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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm.
Complementos de Matemáticas, ITT TelemáticaTema 2. Interpolación polinómica
Rafael Bravo de la Parra
Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
Aproximación de funciones
Aproximar una función f consiste en reemplazarla por otra f̃ pareciday que tenga una forma más simple.Este proceso requiere especificar en qué consiste el parecido y cuál esla clase de funciones más simples entre las que se busca f̃ .
Interpolación polinómicaEn este tema utilizaremos el tipo de aproximación denominadointerpolación y la clase de funciones simples que utilizaremos seránlos polinomios.
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
Aplicaciones
En el Tema 1 hemos hablado de métodos interpolatorios: el método de Newtono el de la secante se basan en la interpolación lineal.
En el Tema 3 utilizaremos la interpolación polinómica para obtener fórmulasde integración numérica.
Funciones conocidas solo para algunos valores.
CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA
AÑO No HABITANTES AÑO No HABITANTES1594 8.206.791 1930 23.677.0951769 9.159.999 1940 26.014.2781787 10.268.150 1950 28.117.8731797 10.541.221 1960 30.582.9361833 12.286.941 1970 33.956.0471846 12.162.872 1981 37.742.5611857 15.464.340 1991 39.433.9421877 16.622.175 2001 40.499.7911887 17.549.608 2006 44.708.9641900 18.616.630 2007 45.200.7371910 19.990.669 2008 46.063.5111920 21.388.551 2009 46.745.807
¿Cómo estimar la población en instantes distintos de los de la tabla?
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
CENSO DE LA POBLACIÓN ESPAÑOLA
Datos conocidos desde 1900
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+1900)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Millones de Habitantes
Interpolación lineal entre cada dos datos
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+1900)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Millones de Habitantes
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
Resultados fundamentales
Polinomio de grado n: pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 (an 6= 0)
Teorema
Si pn es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces pn(x) = 0 tiene al menos una raíz(posiblemente compleja).
Teorema
Sea pn es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces existen constantes x1, x2, . . . , xk,posiblemente complejas, y enteros positivos m1,m2, . . . ,mk, tales quem1 + m2 + . . .+ mk = n verificando:
pn(x) = an(x− x1)m1 (x− x2)
m2 · · · (x− xk)mk .
Teorema
Sean pn y qn dos polinomios de grado menor o igual que n. Si existen x1, x2, . . . , xk,con k > n, números distintos tales que pn(xi) = qn(xi), i = 1, . . . , k, entoncespn(x) = qn(x) para todo x.
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Introducción Propiedades de los polinomios
Evaluación de polinomios
pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0
Se necesitan menos operaciones para evaluarlo en un punto x0 si se escribe:
pn(x) = a0 + x(a1 + x(· · · (an−2 + x(an−1 + xan)) · · · ))
Algoritmo de Horner para evaluar pn(x0)
bn−1 = an
bk = ak+1 + x0bk+1 (k = n− 1, n− 2, . . . , 0,−1)
Entonces: pn(x0) = b−1
Además si llamamos
qn−1(x) = bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · ·+ b1x + b0
se tiene quepn(x) = (x− x0)qn−1(x) + b−1
y, por tanto,p′n(x0) = qn−1(x0)
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Problema de interpolación de TaylorProblema de interpolación de Taylor
Dados un entero n no negativo, un punto x0 ∈ R y los valores f (x0), f ′(x0),...,f (n)(x0) de una función y sus n primeras derivadas en x0, encontrar un polinomioP(x) de grado ≤ n tal que
P(x0) = f (x0), P′(x0) = f ′(x0), ..., P(n)(x0) = f (n)(x0).
Teorema
El problema de interpolación de Taylor tiene solución única, que se denominapolinomio de Taylor de grado ≤ n de la función f en el punto x0:
P(x) = f (x0) + f ′(x0)(x− x0) + f ′′(x0)(x− x0)
2
2!+ ...+ f (n)(x0)
(x− x0)n
n!
Teorema
Para n > 1 sea f (x) una función n veces derivable en x0. El polinomio de TaylorP(x) verifica que:
l«ımx−→x0
f (x)− P(x)
(x− x0)n = 0
con la notación o pequeña de Landau f (x)− P(x) = o((x− x0)n) para x→ x0.
Además, P(x) es el único polinomio de grado ≤ n con esta propiedad.Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Problema de interpolación de Taylor
Error del polinomio interpolador de Taylor
Teorema
Sean x y x0 dos números reales distintos y f (x) una función con n derivadascontinuas en un intervalo conteniendo a x y x0, en el que también existe f (n+1).Entonces existe un punto ξ entre x y x0 tal que:
f (x)− P(x) = f (n+1)(ξ)(x− x0)
(n+1)
(n + 1)!
Corolario
Además de las hipótesis del teorema supongamos que para cada t entre x y x0 severifica que |f (n+1)(t)| ≤ Kn+1 constante, entonces:
|f (x)− P(x)| ≤ |x− x0|(n+1)Kn+1
(n + 1)!.
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Problema de interpolación de Lagrange
Problema de interpolación de Lagrange
Dados un entero n no negativo, n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R distintos dos a dos y loscorrespondientes valores f (x0),..., f (xn) de una función, encontrar un polinomio P(x)de grado ≤ n tal que
P(x0) = f (x0), P(x1) = f (x1), ..., P(xn) = f (xn).
Teorema
El problema de interpolación de Lagrange tiene solución única, que se denominapolinomio interpolador de Lagrange de grado ≤ n de la función f en los puntosx0, . . . , xn.
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Polinomio interpolador de Lagrange
x 1 6 7 8 9f (x) 40.499791 44.708964 45.20073699 46.06351099 46.74580699
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5Año (+2000)
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Millones de habitantes
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Polinomio interpolador de Lagrange
x 1 6 7 8 9f (x) 40.499791 44.708964 45.20073699 46.06351099 46.74580699
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5Año (+2000)
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Millones de habitantes
P(x) = −0,01584350508 x4 + 0,3833919843 x3 − 3,191897163 x2 + 10,80272723 x + 32,52141243
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Polinomio interpolador de Lagrange
n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R, distintos dos a dos, y los valores f (x0),..., f (xn)P(x) = a0 + a1 x + · · ·+ an−1 xn−1 + an xn
Coeficientes Indeterminadosa0 + a1 x0 + · · ·+ an−1 xn−1
0 + an xn0 = f (x0)
a0 + a1 x1 + · · ·+ an−1 xn−11 + an xn
1 = f (x1)...
...a0 + a1 xn + · · ·+ an−1 xn−1
n + an xnn = f (xn)
Forma de Lagrange
Polinomios base de Lagrange, Lj(x), j = 0, . . . , n
Lj(x) =(x− x0) · . . . · (x− xj−1) · (x− xj+1) · . . . · (x− xn)
(xj − x0) · . . . · (xj − xj−1) · (xj − xj+1) · . . . · (xj − xn)=
n∏i=0i 6=j
x− xi
xj − xi
Expresión explícita del polinomio interpolador
P(x) = f (x0)L0(x) + f (x1)L1(x) + · · ·+ f (xn)Ln(x) =n∑
j=0
f (xj)
n∏i=0i 6=j
x− xi
xj − xi
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Ejemplo
x 0 1 2sen(x) 0 0.841570 0.909297
sen (0,5) = 0,479426
Interpolando en 0 y 1 se obtiene
p1(x) = 0x− 10− 1
+ 0,841570x− 01− 0
.
Interpolando en 0, 1 y 2 se obtiene
p2(x) = 0(x− 1) (x− 2)
(0− 1) (0− 2)+ 0,841570
(x− 0) (x− 2)
(1− 0) (1− 2)+ 0,909297
(x− 0) (x− 1)
(2− 0) (2− 1)
x = 0,5p1(x) 0.420736p2(x) 0.517441
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Ejemplo
0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
sen(x)p
2(x)
p1(x)
punto
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Fórmula del error
Teorema
Sea f ∈ Cn[a, b] y tal que f (n+1) existe en (a, b). Sean x0,x1, . . ., xn puntos distintosde [a, b] y sea P el polinomio interpolador de Lagrange de la función f en dichospuntos. Entonces, para cada x ∈ [a, b] existe un ξx conm«ın (x0, . . . , xn, x) < ξx < m«ax (x0, . . . , xn, x) tal que
f (x)− P(x) =(x− x0) . . . (x− xn)
(n + 1)!f (n+1)(ξx).
Corolario
En las hipótesis del teorema, si∣∣∣f (n+1)(x)
∣∣∣ ≤ Kn+1 para todo x ∈ [a, b] entonces
|f (x)− P(x)| ≤ |x− x0| . . . |x− xn|Kn+1
(n + 1)!.
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Ejemplo
x 0 1 2sen(x) 0 0.841570 0.909297
sen (π/4) = 0,707107
Interpolando en 0 y 1 se obtiene p1(x) = 0,841570 x.
Interpolando en 0 y 2 se obtiene q1(x) = 0,454648 x.
Interpolando en 0, 1 y 2 se obtienep2(x) = 1,22849 x− 0,386921 x2.
Valor en x = π/4 Error Estimación del errorp1(x) 0,660520 0,046587 0,084273q1(x) 0,357356 0,349751 0,476973p2(x) 0,725748 0,018641 0,034119
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Error en la interpolación lineal
Interpolación Lineal
Sea f ∈ C2([a, b]) y llamemos h = b− a.Si conocemos una cota M2 de |f ′′(x)| en [a, b] entonces el errorcometido al usar interpolación lineal con x0 = a y x1 = b se puedeacotar:
|f (x)− p1(x)| ≤|(x− x0)(x− x1)|
2M2.
y calculando el máximo el máximo de |(x− x0)(x− x1)| en [a, b] sereduce a
|f (x)− p1(x)| ≤h2
8M2 para todo x ∈ [a, b]
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Forma de Newton. Construcción por recurrencia
Entero n ≥ 1, n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R distintos y una función f definida en ellos.
P(x) = pn−1(x) + qn(x)
= pn−1(x) + cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)
= pn−2(x) + qn−1(x) + cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)
= pn−2(x) + cn−1 (x− x0) · . . . · (x− xn−2)
+cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)
= · · ·
P(x) = c0
+c1 (x− x0)
+c2 (x− x0)(x− x1)· · ·+cn (x− x0) · . . . · (x− xn−1)
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Diferencias divididas de una función.Entero n ≥ 1, n + 1 puntos x0, . . . , xn ∈ R distintos y una función f definida en ellos.
Definición
Se denomina diferencia dividida de la función f en los puntos x0, . . . , xn alcoeficiente de xn en el desarrollo en potencias de x del correspondiente polinomiointerpolador de Lagrange.Esta diferencia dividida se representa mediante f [x0, . . . , xn].El entero n se llama orden de la diferencia dividida.
El valor de una diferencia dividida es independiente del orden en que seescriban sus argumentos. Para cualquier permutación σ:
f [x0, x1, . . . , xn] = f [xσ(0), xσ(1), . . . , xσ(n)].
Los coeficientes ci que aparecen en la forma de Newton del polinomiointerpolador son diferencias divididas de la función:
P(x) = f [x0]
+f [x0, x1] (x− x0)
+f [x0, x1, x2] (x− x0)(x− x1)· · ·+f [x0, x1, . . . , xn] (x− x0) · . . . · (x− xn−1)
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Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0, . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definidaentonces
f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]
xn − x0
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0, . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definidaentonces
f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]
xn − x0
x0 f [x0] = f (x0)
p0(x) = f [x0]
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0, . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definidaentonces
f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]
xn − x0
x0 f [x0] = f (x0)
x1 f [x1] = f (x1) f [x0, x1] =f [x1]− f [x0]
x1 − x0
p1(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0)
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Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0, . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definidaentonces
f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]
xn − x0
x0 f [x0] = f (x0)
x1 f [x1] = f (x1) f [x0, x1] =f [x1]− f [x0]
x1 − x0
x2 f [x2] = f (x2) f [x1, x2] =f [x2]− f [x1]
x2 − x1f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2]− f [x0, x1]
x2 − x0
p2(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1)
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Cálculo de las diferencias divididas
Teorema
Si x0, . . . , xn ∈ R son n + 1 puntos distintos en los que la función f está definidaentonces
f [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, . . . , xn]− f [x0, . . . , xn−1]
xn − x0
x0 f [x0] = f (x0)x1 f [x1] = f (x1) f [x0, x1]x2 f [x2] = f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2]
x3 f [x3] = f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] =f [x1, x2, x3]− f [x0, x1, x2]
x3 − x0
p3(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) + f [x0, x1, x2](x− x0)(x− x1)
+ f [x0, x1, x2, x3](x− x0)(x− x1)(x− x2)
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Ejemplo, Censo español siglo XXI.
Datos
Año 1 6 7 8 9Hab. (106) 40,499791 44,708964 45,200737 46,063511 46,745807
Tabla de diferencias
1 40,4997916 44,708964 0,84183467 45,200737 0,491773 -0,05834368 46,063511 0,862774 0,1855005 0,0348348719 46,745807 0,682296 -0,090239 -0,091913167 -0,015843505
Polinomio de grado 4, forma de Newton
p3(x) = 40,499791 + 0,8418346(x− 1)−0,0583436(x− 1)(x− 6)+ 0,034834871(x− 1)(x− 6)(x− 7)−0,015843505(x− 1)(x− 6)(x− 7)(x− 8).
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Convergencia de los polinomios de interpolación
f función definida en el intervalo [a, b].
Consideramos una sucesión de puntos de interpolación en [a, b] cada vez más densa:
Elegimos x(0)0 ∈ [a, b], interpolamos y obtenemos p0(x) = f (x(0)
0 ).
Elegimos x(1)0 , x(1)
1 ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p1(x).
Elegimos x(2)0 , x(2)
1 , x(2)2 ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos p2(x).
· · ·Elegimos x(n)
0 , x(n)1 , . . . , x(n)
n ∈ [a, b] distintos, interpolamos y obtenemos pn(x).
¿Se cumple que l«ımn→∞
pn(x) = f (x) para x ∈ [a, b]?
Aumentar el grado de los polinomios de interpolación no siempre es aconsejable.
Rafael Bravo de la Parra Interpolación polinómica
Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Ejemplo de Runge
f (x) =1
1 + x2 en el intervalo [−5, 5]
Para cada n = 1, 2, . . . se interpola en n + 1 abcisas equiespaciadas en [−5, 5]:x(n)
i = −5 + 10i/n, i = 0, 1, . . . , n y se obtiene el polinomio interpolador pn(x).Se tiene que l«ım
n→∞|pn(x)− f (x)| =∞ para |x| > 3,63.
−5 0 5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Función de Rungep
5(x)
p10
(x)
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Aproximación de funciones Interpolación Int. Segm. Taylor Lagrange Newton Convergencia Interpolación de Hermite
Convergencia de los polinomios interpolantes
Teorema (Faber)
Para cualquier sucesión de nodos en las condiciones definidas anteriormente, existeuna función continua f tal que
l«ımn→∞
(m«ax
x∈[a,b]‖pn(x)− f (x)‖
)=∞.
Teorema (Marcinkiewicz)
Para cada f ∈ C([a, b]), existe una disposición de nodos de interpolación en [a, b],como la definida anteriormente, para la que los polinomios de interpolación pn(x)verifican que
l«ımn→∞
(m«ax
x∈[a,b]‖pn(x)− f (x)‖
)= 0.
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Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación de Hermite
Problema de interpolación de Hermite
Dados una función f , k veces derivable en el intervalo [a, b],n + 1 puntos distintos x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] yn + 1 números naturales m0,m1, . . . ,mn, con mi ≤ k para i = 0, . . . , n,encontrar un polinomio pN(x) de grado menor o igual queN = m0 + m1 + . . .+ mn + n tal que
f (xi) = pN(xi), f ′(xi) = p′N(xi), . . . , f (mi)(xi) = p(mi)N (xi) para i = 0, . . . , n.
En este caso se dice que pN(x) interpola a f (x) en
m0+1︷ ︸︸ ︷x0, . . . , x0 ,
m1+1︷ ︸︸ ︷x1, . . . , x1 , . . . ,
mn+1︷ ︸︸ ︷xn, . . . , xn
Teorema
El problema de interpolación de Hermite tiene una solución y ésta es única
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Interpolación de Hermite: casos particulares
En el caso n = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomio de Taylor de gradom0.
En el caso m0 = m1 = · · · = mn = 0 el polinomio de Hermite es el Polinomiointerpolador de Lagrange.
El caso m0 = m1 = · · · = mn = 1 se denomina polinomio de Hermiteestricto.
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Interpolación de Hermite: Fórmula del error
Teorema
Sean x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b] n + 1 puntos distintos, m0,m1, . . . ,mn n + 1 númerosnaturales, y f ∈ CN([a, b]) y tal que existe f (N+1) en (a, b) conN = m0 + m1 + . . .+ mn + n. Si pN(x) es el polinomio interpolador de Hermiteasociado entonces para cada x ∈ [a, b] existe un punto ξx tal quem«ın(x0, . . . , xn, x) < ξx < m«ax(x0, . . . , xn, x) verificando
f (x)− pN(x) =(x− x0)
m0+1 . . . (x− xn)mn+1
(N + 1)!f (N+1)(ξx).
Corolario
En las hipótesis del teorema, si∣∣∣f (N+1)(x)
∣∣∣ ≤ KN+1 para todo x ∈ [a, b] entonces
|f (x)− PN(x)| ≤ |x− x0|m0+1 . . . |x− xn|mn+1KN+1
(N + 1)!.
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Interpolación de Hermite: Diferencias Divididas con Nodos Repetidos
m0+1︷ ︸︸ ︷x0, . . . , x0 ,
m1+1︷ ︸︸ ︷x1, . . . , x1 , . . . ,
mn+1︷ ︸︸ ︷xn, . . . , xn
Supongamos que xi < xi+1 para i = 0, . . . , n− 1 y renombremos la sucesión anteriorcomo zi con i = 0, . . . ,N donde N = n + m0 + m1 + . . .+ mn
Teorema
En las condiciones anteriores el polinomio interpolador de Hermite se puedeescribir como:
pN(x) = f [z0] +N∑
k=1
f [z0, z1, . . . , zk](x− z0)(x− z1) · · · (x− zk−1)
donde:
f [zi, . . . , zj] =
f (j−i)(zi)
(j− i)!, zj = zi (⇔ zl = zi , i ≤ l ≤ j)
f [zi+1, . . . , zj]− f [zi, . . . , zj−1]
zj − zi, zj 6= zi
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Ejemplo
f (x) = cos x, [0, 1], x0 = 0, x1 = 1, m0 = 2 y m1 = 1
z0 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 1 y z4 = 1
p4(x) = f [z0] + f [z0, z1](x− z0) + f [z0, z1, z2](x− z0)(x− z1) + f [z0, z1, z2, z3](x− z0)(x− z1)(x− z2)
+ f [z0, z1, z2, z3, z4](x− z0)(x− z1)(x− z2)(x− z3)
0 10
0 1 −0,50 0.0403
0 1 −0,4597 0,037622−0,4597 0,0779
1 0,5403 −0,38177−0,84147
1 0,5403
p4(x) = 1− 0,5 x2 + 0,0403 x3 + 0,037622 x3(x− 1)
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Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación lineal segmentaria
Definición
Dado [a, b] y una partición ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Denotamos conL(x) a una función que verifica: L(x) ∈ C([a, b]) y, para cada [xi−1, xi],i = 1, . . . , n, L(x) restringida a [xi−1, xi] coincide con un polinomio de gradomenor o igual que 1.
L(x) interpola a los datos (xi, yi) (i = 0, . . . , n) si verifica
L(xi) = yi (i = 0, . . . , n)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Año (+1900)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Millones de Habitantes
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Interpolación lineal segmentaria
Evaluación
Localizar el intervalo tal que x ∈ [xi, xi+1]. (Algoritmo de localización)
L(x) = yi + (x− xi)yi+1 − yi
xi+1 − xi, xi ≤ x ≤ xi+1, i = 0, . . . n− 1.
Error
Si yi = f (xi) con f ∈ C2[a, b]:
|L(x)− f (x)| ≤ 18
h2 m«axx∈[x0,xn]
∣∣f ′′(x)∣∣ = O(h2)
donde h es la distancia máxima entre dos nodos adyacentes
Derivada
L′(x) =yi+1 − yi
xi+1 − xi, xi < x < xi+1, i = 0, 1, . . . n− 1.
|L′(x)− f ′(x)| = O(h), x 6= xi, x0 < x < xn.
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Función de Runge f (x) = 11+x2
L(x) interpolante lineal segmentaria determinado en n + 1 nodos equidistantes
−5 0 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1f(x)L
10(x)
L4(x)
Nodos L4
Nodos L10
xj = −5 + j10n
, j = 0, 1, . . . , n
n ‖f − L‖∞50 9.33e-03100 2.46e-03200 6.22e-04400 1.50e-04800 3.75e-05
1600 9.37e-063200 2.34e-066400 5.86e-07
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Interpolación de Lagrange vs segmentaria
Coste de evaluación en un punto
Lagrange: se incrementa con el número de datos.
Segmentaria: no crece con el número de nodos.
Convergencia uniforme
Lagrange: no está garantizado.
Segmentaria: si
Derivabilidad
Lagrange: Indefinidamente derivable.
Segmentaria: Sólo continua.
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Índice
1 Aproximación de funcionesIntroducciónPropiedades de los polinomios
2 Interpolación polinómicaPolinomio de TaylorPolinomio de LagrangePolinomio de NewtonConvergencia de los polinomios de interpolaciónInterpolación de Hermite
3 Interpolación SegmentariaInterpolación lineal segmentariaInterpolación cúbica de Hermite a trozos
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Interpolación cúbica de Hermite a trozos
Definición
Dado [a, b] y una partición ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Denotamos conC(x) a una función que verifica: C(x) ∈ C1([a, b]) y, para cada [xi−1, xi],i = 1, . . . , n, C(x) restringida a [xi−1, xi] coincide con un polinomio de gradomenor o igual que 3.
C(x) interpola a la función f (x) si verifica
C(xi) = f (xi) y C′(xi) = f ′(xi) (i = 0, . . . , n)
La fórmula del error para interpolación de Hermite:
|C(x)− f (x)| ≤ h4
384m«ax
x∈[x0,xn]|f (4)(x)|, x0 < x < xn
|C(x)− f (x)| = O(h4), x0 < x < xn.|C′(x)− f ′(x)| = O(h3), x0 < x < xn.|C′′(x)− f ′′(x)| = O(h2), x0 < x < xn x 6= xi.|C′′′(x)− f ′′′(x)| = O(h), x0 < x < xn x 6= xi.
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Ejemplo
Interpolación cúbica de Hermite a trozos
x 0 1 2f (x) = sen(x) 0 0.841470 0.909297f ′(x) = cos(x) 1 0.540302 -0.416146
C(x) =
{x− 0,1585x2 − 0,1426x2(x− 1) si x ∈ [0, 1]0,8414 + 0,5403(x− 1)− 0,4724(x− 1)2 − 0,0115(x− 1)2(x− 2) si x ∈ [1, 2]
El error que se comete es menor que 1/384.Por ejemplo sen (π/4) = 0,707107 y C(π/4) = 0,706491
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