Comple_Jos

LGEBRA

111

VII. NMEROS COMPLEJOS

1. UNIDAD IMAGINARIA :

1 i

Observacin :

Pot. Positivas Pot. Negativas

i4k = 1 i 4k = 1 i4k+1 = i i-(4k+1) = i1 = i i4k+2 = -1 i-(4k+2) = i2 = -1 i4k+3 = -i i-(4k+3) = i3 = i

2. NMERO COMPLEJO:. Tienen una parte real y una parte imaginaria. Se representan por Z mayscula:

Z = a + bi = (a, b) a, b R

3. COMPLEJO PURO: No tiene parte real.

Z = bi

4. COMPLEJO REAL: No tiene parte imaginaria.

Z = a

5. COMPLEJO NULO: No tiene ni parte real ni parte imaginaria.

Z = O

6. CONJUGADO DE UN

COMPLEJO ( Z )

Se cambia de signo la parte imaginaria.

Si : Z = a + bi Z = a bi

7. COMPLEJO OPUESTO:

Se cambian ambos signos.

z = a+bi -z = -a -bi

8. FORMA POLAR TRIGONOMTRICA DE UN COMPLEJO

|Z| = mdulo

= argumento

Luego a = |Z| Cos

b = |Z| Sen

Z = a + bi

Z = |Z| (Cos + Seni) Clculo de |Z|:

|Z| = 22

ba

Clculo de :

a

bArctg

9. OPERACIONES:

Sea : Z1 = |Z1| (Cos1 + iSen1)

Z2 = |Z2| (Cos 2 + iSen2)

9.1. MULTIPLICACIN :

Z=Z1.Z2=|Z1||Z2|[Cos(1+2)+iSen(1+2)]

9.2. DIVISIN:

Z = )(iSen)(Cos|Z|

|Z|

Z

Z

21212

1

2

1

9.3. POTENCIACIN: NZ+

Zn = |Z|n [Cos (n) + i Sen(n)]

9.4. RADICACIN:

Z1/n = |Z|1/n [Cos

2

k2+iSen

k

n Z+ y K = 0,1,2, ....., n-1 RESUMEN:

i = 1

(1 + i)2 = 2i

(1 - i)2 = -2i

ii

1

ii1

i1

ii1

i1

i-n = ni

1

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Escribe en forma polar o trigonomtrica el siguiente complejo.

Z = 3 + 4i

Solucin:

|Z| = 525)4(3 22

Tg = 3

4

Luego : = 360 - 53 = 307

Z = 3 4i = 5(Cos307+ iSen307)

2) Representa en su forma cartesiana:

Z = 2(Cos120 + iSen120)

Solucin:

Cos120 = -Cos60= -

Sen120 = Sen60= 2

3

Z=2(Cos120+iSen120)=

2

3

2

12 i

Z = -1 + i 3

3) Suma:

S=(1+i)+(2+i2)+(3+i3)+(4+i4)+.+(4n+i4n) Solucin: S=(1+2+3+4+ .+4n) + (i+i2+i3+i4 +.i4n)

S = ...1i1i2

)1n4(n4

0

S = 2n(4n+1)

b

Z

a R

Im

O

3

-4

LGEBRA

112

4) Halla un complejo cuyo conjugado multiplicado por (1+i) da el complejo.

i1311

870

Solucin:

Sea el complejo: Z = a + bi Z = a bi Luego:

(a +bi) (1+i) = i1311

870

a + ai bi + b = i1311

i1311x

i1311

870

(a + b) + (a-b)i = 33 39i

a + b = 33 a b = -39 a = -3 b = 36

Z = a + bi = -3 + 36i

5) Reduce:

iiii2

iiiW

231817

32138

Solucin: Recordando potencias naturales de i, tenemos:

ii1i2

1i1W

W = 2 + i I W = 2

6) Reduce:

i1

i

i

i1S

Solucin: Multiplicamos en aspa:

)i1(i

i.i)i1)(i1(S

1i

3

1i

111S

Luego multiplicamos por su base conjugada:

2

)i1(3

11

)i1(3

i1

i1

i1

3S

7) Reduce:

Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1 + i)8 Solucin:

Z = 4

22

22

2i1i1i1

Z = [2i]2 + [-2i]2 + [2i]4

Z = 4i2 + 4i2 + 16i4

Z = 4(-1) + 4(-1) + 16(1)

Z = -4 + -4 + 16

Z = 8

8) Halla la raz cuadrada de 3 + 4i

Solucin:

22 )y ix(i43 3+4i = x2 + 2xyi + y2+ i2

3+4i = (x2-y2)+2xyi

(x2-y2)2 = (3)2

(2xy)2 = (4)2

x4-2x2y2+y4 = 9 +

4x2y2 = 16 sumamos

x4+2x2y2+y4=25

(x2+y2)2 = 25

x2 + y2 = 5

x2 - y2 = 3 sumamos

2x2 = 8

x2 = 4

x = 2

x2 + y2 = 5 restamos

x2 - y2 = 3

2y2 = 2

y = 1

)i2(i43

9) Calcula el valor de: z = i52

i3a

si es

imaginario puro.

Solucin:

Z = 2i254

i15i6ai5a2

)i52(

)i52(x

i52

i3a

Z =

i29

6a5

29

15a2

29

i6ai515a2

Pero 029

15a2

(condicin)

2

15a , luego: z = i

3

2

PRCTICA DIRIGIDA N07

1) (3-4 i29)95()1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2) )156()23)(52( + 10

a) 2 b) 2i c) 2i d) 2 e) N.A.

3) i22)25)(23(

a) 13 b) 14 c) 15 d) 18 e) 17

4) i29)43)(174(

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5) 2/18i432i432

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

6) 3/1i2525

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7) 143i35 x 25 +29i

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) Representa en forma polar:

Z= 2

2

2

2 i

...........................................................

9) Si Z1 = 16(cos60 + iSen60) Z2 = 2(cos30 + iSen30)

Calcula :

a) Z1 x Z2

b) Z1 Z2 10) Simplifica:

4)i1(

8

i1

i1

i1

i1E

a) 1 b) 2 c) 1 d) 2 e) -3

11) Simplifica: 9

9

i1

)i1(F

a) 16 b) 2 c) 10 d) 8 e) 13

12) Calcula b para que el cociente i21

bi2

sea real.

a) 2 b) 3 c) -4 d) 5 e) -6

LGEBRA

113

13).- Sea el complejo z = 1 + i Calcular z12

a) 62 b) 64 c) -60 d) 58 e) -63

14).- Calcular el valor ms simple de :

N = 3i

)i31()i1( 2

donde i = (0; 1)

a) 2 b) 3 c) 7 d) 11 e) 9

15) Efecta: P = (5+3i) (4-2i) (1+i) (6-7i)

a) 120 b) 240 c) 340 d) 440 e) N.A.

16).- Simplificar la expresin :

i)1ba(

1bai)aaba( 2

; a + b -1

a) z = a + i b) z = b + i c) z = b 2a + i d) z = b i e) N.A.

17) Simplifica: G = 2-50 (1+ i )101 + (1+i)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) i

18) Simplifica:

i2

i1

i1

i1

i1

i1

i1

i1

i1E

a) b) 1/16 c) 16 d) 1/32 e) 8

19) Simplifica:

biaibia

biaibiaE

a) 1 b) 2 c) i d) 2i e) 0

20).- Escribe en forma cartesiana el siguiente complejo:

11

23

)7iSen7Cos(

)]28iSen28Cos(2[]17iSen17Cos[Z

a) 3 +1 b) 3 - i c) 3 +i

d) 2-i 3 e) N.A.

21).- Simplifica: Z =

n

45Tgi1

45Tgi1

a) 1 b) 8i c) 2 d) Tg45n e) in

22).- Efecta : W =

i1

i11

i11

i11

i11

i1

a) 2

i1 b) 2

i1 c) -i

d) i e) N.A. 23).- Resuelve :

Z = (1 + i)127

a) 2120 (1+i) b) i)(1263

c) 263(a+i) d) 256(1+i) e) 2126(1+i)

24).- Simplificar :

3i2

i

i2i3z

a) 2i b) I c) -i d) 3i e) N.A

25).- El complejo:

)]4iSen4Cos(128[)]15iSen15Cos(2[

)]12iSen12Cos(8[)]23iSen23Cos(4[7

25

es equivalente a:

a) i2

1

2

3 b) i3

c) 1 + i3 d) 4 3 +4i

e) 2 3 +2i

26).- El mdulo de la siguiente operacin:

)i6()i25(

)i35()i37(

; es:

a) 1 b) 2 c) 2

d) 2 7 e) 14

27).- Calcula: M = (1 + i)4 + (1 - i)4

a) 0 b) 8 c) 4i d) 4i e) 8

28).- Calcula: R =

22

i1

i1

i1

i1

a) 3 b) 2i c) 2i d) 2 e) 0

29).- Calcula: M =

2

5

5

5

5

i1

i1

i1

i1

a) 2i b) 5i c) 0 d) 2 e) 4

30).- Efecta:

A = i1 + i2 + i3 + i4 + i5 ++ i2003

a) 0 b) 1 c) 1 d) I e) -i

31).- Halla el valor de n

[(1 + i)9 + (1 - i)9 ] n = 1024

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

32).- Dado los complejos:

Z1 = 4(Cos25 + iSen25) Z2 = 2(Cos70 + iSen70)

Calcula: 2

1

Z

Z

a) 2 (1 - i) b) 2(1 + i)

c) 2(1 - i) d) 1 + i

e) 2 (1 + i)

33).- Efecta:

i1

i11

i11

i11

i11

i1E

a) 1 b) i c) 1 i d) i e) 1 - i

34).- Si: |Z| = 7 , halla el valor de:

R = |1 + Z|2 + |1 - Z |2

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

CLAVES DE RESPUESTAS

1) c 2) b 3) e

4) b 5) a 6) c

7) c 8) -- 9) --

10)d 11)a 12)c

13)b 14)a 15)c

16)a 17)a 18)b

19)a 20)c 21)e

22)c 23)b 24)a

25)e 26)b 27)b

28)d 29)c 30)c

31)b 32)a 33)b

34)b

LGEBRA

114

VIII. MATRIZ Y DETERMINANTES:

1. MATRIZ

Es un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas. As una matriz tiene la siguiente forma general: a11 a12. . . . aij . . . . a1n a21 a22. . . . a2j . . . . a2n a21 a12. . . . aij . . . . a1n am1 am2. . . . amj . . . amn Donde : a11, a12, .... a21, a22,.....am1, am2....amn se llaman elementos de la matriz A. aij es el elemento ubicado en la fila i, columna j.

1.1. ORDEN DE LA MATRIZ : Si una matriz tiene m filas y n columnas entonces se dice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (no se efecta) As la matriz A se puede denotar :

Donde : m, n Z+ i = {1; 2; 3;...;m}

j = {1; 2; 3; ...; n} Ejemplo : Escribir explcitamente la matriz : A = (aij) 2x3 /aij = 2i-j

1.2. MATRIZ COLUMNA : Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir es de orden mx1.

Ejemplo : A =

1x31

3

5

1.3. MATRIZ FILA : Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir es de orden 1 x n.

Ejemplo : B = (2 4 6)1 x 3

1.4. MATRIZ NULA : Es aquella matriz cuyos elementos son

iguales a cero y se denota por .

Ejemplo : =

000

000

1.5. MATRIZ CUADRADA : Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmero de columnas y se denota :

A = (aij)nxn A = (aij)n

Ejemplo :

A =

SecundariaDiagonal

incipalPrDiagonal137

625

143

Traza de una matriz cuadrada : Es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Sea la matriz : A =(aij) Traz(A) =

n

1i

ija

As en el ejemplo anterior : Traz (A) = 3 + 2 + 1 = 6

1.6. MATRIZ IDENTIDAD : Es una matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por ln

ln = (aij) / aij =

ji,0

ji,1

Ejemplos:

l2 =

100

010

001

l;10

013

1.7. RELACIONES ENTRE MATRICES:

a) Igualdad de matrices : Dos matrices son

iguales si y solo si son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales :

As dadas las matrices : A = (aij)m x n ; B=(bij)m x n

A = B aij = bij ; i ; j Ejemplo : Calcula : x - y, si las matrices :

A =

x61

y62B;

y1

xy3x son

iguales Resolviendo obtenemos: X = 5 Y = 1 X Y = 5 1 = 4 b) Transpuesta de una matriz : La

transpuesta de una matriz A (de orden m x n) , es una matriz denotada por At (de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas en la matriz A. Ejemplo :

A =

643

152

61

45

32tA

c) Matrices Opuestas : Dos matrices son

opuestas si son del mismo orden y adems sus respectivos elementos son opuestos.

A=

141

160

312

su opuesta es: -A

=

141

160

312

d) Matriz Simtrica : Si una matriz es igual

a su transpuesta, se llama matriz simtrica. Ejemplo :

A =

542

413

237

At =

542

413

237

como : A = At A es simtrica

e) Matriz Antisimtrica : Si una matriz es iguala al negativo de su transpuesta se llama antisimtrica. Ejemplo :

A =

043

402

320

At =

043

402

320

-At =

043

402

320

Como : A = -At A es antisimtrica. Obs.- Los elementos de la diagonal principal son iguales a cero.

1.8. OPERACIONES CON MATRICES :

a) Adicin de matrices : Sean las matrices A = (aij) mxn y B=(bij) mxn

Luego la matriz suma de A y B es :

A =

Columnas

Filas

A = (aij) m x n

3x3 3x3

3x2 2x3

LGEBRA

115

A + B =(aij + bij) m x n

Ejemplos : sean :

A =

42

23

65

B;

23

51

14

A + B =

25

74

51

4223

2531

6154

Obs :

A - B = A+(-B)

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + = + A = A

b) Multiplicacin de matrices :

Multiplicacin de un escalar por una matriz:

Sea: A = (aij)m x n KA = (kaij) m x n Ejemplo : Sea :z

A =

12

358A

=

816

2440

8x18)2(

8x38x5

Multiplicacin de una matriz fila por una matriz columna .

Sean las matrices :

A = a1 a2 a3 .....an ; B =

mb

b

b

2

1

A x B = (a1b1 + a2b2 + .... + anbn) =

n

1i

iiba

Ejemplo : sean :

A = 1 3 2 ; B =

5

2

4

A x B = 1 x 4 + 3(-2) + 2 x 5 = 8

Multiplicacin de matrices : Sean las matrices : A = (aij)m x n ; B =(bjk)n x p Entonces se define : A x B = (cij)m x p donde cij resulta de multiplicar la i-esima fila de A por la j-sima columna de B. Obs. Slo se puede hallar el producto A. B si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B. Ejemplo . Sean las matrices :

A =

221

134;

41

23B

C = A x B =

232221

131211

CCC

CCC

C11 = 3.4 + 2(-1) =10 C21=(-1)(4)+(4-1) = -8

C12 = 3.3 + 2.2 = 13 C22= (-1)(3) + 4.2 = 5

C13 = 3.1+2.2 =7 C23=(-1)(1)+4.2 = 7

Entonces :

AB =

758

71310

PROPIEDADES :

1) ( A B )t = At Bt

2) ( At ) t = A

3) ( AB )t = Bt At

4) (KA)t = KAt

5) K( A+B ) = KA+KB

6) A( B+C ) = AB + AC

( B + C )A = BA + CA

7) ( AB )C = A( BC )

8) En general AB son necesariamente igual a BA.

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden entonces :

A y B conmutan o son conmutativos AB=BA

A y B son anticonmutativos AB = -BA

9) AI = IA =A

10) ln = l

11) Si : AB = AC no implica que B=C

12) A es una matriz idempotente si A2 =A

13) A es una matriz involutiva si A2 = 1

14) A es una matriz nilpotente si A =

2. DETERMINANTES

2.1. DEFINICIN : Se llama determinante a un valor escalar que se le asocia a cada matriz cuadrada, y se denota por : |A| Det (A) para indicar el determinante de una matriz A.

2.2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2X2.

Sea la matriz : A =

2221

1211

aa

aa

| A | = 2221

1211

aa

aa = a11 a22 a21 a12

Ejemplo : Sea : A =

23

47

| A | = 23

47 = 7.2 - 3(-4) = 26

2.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3X3

Sea la matriz :

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Ubicacin de signos :

Usando la fila I

|A| = a113332

2322

aa

aa-a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

Ejemplo : Hallar el determinante de :

A =

215

124

301

Usando la fila 1 :

|A| =

15

243

25

140

21

121

215

124

301

|A| = 4-(-1) + 3(-4-10) = 5 + 3(-14)

|A| = -37

2.4. PROPIEDADES : Sea A una matriz cuadrada

1. Det (A) = Det(At)

fila 1

3x2 3x2

3x2

2x2

2x2

1xn

mx1

1x3

3x1

1x1

2x2 2x3

2x3

2x3 2x2

2x2

3x3

LGEBRA

116

2. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, entonces |A| =0.

3. Si 2 filas o 2 columnas son proporcionales, entonces |A| =0.

4. Si se intercambian 2 filas o columnas entonces el determinante cambia de signo.

5. Si a una fila o columna se le suma o se le resta un mltiplo de otra, el determinante no se altera.

6. El determinante de una matriz

triangular (superior o inferior) es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal.

7. Si todos los elementos de una fila o columna tiene un factor en comn, dicho factor se puede extraer.

Sean A y B matrices cuadradas de orden n entonces :

8. |AB| = |A| |B|

9. Si : A = KB |A| = K|B| 10. |An| = |A|n

Obs: si |A| 0 , entonces A se llama matriz no singular.

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Dadas las matrices :

A = [aij] 2 x 2 t.q aij =

jiji2

jij2i

B =

yx23

0yx2z

Si A = B ; calcular (x 2y)z Solucin :

A =

2221

1211

aa

aa

31)2(2a

02)1(2a

6)2(22a

3)1(21a

21

12

22

11

Luego :

A =

yx23

0yxB

63

032z

Entonces :

3z-2 = 3 z - 2=1 z = 3

x + y = 3 2x y = 6 3x = 9 x = 3

y =0 Luego : (x 2y)z (3 2(0))3 33 = 27

2) Sean A y B matrices de orden 2, tales que

AB=BA, sabiendo que A =

14

21,

calcular la traza de la matriz B. Si en B la suma de todos sus elementos es cero y el valor de su determinante es 36.

Solucin :

Si B =

dc

ba

AB ser :

b4da4c

d2bc2a

dc

ba

14

21

Ahora BA :

dc2d4c

ba2b4a

14

21

dc

ba

Datos : a + b + c + d + =0..........(1) |B| = ad bc = 36(2) Luego como AB = BA entonces : a + 2c = a - 4b

c = -2b b + 2d = 2a + b

a = d En Ec. (1) tenemos : a + b + c + d = 0 2a b =0 2a = b

Ahora en la Ec. (2) : ad bc = 36 a2 + 2b2 = 36 a2 + 2(2a)2 = 36 9a2 = 36

a = 2 Luego : a = 2 ; b = 4 ; c = 8 ; d = 2

B =

28

42

La traza es la suma de la diagonal principal: Tr (B) = 2 + 2 = 4 3) Halla la matriz x en :

95

53x

43

21

Dar como respuesta la suma de todos sus elementos: Solucin :

95

53

dc

ba

43

21

95

53

d4b3c4a3

d2bc2a

a + 2c = 3 b + 2d = 5 3a + 4c = 5 3b + 4d = 9

Resolviendo los sistemas tenemos :

a = -1; b =-1; c = 2 ; d = 3

x =

32

11 kij = -1 1 +2 +3

= 3


1).- Dadas :

A =

z14

111x ; B =

21

25

x

xy2x2

C =

14

52

Adems A = B; calcula A + C y luego da como respuesta a21 x a12

a) 225 b) 199 c) 288 d) 280 e) 150

2).- Sean las matrices :

A =

y1

xy3x

B =

x61

y62

C =

32

84

Si : A = B ; halla : 3A + 2C y da como respuesta la raz cuadrada positiva de a22

a) 5 b) 3 c) 2 d) 4 e) 1

3).- Resolver la ecuacin :

3x-2

x

31

125x

41

23

a)

4,24,0

8,16,1 b)

4,18,0

1,29,1 c)

3,23,0

9,06,1

d)

4,34,1

2,14,2 e)

4,29,0

1,28,0

2X2

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

LGEBRA

117

33571

823

534

x

33412

903

285

x

29

353

21

012

x

65

713

223

127

x


A =

13

12 2x2; B =

5c

1a

Tal que AB = BA

Calcula el valor de a + c a)4 b)3 c)2 d)7 e)1

5).- Calcula el determinante de:

D =

33341

235

312

x

a)10 b)20 c)30 d)50 e) 40

6).- Halla x en:

a) -2 b)2 c)6 d)5 e)10 7).- Halla x en:

a) 6 b) 13 c) 4 d) 8 e) 5 8).- Si las matrices :

A =

z2x81y

y212x

1z21x2

y

B =

185z

x2z13z

yx2y23

Son iguales, halla el valor de xyz

a) 12 b) 12 c) 6 d) 6 e) 24

9).-Halla el valor de xyuv si las matrices.

13

35y

vuyx

vuyx son iguales

a) 4 b) -8 c)8 d) 2 e) -2

10).- Si la matriz es simtrica.

65x

z12

3y1

3x3

Halla : x + y + z a) 6 b) 5 c) 4 d) 10 e) 4

11).-Dadas las matrices:

A=

13

42;

3

22

xB

yx

y

Si A = B. Calcular la suma de los elementos de la matriz A.

a) 10 b) 6 c) 11 d) 9 e) 12 12).- Dadas las matrices:

A =

12

37C;

54

32B;

22

53

Seala la suma de los elementos de la

matriz x que se obtiene al resolver la ecuacin matricial.

3(x 2A) = 5(B-C) + 2(x-A-B)

a) 20 b) 31 c) 33 d) 37 e) 47

13).- Si :

3

5

1

z

y

x

013

102

120

Calcula : x + y + z a) 1 b) 8 c) 3 d) 4 e) 5

14).- Calcula : (x - 15z)y si

A =

26y2

z351z2

0yx1

Es una matriz simtrica: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

15).- Sean las matrices:

5c

1aB

13

12A

tal que AB=BA

Calcular el valor de a y c. a) 4 y 2 b) 3 y 1 c) 3 y -2 d) 4 y 3 e) 3 y 3

16).- Sabiendo que la matriz es simtrica, halla :

(x + y + z + 13)1/3

A =

127zy

y5z292

71643x

a) 3 b) 5 c) 3 21 d) 2 e) N.A.


10

01I

47

95B

14

52A

Halle las matrices :

I. A+B II. 3A-2B III. A + 2B+3I

a)

612

36 ;

101

225 ;

1018

1315

b)

213

49 ;

102

139 ;

1018

1315

c)

313

36 ;

112

334 ;

1919

2214

d)

311

47 ;

112

334 ;

1018

1315

e) N.A.

18).- Se da la siguiente matriz simtrica:

333

41

1031

xbaca

ba

Calcula : E = 2a + 3b + c

a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 25/2 19).- Sean las matrices:

23

41B

43

21A

Halla : I. A2 + B2 II. AB III. BA IV. (A+B)2

a)

2014

1418 ;

249

88 ;

149

1411 ;

21

11

b)

3818

1420 ;

215

83 ;

149

1411 ; 22

21

11

c)

3818

1420 ;

209

85 ;

149

1411 ; 36

21

11

d)

1310

1814 ;

289

102 ;

138

109 ; 36

21

11

e) N.A. 20).- Calcula el determinante de:

B =

a) 71 b) 63 c) 87 d) 12 e) 36 21).- Halla el determinante de: M=

a) 100 b) 200 c) 300 d) 500 e) 0

2x2

3x3

2x2 2x2 2x2

3x3

3x3

LGEBRA

118

2x2CosSen

SenCos

2x22

2

2

22

2

t1

t1

t1

t2

t1

t2

t1

t1


C =

a) 1 b) Sen c) Cos d) 5 e) 4


B =

a) 1 b) 1+t2 c) 1- t2 d) 5 e) 4

24).- Calcula a, b, m. de modo que la siguiente sea una matriz identidad.

M =

1511

m41

40

a

5

b

10

a

114

m11

5

b3b

2

a

a40b20155

a2

Indique: a + b + m

a) 120 b) 125 c) 106 d) 104 e) 80 25).- Resuelve el sistema de ecuaciones:

x + y =

23

12

x y =

41

23

e indica la matriz xTy

a)

6/153

4/202 b)

54/3

34/5

c)

25/6

65/3 d)

4/154/1

4/294/3

e) N.A.


B =

a) 1 b) 3 c) 6 d) 12 e) 36

27).- Dadas las matrices:

A=

21

53 y B=

31

52

Calcula la suma de los elementos de la matriz: AB + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


1) c 2) b 3) c

4) e 5) e 6) a

7) e 8) b 9) c

10)a 11)a 12)e

13)b 14)a 15)d

16)a 17)d 18)d

19)c 20)c 21)a

22)a 23)a

IX. ECUACIONES LINEALES

Son aquellas ecuaciones que despus de transformadas y simplificadas adoptan la siguiente forma:

Ax + b = 0 a, b, x R; a 0 de donde despejando la incgnita x se tendr:

a

bx

DISCUSIN DE LA RAZ :

1. Si: a0 b0; la ecuacin es determinada

y el valor de x es nico (x = -b/a)

2. Si: a0 b = 0; la ecuacin es

determinada y la raz es nula (x =0).

3. Si: a=0 b0; la ecuacin es absurda o

incompleta (x=).

4. Si: a=0 b=0; la ecuacin es

indeterminada y el valor de x es

indeterminado (x=00 )

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Calcula el valor de x en:

6x(2x 1) 4x(3x+2)=8(x+5)+4 Solucin. 12x2 6x 12x2 8x = 8x +40 + 4

-6x - 8x -8x = 40 + 4 -22x = 44

x = -2

2).- Resuelve :

(x+1)2+(x 3)2 = (x 4)2 + (x 2)2 Solucin x2 +2x + 1 + x2 6x + 9 = x2 8x + 16 + x2 4x + 4 2x 6x + 10 = -8x 4x + 20 2x 6x +8x +4x = 20 - 10 8x = 10 x = 5/4

3).-Halla x en:

16

1x3

4

1x3

3

1x2

Solucin. M.C.M = 12

112

6

1312

4

1312

3

1212

xxx

12132133124 xxx

8x - 4 + 9x + 3 = 6x - 2 + 12

11x = 11 x = 1

4).- Calcula x en: (x+5) (x 1) = (x 1)2

Solucin x2 + 4x 5 = x2 2x + 1 4x + 2x = 1 + 5 6 x = 6

x = 1

5).- Resuelve : 15

22x13

15

)1x(4

5

)2x(3

Solucin

15

221315

15

)1(154

5

)2(3.15

xxx

221344189 xxx

13 x - 13 x = 22 - 22 0 x = 0

x = 0/0

El valor de x es indeterminado

3x3 3 1 1 1

1 12 1 1

1 1 1

LGEBRA

119

6).- Resuelve la siguiente ecuacin:

305

x

2

x3

4

x

5

2

5

x2

2

x

3

1

Solucin

5

150x

4

x5

5

2

10

x9

3

1

10

300x2

10

x5

10

x3

-4x = 300 x = 75 7).- Hallar el valor de x en:

0a

bx

b

xa

Solucin

bax...........

ba

babax..........

xabba

bbxaxa

bxbxaa

22

22

8).- Resuelve : 4x

1x

2x

3x

Solucin : (x+3) (x-4) = (x+1) (x-2) x2 x 12 = x2 x 2

ox = 10 Ecuacin incompatible 9).- Qu valor de x satisface la ecuacin :

6

7x2

3

1x5

4

2x3

Solucin : MCM (4, 3, 6) = 12

6

)7x2(12

3

)1x5(12

4

)2x3(12

3(3x 2) 4(5x 1) = 2(2x 7)

9x 6 20x + 4 = 4x 14

12 = 15x x = 4/5

10).- Resuelve : b

a

b

b2x

a

a2xa

bx

b

ax

Solucin :

b

a

ab

)b2x(a)a2x(b

ab

)bx(b)ax(a

b

a

ab2axab2bx

bbx-a-ax 22

b

a

x)ba(

)b-(a-b)x-(a 22

b

a

x)ba(

b)b)(a-(a-b)x-(a

b

a

x

b)(a-x

bx b(a+b) = ax bx - ax = b(a+b)

x = ab

bab 2

11).- Que valor de x satisface a la ecuacin :

5 +

x5

2x1

43

25

3x

1x1

43

2

Solucin : Reduciendo trminos semejantes en ambos miembros obtenemos :

x5

2x

3x

1x

(x-1) (x-5) = (x-2) (x-3) x2 6x + 5 = x2 5x + 6 -1 = x


1).- Resuelve :

3x + (-5 + 2x) = 2x-(-2x + 3)

a) 1 b) 0 c) 2 d) Indeterminado e) 8

2).- Resuelve la ecuacin :

02

3x2

3

2x3

5

1x5

a) 95

49 b) 90

69 c) 48

65

d) 97

69 e) 9059

3).- Calcula x en : (x + 5) (x 1) = (x 1)2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 4).- Si x1 es la solucin de la ecuacin: 5x(8 x) - 3x(5 3x) = -26 - 2x(7 2x)

el valor de E = 55+x

421

es:

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 5).- Halla el valor de x en:

0=10

7+x3+

5

3-x

3

1+x2- y dar como

respuesta 23x

a) -29 b) 39 c) -49 d) 59 e) 57 6).- Halla el valor de x en :

36

)5x(3

8

4x-

6

3x

y dar como respuesta 5

x-

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7).- Resuelve la siguiente ecuacin:

305

x

2

x3

4

x

5

2

5

x2

2

x

3

1

a) 15 b) 25 c) 55 d) 65 e) 75

8).- Halla el valor de x en: 0a

bx

b

xa

a) a+b b) a/b c) a b d) b/a e) N.A.

9).- Calcula x en: 1x

c1

b

c

x

b1

c

b

a) b b) c c) b+c d) bc e) 2bc

10).- Resuelve : x

3

)2x(x

6x2

2x

1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) incompatible

11).- Encuentra el valor de x en:

49x

14x2

7x6x

1x

7x8x

7x

222

a) 3/5 b) 5/3 c) 5/7 d) 7/5 e) 3/7

12).- Halla x en: 7

1x3xx9

a) 49 b) 1/49 c) 36 d) 1/36 e) N.A.

13).- Resuelve :

214x2x

2x4x

2x4x

14x2x 2

1

2

22

1

2

2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14).- La siguiente ecuacin es de 1er. grado

2xn+5 + 3x + n = 0; resuelvela sabiendo que : n es par.

a) 6 b) 1 c) 4/5 d) 3 e) 2

15).- Resuelve :

3x-1+5x

2115x

2

a) {5} b) {4} c) x{4;5}

d) x e) xR

LGEBRA

120

16).- Resuelve :

14x

4)2x(34x

4)3x(5

a) {4} b) {3} c) {2}

d) x e) xR 17).- Al resolver: (2k-1)x+4(x-k)=3 Se obtuvo como solucin x=-2. Determina

el valor de k. a) 3/4 b) 9/8 c) 8/9 d) 3/4 e) 8/9

18).- Resuelve : b2

ba1x

ba1x

a) a+b b) ab c) b/a

d) a/b e) ab1

19).- Qu condiciones cumple n, si la

ecuacin: n(x+1)=2(x+n-1) es indeterminada? a) 1 b) 2 c) -2 d) 1 e) 0

20).- Resuelve : 51

x101

41

x21

Determina : 3

x

a) 1 b) 3 c) -2 d) 1 e) 3

21).- Al resolver en x: (2n-3)x+5n(x-4)=3; se obtuvo: x=3 Halla :n

a) 7 b) 12 c) 6 d) 8 e) 6

22).- La ecuacin es de primer grado:

2xn-5 + 3xn-4 = 7n 3 Halla x a) 39/5 b) 12 c) 8 d) 6 e) 10

23).- Resuelve :

224x

5)x1(64x

5)3x(8

a) {4} b) {-2} c) {2}

d) x e) 3

24).- Resuelve :

2

2

2

2x

3x

10x6x

5x4x

a) 1 b) 2 c) d) e) N.A.

25).- Resuelve : x - 721x2

a) 5 b) 2 c) Indeterminada d) Incompatible e) 0

26).- Halla el valor de x en :

x217xx5x9xx4 222

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

27).- Resuelve :

05

7x

4

1

4

7x

3

1

3

7x

2

1

a) 27/31 b) 56/25 c) 45/17 d) 66/35 e) 25/56


1) e 2) e 3) a 4) d 5) c 6) c 7) e 8) c 9) c 10) a 11) d 12) b 13) b 14) c 15) b 16) a 17) b 18) d 19) b 20) c 21) b 22) e 23) a 24) d 25) a 26) c 27) b

X. SISTEMA DE ECUACIONES

1. DEFINICIN : Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Constituyen un sistema de ecuaciones lineales. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones simultneamente, recibe el nombre de solucin del sistema. Por ejemplo, la solucin del sistema : x + y = 7 y x y = 3 es x= 5; y =2

2. MTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

2.1. METODO DE REDUCCIN.- Cuando se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por nmeros, de manera que los coeficientes de una de las incgnitas en ambas ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los trminos de igual coeficiente son distintos, resuman las ecuaciones ; en caso contrario, se restan. Consideremos el sistema :

(1) 2x y = 4 (2) x + 2y = -3 Para eliminar y , se multiplica la Ec. (1) Por 2 y se suma con la Ec.(2), obteniendo:

2 x (1) : 4x 2y = 8 (2) : ... x + 2y = -3

Suma: 5x = 5 ; o sea x = 1

Sustituyendo x = 1 en la ec. (1), se obtiene :

2 y = 4 , o sea y= -2.

Por tanto, la solucin del sistema es :

x = 1; y = -2

2.2 MTODO DE SUSTITUCIN.- Consiste en despejar una incgnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuacin. Ejemplo : Segn el ejemplo anterior : (1) : 2x y = 4 (2) : x + 2y = -3 Despejamos y en la ec. (1) y la reemplazamos en la ec. (2).

2x y = 4 y = 2x 4 .....(3)

En (2) x + 2 (2x 4=) = -3 x +4x 8 = -3 5x = 5 x = 1 Luego en (3) y = 2x - 4 y = 2(1) - 4 y = -2

2.3 MTODO DE IGUALACIN.- Se despeja

la misma incgnita de cada ecuacin para luego igualarla.

Sea el sistema (1) : 2x y = 4

(2) : x + 2y = -3

De (1) despejamos x :

x = 2

4y ..........()

De (2) despejamos x :

x = 3 2y .......() Luego : () = ()

2

4y = - 3 2y

LGEBRA

121

Resolviendo : y + 4 = -6 4y 5y = -10 y = -2

Reemplazando: x = 1

3. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES (DE ACUERDO A SU SOLUCIN)

Se tiene :

a1x + b1y = c1 ....L1 ax + by = c .......L2

3.1 SISTEMA COMPATIBLES.- Aquellos

que tiene solucin se subdividen en : A) Determinados : Nmero de soluciones limitado.

b

b

a

a11

B) Indeterminados : Nmeros de soluciones ilimitado.

c

c

b

b

a

a111

3.2. SISTEMAS INCOMPATIBLES,

IMPOSIBLES O ABSURDOS : Aquellos que no tienen solucin.

c

c

b

b

a

a111

PROBLEMAS RESUELTOS

1) 5y = 3 2x 3x = 2y + 1 Halla (x + y)

Solucin :

y = 5

x23 y =

2

1x3

2

1x3

5

x23

6 4x = 15x 5

11 = 19x 19

11=x

y = 5

19

1123

y = 19

7

95

35

95

2257

Luego : x + y = 19

18

19

7

19

11

2) Resuelve :

26

1y

3

2x

12

1y2

4

3x

Halla y Solucin :

2x - 4 + y + 1 = 12 x + 3 4y + 2 = 4 2x + y =15 x 4y = -1 Luego : 2x + y = 15 ............... ( 1 ) x 4y = -1 ................ ( 2 )

2x + y = 15

-2x+ 8y = 2

y = 17/9

3) Resuelve y halla x

4y

3

x

4

3y

6

x

2

Solucin :

a = y

1b

x

1

4a + 3b = 4 ..............(1) 2a 6b = -3 .............(2) x 2 a (1) 8a + 6b = 8 2a 6b = -3

10a = 5 a =

x = 2 4) Dado:

2x + ky = 5k 5x 4y = -27 Para que valor de k es incompatible.

Solucin:

8k5

k7

k58

k27k20

45

k2

427

kk5

x

Para que no exista solucin debe cumplirse que: -5k 8 = 0

k = 5

8

5) Halla x en:

3

20

y2

5x3

; 3x + 4y = 31

Solucin:

3(3x - 5) = 2y(20) 9x -15 = 40y

9x - 40y = 15 3x + 4y = 31 ............x10

9x 40y = 15 30x + 40y = 310 39x = 325

x = 39

325

6) Halla (x + y)2 , si

102

yx;6y

3

y3x4

Solucin: 4x 3y = 3y + 18 ; x y = 20 Luego: 4x 6y = 18 x y = 20.......x 4 4x 6y = 18 4x 4y = 80 -2y = -62 y = 31 x 31 = 20 x = 51 (x+y)2 = (51+31)2 = 822

(x+y)2 = 6724

7) Resuelve:

5x 3y = 11 4x 5y = 1

Solucin: 5x 3y = 11 ........x 5 4x 5y = 1 ........ x 3 25x 15y = 55 -12x + 15y = -3 13x = 52 x = 4

Los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas se resuelven eliminando una incgnita en 2 ecuaciones cualesquiera y a

continuacin eliminando la misma incgnita en

otras dos.

NOTA

LGEBRA

122

Ahora y 5(4) 3y = 11 20 11 = 3y

3

9= y

3 = y C.S. = {4; 3} 8).- Resuelve: -7x + 5y = -45

4x 3y = 26 Solucin: Utilizando determinantes tenemos:

52021

130135

34

57

326

545

x

22021

180182

34

57

264

457

y

C.S = {5; -2}

9).- 5y = 3 2x 3x = 2y + 1

Halla (x + y)

Solucin :

y = 5

x23 y =

2

1x3

2

1x3

5

x23

6 4x = 15x 5

11 = 19x 19

11= x

y = 5

19

1123

y = 19

7

95

35

95

2257

Luego : x + y = 19

18

19

7

19

11

10) Resuelve :

26

1y

3

2x

12

1y2

4

3x

Halla : y Solucin :

2x - 4 + y + 1 = 12 x + 3 4y + 2 = 4 2x + y =15 x 4y = -1 Luego : 2x + y = 15 ............... ( 1 ) x 4y = -1 ................ ( 2 ) Multiplicamos x 2 a la Ec.(2) 2x + y = 15

-2x+ 8y = 2

9y = 17 y = 17/9 11) Resuelve y halla : x

4y

3

x

4

3y

6

x

2

Solucin :

a = y

1b

x

1

4a + 3b = 4 ..............(1) 2a 6b = -3 .............(2) x 2 a (1) 8a + 6b = 8 2a 6b = -3

10a = 5

a = 5/10 a = x = 2

PRCTICA DIRIGIDA N10 1).- Resuelve : 5x y = 9 2x + 4y = 8

Indica : "y

x"

a) 4 b) 6 c) 5 d) 2 e) 3

2).- Resuelve : x 7 = -y z 8 = -x y 3 = -z

Indica : xyz

a) 12 b) 15 c) 18 d) 36 e) 24

3).- Resuelve : 9x - 7y = -52 5x + 3y = -22

a) (0; 9) b) (-2, 7) c) (-1; 4) d) (-5; 1) e) (-2; 0)

4).- Resuelve : 312y53x3

312y73x2

Indica : x + y a) 9 b) 30 c) 34 d) 29 e) 7

5).- Calcula : yx si :

39xy53x3

9xy3x5

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

6).- Resuelve: 13x + 17y = 133 17x + 13y = 137 Indica: xy

a) 8 b) 18 c) 20 d) 21 e) 30

7).- Resuelve: 5x + y = 125

3x - y = 81

Indica : y

"x"

a) 5 b) 2 c) 7 d)-3 e)-2

8).- Resuelve:

3,12

y

5

x

2x y = 1

Indica el valor de y. a) 1 b) 4 c) 6 d) 3 e) 2

9).- Resuelve : 3(x + 1) = 16 + 2(y - 1)

117

y4

17

x5

Indica el valor de "y

x"

a) 5,5 b) 4,5 c) 1,5 d) 3,5 e) 2,5

LGEBRA

123

10).- Resuelve :

10y

7

x

9

2y

4

x

6

Indica : y a) 2 b) 1/3 c) -1 d) 1/2 e) 0

11).- Resuelve :

4

1

1y

7

x

4

4

5

1y

3

x

1

Indicando el valor de x. a) 3 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2

12).- Calcula : xyz; si : x + y = 18 ; x + z = 23; y + z = 25

a) 360 b) 720 c) 1200 d) 2000 e) 1000

13).- Si : yz = 24; zx = 10; xy = 15 Halla : x + y + z

a) 11/2 b) 9/2 c) 25/2 d) 7/2 e) 5/2

14).- Indica el menor valor para una de las

variables: x + y + z = 2

x + y + w = 8 y + z + w = 5 x + z + w = 3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 1 e) 3

15).- Si : x = y en el sistema : ax + 4y = 119 5x ay = 34

Halla a a) 6 b) 7 c) 2 d) 3 e) 2

16).- Resuelve : 2y3

1

x4

1

1x2

1

y

1

Indicando : 1/x2

a) 36 b) 16 c) 1/4 d) 4 e) 1/36

17).- Calcula x/y al resolver el sistema.

3

4x - y = 2

2

1x +3y = 5

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18).- Resuelve :

6y2x8

4y3x2

Indicando el valor de x + y

a) 8 b) 9 c) 11 d) 4 e) 6

19).- Dado el sistema:

22y2x7

16y3x2

Halla y/x

a) 2 b) 4 c) 16 d) 8 e) 10

20).- Resuelve:

6

5

y

1

x

1

6

11

y

5

x

7

a) {2; 3} b) {3; 2} c) {-2; 3} d) {2; 1} e) {-2; -3}

21).- Calcula : x y , si :

1yx7

4

yx3

1

5

8

yx7

9

yx3

1

a) 2 b) 1 c) 2 d) 0 e) 1

22).- Calcula : x y al resolver :

6

7

y

2

x

1

3

4

y

1

x

2

a) 2 b) 3 c) 1 d) 1 e) -2

23).- Calcula xy en el sistema :

x + 1 = y2

1

x 1= y

1

a) 1/4 b) 3 c) 12 d) e) 1/4

24).- Calcula x al resolver :

35y

3

2x

10

5

11

2x

4

5y

9

a) 7 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1


1) d 2) a 3) d

4) b 5) c 6) c

7) c 8) d 9) e

10)c 11)e 12)c

13)c 14)a 15)d

16)b 17)e 18)b

19)b 20)a 21)b

22)d 23)d 24)a

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