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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CON PRÁCTICAS DE LABORATORIO

EN SCIENTIFIC WORKPLACE

Material de Apoyo para los cursos de Matemáticas I y II

M. en C. Antonio Silva Martínez

2008

2

TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC


ÍNDICE

Página

I. Introducción 5

1. Scientific WorkPlace.

1.1 Una Breve descripción del programa

1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace

1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace

1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace

1.2.3 Exportación y importación de contenidos y figuras

1.3 Presentación de resultados.

1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo

6

6

7

8

11

11

12

2. La Función de una variable real

2.1 Definición de función

2.1.1 Funciones elementales

2.1.2 Propiedades de funciones

2.2 Gráficas de funciones con Scientific WorkPlace

14

15

16

3. El Límite de una función de una variable real

3.1 Idea intuitiva de límite

3.1.1. Límites laterales

3.1.2. Propiedades de los límites

3.1.3. Límite de una función en un punto

3.1.4. Límites infinitos

3.1.5. Operaciones con límites

3.1.6. Ejemplos

18

18

19

19

21

21

3

3.2. Límites de funciones con Scientific WorkPlace

24

4. La Derivada de una función de una variable real

4.1. Definiciones de la derivada de una función

4.1.1. Propiedades de la derivada de una función

4.1.2. Operaciones con la derivada de una función

4.1.3. Ejemplos

4.2. Derivadas de funciones con Scientific WorkPlace

26

28

30

31

32

5. El Diferencial de una función de una variable real

5.1. Definición de diferencial de una función

5.1.1. Ejemplos

5.2. Diferenciales de funciones con Scientific WorkPlace

34

35

37

6. La Integral indefinida de una función de una variable real

6.1 Definición de integral indefinida

6.1.1 Primitiva de una función

6.1.2 Propiedades de la integral indefinida

6.1.3 Ejemplos

6.2 Integrales Indefinidas con Scientific WorkPlace

38

39

41

42

7. La Integral definida de una función de una variable real

7.1 Definición de integral definida

7.1.1 Propiedades de la integral definida

7.1.2 Ejemplos

7.2 Integrales definidas con Scientific WorkPlace

7.3 Aplicaciones. Área bajo una curva

8. Prácticas de Cálculo Diferencial e Integral con Scientific WorkPlace

Práctica No. 1 Gráficas de Funciones

Práctica No. 2 Límites de Funciones

Práctica No. 3 Derivadas de Funciones

45

46

48

49

58

59

60

4

Práctica No. 4 Diferenciales de Funciones

Práctica No. 5 Integrales Indefinidas de Funciones

Práctica No. 6 Integrales Definidas de Funciones

Práctica No.7 Aplicaciones. Área Bajo una Curva

61

62

63

64

9. Apéndice

Apéndice A. Factorización de expresiones Algebraicas con Scientific WorkPlace

Apéndice B. Tablas de Derivadas e Integrales

Apéndice C. Reporte de práctica

10. Bibliografía

65

66

69

71

5

INTRODUCCIÓN

Este material es de apoyo para los cursos de Cálculo Diferencial e Integral de funciones

de una variable, con aplicaciones, correspondiente a la carrera de Ingeniería Electrónica,

del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec. Como resultado mi compromiso

profesional hacia la institución, y que espero que contribuya en una sólida formación

académica de los estudiantes de Ingeniería Electrónica.

Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en

general, las matemáticas merecen un especial apoyo con material didáctico detallado

para la buena comprensión y motivación de los estudiantes. Para lo cual se ha preparado

este trabajo para la solución de problemas de Cálculo Diferencial e Integral y sus

aplicaciones, mediante un programa de actualidad y facilidad de manejo, denominado

Scientific WorkPlace, en su versión 5.5. Tal herramienta debe motivar al estudiante de

Ingeniería Electrónica sobre la importancia de las Matemáticas y sus consecuentes retos

para resolver problemas prácticos. Complementándose este trabajo con prácticas que

ejerciten, motiven y refuercen al estudiante a lo aprendido en el aula.

Las Matemáticas en general no pueden estudiarse en forma contemplativa o pasiva, al

contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de vista, se

espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la

mayor cantidad de ejercicios y problemas aplicados posibles. Adquiriendo así las bases

cognitivas para asignaturas posteriores de la carrera, donde se analicen fenómenos

eléctricos y electrónicos mediante esta importante herramienta.

Finalmente, este trabajo lo presento ante la coordinación de Material Didáctico y la

Academia de Ciencias Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del

TESE, el cual ha sido avalado por las mismas para su difusión y uso del mismo por parte

de los profesores y estudiantes de la División.

M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ

DOCENTE DIET

TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC


6

1. SCIENTIFIC WORKPLACE

1.1 Una Breve descripción del programa

Scientific Workplace es un software creado en la Universidad de New México, E.E. U.U.,

con antecedentes desde 1984, formalizado y patentado por MacKichan Software, Inc., en

el año de 1994. Con este software se pueden editar textos, graficar ecuaciones y resolver

problemas matemáticos de gran variedad y con notable facilidad. El programa está

basado en un sencillo procesador de textos que integra completamente matemáticas

complejas y textos técnicos en un único entorno de trabajo. Además, con el sistema de

álgebra computacional integrado en el propio programa, puede también realizarse

cálculos precisos desde el mismo editor. Finalmente, el software cuenta con tópicos

relevantes de Física y Química en una librería al final de la sección que describe el

contenido del software.

Scientific WorkPlace combina la facilidad de edición de expresiones matemáticas en su

notación natural, sin notaciones complejas, con la posibilidad de realizar cálculos desde

el mismo entorno de trabajo, gracias a la inclusión del potente motor de álgebra

computacional MuPAD 2.5, mediante el cual se pueden editar documentos y realizar

cálculos sin la necesidad de utilizar algún programa externo. Las prestaciones y

capacidades disponibles son muy amplias.

Con Scientific WorkPlace se pueden realizar cálculos simbólicos y numéricos, integrar,

diferenciar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas, resolver problemas

de álgebra matricial, Transformadas y Transformadas Inversas de Laplace y Fourier, etc.

Además, sencillas instrucciones, es posible crear gráficas en dos dimensiones y en tres

dimensiones en varios estilos, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y

esféricas, y en diferentes orientaciones.

Scientific WorkPlace permite además componer complejos documentos técnicos con

LaTex, la aplicación estándar en composición matemática. Gracias a su enorme precisión

y calidad, se puede utilizar de manera confiable en el desarrollo de trabajos de

investigación y profesionales. En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos

a formatos RTF para ser importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas

incluidas en sus documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type

5. Además se pueden generar presentaciones en formatos PDF.

7

1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace

1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace

La intención de los creadores de Scientific WorkPlace es la de poder usar la computadora

para cálculos matemáticos de forma casi natural, con notación matemática estándar, sin

la necesidad de otro lenguaje más complejo. Por ejemplo, permite graficar una ecuación

en dos dimensiones o en tres dimensiones, editar una expresión matemática, simplificarla

o factorizarla. Resolver un sistema de ecuaciones, evaluar límites, derivadas e integrales

de funciones, etc.

Con Scientific WorkPlace se puede editar y realizar cálculos matemáticos de manera casi

familiar a como lo realiza un editor de texto actualidad. Con la ayuda del mouse de la

computadora, para elegir los símbolos del panel principal del editor, haciendo un “clic”

sobre los necesarios para el documento, figura 1.

Figura 1. Panel principal del editor Scientific WorkPlace

“clic” mouse,

botón izquierdo

8

1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace

En ciertos sistemas y programas de cómputo, es necesario determinado arreglo de

comandos y notaciones para representar una entrada para un cálculo o evaluación

matemáticos. En algunos de ellos, se necesitan más de 2000 operadores, por ejemplo,

para integrar la expresión:

Se necesita editar, en un sistema tradicional de computación, la expresión:

int(x^2/sqrt(x^2-9),x)

La cual es de forma más compleja, lo que puede generar con mayor posibilidad, un error

en su sintaxis y resultado, lo cual se evita obviamente con la sencilla notación que utiliza

Scientific WorkPlace, como se verá en seguida con los siguientes ejemplos:

1. Para la edición de una integral a evaluar mediante Scientific WorkPlace, como la

anterior, se lleva a cabo mediante los siguientes pasos:

Paso Acción Resultado

1 Clic

2 Clic

3 Clic , después

4 Clic en el denominador

5 Repetir el #3

6 Escribir , en la raíz

7 Escribir

Finalmente, se pueden adicionar límites a la integral, aplicando subscript y superscript al

operador .

9

2. Se puede escribir una expresión matemática con Scientific WorkPlace y obtener sus

factores. Mostrando su resultado, de la siguiente forma:

Editar la expresión:

Elegir la operación factor del menú compute, dando como resultado:

3. Para graficar expresiones como la anterior, elegir plot 2D del menú compute.

Scientific WorkPlace creará una gráfica como la siguiente:

Para variar los rangos de x y y de la gráfica, ( y ) de la gráfica

hacer “clic” en Edit / Properties.

4. Para expresiones matemáticas más complejas, se pueden utilizar radicales, paréntesis y

corchetes, contenidos en la siguiente ventana, figura 2:

Figura 2. Ventana de corchetes para expresiones matemáticas

10

5. Para operadores matemáticos más complejos, por ejemplo de integración, se pueden

utilizar los contenidos en la siguiente ventana figura 3:

Figura 3. Ventana de operadores para expresiones matemáticas

6. Para aplicar decoraciones a una expresión matemática, se tiene la siguiente ventana,

figura 4:

Figura 4. Ventana de decoraciones para expresiones matemáticas

11

1.2.3 Exportación e importación de contenidos y figuras.

Debido a su compatibilidad con Windows, textos, ecuaciones y gráficas y cálculos

matemáticos en general, creados en Scientific WorkPlace, se pueden importar y exportar

directamente a otros programas de Windows.

1.3 Presentación de resultados

Se puede editar e imprimir su trabajo en pantalla e impresión con una gran variedad de

colores, con ayuda de la siguiente ventana, figura 5:

Figura 5. Ventana de colores para expresiones del Scientific WorkPlace

Estas aplicaciones son sólo algunas de la gran versatilidad que ofrece el Scientific

WorkPlace, las cuales se pueden ir conociendo en detalle y profundizando a medida que

se practique en el mismo.

En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos RTF para ser

importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en sus

documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se

pueden generar presentaciones en formatos PDF.

12

Como se puede apreciar, la sencillez y utilidad del Scientific WorkPlace es muy notoria, lo

que genera un alto grado de confianza y satisfacción en el estudiante. Mediante

instrucciones sencillas y prácticamente iguales al lenguaje matemático común y corriente

que se utiliza desde cursos básicos de matemáticas. Como se verá a detalle en las

aplicaciones que se le den al programa en los ejemplos y ejercicios a tratar en este

trabajo.

Finalmente, para imprimir un documento del Scientific WorkPlace, el programa utiliza

prácticamente la misma rutina que un programa en Windows.

1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo

Para comenzar a trabajar en el Scientific WorkPlace, se deben llevar a cabo los siguientes

pasos:

1. Activar Scientific WorkPlace del menú de programas, o bien del escritorio de su PC

2. Hacer “clic” el ícono New de la barra:

Open Print Spelling Copy Undo Show/Hide Table

New Save Preview Cut Paste Properties Math/Text Zoom Factor

Del menú principal para generar una sesión de trabajo

3. Del menú principal de Scientific WorkPlace, elegir la sección view y activar las

siguientes barras de trabajo:

13

Unit BigFraction Superscript Parentheses Sum Name Operators Matrix Binomial Decoration

Radical Subscript Square Integral Display Brackets Math LabelBrackets Name

Math Templates Math Objects

Lowercase Binary Negated Miscellaneous GeneralGreek Operations Relations Symbols Latin-1 Punctuation

Uppercase Binary Arrows Special LatinGreek Relations Delimiters Extended-A

4. En la sección view del menú principal se localizan más barras, que se podrán activar

de acuerdo a las necesidades de trabajo, siendo las anteriores las más elementales.

Solve Plot 3D ShowEvaluate Exact Expand Rectangular Definitions

Evaluate Simplify Plot 2D NewNumerically Rectangular Definition

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2. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL

2.1 Definición de función

"Una función real de variable real es una aplicación f de un subconjunto no vacío D de R

en R”

Se llama función real porque su recorrido es R y de variable real porque el dominio

pertenece a R

f(x)=y es la ley de la función dada a través de una fórmula matemática y como viene

despejada la variable se dice que está escrita de forma explícita y que esta expresión

depende de x, ya que los valores de y se obtienen dando valores a x:

2.1.1 Funciones Elementales

1. Función constante:

f(x)=c; donde c perteneciente a R se llama constante para todo x perteneciente a R

Las gráficas de una función constante son rectas paralelas al eje de las x o abscisas

2. Función lineal:

f(x)= ax; para todo a perteneciente a y x pertenecientes a R

Casos particulares:

Si a = 1 entonces se obtiene la función identidad en R y su gráfica es la bisectriz de el

primer y tercer cuadrante

Si a = -1 entonces la gráfica será la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante

3. Función valor absoluto:

f(x)=ǀxǀ, para todo x perteneciente a R

La gráfica en valor absoluto nunca puede ir por debajo del eje de las x o abscisas y se

obtiene a partir de la función identidad subiendo la parte que se encuentra por debajo

del eje de las x haciéndolo simétrico a la parte que se encuentra por encima del eje x.

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4. Función afín:

f(x)= ax + b; a, b y x pertenecientes a R.

La gráfica de las funciones afines son gráficas que no pasan por el origen de

coordenadas, la constante b indica el punto donde corta al eje de las y, por encima o por

debajo del eje x

Relación entre las gráficas de la función afín y la función lineal: Una función afín siempre

tiene asociada una función lineal haciendo b igual a 0

2.1.2 Propiedades de funciones

Conmutativa: (fig.)(x)= (g+f)(x)

Asociativa: [f(x)+g(x)]+h(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)]

Elemento neutro: Para la suma de funciones es la constante 0

Opuesto de f(x)= -f(x), ya que f(x)+(-f(x))= 0

Conmutativa: f(x).g(x)= g(x).f(x) para todo f, g

Asociativa: [f(x).g(x)].h(x)= f(x).[g(x).h(x)] para todo f, g, h

Elemento neutro: Se llama elemento unidad y es la función constante 1

f(x).u(x)= u(x).f(x)= f(x) para todo f

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

f(x).(g(x)+h(x))= (f(x).g(x)) + (f(x).h(x))

Simetría de funciones:

Hay dos tipos de simetrías:

1. Simetría con respecto al eje y: función par

Función par: una función real de variable reales par y su gráfica es simétrica al eje y si

para todo x:

f(x) = f(-x)

2. Simetría con respecto al origen de coordenadas: función impar

Función impar: una función real de variable real es impar y su gráfica es simétrica

respecto al origen de coordenadas si para todo x:

f(x) = -f(-x)

16

2.2 Gráficas de funciones con Scientific WorkPlace

Para graficar una función en dos dimensiones, seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir y=f(x) , sombreando la expresión y pulsar sobre el icono:

Editándose la función en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:

b) Hacer “clic” en el ícono

para graficar la función deseada

Para graficar una función en tres dimensiones, seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir z=f(x,) , sombreando la expresión hacer clic en el icono:

Editándose la función en forma matemática (color rojo), indicado con el

ícono:


para graficar la función deseada

17

En el caso de las gráficas en dos y tres dimensiones de una función, se les puede agregar

título a las mismas y nombres a los respectivos ejes. Así como modificar estilos, colores,

escalas e intervalos a los mismos, haciendo doble clic en los extremos derecho, superior

e inferior, de dichas gráficas.

En seguida se muestran varios ejemplos de gráficas en dos y tres dimensiones. Haciendo

doble “clic” con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:

:

GRAFICAS DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex

18

3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL

3.1 Idea intuitiva de límite

El límite de una función y = f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en

puntos muy próximos a x0.

Por ejemplo, considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la

función, cuando x se aproxima al valor 3?

Solución:

Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los

valores que toma la función en puntos muy próximos a 3.

Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores

que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3,

mayor es la proximidad de f(x) a 7.

Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es 7,

y se escribe

7123

)x(limx

3.1.1 Límites laterales

El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende

la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0.

Para expresar el límite por izquierda se escribe )x(flim0xx

El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x → x0, es el valor al que tiende la

función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0.

Para expresar el límite por derecha se escribe )x(flim0xx

La relación entre el límite y los límites laterales de una función es la siguiente:

El límite de una función y = f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites

laterales y coinciden:

)x(flim0xx

= )x(flim

0xx

=L

Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.

En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:

7)1x2(lim)1x2(lim3x3x

3.1.2 Propiedades de los límites

Si una función f(x) tiene límite cuando x → x0, el límite es único.

19

Esto se puede escribir también así:

Si L)x(flim0xx

y ´

xxL)x(flim

0

L = L´

Ejemplo. Sea la función definida por

2xsi,7

2xsi,x)x(f

2

¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?

Solución:

Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 2, puede hacerse una tabla de

valores para puntos de abscisa próximos a 2:

Se observa que cuando x tiende a 2, tanto por la derecha como por la izquierda, la

función tiende al valor 4. Por lo tanto,

4)x(flim)x(flim)x(flim2xx2xx2xx

3.1.3 Límite de una función en un punto

1. Se dice que una función f(x) converge, en el punto x0, hacia el valor L, o que su límite

en x0 es L y se escribe L)x(flim0xx

, cuando a valores muy próximos a x0 corresponden

valores de la función muy próximos a L.

La definición anterior se puede concretar más:

2. Una función f(x) converge hacia L en x0, o tiene por límite L en x0, cuando para todo

entorno de L de radio ε, E(L, ε) = (L- ε , L+ ε), hay un entorno de x0 de radio δ, E(x0,δ)=

(x0 - δ,x0 + δ), tal que para cualquier x de E(x0, δ), su imagen f(x ) está en E(L, ε).

O bien:

3. Una función f(x) converge hacia l en x0, o tiene por límite L en x0, cuando para

cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x - x0 | < δ

3.1.4 Límites infinitos

Una función es divergente cuando su límite es +∞ ó -∞

Se estudiarán los siguientes casos sobre límites:

Caso 1.

)x(flim0xx

Ejemplo. Sea la función f(x) = 1 / x ².

20

Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores que

toman las imágenes de puntos próximos a 0. De la observación de la gráfica de la

función se deduce que:

Para valores próximos a 0 y menores que 0, la función toma valores cada vez mayores.

Esto significa que

2

0x x1lim

Para valores próximos a 0 y mayores que 0, la función toma valores cada vez mayores.

Esto significa que

2

0x x1lim

Puesto que

2

0x2

0x x1lim

x1lim entonces 20x x

1lim

En el caso de la función g(x) = -1/x ², el límite de la función cuando x → 0 es -∞.

Para valores próximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la izquierda,

los valores que toma la función son cada vez menores.

Caso 2. L)x(flim xx

Sea la función y = x / (x - 1).

Observando la gráfica de la función, se ve como a medida que x toma valores cada vez

mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x

tiende a infinito es 1.

11x

xlimx

De la observación de la gráfica se deduce que a medida que x toma valores cada vez

menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x

tiende a -∞ es también 1.

11x

xlimx

Caso 3. )x(flimx

Sea la función f(x) = x + 5.

Observando la gráfica se ve claramente que cuando x tiende a más infinito, la función

también tiende a más infinito. Es decir, a valores cada vez mayores de x, corresponden

valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto,

5xlimx

Cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez

menores. Por lo tanto,

5xlimx

Si se estudian los límites en el infinito de g(x) = -(x + 5), se tiene:

5xlim

x y

5xlimx

21

Es decir, cuando x toma valores cada vez mayores, x →+∞, la función toma valores cada

vez menores, g(x) →-∞

Y cuando x toma valores cada vez menores, x →+∞, la función toma valores cada vez

mayores, g(x) →+∞

3.1.5 Operaciones con límites

Sean f y g dos funciones tales que: A)x(flim0xx

y B)x(glim0xx

a) Límite de una suma de funciones

El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites

de cada una de ellas:

BA)x(glim)x(flim)x(gflim000 xxxxxx

b) Límite de una resta de funciones

El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los

límites de cada una de ellas:

BA)x(glim)x(flim)x(gflim000 xxxxxx

c) Límite de un producto de funciones

El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los

límites de cada una de ellas:

B.A)x(glim).x(flim)x(g.flim000 xxxxxx

d) Límite de un cociente de funciones

El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites

de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:

B/A)x(glim/)x(flim)x(g/flim000 xxxxxx

(B ≠ 0)

3.1.6 Ejemplos. Evaluar los límites de las siguientes funciones.

1) f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x

)x(g/flim)d)x(g.flim)c

)x(gflim)b)x(gflim)a

3x3x

3x3x

Solución:

Sean 3

13x

2

3x )x(glimy1122)x(flim

a) 3

343

13x3x3x 11)x(glim)x(flim)x)(gf(lim

b) 3

323

13x3x3x 11)x(glim)x(flim)x)(gf(lim

22

c) 3

113

13x3x3x 11)x(glim).x(flim)x)(g.f(lim

d) 33/11)x(glim/)x(flim)x)(g/f(lim 31

3x3x3x

8444164lím16x

xlím16x

4xlím16x

16x

4x16xlím

16x

4x

4x

4x

16xlím

16x

:conjugado el por ando Multiplic

4x

16x lím16x

)4

121

4441

4)2(222

1

4lím2x

x2lím2x

2xlím2x

1lím2x

4x22x

1lím

2x

)4x22x)(2x(

)2x(lím

2x

: doFactorizan

83x

2x lím2x

)3

161

)8(21

)1514(2

1

15lím1x

xlím1x

1)(x1x

lim

1

)15x4)(1x)(1x(

x1 lím1x

)15x4)(12x(

)15x(16 lím

1x

15x4

15x4

12x

15x4lím

1x


12x

15x4 lím

1x

)2

23

21

110

1

1lím0x

1lím0x

xlím0x

1lím0x

11x

1

0xlim

)11x(x

11x

0xlim

11x

11x

x

11x

0xlim

:conjugado el por ndoMultiplica

,x

11x

0xlim)7

81

441

0164

1

xlím0x

16lím0x

4lím0x

1lím0x

x164

1lím

0x

)x164(x

xlím

0x

)x164(x

x1616lím

0x

x164

x164

x

x164lím

0x


x

x164lím

0x)6

83

3212

)422)(22(

4)2(222

4lím2x

2xlím2x

2lím2x

xlím2x

4lím2x

x2lím2x

2xlím2x

)42x)(2x(

4x22xlím

2x

)42x)(2x)(2x(

)4x22x)(2x(lím

2x

)42x)(2x)(2x(

83xlím

2x

: doFactorizan

,

164x

83x lím2x

)5

24

3.2 Límites de Funciones con Scientific WorkPlace

Para evaluar el límite de una función con Scientific WorkPlace,

seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir limx→a f(x) , sombreando la expresión hacer clic en el icono:

Editándose el límite en forma matemática (color rojo),

indicado con el ícono:


Para evaluar el límite deseado

O también de la sección Compute del menú, hacer clic en

evaluate para evaluar dicho límite.

Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden

comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en

seguida:

Las evaluaciones anteriores están contenidas en el archivo:

EJEMPLOS LIMITES DE FUNCIONES.tex

Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse

sobre el ícono anterior.

En seguida se muestran más ejemplos resueltos de límites de funciones. Haciendo doble “clic” con el

botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:

:LÏMITES DE FUNCIONES. (SWP) 5.5.tex

1)

a) limx3x221

x34

3

b) limx3x221

x32

3

c) limx3x221

x11

3

d) limx3x221x

33

2) limx14 x15

x21

1

16

3) limx2x2

x38

1

12

4) limx16x16

x48

5) limx2x38

x416

3

8

6) limx04 16x

x 1

8

7) limx0x11

x 1

2

25

4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL

Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a

raíz del concepto de límite.

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son

los siguientes:

4.1 Definiciones de Derivada.

a) Pendiente de una curva: La pendiente del gráfico de la función f en el punto (x , f(x) ) es la

derivada de f en x.

b) Tangente a una curva: La recta tangente al gráfico de la función f en el punto

P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

c) Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta: La velocidad en el instante t de un

objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el

punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.

d) Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el

punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta

tangente a una curva, se podría iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en más

de un punto, como se muestra a continuación:

26

A medida que los intervalos de posición en x son más pequeños como el esquema que se muestra a

continuación, la línea recta tiende a ser más semejante a una línea tangente que a una línea recta

secante:

Analizando esta línea tangente, se puede ver que:

El triángulo rectángulo que se forma puede conducir a analizar cuál es la ecuación de la pendiente de

la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea

recta.

Como se puede apreciar, la ecuación que relaciona la línea recta está dada por la tangente:

27

Pero, se sabe para la línea recta dicha relación, da la pendiente de una línea recta:

Como se ha dicho, esta relación, de recta tangente se logra solo cuando los intervalos:

son pequeños, lo que equivale a decir que se genera el límite cuando

, o lo que equivale a decir que se genera el límite:

Fue a ese límite al que se le dio el nombre de derivada:

Donde, es una notación para indicar el operador de derivada.

4.1.1 Propiedades de la derivada de una función

a) Derivada de una función constante:

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor

de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera

del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0,

Por lo que:

Por lo tanto, la derivada de una constante es siempre cero.

b) Derivada de la función lineal f(x)=mx + b

28

Sea una función lineal cualquiera f(x)=mx+b. Para un punto cualquiera x,

Lo que significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en

consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

c) Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k. f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma k · f(x), basta

derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

d) Derivada de la función potencia xm (m un número natural)

Ejemplo. Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa x= - 1.

f '(x) = 2 · x2 - 1

= 2 x

f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2

Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.

e) Derivadas de funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x

f) Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

La derivada de la función f(x) = ln |x| es f '(x)= 1/x

g) Derivadas de las funciones exponenciales f(x)=ax y f(x)=e

x

29

Sea la función f(x) = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en

un punto x es:

f ´(x) =ax .ln a

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función f(x)=ex es

f ´(x) = ex

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita

encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por

consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

4.1.2 Operaciones con derivada de una función

a) Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función

suma en dicho punto, es:

[f(x) + g(x)]' = f '(x) + g '(x)

b) Derivada de una diferencia de funciones

[f(x) - g(x)}] '=f '(x)-g(x)'

c) Derivada de un producto de funciones

[f(x) . g(x)]'=f(x).g'(x)+f(x)'.g(x)

d) Derivada de un cociente de funciones

[f(x) / g(x)]'=[f´´(x).g(x)-f(x).g´(x)] / g(x)2, g(x)≠0

30

4.1.3 Ejemplos. Calcular las derivadas de las siguientes funciones.

)3x2(2

)8x32

x(33

)8x32

x(dxd

3)8x3

2x()x(f 3)

)44

x5(6

)8x45

x(77

)8x45

x(dxd

7)8x4

5x()x(f )2

)7x6(4

)1x72

x3(55

)1x72

x3(dxd

5)1x7

2x3()x(f )1

dx

df

dx

df

dx

df

1x4sen

4

x4sen1

4

2)x4sen1(

)x4sen1(4

)x4sen1(4x4sen4

2)x4sen1(

)x42cosx42sen(4x4sen4

2)senx1(

x42cos4x42sen4x4sen4

2)x4sen1(

)x4cos4)(x4(cos)x4sen4)(x4sen1(

2)x4sen1(

)x4sen1(dxd)x4(cos)x4(cos

dxdx4sen1

2

2

2

2

3

33

3

3

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

dx

df

x4sen1x4cos)x(f 5)

x1cosx3

x1xsen

dx

df

x1cosx3

x1sen

x

1xdx

df

xdxd)

x1(cos)

x1(cos

dxdx

dx

df

x1cosx

dxd

dx

df

x1cosx)x(f )4

31

1x

xx

dx

df

x )1x(xdx

df

)x2()1x(21x

dx

df

1xdx

dxx

dx

d

dx

df

x)x(f )7

x2sen2dx

df

x2sen2dx

df

)x2sen2(dx

df

x2cosdx

d)(dx

d

dx

df

)x(f )6

2

12

122/12

2/1212

21212

12

x2cos

x2cos

x2cos

x2cosx2cos

x2cos

e

e

e

ee

e

e

e

e

ee

e

4.2 Derivadas funciones con Scientific WorkPlace

Para evaluar una derivada de una función con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir )(xfdxd , sombreando la expresión y hacer “clic” en el icono:

Editándose la derivada en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:


Para evaluar la derivada deseada

O también de la sección Compute del menú, elegir evaluate para evaluar dicha derivada.

32

Los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal

como se muestra en seguida:

1) d

dx3x 2

7x 15 56x 73x 27x 1

4

2) d

dxx 54x 87 75x 4

4x 54x 8

6

3) d

dxx 23x 83 32x 3x 2

3x 82

4) d

dxx 3cos 1

x x sin 1x 3x 2 cos 1

x

5) d

dx

cos4x

1sin 4x

4

sin 4x1

6) d

dxecos2x

2sin2xecos2x

7) d

dxe x2

1x e x2

1

x21


EJEMPLOS DERIVADAS DE FUNCIONES.tex



Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de derivadas de funciones. Haciendo doble “clic”

con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:

33

DERIVADAS DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex

5. EL DIFERENCIAL DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL

5.1 Definición de diferencial.

Sea f(x) una función derivable. Entonces la diferencial de de una función correspondiente al

incremento h de la variable independiente, es el producto f ´(x).h. Se representa por df ó dy. Es decir:

df=dy= f ´(x).h

ó

df= dxdx

df= f ´(x)dx

para incrementos diferenciales de h (h=dx)

Donde la diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a

un incremento de la variable (ver figura)

H

QR

PR

QRtg)x´(f

34

5.1.1 Ejemplos. Calcular las diferenciales de las siguientes funciones.

dx2x1

x2

2x1

x2

2)

2x1(

x22

)2x1(1

2x1dxd

2x1

1

dxd

2x1

1)x(f

dx)2x3(sen)2x3(2

cos

)2x3(sen)2x3(2

cos

)2x3(2x1

x2sen3)2x3(

2cos3)2x3(

3cos

dxd

)2x3(3

cos)x(f)2

)x43

x24)(32

x24

x6(2

x243

x1605

x1447

x288

)x43

x24)(32

x24

x6(2)32

x24

x6(dxd

)32

x24

x6()x(f)1

df

:entonces

dxdx

dfdf

:donde

x2dx

df

dx

df

9df

:entonces

dxdx

dfdf

:donde

9dx

df

dx

df

dxdf

:entonces

dxdx

dfdf

:donde

dx

df 2

2

3)

35

dx

dx

d1x

112x1x

dxd

12x

4x

dxd

12x

4x)x(f

dx

x21edxd

x21e)x(f)5

)x(dxd

)1xln()1xln(dxd

x))1xln(x(dxd

)1xln(x)x(f)4

1x82x1x

1df

:entonces

dxdx

dfdf

:donde

1x82x1x

11xx21x)1x(

dx

df

)1x(dx

d1x1x

dx

df

e2df

:entonces

dxdx

dfdf

:donde

e2)x21(dx

de

dx

df

dx)1xln(1x

xdf

:entonces

dxdx

dfdf

:donde

))1xln(x)1xln(x(1x

1)1xln(

1x

x)1xln(

1x

1x

dx

df

dx

df

22

22

1222

1212

x21

x21x21

6)

36

5.2 Diferenciales de funciones con Scientific WorkPlace

Como se ve en la definición de diferencial, se utiliza la definición y propiedades de la derivada. Por lo

tanto y como en la sección anterior, las rutinas y dinámicas de cálculo con Scientific WorkPlace para

las diferenciales de una función serán las mismas que en la sección 4.2.



1) d6x 42x 2

32 288x 7144x 5

160x 324xdx

2) dcos3x 23sin3x 2dx

3) d 1

1x22 x

x21

2dx

4) dx lnx 1 1

x1x lnx 1x lnx 1 dx

5) de12x2e12xdx

6) dx4

x21

1

x21

2x 2

8x 1dx


EJEMPLOS DIFERENCIALES DE FUNCIONES.tex


sobre el ícono anterior

Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de diferenciales de funciones. Haciendo doble “clic”

con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono.

DIFERENCIALES DE FUNCIONES.tex

37

6. LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL

6.1. Definición de integral indefinida

La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la derivada. Es

decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que Df = F.

Definición. Si f es derivable, se define al diferencial de una función df, como el producto de la derivada

de f por un incremento de la variable Δx. Es decir:

Por ejemplo:

De lo anterior, se puede deducir la siguiente expresión:

6.1.1 Primitiva de una función

Definición: Dada f de dominio (a;b), se dice que P es primitiva de f en (a;b), si y sólo si

P'(x) = f(x) en ese intervalo. Es decir, f es "hija" de P, que surgió gracias a un proceso de derivación.

Por lo tanto, el encontrar la función P es un proceso inverso o contrario a la derivación, y se lo conoce

como integración o antiderivación. Entonces:

P es primitiva de f en (a;b), sí y sólo si P'(x) = f(x)

Extiendo este teorema se puede afirmar que si P es primitiva de f, en realidad f tiene infinitas

primitivas, y que todo par de primitivas de esa función difieren en una constante arbitraria real C. A

este conjunto de infinitas primitivas de f, [P(x) + C], se le denomina Integral Indefinida de f.

Donde: ʃ es el símbolo integral, f la función integrando y C la constante de integración.

Por ejemplo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

38

6.1.2 Propiedades de la Integral indefinida

1) , con f integrable.

2) , con f derivable

Nota: De lo anterior, se puede deducir que al integrar y derivar una misma función de manera

simultánea, estos dos procedimientos se anulan. Es decir no tienen efecto alguno sobre la función.

3)

Esta última propiedad se la conoce como Propiedad Lineal de la Integral Indefinida

39

Principales funciones primitivas:

Función : primitiva de función : derivada de

Por ejemplo, al buscar una primitiva de x(2-3x). Como no se conoce primitivas de un producto, se

desarrolla la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2

, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x

2

tiene como primitiva x2 - x

3 + k.

40

6.1.2 Ejemplos. Calcular las integrales Indefinidas de las siguientes funciones.

C)1x2(48

1

C48u

C8

u61

duu61

dxxdu61dxx6du ,1x2u

dxx1x2 3)

Cx161

Cx41

41

dxx41

dx4x 2)

2xx3

1

Cx31x

3

2

C3

x

2/3x

dxxdxx

dxxx )1

83

8

8

7

223

273

4

4

3

3

2/32/3

32/3

32/3

22/1

2

41

C2

2

x1

3

31

31

31

2

3123

3

2

2

21

21

21

212

2

xln21

Cc

u

udu

dxdu ,xlnu

dxxxln )6

C2xln

Culn

duu1

dxxdu ,dxx3du ,2xu

dx2x

x )5

C1xln

Culn

duu1

xdxdu ,xdx2du ,1xu

dx1x

x )4

6.2 Integrales Indefinidas con Scientific WorkPlace

Para evaluar una integral indefinida de una función con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente

procedimiento:

a) Escribir dx)x(f , sombreando la expresión y hacer clic en el icono:

Editándose la derivada en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:

42


Para evaluar la integral deseada

O también de la sección Compute del menú, elegir evaluate para evaluar dicha integral.



1) x x 2dx 1

3x

3

2 x3

2 2

2) x3

4dx 1

16x 4

3) 2x 317x 2dx 16

3x 24

64

3x 21

112

3x 18

112

3x 15

70

3x 12

28

3x 9

7

3x 6

1

3x 3

4) x

x21

dx 1

2lnx 2

1

5) x2

x32

dx 1

3lnx 3

2

6) ln xx dx 1

2ln2x


EJEMPLOS INTEGRALES DE FUNCIONES.tex

43



Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de integrales de funciones. Haciendo doble “clic”

con el botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:

INTEGRALES DE FUNCIONES (SWP 5.5).tex

44

7. LA INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL

7.1 Definición de Integral definida

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia

F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin

mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo

de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de las x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste

es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la

que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y

negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de las

x.

7.1.1 Propiedades de la Integral definida

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites

de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues

si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_an%C3%A1lisis

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_derivada

45

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de

una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden

obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

7.1.2 Ejemplos. Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones.

3

91

3

13342

14

12583

172

523

1522

3

12

2

21

3133

33

2

5

32

5

2

5

2

5

2

2

5

2

xx

dxxdx

dx)x()

1

2

2

3

03

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

e

eee

ee

e

x

udu

dxdu ,xu

dx)

u

x

http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_de_funciones_matem%C3%A1ticas

46

8613518

4

4

43

2323

3

2

23823513

2

52

4

23

3

2

52

4

21

52

4

21

52

4

23

32 4

..

uduu

dudx ,dxdu ,xu

dxx

dxx)

//

//.

.

/

.

/

.

/

.

/x

coscos

xcosx

dxsenx)

/

/

16

218

228

4

44

2

2

2

2

2

3128

38

3136

2424

4444

3

35

3

64

3

64

2

2

33

3

12

2

33

3

1

4

4

2

2

33

3

1

4

4

4

4

2

4

4

2

xx

dxxdxx

dxxx)

47

)e(eee

ee

edue

dxxdu,dxxdu ,xu

dxx

xe )

e

eee

eduedue

dxdu ,dxdu ,xu

dxe 6)

uu

///

4

1

uuu

4x-

1222

2

22

2

7

1

44

2

12

2

1

2

1

2121

2

121

8

4

1

4

1

8

4180

41

0

8

0

8

41

8

0

41

4

1

2

0

7.2 Integrales definidas con Scientific WorkPlace

Para evaluar una integral definida de una función con Scientific WorkPlace, seguir el mismo

procedimiento utilizado para evaluar integrales indefinidas, con la variante de agregar superíndice y

subíndice a la integral a evaluar, con los límites superior e inferior a evaluar, respectivamente.



48

1) 5

22x 2

dx 91

3

2) 2

1ex2

dx e31

3) 4

2.54x dx 13. 86

4)

2

24sinxdx 61

5) 4

4x 23xdx 128

3

6) 0

2e4xdx 1

4

1

4e8

7) 1

4 e x

xdx 2ee1


EJEMPLOS INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES.tex



Enseguida se muestran varios ejemplos resueltos de integrales de funciones. Haga doble “clic” con el

botón izquierdo del mouse en el siguiente ícono:

INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES.tex

49

7.3. Aplicaciones de la integral definida. Área bajo una curva con Scientific WorkPlace

A continuación se presenta el cálculo del área bajo una función, utilizando Scientific WorkPlace.

1) 1

2.5x 2

10dx 10. 125

Graficando a: y x 210

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

2) 0

0.5sinxdx 0.31831

Graficando a: y sinx

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

50

3) 1

3lnx 1dx 3 ln3

Graficando a: y lnx 1

1 2 3 4 5

-1

0

1

2

x

y

4) 2

3x 2 x 2

2 dx 7

37 2

32

Graficando a: y x 2 x 22

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

5) 0

/2sinx cos2xdx 1

3

Graficando a: y sinx cos2x

-3 -2 -1 1 2 3

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

x

y

51

6) 9

2

8xx 4

2

3 dx 9777

3203 2

Graficando a: yxx 42

3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

x

y

7) 1

2expx 1dx e2

e13

Graficando a: y expx 1

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

8) 0

1xex2

2dx 5

2

1

2e1

Graficando a: y xex2

2

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

x

y

52

9) 1

1cos2

xdx 1

Graficando a: y cos2x

-2 -1 1 2

-1

1

x

y

10) 1

3tanh2xdx 1

2lne12

11

2lne4

12

Graficando a: ytanh2x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

11) 1

1.2csc22xdx 0.31701

Graficando a: y csc22x

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

x

y

53

12) 1

4x 33x 2

x 2dx 501

4

Graficando a: y x 33x 2

x 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-40

-20

20

40

60

80

100

120

140

x

y

13) 4

5 1

x3dx ln2

Graficando a: y 1

x3

-2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

x

y

14) 2

4

1x 12dx 2 ln29

4

Graficando a: y 1x 12

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

x

y

54

15) 2

4x 43x 2

2dx 1292

5

Graficando a: y x 43x 2

2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

100

200

300

400

500

600

700

x

y

16) 3.5

4x expx 2dx 4. 3386 106

Graficando a: y x expx 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4e+8

-3e+8

-2e+8

-1e+8

1e+8

2e+8

3e+8

4e+8

x

y

17) 4

2 x

1xdx ln32

Graficando a: y x

1x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

x

y

55

18) 2

3x lnx 2dx 9 ln34 ln25

2

Graficando a: y x lnx 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

19) 2

3 exp x

1exp xdx lne3

1lne21

Graficando a: y exp x

1exp x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x

y

20) 0.75

1.00sec2x tanxdx

0.75

1.0 1

cos2xtanx dx

Graficando a: y secx tanx

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

x

y

56

Las evaluaciones anteriores están contenidas en el siguiente archivo:

APLICACIONES DE LA INTEGRAL (SWP 5.5).tex

Al que se puede acceso directo, haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse.

57

8. PRÁCTICAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CON SCIENTIFIC WORKPLACE

INSTRUCCIONES. Para prácticas siguientes se recomienda seguir la estructura, formato y detalles

que se dan en el Apéndice C. Reporte de Práctica (página 69) de este trabajo.

PRÁCTICA NO. 1 GRÁFICAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE

Objetivo: El alumno graficará funciones algebraicas y trascendentales de una variable en dos y tres

dimensiones mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.

Así como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.

1. Ejemplos. Graficar las siguientes funciones:

)x(Lny)

)xcos(y)

xxy)

xy)

xy)

35

124

23

22

2

11

3

3

1

2

2. Ejercicios a practicar:

xcos

xcossenxy)

xcoshsenhxy)

x

eey)

x

xy)

xxxy)

x

xsecy)

)x(seny)

xxy)

xxy)

xy)

xx

110

9

8

1

27

2326

15

134

13

332

4

21

23

2

3

3

1

2

2

3. Ejercicios complementarios:

)x(xLny)

)xcos(y)

xxy)

xy)

xy)

125

24

23

132

3

221

1

3

1

3

58

PRÁCTICA NO. 2 LÍMITES DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE

Objetivo: El alumno evaluará Límites de funciones algebraicas y trascendentales de una variable

mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así como

valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.

1. Ejemplos. Evaluar los límites de las siguientes funciones:

7

75

24

1

643

2

42

121

3

7

2

234

0

23

1

2

2

2

2

x

xlim)

x

xxxlim)

x

xxxlim)

x

xlim)

xxlim)

x

x

x

x

x


2

23

1

2

0

3

3

1

2

2

1

0

0

23

1

2

3

1

234

3

1

622261010

29

3

128

222

17

2

26

5

4

24

1

643

1

22432

321

x

xxxlim)

x

xxlim)

x

xlim)

x

xlim)

x

xxlim)

coslim)

x

xsenlim)

x

xxxlim)

x

xxlim)

xxxxlim)

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x


x

xlim)

x

xxlim)

x

xlim)

x

xxlim)

xlim)

x

x

x

x

x

425

3

81184

8

643

7

2142

11

2

0

2

34

3

3

8

2

2

2

1

59

PRÁCTICA NO. 3 DERIVADAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE

Objetivo: El alumno evaluará Derivadas de funciones algebraicas y trascendentales de una variable

mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así como

valorará la excelente presentación los resultados.

1. Ejemplos. Evaluar las derivadas de las siguientes funciones:

)x(cosxy)

exy)

x

xy)

xxy)

xxxy)

x

85

34

14

463

4322

321

32

23

23


32

3210

329

8

1

17

136

35

21

14

5

13

532

251041

4

3

2

1

23

2

234

x

)x)(x(y)

)x(csxy)

ee

eey)

)x(

)x(y)

)x́(seny)

)xx(secy)

xlny)

x

xtany)

xsen)xcos(y)

xxxxy)

xx

xx


)x(Lny)

e)xcos(y)

x

xy)

xxy)

xxxy)

x

15

14

31

53

632

1761

3

23

2

23

60

PRÁCTICA NO. 4 DIFERENCIALES DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORKPLACE

Objetivo: El alumno evaluará Diferenciales de funciones algebraicas y trascendentales de una

variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo. Así

como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.

1. Ejemplos: Evaluar los diferenciales de las siguientes funciones:

4

165

34

51

413

312

1451

32

3

24

x

)x(seny)

eexy)

x

xy)

xxy)

xxxy)

xx


5

2410

49

18

2

27

46

225

434

4

33

132

3210151

2

32

22

3

2

52

1

23

x

)x)(x(y)

)x(cosxy)

eey)

)x(

)x(y)

x

)´xln(y)

)xx(y)

x

xy)

x

xLny)

xcsc)xsec(y)

xxxy)

xx


))x(Ln(seny)

)xx(ey)

x

)xln(y)

xxy)

xxxy)

x

25

14

5

53

5322

1051

3

2

23

23

61

PRÁCTICA NO. 5 INTEGRALES INDEFINIDAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORK PLACE

Objetivo: El alumno evaluará Integrales Indefinidas de funciones algebraicas y trascendentales de

una variable mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.

Así como valorará la excelente presentación de los resultados obtenidos.

1. Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales indefinidas:

dxxx

x)

dxxe)

dxxcos

xtan)

dxx

x)

dx)xxx()

x

84

225

4

3

42

4321

2

2

2

23


dxxx

)

dx)e(sece)

dxsen

xcossenx)

dxe

e)

dxxcscx)

dxxlnx)

dxxx)

dxxcos

xtan)

dxxxx

x)

dx)xxx()

xx

x

x

94

110

9

8

1

67

226

5

34

3

32

352

67431

2

2

2

3

2

23

33


dxxx

x)

dxx

xln)

dxxx

dx)

dxee

ee)

dx)xxx()

xx

xx

23

3175

24

923

2

13641

2

2

5

2

23

62

PRÁCTICA NO. 6 INTEGRALES DEFINIDAS DE FUNCIONES CON SCIENTIFIC WORK PLACE

Objetivo: El alumno evaluará Integrales Definidas de funciones algebraicas y trascendentales de una



1. Ejemplos. Evaluar las siguientes integrales definidas:

dxxcossenx)

dxxcos

senx)

dx)x(x)

dxx

x)

dx)xxx()

2

2

02

7

3

31

4

02

3

0

23

5

14

33

122

76231


3

0

5

3

4

1

5

3

2

2

0

3

0

2

4

2

2

2

1

4

1

2

4

2

2

110

429

8

23

17

6

5

3

24

13

2

11

dxx

x)

dxxx

x)

dxx

xln)

dxxx

)

dxsenxxcos

senx)

dxxcosxsen)

dxxx

)

dxe

e)

dxxlnx)

dxx

x)

x

x


dxxx

x)

dxxsenx)

dxx

xln)

dxx

x)

dx)xxx()

6

2

23

0

4

1

2

7

2

3

2

4

1

24

445

4

3

32

1161

63

PRÁCTICA NO. 7 APLICACIONES. ÁREA BAJO UNA CURVA CON SCIENTIFIC WORK PLACE

Objetivo: El alumno calculará áreas bajo curvas de funciones algebraicas y trascendentales de una



1. Ejemplos. Graficar la región acotada por las siguientes expresiones algebraicas y encontrar el área

de la región.

48

2

2

2

3

31

5

511

4

41123

1442

2021

x;x;xcosy)

x;x;x

y)

xx;xxy)

x;x;xxy)

x,x;xy)


53110

424329

428

141

17

226

345

214

103

301

2

2141

4

23

21

6

2

1

2

2

x;x;xy)

x;x;xxxy)

x;x;eey)

x;x;x

y)

x;x);xln(y)

x;x;xcosey)

x;x;xtanxy)

xx;ey)

x;x;ex

y)

x;x;xy)

xx

x

x

x


115

412034

421

13

424322

1111

2

23

2

41

x;x;xsenxy)

x;x;y)

xx;x

y)

x;x;xxy)

x,x;xy)

x

64

9. APENDICE

Apéndice A. Factorización de expresiones Algebraicas con Scientific WorkPlace

La factorización de expresiones algebraicas con Scientific WorkPlace es una herramienta útil cuando

éstas requieren simplificarse previamente, para evaluarse en cierto límite, derivada ó integral, según

sea el caso.

Para factorizar una expresión algebraica con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:

a) Escribir la expresión a factorizar, sombreando la expresión y hacer “clic” en el icono:

Editándose la expresión en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:

b) Abrir la sección compute de la barra de herramientas

c) Hacer “clic” en factor de la sección compute de la barra de herramientas

Factorizándose la expresión algebraica deseada

Los ejemplos siguientes están contenidos en el archivo:

FACTORIZACION.tex

Al que se puede acceso directo, haciendo doble “clic” con el botón izquierdo del mouse.

65

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS CON SCIENTIFIC WORKPLACE

1) x 52x 3

x 3x 22

2) x 32x 2

3x xx 3x 1

3) x 264 x 8x 8

4) x 281 x 9x 9

5) x 2225 x 15x 15

6) x 327 x 33x x 2

9

7) x 38 x 22x x 2

4

8) x 364 x 44x x 2

16

9) x 3125 x 55x x 2

25

10) x 31000 x 1010x x 2

100

11) x 30.001 1

100010.0x 1.010.0x 100.0x 2

1.0

12) x 3

8

27

1

273x 26x 9x 2

4

13) x 22x 1 x 12

14) x 26x 5 x 5x 1

15) 6x 25x 6 2x 33x 2

16) 12x 229x 15 4x 33x 5

17) 6x 213x 28 2x 73x 4

18) x 416 x 2x 2x 2

4

19) x 8y8

x yx yx 2y2

x 4y4

20) 2x 3y26xy3

2xy23yx 2

21) 8x 3y224x 2xyz18x 2z2

2x 24xy2

9z212xyz

22) 8x 364y3

8x 2y2xyx 24y2

23) x 4x 2

1 x x 21x x 2

1

24) x 4y4

7x 2y23xyx 2

y23xyx 2

y2

25) 88x 2x 3

x 5 x 1x 2x 12x x 2

4

26) x 39x 2

26x 24 x 3x 4x 2

27) x 45x 3

4x 27x 3 x 3x 13x x 2

1

28) x 36x 2

11x 6 x 3x 1x 2

29) x 32x 2

5x 6 x 2x 3x 1

30) x 42x 3

12x 22x 11 x 1x 12x x 2

11

66

Apéndice B. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales

udxd

uarcsenu

dxd

udxduuu

dxd

udxduuu

dxd

udxduu

dxd

udxduu

dxd

udxdsenuu

dxd

udxdusenu

dxd

vdxdvvuu

dxdvvuvu

dxd

udxdnnunux

d

v

vdxduu

dxdv

vu

dxd

udxdvv

dxduuv

dxd

nnxnxdxd

udxdccu

dxd

vdxdu

dxdvu

dxd

xdxd

h

xfhxf

h

eesenhh

eeh

ee

ee

senh

ee

eesenh

ee

eesenh

h

h

senh

21

1 .63

cotcsccsc .62

tansecsec .61

2csccot .60

2sectan .59

cos .58

cos .57

ln1 .56

1 .55

25 .54

)( .53

1.52

.51

)( .50

1 .49

,)()(

0lim

dx

df(x) .48

21csc .47

2

cosh

1sec .46

coshcoth .45

coshtanh .44

2cosh .43

2 .42

2csc12coth .41

2sec2tanh1 .40

122cosh 39.

AS.HIPERBÓLIC

RICASTRIGONOMÉT SIDENTIDADE .III

DERIVADALA

DE DEFINICIÓN

.DERIVACIÓN DE REGLAS IV.

0.x lnxe 36. xe

prerp

(e 38. q-p

eq

e

pe

35. qp

eq

ep

e 31

ua 34.

n(ab) 37. u(a

6. 5.

3.

2.

xx

ub

vuava

ua

ubuuvvvuavaua

sensen

sensensen

sensensen

sensen

sensensen

sensensen

sensen

sensen

sensen

sensensen

sensen

sensensen

ca

sen

hipco

sen

oc

ac

ac

hip

oc

hip

ac

oc

hip

ac

hip

ocsen

ln .32

).

b

a .30

aa) 33. 29.

AS.LOGARITMIC Y

CIÓNEXPONENCIA DE REGLAS II.

222coscos .28

22cos2 27.

2cos

2cos2coscos .26

2cos

22 .25

)cos()cos(21 .24

)cos()cos(21coscos .23

)()(21cos .22

)()(21cos .21

2tan1

tan22tan 20.

12cos222122cos2cos .19

cos22 .18

tantan1

tantan)tan(.17

coscos)cos( 16.

coscos)( 15.

tantan1

tantan)tan( 14.

coscos)cos( 13.

coscos .12

2cos1212cos 11.

cos2-1212 .10

2csc2cot1 .9

2sec2tan1 .8

12cos2 7.

..

.cot

.sec

..csc .4

.

..tan

.cos

.. .1

RICAS.TRIGONOMÉT SIDENTIDADE I.

θ

67

cuuudu

cuuudu

csenuudu

cuudu

cuuduu

cuuduu

cuudu

cuudu

csenuudu

cuduusen

udxduhuhu

dxd

udxduhuhu

dxd

udxduhu

dxd

udxduhu

dxd

udxdsenhuu

dxd

udxdusenhu

dxd

xgdxdxgf

dxdxgf

dxd

udxdueue

dxd

udxdauaua

dxd

udxd

auua

dxd

udxd

uu

uarcdxd

udxd

uu

uarcdxd

udxd

uuarc

dxd

udxd

uu

dxd

udxd

u

udxd

cotcsclncsc .88

tanseclnsec .87

lncot .86

seclntan .85

csccotcsc .84

sectansec.83

cotcsc .82

tansec .81

cos .80

cos .79

N.INTEGRACIÓ DE REGLAS V.

cothcsccsc.78

tanhsecsec.77

2csccoth.76

2sectanh.75

cosh.74

cosh.73

,)()))((())(( .72

.71

ln .70

ln1 log .69

12

1 csc .68

12

1 sec .67

21

1 cot .66

21

1 arctan .65

21

1 arccos .64

2

2

CADENA

LA DEREGLA

ba

afbfdxxf

cau

aaudu

auuaauudxau

cauarcsenauaudxua

cauau

aaudu

cauau

auadu

cau

aauu

du

cau

auadu

causen

ua

du

caa

dua

cee

cuudu

cucuduru

cun

duu

vduuvudu

chuuduhu

chuuduhu

cuuduh

cuuduh

cuhudu

csenhuhudu

csenhuudu

cuudu

csenhuudu

cusenhudu

uu

uu

r

nn

)()()( .113

arctan1 .112

ln22

.111

22 .110

ln21 .109

ln21 .108

sec1 .107

tan1 .106

.105

ln1 .104

.103

ln .102

-1r ,ln , -1r , .101

11 .100

, .99

csccothcsc .98

sectanhsec .97

coth2csc .96

tanh2sec .95

21tanhlncsc .94

1tansec .93

lncoth .92

coshlntanh .91

cosh .90

cosh 89.

22

222

2222

22222

22

22

1

22

1

22

1

22

1

1

PARTES PORNINTEGRACIÓ

68

Apéndice C. Reporte de Práctica (1)

Descripción de los puntos a desarrollar en la estructura del reporte de una práctica

de matemáticas

I. CARÁTULA

1. Escribir con mayúscula y negrita el nombre de la institución correspondiente,

centrada y con su logotipo a la izquierda.

2. Escribir en seguida con mayúscula y negrita el nombre de la división

correspondiente, centrada y con su logotipo a la derecha. Al mismo nivel del logotipo

de la institución.

3. Escribir el nombre de la práctica, centrada, a tres interlineados.

4. Escribir el número de la práctica alineado a la izquierda, a tres interlineados.

5. Escribir los integrantes del equipo de alumnos que realizó la práctica, a un

interlineado cada integrante, centrados.

6. Escribir la fecha en que se realizó la práctica (dd/mm/aa) alineada a la izquierda, a

tres interlineados.

7. Escribir el periodo escolar correspondiente (año-semestre) en que se realizó la

práctica, a tres interlineados.

II. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA

1. Describir detalladamente los objetivos generales de la práctica.

2. Describir detalladamente los objetivos específicos de la práctica, si existen.

III. MARCO TEÓRICO.

Desarrollar manera detallada (evitando demostraciones matemáticas) el marco teórico

mediante el cual se sustenta el tema a tratar. Así como la descripción breve del software

utilizado, con las rutinas y librerías del mismo utilizadas específicamente en el tema a

tratar.

IV. MATERIAL Y EQUIPO

Enlistar y describir de manera breve el material y equipo a utilizar (tipo, serie, cantidad,

etc.)

69

V. DESARROLLO

En esta parte, el reporte de la práctica deberá contener de manera detallada los

siguientes puntos:

a) Ejemplos

Realizar junto con el docente y de manera detallada por lo menos 5 ejemplos de inducción

al tema de la práctica correspondiente, con el software propuesto.

b) Ejercicios de práctica

Resolver de manera individual y/o colectiva, en la sesión correspondiente, una serie de 20

ejercicios por lo menos, del tema la práctica correspondiente.

c) Cotejo de resultados

Cotejar algunos de los resultados de algunos ejercicios obtenidos en la práctica

correspondiente, en forma manual (hoja-lápiz), con los obtenidos mediante el software

elegido.

d) Ejercicios complementarios

Con el objetivo de seguir ejercitando, resolver por lo menos 5 ejercicios adicionales de la

práctica correspondiente, mediante las dos formas: manual y mediante el software

propuesto, comparando sus resultados.

Nota: Los problemas resueltos de las secciones anteriores se deberán integrar al reporte

de práctica, exportándolos como dibujos al procesador de texto mediante el cual se edite

la práctica, ya que Scientific WorkPlace es compatible con Microsoft.

VI. CONCLUSIONES

Escribir las conclusiones obtenidas de la práctica correspondiente, analizando las

características y viabilidad de Scientific WorkPlace, describiendo sus ventajas y

desventajas en la solución de problemas de abordados en la práctica correspondiente.

VII. BIBLIOGRAFÍA

Escribir la bibliografía consultada el desarrollo y reporte de la práctica correspondiente.

(1) El formato del reporte será con letra Arial, tamaño 12 e interlineado de 1.5

espacios.

70

10. BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

1. SWOKOWSKI EARL W. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, SEGUNDA

EDICIÓN, 1985. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA

2. ZILL, DENNIS G. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”, PRIMERA

EDICIÓN, 1987. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.

3. LARSON, RON, HOSTETLER, ROBERT, BRUCE, EDWARDS. “CÁLCULO CON

GEOMETRÍA ANALÍTICA”, 8ª. EDICIÓN 2006. ED. MC GRAH HIL.

4. SCIENTIFIC WORKPLACE V. 5.50 BUILD 2953. MACKICHAN SOFTWARE, INC.

WEB SITE: http://www.makichan.com

http://www.makichan.com/

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