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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA CALCULO DIFERENCIAL
ACTIVIDAD 6 - TRABAJO COLABORATIVO 1 - GRUPO 100410_68
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS
ACTIVIDAD 6 – TRABAJO COLABORATIVO 1
CÁLCULO DIFERENCIAL
TUTOR
JORGE RONDÓN
GRUPO 100410_68
ALIRIO LIBARBO CARRILLO 79471041
DANIEL GERARDO TRONCOSO NIEVES 79392307
FEDERICO ARIOSTO VEGA GALINDO 79431560
FRANKY JOSÉ BARBOSA 79556465
RODOLFO ALBADAN M 79544363
ABRIL DE 2013
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA CALCULO DIFERENCIAL
ACTIVIDAD 6 - TRABAJO COLABORATIVO 1 - GRUPO 100410_68
INTRODUCCIÓN
La presente actividad enfoca al estudiante al desarrollo en forma de ejercicios prácticos de
las temáticas vistas en la primera unidad del módulo correspondiente al curso de Cálculo
Diferencial, en especial los temas correspondientes a Sucesiones, y Progresiones.
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ACTIVIDAD 6 - TRABAJO COLABORATIVO 1 - GRUPO 100410_68
ACTIVIDADES
Cada pregunta se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se
utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el
procedimiento utilizado.
FASE 1
A. Halle los términos generales de las sucesiones:
1. Cn={3,1 ,−1 ,−3 ,−5………}
a1= 3
a2= 1
a3= -1
a4= -3
a5= -5
Vemos que es una progresión aritmética por que la diferencia es -2 ya que
an – an-1 = d que es constante
a2 – a1 = 1 – 3 = – 2
a3 – a2 = – 1 – 1= – 2
a4 – a3 = – 3 – (– 1) = – 2
a5 – a4 = – 5 – (– 3) = – 2
La fórmula del término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n– 1) d
Reemplazamos:
an = 3 + (n– 1) (– 2)
an = 3 – 2n+ 2
Rta/ el término general de esta sucesión es:
an = 5– 2n
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Demostración :
U n={5−2n }n≥ 1
U n=1= {5−2(1)}= {3 }
U n=2= {5−2(2)}= {1 }
U n=3= {5−2(3)}={−1 }
U n=4={5−2(4 )}={−3 }
U n=5= {5−2(5)}={−5 }
U n=6={5−2(6)}={−7 }
2. Cn={1 ,3 ,9 ,27,81 }
a1= 1
a2= 3
a3= 9
a4= 27
a5= 81
Vemos que es una progresión geométrica por que la razón es 3
a2 = a3 = a4
a1 a2 a3
a2 = 3 = 3
a1 1
a3 = 9 = 3
a2 3
a4 = 27 = 3
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a3 9
a5 = 81 = 3
a4 27
La fórmula del término general de una progresión geometrica
an = a1 . rn-1
Rta/ Reemplazando el término general de esta sucesión es:
an = 1 . 3 n-1
Demostración:
U n={3n−1 }n≥1
U n=1={31−1}= {1 }
U n=2= {32−1 }= {3 }
U n=3= {33−1 }= {9 }
U n= 4={34−1 }= {27 }
U n=5= {35−1 }= {81 }
U n=6={36−1 }= {243 }
3. Cn={12,34,1 ,
54,32,…}
La diferencia entre el segundo y el primer término es 34−1
2=1
4 y la diferencia entre
el tercer y el segundo término es 1−34=1
4 de donde se deduce que se trata de una
sucesión aritmética con a1=12
y d=14
.
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Siendo la fórmula del término general de una progresión aritmética
an=a1+(n−1)d
Si el término inicial n se toma como 1, reemplazando obtenemos:
an=12+(n−1) 1
4es el término general de Cn={1
2,34,1 ,
54,32,…}
n≥1./R
Por otro lado, siendo la fórmula del término general de una progresión aritmética
an=a1+nd
Si el término inicial n se toma como 0, reemplazando obtenemos:
an=12+n 1
4es el término general de Cn={1
2,34,1 ,
54,32,…}
n≥ 0./R
Demostración:
U n={n+14 }
n≥ 1
U n=1={1+14 }={2
4 }={12 }
U n=2={2+14 }={3
4 }U n=3={3+1
4 }={44 }= {1 }
U n=4={4+14 }={5
4 }U n=5={5+1
4 }={64 }={3
2 }U n=6={6+1
4 }={74 }
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4. Demostrar que la sucesión On = 2nn+1
es estrictamente creciente.
Un +1 –Un > 0
¿2 (n+1 )
(n+1 )+1− 2nn+1
¿(2n+2 ) (n+1 )−2n (n+2 )
(n+2 ) (n+1 )
¿2n2+4n+2−(2n2+4 n )
(n+2 ) (n+1 )
¿ 2n2+4n+2−2n2−4n(n+2 ) (n+1 )
¿ 2(n+2 ) (n+1 )
Evaluamos.
n=1:2
(1+2 ) (1+1 )=2
6=0,33
n=2:2
(2+2 ) (2+1 )= 2
12=0,16
n=3 :2
(3+2 ) (3+1 )= 2
24=0,08
Concluimos que la anterior sucesión es creciente, pues la función resultante
siempre nos arrojara resultados positivos.
5. Demostrar que la sucesión On = 1n
es estrictamente decreciente.
Un +1 –Un < 0
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1n+1
−1n
¿n−(n+1 )n (n+1 )
¿ n−n−1
n2+n
¿ −1
n2+n
Evaluamos. :
n=1:−1
12+1=−1
2 = -0,5
n=2:−1
22+2=−1
6 = -0,16
n=3 :−1
32+3=−1
12 = -0,083
Esta sucesión es estrictamente decreciente por que la función resultante nos da
como resultado siempre un número negativo.
C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar,
con ellas, si son o no crecientes.
6.
OC= 3n2+1
6n2+2n+1
OC= 3(1)2+1
6(1)2+2(1)+1 =
46+2+1
= 49
= 0,4444
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OC= 3(2)2+1
6(2)2+2(2)+1 =
1324+4+1
= 1329
= 0,4482
OC= 3(3)2+1
6(3)2+2(3)+1 =
2854+6+1
= 2861
= 0,4590
OC= 3 (4)2+1
6(4)2+2(4)+1 =
4996+8+1
= 49
105 = 0,4666
OC= 3(10)2+1
6(10)2+2(10)+1 =
301600+20+1
= 301621
= 0,4847
OC= 3(1000)2+1
6(1000)2+2(1000)+1 =
30000016000000+2000+1
= 30000016002001
= 0,4998
Para n = 1, 2, 3, 4,… 10,… 1000,… la sucesión es creciente y tiende a 0,5 se puede
decir que tiene como cota superior (0,5)
Gráficamente se puede observar así:
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7. OC= 5n+1
n2
OC= 5(1)+1
12 = 61
= 6
OC= 5(2)+1
22 = 114
= 2,75
OC= 5(3)+1
32 = 169
= 1,78
OC= 5(4)+1
42 = 2116
= 1,31
OC= 5(5)+1
52 = 2625
= 1,04
OC= 5(6)+1
62 = 3136
= 0,86
OC= 5(1000)+1
10002 = 5001
1000000 = 0,005
Para n = 1, 2, 3, 4,… la sucesión es decreciente y tiende a “0” se puede decir que
tiene como cota superior (6) y máxima cota inferior “0”
Gráficamente se puede observar así:
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8. Qué término de una progresión aritmética es 21 si su primer término es -
6 y la diferencia común es 3?
Planteamiento del Problema
U n={21 }
U a={−6 }
d=3
n=?
El termino general de una progresión aritmética es :
U n=U a+(n−a )∗d
Reemplazando valores en la formula tenemos :
21=(−6)+(n−1 )∗3
21= (−6 )+3n−3
21=3n−9
21+9=3n
30=3n
n=10
Demostración
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U 1=−6
U 2=−6+3=−3
U 3=−3+3=0
U 4=0+3=3
U 5=3+3=6
U 6=6+3=9
U 7=9+3=12
U 8=12+3=15
U 9=15+3=18
U 10=18+3=21
9. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el
pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro
adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en
total se pagaron $193.738.560?
Este es un problema de progresiones geométricas. En este tipo de series cada
término se forma multiplicando el precedente por una cantidad fija llamada razón
común que indicamos con “r”. Ha de tenerse en cuenta que el índice n empieza en
0 en este problema.
Sn≥0
n=ar0+ar1+ar2+…arn−1+arn (A )
r Sn≥0
n=ar1+ar2+…arn−1+ar n+arn+1 (B )
Restamos (A) de (B), conseguimos:
r Sn≥0
n− Sn≥ 0
n=arn+1−ar0
Sn≥0
n(r−1)=arn+1−ar 0
Sn≥0
n=arn+1−ar0
(r−1)
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Sn≥0
n=arn+1−a(r−1)
Sn≥0
n=a(r¿¿n+1−1)
(r−1)¿
La fórmula obtenida sirve para hallar la suma de n términos de la progresión
geométrica. Ahora, si se desea saber qué término corresponde a un determinado
valor de suma, se procede así:
Sn≥0
n=a(r¿¿n+1−1)
(r−1)¿
Invertimos:
a(r¿¿n+1−1)
(r−1)= Sn≥0
n ¿
a (r¿¿n+1−1)= Sn≥ 0
n(r−1)¿
rn+1−1=Sn≥0
n(r−1)
a
rn+1=Sn≥ 0
n(r−1)
a+1
log r(rn+1)=logr( Sn≥0
n(r−1)
a+1)
Ahora, considerando que:
log n x=ln xln n
Aplicando lo anterior tenemos:
ln(r n+1)ln r
=ln( Sn≥ 0
n(r−1)
a+1)
ln (r )
n+1=ln( Sn≥0
n(r−1)
a+1)
ln (r )
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n=ln( Sn≥0
n(r−1)
a+1)
ln (r )−1
Así obtenemos el índice n (tomando en cuenta el valor inicial de n=0) a partir del
valor inicial de la progresión a, la suma de la misma Sn≥0
ny el valor de la razón
común r. De acuerdo al problema el valor de r es, a partir del n-ésimo término:
ar n= an≥0
n
Donde n=1, a1=a×20 %+a y a =15000000
ar1=a1
15000000 r1=15000000×20 %+15000000
15000000 r1=3000000+15000000
15000000 r1=18 000000
r1=18 00000015000000
r=65=1,2
Una vez hallado r, y tomando los siguientes valores
Sn≥0
n=193738560,r=65, a=15000000
Procedemos a reemplazar en:
n=ln( Sn≥0
n(r−1)
a+1)
ln (r )−1
n=ln( 193738560( 6
5−1)
15000000+1)
ln(1,2)−1
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n=ln( 193738560( 1
5)
15000000+1)
ln (1,2)−1n
n=ln( 193738560
515000000
+1)ln(1,2)
−1
n=ln( 193738560
75000000+1)
ln(1,2)−1
n=ln( 193738560+75000000
75000000 )ln(1,2)
−1
n=ln( 268738560
75000000 )ln(1,2)
−1
n=ln (3,5831808 )
ln(1,2)−1
n=1,2762508975576820,182321556793955
−1
n=7−1
n=6
Ahora:
metro excavado=n+1
metro excavado=6+1
metro excavado=7 / .R
Si el primer metro excavado corresponde a n=0, n=6 corresponderá al metro 7 de
excavación cuando en total se pagaron $193.738.560 y en donde por el primer
metro excavado se pagó $15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el
20% más que el inmediatamente anterior.
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10. Entre Bogotá e Ibagué hay aproximadamente 165 kilómetros. Dos caminantes
parten cada uno de una ciudad hacia la otra. ¿A los cuántos días se
encuentran si el que va de Ibagué a Bogotá camina 1 km el primer día, 2 km el
segundo día, 3 km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido
contrario, es decir Bogotá – Ibagué, camina 20 km el primer día, 18 km el
segundo día, 16 km el tercer día y así sucesivamente?
¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?
Planteamiento del Problema
Bogotá Ibagué
165 Kms
U n={20,18,16… .. } U n={1,2,3 ,…}
Las llamaremos
U bn= {20,18,16….. } U ¿={1,2,3 ,…}
Podemos platear que los dos caminantes se encuentran cuando la suma de sus
recorridos de 165, o sea, que la sumatoria de los n términos de las dos sucesiones
da 165.
Sb+Si=165
Para hallar el enésimo término en cada sucesión reemplazamos
independientemente así:
U n=U a+(n−a )∗d
U bn=20+ (n−1 )∗(−2)
U bn=20−2n+2
U bn=22−2n
U ¿=1+(n−1 )∗(1)
U ¿=1+n−1
U ¿=n
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Para hallar la suma de los n primeros términos en cada sucesión reemplazamos
independientemente así:
S=n∗(U a+U n)
2
Sb=n∗(U a+U bn)
2
Sb=n∗(20+(22−2n))
2
Sb=n∗(42−2n)
2
Sb=42n−2n2
2
Si=n∗(U a+U ¿)
2
Si=n∗(1+(n))
2
Si=n∗(1+n)
2
Si=n+n2
2
Reemplazando estos términos en el planteamiento inicial tenemos:
Sb+Si=165
42n−2n2
2+ n+n
2
2=165
42n−2n2+n+n2=165∗2
43 n−n2=330
0=n2−43n+330
Factorizando el trinomio de la forma ax2+bx+c tenemos:
0=(n−10 ) (n−33 )
Para que la igualdad prevalezca entonces n puede tener dos valores 10 y 33,
pero descartamos 33 porque….U bn=22−2n
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U b33=22−2(33)
U b33=22−66
U b33=−44
….. El caminante que parte de Bogotá tiene una sucesión decreciente y su término
33 es igual a -44, quiere decir que recorre -44 kilómetros. Y la distancia es una
magnitud por ello solo puede tener números Positivos.
Respuesta n=10
Demostración:
Reemplazamos n=10 en cada una de las sucesiones así:
U bn=22−2n
U b10=22−2(10)
U b10=22−20
U b10=2
U ¿=n
U i10=10
Sb=n∗(U a+U bn)
2
Sb=10∗(20+2)
2
Sb=10∗(22)
2
Si=n∗(U a+U ¿)
2
Si=10∗(1+10)
2
Si=10∗(11)
2
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Sb=220
2
Sb=110
Si=110
2
Si=55
Sb+Si=165
110+ 55 = 165
165 = 165
Los dos caminantes se encuentran a los diez días de iniciar la caminata, el
que inició de Bogotá recorre 110 kilómetros y el que inició en Ibagué
recorrió 55 kilómetros.