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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN BLOQUE RÍGIDO POR VOLTEO CONSIDERANDO EFECTOS ASOCIADOS A LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

Miguel A. Jaimes1, Luciano R. Fernández-Sola2 y Cesar Arredondo1

RESUMEN

En este artículo se propone un modelo dinámico para la estimación de la respuesta por volteo de un bloque rígido no

simétrico, libremente apoyado, ubicado en diferentes niveles de un edificio y sujeto a la acción sísmica, considerando

la componente rotacional de la excitación debida al efecto de interacción dinámica suelo-estructura (IDSE). Se

asume que la fricción entre el bloque y la superficie de apoyo es suficientemente grande para que no se produzca

deslizamiento. Con este modelo se realiza un análisis acerca de la influencia de la interacción suelo-estructura en el

comportamiento del bloque. Se presenta un ejemplo ilustrativo de su aplicación para bloques rígidos en edificios de

5, 10 y 15 pisos desplantados en terreno blando de la Ciudad de México. Los resultados muestran que es importante

considerar los efectos tanto cinemáticos como inerciales de la IDSE en la respuesta dinámica de contenidos y que

está es más representativa, como es de esperarse, en niveles superiores de edificios.

ABSTRACT

In this paper, we propose a dynamic model for the estimation of the rocking response of a freestanding non-

symmetrical rigid block subject to the seismic action, considering the rotational component due to interaction soil-

structure (SSI). It is assumed that the friction between block and support surface is large enough so that there is no

sliding. With this model, the influence of the soil structure interaction on the dynamic behavior the rigid body is

established. An illustrative example of its application is presented for rigid blocks into buildings of 5, 10 and 15

floors located in soft soil of Mexico City. Results show that is important to consider SSI cinematic and inertial

effects on the dynamic response of contents and that is more representative, as expected, for upper building levels.

INTRODUCCIÓN

El comportamiento de bloques rígidos simplemente apoyados ha sido estudiado por más de un siglo; cabe destacar a

Milne (1885) y Housner (1963) como pioneros en la estimación de dimensiones críticas para volteo y modelado del

comportamiento de un bloque rígido ante movimiento horizontal en su base. Subsecuentes investigaciones han sido

emprendidas para delimitar el modelo inicial e identificar algunas limitaciones importantes del mismo (Makris y

Rousso, 1998; Shenton, 1996). Otros investigadores han estudiado paramétricamente el comportamiento por

balanceo y volteo de bloques rígidos cuando están sujetos a diferentes formas de excitación horizontal en su base,

incluyendo movimientos periódicos (p.e. seno, coseno), impulsivos y sísmicos registrados (Yim et al., 1980; Zhang y

Makris, 2001). Dichos estudios analíticos han sido conducidos en paralelo con pruebas experimentales cuyos

resultados son usados para calibrar parámetros del modelo (p.e. Aslam et al., 1980). Puntualmente, otros trabajos han

caracterizado analíticamente el efecto que sobre la respuesta particular de un bloque rectangular tiene la condición de

apoyo sobre base flexible (Koh et al., 1986; Apostolou et al., 2007). Cada uno de ellos, asume que el bloque rígido

estará sujeto exclusivamente a componentes horizontales de excitación, lo cual se justifica únicamente en el caso que

la componente rotacional de la excitación se puede considerar despreciable. La componente rotacional del

movimiento sísmico al que está sujeto el bloque rígido, referido en este estudio, es la generada en estructuras debida

a efectos cinemáticos de interacción dinámica suelo-estructura (IDSE).

Es conocido que hay dos efectos de interacción que toman lugar como resultado de la presencia de una base

desplantado sobre un suelo blando de un sitio. Esos dos efectos son referidos comúnmente como: (1) interacción

cinemática e (2) interacción inercial (Whitman y Bielack, 1980). La interacción cinemática es el efecto que ocurre

como resultado del cambio en el medio de propagación de la onda sísmica en una densidad y elasticidad diferente

1 Investigador Asistente, Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, 04510 México, D.F.

[email protected], [email protected] 2 Investigador y Profesor, Departamento de Materiales, UAM-Azcapotzalco, México, D.F. [email protected].

mailto:[email protected]

XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014

2

debido a la presencia de la cimentación, lo cual induce un cambio en la naturaleza del movimiento sísmico debido a

la reflexión y refracción de las ondas sísmicas. La interacción inercial es el efecto que resulta del acoplamiento

dinámico entre la estructura y su apoyo. Esto es, dado que la base tiene propiedades elásticas e inerciales propias,

una estructura y su apoyo responden a la llegada de ondas sísmicas como un sólo sistema dinámico.

La componente rotacional de la excitación en una estructura, cuando el efecto de IDSE es considerado en un análisis

dinámico, se debe a que la rigidez de la cimentación produce que los movimientos diferenciales entre distintos

puntos de la misma generen rotaciones de cuerpo rígido de la cimentación, lo cual se traduce en un componente

rotacional de la excitación y esto se transmite a través de la altura en la estructura. Adicionalmente, el cambio en las

propiedades dinámicas de la estructura (periodo fundamental y amortiguamiento) producen que el movimiento al que

estén sometidos los bloques en los diferentes pisos de la estructura se vean modificados.

En este artículo, se estudia la influencia y efecto que tienen las componentes de IDSE en el comportamiento de

bloques rígidos asimétricos dentro de las estructuras. Para ello, se propone un modelo dinámico para la estimación de

la respuesta por volteo de un bloque rectangular sujeto a la acción sísmica y, considerando la componente rotacional

de la excitación debida al efecto de interacción suelo-estructura. Se asume que la fricción entre el bloque y la base es

suficientemente grande para que no se produzca deslizamiento del bloque. Se presenta un ejemplo ilustrativo de su

aplicación en bloques rígidos en edificios de 5, 10 y 15 pisos desplantados en terreno blando de la Ciudad de

México, discutiendo e identificando la variabilidad en su respuesta dinámica al incluir los efectos IDSE.

MODELADO DE LOS EFECTOS DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA (IDSE)

Como ya se ha comentado, los efectos de interacción suelo-estructura pueden clasificarse en dos grandes grupos. Por

un lado los efectos asociados con la modificación del movimiento al que estará sometida la estructura (movimiento

de entrada) producto de la difracción de ondas que produce la presencia de un elemento de cimentación de mucho

mayor rigidez que el suelo. A este grupo de efectos se le denomina interacción cinemática ya que su origen se debe

básicamente a los fenómenos de propagación de ondas. Adicionalmente, a los efectos asociados con las

deformaciones en el suelo introducidas por las fuerzas de inercia de la superestructura se les denomina interacción

inercial ya que su origen está asociado con la respuesta inercial de la superestructura. Los principales efectos de la

interacción inercial son el alargamiento en el periodo estructural y la modificación del amortiguamiento (Wolf, 1985)

En términos generales, la interacción cinemática produce dos modificaciones principales en la naturaleza del

movimiento de entrada. En primera instancia, produce una reducción en las amplitudes de los movimientos de alta

frecuencia debido a que la cimentación no es capaz de deformarse de la misma manera que el suelo, por lo que se

produce un efecto promediador en los componentes con longitudes de onda pequeñas (alta frecuencia). Además de

esta reducción en la amplitud de las altas frecuencias, la rigidez de la cimentación produce que los movimientos

diferenciales entre distintos puntos de la misma generen rotaciones de cuerpo rígido de la cimentación lo cual se

traduce en un componente rotacional de la excitación, 0.

Existen distintas soluciones numéricas que permiten determinar cómo son las modificaciones del movimiento

producidas por la interacción cinemática. Una de las soluciones más utilizadas y conocidas es la propuesta por

Kausel et al. (1978). En esta solución se expresan los movimientos de entrada efectivos ug(ω) y ϕ0(ω) en el dominio

de la frecuencia, en función del espectro del movimiento de campo libre uf (ω), por medio de las funciones de

transferencia Qh(ω) y Qr(ω) como:

fuhQgu y fr uQ 0 (1)

Para determinar las funciones de transferencia Qh(ω) y Qr(ω) se analizó la respuesta de una cimentación circular

infinitamente rígida, enterrada una profundidad D en un estrato elástico con velocidad de propagación de ondas de

cortante Vs, desplantado sobre una base infinitamente rígida, mediante el método de los elementos finitos. De esta

forma, determinaron que la traslación de la cimentación se ve reducida para altas frecuencias respecto a la traslación

de campo libre. La función de transferencia entre ambos movimientos tiene una forma cosenoidal hasta una

frecuencia de aproximadamente 0.7 veces la frecuencia fundamental de la región de enterramiento ωe=πVs/2D.

Además, encontraron que la rotación de la cimentación guarda semejanza con la seudo-rotación debida al

movimiento de campo libre, es decir, el desplazamiento diferencial entre la superficie libre y el nivel de desplante de

3


la cimentación, dividido entre la profundidad de enterramiento. De esta manera definieron las funciones de

transferencia Qh(ω) y Qr(ω) como:

e

eeh

si

siQ

7.0453.0

7.02cos

y

e

eer

si

siQ

7.0257.0

7.02cos1257.0

(2)

Por otra parte, los efectos de la interacción inercial pueden describirse por medio de los desplazamientos que se

produzcan en el sistema suelo cimentación debidos a las fuerzas de inercia de la superestructura. Estos

desplazamientos pueden modelarse por medio de un sistema de resortes y amortiguadores ubicados en la base de la

estructura que representen la rigidez del sistema suelo cimentación y la disipación de energía que se produce en el

mismo (ver figura 1). El sistema suelo cimentación produce disipación de energía por medio de dos mecanismos

asociados con el comportamiento histerético del suelo y con la radiación de energía producida por la difracción de

las ondas. Tanto la rigidez del sistema suelo-cimentación como la disipación de energía, son fenómenos dinámicos

que dependen primordialmente de la frecuencia de excitación.

Figura 1 Representación de la rigidez y el amortiguamiento del sistema suelo-cimentación por medio de

resortes y amortiguadores (Adaptado de Avilés, 2006)

Para representar la rigidez dinámica y el amortiguamiento se suele recurrir al concepto de función de impedancia,

K(ω), que, puede definirse cómo la relación que existe entre una fuerza o momento aplicado de manera armónica,

P(ω), y el desplazamiento o la rotación que producen en una cimentación infinitamente rígida carente de masa, Δ(ω).

Debido a la masa del suelo y la propagación de ondas, esta relación tiene una amplia dependencia de la frecuencia de

excitación.

P

K (3)

Las funciones de impedancia se pueden definir en todas las direcciones posibles del desplazamiento de la estructura.

Por lo general, para sistemas regulares es suficiente con considerar las funciones de impedancia de traslación y de

rotación en el plano.

En el presente trabajo se consideran cimentaciones infinitamente rígidas (cajones de cimentación), por lo que las

funciones de impedancia se determinarán con la definición propuesta por Gazetas (1983), en donde la función de

impedancia se expresa en función de la rigidez estática K0 afectada por coeficientes dinámicos k y c de la forma:

cikKK 0 (4)

Esta misma representación es la que se utiliza en las NTCS (2004), en donde la rigidez estática K0 y los factores

dinámicos k y c se pueden calcular con las expresiones reportadas por Gazetas (1991). En la figura 1, los subíndices

indican la dirección de análisis (h=traslación y r=rotación), donde el resorte corresponde a la parte real de la

ecuación 4 y el amortiguamiento a la parte imaginaria.


4

Dado que en el presente trabajo se utilizará un análisis en la frecuencia para determinar los movimientos en los

distintos niveles de la estructura, se consideran las variaciones de las funciones de impedancia con la frecuencia. Una

vez determinados tanto los espectros del movimiento de entrada ug(ω) y ϕg(ω) y los valores de las funciones de

impedancia, es posible determinar los movimientos en la superestructura considerando un modelo de viga de cortante

como el mostrado en la figura 2. Para considerar la flexibilidad de la base es suficiente con incorporar dos grados de

libertad en la misma (uno de traslación y uno de rotación) y, acoplar los valores de las funciones de impedancia en

las matrices de rigidez y amortiguamiento del sistema completo. En la matriz de masa del sistema global, se deben

incluir las masas asociadas a las fuerzas de inercia que producirán los movimientos de cuerpo rígido de la

superestructura debidos a la flexibilidad de la base. Mayor detalle de la formulación de este modelo puede

encontrarse en Fernández-Sola y Avilés (2008).

Es importante indicar que debido a que se utiliza un método de solución en el análisis de la frecuencia, la no

linealidad de la estructura y del suelo no puede ser tomada en cuenta. Sin embargo, por lo general el análisis de los

contenidos es importante para niveles de aceleración en los cuales la estructura no ha sufrido niveles de daño

considerables. Adicionalmente, al ser un modelo de viga de cortante en el cuál cada uno de los entrepisos es

modelado mediante un solo grado de libertad en traslación, se supone que el giro en todos los niveles es el mismo e

igual que el giro del grado de libertad correspondiente a la base y este giro no excita rotacionalmente ninguna de las

masas de la superestructura. Adicionalmente, al tener un modelo de masas concentradas, se supone que el bloque

ubicado en cualquier parte de un mismo entrepiso sufrirá la misma excitación tanto horizontal como rotacional.

Figura 2 Representación de la estructura con base flexible sometida a los movimientos de entrada

MODELO PROPUESTO DEL BLOQUE RÍGIDO CONSIDERANDO LA COMPONENTE ROTACIONAL

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

En la figura 3 se presentan los parámetros que caracterizan el comportamiento de un bloque rígido sujeto a un

movimiento sísmico de componente horizontal un(t) y rotacional 0(t). En ella, O representa el centro de masa del

bloque, r1 y r2 son las distancias entre O y la esquina de giro 1 y 2, respectivamente. Las expresiones 1=tan-1(b1/h) y

2=tan-1(b2/h) representan el parámetros de robustez (inverso es la relación de esbeltez) dependiendo del sentido del

giro. El componente rotacional 0(t) considera el efecto tanto de la componente de la excitación g(t) como de la

rotacional debida al cabeceo de cuerpo rígido de la superestructura.

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Figura 3 Parámetros para caracterizar el modelo propuesto

La figura 4 esquematiza de forma general el efecto IDSE y su consecuente variación sobre las fuerzas inerciales

ejercidas sobre el cuerpo rígido dentro del edificio. En la figura 4a, en el lado izquierdo se presenta un esquema del

bloque situado en un nivel particular del edificio considerando efectos IDSE y, en el lado derecho, un diagrama de

cuerpo libre de las fuerzas actuantes que provocan balanceo y/o volteo durante la excitación; se considera como

positiva la rotación de la base en sentido anti-horario. De manera similar, la figura 4b presenta un esquema del

bloque rígido pero ahora considerando rotación de la base en sentido negativo (horario). Considerando el diagrama

de cuerpo libre del bloque rígido de la figura 4a y el equilibrio de momentos alrededor de la esquina en el cual el

movimiento ocurre, tenemos:

0'1

'101 mgbhumI n (5)

donde b1'= r1∙sin(1 - - 0) y h1

' = r1∙cos(1 - - 0) son la distancia horizontal y vertical entre el centro de masa y la

esquina 1 en la actual posición, respectivamente, m es la masa del objeto, ün es la aceleración en la base del bloque,

θ̈ y 𝑛̈ son las aceleraciones rotacionales, I1 es el momento polar de inercia del bloque rígido con respecto al punto 1

obtenido como I1=I0+m∙r12 (nótese que I1 es diferente de I0), I0 es el momento polar de inercia del bloque rígido con

respecto a su centro de masa, m∙ r1∙(θ̈+0̈ ) es la fuerza inercial debido a las aceleraciones rotacionales y

m∙r1∙(θ̈2+̈

0

2) es la fuerza centrífuga actuando en el bloque debido a las velocidades del propio cuerpo.

La ec. 5 representa la ecuación que describe el movimiento del bloque rígido alrededor de la esquina izquierda

(esquina 1, ver figura 4a). Nótese que la ecuación para el giro alrededor de la esquina derecha (esquina 2, ver figura

4b) se pueden obtener de manera similar. Esto es:

0'2

'202 mgbhumI n (6)

donde b2' = r2∙sin(2 - - 0) y h2

' = son la distancia horizontal y vertical entre el centro de masa y la esquina 2 en la

actual posición.

Simplificando y agrupando términos, las ecs. 5 y 6 se pueden reducir a:

00020

cos

iin

i

i sengSurI

r (7)

donde S(∙) es la función signo.


6

a)

b)

Figura 4 Fuerzas actuando durante un movimiento del bloque por volteo considerando traslación y rotación

de la base: a) Volteo alrededor de la esquina izquierda (esquina 1) y b) volteo alrededor de la esquina derecha (esquina 2)

7


CONDICIÓN DE VOLTEO

La fase de volteo comienza cuando el bloque rígido gira alrededor de uno de sus apoyos extremos y se levanta. El

levantamiento ocurre cuando la magnitud del momento resistente MR, debido al peso del bloque mg, es menor que el

momento de volteo M0 debido a la fuerza inercial m∙ nu y la aportación al giro introducido por la componente

rotacional de la excitación I1∙0̈ . Por equilibrio de momentos alrededor de la esquina 1, se obtiene:

mh

Ig

h

bun

011

(8)

Mientras que, para el equilibrio de momentos alrededor de esquina 2, la ecuación correspondiente sería:

mh

Ig

h

bun

022

(9)

Este condicionante, representa la aceleración mínima requerida en la base del bloque para iniciar su movimiento por

balanceo considerando las componentes horizontal y rotacional de la excitación.

CONDICIÓN DE IMPACTO DURANTE FASE DE VOLTEO

Cuando el bloque gira, se asume que la rotación es continua desde un punto O a O’ (ver detalle A o B de figura 4).

En este trabajo, se considera un impacto sin rebote por lo que el bloque intercambia puntos de apoyo usados como

pivotes (desde O a O’), mientras que el momento angular se conserva. Asociando los superíndices ‘+’ y ‘-’ a un

indicativo de post-impacto y pre-impacto, respectivamente, y considerando los momentos angulares después del

impacto como Q+= m∙ r2∙(θ̇+

+̇0

+) y Q-= m∙ r1∙(θ̇

-+̇

0

-), es posible obtener el valor de la velocidad angular post-

impacto cuando el bloque se aproxima a la base alrededor de la esquina 1 como:

02

10

r

r (10)

Para el caso en el cual, el impacto ocurre cuando el bloque se aproxima a la base alrededor de la esquina 2, la

velocidad angular post-impacto del bloque corresponde a:

01

20

r

r (11)

donde representa una fracción de la velocidad angular del bloque inmediatamente antes del impacto (θ̇-+̇

0

-). Este

coeficiente puede ser asumido en un intervalo β∈[0,1].

Simplificando y agrupando términos de las ecs. 10 y 11, el coeficiente de la fracción de la velocidad angular será:

iijjiiij

i rrmrII

sinsinsin1

(12)

SOLUCIÓN NUMÉRICA

En este trabajo, se obtiene la solución de la ec. 7 a través del método de la diferencia central media, que se basa en

una aproximación en diferencias finitas de las derivadas respecto al tiempo del desplazamiento (velocidad y

aceleración). La respuesta θ(t) y u(t) en el instante de tiempo t = i + 1 se calculan a partir de la ecuación del

movimiento, sus derivadas y la respuesta conocida en instantes de tiempo previos; en nuestro caso a partir de los

valores en los instantes t = i y t = i +1/2 que corresponden a los pasos medios a priori y posteriori al instante de


8

interés i. Es posible emplear el método de la diferencia central, solo si los incrementos de tiempo se modifican de tal

forma que Δt = Δti+1/2 = ti+1-ti y se redefinen los medios pasos para la velocidad angular y rotación en el tiempo t=i+1,

como sigue:

tii 2121 (13)

211 iii t (14)

donde los valores iniciales de i y 21i (i=0) son cero.

Las diferentes soluciones obtenidas en este trabajo tienen en cuenta: (1) la pérdida de energía debido al impacto entre

el cuerpo y la base; esto se hace a través de un coeficiente de restitución estimado a partir de la ec. 12, que

depende de la esbeltez del bloque, de la componente rotacional de la excitación y que indica como la velocidad

angular después del impacto es una fracción de la que el cuerpo tenía antes del mismo y (2) el cuerpo comienza a

balancearse en el momento en que supera un cierto límite de intensidad obtenido del equilibrio de momentos en el

vértice en contacto con la superficie dado por ecs. 8 y 9; debido a que sólo se consideró movimiento horizontal, se

asegura que el cuerpo estará siempre en contacto con la superficie de apoyo en el edificio y que la fuerza vertical que

actúa en su centro de masa es siempre mayor que cero.

CASO DE APLICACIÓN: EDIFICIOS DE 5, 10 Y 15 PISOS

Este trabajo busca caracterizar la respuesta dinámica de bloques rígidos simplemente apoyados que se encuentran en

edificios con IDSE. Para este fin: (1) se analizaron tres modelos que representan edificios de características comunes

y estructuración regular en altura y (2) se ubican los edificios en un sitio cuyas propiedades son representativas del

subsuelo del valle de México, con un periodo dominante común para la zona blanda de la ciudad (~2 s). Los

resultados en cuanto a la variación del movimiento en altura dentro del edificio y su afectación en la dinámica de

contenidos rígidos, son obtenidos con modelos simplificados que consideran o no el efecto IDSE.

DESCRIPCIÓN DE LOS EDIFICIOS MODELADOS

Con fines ilustrativos, se analizó la respuesta de edificios de 5, 10 y 15 pisos con base cuadrada y altura de entrepiso

de 3m, a excepción de planta baja (figura 5). Para ello, se utilizó un modelo con regularidad estructural en altura y se

considera como modelo base, el edificio descrito en la sección de análisis de efectos de IDSE del Manual de Diseño

por Sismo de la Comisión Federal de Energía (CFE, 1993). El edificio se propuso estructurado a base de marcos

caracterizados por su rigidez de entrepiso y conectados por medio de un sistema de piso indeformable (diafragma

rígido). La relación de esbeltez del edificio H/B se mantuvo casi constante, alrededor de un valor de 1.5. El peso de

cada entrepiso se propuso proporcional a su área. Las rigideces de entrepiso se calcularon mediante la suma de las

rigideces de cada uno de los marcos que conforman cada entrepiso. La cimentación consiste de un cajón con

diferentes profundidades de desplante para los distintos edificios (2.5, 5 y 7.5m para los edificios de 5, 10 y 15

niveles, respectivamente). Los periodos fundamentales de los edificios en base rígida son de Te=0.49s

(e=12.74rad/s), Te=1.16s (e=5.39rad/s) y Te=1.59s (e=3.94rad/s).

DESCRIPCIÓN DE LA CIMENTACIÓN

Para el cálculo de las propiedades de la cimentación de los modelos, tales como la profundidad de desplante, D, el

momento polar de inercia, Jc, y la masa de la cimentación, Mc, se buscó mantener constantes los parámetros

adimensionales que influyen directamente en la respuesta dinámica de estructuras sobre base flexible. Como el

modelo estudiado en este trabajo considera un solo estrato homogéneo, se estableció un único espesor del estrato

Hs=17.5 m y una velocidad de propagación de ondas de cortante de Vs = 100 m/s representativa de la zona (Smith y

Wu, 1997; Wu et al., 1999, Chow y Hao, 2005; Stehemeyer y Rizos, 2008; Carbonari et al., 2011, entre otros). En la

Tabla 1, se presentan: (1) los parámetros estructurales equivalentes para el caso considerando IDSE y (2) el

parámetro γ representativo de la relación entre las rigideces de la estructura y el suelo (NTCS-2004); a medida que el

valor de γ es menor, la rigidez del suelo respecto a la estructura es menor y por lo tanto se espera que los efectos

IDSE sean más significativos.

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Figura 5 Edificios desplantados en terreno blando de la ciudad de México con 5, 10 y 15 pisos

Tabla 1. Parámetros equivalentes de IDSE para los tres edificios en estudio

Base Rígida Base Flexible

Edificio He (m) Te (s) T͂e (s)

5 11.35 0.49 0.7603 0.59

10 21.23 1.16 0.9595 1.30

15 31.25 1.59 0.8914 1.80


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MOVIMIENTO SÍSMICO DE ENTRADA

Con fines prácticos y para evaluar el efecto de IDSE sobre los edificios en estudio, se considera como movimiento de

campo libre el movimiento sísmico registrado en el sitio SCT (Secretaría de Comunicaciones y Transportes) durante

el evento sísmico del 19 de septiembre de 1985. Los efectos de sitio debidos al terreno de desplante no se calcularon,

considerando que están incluidos en el registro correspondiente; esto con la finalidad de que los cambios observados

entre las respuesta de las estructuras con base rígida y base flexible sean asociados exclusivamente a los efectos

IDSE. Sin embargo, es de esperarse que un edificio en un terreno que corresponda a base rígida esté sometido a un

movimiento representativo de suelo firme. Adicionalmente, se obtuvo la componente rotacional para los tres

edificios de 5, 10 y 15 pisos debido a la IDSE a partir de las ecs. 1 a 4. En la figura 6 se presenta el movimiento

sísmico empleado como entrada en la base del edificio e inmediatamente abajo, su correspondiente componente

rotacional.

Figura 6 Movimientos sísmicos considerados para los edificios de 5, 10 y 15 pisos: componente horizontal

(arriba) y componente rotacional (abajo)

En la figura 7 se presenta el espectro de respuesta para el sismo del 19 de septiembre de 1985, ubicando los periodos

estructurales de los tres edificios en estudio, considerando Te para el caso de base rígida y T͂e para base flexible (ver

Tabla 1). En todos los casos, cuando se considera el efecto de IDSE: (1) el periodo fundamental de cada estructura

Te, aumenta a un periodo fundamental con IDSE, T͂e, y (2) la ordenada espectral asociada, alcanzaría mayores o

menores valores dependiendo de la zona del espectro de donde se ubique (para los casos en estudio la ordenada

espectral se incrementa; de 2.4 a 2.54m/s2 para el edificio de 5 pisos, de 2.54 a 2.78m/s2 para el edificio de 10 pisos

y de 4.36 a 6.60 m/s2 para el edifico de 15 pisos). Cabe señalar, que si alguno de los edificios se encontrarán en la

caída del espectro de respuesta (Te o T͂e > Ts), el cambio del periodo fundamental considerando IDSE llevaría a

ordenadas espectrales menores para el periodo fundamental de la estructura, reduciendo las fuerzas inerciales

actuantes. Es importante hacer notar que, para el caso de los edificios de 5 y 10 niveles estudiados, los incrementos

en los niveles de aceleración espectral son inferiores al 10%. Para el caso del edificio de 15 niveles este incremento

anda del orden del 34%.

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Figura 7 Espectro de respuesta del sismo del 19 de septiembre de 1985 registrado en la estación SCT. Se

ilustra el cambio de periodo fundamental de los edificios considerando base rígida, Te y base flexible, T͂e (ver Tabla 1)

MOVIMIENTOS DE PISO

En la figura 8 se presenta el movimiento por piso para los edificios en estudio y considerando efectos de IDSE:

edificio de 5 pisos (columna izquierda), 10 pisos (columna central) y 15 pisos (columna derecha). Nótese que, las

historias de aceleración a nivel de planta baja PB son similares en intensidad pico; del orden de 1.58, 1.62 y 1.77m/s2

para los edificios de 5, 10 y 15 pisos, respectivamente. En este caso, la cimentación actúa como un filtro que permite

el paso, especialmente de ondas de baja frecuencia. En pisos superiores, se observa como la intensidad se amplifica

con respecto al nivel de planta baja (PB); por ejemplo, con respecto a la azotea estas amplificaciones son del orden

de 1.86, 1.91 y 4.48 para los edificios de 5, 10 y 15 pisos, respectivamente.

Por otro lado, para el caso de edificios con base rígida (sin IDSE), la aceleración máxima a nivel de PB es de

1.60m/s2 para los casos analizados. Respecto a los niveles de amplificación en azotea, estos son menores y del orden

de 1.71, 1.82 y 3.41 para los edificios de 5, 10 y 15 pisos, respectivamente. Este comportamiento es de esperarse

debido al cambio en los niveles de aceleración espectral de los edificios con base rígida y con base flexible. Sin

embargo el incremento en el nivel de amplificación es menor al incremento en el nivel de aceleración. Por ejemplo,

para el edificio de 15 niveles el incremento de la aceleración espectral es de alrededor de 1.5 debido a la IDSE,

mientras que en términos de amplificación, el incremento es de alrededor de 1.3 debido a la IDSE. Estas diferencias

muestran que, las modificaciones que introduce la presencia de efectos de IDSE sobre los parámetros dominantes de

la respuesta estructural pueden ser de diferente naturaleza.

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4

Sa

(m/s

/s)

Periodo (s)

T͂eTe T͂eTe T͂eTe

2.542.40 2.54

2.78

4.36

6.60

EDIFICIO 15 NIVELESEDIFICIO

10 NIVELESEDIFICIO 5 NIVELES


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Figura 8 Movimiento en diferentes niveles de los edificios en estudio considerando efectos de IDSE; edificio de 5 pisos (izquierda), 10 pisos (centro) y 15 pisos (derecha)

RESPUESTA DINÁMICA DE BLOQUES RÍGIDOS CON Y SIN IDSE

Para un bloque rectangular rígido 0.60×2.4m

A continuación, se presenta la respuesta dinámica de un bloque rígido representativo de contenidos que comúnmente

se encuentran en edificios ante los movimientos de piso descritos en la sección previa. El bloque considerado tiene

dimensiones absolutas ancho×alto de 0.60×2.4m, respectivamente. Este se asocia a un cuerpo esbelto cuyo ángulo de

esbeltez es menor de 20º o cuya relación de esbeltez h/b es mayor de 2.75. Correspondería a algunos contenidos tipo

empleados para almacenamiento (racks, libreros u archiveros), para protección de equipos (UPS) y como decoración

(esculturas), comúnmente encontrados en almacenes, oficinas y/o museos; algunos de ellos con importante

propensión a dañarse de forma importante si se vuelcan.

En la figura 9 se presentan las historias de rotaciones en el tiempo para el bloque rígido de estudio, ubicado en

diferentes pisos de los tres edificios analizados: 5 pisos (columna izquierda), 10 pisos (columna central) y 15 pisos

(columna derecha). En esta figura 9 los resultados se agrupan de la siguiente manera: (1) sin considerar efectos de

IDSE, (2) considerando efectos de IDSE y (3) considerando efectos de IDSE pero para valores de la componente

rotacional nulos (0=0). Dentro de los resultados mostrados es posible identificar los tres modos de respuesta tipo

13


que desde el reposo y sin deslizamiento puede presentar un bloque rígido: reposo, balanceo y volteo. Se observa que,

en el caso de volteo, este modo de respuesta puede ocurrir repentinamente (sin impacto) o después de oscilar

repetidamente e impactar con la superficie de apoyo.

Se observa, por lo menos para el bloque de estudio y el movimiento seleccionado, que: (1) al menos para planta baja

(PB), el efecto de IDSE no es significativo; el mismo cuerpo se mantiene en reposo, (2) para edificios bajos (5

niveles), el efecto IDSE permite alcanzar oscilaciones importantes en nivel de azotea del orden de 20º y volteo en

niveles intermedios-superiores (figura 9b, niveles N4 y N5), (3) En general, el efecto IDSE afecta el comportamiento

de los contenidos, provocando el volteo de los mismos desde niveles inferiores donde antes no se presentaba caída y

cambiando la dirección de caída, respecto a los resultados obtenidos sin IDSE y (4) el no considerar la componente

rotacional de la excitación (figura 9c), reduce la amplitud de los giros del bloque evitando su volteo; la importancia

de la componente rotacional del movimiento en la base del objeto radica en que lo hace más propenso a colapsar (ver

historia de rotaciones en niveles N4 y N5 para los casos con y sin efecto IDSE).

a)

Figura 9 Respuesta de bloque rígido: a) sin IDSE, b) con IDSE y c) con IDSE (=0)


14

b)

c)

Figura 9 Continuación

15


Curvas de volteo con y sin efecto IDSE

Con fines ilustrativos, se construyen también las curvas de volteo para los movimientos estimados en los diferentes

niveles de los edificios en estudio; estas curvas se obtienen para cuerpos rígidos rectangulares de ancho 2b y altura

2h e indican, regiones de estabilidad donde el cuerpo permanece en reposo/balanceo (Zona I por debajo de la curva)

y volteo (Zona II por encima de la curva). Además, se indica con línea azul el límite para considerar que un objeto es

robusto (objetos debajo de la línea azul) y esbelto (objetos arriba de la línea azul). La forma de estas curvas depende

del tipo y las características del movimiento de excitación (p.e. Arredondo y Reinoso, 2008). En la figura 10 se

presentan las curvas de volteo para diferentes movimientos de piso descritos en los tres edificios considerados: 5

pisos (columna izquierda), 10 pisos (columna central) y 15 pisos (columna derecha); lo anterior como sigue: (1) sin

considerar efectos de IDSE (figura 10a), (2) considerando efectos de IDSE (figura 10b) y (3 considerando efectos de

IDSE pero para valores de la componente rotacional nulos (0=0) (figura 10c).

a)

b)

c)

Figura 10 Curvas de volteo para los movimientos en diferentes niveles de los edificios en estudio: a) sin

IDSE, b) con IDSE y c) con IDSE (0=0). Con un punto rojo se indica el bloque rígido de 0.60×2.4m

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Alt

ura

(m

)

Semi-base (m)

PB

N4

N5

N10

N15

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Alt

ura

(m

)

Semi-base (m)

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Sem

i-al

tura

(m

)

Semi-base (m)

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Alt

ura

(m

)

Semi-base (m)

PB

N4

N5

N10

N15

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Alt

ura

(m

)

Semi-base (m)

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Sem

i-al

tura

(m

)

Semi-base (m)

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Alt

ura

(m

)

Semi-base (m)

PB

N4

N5

N10

N15

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Alt

ura

(m

)

Semi-base (m)

ZONA II

ZONA I

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Sem

i-al

tura

(m

)

Semi-base (m)

ZONA II

ZONA I


16

Se puede observar que: (1) en edificios de 5 pisos (figura 10, izquierda), las curvas de volteo resultan similares en los

diferentes niveles del edificio con y sin IDSE, (2) en edificios más altos, de 10 y 15 pisos (figura 9, centro e

izquierda), la curva de volteo con IDSE y considerando la componente rotacional presenta menor pendiente que

aquella considerando base rígida y, por ende tiende a volcar más objetos y (3) para los casos estudiados, las curvas

de volteo para el caso con IDSE y para el caso con IDSE + 0=0 son muy similares y, la cercanía de las dimensiones

del cuerpo rígido en estudio (representadas por un círculo rojo) respecto a las mismas, puede provocar

interpretaciones subjetivas (volteo o no volteo de un objeto) para el evaluador.

CONCLUSIONES

Se realiza un análisis de la influencia de los efectos de interacción dinámica suelo-estructura (IDSE) en el

comportamiento de cuerpos rígidos dentro de las edificaciones. Para ello se propone un modelo dinámico para la

estimación de la respuesta por volteo de un bloque rígido no simétrico libremente apoyado sujeto a la acción

conjunta de un movimiento con componentes en traslación y en rotación. Se asume que la fricción entre el bloque y

la base es suficientemente grande para que no se produzca deslizamiento del bloque. Acorde a los resultados del

ejemplo ilustrativo presentado, se observó lo siguiente:

1) Los resultados muestran que es importante considerar los efectos tanto cinemáticos como inerciales de la

IDSE.

2) Acorde al modelo propuesto del bloque rígido sugiere que en algunos casos, cuando las dimensiones del

bloque se ubican muy cercana a la curva de volteo, el ignorar los giros producidos por la IDSE puede

producir que se predigan modos de respuesta erróneos del mismo bloque.

3) En general, para los edificios aquí estudiados, se muestra que en los edificios con base flexible los cuerpos

rígidos son más susceptibles a sufrir volteo. Esto está asociado tanto a las modificaciones en el movimiento

en cada entrepiso debidas al cambio de periodo como, a las modificaciones introducidas por el movimiento

de cuerpo rígido (giros y traslaciones adicionales).

4) En términos de la curvas de volteo, se mostró que para los casos aquí estudiados, el considerar los efectos

IDSE producen que las combinaciones de semi-dimensiones h y b para las cuales los cuerpos son

susceptibles a voltearse sean mayores. Esto se manifiesta mediante una reducción en la pendiente de las

curvas de volteo, produciendo que el área de las zonas de volteo (Zona II) sea mayor en todos los casos para

los edificios con base flexible respecto a los de base rígida.

5) Como era de esperarse, las diferencias de la respuesta de los bloques en edificios con base rígida y base

flexible se acentúan a medida que se consideran niveles superiores en la estructura.

En futuros trabajos, para establecer de una manera más clara la influencia de los efectos IDSE en el comportamiento

de los contenidos dentro de las estructuras, se recomienda necesario estudiar algunas otras variables como pueden

ser: distintos tipos de movimiento, estructuras con diferentes relaciones de esbeltez, distintos tipos de suelo, bloques

rectangulares robustos y esbeltos, bloques asimétricos, entre otros.

AGRADECIMIENTOS

Los autores reconocen que esta investigación se desarrolló en conjunto con el Dr. Eduardo Reinoso Angulo del

Instituto de Ingeniería (UNAM). Debido a restricciones existentes sobre el número de publicaciones en que se puede

participar como autor principal o coautor su nombre no se incluyó en la primera página del artículo.

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