Componentes rectangulares de un vector

Todo vector se puede ligar a un sistema de coordenadas cartesianas, con su punto de aplicación en el origen y expresarlo como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares en las direcciones de los ejes de coordenadas; estos dos vectores sumandos reciben el nombre de componentes rectangulares del vector dado.

Para descomponer los vectores en sus componentes rectangulares debemos tener la noción de función trigonométrica.

Funciones trigonométricasCuando solucionamos triángulos rectángulos en los cuales conocemos dos de sus lados, ya sean los dos catetos o un cateto y la hipotenusa y deseamos hallar el tercer lado, utilizamos el teorema de Pitágoras, pero cuando conocemos un lado y un ángulo. Ya el teorema de Pitágoras no funciona, es por eso que utilizamos las funciones trigonométricas.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar. El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados la suma de sus ángulos internos es igual a 180°. En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y 90º. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

sin α= opuestohipotenusa

=ah

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

cos α= adyacentehipotenusa

=bh

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

tan α=opues¿ ¿adyacente

=ab

Existen otras funciones, pero solo necesitamos estas 3, las demás quedan a enseñanza del docente de matemáticas.

Ejemplo

Hallar las componentes rectangulares del vector a⃗ de magnitud 10, en la dirección 30º.

Solución

Ejercicio: calcule las componentes rectangulares de los siguientes vectoresFigura 1: a⃗=8 u Figura 2: b⃗=6 uFigura 3: c⃗=5uFigura 4: d⃗=9u

figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

Suma de vectores por descomposición rectangular.

Con el siguiente ejercicio aprenderás a sumar dos o más vectores, descomponiéndolos rectangularmente. Siga las instrucciones:

a. Halle la descomposición rectangular de los vectores a⃗ , b⃗ , c⃗, que aparecen en el sistema de coordenadas cartesianas si |a⃗|=4 m ,|b⃗|=6m ,|c⃗|=8 m

b. Consignar los resultados de cada vector en la tabla

ax

a y a sin 350=2,29bx

b y

c x

c y

c. Efectúe la suma de las componentes en cada uno de los ejes, teniendo en cuenta los signos:

Las componentes en las direcciones de los semiejes positivos son positivas. Las componentes en las direcciones de los semiejes negativos son negativas.

∑ x=¿¿

∑ y=¿

d. Dibuja un eje de coordenadas cartesiano y sobre éste representa la resultante de las componentes en x (vx) y la resultante de las componentes en y (v y).

e. Aplica el teorema de Pitágoras a las componentes resultantes para hallar el vector suma:

vs=√v x2+v y

2

f. Halle el ángulo de la resultante por medio de θ=tan−1( v y

v x)

Ejercicio

Resuelva el siguiente ejercicio siguiendo los pasos anteriores para hallar la suma de las componentes resultantes.

VELOCIDAD RELATIVA

Las mediciones se deben hacer con respecto a alguna referencia. Esta se toma por lo general como el origen del sistema de coordenadas. El punto que usted designe como origen de un conjunto de ejes de coordenadas es arbitrario y completamente a su elección. Por ejemplo, usted puede fijar el sistema coordenadas al camino o al suelo y medir el desplazamiento como la velocidad de un automóvil en relación a esos ejes.

Una situación se puede analizar desde cualquier marco de referencia. Por ejemplo, el origen de los ejes de coordenadas se puede fijar a un automóvil que se mueve a lo largo de una carretera. Al analizar el movimiento desde otro marco de referencia, usted no está cambiando la situación física o lo que está ocurriendo, sino sólo el punto de vista desde el cual ha seleccionado de escribirlo. Por ello, decimos que el movimiento es relativo (a algún marco de referencia), y nos referimos a una velocidad relativa. Debido a que la velocidad es un vector, para la determinación de velocidades relativas, ayuda la adición y la sustracción de vectores.

Velocidades relativas en una dimensión

Cuando las velocidades son lineales, es decir, a lo largo de una línea recta en la misma dirección o en la opuesta y todas ellas tienen el mismo punto de referencia por ejemplo la tierra, las velocidades relativas encuentran simplemente por la sustracción de vectores. Por ejemplo consideremos dos automóviles que se mueven con velocidades constantes a lo largo de una carretera recta, estas velocidades son relativas a la tierra o al suelo, también son relativos a los observadores estacionarios que están en la carretera y sentados en un automóvil estacionado. Es decir, estos observadores ven en los automóviles moverse con las velocidades indicadas. La velocidad relativa de dos objetos está dada por la referencia en la velocidad (vectorial). Por ejemplo la velocidad del automóvil B relativa al automóvil A estar dada por:

vBA=vB−v A=¿ 90 km/h – 0 km/h = 90 km/h según la siguiente gráfica.

Así, una persona sentada en el automóvil A podría ver que el automóvil B pasa a una velocidad de 90 km/h en la dirección positiva x. Para este caso lineal, las direcciones de las velocidades están indicadas por los signos más y menos (además del signo menos de la fórmula).

De manera similar, la velocidad del automóvil C, relativa a un observador en el automóvil A es vCA=vC−v A = -60 km/h – 0 km/h = -60 km/h

La persona del automóvil A vería al automóvil C aproximarse con una rapidez de 60 km/h en la dirección x negativa.

Pero suponga que usted desea conocer las velocidades de los otros automóviles relativas al automóvil B, es decir, desde el punto de vista de un observador en el automóvil B (figura b). En relación con los ejes, el automóvil B no está moviéndose y actúa como punto de referencia fijo. Los otros automóviles se están moviendo en relación con el automóvil B. La velocidad del automóvil C, relativa al B es:

vCB=vC−vB = -60 km/h – 90 km/h = -150 km/h

En forma similar, el auto A tiene una velocidad relativa al auto B de:

vAB=v A−vB = 0 km/h – 90 km/h = -90 km/hObserve que en relación con B, los otros automóviles se está moviendo, ambos en la dirección x negativa. Es decir, C se aproxima a B con una velocidad de 150 km/h en la dirección –x y A parece que se retiran de B con una velocidad de 90 km/h en la dirección –x. Observe que en general, vAB ¿−v BA.

En la gráfica a demuestre que vAC = +60 km/h.

Velocidades relativas en dos dimensiones

Las velocidades no siempre tienen direcciones iguales u opuestas. No obstante, utilizaremos las componentes rectangulares para sumar con esas vectores.

Ejemplo 1

La corriente de un río recto de 500 m de ancho tiene una velocidad de flujo de 2.55 km/h. Un bote de motor que viaja con una rapidez constante de 8 km/h en el agua tranquila cruza el río. Si la proa del bote apunta directamente a lo ancho del río hacia la ribera opuesta,

a. ¿Cuál es la velocidad del bote relativa al observador estacionado en la esquina del puente?

b. ¿Qué tan lejos corriente abajo llegará el bote a tierra a partir del punto directamente opuesto a su punto de partida?

c. ¿Cuál es la distancia que viajara el bote al atravesar el río?

Ejemplo 2

Una lancha que debería moverse perpendicularmente hacia la orilla opuesta de un rio cuando este está tranquilo, la lancha se mueve a 36 km/h cuando el rio viaja a 2 m/s. determinar la velocidad (módulo y dirección) a la que viajaría la lancha si el rio estuviera tranquilo.

Ejemplo 3

Un avión se mueve de tal manera que, con el aire en reposo, su velocidad es de 400 km/h en la dirección 30º noreste. Si el viento corre a 100 km/h en la dirección 53º sureste, determinar:

a. Las componentes del vector velocidad del avión en las direcciones norte - sur y este – oeste.

b. Las componentes del vector velocidad del viento en las direcciones norte – sur y este – oeste.

c. La suma de los vectores velocidad, para calcular la velocidad del avión con respecto a la tierra.

d. El módulo y la dirección de la velocidad del avión con respecto a la tierra.

MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

(EN DOS DIMENSIONES)

Movimiento de un proyectil

Un ejemplo de movimiento bidimensional curvilíneo es el movimiento de objetos lanzados o proyectados por algún medio. El movimiento de una pelota de golf cuando es golpeada por el palo, es un movimiento de proyectil. Por lo general, despreciamos la resistencia de aire y sólo consideramos la aceleración debido a la gravedad que actúa sobre un proyectil.

Cuando un objeto se lanza hacia arriba con cierta inclinación, la trayectoria que sigue se puede describir como la descomposición de dos movimientos, uno vertical y otro horizontal. Por tal razón es posible analizar el movimiento de los proyectiles a partir de los conceptos del movimiento rectilíneo.

Movimiento semiparabólico.

Si una esfera rueda sobre una superficie horizontal sin rozamiento, decimos que está dotada de movimiento uniforme. Pero si esa misma esfera se deja caer desde cierta altura, vemos que adquiere un movimiento de caída libre, uniformemente acelerado, debido a la acción de la aceleración de la gravedad.

Un cuerpo tiene un movimiento semiparabólico, cuando se lanza horizontalmente desde cierta altura cerca a la superficie de la tierra.

Galileo dijo “cuando un cuerpo es sometido simultáneamente a dos movimientos, cada uno de esos se debe cumplir independientemente”

Se le da el nombre de lanzamiento horizontal al movimiento que describe un proyectil cuando se disparó horizontalmente desde cierta altura con una velocidad inicial v0, bajo

estas condiciones el vector velocidad inicial es perpendicular a la acción de la gravedad, la siguiente figura lo ilustra.

En la siguiente fotografía se muestran las posiciones sucesivas, a intervalos regulares, de dos pelotas: una que se lanza horizontalmente y otras que se deja caer. La trayectoria curva de la pelota se puede analizar mejor considerando por separado las componentes horizontal y vertical del movimiento. En primer lugar la componente horizontal del movimiento de la pelota no cambia al moverse esta hacia un costado. La pelota recorre la misma distancia horizontal durante los intervalos de tiempo iguales que transcurren entre destellos. Esto se debe a que la fuerza gravitacional no tiene una componente que se ejerza en la dirección horizontal.

La gravedad solo se ejerce hacia abajo, de modo que la pelota únicamente se acelera en esa dirección. En segundo lugar, se observa en la fotografía que ambas pelotas recorren distancias verticales iguales en intervalos de tiempo iguales. La distancia vertical no tiene nada que ver con la componente horizontal del movimiento. El movimiento hacia debajo de la pelota que se proyecta horizontalmente es el mismo que si estuviera en caída libre.

Supongamos que una esfera rueda sobre la superficie sin rozamiento con cierta velocidad horizontal v0 , hasta un punto en el suelo. La figura muestra la trayectoria que seguiría de ser así no estuviera sometida a la acción de la gravedad, es decir se movería en el eje x, y en el de y se movería si no llevara velocidad horizontal y tuvieron movimiento de caída libre, mientras que cuando la esfera sometida a la acción de esos movimientos describe una semi parábola.

Ecuaciones del movimiento semiparabólico

En cualquier punto de la trayectoria la velocidad del objeto tiene dos componentes vx y v y,

es decir, que la velocidad es v=( vx , v y ) y su dirección es tangente a la trayectoria.

Si el lanzamiento horizontal se produce con velocidad inicial vo, en cualquier posición P, la

componente vx De la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de disparo vo, puesto que se desprecia la resistencia del aire. Es decir,

vx = vo

Si las coordenadas de la posición en el eje x está dada por

x=vo .t

El movimiento rectilíneo vertical es un movimiento de caída libre, con velocidad inicial cero. Para cualquier posición, P, la componente v y de la velocidad del proyectil coincide con la velocidad de caída.

Es decir, v y=v oy+g . t donde voy=0 Por lo tanto v y=g .t y la coordenada de la posición en el eje y obtiene a partir de:

y=voy . t+ ¿2

2

Pero como v y=0, tenemos que y=¿2

2

Ejemplos

1. Una esfera es lanzada horizontalmente desde una altura de 24 m con velocidad inicial de 100 m/s. Calcular:a. el tiempo que dura la esfera en el aire.b. El alcance horizontal de proyectil.c. La velocidad con que la esfera llega al suelo.

2. desde lo alto de un acantilado de 80 m sobre el nivel del mar se dispara a horizontalmente un proyectil con velocidad inicial de 50 m/s determinar.a. La posición del proyectil 2 segundos después del disparo.b. La ecuación de la trayectoria que describe el proyectil.c. La velocidad y la posición del proyectil al incidir en el agua.

Movimiento parabólico

Un cuerpo posee movimiento parabólico cuando se lanza cerca de la superficie terrestre formando cierto ángulo con la horizontal.

El movimiento del proyectil es un movimiento combinado, el proyectil tiene movimiento vertical y además, se desplaza horizontalmente recorriendo distancias iguales en tiempos iguales.

La trayectoria de un cuerpo con movimiento parabólico depende de la velocidad de lanzamiento y el ángulo que forma con la horizontal.

El alcance horizontal máximo se logra cuando el ángulo de lanzamiento es de 45° despreciando la resistencia del aire figura 1. En las situaciones reales, por ejemplo cuando una pelota o algún objeto es lanzado o golpeado con fuerza, y existe resistencia la rapidez de proyectil se reduce, por lo tanto el ángulo proyección para el intervalo máximo es menor de 45° figura 2.

Componentes de la velocidad.

Si un proyectil es lanzado con una velocidad vo , que forma un ángulo θ con la horizontal, se descompone esa velocidad en las direcciones horizontales y verticales. Así:

vox=vo cosθ y voy=vo sin θ La velocidad que lleva el proyectil en cualquier instante también se puedes descomponer. La velocidad horizontal siempre es constante, por lo tanto:

vx=vox=vo cosθ

La velocidad vertical depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento y de la componente vertical de la velocidad inicial. v y=v oy−¿, ya que se comporta como un movimiento uniformemente acelerado. Entonces:

v y=v o senθ−¿

Altura máxima que alcanza el proyectil.

Cuando se define esta altura máxima, la componente vertical de la velocidad es nula. Por lo tanto, de la ecuación que vimos en caída libre:

y=v f

2−v i2

−2 g Remplazamos los valores de la velocidad en la componente y así:

y=v y

2−voy2

−2 g Cuando el objeto empieza a adquirir altura la velocidad en y empieza a

disminuir hasta que alcanza la altura máxima y se convierte en cero. Ver gráfica.

Por lo tanto hacemos v y=0 y obtenemos:

y=voy

2

2 g Reemplazamos voy

ymax=vo

2 sen2θ2 g

Tiempo de vuelo del proyectil

El tiempo que duró el proyectil en el aire, es el doble del que dura subiendo, por lo tanto calculamos de la ecuación v y=v o senθ−¿ el tiempo de subida, haciendo a v y=0 y despejamos t así:

t s=v o senθ

g . El tiempo de vuelo es t v=2 t s, por lo tanto,

t v=2 vo senθ

g

Alcance horizontal del proyectil

Como el movimiento de la componente horizontal es con velocidad constante, el alcance máximo se obtiene con la expresión:

xmax=vo cosθ t v

Remplazando el tiempo de vuelo por la expresión que yo tuvimos, tenemos:

xmax=2 v o

2cosθsenθg

Observe que la altura máxima, el tiempo de vuelo, y el alcalde horizontal del proyectil dependen exclusivamente de la velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento.

Ejemplos

1. Un cazador acostado en el suelo, lanza una flecha con un ángulo de 60° sobre la superficie de la tierra y con una velocidad de 20 m/s. Calcular:

a. la altura máxima que alcanza la flechab. el tiempo que dura la presión del airec. el alcalde horizontal de la flecha

2. Una piedra lanzada desde un puente 20 m arriba de un rio tiene una velocidad inicial de 12 m/s y un ángulo de 45º con la horizontal ver figura, ¿Cuál es el alcance de la piedra?

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)

El M.C.U. es el movimiento de un cuerpo cuando describe una circunferencia con rapidez constante.La trayectoria que sigue el móvil es una circunferencia, la velocidad cambia continuamente de dirección siempre tangente a la trayectoria, pero la rapidez es constante o sea, la magnitud de la velocidad conserva siempre el mismo valor.

Conceptos y ecuaciones del M.C.U.

Frecuencia: es el número de vueltas que da el cuerpo en la unidad de tiempo. Se simboliza con la letra f y sus unidades son vueltas/segundo, revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rps); operacionalmente la unidad de frecuencia es s-1.

f =númerode vueltastiempoempleado

Periodo: es el tiempo que emplea el cuerpo en dar una sola vuelta, se simboliza con la letra T y su unidad es el segundo.

T= tiempoempleadonúmerode vueltas

El periodo y la frecuencia por ser inversas se cumple que f =1T

y T=1f

Velocidad lineal o tangencial: la velocidad lineal de una partícula que describe un M.C.U. es un vector tangente a la trayectoria. Su magnitud se obtiene, calculando el arco recorrido en la unidad de tiempo.Cuando el móvil da una vuelta completa, recorre un arco igual a la longitud de la circunferencia y emplea un tiempo igual a un periodo. Por lo tanto:

v t=st y v t=

2 πrT

Velocidad angular: el radio que une al centro de la circunferencia con la partícula P barre ángulos iguales en tiempos iguales. Se define la velocidad angular w, como el ángulo barrido en la unidad de tiempo.

w=θt

w se mide en radianes/segundo = rad/s

Cuando el ángulo barrido es un ángulo giro, el tiempo que emplea es un periodo. Por lo tanto:

w=2 πT

Como w=2 πT

y v t=2 πrT

Remplazamos una ecuación en la otra y resulta que:v t=wr

Aceleración centrípeta: cuando un cuerpo se mueve con M.C.U. mantiene la magnitud de la velocidad constante, lo cual implica que no existe una aceleración en la dirección tangencial de la velocidad, pero como la velocidad cambia continuamente de dirección debe existir una aceleración que refleje este hecho.Luego la aceleración centrípeta es una magnitud relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento cuando recorre una trayectoria curvilínea.Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curvilínea, aunque se mueva con rapidez constante (por ejemplo el MCU), su velocidad cambia de dirección, ya que es un vector tangente a la trayectoria, y en las curvas dicha tangente no es constante.

a=v t

2

r

Aceleración angular: otro tipo de aceleración en el movimiento angular es la aceleración angular. Ésta es el cambio de velocidad angular en el tiempo. En el caso del movimiento

circular, si hubiera una aceleración angular, el movimiento podría no ser uniforme debido a que la rapidez estaría cambiando. Análogo al caso lineal, la magnitud de la aceleración

angular es α = w−wo

t ó w=wo+αt

Las unidades estándar para la aceleración angular son radianes por segundo cuadrado rad/s2

Así como entre la longitud del arco y el ángulo s=θr y entre la rapidez tangencial y la rapidez angular v=wr existe una relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular. La aceleración tangencial está asociada con la velocidad tangencial y por ello cambia continuamente de dirección. Las magnitudes de las aceleraciones tangencial y angular están relacionadas por:a t=rα

Desplazamiento angular: es la distancia recorrida por un cuerpo y sigue una trayectoria circular y se expresa en radianes. Esta determinada mediante la ecuación.

θ=wot +12

α t 2

Ejemplos

1 ¿Cuál es la frecuencia y el periodo de un móvil que da 24 vueltas en 4 segundos?2 Calcular la velocidad tangencial y la velocidad angula de un móvil que describe una

circunferencia de 12 cm de radio si tiene un periodo de 0.5 s.3 Un móvil recorre una circunferencia de 2 m de radio dando 60 vueltas cada 20

segundos. Calcular la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta.4 Dos poleas de 15 cm y 20 cm, giran conectadas por una banda. Si la frecuencia de la

polea de menor radio es de 12 v/s ¿Cuál será la frecuencia de la polea de mayor radio?

5 Una sierra circular eléctrica gira con una frecuencia de 3000 rpm. Suponiendo que al desconectarla se detiene en 5 segundos, calcular:

a. La aceleración angular de frenado que le imprime el rozamiento con el eje

b. La aceleración tangencial de los dientes de la hoja si ésta tiene un radio de 15 cm

c. El desplazamiento angular durante los 5 segundos