CÁLCULO VECTORIAL. INTEGRACIÓN MÚLTIPEcolomepg/INTEGRACION_MULTIPLE.pdf · Determinar el valor...

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Este estudio se concretará a los casos de dos y tres variables, dado que las aplicaciones, en su mayoría, se sujetan a ese número de argumentos. LA INTEGRAL DOBLE Definición. Sea una región R del plano " "xy tal que toda recta paralela a uno de los ejes coordenados y que pasa por un punto interior de la región, corta a su frontera en dos puntos, siendo esta frontera una curva suave en pedazos. A esta región se le llama Región Regular y se clasifica en dos tipos:

Tipo I

( ) ( ) ( ){ }1 2, ; ; ,R x y a x b g x y g x x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈

Tipo II

( ) ( ) ( ){ }1 2, ; ; ,R x y h y x h y c y d x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈

x

y

( )2g x

( )1g x

b a

R

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Sea una función ( ),z f x y= continua, valuada

positivamente y limitada en su dominio por una cierta región regular R .

Se pretende calcular el volumen del sólido limitado arriba por la superficie de ecuación ( ),z f x y= y abajo por la Región R .

x

y ( )1h y ( )2h y

c

d

R

x

y

z

R

( ),z f x y=


3Se divide la Región R en un número finito de subregiones no superpuestas, con lo que quedará definida una partición. La división de R en “rejillas” se puede hacer de dos formas:

Al área de la i-ésima subregión se le denota con iAΔ en el primer caso y i ix yΔ Δ en el segundo. Ahora se escogen, en cada subregión, puntos arbitrarios. Así, para cada i-ésima subregión se tiene el punto ( ),i ix y el cual

conduce a ( ),i i iz f x y= que es la altura del elemento

cilíndrico cuya área de la base es iAΔ o i ix yΔ Δ , dependiendo del caso. Este elemento cilíndrico tiene como base a la subregión y está limitado arriba por la superficie. Como se observa en ambos casos en las figuras siguientes, si se obtiene el volumen iVΔ del i-ésimo cilindro, se tienen las expresiones correspondientes a cada modo de partición.

RR

x

y y

x

Δ

( ),i ix y ( ),i ix y

ixΔ

iyΔ


4

( ),i i i iV f x y AΔ = Δ ( ),i i i i iV f x y x yΔ = Δ Δ

Ahora con estas expresiones es posible construir las sumas de Riemann:

( )1

,n

i i ii

f x y A=

Δ∑ ( ), 1

,n

i j i ji j

f x y x y=

Δ Δ∑

A partir del límite de estas sumas de Riemann se define la integral doble como: Definición. Sea una partición de una Región Regular R , formada a base de subregiones no superpuestas, de formas irregulares o con celdas rectangulares. Entonces se dice que la función escalar ( ),z f x y= es doblemente integrable con respecto a x y con respecto a y en la región R si existe un número real I tal que para las particiones consideradas se tiene que:

( ) ( )1 , 1

, ,n n

i i i i j i ji i j

f x y A I y f x y x y Iε ε= =

Δ − < Δ Δ − <∑ ∑

donde 0ε > y tan pequeño como se desee. En estos casos, al número I así determinado y denotado por

x

y

z

x

y

z

iyΔiAΔ

ixΔ


5

( ),R

I f x y dA= ∫∫ ( ),R

I f x y dxdy= ∫∫

se le llama la integral doble de ( ),z f x y= con respecto a x y con respecto a y en la región R considerada. Esta definición es equivalente a presentar a la doble integral como el límite de la suma de Riemann cuando la norma de la partición tiende a cero o cuando el número de subregiones de la partición tiende a infinito. Esto es,

( ) ( )10

, lim ,n

i i iN iR

f x y dA f x y A→∞

=Δ →

= Δ∑∫∫

y

( ) ( ), 10

, lim ,n

i j i jN i jR

f x y dxdy f x y x y→∞

=Δ →

= Δ Δ∑∫∫

siempre que en cada caso el límite exista. Se dice entonces que ( ),z f x y= es integrable en R . Teorema (propiedades). Si ( ) ( ), ,f x y y g x y son funciones escalares integrables en una región regular R y k es una constante en R , entonces se cumple que:

( ) ( )) , ,R R

i k f x y dA k f x y dA=∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( )1

) , , ,nR R R

ii f x y dA f x y dA f x y dA= + +∫∫ ∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( )) , , , ,R R R

iii f x y g x y dA f x y dA g x y dA⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ∫∫( ) ( ) ( )) , 0 , , 0

R

iv f x y x y R f x y dA≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫∫

( ) ( ) ( )( ) ( )

) , , ,

, ,R R

v f x y g x y x y R

f x y dA g x y dA

≥ ∀ ∈

⇒ ≥∫∫ ∫∫


6

( )) Si , vi f x y tiene un máximo absoluto M y un mínimo

absoluto m en R y si el área de R es ( )A R , es posible escribir que:

( ) ( ) ( ),R

mA R f x y dA MA R≤ ≤∫∫

( ))R

vii dA A R=∫∫

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA LAS INTEGRALES DOBLES Sea ( ),f x y una función escalar continua en una región

regular R y sea ( )A R el área de dicha región. Entonces

existe un punto ( ),C Cx y en R tal que:

( ) ( ) ( ), ,C CR

f x y dA f x y A R=∫∫

en donde ( ),C Cf x y es conocido como el “valor medio de

( ),f x y en R”. Prueba.

( ) ( ) ( ), , ,m m M Mf x y f x y f x y≤ ≤ o bien

( ),m f x y M≤ ≤ ; ( ),x y R∀ ∈

( ),R R R

mdA f x y dA MdA≤ ≤∫∫ ∫∫ ∫∫

( ),R R R

m dA f x y dA M dA≤ ≤∫∫ ∫∫ ∫∫

( ) ( ) ( ),R

mA R f x y dA MA R≤ ≤∫∫

( )

( )

,R

f x y dAm M

A R≤ ≤∫∫


7

Entonces existe al menos un punto( ),C Cx y R∈ tal que:

( )( )

( )

,, R

C C

f x y dAf x y

A R=∫∫

( ) ( ) ( ), ,C CR

f x y dA f x y A R∴ =∫∫

La integral doble de una función escalar ( ),f x y , definida y continua en una región regular R , que representa el volumen limitado arriba por ( ),z f x y= y abajo por R , también es equivalente al volumen que se obtiene al efectuar el producto del área de la región ( )A R por el valor medio de

( ),f x y en R y que es ( ),C Cf x y . Ejemplo. Determinar el valor medio de ( ),f x y para la siguiente integral doble:

( )1R

x y dA− −∫∫

en donde

( ){ }, 1 ; 0 ; 0 ; ,R x y y x x y x y= = − ≥ ≥ ∈

Decir en qué puntos de la región se presenta el valor medio y graficar los volúmenes equivalentes.


8 CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE Ejemplo. Se desea calcular el volumen del sólido limitado arriba por la superficie 2z = y abajo por la región triangular comprendida entre los ejes " " y " "x y y la recta de ecuación 3 2 6x y+ = .


9

( )3

0V A y dy= ∫

( )6 2

30

2y

A y dx−

= ∫

6 2 6 23 3

3 300 0 0

2 2y y

V dx dy x dy− −⎡ ⎤

= = ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

323 3

00

12 4 44 63 6

y ydy y u⎡ ⎤−

= = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

De la misma forma se pudo haber trabajado con secciones paralelas al plano yz . A este tipo de integrales se les conoce como “reiteradas de segundo orden”. Teorema. La integral doble de una función continua ( ),f x y en una región regular del tipo I, limitada por

( ) ( )1 2; ; ;x a x b y g x y g x= = = =

z

y R

2z =

( )A y

3 2 6x y+ =

3

2

2

x


10es igual a la integral reiterada de segundo orden de esta función en dicha región, es decir:

( ) ( )( )

( )2

1, ,

b g x

a g xR

f x y dA f x y dy dx⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫

De la misma forma, si la región de integración es del tipo II, limitada por

( ) ( )1 2; ; ;y c y d x h y x h y= = = = entonces la integral reiterada de segundo orden es:

( ) ( )( )

( )2

1, ,

d h y

c h yR

f x y dA f x y dx dy⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫

La integral doble también se puede expresar en otros sistemas coordenados. Como se recordará, la diferencial de área en un sistema coordenado curvilíneo ortogonal uv está dada por:

,,

x ydA J dudvu v⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Y en este caso la integral doble quedaría definida como:

( )( )

( )2 2

1 1

,,,

v v

v v

x yf u v J dudvu v

φ

φ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

Para el sistema polar, la integral doble sería:

( )( )

( )2 2

1 1,f r r dr d

θ φ θ

θ φ θθ θ∫ ∫

Ejemplo. Dada la región R sobre la que se va a integrar, expresar la integral reiterada en uno y otro orden con respecto a las variables " " y " "x y . Graficar las regiones. ) : i R triángulo con vértices en ( ) ( ) ( )1,0 ; 3,0 ; 3,3A B C

( ){ }2) , 4 ; ,ii R x y x y x y= ≤ ≤ ∈


11


12Ejemplo. Calcular las integrales reiteradas:

( )3 2

22 1

1)i dy dxx y+

∫ ∫ ; 2

0)

a

asenii r dr d

π

θθ∫ ∫

2 2 23 9

3 0 2 2

1)x x yiii dy dx

x y

−

−

+ +

+∫ ∫


13 Ejemplo. Evaluar ( )

R

x y dA+∫∫ en la región limitada por las

gráficas de 2 1 3y2 2

x y y x= = −


14Ejemplo. Calcular el volumen de una región sólida limitada arriba por la semiesfera

2 216z x y= − −

y abajo por la región circular R dada por 2 2 4x y+ = Ejemplo. Calcular el área de la región R que se encuentra fuera de la gráfica de r a= y dentro de la gráfica de

2r asenθ= .


15 Ejemplo. Calcular el área de la región limitada por las curvas:

2

2 2 32xx y y y+ = =

Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado por los cilindros 2 2 2 24 4x y y x z+ = + = .


16 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie ( )2 23 cosz x y= + + y arriba de la

región en el plano xy limitada por las circunferencias:

2 2 2 24 9x y y x y+ = + =


17 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido, en el primer octante, limitado arriba por la superficie de ecuación 2 2z x y= + y en el plano xy por la región que se localiza entre las curvas:

2 2 2 21 ; 16 ; 1 ; 6x y x y xy xy− = − = = =


18 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE EN LA MECÁNICA En diversos problemas de física existen distribuciones planas de masa que están asociadas con numerosos fenómenos físicos tales como temperaturas, cargas eléctricas y otros. Para resolver estos problemas, en ocasiones se hace necesario calcular conceptos como la masa en una placa plana, los momentos estáticos y los momentos de inercia. DENSIDAD Y MASA Sea un elemento diferencial de área " "dA de una placa plana de materia, cuya densidad superficial de masa está dada por ( ),x yρ ρ= . Entonces la diferencial de masa es igual a:

( ),dM x y dAρ= Si se aplica la integral doble, se tendrá que:

( ),R

M x y dAρ= ∫∫

donde " "R es la región limitada por las dimensiones de la placa plana.


19PRIMEROS MOMENTOS O MOMENTOS ESTÁTICOS Definición. El primer momento o momento estático del elemento diferencial de masa " "dM con respecto al eje " "x es el producto de la masa por la mínima distancia a dicho eje. Entonces este momento estático es igual a:

( ),xR

M y x y dAρ= ∫∫

y, de manera semejante, con respecto al eje " "y ,

( ),yR

M x x y dAρ= ∫∫

CENTRO DE MASA Definición. El centro de masa de la placa plana de referencia, cuya área se denota con ( )A R , se define como el único punto en R donde la masa total de la placa podría estar concentrada, de tal forma que el momento estático con respecto a cualquier eje que pase por dicho punto, es igual a cero.

Si la masa de la placa y su momento estático con respecto al eje " "y están dados respectivamente por:

( ) ( ), ,yR R

M x y dA y M x x y dAρ ρ= =∫∫ ∫∫

entonces la abscisa del centro de masa se obtiene a partir de:

( ),x y

x

y Centro de Masa

x

y


20

( )

( )

,

,y R

R

x x y dAM

xM x y dA

ρ

ρ= =

∫∫

∫∫

Y, de manera análoga, la ordenada del centro de masa se obtiene a partir de:

( )

( )

,

,x R

R

y x y dAMyM x y dA

ρ

ρ= =

∫∫

∫∫

Si la densidad de la placa es constante, se dice que ésta es homogénea, ya que su masa está uniformemente distribuida. Entonces la densidad sale de la integral y las expresiones anteriores quedan de la siguiente forma:

( )y R

RR

x dAM

x x dA x A RM dA

= = ⇒ =∫∫

∫∫∫∫

y

( )x R

RR

y dAMy y dA y A RM dA

= = ⇒ =∫∫

∫∫∫∫

Definición. Se llama centroide de una región " "R al centro de masa de dicha región cuando la distribución de su masa es uniforme y en este caso, equivale al centro geométrico de la región. SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA Definición. El momento de inercia o segundo momento de una placa plana con respecto al eje " "x , entendido como su capacidad para resistir aceleración angular con respecto a


21este eje, se define como el producto de la masa por el cuadrado de la mínima distancia a dicho eje. Esto es:

( )2 ,xR

I y x y dAρ= ∫∫

y de manera similar, con respecto al eje " "y ,

( )2 ,yy

I x x y dAρ= ∫∫

Definición. El momento polar de inercia o segundo momento polar se define como el producto de la masa de la distribución plana de materia por el cuadrado de su distancia al origen. Esto es:

( ) ( )2 2 ,oR

I x y x y dAρ= +∫∫

Resulta evidente que: o x yI I I= +

Ejemplo. Una lámina plana tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por las gráficas de

cos 04

y senx y y x entre x y x π= = = =

Ubicar su centro de masa si la densidad es ( ),x y yρ = .


22 Ejemplo. Se tiene una placa plana cuya forma es la dada por la región R . Si su densidad es ( ), 2 3x y x yρ = + , determinar su masa así como el valor de su densidad promedio y decir dónde se presenta éste.

( ) 3 15, ; ; 0; ,5

xR x y y x y y x y− +⎧ ⎫= ≤ ≤ ≥ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭


23 Ejemplo. Una lámina tiene la forma de un cuarto de círculo en el primer cuadrante con ecuación 2 2 4x y+ ≤ y su densidad en cualquier punto es igual a la distancia de éste al eje " "x . Obtener los momentos estáticos de la lámina con respecto a los ejes " " " "x y y , así como las coordenadas de su centro de masa.


24


25Ejemplo. Calcular los momentos de inercia con respecto al origen y los ejes coordenados de la lámina homogénea de densidad ( ), 1x yρ = y cuya forma es la de la región limitada por la curva 3xy = y la recta 6x y+ = .


26TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO Este teorema establece la relación existente entre la integral doble y la integral de línea. Teorema. Sea R una región regular cuya frontera es la curva " "C y sean las funciones escalares ( ),M x y y ( ),N x y que

son continuas y diferenciables en R . Entonces se cumple que:

( )x yCR

Mdx Ndy N M dA+ = −∫ ∫∫

Prueba. La demostración se hará a través de probar por separado que:

y xC CR R

Mdx M dA y Ndy N dA= − =∫ ∫∫ ∫ ∫∫

Para probar la primera parte se comenzará con una región muy sencilla y después se generalizará a todo tipo de región regular. Así, considérese una región rectangular dada por:

( ){ }, ; ; ,R x y a x b c y d x y= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈

Para esta región se tiene que:

b d

y ya cR

M dA M dydx− = −∫∫ ∫ ∫

x

R

y

d

c

a b

3C

4C 2C

1C


27

( )

( ) ( )

,

, ,

b d

cab

a

M x y dx

M x d M x c dx

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

∫∫

( ) ( )

( ) ( )

, ,

, ,

b b

a ab a

a b

M x c dx M x d dx

M x c dx M x d dx

= −

= +

∫ ∫∫ ∫

y, por otro lado, para calcular ( ),

C

M x y dx∫ se tiene que:

para ( ) ( )1

1 : , ,b

C aC M x y dx M x c dx=∫ ∫

para ( )2

2 : , 0C

C M x y dx =∫

para ( ) ( )3

3 : , ,a

C bC M x y dx M x d dx=∫ ∫

para ( )4

4 : , 0C

C M x y dx =∫

por lo que

( ) ( ) ( ), , ,b a

C a bM x y dx M x c dx M x d dx= +∫ ∫ ∫

Por lo tanto

yCR

Mdx M dA= −∫ ∫∫

Si ahora se considera una región definida por:

( ) ( ) ( ){ }1 2, ; ; ,R x y a x b x y x x yϕ ϕ= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈


28

En este caso, también resulta fácil probar que:

yCR


Ahora bien, si la región en general es como la de la siguiente figura.

Se divide en subregiones a base de líneas verticales y para cada una de las subregiones se procede como ya se hizo en el primer caso, ya que cada una de ellas es una región regular. Después se juntan los resultados de todas las subregiones, se suman y se llega a demostrar el teorema para toda la región, es decir, se prueba que:

2C

y

x

4C

3C

1C

( )2y xϕ=

( )1y xϕ= b a

R

y

x

1R

2R 3R

5R

6R

7R

4R


29

ycR


Y si se procede de manera semejante, se demuestra que:

xcR

Ndy N dA=∫ ∫∫

y así queda demostrado el teorema. INTERPRETACIONES VECTORIALES DEL TEOREMA DE GREEN Si se considera un campo vectorial F , continuamente diferenciable, definido en una región regular R , entonces: i) De acuerdo con la interpretación vectorial de la integral de línea, la tesis del teorema de Green se expresa como

( ) ( )x yCR

F T dS N M dA⋅ = −∫ ∫∫

donde el campo de fuerza está dado por

( ) ( ), ,F M x y i N x y j∧ ∧

= +

y T es el vector tangente unitario a la curva C . CASO ESPECIAL DEL TEOREMA DE STOKES ii) Ahora considérese a

( ) ( ), ,F M x y i N x y j Ok∧ ∧ ∧

= + + como el campo vectorial que denota la dirección y razón de cambio del flujo de un fluido en un cierto punto ( ),x y del plano. Entonces, la integral

( )CF T dS⋅∫

se interpreta como la integral de la componente del flujo en la dirección tangente a la trayectoria C y se le conoce como:


30

“La circulación de F alrededor de C” Si se obtiene el rotacional de F se tendrá:

( ) ( )0 0

0

x y

i j k

rot F i j N M kx y z

M N

∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧∂ ∂ ∂= = + + −∂ ∂ ∂

y, como el vector tangente unitario a C es

0dx dyT i j kds ds

∧ ∧ ∧

= + +

entonces, tomando en cuenta el teorema de Green, se tiene que:

( )C CF T dS M dx N dy⋅ = +∫ ∫

( ) ( )x yR R R

N M dA k rotF dA k F dA∧ ∧

= − = ⋅ = ⋅ ∇×∫∫ ∫∫ ∫∫

Si la región es pequeña, entonces el rotacional se aproxima a una constante y se puede escribir:

( ) ( )C

R

F T dS rot F dA rot F A R⋅ = = ×∫ ∫∫

que representa al rotacional como la circulación por unidad de área en el punto ( ),x y . Como ya se vio antes, si ( ) ( ) 20 ,rot F x y= ∀ ∈ ,

entonces el flujo del fluido F se conoce como irrotacional. Esta interpretación es un caso especial del teorema de Stokes, el cual se tratará más adelante.


31TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO iii) Sea el campo vectorial F dado por:

( ) ( ), ,F N x y i M x y j Ok∧ ∧ ∧

= − + el cual denota también la dirección y razón del cambio del flujo de un cierto fluido. La integral

( )CF N dS⋅∫

representa a la componente del flujo en la dirección normal a C y se le conoce como:

“El flujo a través de C”

y es la razón en la cual el fluido circula a través de C , desde el interior de R . Si se obtiene la divergencia de F , se llega a:

( ) ( )( ), , , , , ,0 x ydiv F N x y M x y N Mx y z∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= ⋅ − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

y además, el vector normal unitario a C es:

0 0

0 0 1

i j kdx dy dy dxN T k i j kds ds ds ds

∧ ∧ ∧

∧ ∧ ∧ ∧

= × = = − +

Entonces, de acuerdo con el teorema de Green, se tiene que:

( )C CF N dS M dx N dy⋅ = +∫ ∫

( )x yR R R

N M dA div F dA F dA= − = = ∇ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫

Y siendo R una región pequeña, se puede escribir


32

( ) ( )C

R

F N dS div F dA div F A R⋅ = = ×∫ ∫∫

que representa a la divergencia de F como la razón de cambio del flujo del fluido desde el punto ( ),x y . Cuando

0div F = , se dice entonces que el fluido es incompresible. Aquí se tiene una versión en el plano del teorema de la divergencia. Ejemplo. Utilizar el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas

( ) ( )2 5F y x i y x j∧ ∧

= + + − al mover una partícula una vez alrededor de la elipse de

ecuación 2 2

19 4x y

+ = en la dirección de las manecillas del

reloj.


33Ejemplo. Evaluar la integral de línea

( )2 2 2 23 2 32C

xy y xy dx x xy x y dy⎛ ⎞− + − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

si C es la trayectoria, con su sentido de recorrido, mostrada en la figura.

x

y

R

0 2

2 C


34ÁREA DE UNA REGIÓN A TRAVÉS DE LA INTEGRAL CURVILÍNEA Como ya se vio, el área de una región regular C equivale a:

( )R

A R dA= ∫∫

Si 1x yN M− = , entonces, por el teorema de Green, se puede escribir:

( )C

R

Mdx Ndy dA A R+ = =∫ ∫∫

Para que 1x yN M− = , se suponen a M y N como:

( ) ( )1 1, ,2 2

M x y y y N x y x= − =

de tal forma que: 12 1

12

y

x y

x

MN M

N

⎫= − ⎪⎪ ⇒ − =⎬⎪=⎪⎭

Entonces se puede definir una expresión para calcular el área de una región regular en términos de una integral de línea, como:

( ) 12 C

A R ydx xdy= − +∫

Ejemplo. Verificar que el área de un círculo de radio igual a 2 equivale a 4π .


35 Ejemplo. Utilizar la integral de línea para calcular el área de la región limitada por las gráficas de:

22 1 4y x y y x= + = −


36

Ejemplo. Sea el campo vectorial 2 2 2 2y xF i j

x y x y

∧ ∧

= −+ +

i) Probar que el rotacional de F es cero. ii) Probar que ( ) 0

CF T dS⋅ ≠∫ tomando como trayectoria al

círculo unitario y como sentido el de las manecillas del reloj. iii) Explicar por qué los resultados de los incisos ( ) ( )i y ii no contradicen la expresión la expresión vectorial del teorema de Green que expresa:

( )CR

F T dS k rot FdA⋅ = ⋅∫ ∫∫


37INTEGRALES DE SUPERFICIE Si la ecuación vectorial de una superficie suave " "S en el espacio está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,r r u v x u v i y u v j z u v k∧ ∧ ∧

= = + + con , ,x y z , funciones escalares de u y v , continuas y diferenciables, entonces el área de la superficie alabeada queda como:

( )2 2 2

R

r r r rA S du dvu v u v

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫

en donde

2 2 2 2

2 2 2 2

r x y zu u u u

r x y zv v v v

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y

2 2r r x x y y z zu v u v u v u v

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⋅ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

Si la superficie está representada de la forma

( ) ( ){ }, , , ; ,S x y z z f x y x y= = ∈

entonces el área de la superficie alabeada queda como:

( )22

1R

z zA S dx dyx y∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫


38INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE Para el caso de la integral de una función ( ), ,f x y z sobre

una superficie " "S y denotada como ( ), ,S

f x y z dS∫∫ se

tiene que:

( )

( ) ( ) ( )( )2 2 2

, ,

, , , , ,

S

R

f x y s dS

r r r rf x u v y u v z u v du dvu v u v

=

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫∫

∫∫

y si la superficie está dada por

( ) ( ) 2, ,z f x y x y= ∀ ∈ entonces la integral de una función sobre esta superficie está dada por:

( )

( )( )22

, ,

, , , 1

S

R

f x y z dS

z zf x y z x y dx dyx y

=

∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫∫

∫∫

Ejemplo. Comprobar que la superficie de la esfera de radio " "a es igual a 24 aπ .


39 Ejemplo. Calcular el área de la porción del cilindro

2 2 4y z+ = en el primer octante, limitada por los planos: 3 2 3 12x y x y= + =


40 Ejemplo. Evaluar la integral ( )2 3

S

x y z dS+ +∫∫ en donde S

es el plano 3x y z+ + = , limitado por los planos coordenados en el primer octante.


41 Ejemplo. Se tiene una lámina que forma una superficie cónica de ecuación:

2 2 2

0 ; 0 29 9 4x y z z+ − = ≤ ≤

Determinar su masa si su densidad está dada por:

( ) 2 2,x y x yρ = +


42 LA INTEGRAL TRIPLE

- Sea ( )= , ,f f x y z continua y diferenciable en una región R . - Se divide R , región volumétrica, con planos paralelos a los planos coordenados y se obtienen subregiones (paralelepípedos) iRΔ . - Cada iRΔ tiene su volumen iVΔ y un punto ( ), ,i i iε η μ . - Se forma ahora la suma de Riemann ( ), ,i i i if Vε η μ Δ∑ . - Finalmente se obtiene el límite de esta suma y se llega a:

( ) ( )0 1

lim , , , ,n

i i i ii Ro

N

f V f x y z dVε η μΔ →

=

→∞

Δ =∑ ∫∫∫


43 Teorema (propiedades). Sean ( ) ( ), , , ,f x y z y g x y z funciones escalares integrables en una región regular R de

3 y sea k una constante real; entonces:

( ) ( )

( ) ( )

) , , , ,

, , , ,R

R R

i k f x y z g x y z dV

k f x y z dV g x y z dV

⎡ ⎤+⎣ ⎦

= +

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

( ) ( ) ( )) , , 0 , , , 0R

ii f x y z x y R f x y z dV≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫∫∫

)iii Si R se dividen un número finito de subregiones no

superpuestas 1 2, ,..., nR R R , entonces se cumple que:

( ) ( )

( ) ( )1

2

, , , ,

, , , ,n

R R

R R

f x y z dV f x y z dV

f x y z dV f x y z dV

= +

+ + +

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

)iv Si ( ) ( ), , , ,f x y z g x y z≥ para todo ( ), ,x y z en R , entonces:

( ) ( ), , , ,R R

f x y z dV g x y z dV≥∫∫∫ ∫∫∫

)v Si ( ), ,f x y z tiene un máximo absoluto " "M y un mínimo

absoluto " "m en R y si el volumen de R es ( )V R , se puede escribir que:

( ) ( ) ( ), ,R

m V R f x y z dV MV R≤ ≤∫∫∫


44TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES TRIPLES Sea ( ), ,f x y z una función escalar, continua en una región

regular R y sea ( )V R el volumen de la región. Entonces

existe un punto ( ), ,C C Cx y z en R tal que:

( ) ( ) ( ), , , ,C C CR

f x y z dV f x y z V R=∫∫∫

en donde ( ), ,C C Cf x y z es conocido como el valor medio de

( ), ,f x y z en R . CÁLCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE

La integral reiterada de tercer orden de una función ( ), ,f x y z de tres variables, definida en una región regular

3R ⊂ , como la de la figura, sería:

x

y

z

R

'R2x

1x ( )1g x

( )2 ,x yϕ

( )2g x

( )1 ,x yϕ


45

( )( )

( )

( )

( )2 2 2

1 1 1

,

,, ,

x g x x y

x g x x yf x y z dzdy dx

ϕ

ϕ∫ ∫ ∫

Ejemplo. Evaluar la integral reiterada

2

2 2

1 1 1

1 0

x

x yI xyz dz dy dx

−

− −= ∫ ∫ ∫

Si se integra con respecto a z , manteniendo constantes a x y y , se obtiene:

2

2 2

121 1

1 0 2x

x y

zI xy dy dx−

−−

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

2 2 21 1

1 0

12 2

x x yxy dy dx−

−

⎡ ⎤−= −⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

2 3 31 1

1 0

12 2 2

x x y xyxy dy dx−

−

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Ahora se integra con respecto a y y se mantiene a x como constante:

212 3 2 41

10

12 2 4 8

xxy x y xyI dx

−

−

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( )22 3 2 21

1

1 1 112 2 4 8

x x x x x xI dx

−

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

3 3 5 3 51

1

12 2 2 4 4 8 4 8

x x x x x x x dx−

⎛ ⎞= − − + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

1 3 5

1

1 5 32 8 8

x x x dx−

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

142 6

1

1 5 3 02 16 4 48

xx x−

⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦


46 Ejemplo. Cambiar el orden de integración en:

6 6 262 3

0 0 0

x x y

xyzdz dy dx− − −

∫ ∫ ∫

para obtener las otras cinco formas de la integral.


47LA INTEGRAL TRIPLE EN OTROS SISTEMAS La integral triple también se puede expresar en otros sistemas coordenados. Como se recordará, la diferencial de volumen en un sistema curvilíneo ortogonal u v w está dada por:

, ,, ,

x y zdV J du dv dwu v w⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

En este caso, la integral triple quedaría definida como:

( )( )

( )

( )

( )2 2 2

1 1 1

,

,

, ,, ,, ,

w v w u v w

w v w u v w

x y zf u v w J du dv dwu v w⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Para el sistema cilíndrico circular, la integral triple se definiría como:

( )( )

( )

( )

( )2 2 2

1 1 1

,

,, ,

z z z

z z zf z d d dz

θ ρ θ

θ ρ θρ θ ρ ρ θ∫ ∫ ∫

Para el sistema esférico, la integral triple se definiría como

( )( )

( )

( )

( )2 2 2

1 1 1

, 2

,, ,

r

rf r r sen dr d d

θ ϕ θ ϕ θ

θ ϕ θ ϕ θϕ θ ϕ ϕ θ∫ ∫ ∫

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES EN LA MECÁNICA La masa de un sólido con la forma de una región tridimensional está dada por:

( ), ,R

M x y z dVρ= ∫∫∫

Sus momentos con respecto a los planos , ,xy xz yz se definen como:

( ), ,xyR

M z x y z dVρ= ∫∫∫

( ), ,xzR

M y x y z dVρ= ∫∫∫

( ), ,yzR

M x x y z dVρ= ∫∫∫


48

y el centro de masa está dado por ( ), ,x y z donde

; ;yz xyxzM MMx y zM M M

= = =

Los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados se obtienen a partir de:

( ) ( )2 2 , ,xR

I y z x y z dVρ= +∫∫∫

( ) ( )2 2 , ,yR

I x z x y z dVρ= +∫∫∫

( ) ( )2 2 , ,zR

I x y x y z dVρ= +∫∫∫

Ejemplo. Determinar el volumen del sólido en el primer octante que está limitado por el plano 4y z+ = , el cilindro de ecuación 2y x= y los planos xy y yz .


49 Ejemplo. Calcular el volumen de la región limitada por las gráficas de:

2 23 ; 4 ; 0 ; 6z x z x y z y= = − = + =


50Ejemplo. Calcular el volumen de la cuña limitada por el plano vertical 3x y+ = , el paraboloide 2 2 9x y z+ = − y el plano 0z = . Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado exteriormente por el cono (fuera del cono) 2 2 2z x y= + e interior a la esfera de ecuación 2 2 2 2x y z a+ + =


51 Ejemplo. En el cuerpo de forma semiesférica de ecuación

2 2 2 2 ; 0x y z a z+ + ≤ ≥ la densidad varía proporcionalmente a la distancia desde el punto al centro de la semiesfera. Obtener el centro de masa de este cuerpo.


52 Ejemplo. Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto cuyo radio de la basa es " "a y su altura " "h . Localizar el centro de masa si la densidad en un punto es directamente proporcional a la distancia de una de las bases a un punto " "P . Calcular también el momento de inercia con respecto al eje de simetría de este sólido.


53 Ejemplo. Un sólido tiene la forma de la región que está dentro del cilindro r a= y la esfera 2 2 24r z a+ = y sobre el plano xy . Calcular la masa y el momento de inercia zI si la densidad en un punto P está dada por kzρ = con " "k constante.


54 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de:

2 2 2 2; 4 ; 0z x y x y z= + + = =


55Ejemplo. Calcular el volumen y el centroide de la región limitada arriba por la esfera 2 2 2 36x y z+ + = y abajo por el cono 2 2 2 ; 0z x y z= + ≥ . Ejemplo. Obtener el momento de inercia con respecto al eje " "z , del sólido de densidad ( ), , 1x y zρ = , situado en el primer octante y limitado por los cilindros:

2 2 2 22 ; 4 ; 1 ; 2x y x y xy xy− = − = = = y los planos 0 3z y z= = .


56 TEOREMA DE STOKES Sea " "S una superficie tal que su proyección sobre los planos , ,xy xz yz son regiones limitadas por curvas simples

cerradas. Sea también ( ), ,F F X Y Z= un campo vectorial continuo y diferenciable dos veces. Y supóngase que " "C es una curva simple cerrada que limita a la superficie " "S . Entonces:

( )S C

F n dS F dr∇× ⋅ = ⋅∫∫ ∫


57donde " "n es un vector unitario normal a la superficie " "S y " "dS es el diferencial de área de la superficie " "S .

Si

cos cos cosF Mi N j Ok y n i j kα β γ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

= + + = + + entonces:

{ }cos cos cosC

y z z x x yS

Mdx Ndy Odz

O N M O N M dSα β γ

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

∫∫

Este teorema permite interpretar mejor al rotacional. Por ejemplo, sea " "C un círculo dentro de la corriente de un fluido y sea " "T el vector tangente unitario, como se observa en la figura:

C

S

N

T

n

N

FT

C

:Campo F


58

El valor de C

F T dS⋅∫ depende de los valores de F T⋅ .

Cuanto más cercanas sean las direcciones de F y T , mayor será su producto escalar. Esto significa que cuanto más mantenga F su dirección paralela a la de T , más tiende a girar el fluido sobre" "C . Como consecuencia, la integral

C

F T dS⋅∫ se denomina “circulación a lo largo de " "C .

Además, la ecuación

( )C S

F T dS F n dS⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫

expresa que cuando " "S es pequeña, la circulación a lo largo de " "C viene dada por:

(circulación a lo largo de " "C ) ( )F n⎡ ⎤≈ ∇× ⋅⎣ ⎦ (área de " "S )

Luego la circulación por unidad de superficie será aproximadamente:

( ) circulación ritmo de circulaciónárea

F n∇× ⋅ = =

Obsérvese que, cuanto se más se asemejen las direcciones de F∇× y n, mayor será el ritmo de circulación. A continuación se enuncian algunas de las identidades que se pueden demostrar con el teorema de Stokes: Si F es un campo vectorial diferenciable y " "S es una superficie regular, entonces:


59

( ) ( )) 0 , int supS

i F n dS egral sobre erficie cerrada∇× ⋅ =∫∫ ∫∫

( ))C S

ii dr F n F dS× = ×∇ ×∫ ∫∫

)C S

iii dr n dSφ φ= ×∇∫ ∫∫

)C S

iv dr n dSφ ψ ϕ ψ∇ ⋅ = ∇ ×∇ ⋅∫ ∫∫

Ejemplo. Una de las leyes de Maxwell para campos eléctricos estáticos y campos magnéticos estables, enuncia que el rotacional del campo eléctrico E es igual a cero, es decir, que:

0E∇× = Asimismo, otra de las leyes establece que el rotacional de un campo magnético estable es igual a la densidad de corriente eléctrica, esto es,

H J∇× = Si se aplica el teorema de Stokes a ambas expresiones, se obtiene:

( ) 0C S

E dr E n dS⋅ = ∇× ⋅ =∫ ∫∫

y

( )C S S

H dr H n dS J n dS I⋅ = ∇× ⋅ = ⋅ =∫ ∫∫ ∫∫

La primera expresión establece que el trabajo necesario para mover una carga de prueba sobre una trayectoria cerrada es cero. La segunda expresión se conoce como Ley de Ampere y establece que la integral de línea del campo magnético " "H alrededor de cualquier trayectoria cerrada es exactamente igual a la corriente eléctrica encerrada por esa trayectoria.


60 Ejemplo. Sea " "C el triángulo formado por las trazas del plano de ecuación 2 2 6x y z+ + = con los planos coordenados, con el sentido contrario a las manecillas del

reloj. Si 2F y i z j x k∧ ∧ ∧

= − + + , evaluar la integral C

F dr⋅∫ de

manera directa y mediante el teorema de Stokes.


61 Ejemplo. Evaluar ( )

S

F ndS∇× ⋅∫∫ donde:

( ) ( )2 32 2 3F x y i xy j xyz z k∧ ∧ ∧

= + + + − +

y " "S es la superficie de la semiesfera 2 2 2 9 ; 0x y z z+ + = ≥

(Considerar el sentido contrario al de las manecillas del reloj)


62 Ejemplo. Verificar el teorema de Stokes para el campo

vectorial 22F z i x j y k∧ ∧ ∧

= + + donde " "S es la superficie del paraboloide 2 24z x y= − − y " "C es la base de " "S sobre el plano xy , recorrida en sentido contrario al de las manecillas del reloj.


63


64TEOREMA DE GAUSS (DE LA DIVERGENCIA) Este teorema establece, en términos generales, lo siguiente:

“la divergencia total dentro de una superficie cerrada es igual al flujo neto que atraviesa esta superficie”

Teorema. Si la función vectorial

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,F x y z f x y z i f x y z j f x y z k∧ ∧ ∧

= + + tiene primeras derivadas parciales continuas en una región " "R del espacio 3 , limitada por una superficie regular " "S , entonces la integral de volumen de la divergencia de F dentro de " "S es igual a la integral de superficie externa de F sobre " "S , es decir,

( )F N dS div F dVS R

⋅ =∫∫ ∫∫∫

y, en forma cartesiana

( ) 31 21 2 3cos cos cos

S R

ff ff f f dS dVx y z

α β γ∂∂ ∂⎛ ⎞

+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫

donde cos cos cosN i j kα β γ∧ ∧ ∧

= + + Algunas identidades que se deducen a partir del teorema de la divergencia se enuncian a continuación: Teorema. Si ( ), ,x y zψ ψ= es una función escalar

continuamente diferenciable y F es una función vectorial también continuamente diferenciable en una región " "R limitada por una superficie cerrada " "S , entonces:


65

)R S

i dV N dSψ ψ∇ =∫∫∫ ∫∫

( ) ( ))R S

ii F dV N F dS∇× = ×∫∫∫ ∫∫

)iii Si F siempre es normal a " "S , ( ) 0R

F dV∇× =∫∫∫

)iv Si F G= ∇× , entonces 0S

F N dS⋅ =∫∫

( ))S R R

v F N dS F dS F dVψ ψ ψ⋅ = ⋅∇ + ∇ ⋅∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

2 2)vi a b dV a N dS b N dSR S S

ψ φ ψ φ⎡ ⎤∇ + ∇ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅∫∫∫ ∫∫ ∫∫⎢ ⎥⎣ ⎦ donde yψ φ son funciones escalares con segundas derivadas parciales continuas.

( ) ( )2)R S

vii dV N dSψ φ ψ φ ψ φ⎡ ⎤∇ + ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫

Esta identidad se conoce como “primera identidad de Green”

( ) ( )2 2)R S

viii dV N dSψ φ φ ψ ψ φ φ ψ∇ − ∇ = ∇ − ∇ ⋅∫∫∫ ∫∫

Esta identidad se conoce como “segunda identidad de Green” Las principales aplicaciones del teorema de la divergencia se encuentran en el electromagnetismo. A continuación se darán algunos ejemplos: Ejemplo. Dos de las leyes de Maxwell para campos eléctricos estáticos y campos magnéticos estables, son:

0D y Bρ∇ ⋅ = ∇ ⋅ =


66La primera establece que la divergencia de la densidad de campo eléctrico D es igual a la densidad volumétrica de carga y la segunda dice que la densidad de campo magnético (inducción magnética) es un campo solenoidal. Si a estas expresiones se les aplica el teorema de la divergencia, se tiene:

( )V V S

D dV dV D N dSρ∇ ⋅ = = ⋅∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

Pero v

dV Qρ =∫∫∫ (carga eléctrica)

y S

D N dS⋅ = Φ∫∫ (flujo eléctrico que atraviesa " "S )

Q∴ Φ = Aquí aparece la ley conocida como “Ley de Gauss” que establece lo siguiente: “el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica encerrada por dicha superficie” Asimismo

( ) ( )0V V S

B dV dV B N dS∇ ⋅ = = ⋅∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

pero 0S

B N dS⋅ = Ψ =∫∫ (flujo magnético)

Esta ley establece que: “el flujo magnético que atraviesa una superficie cerrada es igual a cero, es decir, que no existen polos magnéticos aislados”. En otras palabras, jamás se podrá aislar el polo norte de un imán; si dicho imán se rompe, entonces los pedazos resultantes serán imanes otra vez.


67 Ejemplo. De lo dicho en el ejemplo anterior, en un sistema de coordenadas esféricas, la densidad volumétrica de carga

está dada por

32

0ra

ρ ρ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. ¿Cuánta carga se encuentra

dentro de la esfera r a= ? Solución.

V

Q dVρ= ∫∫∫

y en coordenadas esféricas 2dV r sen dr d dϕ ϕ θ= . Luego,

( )

322 2

00 0 0

720 23 0 0 02

920 23 0 02 0

29

a

a

a

rQ r sen dr d da

sen r dr d da

sen r d da

π π

π π

π π

ρ ϕ ϕ θ

ρϕ ϕ θ

ρϕ ϕ θ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

92 230 023 0 0 0 02

3 2000

229 9

2 cos9

a sen d d a sen d da

a d

π π π π

π π

ρ ρϕ ϕ θ ϕ ϕ θ

ρϕ θ

= =

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫

3 32 2 30 0000

2 4 829 9 9a ad a

π πρ ρ πθ θ ρ= = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫


68y, de otra forma, el flujo eléctrico que atraviesa la esfera es:

30

89

aπ ρΦ =

Ejemplo. Verificar el teorema de Gauss o de la divergencia para el campo vectorial:

( ) ( )2 2F x y i y z j z k∧ ∧ ∧

= − − − + en la región limitada por los tres planos coordenados y el plano 2 6x y z+ + = .


69 Ejemplo. Evaluar la integral ( )

S

F N dS⋅∫∫ donde:

( ) ( ) ( )2 2cos cos 2 tanxzF x y z i e xz y j ang x y k∧ ∧ ∧

= + − − +

y " "S es la semiesfera 2 2 2 1 ; 0x y z z+ + = ≥ .


70 Ejemplo. Sea " "R la región limitada por el cilindro 24z x= − , el plano 5y z+ = y los planos coordenados xy y xz . Y sea " "S la superficie de " "R . Si:

( ) ( ) 2 23 2 cos x yF x senz i x y z j e k∧ ∧ ∧

+= + + + +

Determinar el valor de ( )S

F N dS⋅∫∫ .

Ejemplo. Utilizar el teorema de la Divergencia o de Gauss para calcular la integral de superficie ( )

S

F N dS⋅∫∫ , es decir,

para calcular el flujo saliente de 2 3 2 2 23 9 4F y z i x yz j xy k

∧ ∧ ∧

= + − a través de " "S que es la superficie del cubo con vértices ( )1, 1, 1± ± ± .


71 Ejemplo. Utilizar el teorema de la Divergencia o de Gauss para calcular la integral de superficie ( )

S

F N dS⋅∫∫ , es decir,

para calcular el flujo saliente de 3 3 3F x i y j z k∧ ∧ ∧

= + + a través de " "S que es la superficie de la esfera 2 2 2 1x y z+ + = .

CÁLCULO VECTORIAL. INTEGRACIÓN MÚLTIPEcolomepg/INTEGRACION_MULTIPLE.pdf · Determinar el valor...

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