Comparación de modelos de regresión lineal de frutos … · 2 Universidad de La Frontera, Chile....
Transcript of Comparación de modelos de regresión lineal de frutos … · 2 Universidad de La Frontera, Chile....
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Comparación de modelos de regresión lineal de frutos y yemas florales
de arándano alto cultivados en Chile considerando la
heterocedasticidad*
Sonia Salvo1, Julio Ávila
2, Carlos Muñoz
3
1 Universidad de La Frontera, Chile. [email protected]
2 Universidad de La Frontera, Chile. [email protected]
3 Universidad de La Frontera, Chile. [email protected]
Resumen
La logística de la producción de arándanos requiere contar con predicciones realizadas con
meses de anticipación del rendimiento potencial que se obtendrá en la cosecha. Una forma de
estimar este rendimiento es prediciendo la cantidad de frutos a cosechar, dependiendo de la
cantidad de yemas florales disponibles. Esta relación es altamente lineal, sin embargo a
medida que la cantidad de yemas aumenta el error de predicción en los frutos también
aumenta. Este efecto se conoce como heterocedasticidad y afecta la predicción. Para controlar
este efecto, fueron comparados tres modelos: de varianza contante, varianza no constante y
transformación de variables con varianza constante. El modelo de variables transformadas se
ajusta bien a los datos, pero no cumple los supuestos teóricos del error. Otro aspecto relevante
es que el modelo de varianza no constante disminuye la varianza residual en orden del 90% y
cumple todos los supuestos teóricos del error.
Palabras clave: Arándano, Vaccinium Corymbosum L., yema floral, frutos,
heterocedasticidad, modelo de varianza.
1 Introducción
Durante el 2011 fueron exportadas alrededor de 73 mil toneladas de frutos a los mercados
Norteamericano y Europeo (ODEPA, 2012). Para manejar adecuadamente la logística en este
nivel de producción se requiere contar predicciones realizadas con meses de anticipación del
* Trabajo sometido a la revista Scientia Horticulturae en agosto 2012.
Presentación en X CLATSE formato poster.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
rendimiento potencial que se obtendrá en la cosecha. Tradicionalmente, el rendimiento del
arándano es estimado a partir del conteo de yemas florales (en adelante yemas) realizado
después de la poda. La relación entre frutos y yemas es altamente lineal (r entre 0.97 y 0.78) y
su ajuste es mejorado cuando se considera la variedad y/o la variedad-edad de la planta (Salvo
et al., 2011). Al incorporar otras variables en la estimación de frutos, el ajuste de los modelos
mejora, pero la cantidad de yemas sigue siendo la variable con mayor poder explicativo
(Salvo et al., 2012). Uno de los hallazgos al modelar la relación de frutos y yemas fue que a
medida que la cantidad de yemas aumenta el error de predicción también aumenta. Esto indica
la que la varianza en el error de predicción no es constante, atributo que se denomina
heterocedasticidad. Una heterocedasticidad alta afecta negativamente a las predicciones dado
que normalmente para realizarlas se usan métodos lineales de estimación de parámetros que
asumen el supuesto de que la varianza del error es constante.
Una vía para controlar la heterocedasticidad es el uso de transformaciones logarítmicas. Este
enfoque ha sido utilizado en modelos de predicción de biomasa y materia seca en bosques
sub-tropicales (Brandeis et al., 2006) y en determinar el efecto de curculiónidos sobre el
crecimiento y rendimiento de la frambuesa (Clark et al., 2012).
Otra forma de obtener un resultado similar es modificando el supuesto de varianza constante
del error, para lo cual se asume que Var(ε)=σ2V, siendo V matriz de varianza-covarianza (VC)
definida positiva. (Seber and Lee, 2003).Con la parametrización de la matriz de VC es posible
determinar las componentes de varianza de factores aleatorios planteados en el Modelos
Mixtos Generalizados. Aplicaciones de este enfoque fueron publicados en ecología (Batáry et
al., 2012), crecimiento y altura del eucalipto (Calegario et al., 2005), la calidad de la madera
(Kantavichai et al., 2010), descomposición del mango (De Ketelaere et al., 2006) and modelos
de biomasa del maíz (Paulo and Tomé, 2010).
En modelos de regresión la parametrización de la matriz VC es modelada utilizando funciones
de varianza para estimar la varianza del error. La función más empleada es 2 2y y la
estimación de los parámetros es realizado con método de mínimos cuadrados generalizados.
Este enfoque ha sido utilizado para modelar el crecimiento de la pícea roja (Picea Rubens
Sarg.), el abeto balsámico (Abies balsamea L. Mill.)(Fortin et al., 2007), el pino radiata
(Pinus radiata D. Don) (Castedo Dorado et al., 2006) y el abeto de Douglas (Weiskittel et al.,
2007). En estos modelos la función de varianza mejora las predicciones.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
El objetivo de este trabajo es ajustar modelos de regresión lineal para predecir la cantidad de
frutos por planta basado en la cantidad de yemas florales con varianza constante,
incorporando una función de varianza y variables transformadas.
2 Metodología
2.1 Sitio de estudio
Fueron visitados 14 huertos comerciales convencionales de arandano localizados entre la
región Metropolitana y La Araucanía (Cubriendo un área geográfica de alrededor de 700 por
100 Km). El clima de la región metropolitana es templado cálido con lluvias invernales y la
región de La Araucanía es templado lluvioso con influencia mediterránea.
Cinco cultivares son los apropiados al clima de la región. El marco de plantación usado en los
huertos varía entre 0.6 y 3m para dos sucesivas filas y entre 0.5 y 1.1m para dos sucesivas
plantas. La recolección de frutos comienza en el norte el mes de noviembre y termina en el
sur en el mes de febrero del año siguiente.
2.2 Plantas seleccionadas
El número de palntas seleccionadas fue elegido por un muestreo aleatorio estratificado
proporcional, el cual los estratos considerados fueron el número de plantas por huerto y
proporcional a la variedad de las plantas. El muestro consideró un nivel de confianza del 95%,
error de muestreo 5% y máxima varianza de 0.25. Las plantas fueron observadas durante las
temporadas 2009 a 2011. La edad de las plantas varía entre 3 a 9 años. Un total de 912 plantas
fueron visitadas cada temporada durante este estudio. La distribución de la plantas por
variedad es presentada en la Tabla 1.
2.3 Datos
Conteos sucesivos del número de yemas florales y frutos por planta fueron realizados durante
las temporadas 2009 a 2011. Los conteos de yemas y frutos comienzan respectivamente
después de la poda y durante el estado fenológico de fruto cuajado. Con el objetivo de
controlar posibles errores de conteo, tres personas fueron entrenadas para realizar el conteo.
El conteo de frutos fue realizado examinando toda la planta como siguiere Salvo et al.(2011),
con el objetivo de reducir la sensibilidad de los parámetros usados en modelos de regresión.
Los estadísticos del conteo de yemas y frutos por variedad son presentados en la Tabla 1.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Tabla 1. Principales estadísticos de los conteos de frutos y yemas por planta para cada variedad. Los
conteos fueron realizados entre las temporadas 2009 a 2011.
Fruto Yema
Variedad n Media DS CV Media DS CV
Todas las variedades 912 1597 1134 0.71 317 254 0.80
Bluecrop 128 1474 1004 0.68 231 173 0.75
Briguitta 187 2154 1276 0.59 512 348 0.68
Duke 193 1671 1052 0.63 320 218 0.68
Elliott 231 1806 1068 0.59 281 170 0.60
O’Neal 173 781 562 0.72 194 135 0.70
DS: Desviación Estándar, CV: Coeficiente de Variación
2.4 Modelo de frutos
Para estimar la cantidad de frutos a partir de la cantidad de yemas por planta fue utilizado un
modelo regresión lineal simple según la ecuación 1.
yi = β0 + β1xi + εi (1)
Donde yi es la cantidad de frutos de la planta i, β0 es el intercepto del modelo, β1 es el
parámetro de frutos por yema floral, xi es la cantidad de yemas de la planta i y εi es el error
aleatorio.
Generalmente el error aleatorio se distribuye normal con media cero y varianza constante σ2 y
los parámetros estimados por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, para
tomar en cuenta la heterocedasticidad es necesario considerar una función de varianza que
involucre los valores predichos u otras variables explicativas (Fortin et al., 2007). La
estimación de los parámetros de esta función de varianza puede ser vista como una regresión
ponderada, cuya ponderación es parametrizada en lugar de ser fijada arbitrariamente. Un
ejemplo de esta función está basado en la potencia del valor predicho, según indica la
ecuación 2.
2 2
i iVar y (2)
Donde σ2 es la varianza residual, iy es el valor predicho de frutos para la planta i y θ es un
parámetro a ser estimado utilizando el método de mínimos cuadrados generalizados (Pinheiro
et al., 2011). Esto significa que el error aleatorio sigue distribuyéndose normal con media
cero, pero con varianza no constante 2 2
iy .
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Otra forma de controlar la varianza es mediante transformación de variables. El modelo de
variables transformadas se define según la ecuación 3.
ln(yi)= β0 + β1ln(xi)+ εi (3)
Tres modelos fueron ajustados: varianza constante (Eq. 1), varianza no constante (Eq. 1, 2) y
transformación de variables (Eq. 3). Para determinar el modelo con mejor ajuste fueron
comparados los estadísticos Akaike Information Criterion (AIC), Bayesian Information
Criterion (BIC) y Log-likelihood. Para verificar la significancia del parámetro θ fue realizado
la prueba de razón de verosimilitud (LRT). Estos criterios fueron utilizados por Fortin et
al.(2007).
Con los conteos de la temporada 2009 y 2010 fueron estimados los parámetros de los modelos
propuestos para todas las observaciones y por variedad. La validación del mejor modelo
estimado fue realizada con los conteos de la temporada 2011.
Con el objetivo de comparar las predicciones fue utilizado un coeficiente de determinación
ponderado, definido en forma similar al coeficiente de determinación R2 y conservando sus
propiedades (Chambers, 1992). La diferencia es que en el coeficiente utilizado la ponderación
estimada es igual a la inversa de la función de varianza, Eq.4.
2
2 2
1
2 2
1
1 1
1
ˆ( )
( )
n
i
i
n
i
i
n n
i i i
i i
SSER
SST
SSE w y y
SST w y y
y y w w
(4)
Donde SSE es la suma de cuadrados del error, SST es la suma total de cuadrados, wi es la
ponderación de la planta i y y es el promedio ponderado de frutos.
La estimación de los modelos y gráficos fueron obtenidos con el software estadístico R (R
Development Core Team, 2011).
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
3 Resultados y discusión
3.1 Modelos ajustados
La Tabla 2 muestra los estadísticos para los modelos de varianza constante y no constante.
Los valores de AIC, BIC y Log-likelihood del modelo de varianza no constante disminuyen
entre un 1 y 10% en todas las variedades respecto del modelo de varianza constante (Tabla 2).
El LRT fue significativo en todos los casos, lo que indica que la incorporación del parámetro
θ mejora los modelos. Además, modelando la varianza se disminuye el indicador log-
likelihood en todos los casos, lo que implica que se obtiene un mejor ajuste a los datos.
Tabla 2. Resumen del ajuste de los modelos por variedad.
Variedad Modelo de varianza AIC BIC Log-likelihood LRTa
Todas las
variedades
Constant 9851 9864 -4922 690***
Non-constant 9163 9181 -4578
Bluecrop Constant 1315 1323 -655
83*** Non-constant 1234 1244 -613
Brigitta Constant 2044 2053 -1019
29*** Non-constant 2017 2028 -1004
Duke Constant 1941 1950 -968
92*** Non-constant 1851 1862 -921
Elliott Constant 2407 2416 -1200
71*** Non-constant 2337 2349 -1165
O’Neal Constant 1451 1459 -722
138** Non-constant 1314 1325 -653
a LRT: Likelihood ratio test.*** p-valor< 0.001
La Tabla 3 muestra los estadísticos para los modelos de variables transformadas. Los valores
de AIC, BIC y Log-likelihood disminuyeron significativamente cuando los modelos son
ajustados por variedad respecto al ajuste para todas las variedades, lo que coincide a lo
observado con los otros dos modelos (Tabla 2). Es necesario notar que este modelo no es
comparable con los modelos de la Tabla 2 porque no comparten la misma variable respuesta
(Eq. 3).
Tabla 3. Estadísticos del modelo de variables transformadas.
Variedad AIC BIC Log-likelihood
Todas las variedades 482 495 -238
Bluecrop 85 92 -39
Brigitta 143 152 -69
Duke 26 34 -10
Elliott 257 266 -125
O’Neal -83 -75 45
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
La Figura 1 muestra la comparación de los modelos ajustados con bandas de confianza a 1
veces la raíz de la varianza del error estimada, que depende de cada modelo ajustado. Los
modelos de varianza constante sobreestiman la cantidad de frutos en plantas con pequeñas
cantidades de yemas (<250). Los modelos de varianza no constante y de variables
transformadas se ajustan mejor a las observaciones, la mayoría de ellas están dentro de las
bandas de confianza. Las bandas de confianza crecen más rápidamente en el modelo de
variables transformadas que el de varianza no constante. Pareciera ser que los dos primeros
modelos son adecuados para este tipo de variables, a pesar que el modelo de variables
transformadas mantiene el supuesto varianza constante.
Figura 1. Comparación de los modelos ajustados sobre los conteos de frutos y yemas de la temporada 2011
(Banda de confianza de ±1 veces la raíz cuadrada de la varianza del error estimada).
En la Figura 2 se muestran los residuos normalizados de los modelos ajustados con varianza
no constante (a) y transformación de variables (b). Los residuos del modelo de varianza no
constante no presentan el efecto embudo reportado por Salvo et al. (2011) y verifican los
supuestos de homogeneidad de varianza para todas las variedades a excepción del modelo con
todas las variedades. Esto indica que es más adecuado ajustar modelos por variedad, tal como
lo reportado por Salvo et al. (2011). En los modelos con variables transformadas no se
observa el efecto embudo, pero el supuesto de homogeneidad de varianza sólo fue validado en
la variedad ‘O’Neal’.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
El supuesto de normalidad de los errores fue comprobado en todos los modelos con varianza
no constante, mientras que en los modelos con variables transformadas sólo las variedades
‘Brigitta’, ‘Duke’ y ‘O’Neal’ cumplen este supuesto.
Tanto los modelos de varianza no constante como el de variables transformadas se ajustaron
mejor a los datos. Sin embargo, solo el modelo de varianza no constante cumple los supuestos
teóricos necesarios para realizar predicciones de frutos y por tanto obtener mejores
predicciones del rendimiento por planta.
(a) (b) Figura 2. Residuos normalizados de los modelos con varianza no constante por variedad (a) y
transformación de variables (b).
La Tabla 4 muestra los coeficientes estimados del modelo con varianza no constante (Eq. 2)
con todas las variedades y por variedad. Existen diferencias entre los parámetros estimados y
todos fueron significativos. Estos valores estimados de β1 son similares a los reportados por
Salvo et al. (2012), quien utilizó un modelo de varianza constante. Esto es consistente ya que
β1 representa la cantidad de frutos por yema para una determinada variedad y se espera que
estos valores sean similares por variedad, independiente del modelo ajustado por expresión
genética. Sin embargo, la varianza residual fue disminuida considerablemente respecto a los
reportados por Salvo et al. (2011, 2012 #55).
Estos hallazgos indican que el uso de modelos de varianza no constante son más adecuados
por la disminución significativa en la varianza residual, lo que impacta directamente en
predicciones más confiables.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Tabla 4. Parámetros estimados para el modelo con varianza no constante.
Variedad 0 1
Todas las variedades -2.82±6.14 5.50±0.09*** 1.0626 0.2052
Bluecrop -32.23±29.51 7.49±0.35*** 1.0279 0.2311
Brigitta 246.23±78.29*** 3.86±0.21*** 0.7624 2.4564
Duke 121.73±42.98*** 4.95±0.22*** 1.1352 0.0871
Elliott 3.26±32.15 6.34±0.21*** 0.7843 1.5423
O’Neal 9.56±3.74** 4.20±0.08*** 1.146 0.0614
*** p-valor< 0.001, ** p-valor<0.05
En la Figura 3 se muestran los gráficos de dispersión por variedad utilizando los conteos de
validación, temporada 2011, y los valores predichos de los frutos obtenidos con los
parámetros estimados de la Tabla 4. Las bandas de confianza mostradas están a ±1 y ±2
veces la raíz cuadrada de la función de varianza estimada. Los modelos ajustados lograron
explicar la varianza de los conteos de validación, estando la mayoría dentro de las bandas de
confianza. Cuando los conteos de validación están fuera de las bandas se consideran plantas
atípicas, o bien porque presentan una alta o baja productividad de frutos dependiendo si están
por sobre o bajo estas bandas.
Figura 3. Conteos de validación de la temporada 2011 y modelos ajustados (-) por variedad a ±2 y ±1 veces
la raíz cuadrada de la función de varianza estimada (--).
La Figura 4 muestra las ponderaciones según la cantidad de frutos predichos por variedad. Las
ponderaciones son menores cuando las plantas tienen mayor cantidad de frutos y viceversa.
Esta ponderación busca equilibrar la suma de cuadrados residual para que los residuos de
plantas pequeñas y grandes sean comparables. Por ejemplo, una planta con gran cantidad de
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
frutos (o de yemas) está sujeta a una gran variabilidad alrededor del valor predicho
provocando que la incertidumbre acerca de su producción también sea alta. Esta idea lleva a
plantear la importancia de la poda para reducir la cantidad de yemas con el fin de favorecer el
rendimiento (Strik et al., 2003) y el peso de los frutos (Suzuki et al., 1998).
Figura 4. Ponderaciones de las observaciones según el valor predicho.
4 Conclusions
El modelo de varianza constante sobreestima la variabilidad para plantas pequeñas y
subestima para plantas grandes. De los tres modelos analizados para estimar frutos a partir de
conteos de yemas, sólo el modelo de varianza no constante cumple con los supuestos teóricos
sobre los errores y obtiene los mejores resultados. La varianza no constante del modelo fue
estimada utilizando una función de varianza dada por 2 2
iy . La ponderación considerada en
modelos con varianza no constante equilibra la suma de cuadrados residual con el fin de que
éstos sean comparables entre plantas pequeñas y grandes. Con esta consideración el ajuste del
modelo contiene una mayor cantidad de observaciones dentro de las bandas de confianza,
siendo más representativa. Con modelos de varianza no constante los productores de arándano
obtienen predicciones de frutos más precisas lo que implica una reducción en la incertidumbre
para planificar la logística de cosecha con meses de antelación.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Agradecimientos
Esta investigación fue financiada por el proyecto INNOVA 07CN13PAT-213 “Formulación
de un Modelo Predictivo de Producción de Arándanos”.
Referencias
Batáry, P., Holzschuh, A., Orci, K.M., Samu, F., Tscharntke, T., 2012. Responses of plant,
insect and spider biodiversity to local and landscape scale management intensity in cereal
crops and grasslands. Agric. Ecosyst. Environ. 146 (1), 130-136.
Brandeis, T.J., Delaney, M., Parresol, B.R., Royer, L., 2006. Development of equations for
predicting Puerto Rican subtropical dry forest biomass and volume. For. Ecol. Manage. 233
(1), 133-142.
Calegario, N., Daniels, R.F., Maestri, R., Neiva, R., 2005. Modeling dominant height growth
based on nonlinear mixed-effects model: a clonal Eucalyptus plantation case study. For. Ecol.
Manage. 204 (1), 11-21.
Castedo Dorado, F., Diéguez-Aranda, U., Barrio Anta, M., Sánchez Rodríguez, M., von
Gadow, K., 2006. A generalized height–diameter model including random components for
radiata pine plantations in northwestern Spain. For. Ecol. Manage. 229 (1–3), 202-213.
Clark, K.E., Hartley, S.E., Brennan, R.M., Jennings, S.N., McMenemy, L.S., McNicol, J.W.,
Mitchell, C., Johnson, S.N., 2012. Effects of cultivar and egg density on a colonizing vine
weevil (Otiorhynchus sulcatus) population and its impacts on red raspberry growth and yield.
Crop Protection 32 (0), 76-82.
Chambers, J.M., 1992. Linear models, In: Chambers, J.M., Hastie, T.J. (Eds.), Statistical
Models in S. Wadsworth & Brooks/Cole.
De Ketelaere, B., Stulens, J., Lammertyn, J., Cuong, N.V., De Baerdemaeker, J., 2006. A
methodological approach for the identification and quantification of sources of biological
variance in postharvest research. Postharvest Biology and Technology 39 (1), 1-9.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Fortin, M., Daigle, G., Ung, C.-H., Bégin, J., Archambault, L., 2007. A variance-covariance
structure to take into account repeated measurements and heteroscedasticity in growth
modeling. Eur. J. For. Res. 126 (4), 573-585.
Kantavichai, R., Briggs, D., Turnblom, E., 2010. Modeling effects of soil, climate, and
silviculture on growth ring specific gravity of Douglas-fir on a drought-prone site in Western
Washington. For. Ecol. Manage. 259 (6), 1085-1092.
ODEPA, 2012. Boletín frutícola. Avance enero a diciembre de 2011. Oficina de Estudios y
Políticas Agrarias.
Paulo, J.A., Tomé, M., 2010. Predicting mature cork biomass with t years of growth from one
measurement taken at any other age. For. Ecol. Manage. 259 (10), 1993-2005.
Pinheiro, J., Bates, D., DebRoy, S., Sarkar, D., Team, R.D.C., 2011. nlme: Linear and
Nonlinear Mixed Effects Models. R package version 3.1-101.
R Development Core Team, 2011. R: A Language and Environment for Statistical
Computing.
Salvo, S., Muñoz, C., Ávila, J., Bustos, J., Cariaga, E., Silva, C., Vivallo, G., 2011. Sensitivity
in the estimation of parameters fitted by simple linear regression models in the ratio of
blueberry buds to fruits in Chile using percentage counting. Sci. Hortic. 130 (2), 404-409.
Salvo, S., Muñoz, C., Ávila, J., Bustos, J., Ramírez-Valdivia, M., Silva, C., Vivallo, G., 2012.
An estimate of potential blueberry yield using regression models that relate the number of
fruits to the number of flower buds and to climatic variables. Sci. Hortic. 133, 56-63.
Seber, G., Lee, A., 2003. Linear regression analysis, Second edition ed. John Wiley & Sons,
Inc., Hoboken, New Jersey.
Strik, B., Buller, G., Hellman, E., 2003. Pruning Severity Affects Yield, Berry Weight, and
Hand Harvest Efficiency of Highbush Blueberry. Hortscience 38 (2), 196-199.
X CONGRESO LATINOAMERICANO DE SOCIEDADES DE ESTADÍSTICA CÓRDOBA, ARGENTINA. 16 A 19 DE OCTUBRE 2012
Suzuki, A., Shimizu, T., Aoba, K., 1998. Effects of leaf/fruit ratio and pollen density on
highbush blueberry fruit quality and maturation. Journal of the Japanese Society for
Horticultural Science 67 (5), 739-743.
Weiskittel, A.R., Garber, S.M., Johnson, G.P., Maguire, D.A., Monserud, R.A., 2007.
Annualized diameter and height growth equations for Pacific Northwest plantation-grown
Douglas-fir, western hemlock, and red alder. For. Ecol. Manage. 250 (3), 266-278.