¿Cómo diseñar el sistema de evaluación del aprendizaje en la enseñanza de … ·...

Relime Vol. 9, Núm. 2, julio, 2006, pp. 267- 297. 267

¿Cómo diseñar el sistema de evaluación del

aprendizaje en la enseñanza de las matemáticas?

Olga Pérez 1

RESUMEN

En este trabajo se exponen los principales resultados de la tesis doctoral de la autora.Se ofrece una metodología para diseñar el sistema de evaluación en las matemáticas,considerando a la evaluación como una función del sistema de dirección del procesoenseñanza-aprendizaje; además, se definen los principios y regularidades para desarrollarla evaluación en las matemáticas. La metodología propuesta se aplicó a la materia CálculoIntegral para Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Camagüey, Cuba, habiéndoserealizado una experimentación que abarcó dos cursos escolares. Se demostró que condicha metodología es posible aumentar la dedicación de los alumnos al estudio, elrendimiento académico y su calidad. Para determinar qué indicadores permiten probarla dedicación de los alumnos al estudio se efectuó una validación mediante el criterio deexpertos.

PALABRAS CLAVE: Evaluación, aprendizaje, matemática, integrales.

ABSTRACT

In this work the main results of the doctoral thesis of the author are exposed. Amethodology to design the evaluation system in mathematics is offered, considering tothe evaluation as a function of the direction system of the teaching-learning process;besides, the principles and regularities for develop the evaluation in mathematics aredefined. The proposed methodology was applied to the Integral Calculus course forelectrical engineering of the University of Camagüey, Cuba, having carried out anexperimentation that covered two school courses. It was shown that with this methodologyit is possible to growth up the dedication of the students to the study, the academicperformance and its quality. To determine which indicators permit to test the dedicationof the students to the study, it was performed a validation by means of the criterion ofexperts.

KEYWORDS: Evaluation, learning, mathematics, integrals.

1Fecha de recepción: Diciembre de 2003/ Fecha de aceptación: Abril de 2006.

Departamento de Matemáticas, Universidad de Camagüey, Cuba.

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RÉSUMÉ

Dans ce travail s’exposent les principaux résultats de la thèse de doctorat de l’auteur.Une méthodologie est offerte afin de concevoir le système d’évaluation dans lesmathématiques, qui considère l’évaluation comme une fonction du système de directiondu processus enseignement-apprentissage; de plus, les principes et les régularités pourdévelopper l’évaluation dans les mathématiques sont définis. La méthodologie proposéea été appliquée au Calcul Intégral pour les études d’Ingénieur Électrique de l’Universitéde Camagüey, au Cuba, ayant effectué une expérimentation qui comprenait deux annéesscolaires. Il fut démontré qu’avec une telle méthodologie il est possible d’augmenter ladévouement des élèves à l’étude, la performance académique et sa qualité. Afin dedéterminer quels sont les indicateurs qui permettent de prouver le dévouement des élèvesà l’étude, une validation s’est effectuée grâce au critère d’experts.

MOTS CLÉS : Évaluation, apprentissage, mathématiques, intégrales.

RESUMO

Este trabalho apresenta os principais resultados da tese de doutorado da autora. Éoferecida uma metodologia para planejar um sistema de avaliação de matemática,considerando a avaliação como uma função do sistema de direção do processo ensino-aprendizagem; além de definir os princípios e regularidades para desenvolver a avaliaçãoem matemática. A metodologia foi implementada em Cálculo Integral para EngenhariaElétrica da Universidade de Camagüey, Cuba, em experimentação que envolveu doiscursos escolares. Resultou que com tal metodologia é possível aumentar a dedicaçãodos alunos ao estudo, o rendimento acadêmico e sua qualidade. Para determinar quaisindicadores permitiram provar a dedicação dos alunos ao estudo foi realizada umavalidação mediante o critério de expertos.

PALAVRAS CHAVE: Avaliação, aprendizagem, matemática, integrais.

MARCO TEÓRICO

Aunque en este trabajo nos referiremos ala evaluación en las matemáticas,iniciaremos nuestro estudio teóricocaracterizando al sistema de dirección delproceso enseñanza-aprendizaje (Pérez,2000), ya que consideraremos a laevaluación como una de las funciones dedicho sistema, pero le damos un diferente

matiz en la planificación y organización delproceso enseñanza-aprendizaje, con baseen la teoría de la formación por etapas delas acciones mentales (Pérez, 2000;Talízina, 1992).

Las características fundamentales queintegran el sistema de dirección del

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proceso enseñanza-aprendizaje son lassiguientes:

1. Equifinalidad : Al enseñar podemosobtener los mismos resultados finales apartir de diferentes condiciones inicialesy a través de métodos variados. Es decir,no siempre las características del grupode alumnos son las mismas y losmétodos y medios para enseñar puedenser muy variados; sin embargo, podemosobtener los mismos resultados. Por tanto,rechazamos la idea de que si el grupode alumnos inicialmente tienedeficiencias, entonces obtendremosmalos resultados evaluativos.

2. Entropía : Propiedad de este sistema queindica que la dirección del procesoenseñanza-aprendizaje se va por encimade las características individuales ycolectivas de los alumnos; de ahí que elalumno, por lo general, apela a diversosrecursos para lograr aprobar losexámenes y la asignatura. En estesentido, se dice que el sistema adquiereentropía negativa; es decir, el sistema dedirección puede funcionar y culminar laenseñanza de forma exitosa desde elpunto de vista docente, mas el aspectoeducativo no se cumple, con el cualsurgen dificultades en la formación de losalumnos y disminuye la calidad de losresultados obtenidos. Tal situación haceque el sistema se sobrecargue yaparezca una ruptura entre la direcciónde los aspectos docentes y loseducativos, produciéndose unainteracción negativa, pues el procesocontinúa y los aspectos negativos no sesuperaron.

3. Sinergia : Implica que el funcionamientointerrelacionado de todos los elementos

del proceso enseñanza-aprendizajepermite obtener mejores resultadosque los alcanzados cuando dichoselementos actúan aisladamente. El logrode un efecto sinérgico positivo dependede la capacidad que tenga el maestropara que el proceso aproveche elpotencial de dichas interacciones.

Las funciones del sistema de dirección enel proceso enseñanza-aprendizajecomprenden cuatro aspectos (Pérez,2000)2:

Planificación : Es la función mediante lacual se proyecta el desarrollo del proceso,por lo que implica la precisión de losobjetivos, el contenido, el sistema detareas a desarrollar, los problemas, asícomo los métodos y medios de enseñanzapara toda la asignatura y para cada unade las unidades que la componen. Aquídebe evidenciarse la combinaciónadecuada de diferentes tareas para eldesarrollo de habilidades y se debepropiciar la asimilación consciente de loscontenidos (Gagné, 1976).

Organización : Tiene como objetivoestablecer un orden interno coherente enel proceso enseñanza-aprendizaje quepermita su funcionamiento como unaunidad, de ahí que le incumba laestructuración y el ordenamiento internode los componentes personales delproceso (profesor-alumno) y los elementosdel contenido de las asignaturas(conocimiento, habilidades, hábitos yvalores). Ello propicia que se logren losobjetivos propuestos de manera máseficiente; por tanto, la organización delproceso supone dotarlo de una estructuraque le permita coordinar e integrar elsistema de tareas que se debe planificar.

2 Queremos precisar que, aunque clasificamos en cuatro funciones la dirección del proceso enseñanza-aprendizaje en

una materia, hay una constante interacción entre ellas, por lo cual su separación es prácticamente inexistente.

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Cabe señalar que en esta organizacióncoexisten dos tipos de estructura: formale informal. La formal es la que se haceteniendo en cuenta el sistema de tareasplanificadas antes de comenzar a impartirlas clases, mientras que la relación de lastareas no planificadas, que surgenatendiendo a las diferencias individualesde los alumnos, atañe a la informal. Debidoa que ambas estructuras mantienen unacontinua interrelación que produceinterdependencias, generalmente esimposible establecer una separación entreellas.

Por otra parte, es necesario que laestructura formal sea sometida a lasmodificaciones oportunas para adaptarlaa las condiciones cambiantes del grupo deestudiantes y de cada alumno en particular,de manera que se puedan incorporar a laestructura formal aquellos elementos dela informal que sean convenientes.

Gerencia : Se produce a través de ladinámica del proceso enseñanza-aprendizaje, y consiste en tomardecisiones para que el sistema se dirija enel sentido del cumplimiento de losobjetivos. En la gerencia del proceso, laevaluación debe unir en formainterrelacionada dos aspectos: rectificar losobjetivos aún no alcanzados y alcanzarnuevos objetivos, ya que el procesoenseñanza-aprendizaje es irreversible ensu esencia.

Evaluación : Como consecuencia de lanaturaleza abierta del proceso enseñanza-aprendizaje, es el complemento lógico dela planificación. Sus característicasdependen y, a la vez, influyen en laorganización. La misión de la evaluaciónconsiste en lograr que el sistema semantenga dentro de una trayectoriapreviamente definida, por lo cual introducelas correcciones necesarias para evitar las

desviaciones que se vayan produciendo,a fin de convertir en autorregulable elproceso enseñanza-aprendizaje.Asimismo, debe estar dirigida tanto alproceso de enseñanza como al deaprendizaje, lo cual supone, por un lado,el conocimiento de los aspectos didácticosy psicológicos que intervienen en elproceso, por otro, la búsqueda de sinergiaentre las diferentes actividades del mismo(Baquero, R. 1997).

Desde este marco, la evaluación escualitativa y cuantitativa. Además, estáconformada por los diferentes sistemas decomunicación que caracterizan la relaciónalumno-maestro, donde cada maestrodebe ser un activo investigador. Ésta esuna necesidad definida por las propiasexigencias de la enseñanza, que demandael estudio integral del alumno, al igual queel análisis racional de las oportunidades yamenazas que se presentan –ya sea conrelación a otras materias que cursa elalumno o al propio grupo de estudiantes–y de las fortalezas y debilidades del grupoy de cada estudiante en particular. A estose le denomina gerencia del proceso, queconlleva a una evaluación sistemática yrigurosa en busca de los aspectos positivosy negativos y de una compatibilidad entreambos (Carretero, 1993).

Todo ello induce a ver a la gerencia comointerpretación de la evaluación y considerara esta última como un proceso progresivodentro del cual el profesor va obteniendodiversos indicadores sobre el proceso deasimilación de los alumnos. Cada uno deestos indicadores debe incidir en elproceso enseñanza-aprendizaje, sobre labase de un efecto sinérgico favorable(Álvarez, 2001).

Esta organización cualitativa de laevaluación del aprendizaje no rechaza lautilización de instrumentos evaluativos


(como técnicas cuantitativas); tambiénincluye la información que producen dentrode una lógica cualitativa. Por tanto, no tratade minimizar lo cuantitativo, sino que locualitativo y lo cuantitativo se fundan enbusca de la calidad.

Ahora bien, la concepción y el diseño dela estrategia a seguir implica que seadecuen los elementos organizacionalesde los sistemas de planificación y deevaluación, pero esto a la vez se hallacondicionado por dichos elementos, yaque soportan la futura realización de laestrategia que el maestro se trace para ladirección (Martín, 1996).

Por otra parte, en este sistema esnecesaria la búsqueda de un equilibrioglobal, referido a la sistematización entresu concepción e implementación, entre losaspectos psicosociales, cognoscitivos yeducativos (Vigotsky, 1978), así comoentre el enfoque y la metodología seguidapara la dirección, donde la exigencia desistematización de rigor y formalizacióndebida a la complejidad del proceso nodebe implicar una eventual rigidez (PérezGómez, 1993).

Luego, la búsqueda de la flexibilidad ycapacidad de adaptación de la evaluacióna las características del proceso sólo sepuede encauzar mediante un enfoquecontingente, el cual indica que no existiráuna evaluación mejor que otra o uninstrumento mejor que otro, sino que estodepende del grupo, el momento ycircunstancia en que se desarrolla elproceso. Por tanto, deberá recoger en suseno las exigencias de una adaptaciónrápida y activa del proceso a la evolucióndel grupo (Morin, 2000).

Hasta aquí podemos concluir que laevaluación debe orientarse hacia lo quefalta para el logro de los objetivos, no a sise cumplen o no. Como concreción delestudio teórico, se precisa el concepto deevaluación (Pérez, 2000) y las exigenciaspara que la evaluación del aprendizajegenere un efecto sinérgico.

Concepto de la evaluación delaprendizaje

La evaluación del aprendizaje esuna función del sistema de direccióndel proceso enseñanza-aprendizajemediante el cual el profesor y losalumnos concientizan el grado dedesarrollo de los alumnos y qué lesfalta aún para la consecución3 de losobjetivos de aprendizaje.

Para esto, debemos considerar lasexigencias para el logro del efectosinérgico (Pérez, 2000):

1. Evaluación del proceso de ascensión al objetivo, no sólo el objetivo.

2. Evaluación bajo la consideración que el estado del estudiante puede cambiar.

3. Evaluación flexible estratégica, o sea, que exista la posibilidad siempre de mejorar una calificación.

4. Evaluación transparente para lograr identidad de valoración en los sujetos implicados.

5. Evaluación dirigida a las particularidades de los alumnos.

6. Evaluación de los procesos metacognoscitivos.

Obsérvese que se destaca “en la consecución de los objetivos”, lo que no debe confundirse con “el logro de los

objetivos”, como tradicionalmente se describe en los conceptos dados por diversos autores sobre evaluación.

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PRINCIPIOS PARA LA EVALUACIÓNDEL APRENDIZAJE EN MATEMÁTICAS

(Pérez, 2000)

Principio 1. Búsqueda del efectosinérgico resultante : La evaluaciónnecesita aprovechar el potencial de estarpresente en las interrelacciones de todoslos elementos que intervienen en elproceso, a fin de lograr su funcionamientoexitoso.

Ahora bien, en la búsqueda del efectosinérgico se debe manifestar la relacióntareas-autopreparación-evaluaciónmediante el uso del libro de texto. Se debegarantizar, además, el sistema paraevaluar cada unidad de la materia que seenseña, con la definición de losindicadores necesarios. Para ello, esimportante precisar una planificación alargo plazo de las actividades de laevaluación y su adecuada distribución enel tiempo, evitando la existencia deperiodos picos o descargados para elalumno, el desinterés de alumnosdeficientes y la confianza excesiva en losalumnos talento.

Principio 2. Independencia de la(s)habilidad(es) a evaluar : En la resoluciónde las tareas matemáticas pueden estarinvolucradas varias habilidades. Porejemplo, al trabajar en un problema elalumno debe tener la habilidad demodelarlo y resolverlo, mientras que elmaestro debe tener bien claro quéhabilidad quiere evaluar en ese momento:¿modelar el problema o su resolucióndespués de modelado? Aquí es muyimportante el diseño de la tarea porquepropicia el desarrollo de dicha habilidad yque en su evaluación no interfieran otrashabilidades. Es por eso que para poderdiseñar un sistema de evaluación se

necesita tomar como punto de partida elsistema de tareas.

Principio 3. Control de las operaciones(habilidades) antes del producto final :Generalmente, en matemáticas el profesorpresenta un contenido y evalúa desde uninicio los resultados finales de la tarea encuestión. Por ejemplo, el maestro explicacómo calcular integrales indefinidas y lastareas iniciales que orientan al alumno sonlas de calcular integrales. Sin embargo,para que el alumno desarrolle la habilidadde calcular una integral indefinida, primerodebe desarrollar las tocantes a identificarlas características del integrando y aseleccionar el método más adecuado encada caso, entre otras. De ahí que elmaestro tenga que diseñar su sistema detareas de forma que le permita controlarestas habilidades, antes de comprobar siel alumno calcula dicha integral (Martín,1996).

Es por eso que en muchas ocasiones losmaestros suelen decir: ¡El alumno Pedrono sabe calcular integrales indefinidas!,pero si les preguntamos cuál es la dificultadesencial que tiene este alumno, no puedenprecisarla. O, por el contrario, si Pedro seacerca a su maestro y le dice que tienedudas en el cálculo de la integral indefinida,el maestro le vuelve a explicar todo yorienta el cálculo de otro grupo deintegrales, sin poder guiar adecuadamentea Pedro (Perrenoud, 2001).

Luego, se debe tener en cuenta que laasimilación de un contenido por el alumnoinvolucra conocimientos básicos, así comohabilidades lógicas, las propias de lamatemática, las docentes, etc. Por esto,resulta necesario controlarlas con el fin deconocer la responsabilidad en el logro ono del objetivo; además, no es posibleevaluar un objetivo sin que se hayancontrolado antes las operaciones que lo


conforman. Toda la evaluación estáantecedida por controles; la evaluaciónno es el único elemento para dirigir unproceso de aprendizaje.

Este principio reviste mucha importancia,ya que en las matemáticas hay unatendencia entre muchos maestros dedirigir el proceso sólo a través de lasevaluaciones, sin la realización decontroles; es decir, se evalúa cuando yano hay remedio de rectificar el proceso.Tal situación provoca que la evaluaciónpierda su calidad de función en elsistema de dirección del procesodocente-educat ivo. Se requieredeterminar los indicadores necesariospara la evaluación, así como el diseñode un sistema de tareas que propicie elcontrol por operaciones antes delproducto final.

Principio 4. Coincidencia del maestroque evalúa con el maestro quedesarrolló el proceso enseñanza-aprendizaje : El conocimiento que elprofesor tiene sobre el desarrollo de susalumnos es una condición necesariapara realizar su valoración. Si el maestrono conoce las características de losalumnos, así como de la continuidad ycongruencia de todos los indicadoresobtenidos en el sistema de evaluación,ésta queda reducida al dato que seobt iene con la apl icación de uninstrumento, con lo que ésta es la víaprincipal para conseguir información. Portanto, no es posible valorar el aprendizajede los alumnos independientemente delconocimiento que de éste se tiene; hayque tener información sobre el procesode aprendizaje y de su situación integral,del estado de necesidades de losalumnos y de los objetivos planteados.

El pr incipio garant iza además elacercamiento que debe existir entre la

valoración del alumno y la del maestro.Si la autovaloración que el alumno realizade su trabajo no se contradice con lavaloración del maestro, entonces sepropicia el desarrollo de la independenciacognosci t iva del alumno. Esto esimposible si la dirección del proceso estáa cargo de un maestro y la evaluación,en determinado momento, la desarrollaotro. Por tanto, la evaluación no esacreditación.

Principio 5. Unicidad valorativa en laevaluación : Este principio ha surgido delas irregularidades encontradas. Señalaque la valoración del maestro debe estaren equilibrio con la valoración del alumnoevaluado, y define que el acto evaluativono termina con dar una calificación –pormuy buena que sea–, sino cuando elalumno y el maestro estén convencidosde las deficiencias e insuficiencias en laconsecución del objetivo. Es necesariodeterminar no sólo lo que hemosalcanzado sino, con base en las ideasde Vigotsky, ¿qué falta para llegar alobjet ivo propuesto? (a esto se ledenomina zona de desarrollo próximo).

REGULARIDADES DE LAEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE EN

MATEMÁTICAS

Todo el razonamiento efectuadoanteriormente, los principios declaradosy los resultados obtenidos en la fase deexperimentación (la cual se expondrámás adelante) conducen a la necesidadde enunciar un conjunto de reglas ynormativas, devenidas en regularidades(Pérez, 2000) que lleven al desarrollo dela evaluación del aprendizaje. Esto,conjuntamente con una metodología parael diseño de sistemas de evaluación,ayudará a materializar el aparato teórico.

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Regularidad 1. El método decomprobación de la veracidad es labase de la autoevaluación : Los alumnoscapaces de hacer una adecuadaautoevaluación sobre el desarrollo de sustareas crean un método propio paracomprobar los límites de veracidad de susrespuestas; sin embargo, generalmente losalumnos se apropian de dichos métodos através del maestro.

Regularidad 2. La evaluación es másefectiva cuando el criterio para ir aexámenes finales es cualitativo : Elcriterio de pase al examen final lo debe darel maestro, no una suma cuantitativa deevaluaciones (aunque es la base para queel profesor decida), pues así los alumnospresentan sus exámenes bajo un estadopsicológico más favorable, sobre todo losdeficientes.

Regularidad 3. La discusión grupalsobre el resultado de las evaluacioneses una vía insustituible de aprendizaje.

Regularidad 4: Los diferentesinstrumentos utilizados para desarrollarla evaluación del aprendizaje dejan deser un fin en sí mismos : Estosinstrumentos son la vía para obtenerindicadores cuyo sentido va a depender dela interacción entre diferentes factores quetienen lugar en cada momento de laactividad cognoscitiva. Con ello, dejan deser un fin en sí mismos para convertirseen un momento que expresa la continuidaddel sistema general donde se desarrollan;es decir, se relacionan estrechamente a lolargo de todo el proceso.

Si el instrumento se considera como la víapara obtener indicadores cuyo sentidoresulta de la información que brindan enintegridad con toda la información anterior,entonces el estudiante aumenta su trabajoindependiente, el desarrollo de tareas

colectivas y su valoración. En este sentido,el alumno conoce que la información queel profesor recoge del instrumento no esfundamental, ya que también incide suparticipación activa en todo el proceso.

Por tanto, el carácter cualitativo de laevaluación del aprendizaje no se definirápor el carácter cualitativo de losinstrumentos utilizados, sino por toda lainformación obtenida. Esto lleva a afirmarque el valor de cada examen no estará ensu concepción, sino en su capacidad depoder brindar información compatible conotros instrumentos ya aplicados. Así, todala evaluación se deberá organizar en unarelación de congruencia y continuidad deforma individualizada, donde puede ocurrirque, al configurarse la información para eltratamiento diferenciado de losestudiantes, sea necesario aplicar nuevosinstrumentos.

La esencia de un resultado no es inherentea él, sino al de diferentes interpretacionesque se van integrando en diferentes niveles,con lo que su sentido se va constituyendoen momentos diferentes del proceso deevaluación (Hernández, 1998).

PREMISAS FUNDAMENTALES PARAEL DESARROLLO DE LA

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE ENLAS MATEMÁTICAS

Con base en lo anterior, donde ha sidodescrito el fundamento teórico de laevaluación del aprendizaje en lasmatemáticas, resumiremos en trespremisas (Pérez, 2000) los aspectos quese deben considerar para desarrollar laevaluación del aprendizaje en lasmatemáticas. Éstas se expresan deacuerdo con tres variables fundamentalese independientes.


1. Una concepción de la evaluación quebusque un equilibrio en su significación,tanto para los alumnos como para losmaestros. Esto presupone:

a) Evaluación centrada en el alumno y sus particularidades.

b) Concebir la evaluación hasta lametacognición y aún hasta lametavaloración, considerando quela evaluación termina cuando lossujetos implicados constatan lo quefalta para cumplir el objetivo.

2. La evaluación del sistema de direccióndel proceso docente-educativo comoelemento para el logro de un efectosinérgico. Esto presupone:

a) Evaluar el proceso de ascensión alobjetivo y no sólo el objetivo,determinando lo que falta para lograrlo.

b) Evaluación flexible estratégica, quesiempre permite la posibilidad demejorar una calificación.

c) Evaluación de la comprobación de laveracidad en los resultados.

3. La evaluación debe estar basada en unsistema de tareas. Esto presupone:

a) Evaluar a través de las unidades quecomprenden las clases.

b) Controlar las etapas de asimilación(Vigotsky, 1979) en la consecucióndel objetivo final.

c) Tener en cuenta hacia dónde dirigir elcontrol en las etapas de asimilación,según la teoría de la formación poretapas de las acciones mentales, quese puede consultar en Pérez (2000)y Talízina (1992).

¿CÓMO DEBE EL MAESTRO DISEÑAREL SISTEMA DE EVALUACIÓN DEL

APRENDIZAJE EN LA ENSEÑANZA DELAS MATEMÁTICAS?

Hasta aquí queda claro, por una parte, quesi consideramos a la evaluación como unafunción de la dirección del procesoenseñanza-aprendizaje, estará presentedesde que se concibe cómo se desarrollarátal proceso (planificación, organización yejecución); por otra, que no es lo mismoevaluación y exámenes.

De acuerdo con la tercera premisa, sesugiere evaluar a través de las unidadestemáticas de cada semestre. Por tanto,cuando el maestro diseñe su sistema deevaluación no debe limitarse a precisar elnúmero de exámenes que aplicará en elsemestre; esta nueva concepción sugiereque el sistema de evaluación debe estarconformado por los sistemas de evaluaciónde cada una de las unidades que integranla materia; éstos, a su vez, estánconstituidos por un sistema de tareas(Chamoso, 2001).

En esta propuesta, el diseño utiliza a launidad como célula organizativa de todala materia, por lo cual en las primeras cincoetapas propuestas nos referiremos a launidad. La cuarta etapa reafirma lautilización en la evaluación del sistema detareas, mientras que la quinta y la sextamanifiestan la evaluación en forma general,dirigida a comprobar la identidad delresultado con el objetivo. Además, lametodología requiere que se defina unaplanificación estratégica de toda la materia(Molina, 1998), cuya esencia sea el análisisracional de las relaciones entre loselementos que intervienen en el procesopara que el sistema esté en equilibrio y selogren las funciones a él asignadas.

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Las etapas para el diseño son:

1. Análisis de los objetivos.2. Estructuración del contenido de la unidad.3. Determinación de las cadenas de clases.4. Diseño del sistema de tareas de la unidad.5. Diseño del sistema de evaluación de la unidad.6. Diseño del sistema de evaluación de la materia.

¿Qué hacer en cada etapa?

1. En los objetivos debe analizarse:

•Cuáles son los conocimientos,habilidades, hábitos y valores que exigen(el contenido de la enseñanza).

•El nivel de asimilación de los contenidos,lo cual atañe a si se quiere que el alumnollegue sólo a familiarizarse con loscontenidos, que los reproduzcan, quepuedan resolver problemas (nivelproductivo) o que llegue al nivel creativo.Al precisar el nivel de asimilaciónpodemos orientar adecuadamente elproceso enseñanza-aprendizaje.

•El nivel de profundidad de los contenidos,que está estrechamente relacionado conlos métodos de la ciencia que seutilizarán. Si el objetivo dice que elalumno calcule integrales indefinidas,entonces cada maestro impartirá losmétodos de cálculo que estimeconvenientes; luego, el nivel deprofundidad precisará en el objetivo losmétodos y los tipos de funciones que seconsiderarán en el integrando, entre otrosaspectos, o sea, los métodos de laciencia a emplear.

Este análisis permite saber lo que vamos aevaluar en la unidad y en la materia, asícomo el contenido de dicha evaluación.

2. La estructuración del contenido de cadaunidad.

En esta etapa se deben deslindar lasbases orientadoras de la acción (Talízina,1992) con que trabajará el alumno. Suimportancia radica en que el contenidorefleja la lógica de la ciencia; laevaluación, la lógica del procesoenseñanza-aprendizaje . Por tanto, laorganización del contenido busca launidad entre la lógica del procesoenseñanza-aprendizaje, la de la cienciay la de la asimilación de los alumnos,mientras que la evaluación tiene que serla expresión de dicha unidad .

El desarrollo del proceso (organización),la lógica de la matemática como ciencia yla lógica de cómo una persona asimila nopueden ir por separado porque sería untormento para el alumno. Se debe prestarmucha atención a cómo se va a estructurarel contenido para lograr esta unidad, puesinfluye en el alumno tanto en lo cognitivocomo en lo afectivo y, por ende, en laformación de su personalidad.

3. Determinación de las cadenas de clases

Debido a que los tipos de clases en lasmatemáticas están caracterizados por lostipos de habilidades que en ella sedesarrollan, la evaluación quedacondicionada a este aspecto y adopta suforma, como expresión del objetivo aalcanzar en la unidad. Ahora bien, en eldiseño de esta cadena no sólo se debeconsiderar la autopreparación que elestudiante necesita llevar a cabo entreclase y clase, sino también que en cadaclase no se evalúa lo mismo, ya que estodepende de la relación entre la etapa deasimilación y los objetivos de la unidad.

Para el diseño de una cadena hay quetener en cuenta los diferentes tipos declases que abarcará: conferencias (C),clases prácticas (CP), laboratorios (L) yseminarios (S), además de la


autopreparación (AP). Los tipos de clasesy el orden de la cadena se definiránconsiderando el tránsito por cada una de

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Etapas de asimilación

Motivación, BOA

Acciones materializadas externas (para la asimilación de la BOA)

Lenguaje externo (para la asimilación de las operaciones y el resultadoexteriorizado)

Lenguaje interno (para la asimilación de las operaciones de formainterna)

Acción mental (para el resultado de forma externa)

Nivel deasimilación

Familiarización

Reproducción

Producción

Creación

4. Diseño del sistema de tareas de launidad

Esta etapa es esencial para el diseño delsistema de evaluación, pues en la tarease manifiestan todos los elementos y leyesdel proceso enseñanza-aprendizaje, conlo que se hace potencial el efecto sinérgicoy el cumplimiento de las funciones de laevaluación para mantener el equilibrio delproceso.

Al hacer el diseño del sistema de tareasse debe relacionar, en cada cadena declases, la etapa de asimilación para la quese diseña dicha tarea; de este análisistienen que surgir las tareas específicaspara cada actividad.

5. Diseño del sistema de evaluación de launidad

Para el diseño del sistema de evaluación,se tomará como base la siguiente cadenade clases, muy típica en la enseñanza delas matemáticas:

Cuadro 1. Relación del orden de la cadena con las etapas de asimilacióny los niveles de asimilación de los contenidos

C1 ⇒ AP1 ⇒ CP1 ⇒ AP2 ⇒ CP2 ⇒ AP3 ⇒ S1

El diseño, que puede servir como modelopara cualquier unidad de clases de lasmatemáticas, consiste en precisar haciadónde dirigir la evaluación en cada una delas clases y de la autopreparación,teniendo en cuenta el tránsito por lasetapas de asimilación y los niveles deasimilación del contenido. Su explicacióndetallada se muestra a continuación:

Diseño del sistema de evaluación de launidad

C1: Conferencia donde se debe cumplir lamotivación e introducción del nuevocontenido, que se designa como BaseOrientadora de la Acción (BOA). Aquí, laevaluación debe orientarse a:

• Motivar al alumno.

• Valorar si los alumnos describen loselementos de la BOA.

las etapas del proceso de asimilación(Talízina, 1992) y los niveles de asimilacióndel contenido (Pérez, 2000).

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AP1 Es la autopreparación que forma alestudiante para las acciones externasmaterializadas; la evaluación debe estardirigida a:

• Valorar si los alumnos aplican la BOA.

• Valorar si los alumnos identifican enla BOA las diferentes acciones y susoperaciones.

• Realizar la valoración por operacionesde la BOA.

CP1: Primera clase práctica, que debeestar dirigida al tránsito por la etapa de lasacciones externas materializadas. A laevaluación le compete:

• Realizar el control por operaciones e introducir gradualmente el control del producto final de las acciones.• Valorar si las acciones se desarrollan desplegadas.• Valorar el grado de despliegue de las acciones.

AP2: Tránsito de la etapa de las accionesmateriales externas a la del lenguajeexterno, que debe ser conducido por lasegunda autopreparación. Concierne a laevaluación:

• Valorar si se justifica cada operación desarrollada.• Valorar si el alumno puede resolver la tarea por varios métodos, justificando cada caso.• Conducir al alumno a que varíe algunas magnitudes del problema en cuestión para valorar si puede justificar los cambios que se producen en su resolución.• Introducir gradualmente el control del producto final.

CP2: Consiste en la etapa del lenguajeexterno, que debe cumplirse en esta clasepráctica. La evaluación debe estar dirigidaa:

• Valorar que se justifique cada una de las operaciones.• Valorar que se concientice el grado de despliegue.• Valorar la comprobación de las respuestas obtenidas, en forma externa.• Valorar, en caso de que se reduzca el grado de despliegue, si se mutilan acciones.• Valorar si se desarrollan las acciones por diferentes métodos.• Controlar el producto final de forma externa.

AP3: Es la tercera autopreparación, quedebe propiciar el tránsito a la etapa dellenguaje interno. La evaluación se debecircunscribir a valorar:

• Si el grado de despliegue de las acciones es cada vez menor.• Si se justifica la reducción de las operaciones.• Si no se mutilan acciones en la resolución de los problemas presentados.• Si se es capaz de iniciar la resolución de problemas por etapas intermedias de todo el proceso de resolución.

S1: Seminario que debe propiciar el tránsitoa la etapa del lenguaje interno, donde laevaluación tiene que valorar :

• Si se concientiza el grado de despliegue y se tiende a reducir de forma externa, incluyendo la


realización de algunas operaciones de forma interna.• Si se comprueban las respuestas de forma interna.• Si se dominan las acciones esenciales de los conceptos de forma interna.• El control del producto final de forma interna.

6. Diseño del sistema de evaluación de lamateria

Esta etapa requiere ser valorada como unaplanificación estratégica donde seaprecien, de manera sistemática, lasdebilidades y fortalezas de la materia, asícomo las oportunidades y amenazas quepresenta el desarrollo de todo el procesoenseñanza-aprendizaje.

El diseño del sistema de evaluación de lamateria inicia con un estudio sobre larelación que hay entre los objetivos decada unidad y los de la materia. Tal análisisnos permite conocer, de acuerdo con losniveles de asimilación y profundidad de losobjetivos de la materia, el grado deejercitación necesario de las habilidadesimplicadas, que pueden ser de adquisición,fijación y solidificación. Los grados deejercitación se necesitan precisar desdeel inicio de la materia, ya que es imposiblelograr la fijación o la solidificación de unahabilidad en el propio desarrollo de launidad donde se imparte el contenidorelacionado con ella.

El grado de ejercitación de una habilidaden una materia nos indica el nivel derepetición con el que debe tratarse en la

evaluación. Por ejemplo, el cálculo de laintegral indefinida es una habilidad adesarrollarse en la primera unidad, peropara lograr su solidificación se consideranecesario evaluarla en otras tres unidades,independientemente de que éstas notengan como objetivo su desarrollo, ya queesa habilidad es la base para el desarrollode los temas.

Por tanto, los niveles de repetición de unahabilidad en el sistema de evaluaciónestán estrechamente relacionados con sugrado de ejercitación –adquisición, fijacióny solidificación–, lo cual se muestra en elCuadro 2:

Cuadro 2. Niveles de repetición y grados deejercitación de una habilidad

Posteriormente, con una matriz de cargase precisan los objetivos4 a evaluar encada unidad (véase Cuadro 3), de acuerdocon el nivel de profundidad de los objetivosy el grado de ejercitación que se requiere.Además, la matriz de carga permite decidiren cada unidad qué objetivos de otrasunidades deben ser evaluados y qué gradode ejercitación debe ser valorado paracada uno de ellos. Un ejemplo es lamateria Cálculo Integral para IngenieríaEléctrica de la Universidad de Camagüey,Cuba, que contiene nueve unidades.

Niveles de repetición/Grados de ejercitación

Veces a evaluar

1

2

3

Grados de ejercitación

Adquisición

Fijación

Solidificación

Los objetivos de la asignatura y las unidades temáticas se describen en la fase de aplicación de la propuesta.4

Relime280

Objetivos dela unidad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Grado deejercitación

3

3

3

3

3

3

3

2

1

U1

x

1

U2

x

1

U3

x

x

x

3

U4

x

1

U5

x

1

U6

x

x

x

3

U7

x

x

2

U8

x

x

x

x

x

x

6

U9

x

x

x

x

x

x

x

7

Cuadro 3. Matriz de carga que incluye los objetivos de las unidades y grado de ejercitación de lamateria Cálculo Integral para la carrera de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Camagüey, Cuba

(U representa a cada unidad)

El análisis de esta matriz de carga permiteinferir que en la unidad 3 deben evaluarsetres objetivos temáticos, pero el grado deejercitación a valorar en cada uno de ellosno es el mismo, mientras que en lasunidades 1 y 2 sólo se evalúan susobjetivos temáticos, y un análisis similarocurre en las unidades 4 y 5. Las columnassombreadas indican las unidades quedeben evaluar objetivos de otras unidades.

Por otro lado, se puede observar que losobjetivos de las unidades 1 a la 7 exigenel grado de ejercitación tres, lo cual indicaque la habilidad debe llegar a solidificarseen el alumno. Por ejemplo, para lograr lasolidificación del objetivo de la unidadnúmero 1 se tiene que evaluar en lasunidades 1, 3, 6 y 9.

Cuando se explicó el diseño de la cadena

de clases, quedó claro que la evaluacióndebe estar dirigida hasta valorar la etapade las acciones internas, bajo los principiosde la evaluación aquí definidos. Entonces,en el tema donde se precise evaluar variosobjetivos de diferentes unidades, para losdiferentes niveles de ejercitación hay quedefinir trabajos de control parcial(exámenes), como es el caso de lasunidades 3, 6, 7, 8 y 9. Las columnas estánsombreadas para indicar que en dichasunidades se deben aplicar exámenes.

También cabe destacar que si en elobjetivo de una unidad el grado deejercitación requerido es de solidificación,esa unidad no puede ser la última endesarrollarse. Por tanto, hay que revisarla organización del contenido, pues esimposible evaluar la solidificación de unahabilidad en la unidad donde se adquiere.


FASE DE APLICACIÓN DE LAPROPUESTA

Ésta es una fase de generalización yperfeccionamiento de nuestra investigación,la cual se experimentó en la materia CálculoIntegral para Ingeniería Eléctrica de laUniversidad de Camagüey, Cuba, bajocondiciones naturales (Lewin, 1992; Elliot,1994), según la metodología propuesta deseis etapas.

Etapa No. 1. Análisis de los objetivos

Los objetivos fundamentales de esta materia(Calderón, 1994) son los siguientes:

1. Caracterizar e interpretar los conceptosde la teoría del cálculo integral medianteproblemas teóricos y prácticos queconduzcan a un modelo matemático,interrelacionando, diferenciando ycalculando los diferentes tipos de integral einterpretando matemática, física ytécnicamente los resultados obtenidos,seleccionando el modelo integral y, enocasiones, modelando la función a integrarcon el uso de tablas y de las nuevastecnologías, a un nivel productivo.

2. Contribuir a la formación de la concepcióncientífica del mundo mediante lacomprensión de los conceptos de integrales,que desarrollen hábitos de procederreflexivamente y de evaluar los resultadosde su trabajo, al igual que la utilización dediversa literatura. Contribuir a la capacidadde razonamiento y de pensar lógicamente,así como a la formación computacional delos estudiantes.

A partir de estos objetivos generales, paracumplir con el principio de la independenciade la habilidad a evaluar, se determinaronlas habilidades a desarrollar por losalumnos :

• Identificar los diferentes tipos deintegrales a partir de las característicasesenciales del concepto: tipo de funcióny del dominio de integración.

• Aplicar las propiedades de la integral.

• Calcular las integrales definidas utilizandolos teoremas fundamentales,propiedades y métodos de integración.

• Determinar la convergencia o divergenciade una integral impropia.

• Calcular las integrales múltiples, de líneay de superficie reduciéndolas a unaintegral definida mediante integralesiteradas, parametrizaciones o utilizandolos teoremas de Green, Gauss-Ostrogradski o Stokes.

• Calcular magnitudes geométricas y delelectromagnetismo empleando elmodelo integral adecuado y, enocasiones, la función a integrar.

• Modelar problemas e interpretarmatemática, física y técnicamente losresultados obtenidos, seleccionando elmodelo integral y, en ocasiones,modelando la función a integrar.

Etapa No. 2. Estructuración del contenidode la unidad

El diseño de la asignatura se basó en elmétodo estructural-funcional ,considerando como invariante de estoscontenidos la suma de Riemann cuando lanorma de la partición tiende a cero. Desdeel punto de vista de las habilidades adesarrollar, para propiciar el pensamientológico de los alumnos seleccionamos comohabilidades generalizadoras laidentificación y la clasificación; una para lateoría y otra para la práctica.

La habilidad de clasificación ofrece a losalumnos la posibilidad de ubicartécnicamente cada uno de los objetos

Relime282

analizados. Éste es un proceso general enla teoría del cálculo integral, ya que ante cadaproblema el alumno debe hacer un análisisteórico para clasificar el tipo de integral autilizar, valorando el cumplimiento de lascondiciones suficientes y si es posiblecalcularlas por los métodos estudiados.

Para estructurar el contenido con lautilización de estas invariantes, se recurrió alas siguientes Bases Orientadoras de laAcción (BOA):

I. BOA para definir las integrales, donde cadanueva integral se introduce con la siguientelógica:

• Establecer las características de laregión y de la función.

• Definir conjunto contenido nulo,partición y norma de la partición.

• Selección de un punto arbitrario en cadaelemento de la partición.

• Formación de la suma integral.

• Paso al límite de la suma cuando lanorma de la partición tiende a cero.

Esta BOA se utilizó de manera que,independientemente del dominio y de lafunción, plantea un límite que, si existe, esconsiderado como el resultado de una ciertaoperación que se realiza sobre una función fdefinida y acotada sobre el dominio D. A éstase le denomina operación de integración,según Riemann, mientras que el resultado,llamado integral, revela la esencia de laintegral como proceso de aproximación.

II. BOA para el desarrollo de la teoría:

• Establecer la condición necesaria y suficientepara la integrabilidad de una función.

• Instaurar la relación entre la continuidad y laintegrabilidad de la región de integración.

• Propiedades de las integrales.

III. BOA para la práctica:

• Identificar las características de laregión de integración.

• Distinguir las características delintegrando.

Para que estas BOA realmente contribuyanal cumplimiento de los efectos instructivos yeducativos de la evaluación, deben formarsecuando se desarrolle la unidadcorrespondiente a integrales definidas y serretomadas dentro del mismo tema endiversas formas (clases prácticas,extraclases, seminarios, etc.). De este modo,al ir definiendo los demás tipos de integralesmediante su uso, se podrá lograr una mayorinteracción con los alumnos, quienesganarán en independencia y tendrán másmotivación en el desarrollo de la teoría, locual propiciará el desarrollo de suautovaloración. La tercera BOA, que seemplea para el cálculo, le permite al alumnoidentificar y clasificar cada tipo de integral,si cumple o no las condiciones; de esta formale indica la vía a seguir para calcularla.

Al tener en cuenta lo anterior, el contenidose estructuró con un orden que definió lasnueve unidades de la materia:

1. Integrales indefinidas.2. Integrales definidas.3. Integrales de líneas.4. Curvas, sólidos, proyecciones y sistema de coordenadas.5. Integrales dobles.6. Integrales triples.7. Integrales de superficie.8. Teoremas de Stokes, divergencia y Green.9. Aplicaciones de las integrales.

Para el cálculo de primitivas en lasintegrales indefinidas se siguió un procesogeneral (ver Anexo), el cual permitió quela evaluación no estuviera dirigida a valorar


si se dominaba cada método en específico,sino el proceso general para integrar. A finde lograr esto, el tema se diseñó utilizandoel proceso general de integración, mientrasque la evaluación iba dirigida a valorar sise hacían diferencias entre las diferentestécnicas de reexpresión del integrando ylas posibles formas de integrar (en esteúltimo punto se puso énfasis en lasgeneralidades).

Por ejemplo, una de las técnicas dereexpresión del integrando es el cambiode variables. Aquí, se valoraron lasoperaciones que incluía esta acción: definirqué sustitución se hará, calcular eldiferencial de la variable a sustituir, ysustituir la variable y el diferencial en laintegral. Lo que quedaba por hacer paracalcular dicha integral atañía al cuartopaso del proceso general de integración,donde la solución general debíacorresponder con la variable inicial que sele dio al alumno en la integral que estabacalculando. Dicha cuestión no estabacontenida en las fases del método, sinoconcernía la autovaloración que el alumnohacía de la respuesta obtenida.

En las integrales definidas se impartió elcontenido de forma tal que fueranclasificadas en propias e impropias, perono se dio una clase sobre las impropias yotra sobre las propias. Así, desde elprincipio se pudo valorar si el alumnoclasificaba una integral definida en propiao impropia y la justif icación de surespuesta.

Al definir las integrales de líneas, seconsideró que, entre las características dela región de integración, debía precisarseque la curva tenía que estar dada en formaparamétrica y no incluir esto en el métodode cálculo. Después, se le haría ver alalumno que el método para calcularintegrales de líneas es el método del

cambio de variables, un asunto que debecomprender para advertir la sistematicidadde lo que estudia y no como un métododiferente o nuevo.

En la unidad 4, tocante a geometría, sevaloró el desarrollo de habilidades en elanálisis de la regularidad de una región;en determinar si un sólido era de revolucióno no; en conocer las superficies típicas decada sistema de coordenadas; enrepresentar -planos, y en estudiar lavariación de las variables encorrespondencia con el sistema decoordenadas más conveniente según lassuperficies típicas, todo esto junto con larepresentación de sólidos.

Debido a que estos aspectos, al ser vistostradicionalmente en integrales dobles ytriples, ha hecho que se pierda su esenciaal aplicarlos en los elementos geométricos,consideramos tratarlos como una unidadindependiente, pues con su valoración enesta unidad se propició el trabajo de lasintegrales múltiples y de superficie.

Para esta unidad de geometría se utilizóla siguiente BOA para analizar la variaciónde las variables, que contribuyó a vincularla lógica de la estructuración del contenidocon la del proceso de desarrollo delalumno:

1. Identificar las superficies que componen la región.2. Determinar si es, o no, un sólido de revolución.3. Elegir el sistema de coordenadas más conveniente.4. Determinar la regularidad de la región5. Determinar la variación de las variables.

Con la util ización de esta BOA, seconsideró importante valorar en el cuartopunto el desarrollo de habilidades en la

θ

Relime284

utilización del - plano5 para determinarla variación de las variables, por ser elmétodo que util izarán los alumnosposteriormente al determinar los límites deintegración en las integrales triples.

En las integrales dobles y triples, paraplantear las iteradas se siguió la BOA:

1. Determinar la variación de las variables.2. Plantear las iteradas.

En este caso, el segundo paso quedótotalmente simplificado con el tratamientoque se le dio en geometría a ladeterminación de la variación de lasvariables, donde el alumno, sin saberlo,ya estaba dando los límites de integraciónde una integral triple. Nótese que el primerpaso era precisamente la BOA de launidad de geometría para analizar lavariación de las variables; por tanto, elproceso de evaluación de dicha unidaddebía tener un efecto sinérgico positivopara desarrollar exitosamente la unidad deintegrales triples y dobles.

Asimismo, era importante que en estaunidad se aprovechara el significadogeométrico que tenía el Jacobiano, al serla razón de proporcionalidad de área ovolumen en la transformación decoordenadas.

Las integrales de superficies, a pesar deque tienen su secuencia lógica en cuantoa las regiones de integración, desvían alestudiante de los procedimientos decálculo de las dobles y triples. Por ello,las propusimos al final.

Para la conferencia de los teoremas de launidad 8, que relacionan los diferentes

El - plano es empleado en el libro de texto para Ingeniería en Cuba sobre integrales múltiples, cuando se

integra sobre una región que representa un sólido de revolución, en coordenadas cilíndricas o esféricas.

5

tipos de integrales, se partió de problemasconcretos a fin de que, mediante suanálisis –similar a la demostración de cadateorema– se llegara a los enunciados dedichos teoremas, terminando por resolverlos problemas planteados.

Y por último, aunque al definir cada tipode integral también se hacía necesariodefinir las aplicaciones más inmediatas aellas, propiamente las que caracterizabancada tipo de integral, había un grupo deaplicaciones comunes a todas quevariaban según la región de integración(masa, centroide, momento, etc.), lascuales debieron ser tratadas; de igualmanera, se atendió a la relación entre elcálculo de longitud de arco por definidas ylíneas y otros.

Por tanto, el enfoque dado a la evaluaciónpara las aplicaciones estuvo dirigido a queel alumno fuera capaz de seleccionarcorrectamente el modelo integral másconveniente para resolver un determinadoproblema, así como identificar los casosdonde pudiera distinguirse más de unmodelo integral, haciendo hincapié en losrasgos esenciales para la seleccióncorrecta. Estas aplicaciones, máscomunes, se propuso vincularlas al trabajoinvestigativo de los alumnos, dondemediante búsquedas parciales lasestudiaran y establecieran sus relacionespara que posteriormente enfrentaran laresolución de problemas.

Otro de los elementos que se consideróen las aplicaciones fue usar la estructuraestable (Pérez, 2000), de carácter generalde la integral, sobre el cálculo demagnitudes físicas y geométricas. Estollevó al estudiante a valorar que, cuando

θ

θ

¿Cómo diseñar el sistema de evaluación del aprendizaje en la enseñanza de las matemáticas?

Limλ →0

f (ξii =1

n

∑ )∆xi .

285

el integrando está formado pordiferenciales de una magnitud o porvalores puntuales de ésta mediante eldiferencial de la magnitud, la integralrepresenta el valor de esa magnitud enlos límites de integración dados. Tratar lasaplicaciones de la integral de esta formapermite dirigir la evaluación sobre lasaplicaciones a sus elementos esenciales.

De forma general, en la estructuración delcontenido se propuso util izarracionalmente las BOA particulares paracada tipo de integrales, de forma que sepudieran establecer las articulacionesentre ellas, utilizando términos comunes.

Concerniente a los tipos de clases, serealizaron actividades integradoras en eltema de aplicaciones y después de éste,con el objetivo de evaluar la interrelaciónde los contenidos, de el nivel degeneralización y de profundización. Dichasactividades, que se efectuaron en lasmodalidades de taller, seminarios y mesasredondas, propiciaron la revisión de unaamplia bibliografía de cálculo integral y ladiscusión sobre los enfoques que diversosautores le dan a este contenido.

En resumen, la evaluación contempló lavaloración de:

• Invariante general :

• Habilidades generalizadoras:Identificación y clasificación.

• Bases orientadoras de las acciones(generales) : Para definir integrales,para el desarrollo de la teoría, para lapráctica y para el proceso general deintegración.

• Bases orientadoras de las acciones(particulares) : Comprendió losmétodos del cambio de variables, dedescomposición de una fracción

racional en fracciones simples y deintegración por partes, el uso de lastablas de integración y la determinaciónde la variación de variables en el planoo el espacio, en cualquiera de lossistemas de coordenadas.

• Acción esencial de la asignatura:Transformar cada integral a unaintegral definida.

• Acciones esenciales a desarrollar:Determinar si una integral definida espropia o impropia; si la función dadano es integrable; parametrizar curvas;establecer la variación de variables enel plano o el espacio, en cualesquierade los sistemas de coordenadas, asícomo identificar, en una integral desuperficie, sobre qué proyecciones esposible precisar la variación de lasvariables para los límites de integraciónde la integral doble a obtener.

• Acciones esenciales generales :Identificar si una función es integrableo no, clasificar a qué tipo de integralcorresponde y transformar cadaintegral en una integral definida.

Estas acciones esenciales generales yparticulares le permitirán al profesorencaminar el trabajo de evaluación en laetapa de las acciones externasmaterializadas y la de las accionesexternas.

Etapa No. 3. Determinación de lascadenas de clases

Por razones de espacio, en este artículosólo mostraremos cómo se diseñó lacadena de clases de la unidadcorrespondiente a integrales indefinidas,que incluyó una conferencia y tres clasesprácticas.

Etapa No. 4. Diseño del sistema de tareasde la unidad

Relime286

Aquí consideramos relevante la utilizacióndel proceso general de integración porquepermite darle un enfoque sistémico altema, siendo más fácil para el aprendizajey la evaluación. El enfoque que sepresenta en los textos para calcularintegrales hace pensar en que debenaprenderse “muchos” métodos, sin queexista un hilo conductor entre ellos. Portal motivo, dirigimos nuestros esfuerzos aque hubiera la lógica de la ciencia, de laasimilación y del contenido, y que laevaluación buscara la unidad de esalógica.

Antes de diseñar el sistema de tareas,determinamos la BOA para el procesogeneral de integración con el fin deidentificar qué acciones tenía involucradas;después elaboramos una tarjeta deestudio (Anexo 1) que reflejó el procesogeneral de integración. Los alumnos lautilizaron en las primeras etapas delproceso de asimilación, mientras que laevaluación se orientó a que los alumnosvaloraran el proceso general de integral yel tratamiento que le dan los autores,clasificando varios métodos. A partir deesto, se les indicó a los alumnos quehicieran un trabajo de búsquedabibliográfica donde tuvieran que valoraresta situación. El sistema de tarea que seconformó fue el siguiente:

• Dado un grupo de integrales indefinidas:

a) Identificar el modelo del integrando.b) Identificar en cuál de ellas se puede.

reexpresar el integrando, aplicandolas propiedades de la integralindefinida.

c) Calcular. Si utiliza las tablas deintegrales, especifique que fórmulaempleó.


a) Identificar el modelo del integrandof (x) y g(x) .

b) Identificar en cuál de ellas se puedereexpresar el integrando utilizandocompletamiento de cuadrados,simplificación de fracciones,multiplicando y dividiendo por elconjugado pitagórico odescomponiendo fraccionesracionales en fracciones simples.

c) Calcular cada caso. Si utiliza lastablas de integrales, especifique quefórmula empleó.


a) Identificar las que tengan en elmodelo del integrando una función dela forma F(g(x))g´(x) .

b) Identificar f (x) y g (x) .c) Clasificar la fórmula de las tablas de

integrales inmediatas con la que sepuede calcular.

d) Calcular.


a) Identificar las que tengan en elmodelo del integrando una función dela forma u dv .

b) Identificar quién es u y quién dv .c) Aplicar la fórmula de integración por

partes.d) Calcular. Si utiliza las tablas de

integrales, especifique que fórmulaempleó.


a) Identificar las que tengan en elmodelo del integrando una funciónracional.

b) Identificar si la fracción racional espropia o impropia.

c) Descomponer la fracción racional enfracciones simples.


b)Calcular en la forma .

• Resolver un grupo de ecuacionesdiferenciales, con condiciones inicialesdadas.

• Las demás tareas estarán referidas a laresolución de problemas sobre diversasaplicaciones de la integral indefinida.

Etapa No. 5 Diseño del sistema deevaluación de la unidad

Con este primer grupo de tareas es posibledirigir la evaluación, en las primeras clasesprácticas y la autopreparación, a quevalore el desarrollo práctico de cada unade las operaciones involucradas en elproceso general de integración. Así, en laetapa materializada el alumno se enfrentaa este grupo de tareas con la tarjeta deestudio, donde aparecen todos loselementos esenciales del proceso deintegración y los modelos de las accionesa ejecutar, lo cual permite valorar si seasimila la BOA dada a un nivelreproductivo.

Posteriormente, en la etapa del lenguajeexterno la evaluación se basa en unsistema de tareas con estas mismascaracterísticas, pero encaminadofundamentalmente a ejercitar elracionamiento teórico, de forma que laacción se transforma de la lógica de laacción a la lógica del concepto, donde elalumno pueda justificar lo que hizo yporqué. Dicha etapa también puederetomar las tareas realizadasanteriormente –donde se orienta cadaoperación a desarrollar– y analizar en cadauna las integrales que no correspondíancon las que se había pedido calcular,explicando el procedimiento seguido encada caso.

d) Calcular la integral. Si utiliza lastablas de integrales, especifique quefórmula empleó.


a) Identificar en cuáles de ellas esnecesario hacer sustitución y/ocambio de variables.

b) Indicar qué sustitución o cambio devariables se haría.

c) Calcular la integral. Si utiliza lastablas de integrales, especifique quefórmula empleó.


a) Identificar en cuáles de ellas esnecesario completar el diferencialpara obtener una integral inmediatageneralizada.

b) Completar el diferencial.c) Calcular. Si utiliza las tablas de



a) Identificar el modelo del integrando.b) Reexpresar el integrando.c) Integrar. Si utiliza las tablas de


• Tareas con las características anteriores, pero exigiendo la justificación de las acciones realizadas.

• Calcular un grupo de integrales indefinidas.

• Dado un grupo de ecuacionesdiferenciales:

a) Transformar, si es necesario, laecuación a la forma M(x)dx+N(y)=0 .

M∫ (x)dx= − N∫ (y)dy + c

Relime288

En lo concerniente a la etapa del lenguajeinterno, la evaluación se basó en tareasconcretas para el cálculo de integrales, sinespecificar en su enunciado las posiblesacciones a realizar.

Obsérvese que las tareas descritasenfatizan en las acciones esenciales adesarrollar: identificación y clasificación .Por tanto, en el proceso de asimilación deeste contenido resulta importante evaluar siel alumno sabe identificar el modelo delintegrando y si clasifica la(s) técnica(s) parareexpresar el integrando, así como lafórmula para calcular la integral.

En razón de que ésta es una unidad básicafundamental dentro del cálculo integral yde la disciplina matemática para IngenieríaEléctrica, la evaluación parcial debe estardirigida a las acciones esenciales deidentificación y clasificación , al igual quea la asimilación del proceso general deintegración.

Etapa No. 6. Diseño del sistema deevaluación de la materia

Para analizar el diseño del sistema deevaluación de la materia, se determinó elgrado de ejercitación que requería cadaobjetivo temático, en correspondencia consu nivel de asimilación y de profundidad,mientras que para ahondar en la matrizde carga (ver Cuadro 3) se tuvo en cuenta,por una parte, la interrelación entre losdiferentes temas; por otra, que muchashabilidades contenidas en algunosobjetivos de las unidades constituíanacciones u operaciones para los objetivosde otras unidades. En este caso, se tomóa dichos elementos como base para definirel grado de ejercitación que requería cadatema.

Del estudio de esta matriz, se planteó que

en el sistema de evaluación general de lamateria había que aplicar exámenesparciales en las unidades 3, 6, 7, 8 y 9.Por ejemplo, en la unidad 7, tocante aintegrales de superficies, el examentendrá que orientarse al cálculo de estetipo de integrales y de las dobles; sinembargo, los aspectos del tema degeometría, de las integrales definidas eindefinidas que involucra el cálculo de laintegral de superficie no deberán tenerun alto grado de dificultad, pues no sonhabilidades esenciales a evaluar. Conesto, se pone de manifiesto el principiode la independencia de la habilidad amedir.

Para la evaluación final, el alumnodeberá saber cuáles son los objetivosfundamentales que se tendrán en cuenta,los cuales serán dados en función de lasolución de problemas. En este caso, seorientó a lo siguiente:

• Caracterizar los conceptos ypropiedades e interpretacióngeométrica de los diferentes tipos deintegrales.

• Establecer las relaciones entre losdiferentes tipos de integrales, desde elpunto de vista del cálculo, aplicacionesy teoría.

• Modelar y resolver problemas queconduzcan a ecuaciones diferencialesde variables separables, donde seinterprete la integral indefinida comooperación inversa a la derivación.

• Identificar si una función es integrableen una región de integración dada,clasificando el tipo de integrales.

• Resolver problemas sobre área,trabajo, longitud de una curva, volumen,flujo de un fluido, masa, momentos,centros de gravedad y centroides, entreotros.


VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE LOSRESULTADOS

Aquí, partimos de la siguiente hipótesis:Si se diseña un sistema de evaluación delaprendizaje fundamentado en el modeloteórico que concibe a la evaluación delaprendizaje como una función del sistemade dirección del proceso enseñanza-aprendizaje, cumpliéndose sus principiosy regularidades, y considerando que laevaluación esté referida a un sistema detareas en función de las etapas delproceso de asimilación, entonces selogrará aumentar la dedicación de losalumnos al estudio, el rendimientoacadémico y su calidad.

Después, se llevó a cabo una validación,sustentada en el criterio de expertos, conel objetivo de determinar los indicadorespara determinar la variable independienteadecuada dedicación al estudio.

Para aplicar el criterio de los expertossobre la base de los aspectos teóricos ymetodológicos propuestos en torno a laevaluación del aprendizaje, se eligió unamuestra de 12 especialistas, partiendo deun rango mínimo de competencia que seobtuvo al determinar un coeficiente decompetencia según el uso del métodoDELPHI, aplicado como determinaciónperspectiva de la operacionalización deuna variable y sus posibles dimensiones.

La muestra de expertos se seleccionóteniendo en cuenta los siguientesindicadores: años de experiencia docente,competencia, creatividad, disposición apartir de la encuesta, capacidad deanálisis, pensamiento y vínculo con laenseñanza de la materia, en este caso lasmatemáticas. Respecto a la confección delos indicadores a medir en el test aplicado

a los expertos contextualizados, seatendieron a los siguientes aspectos:

• Concreción del modelo teórico que sepropone.

• La evaluación como función del sistemade dirección, que dé equilibrio a loselementos del proceso enseñanza-aprendizaje y logre la sinergia delproceso.

• La evaluación basada en un sistemade tareas a nivel de tema.

Todos estos aspectos presuponen que selogrará una adecuada dedicación alestudio por los estudiantes.

Al determinar la matriz de rango en cadapregunta del test, se apreciaron lassiguientes técnicas estadísticas:

• Grado de concordancia de los expertospara el conjunto de todas las preguntas,util izando el coeficiente deconcordancia de Kendall.

• La concordancia entre medidas degrupos de expertos, empleando elcoeficiente de rango par de Spearman.

• Determinación de la categoría o gradode adecuación más frecuentes, segúnla opinión de los expertos en cadapregunta.

Sobre la base de la apreciación de lastécnicas anteriores, se constató que elcoeficiente de concordancia de Kendall encada pregunta arrojó resultados por encimade =0,82 (P<0,05) lo cual evidenció unalto grado de concordancia en los criteriosemitidos por los expertos. Resultadossimilares se obtuvieron con el coeficientede Spearman.

La categoría o grado de adecuación másfrecuente fue el de ADECUADO, por lo cual

δ

Relime290

consideramos que los indicadores uso dela bibliografía en calidad y cantidad, horasde estudio, presentación de trabajos enjornadas científicas estudiantiles, calidadde las tareas extraclases e interés por lamateria resultaron pertinentes para validarel modelo teórico y la metodología deevaluación del aprendizaje que se proponeen este trabajo.

Para el experimento se realizó un estudiolongitudinal y prospectivo, donde lavariable independiente fue manipulada porel investigador; de este modo, tanto elgrupo de control como el experimental seabordaron en el siguiente período(Ander-Egg, 1993).

La muestra incluyó a 169 alumnos,divididos en dos grupos: uno de control yotro experimental:

• Grupo de control: Cálculo integral parael primer año de Ingeniería Eléctrica,Universidad de Camagüey, Cuba,cursos 92-93 y 93-94.

• Grupo experimental: Cálculo integralpara el primer año de IngenieríaEléctrica, Universidad de Camagüey,Cuba, cursos 95-96 y 96-97.

Un total de 169 alumnos pertenecían algrupo de control y 59 al experimental.

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Para el procesamiento estadístico seutilizó Microsoft Excel y Systat. El primerosirvió para introducir los datos; el segundo,para procesarlos.

En el análisis sobre las notas del examenfinal, se utilizó la prueba de X 2 para dosmuestras independientes de la estadísticano paramétrica. Además, se efectuaron

varias comparaciones entre los cursos decontrol y los experimentales; la última sehizo entre los dos grupos experimentalespara ver si existían diferenciassignificativas entre sus resultados.

Las calificaciones se consideraron como5 (excelente), 4 (bien), 3 (regular) y 2 (mal).

Comparación 1

Grupo de control: curso 93-94Grupo experimental: curso 95-96

H0: No hubo diferencia significativa entrela proporción de alumnos con calificacionesde 4 y 5 entre el curso 93-94 y el 95-96.

H1: El grupo del curso 95-96 tuvo una mayorproporción de alumnos con calificaciones de4 y 5 que el del curso 93-94.

Sea =0.05 y el número total de alumnosde la muestra 79.

En este caso, X 2 = 9.09 y la probabilidadde ocurrencia conforme a H

0 para de

X 2 > 9.09 con grado de libertad 1 fuep < 0.0005. En vista de que esta p fuemucho menor que =0.05, se rechazó H

0

y se aceptó H1, por lo cual se concluyó que

hubo una mayor proporción de alumnoscon calificaciones de 4 y 5 en el curso95-96.

Comparación 2


H0: No hubo diferencia significativa entrela proporción de alumnos con calificacionesde 4 y 5 entre el curso 93-94 y el 96-97.

H1: El grupo del curso 96-97 tuvo una mayorproporción de alumnos con calificaciones de4 y 5 que el del curso 93-94.

α

α




0 para de

X 2 > 13.55 con grado de libertad 1 fuep < 0.0005. En vista de que esta p fuemucho menor que =0.05, se rechazóH

0, en un nivel de significación de 0.001,

y se aceptó H1, por lo que se concluyó que

hubo una mayor proporción de alumnoscon calificaciones de 4 y 5 en el curso96-97.

Comparación 3


H0: No hubo diferencia significativa entrela proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 entre el curso 92-93 y el 96-97.

H1: El grupo del curso 96-97 tuvo unamayor proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 que el del curso92-93.


En este caso, X 2 = 8.55 y la probabilidadde ocurrencia conforme a H0 para deX 2 > 8.55 con grado de libertad 1 fuep < 0.0005. Como esta p fue mucho menorque =0.05, se rechazó H0, en un nivelde significación de 0.001, y se aceptó H1,por lo que se concluyó que hubo unamayor proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 en el curso 96-97.

Comparación 4


α

α

α

α

H0: No hubo diferencia significativa entrela proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 entre el curso92-93 y el 95-96.

H1: El grupo del curso 95-96 presentó unamayor proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 que el del curso 92-93.

Sea =0.05 y el número total deestudiantes de la muestra 93.


0 para de

X 2 > 3.78 con grado de libertad 1 fuep < 0.0005. En vista de que esta p fuemucho menor que =0.05, se rechazóH

0, en un nivel de significación de 0.001, y

se aceptó H1, concluyéndose que hubo una

mayor proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 en el curso 95-96.

Comparación 5

Grupo experimental: curso 96-97Grupo experimental: curso 95-96

H0: No hubo diferencia significativa entrela proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 entre el curso96-97 y el 95-96.

H1: El grupo del curso 96-97 tuvo unamayor proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 que el del curso 95-96.


En este caso, X 2 = 0.47 y la probabilidadde ocurrencia conforme a H0 para deX 2 > 0.47 con grado de libertad 1 fuep < 0.15. Por ello, se aceptó H0, pues estap es mayor que =0.05, concluyéndose

α

α

α

α

Relime292

que no hubo diferencias significativasentre la proporción de alumnos concalificaciones de 4 y 5 en ambos cursos.

CONCLUSIONES

Estadísticamente se comprobó, por unlado, que los resultados del examen finalde la materia siempre fueron mejores enlos grupos donde se apl icó lametodología; por otro, que no hubo unadiferencia significativa entre los doscursos donde se aplicó la metodología,a pesar de que eran grupos diferentes.

Con base en la distribución porcentualde los diferentes cursos, al considerarla participación de alumnos en jornadascientí f icas para estudiantes, pudocomprobarse que en los cursos dondeno se aplicó la metodología hubo unaparticipación fue de 3.2% y 4.16%,mientras que cuando se aplicó losporcentajes de participación aumentaronal 93.5% y 100%. Por ello, concluimosque la part ic ipación en trabajoscientíficos estudiantiles fue mejor en elgrupo experimental.

La asistencia al Centro de Gestión deInformación fue mejor en los gruposexperimentales, ya que el 93.5% y el100% de los alumnos asistió más de dosveces semanales, mientras que en losgrupos de control sólo asistieron el 3.2%y el 6.25%.

En los grupos de control, el 96.7% y 93.7%estudiaron la materia utilizando el libro detexto, mientras que en los experimentalesel 93.5% y 92.9 % utilizaron más de cuatrolibros relacionados con cálculo integral. Estonos permitió concluir que el uso de labibliografía fue significativo cuando se aplicóla metodología.

Por último, se comprobó que el número dehoras de estudio semanales en la mayoríade los alumnos de los grupos experimentalesaumentó más de 20 horas (67.8% y 85.71%);sin embargo, esto no sucedió en el grupode control (3.2% y 2.1%).

A partir de los resultados expuestos, se pudoconcluir que con la aplicación de lametodología:

• Se obtienen mejores resultados en laevaluación final de la materia.

• Se logra la participación de los alumnosen jornadas científicas para estudiantes,con trabajos de búsqueda parcial.

• Se aumenta el número de horas deestudio semanales y la asistencia alCentro de Gestión de Información.

• Se logra un mejor uso de la bibliografíarelacionada con el tema de estudio.

De igual manera, aumentó la dedicaciónde los alumnos al estudio, el rendimientoacadémico y su calidad, lo cual consistióen el objetivo fundamental de nuestrainvestigación.

Tras haber realizado este experimento, lametodología ha sido aplicada a otrasmaterias de matemáticas en la Universidadde Camagüey, Cuba, con efectossimilares.

Los resultados de este trabajo, quemerecieron el Premio Provincial de laAcademia de Ciencias de Cuba en el año2001, se han utilizado como materialdocente en las materias de Didáctica delas Matemáticas correspondientes a lasmaestrías en Ciencias de la Educación yen Enseñanza de las Matemáticas, de laUniversidad de Camagüey, Cuba, asícomo en la maestría en Ciencias de laEducación de la Universidad Autónoma deNuevo León, México.


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Olga Lidia Pérez GonzálezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Camagüey. Cuba

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ANEXO

PROCESO GENERAL DE INTEGRACIÓN

Integral dada

Representacióndel Integrante

Simplificar

Integrar

Técnicas para reexpresar el integrando

1. Aplicar las propiedades de las integrales.

2. Desarrollar y simplificar algebraicamente el integrando, utilizando:

• Completamiento de cuadrados.

• Simplificación de fracciones.

• Descomponer fracciones racionales en fracciones simples.• Multiplicar y dividir por el conjugado pitagórico.

3. Completamiento del diferencial.

4. Sustitución yo cambio de variables.

Figura 1

El integrando puede estar dado por unafunción del tipo:

• Elemental.

• .

• Racional.

• u dv .

• Con primitivas no elementales.

Las posibles formas de integrar son:

• Uso de colección de integrales inmediatas.• Uso de las integrales inmediatas generalizadas.• Método de integración por partes.

• Uso de las tablas de integrales.

F(g(x))g(x)

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