compensadores

DISEO DE CONTROLADORES

COMPENSACIN DE ATRASO

Contenido

1.

COMPENSACIN DE ATRASO

La configuracin del compensador de atraso electrnico usandoamplificadores operacionales es igual a la del compensador deadelanto

1

1

1

1

1

Tcnicas de compensacin de atraso basadas en el enfoque del lugar geomtrico de las races

Considere el problema de encontrar una red de compensacinconveniente para un sistema que exhiba caractersticas Satisfactorias de la respuesta transitoria Insatisfactorias en estado estable.

La compensacin en atraso incrementa la ganancia en lazocerrado sin modificar en forma notable las caractersticas de larespuesta transitoria. Para esto se debe considerar: Contribucin angular del compensador El cero y polo deben estar cercanos y cerca al origen

El LGR del sistema compensado variara poco, por lo tanto larespuesta transitoria cambiara poco

1

1

1

1

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.50.64

0.8

0.94

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0.080.170.280.380.50.64

0.8

0.94

0.080.170.280.38

Pole-Zero Map

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

cero polo

x

El incremento en la ganancia significa un incremento en lasconstantes de error esttico

La constante de error esttico de velocidad del sistema nocompensado es

La constante de error esttico de velocidad de un sistemacompensado:

!

!

!

1

1

1

1

1

1

Procedimientos de diseo para la compensacin de atraso mediante el mtodo del LGR

El procedimiento para disear compensadores de atraso para unsistema mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races seplantea del modo siguiente

1. Dibujar la grfica del LGR para el sistema no compensado.Con base en las especificaciones de la respuesta transitoria, ubiquelos polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geomtrico de lasraces

2. Suponga que la funcin de transferencia del compensador de atraso

1

1

1

1

G(s)Gc(s)

3. Calcular la constante de error esttico especificada en el problema y determine el incremento necesario de la constante de error esttico para satisfacer las especificaciones

4. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que produceel incremento necesario de la constante de error esttico, esta noalterara apreciablemente los lugares geomtricos de las racesoriginales

5. Dibuje una nueva grfica del lugar geomtrico de las races para elsistema no compensado y compensado, verifique la cercana de losLGR. Ubique, sobre el nuevo lugar geomtrico de las races los polosdominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificacionesde la respuesta transitoria

6. Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condicin demagnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado seencuentren en la ubicacin deseada

Ejemplo 3.1

Dado el sistema del diagrama de bloques de la figura.

Se requiere que la constante de erros esttico de velocidad este cerca de "#$

Solucin Paso 1. La FT de lazo abierto

1%

1 &

1%

' &

G(s)

1%

1 &

La funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema no compensado

O de la forma

Los polos dominantes de lazo cerrado son:

Con los parmetros:

1

1%

' & 1%

1%

&''(% '') *(%+ '') , *(%+

,'') - *(%+

./ %)''0123"#

4 +51&

Lugar geomtrico de races sistema

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

20.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.511.52

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

Respuesta entrada escaln sistema

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

inout

Respuesta entrada rampa sistema

0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

12

14

16

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

inout

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

System: sysGain: 0.997Pole: -0.33 + 0.585iDamping: 0.491Overshoot (%): 17Frequency (rad/sec): 0.671

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.511.52

El LGR y los polos dominantes de lazo cerrado

,'') - *(%+

Paso 2. Funcin de transferencia del compensador de atraso

Paso 3. Calcular la constante de error esttico del sistema nocompensado y determine el incremento necesario de la constantede error esttico para satisfacer las especificaciones

Sistema no compensado

1

1

!

!

1%

1 &1%

& '"#

$

Sistema compensado debe tener (dato del ejemplo)

Por lo tanto

Elegimos 6 1 y el compensador en adelanto queda:

!

7 87 !

1

1

'

1

1

1

1

1

1

Paso 4. Elegimos el cero y el polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen o T grande)

Cero :

Polo :

El compensador en atraso

,1

,

,1

,

1

1

Verificamos la contribucin angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante ,'') *(%+

Polo: 9:;

El lugar geomtrico de races del sistema compensado

Donde 1%

1%

1 &

1 &


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

123456

0.160.340.50.640.76

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

Paso 5. Lugar geomtrico de races del sistema NC y SC

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.640.76

0.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

123456

0.160.340.5

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

sns

sc

LGR con acercamientoRoot Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-0.35 -0.3 -0.25

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

System: sysGain: 0.96Pole: -0.312 + 0.548iDamping: 0.495Overshoot (%): 16.7Frequency (rad/sec): 0.63


0.3550.380.410.440.47

0.5

0.53

0.56

0.55

0.575

0.6

0.625

0.65

0.675

0.7

Polos dominantes sistemano compensado

ABC;DEEFGHE:CGECIJ ,''1 *(1

Polos dominantes sistemacompensado

,'1& *+(

Para el mismo coeficiente de amortiguamiento K L MN

Paso 6. La ganancia en lazo abierto se halla por la condicin demagnitud del sistema compensado

obteniendo

De donde

1%

1 &

1 &

$OPQR

1&'

1&'

1% 5%5'

1%

El sistema compensado lazo abierto

El sistema compensado lazo cerrado

5%5'

1%

1 &

1&) 1+

1'% '11+1 &((1 1+

1

1&) 1+

1'% '11+1 &((1 1')5 1+

Respuesta entrada escaln

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

snc

sc

Respuesta entrada rampa

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

30

35

40

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampasnc

sc

Ejemplo 3.2

Considere el sistema de control con realimentacin unitaria.Disee un compensador de atraso tal que la constante deerror esttico de velocidad sea 50 "#$ sin modificarnotablemente la ubicacin de los polos en lazo cerrado originales,que estn en ,& - *&+


1

+

1

+

1

+

La funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema no compensado

Los polos dominantes de lazo cerrado son:

Con los parmetros: ,& - *&+

1

1 +

1 1

+

1

+ 1

1

& *&+ & , *&+

./ '1%0123"#K L ST

Lugar geomtrico de races del sistemaRoot Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

30.740.84

0.93

0.98

0.160.320.460.60.740.84

0.93

0.98

12345

System: sysGain: 1Pole: -2 + 2.45iDamping: 0.632Overshoot (%): 7.7Frequency (rad/sec): 3.16

0.160.320.460.6


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

escalonsys c


0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

12

14

16

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampasys c

El LGR y los polos dominantes de lazo cerrado

,& - *&+

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

30.160.320.460.60.740.84

0.93

0.98

0.160.320.460.60.740.84

0.93

0.98

12345

System: sysGain: 1Pole: -2 + 2.45iDamping: 0.632Overshoot (%): 7.7Frequency (rad/sec): 3.16




1

1

!

!

1

+1

+

&"#$

Sistema compensado (dato del ejemplo)

Por lo tanto

Elegimos & y el compensador queda:

!

!

1

1

&

1

1

1

1

&

Paso 4. Elegimos el cero y el polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen o T grande)

Cero:

Polo:


,1

,1

,1

,

1

1

1

Verificamos la contribucin angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante ,& - *&+

9:;


Donde 1

1

1

+

1

+


-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-3

-2

-1

0

1

2

30.140.280.420.560.70.82

0.91

0.975

0.140.280.420.560.70.82

0.91

0.975

12345

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s


-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-3

-2

-1

0

1

2

30.140.280.420.560.70.82

0.91

0.975

0.140.280.420.560.70.82

0.91

0.975

12345

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

sys ncsys c

LGR con cercamiento

Polos dominantes sistemano compensado

Polos dominantes sistemacompensado

,15 *&+

,& - *&+

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-2.15 -2.1 -2.05 -2 -1.95 -1.9 -1.85 -1.8 -1.75

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8 System: sysGain: 0.999Pole: -2 + 2.45iDamping: 0.633Overshoot (%): 7.68Frequency (rad/sec): 3.16


0.5350.5650.59

0.62

0.655

0.685

0.72

0.752.6

2.8

3

3.2

sys ncsys c

Para el mismo coeficiente de amortiguamiento K L ST


obteniendo

De donde

1

1

+

+

1$UQOP

55&

55&

1 55

1



55 1

1

+

55 55

+ &

1

55 55

+ 55) 55


0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

sys ncsys c


0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

12

14

16

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampasys ncsys c

Respuesta rampa

5 6 7 8 9 10 11 127.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampasys ncsys c

Ejemplo 3.3

Considere el sistema de control con realimentacin unitaria. Sedesea fijar 4 V' para la respuesta transitoria del sistema yadems un " W 1 ante entrada rampa 0X 'X. Determine si elsistema sin compensar puede cumplir con dichas especificaciones.En caso contrario construya el compensador adecuado.


1

1

Lugar geomtrico de races del sistema

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.985

0.180.340.50.660.78

0.87

0.94

0.985

246810121416

0.180.340.50.660.78

0.87

0.94

De acuerdo a las especificaciones de desempeo, del LGRobtenemos los polos deseados

De la condicin de magnitud ,1+) - *+%5

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15System: sysGain: 413Pole: -1.47 + 4.69iDamping: 0.299Overshoot (%): 37.3Frequency (rad/sec): 4.91

0.180.340.50.660.78

0.87

0.94

0.985

0.180.340.50.660.78

0.87

0.94

0.985

246810121416

4 '

1YZ

1

+1'1+

El constante de velocidad del estado estacionario del sistema nocompensado

El error en estado estacionario, entrada 0X 'X

!

!

+1'1+

1

"

'

+

No cumple con lasespecificaciones

Para que cumpla las especificaciones

La FT de lazo abierto

Lazo cerrado

"

'

W 1 '

+1'1+

1

+1'1+

& )

1

+1'1+

& ) +1'1+


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampaout


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampaout

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15System: sysGain: 413Pole: -1.47 + 4.69iDamping: 0.299Overshoot (%): 37.3Frequency (rad/sec): 4.91

0.180.340.50.660.78

0.87

0.94

0.985

0.180.340.50.660.78

0.87

0.94

0.985

246810121416

El LGR y los polos deseados de lazo cerrado

,1+5 - *+%5




1

1

!

!

+1'1+

1+1'1+

) "#

$

Sistema compensado '(dato)

Por lo tanto

Elegimos %

!

!

1

1

'

'

Paso 4. Elegimos el cero y el polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen), %

Cero:

Polo:


,1

,1&

,

[\ ,02

1

1

1&

&

Verificamos la contribucin angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante ,1+) - *+%5

Cero: 1& Polo: &

El aporte de la red de atraso al polo dominante

? , @ 11&(5 , 1%%

,%('

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0.070.1150.160.230.32

0.48

0.75

1

2

3

4

1

2

3

4

5

0.0350.070.1150.160.230.32

0.48

0.75

0.035

Pole-Zero Map

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s


Donde +1'1+

1&

&

+1'1+

1

1&

& 1


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-30

-20

-10

0

10

20

300.20.380.560.70.81

0.89

0.95

0.988

0.20.380.560.70.810.89

0.95

0.988

10203040

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

sys c


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-30

-20

-10

0

10

20

300.20.380.560.70.81

0.89

0.95

0.988

0.20.380.560.70.810.89

0.95

0.988

10203040

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

sys ncsys c

LGR con cercamiento

Polos deseados sistemano compensado

Polos deseados sistemacompensado

,1+ *+%1

,1+) - *+%5

Root Locus

Real Axis

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.50.120.220.320.44

0.54

0.64

0.74

0.832

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5System: sysGain: 412Pole: -1.47 + 4.68iDamping: 0.3Overshoot (%): 37.2Frequency (rad/sec): 4.91

System: sysGain: 405Pole: -1.45 + 4.61iDamping: 0.3Overshoot (%): 37.3Frequency (rad/sec): 4.83


obteniendo

De donde

1&

&

+1'1+

1

& 1

1& ]$QOP^

++(%

++(%

+1'1+ 5(



5( 1&

&

+1'1+

1

++(( +(%

&& )+ 1

1

++(( +(%

&& )+ +%'( +(%


0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

escalonsys ncsys c


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampasys ncsys c

Respuesta rampa

7.5 8 8.5 9 9.5

8

8.5

9

9.5

Step Response

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

rampasys ncsys c

Ejemplo 3.4

Considere el sistema de control con realimentacin unitaria. Se desea disminuir ess, a un dcimo del valor presente, o incrementar el valor de la constante de error esttico de velocidad a 41 seg -1.


(&

1 &

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