Como Calcular Medidas Distribucion Fractiles 6449 Completo

Cómo calcular las medidas dedistribución o fractilesAutor: Edgar Guzmán

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Presentación del curso

En este pequeño curso aprenderemos a calcular cada una de las medidas dedistribución. Los fractiles tienen nombres especiales, dependiendo del número departes iguales en que se dividen los datos, esto son: cuartiles, deciles y percentiles.

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1. Fractiles

MEDIDAS DE DISTRIBUCIÓN

Fractiles:

En una distribución de frecuencias, cierta cantidad de los datos cae en un fractil opor debajo de éste. La mediana, es el fractil que queda en medio, puesto que lamitad de los datos está por debajo de este valor.

Los fractiles tienen nombres especiales, dependiendo del número de partes igualesen que se dividen los datos, siendo estos:

Cuartiles (Q):

Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes iguales.

Deciles (D):

Los cuartiles dividen a todos los datos en diez partes iguales.

Percentiles (P):

Los percentiles dividen el conjunto de datos en 100 partes iguales.

La mediana es el segundo cuartil, 5º decil y 50º percentil, así: Me = Q2 = D5 = P50

A continuación veremos el procedimiento para obtenerlos.

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2. Cuartiles (Q)

CUARTILES (Q)

Como deseamos dividir en cuatro partes la curva normal (en la cual nos basaremos),¿cuántos cuartiles debemos de hallar?...

No, no son cuatro como pensamos al inicio, son tres cuartiles los que dividirán encuatro partes la curva normal, y se denotan por Q1, Q2 y Q3:

Entre elelemento

Hasta elelemento

Porcentaje deelementos

Cantidad deelementos

Delelemento

Hasta elelemento

menor Q1 25% N / 4 0 1/4 NQ1 Q2 25% N / 4 1/4 N 2/4 NQ2 Q3 25% N / 4 2/4 N 3/4 NQ3 mayor 25% N / 4 3/4 N N

Como podemos ver, el segundo cuartil coincide con la mediana: Q2 = Me

Fórmula para obtener los tres cuartiles:

Qq = Lii + q/4 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

Donde:

q : número del cuartil: 1, 2 ó 3

Qq : q-ésimo cuartil

N : Cantidad de datos

Ni : Frecuencia acumulada de la i-ésima clase

Ni-1 : Frecuencia acumulada de la (i-1)-ésima clase

Lii : Límite inferior de la i-ésima clase

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ai : Amplitud de la i-ésima clase

i : Indica el número del intervalo en el cual está el cuartil, es la primera clase enla cual la frecuencia acumulada sea mayor a los elementos que abarcará el cuartil,matemáticamente donde Ni > q/4. Note muy bien que dice > no >=.

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3. Cálculo del segundo cuartil: La Mediana

Ejemplo con datos numéricos, tenemos siete grupos de colaboradores y veremos ladistribución agrupada de su sueldo semanal.

No. Límite Inferior Límite Superior Frecuencia Frecuencia Acumulada1 250.00 259.99 8 82 260.00 269.99 1 0 1 83 270.00 279.99 1 6 3 44 280.00 289.99 1 4 4 85 290.00 299.99 1 0 5 86 300.00 309.99 5 6 37 310.00 319.99 2 6 5

Hasta el momento sabemos que:

Entre elelemento

Hasta elelemento

Porcentaje deelementos

Cantidad deelementos

Delelemento

Hasta elelemento

Q.250.00 Q1 25% 16.25 0 16.25Q1 Me 25% 16.25 16.25 32.5Me Q3 25% 16.25 32.5 48.75Q3 Q.319.99 25% 16.25 48.75 6 5

Entonces aplicamos las fórmulas, iniciaremos con la Mediana por ser una formulaconocida:

Me = Q 2 = Lii + q/4 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

Lo primero que tenemos que hacer es saber en qué intervalo o clase quedará lamediana, o el Segundo Cuartil, que es lo mismo.

Sabemos que abarcará a 2/4 N = N/2 de elementos, y esto es 65/2 = 32.5

La primera clase que contiene a más de 32.5 elementos es la tercera, por lo tantosabemos que la mediana estará entre 270.00 y 279.99, y tomamos i=3

Ahora tenemos:

Me = Q2= Li3 + 2/4 N - N3-1 * a3 = 270 + 2/4 (65) - 18 * 10 = 279.06

N3 - N3-1 34 - 18

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Por el momento sabemos que la mitad de los colaboradores de este estudio ganan279.06 o menos.

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4. Cálculo del primer y tercer cuartil.

Calcularemos ahora los otros dos cuartiles:

Q 1 = Lii + 1/4 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

De nuevo, lo primero que tenemos que hacer es saber en qué intervalo o clasequedará el Primer Cuartil, en él hay incluidos ¼ N = 16.25 elementos, en este casotomará a todos los de la primera clase y a 16.25-8 = 8.25 elementos de la segundaclase, quiere decir que estará entre 260.00 y 269.99; la otra forma que tenemos desaber en qué clase se incluirá es que la primera frecuencia acumulada mayor a16.25 es 18, o sea la segunda clase, así a i le asignaremos 2.

Q1 = Li2 + 1/4 N - N2-1 * a2 = 260 + ¼(65) - 8 * 10 = 260 + 8.25 * 10 = 268.25

N2 - N2-1 18 - 8 10

Análogamente:

Q 3 = Lii + 3/4 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

¾ N = ¾(65) = 48.75

La primera frecuencia acumulada mayor es 58, i = 4

Q3 = Li4 + 3/4 N - N4-1 * a4 = 290 + 48.75 - 48 * 10 = 290 + 0.75 = 290.75

N4 - N4-1 58 - 48

Resultados:

Con esto podemos indicar:

El 25% de los colaboradores de este estudio ganan 268.25 o menos.



O en una tabla:

Porcentaje Sueldo desde Sueldo hasta25% 250.00 268.2550% 250.00 279.0675% 250.00 290.7525% 290.75 319.99

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50% 268.25 290.7550% 279.06 319.9975% 290.75 319.99

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5. Deciles (D)

DECILES (D)

Ya sabemos que para dividir la curva normal en diez partes debemos de tener nueveDeciles.

Al igual que para los cuartiles, indicaremos la fórmula para los deciles:

Dd = Lii + d/10 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

El quinto decil es el que e encuentra a mitad de la curva normal, esto quiere decirque coincidirá con la Mediana : D5 = Me

Calcularemos los primeros deciles:

D 1 = Lii + 1/10 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

Como siempre, lo primero que tenemos que hacer es saber en qué intervalo o clasequedará el Primer Decil, en él hay incluidos 1/10 N = 65/10 = 6.5 elementos, ¿cuáles la primera clase que su frecuencia acumulada es mayor a 6.5?, vemos que laprimera clase tiene una frecuencia acumulada de 8, entonces en este intervalo estáel primer decil, así, asignaremos 1 a i.

D1 = Li1 + 1/10 N - N1-1 * a1 = 250 + 1/10(65) - 0 * 10 = 258.12

N1 - N1-1 8 - 0

El segundo decil abarca a 2/10(65) = 13 elementos, quedará en el segundo intervalo

D2 = 260 + 2/10(65) - 8 * 10 = 265.00

18 - 8

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6. Cálculo de los demás deciles.

Continuamos con el tercer decil, i=3

D3 = 260 + 3/10(65) - 18 * 10 = 270.94

34 - 18

Vemos que el cuarto decil, al igual que D3, está incluido en el cuarto intervalo pues34 > 4/10(65)

D4 = 260 + 4/10(65) - 18 * 10 = 270.94

34 - 18

Seguimos con los demás deciles:

D5 = 279.06

D6 = 283.57

D7 = 288.21

D8 = 294.00

D9 = 301.00

Resultados:


El 10% de los colaboradores de este estudio ganan más de 301.00.

Etcétera...

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7. Percentiles (P)

Como queremos dividir en cien partes una curva normal, debemos de calcular 99percentiles.

Fórmula:

Pp = Lii + p/100 N - Ni-1 * ai

Ni - Ni-1

El cincuentavo percentil es el que se encuentra a mitad de la curva normal, o sea queP50 = Me

Algunos percentiles:

P1 = Li1 + 1/100 N - N1-1 * a1 = 250 + 1/100(65) - 0 * 10 = 250.8125

N1 - N1-1 8 - 0

P3 3 = Li3 + 33/100 N - N3-1 * a3 = 270 + 33/100(65) - 18 * 10 = 272.15625

N3 - N3-1 34 - 18

P7 0 = Li5 + 70/100 N - N5-1 * a5 = 290 + 70/100(65) - 58 * 10 = 294.00

N5 - N5-1 48 - 58

P9 9 = Li7 + 99/100 N - N7-1 * a7 = 310 + 99/100(65) - 63 * 10 = 313.25

N7 - N7-1 65 - 63

Etcétera...

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