Siempre que un valor y depende de un valor x, decimos que el primero es funcin del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una funcin de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura.

AREA: MATEMETICAS

LIC. MARCO ANTONIO MOJICA MADERA

TEMA: TIPOS DE FUNCIONES

SEGUNDO PERIODO

REALIZADO POR: Juan Camilo Zapata Lina Yurani Crdenas

Darlin Jhoanna Yela Carlos Arturo Gonzlez

CONTENIDO

1 Funciones crecientes y decrecientes 2 Funciones pares e impares 3 Funciones inversas 4 Funciones peridicas 5 Funciones exponenciales 6 Funciones logartmicas 7 Funciones valor absoluto 8 Funciones partes enteras 9 Funcin cubica 10 Funcin cuadrtica

FUNCIN CRECIENTE Y DECRECIENTEDefinicin:Una funcin que contiene un trmino en el que la variable est elevada al cuadrado, o una funcin que es cociente de dos funciones afines se puede pasar a su forma cannica y expresarla como la composicin de varios operadores, determinando los intervalos en los que cada uno de estos operadores es creciente o decreciente.

funcin creciente

funcin decreciente

funcin constante

FUNCION PARES E IMPARES Funciones impares Se dice que una funcin f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qu sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Todas estas funciones simtricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares. Ejemplos 1: La funcin y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x Ejemplo 2: Otra funcin impar es y = 1/x Cuando f(x) = -f(-x)

pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

Eje: 1

Eje: 2

Funciones pares Se dice que una funcin f es par cuando para cualquier x en el dominio de f

se tiene que f(-x)=f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x). Al modificar los valores de x en la grfica, la escena muestra tambin los

valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la grfica es simtrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la funcin se verifica que f(x)=f(-x). Ejemplo 3: La funcin f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

FUNCIONES INVERSAS Sabemos que una funcin es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de

dar la vuelta a los pares y obtener as una nueva funcin. Hagmoslo con la funcin: f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) } y observemos qu pasa llamando g al conjunto resultante: g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) } Hemos obtenido una nueva funcin. Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto: f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) } y, entonces, g ser: g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) } que no es una funcin, pues g(2) no est determinado de forma nica; es decir, g no cumple la condicin de funcin. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta. Cul es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no est determinado de forma nica; con lo cual g no es una funcin. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.

FUNCIONES PERIODICAS La forma ms simple de onda peridica es la onda armnica (sinusoidal),

que se describe matemticamente: Esta onda est completamente caracterizada por tres parmetros: es la amplitud de la sinusoide , es la frecuencia en radianes por segundo (rad/s) , y es la fase en radianes. En lugar de , a menudo se utiliza la frecuencia ciclos por segundo o hercios (Hz), donde . Ejemplo de onda peridica ms compleja. La lnea horizontal azul indica el nivel del valor eficaz .

Ejemplos En la vida diaria existen muchos casos de funciones peridicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento peridico. Un movimiento peridico es aqul en el que la posicin(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones peridicas, todas con el mismo perodo. Para una funcin aplicada al conjunto de los nmeros reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su grafica puede ser representada a partir de copias de una determinada porcin de sta, repetida a intervalos regulares. De forma ms explcita, se dice que una funcin f es peridica con perodo P

mayor que cero si cumple que:

para todos los valores de x en el dominio de f. De manera anloga, una funcin no peridica es aqulla que no posee dicho perodo P. Un ejemplo sencillo es la funcin f que devuelve la parte fraccional de su argumento: Si una funcin f es peridica con perodo P, entonces para todo x en el dominio def y para todo n enteros:

FUNCIONES EXPONENCIALES La funcin exponencial, es conocida formalmente como la funcin

real ex, donde e es el numero de Euler , aproximadamente 2.71828...; esta funcin tiene por dominio de definicin el conjunto de los nmeros reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma funcin. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la funcin inversa del logaritmo natural. En trminos mucho ms generales, una funcin real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma Siendo nmeros reales, . As pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La funcin exponencial ex puede ser definida de diversas maneras

equivalentes entre s, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una series de potencias:

o como el lmite de la sucesin:

FUNCIONES LOGARITMICAS el logaritmo de un nmero en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho nmero. Por ejemplo, ellogaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 101010. De la misma manera que la operacin opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicacin la divisin, el clculo de logaritmos es la operacin inversa a la potenciacin de la base del logaritmo. Para representar la operacin de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subndice la base y despus el nmero resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Definicin Dado un nmero real (argumento x), la funcin logaritmo le asigna el exponente n

(o potencia) a la que un nmero fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la funcin inversa de b a la potencia n. Esta funcin se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.1 (esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; s y slo si b elevado a la n da por resultado a x) Para que la definicin sea vlida, no todos las base y nmeros son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b 1, x tiene que ser un nmero positivo x > 0 y n puede ser cualquier nmero real (n R). As, en la expresin 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCION PARTES ENTERAS En matemtica, las funciones de parte entera son aquellas funciones: que toman un nmero real y devuelven un nmero entero mayor o menor a ese

nmero. Las funciones ms conocidas son la funcin piso1 y la funcin techo.2 La funcin techo se aplica a un nmero real x y devuelve el mnimo nmero entero k no inferior a x: O de otra forma: Propiedades Para cualquier nmero real se cumple que . El nmero real x al que se aplica la funcin techo es un nmero entero si y slo si la funcin techo de x tiene el mismo valor que x. La funcin techo tiene puntos de discontinuidad en los nmeros enteros pero es diferenciable para el resto de puntos. La funcin techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la funcin caracterstica del conjunto de los enteros:

Para cualquier nmero real se cumple que . El nmero real x al que se aplica la funcin techo es un nmero entero si y slo si la funcin techo de x tiene el mismo valor que x. La funcin techo tiene puntos de discontinuidad en los nmeros enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.

La funcin techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la funcin caracterstica del conjunto de los enteros:

FUNCION CUBICA Funcin cbica La funcin cbica es una funcin poli nmica de tercer grado. Tiene la

forma: ; donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definicin como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los nmeros reales . La derivada de una funcin cbica genera una funcin cuadrtica y su integral una funcin cuartica.

El caso general Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer races, propiedad

que har posible resolver la ecuacin. En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuacin cbica) tiene tres races. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los nmeros complejos, segn el Teorema Fundamental del lgebra. La solucin de la ecuacin algebraica cbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latn, que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemtico italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que public en el ao de 1545, razn por la cual se le llama mtodo de Cardano.

FUNCIONES CUADRATICAS una funcin cuadrtica o funcin de segundo grado es una funcin

polinmica definida como: Grficas de funciones cuadrticas.

en donde a, b y c son nmeros reales (constantes) y a es distinto de

0. La representacin grfica en el plano cartesiano de una funcin cuadrtica es una parbola, cuyo eje de simetra es paralelo al eje de las ordenadas. La parbola se abrir hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadrticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la cada libre o el tiro parablico.

La derivada de una funcin cuadrtica es una funcin lineal y su integral

una funcin cbica. Una funcin de la forma: f (x) = a x + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a 0, es una funcin cuadrtica y su grfico es una curva llamada parbola. En la ecuacin cuadrtica sus trminos se llaman:

si la ecuacin tiene todos los trminos se dice ecuacin completa, si a la funcin le falta el trmino lineal o independiente se dice que la ecuacin es incompleta.