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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Compatibilidad de incentivos y muchosbienes: Resultados, perspectivas, y alguna
observacion
A. Manelli
November 13, 2013
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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Plan
1. Compatibilidad de incentivos
2. Modelos de intercambio de equilibrio parcial
a. 1 bien, 1 compradorb. 2 o mas bienes, 1 comprador
3. Nociones de equilibrio y equivalencia
a. 1 bien, 2 o mas compradoresb. 2 o mas bienes, 2 o mas compradores
4. Un caso real
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Introduccion
I Economıas dirigidas versus economıas de mercado
I J. Marschak (1924): capitalismo no es competencia perfectasi no un conjunto de monopolios y oligopolios. Ventajas ydesventajas.
I Lange (1930): socialismo logra competencia perfecta.
I Hayek (1935, 1945): Dos objeciones, demasiadas ecuaciones eincognitas, y problema de informacion
I Arrow and Debreu (1954), and McKenzie (1959):Formalizacion de la teorıa del bienestar. Existencia deequilibrio competitivo y teoremas del bienestar.
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Compatibilidad de incentivos
I Busqueda de reglas que, si respetadas por las unidadeseconomicas, llevan a una solucion competitiva.
I Hurwicz (1972). ¿Seran seguidas las reglas? La respuestadeseada debe ser compatible con los incentivos de los agentes.Este es un problema de asimetrıa de informacion diferente alplanteado por Hayek.
I Akerlof (1970). El mismo problema de informacion afecta amercados competitivos, mercado de autos usados.
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Instituciones de intercambio
I Disenar un mecanismo es disenar un juego. Un conjunto decomportamientos es compatible con los incentivos del juego siesos comportamientos constituyen un equilibrio.Hurwicz propone un acercamiento al diseno de instituciones.
I Myerson (1981) utiliza las ideas de Hurwicz en el contexto deun intercambio bilateral simple:
1. Hay un vendedor de un bien unico e indivisible e I compradorespotenciales.
2. El vendedor no sabe cuanto esta dispuesto a pagar elcomprador tıpico
3. Objetivo: maximizar el ingreso esperado del vendedor
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Modelo de valores privados e independientes
1. Cada comprador potencial i conoce su valuacion (cuanto estadispuesto a pagar por el bien) x ∈ [0, 1].
2. Las preferencias de i son simples, x · q − t, donde q es laprobabilidad de que obtenga el bien, t es el monto a pagar.
3. El vendedor no observa la valuacion x pero sabe que que lasvaluaciones (una para cada comprador) estan independiente eidenticamente distribuidas (λ).
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Ejemplo: 1 bien, 1 comprador 1/4
I Un solo bien y un solo comprador.
I Disenar un mecanismo en este caso es disenar un juego conun solo jugador
I El juego es una funcion de pago u(x), la utilidad del jugadorcuando la estrategia es x .
I Compatibilidad de incentivos.
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Ejemplo 2/4
- x
6
����������������
$ u
10
• u(x) = qx · x − tx
u(·)
x��������QQQQQQQQ
qx
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Ejemplo 3/4
- x
6
����������������
$ u
10
• u(x) = qx · x − tx
u(·)
• 1 aparenta ser x , porque
u(1) = 0 < qx · 1− tx
• u viola compatibilidad
de incentivos
x��������QQQQQQQQ
qx
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Ejemplo 4/4
I Universo de mecanismos compatibles con incentivos
W = {u | u es convexa,∇u ∈ [0, 1]}
- x
6
$
?
�����
���
���
���
−t(x)
10
•
x x ′
u
q(x)
10
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Uso de la tecnica
I El vendedor desea maximizar ingreso esperado.
I Dado que u(x) = ∇u(x) · x − t(x), el ingreso esperado es
E [t(x)] = E[∇u(x) · x − u(x)
]I El problema de optimizacion es
maxu∈W
E [∇u(x) · x − u(x)]
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Ejemplo: Precios 1/2
I Posible estragegia: Precio final y unico p. ¿Que precio?
I Si suponemos x ∈ [0, 1], λ uniforme.
-
6
x
$
������������
1
1
0
F (x)
1/4
1/2
• El comprador adquiere el bien
⇐⇒ x ≥ p.
• El ingreso esperado del vendedor es
p(1− p)
• El precio optimo es p∗ = 0.5
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Ejemplo: Mecanismo optimo 2/2
I Estrategia en termino de utilidad
-
6
x1
1
0
0
∇u = 012
∇u = 1
1
u(x)1/2
������������
������
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Resultados: 1 bien, 1 comprador
Teorema La estrategia que maximiza el ingreso esperado delvendedor satisface las siguientes propiedades.
(i) Se obtiene fijando un precio final y unico.Myerson (1981), Samuelson (1984)
(ii) Es determinıstica, no aleatoria. No hay negociacion.“No haggling” (Zeckhauser 1984)
(iii) Es lineal a trozos.
(iv) Tiene la misma “forma” (fijar un precio) para cualquierdistribucion inicial, un elemento no observable del modelo. Elprecio a fijar si depende de la distribucion inicial.
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Dos (o mas) bienes indivisibles 1/4
I El resultado analogo cuando hay dos bienes serıa
-
6
x1
x2
P2
P1
(0, 0) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
-
6
x1
1 1 = ∇u(x)
����� u(x)
•
0∇u = 0
12
∇u = 11
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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Mas de un bien 2/4
I Problema clasico: ¿Como maximizar el ingreso esperado delvendedor?
I Adams and Yellen (1976): Si valuaciones estan negativamentecorrelacionadas, (P1,P2,Pp) es preferible a (P ′1,P
′2).
-
6
AC
PP
(1) (2)
(3) (4)
rrrr
700400200
700
400
200
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Mas de un bien 3/4
I McAfee, McMillan, and Whinston (1989). Aun si lasvaluaciones son independientes, (P1,P2,Pp) es preferible a(P1,P2).
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Mas de un bien 4/4
-
6
x2
P2
P1
@@@
Pp
(0, 0) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
-
6
x1
x2
P2
P1
(0, 0) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
0∇u = 0
12
∇u = 11x1
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Mecanismo optimo
1 Anunciar precios (de cada bien y de cada paquete) generalmenteno maximiza el ingreso esperado del vendedor. Solo es optimo“esencialmente” cuando la distribucion inicial es independiente(entre bienes) y exponencial. [Manelli and Vincent (2006)]
2 El mecanismo optimo prescribe asignaciones aleatorias. Suforma depende de la distribucion inicial. Los mecanismos queson optimos para alguna distribucion inicial son identificados.[Manelli and Vincent (2007)]
-
6
x1
P2
P1
@@@
Pp
(0, 0) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
-
6
x2
@@@@HHHH
HH
.4
1
.6
.3(0, 0)
(.5, 0)
(1, 1)
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Resultados: multiples bienes
I Pocos
I Aguilera y Morin (2008): Algorıtmo, solucion numerica para elcaso de dos bienes.
I Lev (2011): Solucion analıtica para una distribucion particularcon dos bienes en el sımplex.
I Hart y Reny (2011, 2012): Dos bienes, distribucionesparticulares, soluciones aproximadas.
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Perspectivas
1. Cualidad del resultado unidimensional: Formato del mecanismoptimo es independiente de la distribucion inicial.
2. Perspectivas de resultados multidimensionales analogos:Ninguna.
3. Direcciones a explorar:I Dado un mecanismo, determinar la distribuciones bajo las
cuales es optimo. Ventajas.I Posibilidad de soluciones numericas.
4. Importancia: Theory of incentives in procurement andregulation, Laffont and Tirole (1993). Theory of corporatefinance, Tirole (2005).
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Mas de un comprador potencial
• Mecanismo con un solo agente, u(x).
• Dos (o mas) jugadores, para i = 1, 2,, vi (x1, x2).
• Si el juego es simetrico, entonce v(x1, x2) es suficiente
v1(x1, x2) = v(x1, x2)
v2(x1, x2) = v(x2, x1)
• Solucion del juego: Equlibrio Bayesiano de Nash (EBN),equilibrio en estrategia dominante (EED).
• Importancia y sensitividad.
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Ejemplo: 1 bien, 2 compradores 1/2
- x
6
����������������
$ v
10
• Dado x ′2,
v(x1, x′2) = qx1,x ′2 · x1 − tx1,x ′2
• ∇x1v(x1, x′2) ≤ 1
v(·, x ′2)
x��������Q
QQQQQQQ
qx
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Ejemplo: 1 bien, 2 compradores 2/2
I Es v(·, ·) un mecanismo? ∀x , x ′,I ∇1v(x , x ′) ≤ 1I ∇v(x , x ′) +∇v(x ′, x) ≤ 1 (Ej: ∇v( 1
2 ,45 ) +∇v( 1
2 ,45 ) ≤ 1)
- x
6
$
?
�������������
−t(x)
10
•
12
45
v(·, 45)
v(·, 12)
%%%%%
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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Compatibilidad de incentivos
• Compatibilidad de incentivos con estrategiadominante (CIED)El mecanismo v(x1, x2) satisface CIED si para cada x2, v(x1, x2)es convexa en x1.
I ∇x1v(x1, x2) = q(x1, x2) a.e.
• Compatibilidad de incentivos Bayesiana (CIB)El mecanismo v(x1, x2) satisface CIB si u(x1) es convexa, dondeu(x1) = Ex2v(x1, x2).
I ∇u(x1) = Ex2q(x1, x2) a.e.
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Resultados: 1 bien, mas de 1 comprador
I Compatibilidad de incentivos Bayesiana y en estrategiadominante son equivalentes en utilidad [Manelli and Vincent(2010)]
I Relevancia practica. La equivalencia no se da en asignacion.
I Gershkov, Goeree, Kushnir, Moldovanu, and Shi (2013), andGoeree and Kushnir (2012) extienden el resultado deequivalencia a un model con multiples “resultados(outcomes)” sociales en un modelo analogo (valores privadosindependientes, utilidad lineal, unidimensional). Pruebaselegantes.
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Resultados: Mas de un bien
I No hay equivalencia. Mecanismos Bayesianos permitenobtener mas que mecanismos en estrategia dominante,excepto en casos especiales. Caracterizacion a traves dedesigualdad, admite solucion numerica. [Manelli and Vincent(2013)]
I Relevancia y perspectivasI Disenar mecanismos en estrategia dominante. Costo/Beneficio.
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Ejemplo: 2 bienes, 2 compradores
CIB 6= CIED@@@
u(x1) 6= E2v(x1, x2)
0, 0 34 , 0
0, 3434 ,
34
@@@
E2∇1v(x1, x2)
0, 0 58 , 0
0, 5858 ,
58 @
@@
λ
A0 A1
A2
A3
14
14
14
14
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Ejemplos
ZZZZZZ
JJJJJJJ
0, 0
1224 ,
624
1924 ,
2024
@@@@@@
JJJJJJJ
0, 0
624 ,
624
1524 ,
2424
@@@@@@
JJJJJJJ
λ
A0
A1
A2
13
13
13
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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Un caso real, (auction96, EE.UU.)
I Febrero del 2012, Congreso autoriza FCC: subasta H-block ysubasta de incentivos.
I 10 Mhz del espectro de frecuencias en EE.UU.
I Fecha estimada de la subasta: 22 de enero de 2014
I Por area economica. Alternativas: region, paıs.
30
UPCS
1850
PCS Uplink
1915
H PCS Downlink
1920 1930 1995
H MSS
AWS-4 Uplink
2000 2020
J
2025
A D B E F C G A D B E F C G
Frequencies in MHz
H Block Band Plan
Federal Communications Commission Wireless Telecommunications Bureau
Broadband Division July 2013
160
167
144
170
103
113
011
007
008
002
018 019045046
042
014
034
033
030
032
031
072
039
086
076
134
081
083
080
075
043
010054
055
120
119
151
155
001
003004
005006
009012
013
015016
017 020
021
022023
024025
026027
028
029035
036 037
038
040
041
044
047
048049
050051
052 053
056
057
058059
060061
062063
064065
066
067068
069 070
071
073074
077
078
079
082084
085087
088 089
090091
092
093094
095
096
097
098099
100
101
102
104
105106
107 108
109
110111
112
114
115 116
117
118121
122
123
124
125126
127128
129130
131
132
133
135
136
137
138
139
140
141
142
143
145146
147
148
149
150
152
153
154
156
157
158
159
161
162
163 164
165
166
168
169
171
172174
Not ShownEA 173 (Guam and the Northern Mariana Isl.)EA 175 (American Samoa)
Economic Areas (EAs)
EAs delineated by the Regional Economic Analysis DivisionBureau of Economic Analysis, U.S. Department of CommerceJanuary 1995
Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Observaciones sobre el caso real (auction96)
I Muchos bienes
I Preferencias no son lineales: Complementariedades, sinergıas
I Valuaciones no son independientes
I Mecanismo a usar?
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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Equivalencia de mecanismos
Definicion
Dos mecanismos son equivalentes en asignacion si cada agente irecibe los bienes con la misma probabilidad en ambos mecanismos.
Definicion
Dos mecanismos son equivalentes en utilidad si cada agent ireceibe la misma utilidad interina en ambos mecanisms.
—————————————————————–◦I Equivalencia en asignacion es mas fuerte que equivalencia en
utilidad.Ejemplo: Subasta de primer y segundo precio de sobre
cerrado. Son equivalentes en asignacion y por lo tantotambien en untilidad.
I Si dos subastas son equivalentes en utilidad, generan el mismoingreso esperado para el vendedor.
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Formal Paquetes de bienes Varios compradores
Ejemplo: Equivalente en utilidad (no en asignacion)
Un bien, dos compradores, λ uniforme.
-
6
x1
x2
�����������
0 0
0 0 0
0 0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0 0 16
26
36
46︸ ︷︷ ︸
E∇v ′CIB :
∇v ′(x1, x2)
-
6
x1
x2
�����������
0 1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0 0 16
26
36
46︸ ︷︷ ︸
E∇vCIED :
∇v(x1, x2)
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