UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

[Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA]

FACULTAD DE LETRAS Y

CIENCIAS HUMANAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FILOSOFÍA

FILOSOFÍA DE LAS CIENCIAS FORMALES

Materiales de EnseñanzaI. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

II. FILOSOFÍA DE LA LÓGICARafael Mora R.

2009ÍNDICE

1. Sartorio, A. Conjuntos e Infinitos1. Paradojas de Conjuntos: Conjuntos bien fundados y la noción iterativa de conjuntos.2. Los Conjuntos y la Filosofía de la Matemática3. Conjuntos Infinitos e Infinito Actual4. Distintos tipos de Infinito5. ¿Es legítima la discusión sobre el infinito?6. El problema de los enunciados indecidibles y sus consecuencias para la filosofía de la matemática.

2. Northrop, E. Paradojas Matemáticas. 1. Paradojas del Infinito2. Círculos Viciosos

3. Kline, M. Matemáticas: La pérdida de la Certidumbre1. El desarrollo ilógico: A las puertas del paraíso2. El paraíso prohibido: Una nueva crisis de la razón3. Logicismo – Intuicionismo4. Las escuelas Formalista y Conjuntista

4. Sthal, G. Al explorar lo infinito.1. Del problema filosófico al problema matemático2. Prejuicios sobre lo infinito3. El cerebro frente a lo infinito

5. Haack, S. Filosofía de las lógicas.1. Paradojas

6. Kleene, S. C. Introducción a la metamatemática1. Una crítica del razonamiento matemático

7. Earls, J. Introducción a la teoría de sistemas complejos1. La criticalidad autoorganizada, fractales y la bolsa neoclásica.

8. Manzano, M. Lógica de orden superior9. Priest, G. Una brevísima introducción a la lógica

1. Autorreferencialidad: ¿De qué trata este capítulo?10. Kripke, S. Esbozo de una teoría de la verdad.11. Mosterín, J. y R. Torretti. Diccionario de Lógica y Filosofía de la Ciencia.12. Popper, K. Conjeturas y Refutaciones.

1. Autorreferencia y significado en el lenguaje común13. Grelling, K. Teoría de los conjuntos.

1. Las antinomias de la teoría de los conjuntos14. Borges, J. Discusión.

1. La perpetua carrera de Aquiles y la Tortuga2. Avatares de la tortuga

15. Mosterín, J. Teoría Axiomática de Conjuntos (introducción)16. Tarski, A. Verdad y Prueba.17. Hilbert, D y W. Ackermann. Elementos de Lógica Teórica

1. Las paradojas lógicas18. Hofstadter, D. Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle. (Introducción)

Prólogo

En el siglo XIX se comenzó a analizar el lenguaje matemático con el fin de enfrentar la dura crisis causada por el surgimiento de las geometrías no euclidianas. La existencia de más de una geometría sugería subrepticiamente debilidad por parte de los matemáticos quienes trataron de encontrar los fundamentos de su propia ciencia. Tuvieron entonces que criticar varios de sus textos antiguos sobre materias formales. Muchas personalidades harán avanzar la ciencia sobre la base de su forma de concebir tal concepto o función determinada. Tenemos a Bolzano, Cauchy, D’Alambert, Weiertrass, Dedekind, Cantor, etc., por citar algunos nombres.

Todo surgió a partir de la determinación de los matemáticos por fundamentar, primero, el algebra, el análisis y luego la aritmética. Muchos esfuerzos se harán tan solo para demostrar por qué razón es verdad que 2 + 2 =4. La motivación principal será la de hacerle frente al concepto matemático (y por ende filosófico) de infinito. ¿Cuánto es 1-1+1-1+1-1 … ? Esta sola pregunta generó muchas observaciones por parte de los especialistas.

Pero la idea de fundamentar consistentemente la matemática para evitar las contradicciones o las dobles verdades arrastró consigo la necesaria fundamentación de la lógica. Desde Aristóteles nadie se atrevía a cuestionar la teoría de los silogismos. Fue Boole quien reformuló el lenguaje algebraico y le dio una nueva interpretación, es decir, produjo un modelo para la lógica. Y Frege terminará de construir un nuevo lenguaje lógico a través del análisis del concepto de proposición, implicación, verdad y la crítica de los principios lógicos como teoremas del sistema novedoso de logicista alemán. Posteriormente, Cantor al desarrollar la teoría de conjuntos producirá sin querer contradicciones en el seno mismo de la matemática. Su crítica permitirá entender la paradoja de galileo

como una simple falta de perspectiva. De acuerdo a esta paradoja ¿Cómo es posible que la infinita sucesión de números naturales sea infinita de la misma manera que la infinita sucesión de número pares? Cantor solucionará el asunto con su concepto de correspondencia biunívoca. Esas totalidades inconsistentes generarán gran polémica entre los matemáticos. Y el golpe de gracia lo terminó dando Russell al criticar el sistema de Frege y reinventar con él la paradoja de Cantor pero apelando a menos conceptos matemáticos y más conceptos puramente lógicos.

A partir de Russell las paradojas fueron más cotidianas. Surgirán varias personas que dejarán huella en la historia de esta ciencia con la invención de una contradicción novedosa o con la reinvención de las ya conocidas. Entre ellas tenemos a la paradoja de Grelling, la Tarjeta de Jourdain, versiones de Quine, Tarski y Kripke de la paradoja del mentiroso, reformulaciones de la paradoja de Russell: paradoja de los catálogos, alcaldes y barberos, etc.

Este compendio buscar resumir de manera detallada y pormenorizada las motivaciones principales por las cuales los matemáticos y los lógicos revolucionaron sus respectivas ciencias. Rafael Mora R.Enero de 2009