Asociacin Espaola Universidad de Sevilla para el Desarrollo de la Ingeniera Elctrica

XVII REUNIN DE GRUPOS DE INVESTIGACIN DE INGENIERA ELCTRICA

Sevilla, marzo de 2007

DISCUSIN SOBRE LA POTENCIA REACTIVA Y LA

POTENCIA APARENTE EN SISTEMAS CON DESEQUILIBRIOS Y DISTORSIN

J. R. VZQUEZ, P. SALMERN, R. S. HERRERA Y S. P. LITRN

Departamento de Ingeniera Elctrica y Trmica Universidad de Huelva

RESUMEN

Para asegurar la continuidad y calidad en el suministro elctrico, adems de unas adecuadas instalaciones, es necesario conocer de forma precisa los flujos de potencia elctrica que circulan por las redes, ya que afectan, entre otros aspectos, al diseo de los equipos de medida, a la definicin de tarifas elctricas, o a una correcta eleccin de las tcnicas de compensacin a emplear. En sistemas sinusoidales y monofsicos (o trifsicos equilibrados), conceptos como la potencia til o activa, la potencia reactiva, la potencia aparente o el factor de potencia son bien conocidos y tienen definiciones aceptadas universalmente. Sin embargo, en sistemas distorsionados o desequilibrados, el anlisis del flujo de potencias se hace ms complejo, no existiendo unas definiciones nicas para algunos de esos trminos.

El trabajo desarrollado realiza una introduccin al anlisis del flujo de potencias en redes desequilibradas y con distorsin, haciendo especial

hincapi en la limitada validez de algunas de las definiciones clsicas de potencias usadas en sistemas sinusoidales y equilibrados, cuando se aplican a estos sistemas. As, se tomar como referencia el Standard IEEE 100-1988, justificando a lo largo del trabajo la necesidad de introducir uno nuevo: el Standard IEEE 1459-2000. Para ilustrar la afirmacin anterior, por un lado se presentan los resultados de simulacin de distintos casos prcticos, desarrollados en el entorno Matlab-Simulink, y por otro se realizan mediciones reales sobre una plataforma experimental. Los resultados obtenidos confirman la necesidad de adoptar una formulacin comn para los trminos de potencia en sistemas distorsionados y con desequilibrio. El anlisis de los trminos de potencia incluidos en el Standard IEEE 1459-2000 se presenta en un segundo artculo de la presente reunin.

1. Introduccin

El estudio del flujo de la potencia elctrica en sistemas elctricos sinusoidales y monofsicos (o trifsicos equilibrados) es hoy da bien conocido. En estos sistemas, conceptos como la potencia til o activa, las potencias reactiva y aparente, o el factor de potencia como medida del rendimiento elctrico de la instalacin, son conocidos y aceptados por todos, [1,2].

Sin embargo, la aparicin de cargas no lineales, en especial las cargas electrnicas de potencia, que por un lado han permitido desarrollar nuevas e interesantes aplicaciones (control de iluminacin, variacin de velocidad de motores, conversin avanzada de potencia, etc.), por otro lado han provocado alteraciones de la calidad del sistema elctrico, adems de complicar el anlisis del flujo de potencias que tiene lugar en esos sistemas. Las intensidades que consumen las cargas, y como consecuencia de su circulacin por el sistema, las tensiones que alimentan las cargas no son ya sinusoidales, es decir, estn distorsionadas, siendo necesario para su estudio su formulacin a travs de las correspondientes componentes armnicas. En la figura 1 se muestra un esquema de la situacin planteada.

Figura 1. Esquema de un sistema elctrico con cargas no lineales

El desarrollo en serie de Fourier permite expresar la intensidad, i(t), como suma de armnicos, o sea, de seales sinusoidales de frecuencia mltiple de la fundamental, ecuacin (1). El armnico de orden n tiene un valor eficaz In, un ngulo n, y una frecuencia n, siendo la frecuencia fundamental de la seal en cuestin. Las ecuaciones (2) y (3) muestran las expresiones del valor eficaz de la seal, I, y de un ndice que indica el grado de distorsin

i(t)

+

-

...

Sala de PCs

Deformacin de la onda de tensin

de la seal, el factor de distorsin total, THD, referido en este caso a la componente fundamental de la seal, I1. Idntico desarrollo se tendra para la tensin, v(t).

( )nnn

tncosIti = =1

2)(

(1)2

...22

21

2NIIII +++= (2)

1

2

2

1 I

ITHD n

n==

(3)

Adems de los efectos no deseados que implican los armnicos al circular por el sistema (prdida de rendimiento elctrico de la instalacin, sobrecalentamiento de equipos, vibraciones y prdidas de potencia en motores, salto intempestivo de protecciones elctricas, etc.), obligan a una redefinicin, no cerrada an hoy da, de los distintos trminos de potencia.

Una muestra de la complejidad e importancia que ha ido cobrando en las dos ltimas dcadas el estudio de la calidad de la potencia elctrica, y en particular lo referente a los armnicos, son los trabajos de organizaciones internacionales como CENELEC, IEC, CIGRE e IEEE, que mantienen comits dedicados al desarrollo de normativas en ese campo.

El presente trabajo pretende realizar una introduccin al anlisis del flujo de potencias en redes desequilibradas y con distorsin, haciendo especial hincapi en la limitada validez de algunas de las definiciones clsicas de potencias usadas en sistemas sinusoidales y equilibrados, segn el Standard IEEE 100-1988, [3], cuando se aplican a estos sistemas.

Para ilustrar las afirmaciones realizadas a lo largo del trabajo, en el sentido indicado, se incluyen los resultados de simulacin de distintos casos prcticos, realizados en el entorno Matlab-Simulink. Concluye el trabajo con la realizacin de un montaje de laboratorio, una carga trifsica distorsionada y desequilibrada, en la que se han medido los flujos de potencia mediante un equipo analizador de la calidad de la potencia elctrica. Los resultados obtenidos permitirn contrastar las afirmaciones formuladas a lo largo del trabajo.

2. Flujo de potencias en sistemas monofsicos En las definiciones incluidas en este trabajo, se ha adoptado la notacin del diccionario de

la organizacin IEEE (Institution of Electrical and Electronic Engineering). As, la potencia aparente, U, se define como el producto de los valores eficaces de la tensin, E, y la tensin, I. Se trata de una cantidad que no tiene definida una direccin de flujo.

IEU = (4)El factor de potencia, FP, se define como la relacin entre la potencia media o activa, P,

y la potencia aparente.

UPFP =

(5)

Si tensin e intensidad son sinusoidales, la potencia aparente es numricamente igual a la potencia activa mxima, y el factor de potencia es igual al coseno del ngulo que la tensin adelanta a la intensidad.

cosFP = (6)En sistemas sinusoidales, las prdidas se determinan por el producto de los valores

eficaces de tensin e intensidad, por lo que la potencia aparente es la utilizada, por ejemplo, en la caracterizacin de generadores, transformadores o cables. Sin embargo, en sistemas no

sinusoidales, el producto indicado no es suficiente para considerar las prdidas que aparecen. En un transformador, por ejemplo, las prdidas por histresis son proporcionales a la frecuencia, mientras que las de vaco son proporcionales al cuadrado de la frecuencia. La circulacin de armnicos implica unas prdidas adicionales, que llevan a una disminucin de la capacidad efectiva de transformacin en un factor K.

El concepto de potencia reactiva es muy usado en circuitos lineales alimentados por tensiones sinusoidales. Esta potencia reactiva, Q, se define como la amplitud de la oscilacin de la potencia instantnea, y no transfiere energa neta. Est causada por la energa almacenada en las bobinas y condensadores del sistema, y aunque no contribuye a la transferencia neta de energa, implica la circulacin de intensidades por los distintos equipos, que hay que considerar para su correcto dimensionado.

cosIEQ = (7)Se adopta el criterio de que los condensadores generan potencia reactiva y las bobinas la

consumen, representando la potencia reactiva la energa media intercambiada entre estos elementos almacenadores de energa.

Con seales no sinusoidales, Q se define en el diccionario IEEE como la suma de las potencias reactivas de cada uno de las componentes armnicas, segn la descomposicin de Budeanu, [4]. Dado que las potencias reactivas de cada armnico pueden presentar distintos signos, contribuirn en igual o en sentido contrario a la potencia reactiva total.

=n

nn senIEQ

(8)

Es importante destacar que seguir una u otra formulacin para el flujo de potencias, en concreto para la potencia reactiva y/o la potencia aparente, tiene consecuencias en aspectos tales como la eleccin de los mtodos de medida y compensacin, la existencia de incongruencias en la lectura de la potencia reactiva de una instalacin, o la determinacin del factor de potencia, con claras implicaciones legislativas y econmicas, [5,6].

Para ilustrar las afirmaciones realizadas a lo largo del trabajo, en el sentido anteriormente indicado, se incluyen los resultados de simulacin de distintos casos prcticos, realizados en el entorno Matlab-Simulink. Concluye el trabajo con la realizacin de un montaje de laboratorio, una carga trifsica distorsionada y desequilibrada, en la que se han medido los flujos de potencia mediante un equipo analizador de la calidad de la potencia elctrica. Los resultados obtenidos permitirn contrastar las afirmaciones formuladas a lo largo del trabajo.

En el caso prctico 1, se muestra que en cargas sin elementos almacenadores de energa, como el regulador ac/ac de la figura 2, la potencia reactiva resulta distinta de cero.

Figura 2. Regulador ac/ac

A partir de la ecuacin (8), y dado que la tensin slo incluye el armnico de orden 1 o fundamental, la potencia reactiva consumida por la carga es:

11 senIEsenIEQn

nn == (9)

senEe 2=

( )=

+=...3,2,1

2n

n tnsenIi

+ -

Para calcular la potencia reactiva, se ha realizado la simulacin del circuito en el entorno Matlab-Simulink, considerando una frecuencia de 50 Hz, una tensin de alimentacin E=100 V, y una resistencia R=10 . En la figura 3 se muestran las formas de onda de tensin e intensidad para un ngulo de disparo de 60.

Figura 3. Formas de onda en un regulador monofsico, con un ngulo de disparo de 60; a) tensin de alimentacin, b) intensidad consumida, c) potencia instantnea.

Como se observa en la figura 3c, en ningn momento se tiene una potencia instantnea negativa, es decir, la direccin de la potencia es siempre de fuente a carga. Sin embargo, la potencia reactiva resulta Q = 234,6 VAr. En definitiva, para valores de 0, la potencia reactiva es distinta de cero, an sin existir elementos almacenadores de energa. Para explicar esto, en la figura 4 se presentan los espectros de tensin e intensidad, y en la figura 5 los correspondientes armnicos fundamentales.

Figura 4. Espectros armnicos de tensin e intensidad en un regulador monofsico

Figura 5. Tensin de un regulador monofsico y componente fundamental de la intensidad

Como se observa en la figura 5, el armnico fundamental de la intensidad est retrasado respecto a la tensin de alimentacin, lo que implica una potencia reactiva positiva. Para otros ngulos de disparo se tiene una situacin idntica.

a)

b)

c)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-20

-10

0

10

20

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-150

-100

-50

0

50

100

150

0.009 0.0095 0.01 0.0105 0.011 0.0115-10

0

10

20

V- I = 16,34

En el caso prctico 2, un circuito RLC alimentado por una tensin distorsionada, figura 6, se muestra que puede haber intercambio energtico entre fuente y carga, es decir, un factor de potencia menor que la unidad, y ser nula la potencia reactiva calculada.

Figura 6. Carga lineal RLC Con la tensin de alimentacin y los valores de R, L y C sealados en la figura, las

formas de onda resultantes se muestran en la figura 7.

Figura 7. Formas de onda en circuito RLC alimentado con tensin no sinusoidal; a) tensin de alimentacin, b) intensidad del circuito, c) potencia instantnea.

En la figura 8 se muestra el espectro armnico de las seales de tensin e intensidad. Al

tratarse de una carga lineal, la intensidad slo incluye los armnicos presentes en la tensin, es decir, los de orden 1 y 3.

Figura 8. Espectros armnicos de tensin e intensidad.

Las componentes de orden 1 y 3 de la intensidad estn retrasadas y adelantadas, respectivamente, de las componentes de orden 1 y 3 de la tensin, por lo que la potencia reactiva a la frecuencia fundamental es positiva y a la frecuencia triple es negativa. As, las potencias activa y reactiva resultan:

WP 10001 = VArQ 10001 = WP 103= VArQ 10003 = (10)

Orden del armnico0 5 10 15 20 250

20 40 60 80

100 % del arm. fundamental

Fundamental (50Hz) = 141.4 THD= 0.00%

0 5 10 15 20 25020

40

60

80

100Fundamental (50Hz) = 11.76 THD= 36 80%

Orden del armnico

% del arm. fundamental

+ -

i

100 2 ( )

10 2 (3 )

e sen t

sen t

=+

R=10 L=0,825 mH C=11,97 mF

a)

b)

c)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

-100

0

100

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-200

-100

0

100

200

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

-2

-1

0

1

2

x 104

Segn (10), las potencias reactivas transportadas por los armnicos de orden 1 y 3 se cancelan. En definitiva, se tiene:

WP 1010= VArQ 0= 1.0=PF (11) Este resultado permite constatar que la potencia reactiva definida en (8) no tiene el mismo significado fsico que en sistemas sinusoidales, ya que resulta nula en un caso en el que existe un intercambio energtico entre fuente y carga (la potencia instantnea presenta valores negativos). Para elevar el factor de potencia hasta la unidad, se puede realizar la compensacin de la potencia reactiva de cada armnico.

Se considera ahora la definicin de potencia de distorsin, D, del diccionario IEEE. Es una cantidad escalar, en cuadratura con las potencias activa y reactiva, y se calcula a partir de la potencia aparente, U, segn la ecuacin 13.

22

+

= n

nn

n QPS (12)

( ) ( )22 SUD = (13)

La descomposicin de la potencia aparente, U, en potencia activa, P, reactiva, D, y de distorsin, D, fue introducida por Budeanu. La potencia de distorsin puede ser cero incluso aunque tensin e intensidad no tengan igual forma o fase (ver caso 1), y no tiene porqu ser cero cuando tensin e intensidad tienen idntica forma y fase (ver caso 2). No existe una regla aceptada para su signo. Realmente, esta potencia no refleja ningn fenmeno fsico o energtico concreto, y slo se introduce cuando se constata que el cuadrado de la potencia reactiva, Q2, es menor que la diferencia U2-P2.

3. Definiciones de los trminos de potencia en circuitos polifsicos En circuitos trifsicos, se extienden las definiciones anteriormente expuestas de los

flujos de potencias. As, siguen sin un sentido fsico la potencia aparente, reactiva, y de distorsin en circuitos trifsicos no sinusoidales. Adems, aparecen ms ambigedades cuando se describen circuitos incluso lineales, en el caso de que existan desequilibrios.

En el diccionario de IEEE, existen dos tipos de potencia aparente para circuitos trifsicos, la potencia aparente aritmtica, Ua, y potencia aparente vector, U. En las ecuaciones 18 y 19 se muestran sus expresiones. El ndice x representa cada una de las fases.

++===x

xxxx

xxx

xa DQPIEUU222 (14)

222

+

+

= x

xx

xx

x DQPU (15)

La potencia aparente U, dada por la ecuacin (19), coincide con el mdulo del vector de potencia U. Si la descomposicin de la potencia aparente en sus componentes ortogonales P, Q y D es igual para todas las fases, ambas definiciones coinciden. Si no, la potencia aritmtica Ua es mayor que U.

En circuitos trifsicos, se extienden las definiciones de los flujos de potencias. As, sigue sin un sentido fsico la potencia reactiva en sistemas distorsionados, y aparecen ms ambigedades cuando se describen circuitos desequilibrios. En el caso prctico 3, se muestra cmo en una carga reactiva desequilibrada, figura 9, la potencia aparente U puede ser nula. El caso prctico 4, figura 10, ilustra que en sistemas desequilibrados, trminos como la potencia aparente o el factor de potencia, dependen de la forma de medida de las tensiones, respecto a qu punto neutro.

Figura 9. Carga desequilibrada. Figura 10. Circuito equilibrado con neutro aislado

En el circuito de la figura 9, un sistema de tensiones equilibradas de secuencia directa alimenta dos reactancias que cumplen XL = XC. Las intensidades resultan equilibradas, aunque de secuencia inversa, existiendo prdidas en la transmisin de potencia de fuente a carga. Las potencias trifsicas activa, reactiva y de distorsin, as como la potencia aparente U, resultan cero. Tras la simulacin del circuito, con E=100 V y ZC=ZL=1 , los valores de la potencia activa y reactiva de cada fase son:

WP 86601 = WP 86602 = WP 173203 = (16) VArQ 150001 = WQ 150002 = VArQ 03 = (17)

En efecto, la suma de las potencias de las tres fases resulta nula, aunque existe una circulacin de corriente de fuente a carga.

El circuito de la figura 10 muestra otra ambigedad de los sistemas desequilibrados, la dependencia de la forma de medida. Para el anlisis de esta situacin, hay que considerar que existen dos posibles factores de potencia, Fpa Fp, segn se considere, respectivamente, la potencia aparente aritmtica o la de tipo vector. Cuando las tensiones son sinusoidales y equilibradas, el factor de potencia de tipo vector no vara si se consideran las tensiones de fuente, Es, del punto de medida, Em, o de la carga, El, es decir, Fps=Fpm= Fpl. Sin embargo, se tienen dos valores distintos del factor de potencia aritmtico, uno si se usan tensiones de fuente o de medida, y otro si se usan las tensiones de la carga, Fps=Fpm Fpl. El motivo es la existencia de una tensin entre los distintos puntos neutros. Las diferencias aumentan si las tensiones no son sinusoidales. Para contrastar esta afirmacin, se ha simulado el circuito con los parmetros indicados en las ecuaciones 18 y 19. Los resultados, en cuanto a valores del factor de potencia, se indican en la ecuacin 20.

( ) ( )( )tsin0,05tsinEea 3+= VE 100= = mR S 1 = kRm 1 (18)=10laZ = jZ lb 10 = jZ lc 10 (19)

1===lp

mp

Sp FFF 356,0,, ==

map

Sap FF 118,0, =

lapF (20)

Resultados similares se tienen con un desequilibrio en las tensiones de alimentacin. En definitiva, hay que tener precaucin al usar el factor de potencia de un circuito trifsico desequilibrado, especialmente si se considera el de tipo aritmtico.

4. Desarrollo de un montaje experimental Para contrastar de forma experimental los resultados indicados en el trabajo, se ha

desarrollado en el laboratorio el montaje de una carga trifsica distorsionada y desequilibrada, un regulador trifsico con ramas resistivas, figura 11. Se registraron las lecturas de tensin e intensidad con un equipo analizador de red trifsico, marca Circutor AR5. En la tabla I se

XL j XC j

e1

e2

e3

i1

i2

i3

EaS

EbS

EcS

ZS

ZS

ZS

Zal

Zcl

Zbl

Zm Zm Zm

Ebm

Eam

Ecm

+

+

+

+

+

+Val

Vbl

Vcl

+

+

+

FUENTE MEDIDA CARGA

muestran los resultados obtenidos. El analizador calcula la potencia reactiva y el factor de potencia por fase, segn las expresiones manejadas en el presente trabajo, ecuaciones (8) y (5) respectivamente. Las potencias trifsicas (indicadas con el subndice III) son la suma de las tres monofsicas, mientras que el factor de potencia trifsico es el cociente PIII/SIII, es decir, el factor de potencia aritmtico. Los valores de la mitad inferior de la tabla han sido calculados a partir de las lecturas del equipo.

Figura 11. Montaje de laboratorio; a) esquema de conexin, b) parmetros del regulador trifsico ensayado, c) foto del ensayo con analizador conectado, d) detalle de la carga

Tabla I. Flujos de potencia en un regulador trifsico conectado en estrella, con punto medio conectado al neutro de la instalacin

Trminos de potencia Lecturas del equipo Circutor AR5 E1, E2, E3 (V) 218,7 223 224,1 I1, I2, I3 (A) 3,910 3,425 2,145

P1, P2, P3 (W) 833,9 656,4 272,0 Q1, Q2, Q3 (VAr) 152,6 293,4 289,4

Fp1, Fp2, Fp3 0,9700 0,8509 0,5601 PIII (W) 1762,4

QIII (VAr) 735,4

Lecturas registradas

Fp,III=Fpa 0,84 S1, S2, S3 (VA) 847,7 719,0 397,2

U1, U2, U3 (VA) 855,3 763,9 480,7 D1, D2, D3 (VAd) 113,7 258,1 270,8 P1/S1, P2/S2 P3/S3 0,98 0,91 0,69

P (W) 1762,4 Q (VAr) 735,4 D (VAd) 642,6

Uvector (VA) 2014,8 Ua (VA) 2100,0

Fp 0,87

Valores calculados

Fpa 0,84

c)

Regulador trifsico

desequilibrado

L1 L2 L3 N

a)

d)

b)

36

72

108

50

50

50 K

Como se observa en la tabla, los resultados experimentales confirman los obtenidos en simulacin. Una carga distorsionada, an sin presencia de elementos almacenadores de energa, presenta una potencia reactiva distinta de cero. Otro hecho a destacar es la diferencia entre el factor de potencia real (Fp=P/U) y el que se medira, por ejemplo, en una instalacin con contadores de energa activa y reactiva analgicos (P/S), con las correspondientes implicaciones econmicas. Si se repite el ensayo con el interruptor K abierto, las diferencias son mayores. As, el factor de potencia resulta 0,82 al medir con las tensiones de alimentacin, y 0,77 con las tensiones reales de la carga.

5. Conclusiones Para realizar una introduccin al estudio del flujo de potencia en sistemas distorsionados

y desequilibrados, se ha partido de las definiciones del estndar IEEE 100-1988. Los ejemplos monofsicos presentados permiten concluir que una red distorsionada, sin

elementos almacenadores de energa, puede presentar una potencia reactiva distinta de cero. Adems, en una red lineal, alimentada con tensiones distorsionada, puede haber circulacin de intensidad reactiva de distintas frecuencias, aunque la potencia reactiva total puede resultar nula, por lo que esta cantidad no resulta de inters para la compensacin del sistema, que s podra realizarse frecuencia a frecuencia. Los ejemplos trifsicos permiten concluir que cargas desequilibradas pueden presentar una potencia reactiva total nula, aunque exista una intensidad reactiva circulando entre la fuente y la carga, y que algunos de los trminos de potencia dependen del punto de medida. En particular, se mostr que la potencia aparente aritmtica (y el factor de potencia obtenido a partir de ella) era una cantidad muy variable, y por tanto no era una buena referencia. Las conclusiones anteriores se contrastaron de forma experimental con las mediciones realizadas en el laboratorio sobre un regulador trifsico.

Las paradojas presentadas en los distintos casos prcticos, muestran la necesidad de revisar las definiciones de los trminos de potencia, tal y como aparecan en el diccionario de IEEE de 1988. En esta lnea se ha desarrollado el Standard IEEE 1459-2000, que aunque avanza en esta direccin, an no cierra la discusin de los trminos de potencia en sistemas distorsionados y/o desequilibrados.

6. Referencias

[1] IEEE Tutorial Course, Power System Harmonics. Ed. IEEE Power Engineering Society, 1984.

[2] A. E. Emanuel, Harmonics in the Early Years of Electrical Engineering: a Brief Review of Events, People and Documents. Proceedings of 9th International Conference on Harmonics and Quality of Power, October 2000, Vol. 1, pp. 1-7.

[3] ANSI/IEEE Standard 100-1988, IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronics Terms (Fourth Edition). The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., New York, NY, 1988.

[4] C. I. Budeanu, Reactive and Fictive Powers. Nacional Romanian Institute, Bucarest, Romania, 1927.

[5] P. S. Filipski, Polyphase Apparent Power and Power Factor under Distorted Waveforms Conditions. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 6, No. 3, July 1991.

[6] L. S. Czarnecki, T. Swietlicki, Power in Non-Sinusoidal Networks: their Interpretation, Analysis and Measurement. IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, IM-39, 1990, no. 2, pp. 340-345.