez obtenidos estos dos valores se calcula la tensioacuten de Von Mises
radic radic
137
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Este valor es el mismo que el obtenido directamente viendo la tensioacuten de Von
Mises por tanto el valor de proporcionado por Autodesk Inventor es
radic
radic
Como ambos valores son ideacutenticos (11789 MPa) la referencia estaacute bien
marcada y se pueden dar por vaacutelidas las curvas de la figura xx ya que en
todas ellas el valor de R2 es de 1
Se puede apreciar que a medida que se aumenta la relacioacuten Dd la
concentracioacuten de tensiones aumenta pero este valor se va suavizando a
media que se aumenta el radio de la entalla al igual que en los casos
anteriores
Hay que tener muy en cuenta esta concentracioacuten de tensiones a la hora de
disentildear una pieza y nunca realizar ninguacuten cambio de seccioacuten con aristas vivas
puesto que esto provoca estados de triaxialidad y por consecuencia
concentracioacuten de tensiones excesivas y rotura de la pieza
138
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
66- Barra rectangular con ranuras trasnversales sometida a traccioacuten
661-Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con ranuras transversales de radio r
sometida a una carga de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq612)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d Ancho maacutes pequentildeo de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 686
139
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 686 Barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
662-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea se usan dos bocetos El primer es un
rectaacutengulo cuyo ancho W es 90 mm y cuyo largo se usaraacute un valor de 235 mm
(fig687)
Figura 687 Boceto barra rectangular
A continuacioacuten este boceto se extruye otorgando asiacute un espesor a la pieza de
t=10mm (fig688)
140
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 688 Extrusioacuten del boceto rectangular
Una vez obtenida la placa rectangular sobre una de las caras se crea un
segundo boceto (fig689) Tan solo se necesitan dos cotas para definir el
dibujo manteniendo constante el valor de d=30mm y pudiendo cambiar el
valor de r en cualquier momento
Figura 689 Boceto de las ranuras trasnversales
Con este segundo boceto se hace un corte del aacuterea que se acaba de crear
con la barra rectangular En el menuacute de que aparece de la extrusioacuten se
selecciona que corte hasta la cara siguiente obteniendo asiacute la geometriacutea final
(fig690)
141
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 690 Corte del boceto de las ranuras transversales
663-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son D d r y M
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig691)
Figura 691 Modelizacioacuten de una barra rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig692)
142
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 692 Restriccioacuten de movimiento de una de las caras
La aplicacioacuten de la carga se efectuacutea en la cara opuesta al plano fijado y su
valor es F=10000 N (fig693)
143
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 693 Aplicacioacuten de una carga de valor 10000 N
Como la fuerza empleada F=10000 N t=10mm y d=30mm el valor de la
tensioacuten nominal σ0 es
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 0100
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 15
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en las dos ranuras transversales con valor de 1 mm
Este valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises
144
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 694
Figura 694 Configuracioacuten final de la malla para una barra rectangular con ranuras transversales
sometida a traccioacuten
664-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten (fig695
fig696 y fig697)
145
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 695 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=3 r=6mm
rd=02
Figura 696 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=15 r=3mm
rd=01
146
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 697 Barra circular con ranuras transversales sometida a traccioacuten Relacioacuten Wd=12 r=9mm
rd=03
El desplazamiento al ser un esfuerzo de traccioacuten la pieza aumenta de
tamantildeo en el sentido de aplicacioacuten de la carga A causa de este aumento de
tamantildeo la pieza disminuye su ancho En la figura 698 Se muestra en blanco
la pieza original sin deformar mientras que la deformada se observa que
disminuye su ancho
Figura 698 Deformada de una pieza rectangular con entallas transversales sometida a traccioacuten
147
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para asegurarse que la pieza se ha simulado correctamente primero se ve si
la maacutexima tensioacuten se encuentra en la miacutenima seccioacuten de la pieza y dentro de
esta seccioacuten en las entallas trasnversales (fig699)
Figura 699 Tensioacuten maacutexima situada en las entallas trasnversales
Para el caso de una relacioacuten de Wd=3 y r=6 mm la tensioacuten maacutexima es de
7718 MPa situada precisamente en la entalla de la seccioacuten miacutenima por lo
que el programa Autodesk Inventor ha simulado aparentemente bien pero
para dar por vaacutelida la simulacioacuten se han de tener en cuenta las conclusiones
665-Resultados
Se han realizado 18 simulaciones para distintos valores de r y W El valor de d
se ha mantenido fijo en 30 mm
Las relaciones de Dd han sido de 3 15 y 12 En cuanto al radio de las
ranuras variacutea desde los 15 hasta los 9 mm Los resultados se muestran en
las tablas 623 624 y 625
148
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
W=90mm d=30mm Wd=3
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1432 33333 4296 hellip hellip
3 01 1046 33333 3138 293 7100
45 015 8367 33333 2510 24 4588
6 02 7718 33333 2315 216 7195
75 025 7033 33333 2109 2 5496
9 03 6305 33333 1891 188 0612
Tabla 623 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
W=45mm d=30mm Wd=15
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1281 33333 3843 hellip hellip
3 01 9587 33333 2876 27 6523
45 015 805 33333 2415 23 5001
6 02 7409 33333 2222 206 7899
75 025 6848 33333 2054 19 8127
9 03 622 33333 1866 175 6629
Tabla 624 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=15
W=36mm d=30mm Wd=12
r [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
15 005 1069 33333 3207 hellip hellip
3 01 8285 33333 2485 24 3563
45 015 7232 33333 2169 218 0476
6 02 6629 33333 1988 194 2511
75 025 6217 33333 1865 18 3617
9 03 5905 33333 1771 168 5447
Tabla 625 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con ranuras transversales sometida
a traccioacuten con una relacioacuten de Wd=2
Como resultado final se ofrece la fig6100 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de W d y r
149
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6100 Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
El valor de R2 de cada curva de tendencia es el mostrado en la tabla siguiente
(tabla 626)
Liacutenea de tendencia Valor de R2
Dd=3 09956
Dd=15 09969
Dd=12 0997
Tabla 626 Valor de R2 para las distintas liacuteneas de tendencia
666-Conclusiones
El valor de R2 es praacutecticamente 1 por lo que las curvas de tendencia
mostradas en la fig6100 representan con exactitud los datos experimentales
obtenidos mediante elementos finitos
Al reducirse el aacuterea por el que fluyen los esfuerzos a un diaacutemetro d estos se
concentran maacutes faacutecilmente producieacutendose una concentracioacuten de tensiones
Por tanto cuanto mayor es la relacioacuten de Wd maacutes alta estaacute la curva de la
graacutefica y mayor es el factor de concentracioacuten de tensiones
1
14
18
22
26
3
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
rd
Barra rectangular con ranuras transversales sometida a traccioacuten
Wd=3
Wd=12
Wd=12
150
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Por otro lado como bien se puede observar al aumentar el radio de la
entalla el valor de Kt disminuye puesto que las tensiones se distribuyen
mejor y no se aglomeran todas en un punto
En cuanto a la tensioacuten nominal en este caso no se puede observar
faacutecilmente puesto que toda la seccioacuten sufre una concentracioacuten o disminucioacuten
de tensiones no habiendo un valor fijo (fig6101)
Figura 6101 Variacioacuten de la tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de d=30mm
Es posible comparar la tensioacuten en una seccioacuten de la pieza donde no exista
concentracioacuten de tensiones Para un valor de W=90mm la tensioacuten es
Y el esfuerzo mostrado por el programa se muestra a continuacioacuten (fig6102)
151
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6102 Tensioacuten en una seccioacuten no perturbada por la concentracioacuten de tensiones
Aproximadamente el valor es el mismo (1111 MPa) y las soluciones del
factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones son muy parecidos a los datos
de las tablas de Shigley por lo que se validan los resultados y se da por
buena la simulacioacuten de Autodesk Inventor
152
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
67- Barra rectangular con agujero central sometido a traccioacuten
671- Definicioacuten
Se trata de una barra rectangular con un aguumlero transversal de diaacutemetro d
sometida a una fuerza de valor F produciendo asiacute un esfuerzo de traccioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq613)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
F Fuerza axil aplicada a ambos lados de la pieza [N]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
w Ancho de la pieza [mm]
t espesor [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig6103
153
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6103 Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten [Disentildeo en Ingenieriacutea
Mecaacutenica de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15
Apeacutendice A]
672-Geometriacutea
Para la creacioacuten de la geometriacutea basta con hacer un boceto en dos
dimensiones y extruirlo con un espesor de t=10mm Para ello en primer lugar
se crea un rectaacutengulo de ancho w y longitud aproximada de tres veces el
ancho A continuacioacuten se dibuja un ciacuterculo en la parte central de diaacutemetro d
(fig6104)
Figura 6104 Boceto en dos dimensiones de una barra rectangular con un agujero central
154
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Uno vez hecho el boceto eacuteste se selecciona para realizar una extrusioacuten Con
este comando e introduciendo el espesor deseado se obtiene la pieza final
(fig6105)
Figura 6105 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
673-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son w d y F
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6106)
155
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6106 Modelizacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
Como los casos anteriores se fija una de las caras (la de mayor ancho) y en la
otra se aplica la carga El material tambieacuten es el mismo que en los casos
anteriores un acero estructural metaacutelico con acabado laminado
Para la restriccioacuten de movimiento se inicia el anaacutelisis de tensioacuten y se marca la
cara que se pretende fijar (fig6107)
Figura 6107 Restriccioacuten de movimiento a una de las caras
156
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Una vez fijada la cara se aplica la fuerza de valor F Para todas las
simulaciones este valor es de 5000 N en la direccioacuten del eje x en la cara
opuesta a la fijada (fig6108)
Figura 6108 Aplicacioacuten de una carga de valor F = 5000 N
Este caso es distinto a los anteriores debido a que el caacutelculo del valor de la
tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es variable puesto que se ha
decidido mantener un valor de w=20mm constante Por tanto cada una de las
simulaciones tendraacute un valor de σ0 distinto Estos valores se muestran a
continuacioacuten haciendo uso de la eq 613 sabiendo que t=10mm y F=5000N
157
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Para
d=2mm
d=4mm
d=6mm
d=8mm
d=10mm
d=12mm
d=14mm
d=16mm
158
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0150
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 40 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero central con valor de 03 mm Este valor
garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises en el agujero central
En algunas simulaciones en los que el diaacutemetro del agujero es menor se ha
refinado auacuten maacutes la malla llegando a valores de 01 mm para el caso de un
diaacutemetro del agujero de d=2mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6109
Figura 6109 Configuracioacuten de final de malla para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
159
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
674-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6110 y fig6111)
Figura 6110 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=6mm sometida a traccioacuten
160
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6111 Barra rectangular con agujero central de diaacutemetro d=12mm sometida a traccioacuten
El esfuerzo normal que actuacutea sobre la seccioacuten transversal a traveacutes del centro
del agujero tiene la distribucioacuten ilustrada en la figura 6112 El esfuerzo
maacuteximo σMAacuteX se presenta en los bordes del agujero y es considerablemente
mayor que el esfuerzo nominal en la misma seccioacuten trasnversal
Figura 6112 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten[ httpwwwmecapediaujiesconcentracion_de_tensioneshtm]
En Autodesk Inventor este fenoacutemeno se puede comprobar utilizando unas
sondas que se colocan a lo largo de la seccioacuten transversal asociada al centro
del agujero (fig6113)
161
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6113 Distribucioacuten de esfuerzos en una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten mediante Autodesk Inventor
Efectivamente se encuentra la tensioacuten maacutexima en dicha de seccioacuten
transversal cuando el punto de medida se aleja del agujero la tensioacuten
disminuye
En cuanto a la deformacioacuten al estirarse la pieza el agujero deberiacutea adoptar
una forma eliacuteptica Esto es debido a que al estirarse la pieza el ancho
disminuye haciendo que el agujero deje de ser circular (fig6114)
162
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6114 Deformacioacuten de una barra rectangular con agujero central sometida a axil
675-Resultados
Se han realizado 8 simulaciones con distintos valores de diaacutemetro del
agujero variando entre 2 y 16 mm El valor de w se ha mantenido constante
en 20 mm
Los resultados se muestran en la tabla siguiente (tabla 627)
W=20mm t=10mm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
2 01 7536 27778 2712 27 048
4 02 7791 3125 2493 25 02752
6 03 8231 35714 2304 235 1928
8 04 9184 41667 2204 225 2037
10 05 1065 50 213 215 0930
12 06 1295 625 2072 21 1334
14 07 1688 83334 2025 208 2615
16 08 2545 125 2036 205 0682
Tabla 627 Resultados obtenidos de Kt para una barra rectangular con agujero central sometida a
traccioacuten
Como resultado final se ofrece la tabla equivalente a la ofrecida por Shigley
En ella se recogen los datos experimentales obtenidos mediante MEF
(fig6115)
163
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6115 Barra rectangular con agujero central sometida a traccioacuten
676-Conclusiones
Al no poder comprobar la tensioacuten nominal en la seccioacuten transversal debido a
que toda ella sufre de concentracioacuten de tensiones se ha comprobado la
tensioacuten en una seccioacuten que no tenga una concentracioacuten de tensiones Esta
seccioacuten corresponde con la de espesor w=20mm y su tensioacuten teoacuterica es
La tensioacuten proporcionada por Autodesk Inventor es se muestra en la figura
siguiente (fig6116)
2
22
24
26
28
3
0 01 02 03 04 05 06 07 08
Kt
dw
Barra rectangular con agujero transversal sometida a traccioacuten
164
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6116 Tensioacuten de Von Mises en una seccioacuten de ancho w=20 mm
Ambos valores son ideacutenticos por lo que se valida que la tensioacuten de referencia
estaacute bien marcada y por tanto los valores proporcionados de Kt son correctos
Otra curiosidad que presentan las simulaciones es que alrededor del agujero
la tensioacuten variacutea desde un maacuteximo (donde se concentran las tensiones) hasta
el miacutenimo situado a 90ordm del pico de maacutexima tensioacuten (fig6117)
165
Capiacutetulo 6 Anaacutelisis de Kt Ricardo Gonzaacutelez Izard
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6117 Miacutenima tensioacuten de Von Mises en un aguumlero central sometido a traccioacuten
Este miacutenimo se debe a que las tensiones no llegan hasta el agujero y se
ldquodesviacuteanrdquo para sobrepasar el ldquoobstaacuteculordquo (el agujero) (fig6118)
Figura 6118 Distribucioacuten de tensiones en una placa rectangular con un agujero central sometida a axil
166
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
A la vista de la tabla 627 donde se muestran los resultados obtenidos se
puede apreciar el bajo error producido en el anaacutelisis Autodesk Inventor ha
reproducido en este caso fielmente la tabla proporcionada por Shigley
El que a relaciones altas de dw el factor teoacuterico Kt sea menor no significa
que la tensioacuten maacutexima sea menor Al tener un diaacutemetro de agujero grande la
concentracioacuten de tensiones es mayor pero tambieacuten lo es la tensioacuten de
referencia puesto que el aacuterea nominal es menor de ahiacute que Kt disminuya con
mayores relaciones de dw
Si se observa una graacutefica en la que aparezca la tensioacuten maacutexima frente a
distintas relaciones de agujero-ancho se aprecia faacutecilmente que a medida
que el agujero es mayor la tensioacuten aumenta notablemente puesto que la
concentracioacuten de tensiones que se genera es mayor que si el agujero fuera de
un tamantildeo menor (fig6119)
Figura 6119 Tensioacuten maacutexima para distintas relaciones de dw con w=20 mm
0
50
100
150
200
250
300
0 02 04 06 08 1
σ m
aacutex [
MP
a]
dw
Tensioacuten maacutexima para distintas relacionesde dw
167
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
68- Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
681- Definicioacuten
Se trata de una barra circular con un agujero transversal de diaacutemetro d
sometida a un momento de valor M produciendo asiacute un esfuerzo de flexioacuten
Se tomaraacute como valor nominal para el caacutelculo de Kt La tensioacuten σ0 (eq614)
Donde
σ0 Tensioacuten nominal [MPa]
M Momento aplicado a ambos lados de la pieza [N˙mm]
d diaacutemetro del agujero transversal [mm]
D diaacutemetro de la pieza [mm]
En este caso la graacutefica que nos relaciona la geometriacutea con el factor teoacuterico de
concentracioacuten de tensiones Kt es la mostrada en la fig 6120
Figura 6120 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten [ Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica
de ShigleyRichard G Budynas y JKeith Nisbett Octava edicioacuten Ed McGrawHill Tabla A-15 Apeacutendice
A]
168
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
682-Geometriacutea
Para la creacioacuten de esta geometriacutea hacen falta uacutenicamente dos pasos El
primero es crear una barra soacutelida circular Para ello se elige uno de los tres
planos (XY YZ ZX) y se dibuja un ciacuterculo centrado de diaacutemetro 30mm
(fig621)
Figura 6121 Boceto en 2D de un ciacuterculo de diaacutemetro D=30mm
A continuacioacuten se sale del editor de bocetos y con este ciacuterculo se hace una
extrusioacuten La longitud de la misma no es muy representativa pero por dar un
valor se extruye aproximadamente tres veces el diaacutemetro (90 mm) 45mm
por cada lado (fig6122)
169
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6122 Extrusioacuten de un ciacuterculo
En cuanto al agujero se elige cualquiera de los otros dos planos en los que no
se ha dibujado el primer boceto y se coloca un ciacuterculo de diaacutemetro d tambieacuten
centrado (fig6123)
170
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6123 Boceto de un ciacuterculo cuya funcioacuten es la de crear un agujero
Con este pequentildeo ciacuterculo se vuelve a hacer una extrusioacuten pero esta vez se
marca la opcioacuten de corte para que elimine material (fig6124) Una vez hecho
este paso la pieza ya estaacute terminada
171
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten
de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6124 Pieza completa con un agujero transversal
683-Modelizacioacuten
Los paraacutemetros a tener en cuenta son M d y D
La implementacioacuten en Autodesk se efectuaraacute seguacuten lo mostrado en la figura
siguiente (fig6125)
Figura 6125 Hipoacutetesis de modelizacioacuten en Autodesk Inventor
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tensiones mediante Elementos Finitos
La seccioacuten es circular y el diaacutemetro del agujero transversal tiene un valor de
d Primero se fija una de las caras del cilindro (fig6126) Esta restriccioacuten de
movimiento permite que la cara fijada no se desplace en ninguno de los tres
ejes
Figura 6126 Restriccioacuten de movimiento en una de las caras
En la cara opuesta a la cara fija se estable un momento flector A la hora de
establecer el momento hay que tener en cuenta los ejes puesto que este
momento debe girar alrededor del eje adecuado para que el agujero trabaje a
flexioacuten (fig6127)
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6127 Aplicacioacuten de un momento flector
Este momento gira en este caso alrededor del eje z y tiene un valor
M=50000 Nmm (fig6128)
Figura 6128 Editor de momentos
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Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
El caacutelculo del valor de la tensioacuten nominal depende de d y eacuteste valor es
variable puesto que se ha decidido mantener un valor de D=30mm
constante Por tanto cada una de las simulaciones tendraacute un valor de σ0
distinto Estos valores se muestran a continuacioacuten haciendo uso de la eq
614 y sabiendo que M=50000 Nmm
Para
d= 075mm
d= 15 mm
d= 3 mm
d= 45 mm
d= 6 mm
d=75 mm
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d= 9 mm
En cuanto a la generacioacuten de la malla haciendo click en configuracioacuten de
malla las modificaciones de la malla inicial se han definido mediante los
siguientes valores
Tamantildeo medio del elemento 005
Tamantildeo miacutenimo del elemento 0200
Factor de modificacioacuten 11
Aacutengulo maacuteximo de giro 60 gr
Ademaacutes de esta configuracioacuten inicial de la malla es preciso hacer un
refinamiento de la malla en el agujero transversal con valor de 05 mm Este
valor garantiza la uniformidad de las tensiones de Von Mises Para el caso de
un diaacutemetro de d=075mm se ha refinado este agujero con tamantildeo del
elemento de 02mm
La configuracioacuten final de la malla queda definida por la figura 6129
Figura 6129 Configuracioacuten final de malla para una pieza circular con un agujero transversal
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tensiones mediante Elementos Finitos
684-Simulacioacuten
Haciendo simular el programa obtenemos la tensioacuten de Von Mises para cada
geometriacutea Algunas de las graacuteficas son las mostradas a continuacioacuten
(fig6130 y fig6131)
Figura 6130 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=3mm relacioacuten dD=01
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de tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6131 Distribucioacuten de tensiones para una barra circular con agujero transversal sometida a
flexioacuten Diaacutemetro del agujero d=9mm relacioacuten dD=03
Los resultados son parecidos a los de la barra rectangular con agujero central
exceptuando que el maacuteximo se produce en la periferia de la pieza
exactamente en el agujero central En el caso de la pieza rectangular el
maacuteximo se daba a lo largo de todo el agujero Si se observa la figura siguiente
(fig6132) se puede apreciar que este valor es maacuteximo en el punto dicho
anteriormente debido a que el momento depende de la distancia a su centro
de revolucioacuten y cuanto mayor sea esta distancia mayor es el momento
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6132 Detalle de la distribucioacuten de tensiones en un agujero sometido a flexioacuten
Si se aplica la opcioacuten de sombreado de contorno se observa claramente la
distribucioacuten del momento sobre la pieza (fig6133)
Figura 6133 Sombreado de contorno para una pieza circular sometida a flexioacuten
En la cara donde se aplica el momento existe un degradado del momento el
cual variacutea desde cero (en el centro) hasta un valor aproximadamente de 15
MPa (color azul claro)
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685-Resultados
Se han realizado 7 simulaciones con un valor de D constante de 30 mm y un
diaacutemetro de agujero variable desde 075 mm hasta los 9 mm Por tanto las
relaciones de dD variacutean desde 0025 hasta 03 Los resultados se recogen
en la tabla siguiente (tabla 628)
D=30mm
M= 50000 Nmm
d [mm] rd σ [Mpa] σo [Mpa] Kt Kt teoacuterico error []
075 0025 5376 1969 2729 268 1831
15 005 5415 20612 2627 247 6358
3 01 5429 22719 2389 227 5266
45 015 5634 253 2226 212 5011
6 02 5832 28559 2042 202 1090
75 025 6211 32771 1895 197 3794
9 03 6713 3844 1746 19 8087
Tabla 628 Resultados obtenidos de Kt para una barra circular con agujero sometida a flexioacuten
Como resultado final se ofrece la fig6134 la cual muestra los valores de Kt
para distintas relaciones de D d y r En color azul se muestra la curva
experimental y en rojo la proporcionada por Shigley
Figura 6134 Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
1
15
2
25
3
35
0 005 01 015 02 025 03 035
Kt
dD
Barra circular con agujero transversal sometida a flexioacuten
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686-Conclusiones
La inclusioacuten de un agujero en la pieza tiene sus consecuencias en la
concentracioacuten de tensiones Cuanto menor diaacutemetro tenga este agujero
mayor es el factor teoacuterico Kt Un diaacutemetro muy pequentildeo de agujero puede
equivaler a que existe un grieta en la pieza y el valor maacuteximo de Kt es de 3
Si se observa la graacutefica con los resultados (fig6134) se puede ver que la
curva experimental (color azul) tiende a ser una recta aumentando el valor de
Kt linealmente Pero la realidad es otra puesto que la curva real (color rojo)
tiende a ser una curva polinoacutemica
El error maacuteximo que comente Autodesk Inventor es de aproximadamente un
8 Este valor no es excesivo sabiendo que la tensioacuten nominal es aproximada
y no exacta como ocurriacutea en otros ejemplos Es por esta razoacuten por la cual los
datos difieren un poco de la tabla de Shigley
Al no poder obtener en Autodesk inventor la tensioacuten nominal se puede
calcular la tensioacuten en un punto de la pieza donde se sepa el valor de la
tensioacuten de Von Mises Se escoge entonces un punto donde el momento sea
maacuteximo y no esteacute perturbado por la concentracioacuten de tensiones (fig6135)
Figura 6135 Tensioacuten de Von Mises en un punto de momento maacuteximo no perturbado por la
concentracioacuten de tensiones
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La tensioacuten en ese punto es
Ambos valores coinciden por lo que se supone que la tensioacuten nominal es
parecida pero no igual al ser eacutesta un valor aproximado
En cuanto a la deformacioacuten del agujero central la parte superior e inferior no
lo hacen de igual forma La parte del agujero traccionada formaraacute una elipse
cuyo eje mayor tendraacute la direccioacuten de la fuerza de traccioacuten mientras que la
parte comprimida el eje mayor seraacute perpendicular a dicho esfuerzo de
compresioacuten
Este fenoacutemeno se puede observar en las dos figuras siguientes (fig6136 y
fig6137)
Figura 6136 Agujero coincidente con la parte de traccioacuten
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tensiones mediante Elementos Finitos
Figura 6137 Agujero coincidente con la parte de compresioacuten
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Ricardo Gonzaacutelez Izard
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La determinacioacuten del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones es muy
importante puesto que este valor nos da un indicio de coacutemo va a comportarse
el elemento al ser sometido a un esfuerzo
Un mal disentildeo de un elemento puede aumentar exponencialmente los
esfuerzos en zonas criacuteticas lo que puede provocar el fallo prematuro de la
pieza Los resultados obtenidos en este proyecto mediante elementos finitos
pueden ayudar a disminuir esta concentracioacuten de tensiones
En los primeros capiacutetulos se ha logrado introducir al lector el meacutetodo utilizado
para la resolucioacuten del problema El meacutetodo de elementos finitos no es sencillo
y requiere de un hardware y un software suficientemente potente como para
poder obtener las tensiones y deformaciones que se generan en una pieza al
someterla a una carga
Mediante el programa Autodesk Inventor se han simulado 8 ejemplos de
concentracioacuten de tensiones mediante la aplicacioacuten de distintas cargas
(fuerzas momentos flectores y momentos torsores) El uso de este programa
es sencillo e interactivo facilitando el dibujo de la pieza e inicio del anaacutelisis de
tensioacuten La modelizacioacuten de las piezas usadas tan solo ha requerido un
boceto o dos y modificando la configuracioacuten de malla inicial (fig610) es
posible obtener un mallado preciso en un tiempo reducido
Cada uno de los ejemplos se ha estudiado por separado En muchos de los
casos la configuracioacuten de malla inicial no ha sido lo suficientemente buena y
se ha tenido que refinar localmente para que el contorno de las tensiones de
Von Mises fuera continuo
El error obtenido por Autodesk Inventor con respecto a las graacuteficas de la
bibliografiacutea especiacutefica de Shigley es escaso con valores medios inferiores al
4 En todas las graacuteficas halladas el valor de Kt es pequentildeo cuando el radio
de la entalla o ranura es grande Este factor se debe a que a radios altos la
concentracioacuten de los esfuerzos se reparte en una zona con una superficie
mayor y por tanto la σMAacuteX es maacutes pequentildea
Cuando la pieza contiene un agujero el factor teoacuterico Kt es menor cuanto
mayor sea ese agujero pero la tensioacuten maacutexima es muy elevada Este
fenoacutemeno ocurre debido a que al aumentar el tamantildeo del agujero la seccioacuten
nominal disminuye y por tanto la σ0 aumenta
El origen de las tablas obtenidas mediante bibliografiacuteas especiacuteficas es
experimental mientras que las obtenidas en los apartados anteriores se han
desarrollado por caacutelculo numeacuterico De una forma raacutepida y precisa se han
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Capiacutetulo 7 Conclusioacuten Escuela de Ingenieriacuteas Industriales
Caacutelculo de factores teoacutericos de concentracioacuten de
tensiones mediante Elementos Finitos
logrado simular anaacutelisis de tensiones Mediante este programa se pueden
cosechar nuevos ejemplos con piezas distintas tan solo sabiendo manejar a
un nivel medio el programa usado
En este proyecto solo se ha manejado una pequentildea parte de la gran
capacidad que tiene Autodesk Inventor Para desarrollos futuros se podraacuten
analizar piezas maacutes complejas teniendo en cuenta todo aquiacute lo mostrado
pudiendo usar moacutedulos maacutes especiacuteficos de elementos finitos como es el
Autodesk Simulation Mechanical
Por uacuteltimo decir que Autodesk Inventor tiene una licencia de uso gratuita
para fines universitarios Los resultados obtenidos son fiables y fieles a la
realidad Por tanto y a la vista de todo lo expuesto se valida el uso de
Autodesk Inventor como programa de caacutelculo mecaacutenico frente a otros
programas cuya licencia no es gratuita
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea Ricardo Gonzaacutelez Izard
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Capiacutetulo 8 Bibliografiacutea
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de tensiones mediante Elementos Finitos
- AUTODESK INVENTOR 2014 Ayuda
- DRCLAVO NOVO SOTO Meacutetodos experimentales para la determinacioacuten de
tensiones mecaacutenicas Instituto superior politeacutecnico Joseacute A Echeverriacutea
- JUAN TOMAacuteS CELIGUumlETA LIZARZA Meacutetodo de los Elementos finitos para
Anaacutelisis estructural TEcnun2008
- JOSEacute LUIS ARANA JAVIER JESUacuteS GONZAacuteLEZ Mecaacutenica de la fractura
Servicio Editorial de la universidad del Paiacutes Vasco2002
-NX NASTRAN Ayuda
- OC ZIENKIEWICZ The Finite Element Method EdMcGraw Hil Third edition
1982
- RICHARD G BUDYNAS Y JKEITH NISBETT Disentildeo en Ingenieriacutea Mecaacutenica de
Shigley Octava edicioacuten Ed McGrawHill2010
- ROBERT L MOTT PE UNIVERSITY OF DAYTON Disentildeo de elementos de
maacutequinas Cuarta edicioacuten 2006
- RW DITCHBURN Light Third Edition Academic Press London1976
- VIRGIL MORING FAIRES Disentildeo de elementos de maacutequinas1998
- WD PILKEY Finite Elements In Analysis And Design The international
journal of applied finite elements and computer aided engineering EdNorth-
Holland 1985
- WALKER D PILKEY DEBORAH F PILKEY Stress concentration factors Third
edition 2008
- 000 portadapdf
- 00 resumenpdf
- 0 indicepdf
- 1- Introduccioacutenpdf
- 2-Concentraccioacuten de tensiones pdf
- 3- Meacutetodo de elementos finitospdf
- 4-Disentildeo de elementos sometidos a fatiga pdf
- 5- Software de modelizacioacuten y simulacioacuten Autodesk Inventorpdf
- 6- Anaacutelisis del factor teoacuterico de concentracioacuten de tensiones mediante MEFpdf
- 7-Conclusioacutenpdf
- 8- Bibliografiacuteapdf
-