CONTENIDOMATEMTICA IMATEMTICA IIFSICAQUMICARAZONAMIENTO MATEMTICORAZONAMIENTO VERBAL181187255389437 Meesgr at opr esent ar el Compendi oAcadmi codel Cent r oPr e Uni ver si t ar i odel aUni ver si dadNaci onal del Al t i pl anodePuno,el abor ado por unequi podedocent esconal t oni vel acadmi coydeexper i enci a curr i cul ar yprofesi onal .El i nst r ument oest or i ent adoaest i mul ar y prepar ar al osest udi ant esenl osdi st i nt osconoci mi ent ost er i cos,que posi bi l i t en elest udi o y aprendi zaj esust ant i vo par a eldesar r ol l o acadmi co y de acuerdo a l as exi genci as de l a for maci n uni ver si t ari a. Enl asdi st i nt asasi gnat ur assevi eneni nci di endoenl oscont eni dosms i mpor t ant esyr el evant esquesedesar rol l anenel CEPREUNA,enl asr eas de l as Ci enci asBi omdi cas, Ci enci as del a I ngeni er a y Ci enci as Soci al es,de t alfor ma que se const i t uya en un efi ci ent e i nst r ument o y de apoyo a vuest ra formaci n.Esperamos,ahor a,quehandeci di doi ngresar al aUni versi dadNaci onal delAl t i pl anodePunoyat r avsdesuCent r oPreuni ver si t ar i o,aprovechenl a i nfor maci n que al canzamos a vuest r a di sposi ci n. Est amos segur os, que est e mat er i all e va a serde i mpor t ant e ayuda y en est e sent i do, l es deseamos xi t o en l o que van a empr ender. Dr . Wencesl ao Medi na Espi noza AUTORI DADES UNI VERSI TARI AS Rect orDr . Luci o vi l a Rojas Vi cer r ect orAcadmi co Dr . Ger mn YabarPi l co Vi cer r ect orAdmi ni st r at i vo Dr . Edgardo Pi neda Qui spe COMI T EDI TORDr . Wencesl ao Teddy Medi na Espi noza M.Sc. Edwi n Federi co Or na Ri vas Mg. Jul i o CesarVi l l al t a Pacor iM.Sc. RalSanga Cat unt a Li c. EdgarPacompi a Bel i zar i o Est . Mar i el a Di ane Li ma Qui spe Est . Husam Jei elFl or es Dueas EDI CI ON Y DI AGRAMACI N Luci o El as Fl or es Bust i nzaEl wi n Lui s Huamn Qui spe MATEMTICAIMAMANI SUAA LUIS ALBERTOPONCE QUISPE LUCASSi la Matem atica hablase, empleara a la l ogica para comunicarse...La l ogica tradicional o l ogica Aristot elica constituye una de las partes m as importantes del desarrollodela matem atica como cienciaexacta, estudiarla endetalle demandaramucho tiempo ydedicaci on,as que en esta partesolo trataremos los aspectos b asicos pero importantes que todo estudiante, queaspira seguir una carrera de ciencias o ingenier as, debe saber.En general, un enunciado es toda frase u oraci on que se utiliza en el lenguaje com un, por consiguiente,toda expresi on que decimos uomos (con sentido o carente de el) son ejemplos deenunciados. Luego,podemos denir a una proposici oncomo aquel enunciado que expresa unpensamiento o idea cabal yqueenmuchoscasosessuceptible aserdemostrado. Entre lasproposicionesdestacanlasllamadasproposiciones l ogicascuya caracter stica fundamental esla seser verdadera: V ofalsa:F pero noambas a la vez. Por ejemplo:1. Juan borrador cielo do re cuarzo tres.2. Vamos a jugar un partido de f utbol.3. J upiter es un planeta m as grande que Marte.4. Dos tercios es mayor que la unidad.Claramente, el ejemplo 1 es un enunciado sin sentido, 2 es una proposici on, 3 es una proposici on ver-dadera y 4 es una proposici on falsa. Luego, solo 3 y 4 son proposiciones l ogicas.Laveracidadofalsedaddeunaproposici onl ogicaseobtienedeladisciplinaosucesodedondeproviene en basea raciocinios coherentes ysistem aticamente organizados. Convensionalmente, a lasproposiciones l ogicas selesrepresenta mediantelasletras min usculas: p, q, r, s, t, etc.cadaunadeestas letras constituye una variableproposicional. Dadauna proposici on l ogicap,siempreesposiblesaber si es verdadera (V)o falsa (F),es decir, siempre se puede averiguar su valor de verdad, esto sedispone en una tabla llamada tabla de verdad:Valor de verdad pVerdadero VFalso FPor ejemplo:p: Puno es capital del Per u. (F)q: 47 es un n umero simple. (V)Enadelante,porbrevedad, enlugardedecirproposici onl ogicadiremossimplementeproposici on,quedar a entonces sobreentendido que siempre trabajaremos con proposiciones l ogicas.Una proposici on se llama simple o at omica o elemental cuando su enunciado consta de un solo sujetoy un solo predicado. Las proposiciones p y q del ejemplo anterior son proposiciones simples.Una proposici on se llamacompuesta o molecular o coligativa cuando est a constituida por dos o m asproposiciones simples (en un n umero nito de veces) unidas por conectivos l ogicos.Los conectivos l ogicos son operadores l ogicos que relacionan dos proposiciones simples, los m as impor-tantes son:12Laconjunci on: p q , selee: pyq; padem as q; p tambi en q; p al mismo tiempo queq; p as como q; etc.Ladisyunci on: p q , llamadatambi endisyunci on d ebil o inclusiva, se lee: p o q; p sal-vo q; p a menos que q; etc.Lacondicional: p q , llamadatambi enimplicaci on, selee: si pentoncesq; pimplicaq; q puesto que p; q , si p; p es suciente paraque q; etc. A p se le llama antecedente y a q con-secuente.La bicondicional: p q , se lee: p si y solosiq o p es una condici on necesaria y sucientepara q.Tablas de verdad de los principales conectivos l ogicos:p q p q p q p q p qV V V V V VV F F V F FF V F V V FF F F F V VObserveque: Laconjunci on esverdadera solocuandolasdosproposicionessonverdaderas,encualquier otro caso es falsa. La disyunci on es falsa solo cuando las dos proposiciones son falsas, encualquier otro caso es verdadera. La condicional es falsa solo cuando el antecedente es verdadero yel consecuente falso, en cualquier otro caso es verdadera. La bicondicional es verdadera cuando lasdos proposiciones son iguales y es falsa cuando son diferentes. Estas observaciones son muy pr acticascuando se quiere evaluar la tabla de verdad de una proposici on compuesta.La negaci on1: p convensionalmente se lee: no p cuando la proposici on es simple, por ejemplo,si p: Juan es m edico. p: Juan no es m edico.Y cuando la proposici on es compuesta, se suelen usar las expresiones: no es cierto que p o es falso quep o no es el caso que p, etc. Por ejemplo la proposici on compuesta:No es el caso que Juan sea m edico y Miguel abogado.Tiene como proposiciones simples a p: Juan es m edico. y aq: Miguel es abogado. Luego, su enunciadoinicial se representar a como: (p q)Lanegaci oncambiaelvalordeverdaddondesehagapresente, esdecir: (V) F; tambi en (F) V, luego, podemos asociarle la siguiente tabla de verdad:p pV FF VEn base a los principales conectivos l ogicos, se pueden denir otros operadores l ogicos tales como:La disyunci on fuerte o exclusiva: p q simbolizada tambi en por p q , se lee: p o q perono ambos ; o bien p o bien q. Tambi en se le conoce como dieferencia sim etrica.La r eplica material: p q es la condicional intercambiada la p por la q , se lee p replica a q.1La negaci on no es propiamente un conectivo l ogico, ya que puede aplicarsea una proposici on simple as comotambi en a una proposici on compuesta. Puede ser considerada como un operador l ogico que niega o cambia el valorde verdad de una proposici on (simple o compuesta).3La negaci on alternativa: p [ q es la negaci on de la conjunci on, se lee no p o no q.La negaci on conjunta: p q es la negaci on de la disyunci on, se lee ni p ni q.Sus tablas de verdad son:p q p q p q p [ q p qV V F V F FV F V V V FF V V F V FF F F V V VObserve que con 2 proposiciones simples (p y q) existen en total 4 combinaciones posibles. En general,si en una proposici on compuesta existen n proposiciones simples, entonces:N umero de combinaciones = 2nJerarqu a de los conectivos l ogicos: En una proposici on compuesta, las operaciones se realizanusandos los delimitadores: par entesis (),corchetes [] o llaves | ;se efect uan las proposicionesque se encuentran dentro de estos delimitadores y luego siguen sus negaciones de izquierda a derecha.Si enunaproposici oncompuesta setiene unvalor VERDADREOparacualquier combinaci on devalores veritativos de sus componentes se le llama tautolog a, si por el contrario es siempre FALSO, sele llama contradicci on, y si por lo menos existe una V y por lo menos una F, se le llama contingencia.Una implicaci on l ogica es toda condicional p qque sea tautolog a, en tal caso a la condicionalse le denota por p q. Tambi en, una equivalencia l ogica es toda bicondicional p q que sea tau-tolog a, en tal caso a la bicondicional se le denota por p q.Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes o l ogicamente equivalentes si sus tablas de verdad sonid enticas. Esto se simboliza por: p q,lo signica que el resultado esel mismo sien lugar depseconsidera a q.Leyes del algebra proposicional:1. Idempotencia:a) p p pb) p p p2. Conmutatividad:a) p q q pb) p q q pc) p q q p3. Asociatividad:a) p (q r) (p q) r p q rb) p (q r) (p q) r p q rc) p(q r) (pq)r pq r4. Distributividad:a) p (q r) (p q) (p r)b) p (q r) (p q) (p r)c) p (q r) (p q) (p r)d) p (q r) (p q) (p r)5. De DMorgan:a) (p q) p qb) (p q) p q6. Absorci on:a) p (p q) pb) p (p q) pc) p ( p q) p qd) p ( p q) p q7. De la condicional:a) p q p qb) p q q p48. De la bicondicional:a) p q (p q) (q p)b) p q (p q) ( p q)9. Equivalencias adicionales:a) V Fb) F Vc) p V Vd) p Fpe) p p Vf ) p Vpg) p FFh) p p Fi) ( p) pj) p q (p q) (q p)k) p q (p q) (p q)Si la proposici on: | [ ( p q) (rq)] ( s p)es una cantradicci on, entonces los valores de ver-dad de p, q, r y s; respectivamente; son:A) VVVVD) VVVFB) VVFF C) VFVFE) FFVVSi es una contradicci on, entonces es falsa, por lotanto laexpresi ondentrodelasllaves debeserverdad1, es decir: [ ( p q) (rq)] ( s p ) V. .F. .FF V. .V. .F..V..V. .F. .V. .V reviseestadeducci ondeabajohaciaarriba. Si(rq) F r y q deben ser iguales.Claramente: p V ; q V; r V; s FRpta: DSe dene p q mediante la tabla:p q p qV V VV F VF V FF F VSimplicar: M= [( p q) p] (q p)A) p qD) p qB) p q C) p qE) pSeg un ladenici on de , evaluamosel esquemamolecular propuesto:p q [( p q ) p ] (q p)V V F F V F V V VV F F V F V V F FF V V V V V F V VF F V V F V F V VDe la matriz principal conseguida, se observa quees equivalente a: p qRpta: DNota: Otra forma de resolver este ejercicio es observar que, seg un su denici on: p qq p, pero:q p q pp q, luego: p qp q. Por consiguiente:[( p q) p] (q p)[( p q) p] (q p)[ p q] (q p) [ p q] (q p) [p q] (q p)([p q] q) pq pp q1Otra forma m as efectiva de resolver este ejercicio, es primeramente reducirlo usando las equivalencias l ogicas.5Simplicar la proposici on:E= [ (p q) q]A) p qD) p qB) p q C) p qE) p qReducimos la proposici on E empleando quivalen-cias l ogicas.Note que en cada paso seda sucorrespondientejusticaci on:E [ (p q) q] Def. de la condicional [(p q) q] Doble negaci on [ (p q) q] DMorgan [( p q) q] DMorgan, Doble neg. ( p q) Absorci on.E p qRpta: ETodo el estudio de la Matem atica se realiza sobre determinados objetos llamados conjuntos, es as quelos conjuntos tienen un rol muy importante en la Matem atica. En esta parte expondremos las ideas yconceptos m as elementales sobre la teor a de conjuntos que todo estudiante debe conocer como mnimo.Un conjunto es una colecci on o agrupaci onde objetos bien denidos (llamadossus elementos) quepueden ser abstractos y/o concretos. Todo conjunto se puede determinar por:1. Por extensi on o en forma tabular: Cuando se citan a sus elementos uno por uno.2. Por comprensi on o forma constructiva: Cuando se indica una propiedad,cualidad o carac-ter stica com un de sus elementos.Por ejemplo, siA es un conjunto1cuyos elementos sona, e, i, o, u, entonces: A= |a, e, i, o, u es surepresentaci on por extensi on. Y: A = |x[x es una vocal es su representaci on por comprensi on.Cualquier conjunto se puede represen-tar gr acamentehaciendouso de los conoci-dos diagramas de VennEuler. Un diagrama deVennEuler escualquier gura planacerrada.La gura muestra la representaci ongr aca parael conjunto A del ejemplo anterior.La relaci on de pertenencia se d a exclusivamente entre un conjunto y suselementos. Six es unelemento de un conjunto X,se dice quex pertenence al conjunto Xy se escribe: x X. Si por elcontrario x no es un elemento de un conjunto X, se dice que x no pertenece al conjunto X y se escribe:x , X. Para el conjunto A del ejemplo precedente: a A pero m , A, etc.Clases o tipos especiales de conjuntos:1. Conjunto vac o: Es aqu el conjunto que no tiene elemento alguno, se representa por o por | y podemos denirlo como: = |x[x ,= x2. Conjunto nito: Un conjunto Xes nito cuando es vaco o cuando se puede contar a todos suselementos yllegar ashasta un ultimo elemento, esto signica que poras decirlo podemosetiquetar a sus elementos (sin repetirlos) con los n umeros naturales 1, 2, ... ,n. Si logramos ellose escribe:X= |x1, x2, . . . , xn1Por lo general, se usan letras may usculas para denotar a los conjuntos y letras min usculas para sus elementos.6Luego,sedeneel cardinaldeunconjunto nito1comoeln umerondeelementos norepeti-dosque posee. Notaci on: card(X) = n Por denici on, el cardinal delconjunto vacoescero:card() = 0Naturalmente, un conjunto con unsolo elemento sellama conjunto unitario, por ejemplo,siA = |x, y, z es un conjunto unitario x = y= z ; tambi en X= |5; 5; 5; 5; 5 = |5 lo es.3. Conjunto innito: Un conjunto se llama innito cuando no es nito.4. Conjunto universal:Convensionalmente seasumelaexistencia deunconjunto que contienetodo, a tal conjunto se le llama conjunto univesal, en este sentido podemos denirlo como:U= |x[x = xSin embargo, por comodidad es frecuente emplear un universo relativo como por ejemplo si setratan intervalos de IR, entonces el universo ser a el propio IR.Relaciones entre conjuntos :1. La inclusi on : A B, se lee A est a contenido en B o A es subconjunto de B. Se dene como:A B ( todo elemento de A est a en B)Nota: La expresi on A B tambi en se escribe como B A y se lee B contiene a A.Si X es un conjunto arbitrario, entonces se cumple: Xy tambi en: X X2. La igualdad : A = B, se lee A es igual a B y se dene como:A = B (A B B A)3. Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos en com un. Porejemplo,si A= |x[x es un n umero paryB= |x[x es un n umero impar, entoncesAyBsonconjuntos disjuntos, ya que n ngun elemento deA est a en By rec procamente, ning un elementode B est a en A.4. Conjuntos comparables: DosconjuntosA yBsoncomparables cuando obienA BobienB A. Por ejemplo, siA= |x[x es un mamfero yB= |x[x es una oveja, se observa que solose cumple B A, ya que toda oveja es mamfero pero no todo mamfero es oveja; por lo tanto A yB son dos conjuntos comparables.5. Conjuntos coordinables o equipotentes: Dos conjuntos A y B son coordinables o equipotentescuando se puede establecer una relaci on biun voca entre sus elementos, es decir, cuando a cadaelemento de A le corresponde un unico elemento de B y rec procamente, a cada elemento de B lecorresponde un unico elemento de A. Esto nos permite escribir:card(A) = card(B)esta igualdad vale para conjuntos nitos e innitos.Conjunto de conjuntos: Tambi en sellama familiao clase de conjuntos, esaquel conjunto cuyoselementos son conjuntos. Por ejemplo, si A1, A2, ... , An son conjuntos F = |Ai[i = 1, 2, . . . , n repre-senta a una familia o clase.1En general todos los conjuntos poseen cardinal, para el prop osito de este compendio basta con conocer el cardinalde conjuntos nitos, pero hablaremos del cardinal de conjuntos innitos sin denirlo.7Conjuntopotencia: LLamadotambi enpartesdeunconjunto,si Xesunconjunto entonceselconjunto potencia de Xes la familia P(X) formada por todos los subconjuntos de X. Por consiguiente,para cualquier conjunto X se cumple: P(X) X P(X)de modo que la familia P(X) nunca es vaca.Por ejemplo, si X= |a; b; c P(X) = |; |a; |b; |c; |a; b; |a; c; |b; c; |a; b; cN umero de elementos deP(X): SiXes un conjunto nito den elementos, entonces el conjuntoP(X) tiene 2nelementos. Es decir: card[P(X)] = 2card(X)Operaciones entre conjuntos :1. Uni on de conjuntos:A B= |x[x A x B2. Intersecci on de conjuntos:A B= |x[x A x B3. Diferencia de conjuntos:A B= |x[x A x , B4. Diferencia sim etrica:A B= |x[x A Bx , A B5. Complemento:AC= |x[x , AOtras notaciones : A

,A, ((A)6. Producto cartesiano:AB= |(a, b)[a A b Bdonde (a, b) se llamapar ordenado. a es laprimeracomponenteyb es lasegundacom-ponente.La siguiente gura ilustra las operaciones con conjuntos.Propiedad: Si A y B son conjuntos nitos, entonces:card(AB) = card(A).card(B)De la denici on de conjuntos disjuntos, se deduce f acilmente queA y B son disjuntos A B= 8Cuanticadores:1. Universal: se lee para todo o tambi en para cualquier. Si P(x) es una funci on proposicional1,entonces la proposici on:x A ; P(x)[esto se lee para todo x en A tal que P(x)], ser a verdadera si y solo si P(x) se cumple para todo x deA, y si alg un (por lo menos uno) x de A no cumple P(x) entonces la proposici on ser a falsa.2. Existencial: se lee existe o tambi en existe por lo menos uno. Si P(x) es una funci on proposi-cional, entonces la proposici on:x A ; P(x)[lo que se lee existe un x (por lo menos uno) en A tal que P(x)], ser a verdadera si en A existe un x (porlo menos uno) tal que la proposici on P(x) se cumple, y si no existe x en A que verique P(x) entoncesser a falsa. El hecho de que exista por lo menos uno signica que si existe m as de uno, la proposici onsigue siendo verdadera, basta que exista uno.Nota: La expresi on ! se lee existe un unico. La proposici on: ! A ; P(x) ser a verdadera si y solosi en A existe un y solo un elemento x que cumple P(x), en cualquier otro caso ser a falsa.Negaci on de los cuanticadores: [ x A ; P(x)] x A ; P(x) [ x A ; P(x)] x A ; P(x)Algunas propiedades del algebra de conjuntos:1. A A = A ; A A = A2. A B= B A ; A B= B A3. A = A ; A = 4. A U= U; A U= A5. UC= ; C= U; (AC)C= A6. A AC= U; A AC= 7. (A B)C= AC BC(DMorgan)8. (A B)C= AC BC(DMorgan)9. A (B C) = (A B) C= A B C10. A (B C) = (A B) C= A B C11. A (B C) = (A B) (A C)12. A (B C) = (A B) (A C)13. A B= (AB) (B A)14. A BA B= B15. A BA B= A16. A (A B) = A (Absorci on)17. A (A B) = A (Absorci on)18. A (AC B) = A B19. A (AC B) = A BAl consultar a un grupo de personas sobre la pre-ferencia por dos marcas de bebidas A yB, se ob-tuvo la siguiente informaci on:I. El 65% no preere A.II. El 45% no preere B.III. El 50% preere solo una de ellas.Qu epartedelapoblaci onnopreereningunade las dos bebidas?A) 20%D) 35%B) 30% C) 40%E) 25%No sabemos a cu antas personas se han consul-tado, entonces asumimos que se preguntan a 100personas (100%) sobre dicha preferencia.Si el 65%no preere A,35% s la preere; ysi 45% no preere B, 55% s la preere. Luego se1Una funci on proposicional es aquellaproposici on cuyo valor de verdad depende de una o varias variables. Porejemplo, si P(x) : x + 5 7, claramente se ve que P(3), P(5) son verdaderos, pero P(1), P(0) son falsos.9tiene: n(A) = 35 ; n(B) = 55 De la gura, nos pidenx. Si el 50% preere solouna de ellas (parte azul), el otro 50% ser a el resto la intersecci on debe ser 50 x. Luego, es f acildarse cuenta de x 15 y 5 +x.Por consiguiente, parte azul: (x15)+(5+x) = 50de donde x = 30 30 %Rpta: BLos cardinales de los conjuntos A, B y Cson tresn umeros enteros y consecutivos. Si se verica:n[P(A)] +n[P(B)] +n[P(C)] = 448Determine el valor de: E= n(A) +n(B) +n(C)A) 21D) 15B) 24 C) 18E) 27Sean: n(A) = a ; n(B) = a + 1 n(C) = a + 2.Si: n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)] = 4482a+ 2a+1+ 2a+2= 4482a(1 + 21+ 22) = 4482a= 64 = 26De donde a = 6.Luego: E= n(A) +n(B) + n(C) = 6 + 7 + 8 = 21Rpta: ASeaP= |0; 1; 2; 3; 4; 5,halle el valor de verdadde las siguientes proposiciones:p: x P, x + 3 > 2 x + 1 < 7q: x P, x + 1 = 5x 2 = 1r: x P, x + 2 = 3x 1 = 0A) FFFD) VFFB) VVF C) VVVE) FVFRealizando operaciones b asicas, las proposicionesson equivalentes a:p: x P, x > 1 x < 6q: x P, x = 4x = 3r: x P, x = 1x = 1As mismo, p x P, 1 c, entonces: y= n 1 ; x + z= n 13. Si abcd dcba = xyzw , donde a > d. Entonces:Cuando b > c se cumplen: w + x = 10 y + z= 8Cuando b < c se cumplen: w + x = 9 y +z= 9Cuando b = c se cumplen: w + x = 9 y= z= 913La multiplicaci ones una operaci ontal que a, b IR le hace corresponder un n umero p IR llamadoproducto de a y b, y se escribe: a b = p . En ocasiones en lugar de a b, por brevedad, se escribe a.bo tambi en ab. Al n umero a se le llama multiplicando y a b multiplicador. El producto de n umerosreales goza de las leyes:1. Clausura: ab IR2. Conmutativa: ab = ba3. Asociativa: a(bc) = (ab)c = abc4. Neutro multiplicativo: a1 = a5. Inverso multiplicativo: aa1= 1, a ,= 06. Distributividad: a(b c) = ab acEstas leyes se cumplen a, b, c IR. Tambi ena IR |0, a1 IR .El neutro e inverso multiplicativo (escrito tam-bi en como1a) son unicos.La divisi on es una operaci on tal que D, d IN con D d, le hace corresponder un n umero q INllamado cociente y un n umero r IN |0 llamado residuo tales que verican:D= dq + r , 0 r< dLa igualdad anterior se denomina identidad fundamental o algoritmo de la divisi on. Al n umero D sele llama dividendo y a d divisor. Otras notaciones para la divisi on:Dd= Dd = D/d = Dd1.El m aximo valor de r es: rm ax= d 1 , luego: 0 r d 1. Respecto al residuo, existen dos tiposde divisi on, la exacta y la inexacta.Divisi on exacta: Ocurre cuando r= 0, es decir: D = dq . En este caso se dice que: d divide a D oque D es m ultiplo de d o tambi en que: D es divisible por d.Divisi on inexacta: Ocurre cuando r ,=0, luego: el mnimo valor que puede tomar r en una divisi oninexacta es: rmn= 1. Aqu se presentan dos casos:1. Divisi on inexacta por defecto:Esel caso m ascom un, ocurre cuando el producto del divisorpor el cociente es menor que el dividendo, aqu el residuo se denomina residuo por defecto rd.D = dq +rd2. Divisi on inexacta por exceso: Ocurre cuando el producto del divisor por el cociente es mayorque el dividendo, aqu el residuo se denomina residuo por exceso re.D = d(q + 1) reObserve que, para una misma divisi on, la diferencia entre los cocientes es 1, es decir:cociente por exceso = cociente por defecto +1Propiedad: rd + re= dAlteraciones en la divisi on inexacta: Consideremos la divisi on: D = dq+r donde todos los valoresque intervienen son enteros positivos o cero.1. Alsumarleciertoxaldividendo, elresiduo quedaaumentado enx: (D +x) = dq + (r + x) elcociente q no cambia, siempre que: r +x < d.Si r + x d , se divide: (r + x) d de donde se obtiene un cociente q y un residuo r. El nuevocociente ser a: q + qy el nuevo residuo ser a: r.142. Si al dividendo D y divisor d se les multiplica por x, el cociente no vara pero el resto queda mul-tiplicado por x: (Dx) = (dx)q + (rx) . Similarmente, si al dividendo D y al divisor d se les dividepor x no nulo, el cociente no cambia pero el resto queda dividido por x:_Dx_=_dx_q +_rx_3. Si solo al dividendo D se le multiplica por x, entonces:(Dx) = d(qx +q) + rel nuevo cociente es:qx + q y el nuevo residuo es:r, donde qy r son el cociente y residuo queresultan al dividir: rx d, esto es: rx = dq + rComplementoalgebr aico(C.A.)Eslacantidad quele faltaaun n umero paraserigual aunaunidad del orden inmediato superior con respecto a su cifra de mayor orden.Ejemplo:C.A.(80) = 20 C.A.(4) = 6 C.A.(1) = 9C.A.(700) = 300 C.A.(970) = 30 C.A.(1300) = 8700, etcLuego, en el sistema decimal si Nes un n umero con k cifras, entonces:C.A.(N) = 10k NY en un sistema de numeraci on debaseb: C.A.(N(b)) = 100 . . . 0(b) N(b)donde hay tantos ceroscomo cifras tenga N(b).Regla pr actica: Se ubica la cifra signicativa de menor orden, restar de la base dicha cifra, luegosiguen las cifras de orden mayor al anterior, restar de la base disminuida en 1, dichas cifras.Ejemplo:C.A.(9897103 ) = 127 C.A.(96951010 0) = 34900 C.A.(9998102 ) = 18C.A.(95107) = 43 C.A.(656174(7)) = 153(7)C.A.(313242 0 0 0(4)) = 212000(4)Propiedades:1. Si N(b) y N(b) + 1 (numerales consecutivos) tienen la misma cantidad de cifras, entonces:C.A.(N(b)) C.A.(N(b) + 1) = 12. Si N(b)yN(b)+1(numeralesconsecutivos)tienendiferentecantidaddecifras[N(b)decifrasm aximas: 99 o 999 o 44(5) o 44445, etc y entonces N(b)+1 respectivamente ser a: 100 o 1000 o 100(5) o 10000(5), etc.], entonces:C.A.(N(b) + 1) C.A.(N(b)) = (b 2)(b 1) . . . (b 1)(b)Donde (b 1) aparece k veces (k=n umero de cifras de N(b))15Eldivisoryresiduodeunadivisi onsonrespec-tivamente 48 y 36.Si se multiplica al dividendopor25yseefect uanuevamenteladivisi on, elcociente quedamultiplicadopor26yelresiduono se altera. Cu al fu e el dividendo inicial?A) 600D) 909B) 900 C) 609E) 800Sea la divisi on D= dq+r. Del enunciado del ejer-cicio se tiene:D = 48q + 3625D = 48(26q) + 3625(48q + 36) = 48(26q) + 36q= 18 D = 48(18) + 36 = 900Rpta: BAl dividirA entre B se obtiene un residuo m axi-mo. Si el dividendo disminuye en 170, el cocientedisminuyeen3yel residuoesmnimo. Siendolas divisiones inexactas, halle B.A) 43D) 45B) 23 C) 26E) 35Sea la divisi on A = Bq+r; del enunciado del ejer-cicio se tiene:A = Bq + (B 1)A 170 = B(q 3) + 1Reemplazamos la primera en la segundaecuaci on:

Bq + (B 1) 170=

Bq 3B + 1De donde B= 43Rpta: AHalle la suma: S= 35 + 48 + 63 + 80 +. . . + 399A) 2870D) 2800B) 2855 C) 2815E) 2845S= (621) +(721) +(821) +. . . +(2021)S= (62+72+82+. . . +202) +(1 +1 +1 +. . . +1)En cada par entesis hay 15 sumandos; en elprimero sumo y resto 12+22+32+42+52, luegoaplicamos sumas notables:S=(20)(21)(41)615 (5)(6)(11)6= 2800Rpta: DHalle la suma de cifras del C.A. del n umero:N= 2 10n+ 3 10n2+ 510n+2+ 7 10n1A) 19D) 18B) 23 C) 29E) 32Ordenando:N= 5 10n+2+ 2 10n+ 7 10n1+ 3 10n2= 5000010n2+ 20010n2+ 7010n2+ 3 10n2N= 5027300 . . . 0. .(n 2) cifrasAplicando la regla pr actica:C.A.(N) = C.A.(9590929710300 . . . 0 ). .(n 2) cifrasC.A.(N) = 4972700 . . . 0. .(n 2) cifrasSuma de cifras: 4 + 9 + 7 + 2 + 7 = 29Rpta: CSeana ZZyb ZZ+,se dice que a es divisibleporbsi y solo si ladivisi ona bes exacta. Delalgoritmo dela divisi on, se puede concluir que:A es divisibleporBsi y solo si, existek ZZtalque:A = kB . En tal caso se dice que A es m ultiplo de B y se escribe: A=B A=B . Luego:A es m ultiplo de B A=B A = kB; donde A, k ZZ,B ZZ+Nota: Cuando se escribem queda sobreentendido que m es un n umero entero positivo, a este n umerose le llama m odulo de la divisi on, divisibilidad o multiplicidad de donde proviene.En general, si la divisi on D d (que ahora puede ser escrita como D= dq + r=d+r) es inexacta setendr a dos casos:Divisi on por defecto: D =d+rd; Divisi on por exceso: D =d re; donde: rd +re= dObservaciones: De las deniciones anteriores, se puede f acilmente concluir que:1. Todo n umero ZZ+es divisible por s mismo y por la unidad.2. Todo n umero ZZ+mayor que 1 admite como mnimo dos divisores (la unidad y el mismo n umero).3. El cero es m ultiplo de cualquier n umero ZZ+.Principios b asicos de divisibilidad:1.A +A=A yA A=A2. Si : a +b= n, se tienen dos casos:a = n y b= na = n+r y b = n r3. Si : a b= n, se tienen dos casos:a = n y b= na = n+r y b = n+r4. Si : A = ny k ZZ+Ak= n5. ( n+a)( n+b)( n+c) = n+abc.6. Todo numeral es m ultiplo de su base elevado aun exponente natural k, m as el numeral formadopor sus k ultimas cifras en su base respectiva.Por ejemplo:i) . . . abcd(2)=(22) + cd(2)ii) . . . abcd(2)=(23) + bcd(2)iii) . . . abcd(2)=(24) + abcd(2), etc.7. ( n+r)k= n +rk8. ( n r)k=_n+rk; si k es par.n rk; si k es impar.En particular:7. ( n+1)k= n+18. ( n 1)k=_n+1 ; si k es par.n 1 ; si k es impar.9. (impar)par=8 +110. Todo n umero ZZ+es m ultiplo de sus divisores.11. Si : n =___abcn =MCM(a; b; c)161712. Si : n =___a+rb+rc+rn =MCM(a; b; c) +r13. Principio de Arqu medes: Sean a, b ZZ |0. Si ab= n y adem as bn tienen como unicodivisor com un a la unidad, entonces: a = n.Restos potenciales: Son los diferentes residuos positivos que se obtienen al analizar las potenciasconsecutivas de un n umero entero positivo mayor que la unidad con respecto a cierto m odulo (divisor).Esquema: an=m +rnDonde: a ZZ+ |1 m = m odulo (divisor) n =0; 1; 2; 3; . . . r0; r1; r2; r3; . . . = residuos potenciales.Al n umero de diferentes residuos (los cuales deben repetirse peri odicamente y en grupos) se le de-nomina Gaussiano.Hallar los residuos potenciales de 3 con respectoal m odulo 13. Dar como respuesta su correspon-diente Gaussiano.A) 2D) 3B) 4 C) 5E) 730=13 +131=13 +332=13 +933=13 +134=13 +335=13 +936=13 +137=13 +3...Para30; 31y32se ha usado:13=0.Para 33:13= 26. Para 34:13= 78, etc.Losresiduospotencialesson: r0=1; r1=3; r2=9. Observe que estos residuos se repitenperi odicamente en grupos de 3 en 3. Es decir, hay3 residuos diferentes, por lo tanto: Gaussiano = 3Rpta: DCriterios de divisibilidad:Las reglas que se dan en los siguientes criterios,debenaplicarse dederecha aizquierda,encasodenocumplirse, dicharegla(sumaalgebr aica)nos d a el residuo.1. abcde es divisible por 2 e =22. abcde es divisible por 3a +b +c +d + e =33. abcde es divisible por 4 de =4.4. abcde es divisible por 5 e =5.5. abcde es divisible por 7 cuando (regla: 1; 3;2; 1; 3; 2; 1; 3; 2; 1; 3; 2;...):1e + 3d + 2c 1b 3a =76. abcde es divisible por 8 cde =8.7. abcde es divisible por 9 cuando:a + b +c +d +e =9.8. abcdeesdivisiblepor11cuando(regla: 1;1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;...):e d + c b +a =119. abcdeesdivisiblepor13cuando(regla: 1;3; 4; 1; 3; 4; 1; 3; 4; 1; 3; 4; 1;...):1e 3d 4c 1b + 3a =1310. abcde es divisible por 25 cuando: de =25.11. abcde es divisible por 99 cuando (regla:separar bloques de 2 en 2 desde la derecha):a +bc +de =9912. Un n umero es divisible por 2nsi sus n ulti-mas cifras son divisibles por 2n.13. Un n umero es divisible por 5nsi sus n ulti-mas cifras son divisibles por 5n.18Halle el residuo de la divisi on: 3828 7A) 2D) 3B) 4 C) 5E) 63828=_7 +3_28=7 +328=7 +(32)14=7 +(7 +2)14=7 +214=7 +(23)4(22)=7 +(7 +1)4(4) =7 +(7 +1)(4) 3828=7 +4Luego, el residuo es 4.Rpta: BHalla el residuo de dividir:N= 1122334455667788entre 25.A) 16D) 19B) 22 C) 18E) 17N= (11223325 + 19)(55667775 + 13)=_25 +19__ 25 +13_=25 +1913=25 +247 =25 +225 + 22 =25 +22N=25 +22Luego, el residuo es 22Rpta: BSi: 9953nn= . . . 12(3) . Halle el valor de n.A) 1D) 2B) 3 C) 4E) 5Por propiedad(Vea losprincipios b asicosde divisibilidad,principio 6 p agina 16):. . . 12(3)=(32) +12(3)=9 +59953nn=9 +5(9 +5)3nn=9 +553nn=9 +5 ()En vista del ultimo resultado, debemos hallar losrestos potenciales de 5 respecto al m odulo 9:50=9 +151=9 +552=9 +753=9 +854=9 +455=9 +256=9 +157=9 +5...De donde se observa que el Gaussiano = 6Luego1, se cumplir a que:56+1=9 +5Comparando () con la ultima expresi on:3nn =6 +1300 + 10n +n =6 +111n =6 +112n n =6 +1n =6 1De donde n = 5Rpta: E1Por lo general, el Gaussiano indica el m odulo respecto al cual debe ser expresado el exponente.A menos que se diga lo contrario, todos los n umeros considerados en este captulo, ser an n umerosenteros positivos.N umeros simples: Son aquellos que tienen a lo m as dos divisores. Aqu est an:1. La unidad: 1 es el unico n umero entero positivo que tiene un solo divisor ( el mismo). Tambi en sele llama primo relativo.2. Primosabsolutos: LLamadostambi en: n umeros primossonaquellos quetienen exactamentedos divisores ( el mismo y la unidad).La siguiente tabla muestra a los 180 primeros n umeros primos:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4753 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069N umeros compuestos: Son aquellos que tienen m as de dos divisores.Propiedades de los n umeros primos:1. El conjunto de los n umeros primos es innito.2. 2 es el unico n umero primo par.3. 2 y 3 son los unicos n umeros consecutivos y primos.4. 3, 5 y 7 es la unica terna de n umeros impares consecutivos que son primos a la vez.5. Todo n umero primo mayor que 2 es de la forma: 4 +1 o4 1. (Lo rec proco no siempre es cierto.)6. Todo n umero primo mayor que 3 es de la forma: 6 +1 o6 1. (Lo rec proco no siempre es cierto.)Algoritmo para determinar si un n umero es primo:1roSecalcula, aproximadamente,laraz cuadradapordefecto deln umero yseconsidera laparteentera de dicha raz.2doSe consideran todos los n umeros primos de menor a mayor, menores o iguales a la parte enterade la raz aproximada.3roSe determinar a si el n umero es divisible o no entre cada uno de los n umeros primos se nalados enel paso anterior, empezando por el menor, luego:Se dir a que el n umero es primo, si resulta ser no divisible por ninguno de los primos indica-dos anteriormente.Se dir aqueeln umero escompuesto,siporlomenosenuncasoresulta serdivisible poralguno de los primos considerados.1920N umerosprimosentress (PESI): LLa-madostambi en primosrelativoso coprimos,sonaquellos que tienen como unico divisorcom un ala unidad.Propiedades:1. Dosn umeros consecutivos enZZ+siempreson PESI.2. Si en un grupo de n umeros est a la unidad,entonces todo el grupo es PESI.3. Unconjuntodem asdedosn umeroscon-secutivos es siempre PESI.4. Dos n umeros impares consecutivos sonsiempre PESI.5. Todo conjunto de n umeros impares consec-utivos son siempre PESI.N umeros PESI dos a dos: Es aquel grupo den umeros en dondecualesquiera dosdeellos sonsiempre PESI.Siungrupoden umerosesPESIdosados,entonces este grupo siempre ser a PESI. (Lo con-trario no siempre se cumple.)TeoremaFundamental delaAritm etica(TeoremadeGauss): Todon umeroenteropos-itivomayorquelaunidadpuedeexpresarsedemanera unica(salvoelorden de losfactores) co-moelproducto desusdivisoresprimoselevadosa exponentes naturales, esta representaci on se lla-ma descomposici on can onica.Cantidad de divisores CD(N): SiN= Pn11.Pn22.Pn33. . . . .Pnkkes la descomposici oncan onica de N, entonces:CD(N) = (n1 + 1)(n2 + 1)(n3 + 1) . . . (nk+ 1)Observe queP1;P2;P3; ...;Pkson n umeros pri-mos diferentes. Adem as:n1, n2, n3, . . . , nk IN.Divisorsimple: es undivisor quees unn umero simple.Divisor compuesto: es un divisor que es unn umero compuesto.Divisor primo: es un divisor que es un n umeroprimo.Divisor propio: es un divisor que es diferenteal mismo n umero.Divisor elemental: es el menor divisor difer-enete de la unidad.Propiedades:CD(N) = CDsimples +CDcompuestosCDpropios= CD(N) 1CDprimos= CDsimples 1Suma de divisores de un n umero: SiNseha descompuesto can onicamente, por ejemplo, co-mo N= abc, entonces:SD(N) =a+1 1a 1

b+11b 1

c+11c 1claramente, siNtiene m as de tres divisores pri-mos, la situaci on ser a an aloga. Tambi en:SD(deN que seanm)= mSD_Nm_N umeros defectuosos: Aquellos cuya sumade sus divisores propios son menores que el mis-mo:[SD(propios de N)] < N (Nes defectuoso)N umeros abundantes: Aquellos cuya sumade divisores propios es mayor que el mismo:[SD(propios de N)] > N (Nes abundante)N umerosamigos: Dosn umerosenZZ+sonamigos, si la suma de los divisores propios de unode ellos es igual al otro n umero y viceversa:A y B son amigos ___SD(propios de A) = BSD(propios de B) = ASuma de los inversos de los divisores deun n umero:SID(N) =SD(N)NPor otro lado, tambi en se cumple:SID(de Nque seana) =SD(N/a)NProducto de divisores de un n umero:PD(N) = NCD(N)221Por otro lado tambi en se cumple:PD(de Nque seana) = aCD(N/a)PD_Na_N umerodemanerasdeexpresarNcomoelproducto de 2 de sus divisores:=CD(N)2; si CD(N) es par.=CD(N) + 12; si CD(N) es impar.Funci on de Euler o Indicador de un n umeroentero positivo.Se dene: lafunci ondeEulermediante (1) = 1 y para todos los N> 1, (N) =n umero de enteros positivos menores que Ny pri-mos relativos con el.Por ejemplo:(8)=4 ya que solamente 1, 3, 5 y7 son los n umeros menores que 8 que son primoscon 8.Teorema: Si Pes primo, entonces:(P) = P 1Teorema: Si Pes primo y ZZ+, entonces:(P) = PP1= P1(P 1)Teorema: Si :N=paqbes la descomposici oncan onica de N, entonces:(N) = (paqb) = pa1(p 1)qb1(q 1)Observaci on: Si : N = abc es ladescomposici on can onica de N, entonces :(N) = (a 1)(b 1)(c 1)Propiedad: Si N> 1, entonces la suma de todoslos enteros positivos menores o iguales a Ny PE-SI con N, es: S=N (N)2Teorema de Euler:Si m>1, adem asa ymson PESI, entonces: a(m)=m +1Teorema de Wilson: Si p es primo, entonces:(p 1)! + 1 =pCorolario: Si p es primo, entonces:(p 2)! =p+1 tambi en: (p 3)! =p+_p 12_MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD): Dado un conjunto de n umeros enteros positivos, el MCD deestos es aquel entero positivo que cumple:1. Es un divisor com un de los referidos n umeros, y2. Es el mayor de los divisores comunes.Propiedades:1. Los divisores comunes de un conjunto de n umeros son tambi en divisores de su MCD.2. El MCD est a contenido en los n umeros, adem as es el mayor n umero que est a contenido en cadauno de ellos, tambi en cada uno de los n umeros es m ultiplo de su MCD.3. Si a y b son PESI, entonces: MCD(a; b) = 1.4. Si a y b son PESI, entonces: MCD(b; a +b) = 1.5. Si a y b son PESI, entonces: MCD(b; a b) = 1, con a > b.6. Si : a =b MCD(a; b) = b.MINIMOCOMUN MULTIPLO (MCM): Dado un conjunto de n umeros enteros positivos, el MCMde ellos es un entero positivo que cumple:1. Es un m ultiplo com un de los n umeros, y2. Es el menor de estos m ultiplos comunes.22Propiedades:1. Los m ultiplos comunes de un conjunto de n umeros son tambi en m ultiplos de su MCM.2. El MCMes un n umero que contiene a cada uno de los n umeros que lo originan, y es el menor conesta propiedad. Adem as es m ultiplo de cada uno de estos n umeros.3. Si a y b son PESI, entonces: MCM(a; b) = ab.4. Si : a =b MCM(a; b) = a.5. En el caso de factoriales, el MCMde un conjunto de factoriales siempre es el mayor de ellos, y elMCD es el menor de ellos.6. Solo para dos n umeros a y b se cumple: MCD(a; b) MCM(a; b) = ab.M etodos para el c alculo delMCD y MCMPor descomposici on simult anea:Para el MCD: Extraer divisores comunes hastaque queden n umeros PESI.Ejemplo:36 54 108 218 27 54 36 9 18 32 3 6MCD(36; 54; 108) = 23 3 = 18Propiedad: Si MCD(a; b; c) = d___a = dpb = dqc = drdonde p, q y r son PESI.Para el MCM: Extraer divisores comunes y nocomunes hasta reducirlos a la unidad.Ejemplo:36 54 108 218 27 54 36 9 18 32 3 6 21 3 3 31 1 1MCM(36; 54; 108) = 23323= 108Propiedad: Si MCM(a; b; c) = m ___m = apm = bqm = crdonde p, q y r son PESI.Propiedades:1. MCD(na; nb; nc) = nd2. MCD_an;bn;cn_=dn3. MCD(an; bn; cn) = dn4. MCM(na; nb; nc) = nm5. MCM_an;bn;cn_=mn6. MCM(an; bn; cn) = mnPor descomposici on can onica:El MCDdedosom asn umerosqueest andescompuestos can onicamente, resultademul-tiplicar alos factores primoscomunesafectadoscon el menor exponente.El MCMdedosom asn umerosqueest andescompuestos can onicamenteresultade mul-tiplicaralosfactoresprimoscomunesynoco-munes afectados con su mayor exponente.M etododedivisionesuscesivas(Algo-ritmodeEuclides): Consisteenlaaplicaci onrepetida del siguiente:Teorema: ElMCD del dividendoD y divisorden una divisi oninexacta esigual alMCDdeldivisor d y del residuo r. Esto es:MCD(D; d) = MCD(d; r)23El algoritmo de euclides se puede organizar en elsiguiente esquema:MCD(a; b) = r4Propiedad: Dados los n umeros:a = (n 1)(n 1)(n 1) . . . (n 1). .pcifras(n)= np1b = (n 1)(n 1)(n 1) . . . (n 1). .qcifras(n)= nq1c = (n 1)(n 1)(n 1) . . . (n 1). .rcifras(n)= nr 1Entonces se cumple:MCD(np1; nq 1; nr1) = nMCD(p;q;r) 1Si eln umeroN=1530ntiene 294divisores.Halle nA) 3D) 4B) 5 C) 7E) 8Descomponemos can onicamente al n umero:N= (35)(23 5)n= 2n3n+1 5n+1CD(N) = (n + 1)(n + 2)(n + 2)Del dato se tiene:(n + 1)(n + 2)(n + 2) = 294 = 6 7 7Por comparaci on: n = 5Rpta: BDar la suma de cifras del mayor n umero de trescifras, si se sabe que al restarle el n umero que re-sulta de invertir sus cifras se obtiene un n umeroque tiene 24 divisores.A) 15D) 16B) 18 C) 17E) 19Sea abc el n umero, luego:abc cba = 99(a c) = 32 11(a c)CD= (2 + 1)(1 + 1)(n + 1) = 24n = 3Luego, (a c) debe ser un n umero primo con ex-ponente 3:(a c) = p3p=2 es el unico valor aceptable ya que 33es dedos cifras. Luego a= 9 y c = 1. El mayor n umerose obtendr a cuando b = 9abc = 991Suma de cifras = 9 + 9 + 1 = 19Rpta: EHalle el mayor factor com un a los n umeros:(65501) ; (62521) ; (6312 1)A) 5D) 11B) 23 C) 31E) 35El mayor factor com un es el:MCD[(65501); (62521); (63121)] = 6d1donde: d = MCD(550; 252; 312) = 2Luego:MCD[(65501); (62521); (63121)] = 621 = 35Rpta: E24Cu antos divisores, quenosonm ultiplosde40,tiene el n umero 9520?A) 24D) 32B) 20 C) 30E) 36Sea N= 9520, su descomposici on can onica es:N= 24 57 17Luego:CD(N) = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 40Ahorahallamos CD(N) queson40, paraelloprimero dividimos a Nentre 40:N40=2 717

235

235= 27 17CD(N) 40= (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8Luego, la cantidad de divisores que no son m ulti-plos de 40 ser a:CD(N)40= CD(N) CD(N) 40= 40 8 = 32Rpta: DEl mnimocom unm ultiplodedos n umeroses630 y su producto es 3780. Cu al es el valor de sum aximo com un divisor?A) 4D) 10B) 12 C) 6E) 8Sean A y B los n umeros, por propiedad:AB= MCD(A; B)MCM(A; B)3780 = MCD(A; B) 630De donde:MCD(A; B) = 6Rpta: CAl calcular el MCD de los n umeros(a + 1)b(a 1)(4a) aa(a + 6)(a + 6)mediante el algoritmo de Euclides se obtuvieroncomo cocientes sucesivos 1; 1; 2 y 3. Halle el ma-yor de los n umeros, si la tercera divisi on se hizoporexceso. Darcomorespuestalasumadesuscifras.A) 15D) 17B) 13 C) 21E) 19Sean los n umerosA = (a + 1)b(a 1)(4a) ; B= aa(a + 6)(a + 6)claramente se observa que A > B.SiMCD(A; B) =dtenemos elesquema deEu-clides:Luego:B=aa(a + 6)(a + 6)=8d, observe que ano puede ser cero, adem as para que sea m ultiplode 8 a debe ser par, luego: el unico valor permi-sible es a = 2B= 2288= 8dd = 286N umero mayor: A = 13d = 3718Suma de cifras = 3 + 7 + 1 + 8 = 19Rpta: EEl conjunto de los n umeros racionales Q puedeser denido mediante:Q =_ab [ a, b ZZ b ,= 0_Observe que cuando b = 1 se tiene: Q = ZZ, luego:ZZ QN umeros fraccionarios: Son aquellosn umeros racionales que no son enteros.x =ab; a, b ZZ b ,= 0Alosn umerosaybselesllamat erminosdeln umero fraccionario x. Todo n umero fraccionariotienetres signos, ysepuedencambiaracua-lesquierados deellossinqueel n umerofrac-cionario cambie, esto es:+(+)(+)= +()()= (+)()= ()(+)Fracciones: Son aquellos n umeros fracciona-rioscuyost erminossonn umerosenterosposi-tivos. Luego, si fes una fracci on, entonces:f=ND; N, D ZZ+ N ,=DTipos de fracciones: Una fracci on fes:1. Propia: Cuando f< 1, es decir: N< D2. Impropia: Cuando f> 1, es decir:N> D3. Decimal: Cuando D= 10k4. Ordinaria: Cuando D ,= 10k5. Irreductible: Cuando NyD son PESI, esdecir: MCD(N; D) = 16. Reductible: CuandoNyDno sonPESI,es decir: MCD(N; D) ,= 1Dado un grupo de dos o m as fracciones,estas son:1. Fraccioneshomog eneas tienenelmismo denominador.2. Fracciones heterog eneas al menosunadeellas tieneundenominadordife-rente a las dem as.Comparaci on de fracciones:1. Sean las fracciones: f1=aby f2=cd, en-tonces:f1> f2ad > bcf1< f2ad < bc2. Parafracciones homog eneas, ser amayoraquellafracci onquetengamayor nume-rador.3. Para fracciones heterog eneas, aplique elcriterio1, otambi enhomogenicedenomi-nadores(darcom undenominador) hallan-doelMCMdelos denominadores y luegoaplique el criterio 2.Propiedadesdelasfracciones: Enlassi-guientes propiedades, se consideran solo n umerosenteros positivos.1. f1=ab< 1 f2=a +mb +mf1< f22. f1=ab> 1 f2=a +mb +mf1> f23. Dadas las fracciones irreductibles: f1=abf2=cd, se tiene:ab+cd= K ZZb = d4. Dadas las fracciones irreductibles:ab;cdefMCD_ab;cd;ef_=MCD(a; c; e)MCM(b; d; f)MCM_ab;cd;ef_=MCM(a; c; e)MCD(b; d; f)2526N umeros avales:Son aquellos que resultandedividir los t erminos de una fracci on en ciertosistema de numeraci on. Por ejemplo:1274= 31,75 N umero decimal.3224=112(5)44(5)= 1, 121212 . . .(5) N umero pentaval.12580=148(9)88(9)= 1, 484848 . . .(9)N umero nonaval.En general: a b c d e. .Parteentera, x yzw. .Parteaval(n)La coma , recibe el nombre de coma aval (co-ma decimal; coma pentaval; coma nonaval; etc.)Descomposici on polin omica den umerosavales: Consideremos, por ejemplo, el n umero1421, 3251(7):Su descomposici on polin omica ser a:173+472+271+170+371+272+573+174N umeroaval exacto:Cuando aldividirlost erminos delafracci on,resulta exacto, esdecir,que la cantidad de cifras en la parte aval es limi-tada o nita. Su fracci on generatriz es:0, abc . . . x. .kcifras(n)=abc . . . x(n)100 . . . 0. .kceros(n)Por ejemplo:0, 237=2371000 0, 237(8)=237(8)1000(8)=159512, etc.N umeroaval inexacto: Cuandoal dividirlost erminos delafracci on resulta serinexacta,es decir, la cantidad de cifras en la parte aval esilimitada. Existen dos tipos:1. N umero aval inexacto peri odico puro:Cuandoexisteungrupodecifras, enlaparteaval, queserepitenpei odicamente. Sufracci ongeneratriz es:0,

abc . . . x. .kcifras(n)=abc . . . x(n)nk1Por ejemplo: 0,

32 =321021=32990,

32(5)=32(5)521=32(5)24=1724=32(5)44(5), etc.2. N umeroaval inexactoperi odicomixto:Cuando en la parte aval existe una parte peri odi-ca yuna parte no peri odica. Su fracci ongenera-triz es:0, a . . . h. .kcifras p . . . x. .mcifras(n)=a . . . hp . . . x(n) a . . . h(n)(n 1) . . . (n 1). .mcifras0 . . . 0. .kcifrasFraccionescont nuas simples: Tienenlasiguiente forma y notaci on:a0+1a1+1a2+1... an1+1an=[a0; a1; a2; . . . ; an1; an]Donde : a0 ZZ y a1, a2, . . . , an ZZ+Si existen un n umero limitado de a1, a2, . . . , an, sedenomina fracci on cont nua simple (FCSF), siporelcontrario existenunn umero ilimitadodea1, a2, . . . , an, . . ., se llamafracci oncont nuasimple innita (FCSI). Por ejemplo:3 +12 +15 +17 +12= [3; 2; 5; 7; 2] FCSF4+12 +15 +12 +15 +1...= [4; 2; 5; 2; 5; . . .] FCSINotaci on: para una FCSI similar al ejemploanterior, se escribe: [4; 2; 5; 2; 5; . . .] = [4; 2; 5]27Algunas observaciones y propiedades:1. Todo n umero racional se puede expresar co-mo una FCSF, recprocamente, toda FCSFrepresenta a un n umero racional.2. Todon umero irracional sepuedeexpresarcomouna FCSI, recprocamente, todaFC-SI representa a un n umero irracional.3. Si: p ZZ+_p2+ 1 = [ p; (2p) ]4. Si: p ZZ+_p21 = [ (p 1); 1; 2(p 1) ]Raz on: Es la comparaci on de dos cantidades mediante la sustracci on o divisi on. Luego, existen dostipos de razones:1. Raz on aritm etica: Es la comparaci on mediante la sustracci on. Si a yb son las cantidades, en-tonces su raz on aritm etica es: r= a b Donde: a se llama antecedente y b consecuente.2. Raz on geom etrica: Es la comparaci on mediante la divisi on. Si a y b son las cantidades, su raz ongeom etrica es: r=abDonde: a se llama antecedente y b consecuente.Proporci on: Eslaigualdaddedosrazones (aritm etica ogeom etrica) que tienen elmismovalor.Luego, existen dos tipos de proporciones:1. Proporci on aritm etica: Igualdad entre dos razones aritm eticas: a b = c d . Donde:a, b, c y d son los t erminos de la proporci on, y son respectivamente: el primer, segundo, tercery cuarto t ermino.a y d son los extremos; b y c son los medios.a y c son los antecedentes; b y d son los consecuentes.Propiedad:__Sumade t eminosextremos__=__Sumade t eminosmedios__; es decir: a +d = b + cTipos de Proporci on aritm etica:Discreta: T erminos medios diferentes: a b = c d ; d es la cuarta diferencial de a, b y c.Cont nua: T erminosmediosiguales: a b = b c ; beslamediadiferencialdeayc.Tambi en: c es la tercera diferencial de a y b.2. Proporci on geom etrica: Igualdad de dos razones geom etricas:ab=cd. Donde:a, b, c y d son los t erminos de la proporci on, y son respectivamente: el primer, segundo, tercery cuarto t ermino.a y d son los extremos; b y c son los medios.a y c son los antecedentes; b y d son los consecuentes.Propiedad:__Productode t eminosextremos__=__Productode t eminosmedios__; es decir: ad = bcTipos de Proporci on geom etrica:Discreta: T erminos medios diferentes:ab=cd; d es la cuarta proporcional de a, b y c.28Cont nua: T erminos medios iguales:ab=bc; b es la media proporcional de a y c. Tambi en:c es la tercera proporcional de a y b.Propiedades: Sea la proporci on:ab=cd, entonces se cumplen:a bb=c dd;aa b=dc d;a +ba b=c + dc dSerie de razones geom etricas equivalentes (SRGE): Una SRGE es la igualdad de m as de dosrazones equivalentes. Una serie de n razones geom etricas equivalentes se escribe:a1b1=a2b2=a3b3= . . . =anbn= kDonde:a1, a2, a3, . . . , an : antecedentes.b1, b2, b3, . . . , bn : consecuentes.k : constante de la serie (valor de la raz on).Propiedades:1. ai= bik , esto es: antecedente = consecuenteraz on2.a1 + a2 +a3 + . . . +anb1 +b2+b3 + . . . + bn= k ;a1a2 a3 . . .anb1b2 b3 . . .bn= kn3.a1 + b1a1 b1=a2+b2a2 b2= . . . =an +bnan bn=k + 1k 1;a1 b1a1=a2 b2a2= . . . =an bnan=k 1k4.am1+ am2+am3+ . . . +amnbm1+bm2+bm3+ . . . + bmn= km;a1 +a2 + a3 +. . . + anb1 +b2 + b3 +. . . + bn= k con ; ; ; . . . ; constantes.Seriederazonesgeom etricasequivalentescont nua: UnaSRGEescont nua cuandodadala raz on inicial, esta se ja y cada raz on siguiente tiene como antecedente al consecuente de la raz onanterior.Por ejemplo:ab=bc=cd=de= . . . =wx=xy=yz= kPropiedades:1. Todos los t erminos (excepto el ultimo consecuente) se pueden expresar en funci on del ultimo con-secuente y de la raz on.2. La relaci on entre el primer y ultimo t ermino (primer antecedente y ultimo consecuente) es iguala la constante de proporcionalidad elevada al n umero de razones.Por ejemplo: En la SRGE cont nuas:ab=bc=cd=de= kse tiene:d = ek ; c = ek2; b = ek3; a = ek4; tambi en;ae= k4;ad= k3; etc.29Enunaproporci ongeom etrica, lasumadelost erminos extremos es 20 y su diferencia 16. Cu ales la media proporcional?A) 4D) 5B) 6 C) 7E) 8Por tener media proporcional, se entiende que escontinua. Luego, sea la proporci on:ab=bcdonde a y c son los t erminos extremos.Despejando b = ac es la media proporcional.Por dato:_a + c = 20a c = 16Resolviendo: a = 18 y c = 2Luego: b =_(18)(2) = 6Rpta: BEn un examen de admisi on a la Universidad Na-cional del Altiplano, la relaci onde vacantes y pos-tulantes es de 4 a 15; pero si la cantidad de pos-tulantesaumentaraen1500, lanuevarelaci onsera de 2 a 15. Cu antas vacantes deben aumen-tar para que, al incrementar en 4500 el n umerode postulantes, no ingresen 12alumnos de cada15 postulantes?A) 927D) 540B) 800 C) 700E) 420En la primera suposici on, observe que la cantidadde vacantes no cambia, entonces:Real Suposici onVacantes 4k 2(2k) no cambiaPostulantes 15k 15(2k)Luego: 15(2k) 15k= 1500 de donde k= 100.Vacantes = 400 y Postulantes = 1500Si sequierequedecada15postulantesnoin-gresen12alumnosequivaleadecirquedeca-da 5 postulantes no ingresan 4, entonces larelaci onentrelacantidaddevacantesypostu-lantes ser a de 1 a 5.Sea x la cantidad de vacantes que se debe aumen-tar, entonces se tiene:VacantesPostulantes=400 + x1500 + 4500=1xDe donde x = 800Rpta: BJos e Carlos reparte cierta cantidad de dinero en-tresustreshijasdelasiguientemanera: Alaprimeraleotorgalos2/7del total; alasegun-dalos4/5del resto, yalaterceralos24solesrestantes. Cu al es lacantidaddedineroqueten a Jos e Carlos para repartir a sus hijas?A) 176 solesD) 172 solesB) 160 soles C) 168 solesE) 164 solesSea x la cantidadde dinero que Jos e Carlosreparte. Seg un el enunciado del ejercicio, se tiene:Reparte Queda1raHija27x57x2daHija45_57x_15_57x_3raHija15_57x_015_57x_= 24 de donde x = 168Rpta: C30Si se verica:a2+ 25a225=b2+ 36b236=c2+ 64c2 64Adem as: (a b + c) = 91 . Calcule: (a + b c)A) 29D) 39B) 49 C) 28E) 46De la serie de razones, se tiene:(a2+ 25) + (a225)(a2+ 25) (a225)=(b2+ 36) + (b236)(b2+ 36) (b236)=(c2+ 64) + (c2 64)(c2+ 64) (c2 64)De donde:a225=b236=c264a5=b6=c8Aplicando propiedades de las SRGE:a5=b6=c8a + b c5 + 6 8=a b + c5 6 + 8a +b c3=917a +b c = 39Rpta: DSupondr e que el lector est a sucientemente familiarizado con las operaciones matem aticas b asicas(suma +, resta , multiplicaci on y divisi on 1).Sin embargo, sedebe tener cuidado al mo-mento de realizar estas operaciones matem aticas, ya que los elementos que se consideran siempre debenestar en alg un conjunto num erico. Por ejemplo, al dividir 87 3 se obtiene 29, luego, esta operaci on espermitida en el conjunto de los n umeros enteros ZZ pues87; 3 y 29 est an en ZZ, pero al dividir87 2se obtiene 43,5, luego, esta ultima operaci on no est a permitida enZZ ya que43,5 no pertenece aZZ. Enadelante, en este compendio, emplearemos los siguientes conjuntos num ericos:Conjunto de los n umeros naturales: IN= |1; 2; 3; 4; . . . ; n; . . .Conjunto de los n umeros enteros: ZZ= |. . . ; n; . . . ; 2; 1; 0; 1; 2; . . . ; n; . . .Conjunto de los n umeros racionales: Q =_ab [ a, b ZZ b ,= 0_Conjunto de los n umeros irracionales: II = IR QConjunto de los n umeros reales: IR = Q IIConjunto de los n umeros complejos: C = |z= a + bi [ a, b IR i =1 Observe que para el conjunto Q, si hacemos b = 1 se tiene Q = ZZ esto signica que ZZ Q. Tambi en enel conjunto C, si b = 0 se tiene C = IR, de modo que IR C. En general se cumple IN ZZ Q IR C.Note adem asquelosconjuntos IIy Qsondisjuntos(estoesII Q=). Porotra parte,elproductocartesiano IRIR = IR2es isomorfo a C, esto quiere decir que IR2se comporta de la misma forma que C.La suma enINesuna operaci oncerrada, esto signica que dadosdosn umeros naturalesa ybsusuma a + b es tambi en un n umero natural, lo mismo sucede con el producto; pero la resta y la divisi onno son operaciones cerradas en IN (como por ejemplo para 4 y 5: 4 5 y 4 5 no son n umeros naturales).La suma, resta y multiplicaci on son operaciones cerradas en ZZ pero la divisi on no lo es. La suma, resta,multiplicaci on y divisi on (excepto la divisi on por cero) son operaciones cerradas en Q, IR y en C (no esnecesario que el lector conozca las operaciones en C).Por otro lado, en el conjunto de los n umeros irracionales II ninguna operaci on b asica es cerrada, yaque, por ejemplo,sia=2 +3yb=2 3,se tienea + b=4 ,II.Sia=5yb=5,setienea b =0 ,II. Sia=8yb =2, setieneab =16 =4 ,II. Sia=18yb =2, setienea b=9=3 , II (note que en cada ejemplo a yb son n umeros irracionales). Estos son solo algunosejemplos de los muchos que hay y hacen que las operaciones b asicas en II no sean cerradas.En general, para cualquier conjunto num erico que se considere, la divisi on por cero no est a denida,este hecho lo usaremos en adelante y signicar a:abexiste b ,= 0Notaciones especiales:En base a los conjuntos num ericos denidos anteriormente, consideraremoslos siguientes conjuntos num ericos especiales:IN0= IN |0= |0; 1; 2; 3; . . .ZZ+: conjunto de los n umeros enteros positivos. (Observe que ZZ+= IN)ZZ+0: conjunto de los n umeros enteros positivos incluido el cero.1La multiplicaci on tambi en se representa por un punto . o un espacio, y la divisi on tambi en se representa por/, por lo tanto ecribiremos indistintamente a b = a.b = ab y a b = a/b =ab3132ZZ : conjunto de los n umero enteros negativos.ZZ0: conjunto de los n umero enteros negativos incluido el cero.Similarmente se denen: Q+, Q+0 , Q, Q0 , IR+, IR+0 , IR y IR0 .Potenciaci on: En general, dados dos n umeros x y r pertenecientes a alg un conjunto num erico, elevarx a lar signica conseguir un n umeroP(perteneciente tambi en a alg un conjunto num erico) tal que severique la igualdad:xr= PDonde:x : recibe el nombre de base.r : recibe el nombre de exponente.P: recibe el nombre de potencia.Pero, qu e signica esta igualdad? No es tarea f acil responder a esta pregunta de un modo general,dependemucho del conjunto num erico dondeestemos trabajando, para simplicar las cosas podemosdenir (sin crear controversia) la potenciaci on de n umeros en cinco casos:1roExponente nulo: x IR |0, denimos: x0= 1 (note quex no puede ser cero, ya que00esuna cantidad indeterminada1)2doExponente natural:x IR n IN, denimos: xn= xxx. . . x..nveces3roExponente negativo: x IR |0 n IN, denimos: xn=1xn4toExponente fraccionario: Simnes una fracci onirreductible, (no confunda fracci oncon n umerofraccionario) denimos:xmn=nxmLa expresi on nxm se llama radical, n recibe el nombre de ndice y xmrecibe el nombre de radicando.Por denici on, en IR, en todo radical de ndice par se debe exigir que el radicando sea positivo. Es decir:ParEexiste enIRE IR+; es decir E 05toExponente irracional:x IR+y II, denimos: xy=lmryxrdonde r Q. Ciertamente estelmite existe yaque todo n umero irracional puedeser considerado como ellmite deuna sucesi on depuntos de n umeros racionales.Nota: Noesnecesarioqueel lectorentiendaointerprete esta ultimadenici on, laheconsideradoaquporrazonesdeformalismomatem atico solamente. Pero s esimportante queentiendaqueconestas cinco deniciones ya podemos potenciar en IR, aunque no sepamos,con certeza, c omo conseguirla potencia correspondiente a algunos n umeros reales, por ejemplo, c omo conseguir a Ud.la potenciade 23? conseguir esta potencia, por lo general, nos lleva a realizar c aculos muy complicados adem asde engorrosos que requieren conocimientos de matem atica superior, pero con ayuda de una calculadoracient ca podemos aproximar:23= 1,822634654966242.1Aqu el t ermino indeterminada signica que puede tomar cualquier valor, por ejemplo 00= 0; 00= 1; 00= ;00= 15;00=2; etc. es decir no se puede determinar, una justicaci onpara esta armaci on tiene sustento enmatem aticas superiores.33En base a las deniciones de potenciaci onexpuestas anteriormente, podemos demostrar (hasta inclu-so generalizar) las siguientes propiedades (se presupone que todos los denominadores, donde aparezcan,son diferentes de cero) inicialmente podemos asumir que m y n son n umeros naturales y que x y y sonn umeros reales, pero se pueden extender para m y n reales.Multiplicaci on de potencias de basesiguales: xmxn= xm+nDivisi on de potencias de bases iguales:xmxn= xmnPotencia de una potencia: (xm)n= xmnPotencia de un producto: (xy)m= xmymPotencia de una divisi on:_xy_m=xmymAsumiendo como ciertas estas propiedades podemos conseguir otras propiedades, tales como:(1)par= 1 ; (1)impar= 1 , luego (1)2k= 1 y (1)2k+1= 1 , k IN.(xm)n= (xn)m; [(xm)n]p= xmnp[ Nota: xmn,= (xm)n; note si embargo que 222= (22)2](xayb)n= xanybn[ Nota: (a + b)n,= an+bn, note sin embargo que (0 + 1)2= 02+ 12]_xy_n=_yx_n=ynxnen este caso tanto x como y deben ser diferentes de cero, etc.Propiedades relativas a radicales: Asumiremos que el denominador, donde aparezca, es diferentede cero y que los radicales existen en IR:nxy=nxny ;n_xy=nxny(Obs. Si x yyson n umeros negativos,Parxy existe, pero niParxniParyexistenenIR, demodoqueental casoParxy ,=ParxPary)m_nx =mnx; xny=nxnym_xn_ypz=mxmnymnpzm_xan_xbpxc=mnpx(an+b)p+c; a los ex-ponentes dex a partir de a se les aplica la regla:+ + ++ . . .m_xan_xbpxc=mnpx(anb)p+c; alos exponentes dex a partir dea se les aplica laregla: + + . . .knxkm=nxmNota: Tenga mucho cuidado en proceder con la expresi onnxn,no simpliquen en forma directa,sinesparsetendr anxn= [x[ ysinesimparsetendr anxn=x,enelprimer casoelresultadoser a siempre un n umero positivo, mientras que en el segundo caso el signo se conservar a.Por ejemplo, el siguiente razonamiento es incorrecto, puede Ud. se nalar cu al es el paso incorrecto?1 =1 =_(1)(1) =_(1)2= 1 luego 1 = 1Para el lector: como ejercicio, aplicando las deniciones y propiedades dadas hasta aqu, puede Ud.decir si es correcto o incorrecto, justicando su respuesta, el siguiente razonamiento:(8)26= (8)13=38 = 2si cree Ud. que es incorrecto cu al debera ser el procedimiento correcto?34Nota: En el conjunto de los n umeros naturales no existe un mayor elemento, pero es muy util convenirque el innito, representado por , asuma tal papel2. De modo que para cualquier n umero naturaln se verica: n< tambi en se cumplen las propiedades: n= ;n= para todon IN. Enparticular 1 = .Por ejemplo: Para x > 0 y n IN, c omo podemos averiguar el valor den_xn_xn_xnx. . . con innitosradicales? Una forma cl asica de averiguarlo es asumir que dicho valor es E, entonces:E=nxn_xn_xnx. . . =nxn_xn_xnx. . . =nxn_xn_xnx . . . =nxE. .radicales. .1 radicales. .radicalesTomandolosextremos, despejamosEyobtenemos: E=n1x . Enparticular:_5_55 . . . =5;3_73_737 . . . =7;4_34_343 . . . =33,etc. dondelos puntos suspensivosindican que hay innitosradicales.Veamos ahora algunos t opicos respecto a polinomios, expondremos algunas ideas y conceptos impor-tantes sobre ellos, todo esto en un nivel elemental pero lo sucientemente sostenible. Seguiremos conlos temas tradicionales que se hacen en matem aticas de secundaria, pero sentaremos una base te ori-ca que bien puede servir como una introducci ona temas relativamentem as avanzados sobre polinomios.Los conjuntos num ericos que en esta partre nos interesar an, son el conjunto de los n umeros racionalesQ y el de los n umeros reales IR (no obstante todas las propiedades que estudiaremos, f acilmente puedenextenderse al conjunto de los n umeros complejos). Estos conjuntos tienen una estructura especial queser a de mucha importancia en el estudio de los polinomios.Los conjuntos Q y IR son campos: Esto signica que en cada uno de estos conjuntos est an denidasdos operaciones llamadas adici on y multiplicaci on que cumplen ciertas condiciones que para el conjuntoIR especicamos a continuaci on2:A) Cerradura: La adici on y multiplicaci on son operaciones cerradas, esto signica que:A1. La adici on hace corresponder a cada par de elementos x, y IR su suma x +y IR.A2. La multipicaci on asocia a cada par de n umeros x, y IR su producto xy IR.Los axiomas a los que obedecen estas operaciones son:B) Asociatividad: Para cualesquiera a, b, c IR se cumplen:B1. a + (b + c) = (a + b) +cB2. a(bc) = (ab)cC) Conmutatividad: Para cualesquiera a, b IR se cumplen:C1. a +b= b + aC2. ab= baD) Elementos neutros: Existen 0 IRy 1 IR tales que se cumplen:2En general, para el conjunto de los n umeros reales, se deben distinguir los innitos con signo: m as innito +y menos innito de manera que para cualquier n umero real x se cumple 0 tiene dos soluciones reales diferentes.Si < 0 no tiene soluci on en IR sus dos soluciones son complejas, una conjugada de la otra.EN CUALQUIER CASO, LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACI ON DE SEGUNDO GRADO ES:x = b 2aNota: La ecuaci on cuadr atica tambi en puede resolverse factorizando por el m etodo del aspa simple.Teorema de Cardano Viette: Si r1 r2 son las races de: ax2+bx +c = 0 ; a ,= 0 ; entonces:Suma de races: r1 + r2= baProducto de races: r1r2=ca65Si r1 +r2= 0, las races se llaman SIMETRICAS.Si r1r2= 1 las races se llaman RECIPROCAS.Si:_a1x2+b1x + c1= 0a2x2+b2x + c2= 0son equivalentes, entonces:a1a2=b1b2=c1c2Pero si tienen una raz com un, entonces:(a1c2 a2c1)2= (b1c2 b2c1)(a1b2 a2b1)Si r1 r2 son las races de una ecuaci on cuadr atica, esta es equivalente a:x2(r1 + r2)x + r1r2= 0Ecuaci on c ubica: ax3+bx2+ cx +d = 0 ; a ,= 0Teorema de Cardano Viette: Si r1; r2 r3 son las races de la ecuaci on anterior , entonces:Suma de races: r1 + r2 +r3= baSuma de productos binarios: r1r2 +r2r3 + r1r3=caProducto de races: r1r2r3= daEcuaci on bicuadr atica: ax4+bx2+ c = 0 ; a ,= 0 cuya soluci on general es:x = _b b2 4ac2aPropiedades:1. Suma de re ces = 02. Si son dos de sus races tales que ,= , entonces las otras dos races son: 3. Si son dos races distintas de una ecuaci on bicuadr atica, entonces esta es equivalente a:x4 (2+ 2)x2+22= 0PROPIEDADES GENERALES DE ECUACIONES POLINOMIALES:1. TOREMADELAPARIDADDERAICES: Entoda ecuaci on polinomial degradonycon coe-cientes reales, si una raz es: a+bi, entonces otra raz es abi donde a, b Qb ,= 0i =12. COROLARIO: Si una raz del polinomio P(x) con coecientes racionales es de la forma a +b,entonces otra raz es: a b, donde a, b Qb , Q.3. TEOREMA DE CARDANO: Si la ecuaci on:anxn+an1xn1+an2xn2+ . . . + a1x +a0= 0donde an ,= 0, tiene por races a : r1; r2; r3; . . . ; rn entonces se cumplen:Suma de races: r1 +r2 + r3 +. . . +rn= an1an66Suma de productos binarios:r1r2 + r2r3+. . . + rn1rn=an2anSuma de productos ternarios:r1r2r3+r2r3r4 + . . . + rn2rn1rn= an3anSuma de productos de longitud k:

r1r2 . . . rk= (1)kankanProducto de races: r1r2r3 . . . rn= (1)n a0anFactorial de un n umero natural:n! = 1234. . .nTambi en se dene: 0! = 1Semifactorial de un n umero natural:n!! =_135. . .n ; si n es impar.246. . .n ; si n es par.NOTA: (n!)! ,= n!!PROPIEDADES:1. n!! = 2nn!2. n! = n(n 1)! = n(n 1)(n 2)! ; etc.N umero combinatorio: Es el n umero de gru-pos (no importa el orden) de k elementos cada unoque se pueden formar con un total de n elementosdiferentes:Cnk=n!k!(n k!)=n(n 1)(n 2) . . . (n k + 1)123. . .kDonde n, k IN n kPROPIEDADES DE Cnk:1. Cnn= Cn0= 1 Cn1= n2. N umeros combinatorios complementarios:Cnk= CnnkLuego: SiCnk= Cnp(k = p k +p = n)3. Suma de n umeros combinatorios:Cnk+ Cnk+1= Cn+1k+14. Degradaci on de ndices:Ambos ndices: Cnk=nkCn1k1Indice superior: Cnk=nn kCn1kIndice inferior: Cnk=n k + 1kCnk1Laexpansi ondel binomiodeNewtonesunresultadomuypotentecuandoel exponenteesunn umeroracional, perocuandoel exponentees natural la situaci on es simple, consideraremosentonces los dos casos.EXPONENTE NATURAL: Cuando n IN:(a +b)n=n

k=oCnk ankbkEn este caso, al desarrollar la sumatoria, setienen n + 1 t erminos.EXPONENTE RACIONAL: Cuando n Q:(a +b)n=n

k=o_nk_ankbkEn este caso se tienen innitos t erminos.COEFICIENTE BINOMIAL: Es el n umero:_nk_=n(n 1)(n 2)(n 3) . . . (n k + 1)123. . .kEn donde n Q ; k IN.PROPIEDAD: Si n, k IN, entonces eln umerocombinatorioy el coecientebinomialson iguales:_nk_= CnkOBSERVACION: Note que el coeciente binomi-al_nk_es m as general que el n umero combinatorioCnk.TERMINO GENERAL EN LA EXPANSI ONDEL BINOMIO DE NEWTON: El t ermino queocupa el lugar k + 1 esta dado por:tk+1=_nk_ankbk6768PROPIEDADES: Considerandoexponentesnaturales.1. Eldesarrollode(x+y)nesunpolinomiohomog eneo completo y ordenado respecto alasvariablesxyyyadem astienen+1t erminos.2. Los coecientes de los t erminos equidis-tantesdelosextremossoncombinatorioscomplementario y por lo tanto son iguales.3. Los exponentes dex disminuyen de 1 en 1y de y aumentan de 1 en 1.4. Cn0+Cn1+Cn3+ Cn4+ . . . + Cnn= 2n5. En el desarrollo deP(x; y)=(axc+ byd)nse tiene:El coecientedel t erminodel lugark + 1 es:Cnk ankbkLa suma de los grados absolutos de losn + 1 t erminos es:n(n + 1)2(c +d)6. En(x+a)n; si nespar, entoncesexisteunt erminocentraltcqueocupaellugar:_n2+ 1_tc= t(n2 +1)= Cnn2xn2 an2Todos los n umeros (representados por letras) que se consideran son n umeros reales.Principales propiedades:1. a, b IR : a < b a = b b < a2. a < b a + c < b +c3. Si a < b b < c a < c4. Si (a < b c < d) a + c < b +d5. Si (a < b c : positivo) ac < bc6. Si (a < b c : negativo) ac > bc7. Si a < b a > b8. Si a IR a2 09. a2= 0 a = 010. ab > 0 tienen el mismo signo11. Si (0 a < b 0 c < d) ac < bd12. Si 0 < a < b 1a>1b13. Si a < b < 0 1a>1b14. Si (ab> 0 a < x < b) 1a>1x>1bIntervalos:1. a x b x [a; b] Cerrado2. a < x < b x a; b) Abierto3. a < x b x a; b] Semi cerrado(abierto)4. a x < b x [a; b) Semi cerrado(abierto)5. a < x x a; +)6. x < b x ; b)69707. x IR x ; +)Los 4 primeros se llaman intevalos acotados y los 3 siguientes intervalos no acotadosPolinomio cuadr atico: P(x) = ax2+bx +c ; se dene su discriminante como: = b24ac. Luego:1. Si < 0 a > 0 ax2+bx + c > 0 ; x IR2. Si < 0 a < 0 ax2+bx + c < 0 ; x IRM as propiedades:1. Si: 0 a < x < b a2< x2< b22. Para a < 0 : a < x < b 0 x2< m ax|a2; b23. Si : 0 a < x < b a < x a (x < y x > y)5. Para a < 0 : x2> a se cumple x IR.6. Para a 0 : x2< a (a < x 0 si esto no ocurre se usa el item 7 de las principales propiedades. El smbolo : repre-senta a una de las cuatro desigualdades: ; ; > o 0 x < y2)3. Si y es negativo : x y x 04. Si y es positivo :x y (x 0 x y2)5.x 0 x 06.2na b 0 (a = 0) (a > 0 b 0)7.2na b < 0 (a > 0 b < 0)8.2n+1a b 0 ab 09.2n+1a b < 0 ab < 0Valor absoluto: LLamado tambi en longitud de un n umero real, ya que en la recta tiene la siguienteinterpretaci ongeom etrica: El valor absoluto de un n umero real es la distancia que hay entre la ubicaci onde este n umero y el origen (el cero).Denici on: [x[ =_x ; si x 0x ; si x < 0 [x y[ es la distancia que hay entre los puntos x y y.PROPIEDADES: Se considerar a x, y IR721. [x[ 0 ; [x[ = 0 x = 0 ; [x[2= [x2[ = x22.x2= [x[ ; [ x[ = [x[ ; [x y[ = [y x[3. [xy[ = [x[[y[ ;xy= [x[[y[; x [x[ x4. [x[ = [y[ x2= y2; [x[ = m ax|x; x5. Desigualdad triangular: [x + y[ [x[ +[y[6. [x +y[ = [x[ +[y[ xy 07. [x +y[ < [x[ +[y[ xy < 08. m ax|a; b =a + b +[a b[29. mn|a; b=a +b [a b[210. [[x[ [y[[ [x y[11. [x[ = a (a 0) (x = a x = a)12. [x[ > a (x > a x < a)13. [x[ < a (a > 0 a < x < a)14. Si a < x < b [x[ < m ax|[a[; [b[15. [x x0[ x [x0 ; x0 +]RELACI ON: R es una relaci on del conjunto A en el conjunto B R AB.Notaci on: Si R es una relaci on de A en B se escribe:R : A Ba by se dice que el elemento a Aest a relacionado con el elemento b B, esto se escribe: R(a) = b aRbLuego: R = |(a; b)[a A b B b = R(a)Nota: A la expresi on: R(a) se le suele llamar regla de correspondencia. Y al valor b = R(a) se le llamaim agen de a A.Dominio de una relaci on: Es el conjunto:Dom(R) = |a A[(a; b) R ARango de una relaci on: Es el conjunto:Ran(R) = |b B[(a; b) R BRelaci on binaria: R es una relaci on binaria, si A = B.Relaci on inversa: Sea R : A B una relaci on, la relaci on inversa de R es:R1= |(y; x)[(x; y) RObserve que: R1: B APropiedad:Dom(R1) = Ran(R)Ran(R1) = Dom(R)Tipos: Una relaci on binaria R : A A es:1. REFLEXIVA: (a; a) Ra A2. SIMETRICA: (a; b) R implica que (b; a) R3. TRANSITIVA: (a; b) R (b; c) R (a; c) R4. DE EQUIVALENCIA: Si es reexiva, sim etrica y transitiva al mismo tiempo.FUNCION: Una funci on f:A Bes una relaci on tal que todo punto de partida enA no puedetener dos im agenes (debe tener una unica im agen), esto es:Si (a; b) f (a; c) f b = cen otras palabras: Si f(a) = b f(a) = c b = cFunci on real de variable real: En general se les representa por: f: IR IR7374Dominio de una funci on: Es el conjunto:Dom(f) = |x IR[f(x) est e bien denida[Nota: Este conjunto tambi en es conocido como dominio maximal]Cuandolafunci onfhayasidodenidaentodounconjuntoA, esdecir: f: A IR entoncesDom(f) = ARango de una funci on: Es el conjunto:Ran(f) = |y IR[y= f(x) ; x Dom(f)[Note que el rango se consigue siempre que se conozca al dominio.]Gr aca de una funci on: Es el conjunto:Graf(f) = |(x; y)[y= f(x) x Dom(f)[Observe que : Graf(f) IR2]Tipos de funciones:[1.] Funci on inyectiva (o univalente o uno a uno): Son aquellas que cumplen la propiedadSi f(x1) = f(x2) x1= x2; x1, x2 Dom(f)[2.] Funci on sobreyectiva (o suryectiva): Una funci on f: A B es sobreyectiva si y solo si:y B, x A = Dom(f) [ f(x) = y[3.] Funci on biyectiva: Una funci on es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.Algebra de funciones:1. Igualdad de funciones: f= g _Dom(f) = Dom(g) f(x) = g(x) ; x Dom(f)2. Suma de funciones: f+ g=_Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g) (f+ g)(x) = f(x) +g(x)3. Resta de funciones: f g=_Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) (f g)(x) = f(x) g(x)4. Multiplicaci on de funciones: f.g=_Dom(f.g) = Dom(f) Dom(g) (f.g)(x) = f(x).g(x)5. Divisi on de funciones:fg=___Dom_fg_= Dom(f) Dom(g) g(x) ,= 0 _fg_(x) =f(x)g(x)6. Composici on de funciones: Sean f: A Bg: B

CA = Dom(f)B= Ran(f)B

= Dom(g)C= Ran(g)75La funci on compuesta por fy g se denota y dene por:g f=_Dom(g f) = |x A[f(x) B

(g f)(x) = g(f(x))Note que g f: A C. Luego:Dom(g f) A Ran(g f) CNota: Para hallar g f, lo primero que se debe comprobar es: B B

,= (parte sombreada de azul),en caso de que sea igual al vaco, se concluir a que g fno existe.Propiedad: f (g h) = (f g) h [Asociatividad]No se verica la conmutatividad, es decir: f g ,= g f7. INVERSA DE UNA FUNCI ON: Sea f= |(x; f(x))[x Dom(f) una funci on biyectiva: f1= |(f(x); x)[x Dom(f)Propiedad:Dom(f1) = Ran(f)Ran(f1) = Dom(f)SUGERENCIA: Para hallar f1considere:PRIMERO: De y= f(x) despeje x de donde autom aticamente se obtendr a: x = f1(y)SEGUNDO: Cambie x por y, asi se consigue: y= f1(x) que es la regla de correspondencia buscada.Propiedades: Sea f(x) una funci on biyectiva:[1.] (f1)1= f ; (f g)1= g1 f1[2.] f f1= f1 f= I. Donde I es la funci on identidad denida por: I(x) = x. Luego:(f f1)(x) = (f1 f)(x) = xFunci on m aximo entero: Se denota y dene por:[[x]] = n n x < n + 1donde n es un n umero entero. El m aximo entero de x el el mayor n umero entero que no supera a x.Propiedades:1. [[x]] x < [[x]] + 1 ; [[x + n]] = [[x]] + n n ZZ2. Si n ZZ ___[[x]] > n x n + 1[[x]] < n x < n[[x]] n x < n + 1[[x]] n x n763. [[x +y]] =_[[x]] + [[y]] [[x]] + [[y]] + 14. [[x]] =_[[x]] ; si x ZZ[[x]] 1 ; si x , ZZ5. [[1 x]] = 1 + [[x]] ; [[2x]] = [[x]] +__x +126. [[3x]] = [[x]] +__x +13+__x +237. Si [[x]] [[y]] = 1 0 < x y< 2Denici on:logbx = y x = by; x, b IR+ b ,= 1Nota: logbx se lee logaritmo en base b de x. b es la base; x es el argumento y y es el logaritmo.Propiedades elementales: Supondremos que en cada caso la base y el argumento satisfacen lascondiciones de la denici on.1. logbbx= x ; logb 1 = 0 ; logbb= 12. xlogby= ylogbx; blogbx= x3. logb(xy) = logbx + logbylogb_xy_= logbx logby4. logbxn= n logbx ; logbm x =1m logb x5. En general : logbm xn=nmlogbx6. logbx = logbn xn; logbx = logbx7.Cambio de baseBase antigua: bBase nueva: a___logbx =loga xlogab8. logbx =1logx bde donde : (logbx)(logx b) = 19. (logab)(logbc)(logcd) = logad (Regla de la cadena)Sistema de Logaritmos Decimales: LLamados tambi en vulgares o de Briggs. Son logaritmosde base 10.Notaci on : log10 x = log 10Se lee logaritmo decimal de x o por brevedad logaritmo de x. Las 9 propiedades anteriores tambi ense pueden aplicar aqu, las de uso frecuente son:log 10x= x 10log x= x log 1 = 0 log 10 = 1Si: log x = abc, defg entonces denimos la:Caracter stica: Parte entera de log x, para el ejemplo: caracter stica de x = abc.7778Mantisa: Parte decimal de log x, para el ejemplo: mantisa de x = defg.Propiedad:(# de cifras de x) = (caracterstica de x) + 1Sistema de Logaritmos Naturales: LLamados tambi en Neperianos o Hiperb olicos. Son logarit-mos de base e (e es un n umero irracional atribuido a Euler cuyo valor con sus 15 primeras cifrasdecimales es e = 2, 718281828459045 . . .).Notaci on : logex = lnxSe lee Logaritmo natural dex. Las 9 propiedades anteriores tambi en son aplicables, las deuso fre-cuente son:lne = 1; ln1 = 0; lnex= x; elnx= xNota: e =

k=01k!= 1 +11!+12!+13!+14!+. . .Antilogaritmo:antilogbx = bx; b > 0 ; b ,= 1 ; x IRPropiedad: antilogb(logbx) = logb(antilogbx) = xCologaritmo: cologbx = logb_1x_= logbx[Para el cologaritmo, hay propiedades an alogas a las 9 propiedades anteriores. No son necesarias yaque un cologaritmo es en realidad un logaritmo.]Nota : lognbx = (logb x)n,= logbxnEcuaci on Logar tmica: La ecuaci on:logb(x) f(x) = logb(x)g(x)es quivalente a resolver:f(x) > 0 g(x) > 0 b(x) > 0 b(x) ,= 1 f(x) = g(x)OBSERVACION (H):asta ahora sabemos c omo proceder en ar cuandor Q ya IR pero c omoproceder en el caso en quer II?, la siguiente denici on (esto solo es un formalismo matem atico) re-sponde a esta pregunta:ax= lmr xr Qar; a> 0 x IIcon esta denici on junto con las deniciones iniciales de potenciaci on ya podemoscalcular axcuandoa > 0 y x IR.Algunas propiedades importantes:Teorema 1: Si a > 0 !y IR / y= ax; x IRTeorema 2: Si a > 0 ax> 0 ; x IR79FUNCION EXPONENCIAL: seg un estos teoremas podemos denir la funci on exponencial de basea > 0 como:f: IR IR+/ f(x) = axexcluiremos el caso a= 1 ya que se tendr a la funci on constante f(x) = 1 tenemos dos casos para labase a:Caso 1: Si a > 1, la funci on es creciente, esto es:Si x1< x2 ax1< ax2osea: f(x1) < f(x2)Caso 2: Si 0 < a < 1, la funci on es decreciente, esto es:Si x1< x2 ax1> ax2osea: f(x1) > f(x2)Obs ervese que en ambos casos el gr aco de la funci on pasa por el punto (0; 1) y que no corta al eje X,esto es, f(x) es siempre positivo. Note adem as que:Dom(f) = IR Ran(f) = IR+FUNCI ON LOGARITMO: Se dene como:f: IR+ IR / f(x) = logax De acuerdo a la denici on de logaritmo, respecto a la base a, tenemos dos casos:Caso 1: Si a > 1, la funci on es creciente, esto es:Si x1< x2 loga x1< loga x2 osea: f(x1) < f(x2)Caso 2: Si 0 < a < 1, la funci on es decreciente, esto es:Si x1< x2 loga x1> loga x2 osea: f(x1) > f(x2)80Obs ervese que en ambos casos el gr aco de la funci on pasa por el punto (1; 0) y que no corta al eje Y .Note adem as que:Dom(f) = IR+ Ran(f) = IRTenga en consideraci on los casos particulares:f(x) = exy f(x) = lnxInecuaci on logar tmica: La inecuaci on:logb(x) f(x) > logb(x)g(x)es quivalente a resolver:f(x) > 0 g(x) > 0 b(x) > 1 f(x) > g(x)f(x) > 0 g(x) > 0 0 < b(x) < 1 f(x) < g(x)Atte: L.A.M.S.MATEMTICAIITICONA PARISACA JESS ROBERTONINA AROHUATA ELOYMACHACA HUANCOLLO WILSON1ngulos, Tringulos,Longitud de Arco ySector CircularCaptulo1.1.Angulo geom etricoEs aquella gura geom etrica formada pordos rayos que tienen el mismo orgen cuya me-didaestadadaenel sistemasexagesimal ysiempre es mayor que cero. A un angulo gene-ralmente se le denota por: = mAOB.ABOm 0Por tanto: tan =2 1Ejemplo. Calcule tan x en:_sen(x +y) = cos 10osec(x y) = csc 50oSoluci on.Por razones trigonom etricas de anguloscomplementarios el sistema planteado es equi-valente a:_(x +y) + 10o= 90o(x y) + 50o= 90o_x +y= 80ox y= 40oResolviendo se obtiene: x = 60oy= 20oLuego, tan x = tan 60o=390Compendio AcadmicoCentro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoMATEMTICA II091Ejemplo. Hallar : Sitan2(32) + 2 sec 45o= 2 cos 30o tan 60oSoluci on.tan2(32) + 22 = 2(32)(3)tan2(32) = 3 22tan(32) =3 22=(2 + 1) 22 1tan(32) =2 1 =2 1tan(32) = tan(45o2)Comparando: = 15oPol gonos.Eslagurageom etricaqueseformaalunir tres o m as puntos no colineales mediantesegmentos de recta, de tal manera que limitenuna sola regi on a la cual se le denomina regi oninterior.Elementos.1. V ertices: A, B, C, 2. Lados: AB, BC, 3.Angulos internos: A, B, 4.Angulos externos: , , 5. Diagonal: AC, AD, 6. Diagonal media: MNLos polgonos pueden ser convexos o c onca-vos.Pol gonos Convexos.Sonaquellostalesqueparatodopardepuntos contenidos en la regi on interior, el seg-mento que determinan est a contenido ntegra-mente en esa regi on.Pol gonos C oncavos.Sonaquellos dondees posibleencontrardospuntosensuregi oninteriortalesqueelsegmento que determinan posee, al menos, unpunto en la regi on exterior.Clasicaci on de los Pol gonos.Los polgonos se clasican en:De Acuerdo al N umero de sus Lados.N umero de lados Nombre del Polgono3 Tri angulo4 Cuadril atero5 Pent agono6 Hex agono7 Hept agono8 Oct agono9 Non agono10 Dec agono11 Undec agono12 Dodec agono15 Pentadec agono20 Icos agono91Captulo2Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoRazones Trigonomtricas, Polgonos y CuadrilterosDe Acuerdo a la Congruencia de susElementos.POLIGONO EQUILATERO. Esaquel cuyoslados son todos congruentes.POLIGONO EQUIANGULO. Esaquelcuyos angulos internos, son todos congruentes, es de-cir tienen la misma medida.POLIGONO REGULAR. Es aquel que esequil atero y equi angulo a la vez.POLIGONONO REGULAR. Es aquel que nocumple las condiciones del polgono regular.PropiedadesGeneralesdeunPol gono Convexo.1. En todo polgono, el n umero de lados esigual al n umero de v ertices y por tanto,igual al n umero de angulos interiores.2. En todo polgono, el n umero de diagona-les (#d) trazadas desde un v ertice estadado por:#d = n 33. El n umerototal dediagonales quesepueden trazar en un polgono de n ladoses:#D=n(n 3)24. La suma de las medidas de los angulosinteriores de un polgono de n lados es:S= 180(n 2)5. La suma de las medidas de los angulosexteriores de un polgono cualquiera esconstante:S e= 360oPropiedades delos Pol gonosRegulares.1. Enunpolgonoregular, el angulocen-tral esaquel cuyov erticeesel centrodel polgono y cuyos lados, pasan por dosv ertices consecutivos. Cuya medida es:c =360on2. Cada angulo interior de un polgono re-gular de n lados mide: =180(n 2)n3. Cada angulo exterior de un polgono re-gular de n lados mide: e =360on4. N umero total de diagonales medias:Dm=n(n 1)25. Diagonales trazadas desde v v erticesconsecutivos:Dv= nv (v + 1)(v + 2)2Ejemplo. En qu e polgono se cumple quesun umerototal dediagonalesesigual asun umero de lados.Dato: #D= nn(n 3)2= nn(n 3) = 2nn 3 = 2n = 5Por tanto: Pentagono.Ejemplo. Si el n umerodelados deunpolgono se aumenta en 3; el n umero de diago-nales aumenta en 15. Cu al es el plgono?.Soluci on. #D=n(n 3)2 (1)Por condicion:#D + 15 =(n + 3)(n + 3 3)2 (2)Sustituyendo (1) en (2).n(n 3)2+ 15 =(n + 3)n2n23n + 30 = n2+ 3n30 = 6nn = 5por tanto: Pent agono92Compendio AcadmicoCentro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoMATEMTICA II093Ejemplo. Si la medida de un angulo inte-rior y exterior, de un polgono regular est an enrelaci on de 7 a 2. Hallar el n umero de diago-nales que tiene el polgono.Soluci on. Sea n el n umero de lados delpolgonoregular, ylamedidadel angu-lo interior y exterior respectivamente.Por condici on del problema:=72 (1)Pero: =180o(n 2)ny =360onReemplazando en (1), se obtiene:n 22=72n = 9Luego, el n umero de diagonales ser a:#D=9(9 3)2= 27Ejemplo. Se tiene un polgono equi angu-lo ABCDE . . . en el cual AB//DE. Calcular eln umero de diagonales de dicho polgono.Soluci on.Como el polgono es equi angulo, entonces todossus angulos exteriores tienen la misma medi-da.Por condici on; AB//DE, entonces por angulos entre paralelas:180o = +3 = 180o = 60oLuego, sabemos que: = =180(n 2)n (1)Pero = 180o = 180o600= 120oReemplazando en (1) se tiene:120on = 180o(n 2)2n = 3n 6n = 6En cosecuencia el n umero de diagonales es:#D=6(6 3)2= 9 diagonalesCuadril ateros.Denici on.Es el polgono que tiene cuatro lados y pue-den ser convexos y no convexos.I.CUADRILATERO CONVEXO.Diagonales: AC y BDII.CUADRILATERO NO CONVEXO.Diagonales: AC y BDPropiedades Generales.En todos los cuadril ateros:1. Los angulos interiores suman 360o2. Los angulos exteriores suman 360o93Captulo2Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoRazones Trigonomtricas, Polgonos y CuadrilterosClasicaci on.Loscuadril aterossepuedenclasicar,te-niendo en cuenta el paralelismo existente en-tre sus lados, en: paralel ogramos, trapecios ytrapezoides.I. PARALEL OGRAMOS.Son cuadril ateros que tienen dos pares delados opuestos paralelos y congruentes respec-tivamente. Entre ellos est an: el cuadrado, elrect angulo, el rombo y el romboide.a) Cuadrado. Es aquel paralelogramo quetiene sus cuatro angulos interiores rec-tos y sus cuatro lados congruentes.b) Rect angulo. Es aquel paralel ogramocuyos angulos interiores son rectos y suslados adyacentes distintos.c) Rombo. Es aquel paralel ogramo quetiene sus cuatro lados congruentes peroninguno de sus angulos interiores es rec-to.d) Romboide. Es aquel paralel ogramo quetienedosladosadyacentesdistintosyninguno de sus angulos interiores es rec-to.Propiedades en los Paralelogramos.1. Los lados y angulos opuestos de todoparalelogramo son respectivamente con-gruentes.2. Entodoparalelogramo,lasmedidasdedos angulos consecutivos suman 180o.3. Las diagonales de todo paralelogramo seintersectan en su punto medio.4. Las diagonales del rombo son perpendi-culares y bisectrices.5. Lasdiagonalesdelrect angulosoncon-gruentes.II. TRAPECIOS.Sonaquelloscuadril aterosquetienenunsolo par de lados paralelos, llamados bases.Elementos. BH: Altura MN: Mediana BC//AD//MN BC: Base menor AD: Base mayorLos trapecios se pueden clasicar en: esca-lenos, is osceles y rect angulos.a) Trapecio Escaleno. Es aquel trapecioen el que su par de lados opuestos no pa-ralelos tienen diferente longitud.AB = CDb) Trapecio Rect angulo. Es aquel trape-cio, en el que un lado no paralelo es sualtura.c) Trapecio Is osceles. Es aquel trapecio,en el que su par de lados opuestos no pa-ralelos tienen igual longitud.94Compendio AcadmicoCentro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoMATEMTICA II095AB= CDmA = mB= Propiedades en el Trapecio.1. Con la base media: MN//BC//ADMN=a +b22. Con el segmento que une los puntos me-dios de sus diagonales.MN//BC//ADSi AM= MC y BN= ND, entonces:MN=b c23. Si BM= MD, entonces:x =b c2III. TRAPEZOIDES.Son aquellos cuadril ateros que no tiene la-dos paralelos, a su vez se clasican en:1. Trapezoide Sim etrico.Siunadesusdiagonales biseca perpendicularmente ala otra.2. TrapezoideAsim etrico. Untrapezoi-de cualquiera, es decir no tiene ningunacaracteristica especial.Ejemplo. ABCDes uncuadril ateronoconvexo, siendo Del angulo entrante. Si:mC mA=32o; hallar la medida del me-nor anguloformadoporlasbisectricesdelos angulos B y D.Soluci on.Dato: mC mA = 32oPor calcular: xEn el cuadril atero no convexo ABED:mA+ +x = (1)En el cuadril atero ABCD:mA+ 2 +mC= 2 (2)Sustituyendo (1) en (2):mA+ 2 +mC= 2(mA+ +x)Efectuando x =mC mA2(propiedad)De donde:x =32o2= 16o95Captulo2Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoRazones Trigonomtricas, Polgonos y CuadrilterosEjemplo. En la guraABCD, rect angu-lo. EOACyAO=OC=OE.Hallarelvalor de x.Soluci on.Al trazar BD tenemos:AO= OC= BO= OD= OEEn el OBE: is oscelesx +x + 48o= 180ox = 66oEjemplo. En el trapecio is osceles ABCD,la base menorABes igual a los lados no pa-ralelos AD y BC. Si las diagonales forman un angulo de 56o, hallar la medida del angulo A.Soluci on. En el APB:2x = 56ox = 28oEn el DAB:3x +y= 180oy= 180o3xy= 180o3(28o)y= 96oLuego:mA = x +y= 28o+ 96omA = 124oEjemplo. En el trapezoide ABCD, ladiagonal BDesperpendicularal ladoAByAB=BC=BD. Hallar la medida del anguloACD.Soluci on. Comoel DBCesis osceles, en-tonces:mBDC= mBCD= x +Adem as, como el ABD es is osceles entonces:mBAD= mBDA = 45oEn el ACD:mCAD +mACD +mADC= 180o45o +x + 45o+ +x = 180omACD= x = 45oEjemplo. En la gura mostrada. Si AB=20m, MB=5m,BC=6m y mA=45o. Ha-llar: MN.96Compendio AcadmicoCentro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoMATEMTICA II097Soluci on.Se trazaDE perpendicular aAB, entonces eltri angulo rect anguloAEDes is oscelesAE=ED=10m. Luegoeneltrapeciorect anguloEBCD:MN=BC +ED2MN: mediana del trapecio propiedad.Luego, reemplazando datos:MN=6 + 102= 8m97Captulo2Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoRazones Trigonomtricas, Polgonos y Cuadrilteros983Razones Trigonomtricas en elPlano Cartesiano e IdentidadesTrigonomtricas.Captulo3.1. Razones trigonom etricas en el Plano Cartesiano3.1.1 Sistema de coordenadas rectangularesEl sistema de coordenadas rectangulares esta formado por la intersecci on de dos rectas num eri-cas (en el origen), formando un angulo de 90.A dichas rectas se les denomina ejes coordenados y en forma especial se les nombra y repre-senta de la siguiente manera:XOI C II CIII C IV CY1 2 3 423411 2 3 41234Eje de abscisas osimplemente eje XEje de ordenadas osimplemente eje YObservaciones.1. Al punto de intersecci on de estas rectas se le representa por la letra O y se le denomina origendel sistema.2. En el eje de abscisas, a la derecha de O, son los n umeros positivos y a la izquierda los n umerosnegativos.3. En el eje de ordenadas, arriba del origen son los n umeros positivos y debajo los n umeros sonnegativos.A la distancia de un punto del plano al origen de coordenadasse le denomina radio vector (R) y su relaci on con las coordena-das del punto est a determinado por la f ormula de Pit agoras.R =a2+b2YXO aRbP(a,b)Por ejemplo, si las coordenadas de un punto A son (3, 4), entonces su radio vector es:R =(3)2+ (4)2 R =9 + 16 =25 = 5Captulo3Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoRazones trigonomtricas en el Plano Cartesiano e Identidades Trigonomtricas3.1.2.Angulos en posici on normalSabemosquetodo angulotrigonom etricotiene3ele-mentos: lado inicial, v ertice y lado nal.Cuando el lado inicial de un angulo pertenece alsemieje positivo de abscisas OXy su v ertice coincidecon el origen del plano cartesiano, entonces se dice quedicho anguloest aenposici onnormal oposici onest andar o can onica, en la gura el angulo est a enposici onnormal (com unmente se dice que es un angulo en posici on normal).Ejemplo. En las siguientes guras que se indi-can, determinar qu e angulos est an en posici on normaly Porqu e?YXOqYO(A)XYO(B)XYO(C)XYO(D)XYO(E)Xqabwf* En la guraA, no est a en posici on normal, porque su v ertice no coincide con el origen decoordenadas.* En la gura B, si est a en posici on normal, s olo que es angulo negativo* En las guras C y D, y no est an en posici on normal, porque su lado inicial no es el semiejeOX positivo.* En la gura E, s est a en posici on normal.3.1.3.Angulos cuadrantalesSe denomina de esta manera a aquellos angulos en posici on normal cuyo lado nal coincide conalg un semieje del sistema de coordenadas rectangulares.En las guras(1) que se muestran a continuaci on se tienen algunos angulos cuadrantales.Como se puede observar todo angulo cuadrantal es de la forma: = 90k, k ZZ100Compendio AcadmicoCentro Preuniversitario de la Universidad Nacional del Altiplano - PunoMATEMTICA IIYXO0YXO90YXO180YXO270YXO-90Figura 1:Los principales angulos cuadrantales son:0o= 0 rad; 90o=2rad; 180o= rad; 270o=32rad; 360o= 2radPara determinar si un angulo es cuadrantal se le divide entre90 o2rad. Si el resultado es unn umero entero, signica que dicho angulo es cuadrantal.Ejemplos. Determinar si los angulos , y son cuadrantales.A) = 1080 YO1080X9012 --Si