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¿Cómo optimizamos en varias variables? Introducción

La optimización intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible. Según el nivel de generalidad que tome el problema, nos encontramos los siguientes tipos de optimizaciones:

Optimización clásica: En este campo nos moveremos en este artículo. Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

Optimización con restricciones de desigualdad: Si la restricción contiene mayor

cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos o mínimos.Si tanto restricciones como

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función objetivo son lineales (Programación lineal), la existencia de máximo (mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicación de unos simples algoritmos de álgebra lineal elemental los llamados método simplex; y método dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales en algunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrar puntos críticos, máximos o mínimos. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de una programación no lineal séa óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange

Optimización estocástica: Cuando las variables del problema (función objetivo

y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfecta: La cantidad de variables, o más

aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable.

Este tipo de optimización Lagrange lo aplica al campo de la Astronomía, en el estudio de los denominados puntos L o puntos de libración, que son las cinco posiciones en un sistema orbital donde un objeto pequeño sólo afectado por la gravedad puede estar teóricamente estacionario respecto a dos objetos más grandes, como es el caso de un satélite artificial con respecto a la Tierra y la Luna. Los puntos de Lagrange tamarcan las posiciones donde la atracción gravitatoria combinada de las dos masas grandes proporciona la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Son análogos a las órbitas geosincrónicas que permiten a un objeto estar en una posición "fija" en el espacio en lugar de en una órbita en que su posición relativa cambia continuamente.

Una definición más precisa pero técnica es que los puntos de Lagrange son las soluciones estacionarias del Problema de los tres cuerpos restringido a órbitas circulares. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita circular alrededor de su centro de masas común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a la de los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes. Visto desde un sistema de referencia giratorio que rota con el mismo período que los dos cuerpos co-orbitales, el campo gravitatorio de dos cuerpos grandes combinado con la fuerza centrífuga se compensa en los puntos de Lagrange, permitiendo al tercer cuerpo estar estacionario con respecto a los dos primeros.

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1.- Teorema de multiplicadores de Lagrange El teorema de los multiplicadores de Lagrange es el instrumento teórico más

clásico, y el primero desde el punto de vista histórico, para resolver problemas de optimización con restricciones. Su creador, Joseph-Louis Lagrange (Turín, 1736 – París, 1813),

Lagrange utilizó por primera vez la técnica de los multiplicadores para resolver problemas del cálculo de variaciones en su célebre tratado Méchanique Analitique, en el cual dotó a la Mecánica de un formalismo analítico adecuado, y posteriormente lo expuso en su no menos célebre obra sobre cálculo diferencial. El teorema en cuestión, bien conocido, trata de la maximización (o minimización) de una función de varias variables,

bajo restricciones de igualdad

Suponiendo que tanto la función objetivo como las restricciones son continuamente diferenciables en un óptimo local

del problema y que la matriz jacobiana

tiene rango , el teorema establece la existencia de

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llamados multiplicadores de Lagrange, tales que

El uso típico que se hace del teorema de los multiplicadores de Lagrange en los cursos de Análisis Matemático para la resolución de problemas de optimización con restricciones de igualdad como veremos en los problemas resueltos. El papel que juegan los multiplicadores de Lagrange en este planteamiento se reduce al de meras variables auxiliares, carentes de todo interés intrínseco salvo el de hacer posible el cálculo de potenciales óptimos locales. Sin embargo, los multiplicadores de Lagrange poseen un importante significado matemático, que resulta especialmente relevante en problemas de tipo económico. Un tipo de problema muy habitual es el de planificación de actividades a partir de unos recursos disponibles y una cierta tecnología. Supongamos que se trata de determinar las cantidades

de ciertos outputs, que se producen a partir de inputs de los que se disponen cantidades

, de forma que se maximice el beneficio

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Bibliografía

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