Complementos de Matemáticas 3. Algunas funciones …materias.fi.uba.ar/opto/mate/ComplMat3.pdf ·...

MAESTRIA EN OPTOELECTRONICAComplementos de Matemáticas

3-1

3. Algunas funciones especialesRepresentación de funciones por series

Muchas funciones matemáticas de la ingeniería pueden representarse mediante seriespara su manejo y cálculo. Las series e integrales de Fourier son ejemplos de este tipo,pero hay otras representaciones por series que son de utilidad y cuyas propiedadesvamos a ver en forma resumida en esta sección.Si a cada entero positivo n podemos asociar un número un el arreglo ordenado:

u1, u2, …, un, …se conoce como una secuencia infinita. Simbolizaremos con un al término general dela secuencia. Si existe el límite:

Uunn=

∞→lim

se dice que la secuencia es convergente y converge al valor U. Si el límite no existese dice que la secuencia es divergente.La suma de los términos de una secuencia infinita se denomina serie infinita:

∑∞

=

=++++1

21 ......k

kk uuuu

Esta serie tiene asociada la secuencia de sumas parciales:

∑=

=

+==

n

kkn uS

uuSuS

1

212

11

M

Decimos que la serie es convergente y converge al valor S si la secuencia de sumasparciales converge a un límite finito:

SSnn=

∞→lim

Si tal límite no existe la serie se denomina divergente. Una noción asociada es la no-ción de convergencia absoluta y condicional. Decimos que la serie converge abso-lutamente si la serie formada por los valores absolutos de los términos de la serie origi-nal es convergente:

∑=

=n

kkn uS

1

es absolutamente convergente si SuSn

kknnn

′==′ ∑=

∞→∞→1

limlim

Esta es una condición muy fuerte, ya que en general los signos de distintos términos dela serie serán diferentes y habrá cancelaciones parciales. En el caso de tomar los valo-res absolutos las sumas parciales serán siempre mayores que las sumas parciales de laserie original, de manera que la convergencia de la serie de valores absolutos asegurala convergencia de la serie original.Por otra parte, si la serie original es convergente pero la serie asociada de valores ab-solutos de sus términos diverge, la serie original se denomina condicionalmente

convergente: ∑=

=n

kkn uS

1

es condicionalmente convergente si:

∑=

∞→

n

kkn

u1

lim no existe y Sun

kkn=∑

=∞→

1

lim


3-2

Las representaciones de funciones por series convergentes son de mucho uso en el cál-culo y en la determinación de propiedades. También las series divergentes se puedenusar para el cálculo en ciertos casos, como veremos en una sección posterior.Criterios de convergenciaDebido a la importancia de las series convergentes, se han desarrollado distintos crite-rios de convergencia a partir de las propiedades del término general de la serie.• Una condición necesaria, pero no suficiente, para que una serie sea convergente,

es que el límite del término general de la serie se anule: 0lim =∞→

kku

Si la serie es de términos con signos alternativos (cosa frecuente en la representa-ción de las llamadas "funciones especiales") entonces esta condición es suficientepara determinar al menos la convergencia condicional de la serie.

• Para series de términos positivos otro criterio es comparar el término general de laserie con el correspondiente a una serie convergente (o divergente):

∑=

=n

kkn uS

1

converge si

≤>

∀kk

k

auu

k 0

y ∑=

=n

kkn aA

1

es convergente

∑=

=n

kkn uS

1

diverge si

≥>

∀kk

k

auu

k 0

y ∑=

=n

kkn aA

1

es divergente

• Si Uun nn=

∞→

αlim entonces:

∑=

=n

kkn uS

1

converge si α > 1 y U es finito

∑=

=n

kkn uS

1

diverge si α ≤ 1 y U ≠ 0 (U puede ser no finito)

• El test de convergencia más usado es el test de relación entre términos sucesivos:

Sea n

nn u

uL 1lim +

∞→= . Entonces: ∑

=

=n

kkn uS

1

1

1>

<L

L si divergente es

si econvergent nteabsolutame es

Si L = 1 el test falla y no puede extraerse ninguna conclusión.

• Escribamos el término general de una serie como una función de n: f(n) = un. Enton-ces vale el siguiente criterio de convergencia:

Si f(x) es positiva, continua y no decreciente para x ≥ a, ∑=

=n

kkn uS

1

converge o diver-

ge según la convergencia o divergencia de la integral impropia ∫∞

a

dxxf )(

Series de potenciasMuchas funciones admiten representaciones en series convergentes de potencias delargumento. Las más simples (y usadas) son los desarrollos de McLaurin. Por ejemplo:

∑∞

=

=0 !k

kx

kxe ∑

∞

=

+

+

−=0

12

)!12()()(

k

kk

kxxsen ∑

∞

=

−=0

2

)!2()()cos(

k

kk

kxx

Las series de las funciones trigonométricas se deducen de la serie de la exponencial porel teorema de De Moivre: )()cos( xsenixeix == .


3-3

Mediante el test de relación se demuestra fácilmente que estas series son absoluta-mente convergentes para todo x, pero para grandes valores del argumento las seriesalternadas de las funciones trigonométricas pueden causar grandes errores por cance-lación de cifras y redondeo al restar números grandes similares.Series asintóticasEn general, decimos que una función f(x) es asintótica a otra función g(x) (habitual-mente más sencilla) en un entorno de x = a, si:

1)()(lim =

→ xgxf

ax ⇒ )()( xgxf ≈ para x → a.

Las representaciones asintóticas más usadas son se-ries que aproximan a una dada función para x gran-

des (x → ∞): ∑=

=≈n

kkk

nxaxSxf

0

)()( para x → ∞.

Habitualmente la serie con infinitos términos es diver-gente, de modo que la representación asintótica debedetenerse en un número finito de términos. El mate-mático francés Jules Henri Poincaré (1854-1912 - fo-to) dio en 1886 una definición precisa de representa-ción asintótica:

∑=

=n

kkk

nxaxS

0

)( es representación asintótica de f(x)

para x → ∞ si: 0)()(lim =−∞→

xSxfx nn

x

Ejemplo

Por ejemplo, consideremos la función definida por una integral: ∫∞ −

>=x

txdt

texf 0 )(

Podemos obtener una representación en serie asintótica para x grandes integrando porpartes sucesivamente:

Sea 1−= tu ⇒ dttdu 2−−= , dtedv t−= ⇒ tev −−= ⇒ ∫∫∞ −−∞ −∞−

−=−−=x

tx

x

t

x

tdt

te

xedt

te

texf

22)(

Repitiendo la integración por partes:

2−= tu ⇒ dttdu 32 −−= , dtedv t−= ⇒ tev −−= ⇒ ∫∞ −−−

+−=x

txxdt

te

xe

xexf

322)(

y entonces podemos extrapolar a:

∫∞

+

−−− ×××−+

−×××−+−×+−=x

n

tn

nnx dt

ten

xn

xxxexf

11

32...321)()1(...321)(...2111)(

de donde nos queda la serie asintótica: ∑∫=

−∞ −−=≈=

n

kk

kx

nx

t

xk

xexSdt

texf

0

!)()()(

Como el factorial crece más rápidamente que la función potencial del denominador paracualquier x finito, la serie es divergente.

También puede demostrarse el criterio de Poincaré.


3-4

Se observa en la gráfica el logaritmo natural de lostérminos de la serie en función de k para tres valoresde x. Se ve que los términos de la serie disminuyenhasta un valor de k cercano a x y desde ahí comien-zan a aumentar, llevando la serie a diverger. Las se-ries asintóticas deben truncarse cuando el términocomienza a crecer, y entonces se obtendrá la mejoraproximación. Por lo tanto, esta representación asin-tótica debe tomarse hasta un número de términoscercano al valor del argumento x para obtener unabuena aproximación.

Funciones gamma

La función gamma surgió en 1729 de las investigaciones del matemático suizoLeonhard Euler (1707-1833 – imagen izquierda) para generalizar a números reales laexpresión del factorial:

∫∞

−=0

! dtten nt

que está definida para enteros n. La notación moderna, debida al matemático francésAdrien-Marie Legendre (1752-1833 – imagen central), es:

∫∞

−−=−=Γ0

1)!1()( dttexx xt

La función gamma aparece en expresiones y desarrollos en serie vinculados a otrasfunciones especiales y en el cálculo de diversas integrales de uso común en la ciencia ytecnología.Varias propiedades de la función gamma surgen de una representación debida al ma-temático alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855 – imagen derecha):

))...(2)(1(!lim)(

n nxxxxnnx

x

+++=Γ

∞→

Este límite existe para todo x positivo, y para x negativo no entero. No está definidopara x = 0, -1, -2,...,etc: 0)(1 =−Γ n .

x = 12

x = 26

x = 34

k

( )kxk!ln


3-5

De la expresión de Gauss se ve que: 1)!1()!1(lim

)1...(3.2.1!lim)1(

nn=

++=

+=Γ

∞→∞→ nn

nnn

Y además: )())...(2)(1(

!1

lim)1)...(2)(1(

!lim)1(n

1

nxx

nxxxxnn

nxnx

nxxxnnx

xx

Γ=+++++

=++++

=+Γ∞→

+

∞→

Algunas otras propiedades importantes de la función gamma son las siguientes:

π=Γ )½( )½()(2)2(12

+ΓΓ=Γ−

xxxx

π xxxx

ππ )sen()()( =−ΓΓ

En la figura se grafica la función gamma para x real. Seobservan las discontinuidades infinitas para los enterosno positivos.Todas las expresiones asociadas a la función gamma deargumento real son válidas también para argumentoscomplejos.

Métodos de cálculoDado que la función gamma crece rápidamente, es ha-bitual calcular su logaritmo para evitar overflow. Existenvarios desarrollos asintóticos de la función gamma. Qui-zás uno de los más útiles sea el desarrollado porLanczos1:

( ) ( )

∈+

++

++

++

++

++

+++≈+Γ +−+

65432125.5)1( 654321

05.52

1

zc

zc

zc

zc

zc

zccezz zz π

con:

c0 = 1.000000000190015c1 = 76.18009172947146 c2 = -86.50532032941677 c3 = 24.01409824083091c4 = -1.231739572450155 c5 = 1.208650973866179 E-3 c6 = -5.395239384953 E-6

El error є cometido con esta aproximación es ׀є2 > ׀x10-10, para Re(z) > 0.A continuación se presentan dos programas cortos para Yorick que calcula la funcióngamma y el logaritmo de la función gamma para argumentos reales. Las funciones de-vuelven nil (resultado vacío) para argumentos enteros no positivos. Estos programas sehan usado para la gráfica de la función gamma.func gammjc(x){

local coef,x1,i,sgamma,Tol;

coef = [76.18009172947146, -86.50532032941677, 24.01409824083091, -1.231739572450155, 1.208650973866179e-3, -5.395239384953e-6];

Tol = 1e-14;if (x==0) return (nil);if ((x<0) && (abs(x-ceil(x))<Tol)) return (nil);x1 = x;sgamma = 1.000000000190015;for (i=1; i<=6; i++) sgamma += coef(i)/x1++;x1 = x+4.5;

1 Tomado de Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd Ed.

(http://www.library.cornell.edu/nr/bookcpdf.html)


3-6

return ((x1^(x-.5))/exp(x1)*2.506628274631001*sgamma);}func lngammjc(x){

local coef, x1,i,lgamma,Tol;

coef = [76.18009172947146, -86.50532032941677, 24.01409824083091, -1.231739572450155, 1.208650973866179e-3, -5.395239384953e-6];

Tol = 1e-14;if (x==0) return (nil);if ((x<0) && (abs(x-ceil(x))<Tol)) return (nil);x1 = x;lgamma = 1.000000000190015;for (i=1; i<=6; i++) lgamma += coef(i)/x1++;x1 = x+4.5;return(log(lgamma)+(x-.5)*log(x1)+0.9189385332046727-x1);

}

Nótese que en estos programas no está contemplado el caso de argumentos complejos.Funciones de BesselLas funciones de Bessel y asociadas surgen al resolver problemas de simetría cilíndrica.Muchos de los sistemas ópticos tienen esta simetría, por lo que analizaremos algunasde sus propiedades y métodos de cálculo.

Las funciones de simetría cilíndrica que posteriormente serían conocidas como funcio-nes de Bessel fueron en realidad descubiertas por Daniel Bernouilli (1700-1782 - ima-gen izquierda), quien expresó en 1732 las oscilaciones de una cadena pesada colgantecomo un desarrollo en serie que era una de estas funciones. Más tarde, Leonhard Eulerestudió en 1764 las oscilaciones de una membrana circular y estableció la ecuación di-ferencial que conocemos como ecuación de Bessel y finalmente Jean Baptiste JosephFourier (1768-1830 - imagen central) usó estas funciones en su tratado clásico de latransmisión del calor en 1822. Sin embargo, estas funciones no tuvieron un estudio se-rio de sus propiedades y aplicaciones hasta 1824, en que Friedrich Wilhelm Bessel(1784-1846 - imagen derecha) publicó un trabajo sobre su ecuación diferencial y laspropiedades generales de sus soluciones. Bessel era un reconocido astrónomo alemán,que calculó por primera vez la órbita del cometa de Halley y usó estas funciones pararesolver un problema del movimiento planetario presentado por Kepler.Para ver cómo surgen estas funciones en la solución de problemas de simetría cilíndricavamos a analizar la ecuación de Helmholtz que describe la propagación de camposelectromagnéticos en un sistema de coordenadas cilíndricas.


3-7

En coordenadas cilíndricas la ecuación escalar de Helmholtz es:

011 0)()( 22

2

2

2

222 =+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⇒=+∇ fk

zffffkf

φρρρ

ρρrr

y separamos variables en la forma:

22

2

2

2

2

111 )()()(),,( kdz

ZdZd

dddR

dd

RzZRzf −=+Ψ

Ψ+

⇒Ψ=

φρρρ

ρρφρφρ

Multiplicamos por ρ2 y reagrupamos: 22

222

2

22 1 λφ

ρρρ

ρρ

ρ =ΨΨ

−=++

ddk

dzZd

ZddR

dd

RDado que el primer miembro de la igualdad depende de ρ y de z, mientras que el se-gundo depende solamente de φ.

Tenemos: φλφλφ

iedd ±=Ψ⇒=Ψ+Ψ )( 02

2

2

Ya que debe ser: φφλφπφ inen ±=Ψ⇒=⇒Ψ=+Ψ )( )()2( con n entero.

Queda así: 2222

22

nkdz

ZdZd

dRdd

R=++

ρρ

ρρ

ρρ y dividiendo nuevamente por ρ2 y

reagrupando: 22

2

2

22 11

zkdz

ZdZ

nkddR

dd

R=−=−+

ρρ

ρρρ

Tenemos: zikz

zezZZkdz

Zd ±=⇒=+ )( 022

2

y la última ecuación en ρ: 01 012

22

2

222 =

−+

⇒=−−+

RnkddR

ddnkk

ddR

dd

R tz ρρρ

ρρρρρ

ρρ

con: 222zt kkk −= , que es la ecuación de Bessel.

Esta ecuación tiene soluciones:

)()()( )()()(

)()()( )()()(

)4()3(

)2()1(

ρρρρρρ

ρρρρρρ

tntn

tntnt

tntn

tntnt

kHBkHARkKBkIAR

k

kHBkHARkYBkJAR

k

+=+=+=

+=

:imaginario

:real

• Para kt real soluciones independientes son las funciones de Bessel Jn y de Neu-mann Yn (gráficas), por una parte, o alternativamente las funciones de Hankel de

J0

J1J2 J3 J4

ζ

ζY0

Y1

Y2

Y3

Y4


3-8

primera y segunda especie )1(nH y )2(

nH . Estas funciones de Hankel se pueden ex-presar en términos de las otras soluciones como:

)()()( )()()( )2()1( ζζζζζζ nnnnnn jYJHjYJH −=+=

Desde el punto de vista físico, las funciones de Hankel se usan para representar si-tuaciones de propagación de ondas. La representación asintótica de estas funcionespara grandes argumentos son ondas cilíndricas elementales. Las funciones de Bessely Neumann se usan en la representación de campos cuasi-estáticos y también decampos ondulatorios que se propagan en la dirección z del eje de simetría cilíndrica.

• Para kt imaginario soluciones independientes son las funciones modificadas deBessel In y de Neumann Kn (gráfica), por una parte, o alternativamente las fun-

ciones de Hankel modificadas de tercera y cuarta especie )3(nH y )4(

nH . Estasfunciones de Hankel se pueden expresar en términos de las otras soluciones como:

)()()( )()()( )4()3( ζζζζζζ nnnnnn jKIHjKIH −=+=

En este caso kt imaginario indica que no existe propagación en dirección radial(aunque puede haberla en la dirección longitudinal z).

Por superposición, nos queda la siguiente solución de la ecuación de Helmholtz:

[ ][ ]∑∞

=

−++=0

)()sen()cos()()(),(N

zktinntnntnn

zenDnCkgBkfAtf ωφφρρr

donde fn y gn son cada par de funciones de Bessel linealmente independientes defini-das en lo precedente.En lo que sigue trataremos únicamente con las funciones de Bessel y asociadas, ya quelas funciones modificadas tienen pocas aplicaciones en la optoelectrónica.La condición de contorno sobre la coordenada angular φ lleva a que las funciones deBessel solución tengan orden entero n. En general, el orden de las funciones de Besselpuede ser cualquier número real ν. La ecuación diferencial correspondiente es:

0112

2

2

2=

−++ f

ddf

dfd

ζν

ζζζ

Inn

Kn

n


3-9

Función generatriz y desarrollo en serie de potenciasDiversas propiedades de las funciones de Bessel surgen de la llamada función gene-ratriz de las funciones de Bessel Jn:

−=

ttxtxw 1

2exp),( ⇒ ∑

∞

−∞=

=n

nn txJtxw )(),(

que lleva a una representación de las funciones de Bessel de orden entero en serie depotencias. Para obtener esta representación, separamos la exponencial y desarrollamoscada factor en serie de McLaurin:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∞

=

∞

=

−+∞

=

∞

=

−=−=

−

=

−=

0 000 !!2/

!2/

!2/

2exp

2exp1

2exp),(

j k

kjkjk

k

k

j

jt

kjx

ktx

jxt

txxt

ttxtxw

Cambiamos ahora el índice j al índice n = j - k. Como tanto j y k varían entre 0 e ∞ elíndice n variará entre -∞ e ∞:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∑∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

=

+∞

=

∞

=

−+

=

+−=−=

n

nn

n

n

k

nkk

j k

kjkjk

txJtknk

xtkj

xtxw )()!(!

2/!!2/),(

0

2

0 0

de donde surge la representación en serie de potencias: ( ) ( )∑∞

=

+

+−=

0

2

)!(!2/)(

k

nkk

nknk

xxJ

La función Jn(x) es la función de Bessel de primera especie de orden (entero) n, comopuede demostrarse llegando a la ecuación diferencial a partir de esta serie.La serie que representa a la función generatriz usa valores negativos y positivos delorden n. Esto nos permite obtener una expresión de Jn para el caso de orden negativo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

−

−+−Γ

−=+−Γ

−=−

−=nk

nkk

k

nkk

k

nkk

nnkk

xnkk

xnkk

xxJ)1(!

2/)1(!

2/)!(!

2/)(2

0

2

0

2

donde se ha usado la representación del factorial en términos de las funciones gamma(n! = Γ(n+1)) y la propiedad 1/Γ(x) = 0 para x = 0, -1,-2, ….Cambiando el índice de la suma: k = m + n tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )()!(!

2/)1()!(

2/)(0

2

0

)(2xJ

nmmx

nnmnmxxJ n

n

m

nmmn

m

nnmnm

n −=+

−−=+−+Γ+

−= ∑∑∞

=

+∞

=

−++

− ⇒ ( ) )()( xJxJ nn

n −=−

De la misma manera es fácil ver que, para argumento negativo: ( ) )()( xJxJ nn

n −=−

Este desarrollo en serie se puede generalizar a funciones de Bessel de orden real ν y

argumento complejo z: ( ) ( )∑∞

=

+

++Γ−=

0

2

)1(!2/)(

k

kk

kkzzJν

ν

ν

y permite calcular las funciones de Bessel para pequeños argumentos. El test de con-vergencia que usa la relación entre términos consecutivos lleva a:

( ) ( )

( ) ( )( ) 0

)1)(1(2/lim

)1(!2/

)2()!1(2/

limlim2

2

221

1 =+++

=

++Γ−

++Γ+−

=∞→+

+++

∞→+

∞→ kkz

kkz

kkz

u

ukkk

kk

kk

kk ν

ν

νν

ν

y entonces la serie es absolutamente convergente.


3-10

La representación en serie permite también obtener la representación asintótica de las

funciones de Bessel para z → 0:ν

ν

→→ 2

)(0

zxJz

Existe una representación en serie de potencias similar para las funciones de Neumannde argumento entero, pero no es muy útil para su cálculo. La única representación enserie usada habitualmente es para Y0(z):

∑∞

=

+++

−−

+

=1

2

2

01...

211

)!(

)2()(22

ln2)(k

kk

kk

xzzYπ

γπ

donde γ es la llamada constante de Euler-Mascheroni:

...01535772156649.0ln1lim1

≈

−= ∑

=∞→

nkn

kn

γ

Las funciones de Neumann se pueden calcular a partir de Y0(z) y propiedades que lasligan con las funciones de Bessel.

Fórmulas de recurrencia y otras relacionesLas funciones de Bessel cumplen fórmulas de recurrencia que relacionan funcionesde índice sucesivos:

)()()()()(

0)(2)()(

11

11

zfz

zfzfz

zfzf

zfz

zfzf

ννννν

ννν

νν

ν

+=−=′

=−+

+−

+− donde )(),()( zYzJzf ννν = y

dz

dfzf ν

ν =′ )(

Estas relaciones también se aplican a las funciones de Hankel de primera y segundaespecie, y pueden demostrarse a partir de la representación en serie de potencias.De la segunda relación, para ν = 0: )()( 10 zfzf =′

Una relación muy útil entre funciones de Bessel y de Neumann es el wronskiano:( ) )(2)()()()()(),( 11 zzYzJzYzJzYzJW πνννννν =−= ++

que permite calcular las funciones de Neumann a partir de las funciones de Bessel yrecurrencia.Representaciones en series convergentesLa representación en serie de potencias de las funciones de Bessel permite un métodode cálculo sencillo:

( ) ( ) )1(!

2/ )(2

0 ++Γ−==

+∞

=∑

kkzuuzJ

kk

kk

kν

ν

ν)1)(1(4

21

+++−=+

kkz

u

u

k

k

ν

Sumamos hasta satisfacer el criterio de convergencia: Toluu kk <+1

donde Tol es una tolerancia prefijada.

Sin embargo, desde el punto de vista numérico, como la serie es alternante, para gran-des valores del argumento los primeros términos son crecientes con el índice y enton-ces se deben restar términos grandes de valor similar lo que puede producir erroresimportantes por cancelación y redondeo.Para evitar este problema dividiremos la serie en una serie de términos positivos y otraserie de términos negativos y realizaremos la resta una vez lograda la convergencia dela serie más lenta.


3-11

El siguiente programa para Yorick requiere argumento real positivo y orden entero, y seha usado para realizar la gráfica de Jn de esta sección.func bessjc(x,n){ local Tol,m,ax,ax2,uk,sumpl,summi,sw,k,mk,f;

Tol = 1e-14; ax = abs(x); m = abs(n); if((m-ceil(m))>Tol) return(nil); m = ceil(m); if(m==0) uk = 1.0; else {

uk = (ax/2.0)^m;for(k=2; k<=m; k++) uk /=k;

} ax2 =ax*ax/4.0; sumpl = uk; summi = 0.0; sw = 1; k = 1; mk = m+1; do {

f = ax2/k/mk; uk *= f;if(sw > 0) summi += uk;else sumpl += uk;if (max(uk) > Tol) sw = -sw;else sw = 0;k++; mk++;

} while (sw !=0); sw = 1.0; if(n<0) sw = (-1.0)^m; return(sw*(sumpl-summi));}

Las funciones de Bessel se pueden calcular aplicando las relaciones de recurrencia so-bre el orden. En el caso de las funciones de Neumann se ve en la gráfica que, para unargumento dado, las funciones crecen (en valor absoluto) con el orden. Entonces sepuede usar la recurrencia directa (en orden creciente) para calcular las funciones Yn.

Un esquema posible es:• Calcular Y0 usando la serie de potencias de la subsección precedente.• Calcular J0 y J1 usando la serie de potencias respectiva.

• Calcular Y1 a través del wronskiano.• Calcular sucesivamente {Yn} mediante recurrencia directa.

Para las funciones de Bessel la recurrencia funciona al revés, en el orden decreciente,porque en general las funciones de orden menor son mayores (en valor absoluto) paraun argumento dado. Por ello la recurrencia inversa suele usarse para la confección detablas, pero es de más dificultosa utilización que el desarrollo en serie de potencias o larepresentación asintótica que veremos más abajo.Para grandes valores del argumento es mejor usar una representación asintótica, comopor ejemplo2:

−−→

−−→⇒∞→

42sen2)(

42cos2)( πνπ

ππνπ

π νν zz

zYzz

zJz

2 "Handbook of Mathematical Functions", Ed. By M.A.Abramowitz & I.Stegun. Dover, New York, 1972, p.364.


3-12

Representaciones integrales

En varias situaciones la representación integral de las funciones de Bessel es más útilque la representación en serie.Una representación integral simple para las funciones de Bessel Jn de orden entero sepuede hallar a partir de la función generatriz:

0 )(12

exp),( ≠=

−= ∑

∞

−∞=

ttxJt

txtxwn

nn

Si definimos: φφφφ sen21 jeettet jjj −=−=−⇒= −−

entonces la expresión de la generatriz queda: ∑∞

−∞=

−− =n

jnn

jx exJe φφ )(sen

Multiplicamos ahora esta ecuación por φjme e integramos entre 0 y 2π:

∑ ∫∫∞

−∞=

−− =n

nmjn

xmj dexJdeπ

φπ

φφ φφ2

0

)(2

0

)sen( )(

Por la ortogonalidad de las exponenciales complejas:

=≠

=∫ −

nmnm

de nmj

si 2 si 02

0

)(

πφ

πφ

y entonces: )(2)(2

0

)(2

0

)sen( xJdexJde mn

nmjn

xmj πφφπ

φπ

φφ == ∑ ∫∫∞

−∞=

−−

de donde: ∫ −=π

φφ φπ

2

0

)sen(

21)( dexJ xnj

n

Otras representaciones integrales de las funciones de Bessel se pueden deducir de éstamediante transformaciones trigonométricas3:

∫∫−

=−=π

φπ

φφπ

φφφπ 0

cos

0

)cos()sencos(1)( dnejdnzzJ zjn

n

∫ −−=π

ψφ φπ

2

0

)cos(

21)( dezJ njz

n

Esta última expresión se ha usado en la definición de la transformada de Hankel en elCapítulo 2.

Integrales de funciones de Bessel. Ortogonalidad

Las integrales que contienen funciones de Bessel aparecen en numerosas aplicaciones.Integrales indefinidas simples surgen de las relaciones:

[ ] [ ] )()( )()( 11 xJxxJxdxdxJxxJx

dxd

nn

nn

nn

nn

+−−

− −==

que pueden demostrarse derivando el producto del corchete y usando las relaciones derecurrencia para expresar las derivadas de las funciones de Bessel.Integramos estas ecuaciones para obtener:

)()( )()( 11 xJxdxxJxxJxdxxJx nn

nn

nn

nn −

+−

− −== ∫∫ 3 Abramowitz & Stegun, op.cit.


3-13

Como ejemplo, consideremos calcular: ∫ dxxJx )(23

Podemos expresar esta integral en términos de funciones de Bessel de orden superiorusando la primera identidad, pero podemos llevar a expresiones en términos de funcio-nes de Bessel de orden inferior integrando por partes:

[ ]∫∫ −= dxxJxxdxxJx )()( 214

23

Tomamos:)( )(

4

11

21

34

xJxvdxxJxdvxduxu−− −=⇒=

=⇒=

y entonces: [ ]∫∫ −+−= dxxJxxxJxdxxJx )(4)()( 113

13

23

Repetimos el procedimiento con:)( )(

3

01

11

23

xJxvdxxJxdvxduxu−− −=⇒=

=⇒=

y nos queda:

[ ] [ ]∫∫∫ −− +−−=+−= dxxJxxxJxxJxdxxJxxxJxdxxJx )(12)(4)()(4)()( 012

02

13

113

13

23

y finalmente:|)(12)(4)()(12)(4)()( 10

21

300

21

32

3 xxJxJxxJxdxxxJxJxxJxdxxJx +−−=+−−= ∫∫o sea: ( ) )(4)(12)( 0

21

22

3 xJxxxJxdxxJx −−=∫Más importantes en aplicaciones son las integrales definidas de funciones de Bessel.Citamos los siguientes ejemplos sin demostración4:

( ) 2122

00 )(

−∞

− +=∫ badxbxJe ax ⇒ ( ) 2122

00 )(

−∞

− −=∫ abdxbxJe iax

( ) 2122

0 !2)!2()(

−−∞

− +=∫n

nnnst as

nndtatJte ( )a

beabdxbxJxe p

p

ppax 4

22

10

1

)2()( −

+

∞+− =∫

xxdxJ sencos)cos(

2

00 =∫

π

φφφ x

xdxJ cos1)cos(2

01

−=∫π

φφ

[ ]200

0 )()cos2( xJdxJ πφφπ

=∫ [ ]

−=∫ x

xJdxJ )2(1

21

sen)sen( 1

0

21

π

φφφ

y la relación de ortogonalidad:

[ ]

=

≠=

+∫ nmakJa

nmdxxkJxkJx

np

a

npmp si )(2

si 0)()( 2

1

2

0

donde km y kn son raíces distintas de la ecuación: 0)( =kaJ p

Esta relación es fundamental en la representación de funciones en términos de seriesde funciones de Bessel (series de Fourier-Bessel).

Series de Fourier-Bessel

Como las funciones de Bessel satisfacen la propiedad de ortogonalidad, podemos desa-rrollar una función en una serie de funciones de Bessel: 4 "Special Functions of Mathematics for Engineers", 2nd. Edition, L.C. Andrews, Oxford Univ. Press, 1998, p.263.


3-14

∑∞

=

=1

)()(n

npn xkJcxf donde 0 < x < a , 21−>p y 0)( =akJ np

Esta representación es válida en el intervalo [ ]ba . Para hallar los coeficientes de la se-rie usamos la propiedad de ortogonalidad calculando:

[ ]21

2

1 00

)(2

)()()()()( akJacdxxkJxkJxfxcdxxkJxfx mpmn

a

npmpn

a

mp +

∞

=

== ∑ ∫∫

de donde: [ ] ...,2,1,0 )()()(

2

02

12

== ∫+

mdxxkJxfxakJa

ca

mpmp

m

Funciones de Kelvin y de Airy.

En algunas circunstancias se obtiene la ecuación diferencial: 0=−′+′′ xwjwwx

Cambiando de variable a: xj 21=ζ ⇒ 0=−′+′′ www ζζ que es la ecuación

de Bessel de orden cero (ver p.3.8). Por lo tanto las soluciones regulares y singularesde esta ecuación son:

+==+==⇒=−′+′′ −

−

)(kei)(ker)()( )(bei)(ber)()( 0

21

21

)1(02

01

xjxxjHxwxjxxjJxwxwjwwx

donde hemos defindo las funciones de Kelvin ber, bei, ker y kei.

La representación en serie de potencias de las funciones de Bessel nos da series depotencias para ber y bei:

( )[ ] ( )[ ]∑∑∞

=

+∞

= +−=−=

02

24

02

4

!12)2/()()(bei

!2)2/()()(ber

k

kk

k

kk

kxx

kxx

Las figuras muestran el comportamiento de estas funciones. Las funciones ber y bei os-cilan en forma creciente a medida que x aumenta.

De los desarrollos en serie se ve fácilmente que cerca del origen:

04/)(bei 1)(ber 2

00→→→

→→xxx

xx

berbei

ker

kei


3-15

Existen representaciones asintóticas de las funciones de Kelvin5:

( ) ( ) ∞→−≈−≈ xxx

exxx

exxx

, 82sen2

)(bei 82cos2

)(ber22

ππ

ππ

Otra ecuación diferencial que surge en la ópti-ca (especialmente en cáusticas de difracción)es la ecuación de Airy: 0 :)( =−′′ xwwxw .

Esta ecuación tiene soluciones estándar cono-cidas como funciones de Airy:

)(3

)()()(Ai

23

32

31

23

32

31

23

32

313

1

xKx

xIxIxx

π=

−=

−

+=

−)()(3)(Bi 2

3

32

31

23

32

31 xIxIxx

en términos de las funciones modificadas de Bessel definidas previamente.

Se verifica que6: ( ) ( )326

1

323

2/3)0(Bi /3)0(Ai Γ=Γ= −−

y: ∞→

≈

−≈ xxx

xxx

x , exp1)(Bi exp2

1)(Ai 23

322

3

32

ππ

Integrales de FresnelEn problemas de difracción y óptica aparecen las lla-madas integrales de Fresnel:

( )∫=x

dttxC0

2 2/cos)( π ( )∫=x

dttxS0

2 2/sen)( π

Estas funciones fueron introducidas por el físico-mate-mático francés Augustin Jean Fresnel (1788-1827 -imagen) en sus investigaciones que llevaron a laaceptación de la teoría ondulatoria de la luz.

De estas definiciones surge fácilmente que:C(0) = S(0) = 0

y además se puede demostrar que: C(∞) = S(∞) = ½Debido a la naturaleza oscilatoria del integrando, quees la derivada de la función, se sigue que la funciónmisma tiene comportamiento ondulatorio.

El desarrollo en serie de McLaurin de los integrandos lleva a una representación en se-ries de potencias de estas funciones:

5 Andrews, op.cit., p.321.6 Andrews, op.cit., p.316.

Ai

Bi


3-16

∑∞

=

+

+−=

0

142

)14()!2(

)2/()()(k

kkk

kkzzC π ∑

∞

=

++

++−=

0

3412

)34()!12(

)2/()()(k

kkk

kkzzS π

El test de relación entre términos consecutivos de-muestra que estas series son absolutamente conver-gentes, pero desde el punto de vista del cálculo esconveniente no usar la representación en serie depotencias para x > 5.

La figura de la izquierda se ha construido con los si-guientes programas para Yorick:

func Cjc(x){ local PI2sq,Tol, uk,ax,k1,k2,sw,sumpl,summi,f;

Tol = 1e-14; PI2sq = 2.46740110027234; uk = abs(x); ax = x*x; ax *= ax; k1 = 2; k2 = 5; sw = 1; sumpl = uk; summi = 0; do {

f = PI2sq*ax*(k2-4)/(k1*(k1-1)*k2); uk *= f;if(sw > 0) summi += uk;else sumpl += uk;if(max(uk) < Tol) sw = 0;else sw = -sw;k1 +=2; k2 += 4;

} while (sw!=0) return(sumpl-summi);}

func Sjc(x){ local PI2sq,Tol, uk,ax,k1,k2,sw,sumpl,summi,f;

Tol = 1e-14; PI2 = 1.570796326794897; PI2sq = 2.46740110027234; ax = x*x; uk = PI2*abs(x)*ax/3.0; ax *= ax; k1 = 2; k2 = 3; sw = 1; sumpl = uk; summi = 0; do {

f = PI2sq*ax*k2/(k1*(k1+1)*(k2+4)); uk *= f;if(sw > 0) summi += uk;else sumpl += uk;if(max(uk) < Tol) sw = 0;else sw = -sw;k1 +=2; k2 += 4;

} while (sw!=0) return(sumpl-summi);}

Para x > 5 se pueden usar las siguientes expresiones aproximadas7:

73

2

4

2

4103)( )(2

cos154.010132.02cos0968.03183099.05.0

)()( −×<∈∈+

−−

−±≈ xx

x

xsen

xx

xsen

xxSxC

ππ

7 M.Abramowitz & I.Stegun, eds. "Handbook of Mathematical Functions", Dover Publications Inc., New York,1972, p.322.

x

CS


3-17

Algunas otras imágenes de los matemáticos mencionados en este Capítulo

Bessel – Estampilla alemana con el gráfico de sus funciones

Euler – Estampillas suiza y alemana. En este última aparece su famoso teorema sobrelos poliedros.

Euler – Estampilla rusa. Euler pasó mu-chos años en San Petersburgo y creó unaescuela matemática rusa sobresaliente.Billete de 10 francos suizos (derecha)


3-18

Gauss – Billlete de 10 marcos.

Abajo. Como todos, Poincaréfue joven y luego fue enveje-ciendo y ganando honores hastaconvertirse en una estampilla(no todos se convierten en unaestampilla).

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