COMPARACIN DE DESPLAZAMIENTOS ENTRE MODELOS FEM Y MODELOS ANALTICOS DE VIGAS

Oswaldo Jos parada Cuadros

oparada@eafit.edu.co Universidad Eafit

Medelln-Colombia

1. Introduccin Para entender los conceptos bsicos de mecnica de slidos se utiliza uno de los ejemplos ms representativos en la materia, el cual consiste en un sistema de viga empotrada con fuerzas aplicadas en un extremo. En estos tipos de planteamientos es demasiado complejo estudiar el problema solo con la esttica, por lo que se involucran los conceptos de esfuerzo y deformacin. SolidWorks permite entonces realizar clculos de desplazamientos y esfuerzos para los tipos de vigas descritos en este texto. Al tener un problema y resolverlo simultneamente con FEM y de la forma tradicional (analticamente) surge la pregunta: Qu cercanos son los resultados arrojados por la computadora en comparacin a los procedimientos basados en la literatura? 2. Mtodos y materiales La pieza de estudio en este caso ser una viga de 1 m de longitud, 0.2m de altura y 0.08 de ancho. Para esta misma geometra se harn 2 estudios, que concentraran la fuerza en posiciones y direcciones diferentes pero con una magnitud igual de 100KN, en la figura 1 muestra la configuracin del problema.

Figura 1. Configuracin de las fuerzas para cada caso del estudio.

Al tener modelada la pieza con la geometra descrita anteriormente, se procede al anlisis por FEM de la siguiente manera ambos casos:

I. Crear un nuevo estudio para Anlisis Esttico.

II. Definir material (Acero A36)

III. Definir la geometra fija (la cara de un extremo de la viga)

IV. Definir direccin, magnitud y sentido de las fuerza(para el caso 1 se toma la configuracin de la imagen izquierda de la figura 1 y para el caso 2, la imagen de la derecha de la misma figura)

V. Crear Mallado y Ejecutar. VI. Obtener los resultados para esfuerzos

principales y deformaciones principales Para obtener los resultados tericos con los cuales se van a comparar con los obtenidos con FEM, se procede as:

I. Caso I (fuerza vertical): El esfuerzo mximo se puede calcular por medio de la ecuacin 6-12 [1] debido a que en este caso el esfuerzo es debido puramente a la flexin que hace la fuerza. Se procede con el uso de la ecuacin de la deflexin mxima para vigas en voladizo con una fuerza vertical en el extremo [2]

II. Caso II (fuerza axial): El esfuerzo principal se puede calcular simplemente por medio de la ecuacin 1-6 [3], debido a que en este caso los ejes principales coinciden con los ejes asignados(X, Y, Z). Lo dicho anteriormente se puede confirmar utilizando la ecuacin de los esfuerzos principales en el plano (9-5) [4].Luego se procede con el uso de la ecuacin de la deformacin de un elemento cargado axialmente (4-2) [5].

3. Resultados

En la figura 2 y en la figura 3 se muestra los esfuerzos y las deformaciones para el caso I y el caso II respectivamente:

Figura 2. Esfuerzos y desplazamientos para el caso 1

Figura 3. Esfuerzos y desplazamientos para el caso 2

En la tabla 1 se presenta los valores obtenidos analticamente para ambos casos:

Esfuerzo Principal [MPa]

Deformacin principal [m]

Caso I 187.5 3.1E-3 Caso II 6.25 3.1250E-5 Tabla 1. Esfuerzos y deformaciones calculados de la forma tradicional.

Para confirmar que el estudio si fue bien realizado se presenta la tabla 2 la cual contiene los valores de las reacciones para ambos casos de estudio:

RX [KN] RY [KN] RZ [KN]

Caso I 0.0221 100 2.23E-3 Caso II 6.12E-4 4.45E- -100 Tabla 2. Reacciones obtenidas a partir de FEM.

4. Discusin El anlisis de los resultados empieza por la tabla 3, que muestra el error porcentual entre la pieza analizada con FEM (valor experimental) y analizada analticamente (valor terico), los trminos usados para el clculo de estos errores fueron los que se encuentran en la tabla 1, y en las figuras 1 y 2

Error Esfuerzos

[%]

Error Desplazamientos

[%]

Caso I 94.88 3.16 Caso II 0.0208 0.288

Tabla 3. Errores porcentuales. Sirven para comparar resultados.

Como se observa, el caso II indica una variacin menor al 1% al comparar el valor terico en contra del experimental, esto indica que el anlisis hecho por computadora para vigas cargadas axialmente ofrece una cercana ptima para confa en los resultados. Por otro lado, el caso I presenta una gran diferencia para los esfuerzos tericos y los experimentales. Este error se atribuye principalmente a que quizs el esfuerzo experimental que se tomo fue registrado en un punto donde los esfuerzos no eran estables (lo contrario al principio de Saint-Venant). Es decir que, posiblemente el anlisis con FEM si es coherente con el estudio analtico, solo que los esfuerzos en FEM son muy afectados por el principio de Saint-Venant.

5. Conclusiones

A partir de la discusin, se concluye que el principio de Saint-Venant, es relevante al momento de tomar resultados en FEM, ya que los esfuerzos pueden cambiar radicalmente entre puntos consecutivos de la pieza (no hay equilibrio). A pesar de lo dicho en el prrafo anterior y en apoyo con los resultados descritos en la tabla 3, se puede concluir que los resultados obtenidos con FEM y analticamente son cercanos (errores menores al 5%), es decir que FEM es una herramienta muy poderosa pero sobretodo confiable para el estudio esttico y mecnico de piezas.

6. Referencias

[1][2][3][4][5] R.C. Hibbeler, Mecnica de Materiales 8va Edicin, 2010, Prentice-Hall, Colombia, pg. 287, 809, 25, 446,123.