COMPRENSIÓN DE ENUNCIADOS DE PROBLEMAS...
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COMPRENSIÓN DE ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS:
ALGUNAS DIFICULTADES SEMIÓTICO-COGNITIVAS
YERRY LONDOÑO MORALES
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Bogotá, abril 2018
COMPRENSIÓN DE ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS:
ALGUNAS DIFICULTADES SEMIÓTICA-COGNITIVAS
YERRY LONDOÑO MORALES
Informe final presentado como requisito parcial para optar al título de Magister en
Educación, énfasis en Educación Matemática.
Trabajo dirigido por:
DR. RODOLFO VERGEL CAUSADO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Bogotá, abril 2018
iii
Dedicado a mis padres, Julio y Ruth,
a los cuales les debo todo.
Agradecimientos a:
A mi gran maestra y ejemplo de vida, Teresa Pontón Ladino de la Univerisdad Nacional de
Colombia – Palmira, por su co-dirección en la cosntrucción de este trabajo y acompañamrme
en esta camino acádemico, por sus enseñanzas y reflexiones a la Educación Matemática que han aportado a en mi formación
en pregado y maestría. A ti, por siempre gracias.
Mi director de tesis, Rodolfo Verge C., y la profesra Teresa Pontón L. por sus orientaciones y paciencia
en todo este proceso académico.
Mis profesores de la maestría por sus aportes a mi formación en el campo de la
educación matemática.
La IED Colegio Entre Nubes en Bogotá por permitirme entrar a sus aulas y desarrollar
este trabajo.
Mi amigo Giovanni Yañez por estar a mi lado y ser un gran apoyo
iv
Tabla de contenido
Índice de figuras vii
Índice de tablas x
Resumen xii
Introducción xiii
CAPÍTULO 1
PLANTEAMIENTO DE LA TEMÁTICA 1
1.1. Problema de investigación 1
1.2. Objetivos 13
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO 14
2.1. Las representaciones semióticas y su papel en la comprensión de
enunciados de problemas matemáticos 14
2.1.1. Representación semiótica 15
2.1.2. Registro semiótico de representación 17
2.1.3. Congruencia o no congruencia entre los registros de
representación 19
2.1.4. Registro de lengua natural. 21
2.2. La comprensión de los enunciados de problemas matemáticos: la
tarea de conversión 23
2.2.1. Variables de la redacción. 26
2.2.2. Variables relativas al lector. 28
2.2.3. Operaciones relativas de los procesos de comprensión de
enunciados de problema matemáticos. 29
2.2.4. El trasfondo: como un elemento constitutivo para la comprensión
de enunciados de problemas matemáticos. 31
2.2.5. Las marcas lingüísticas: como otro elemento constitutivo para la
comprensión de enunciados de problemas matemáticos. 33
2.3. Los enunciados de problema multiplicativos y sus magnitudes 35
2.3.1. Comparación 37
2.3.2. Proporcionalidad directa simple 40
2.3.3. Combinación 44
CAPÍTULO 3
DISEÑO METODOLÓGICO 48
3.1. Selección de las tareas a aplicar 49
3.1.1. Momento 1. Selección de los enunciados problemas
multiplicativos. 50
3.1.2. Momento 2. Modificaciones a los ochos enunciados
representativos del campo de enunciados de problemas
multiplicativos. 53
v
3.2. Análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de los
enunciados de problemas multiplicativos seleccionados 59
3.2.1. Problema T1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla
B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B? 60
3.2.2. Problema T2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la
varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A? 61
3.2.3. Problema T3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla
B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide la varilla
B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B? 63
3.2.4. Problema T4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de
los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagada en total? 64
3.2.5. Problema T5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada
uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de cromos
compró? 65
3.2.6. Problema T6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000
¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos? 67
3.2.7. Problema T7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas
parejas distintas se pueden formar entre ellos? 68
3.2.8. Problema T9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se
pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos
hay en el baile? 69
3.3. Recolección y organización de la información 70
3.3.1. Categorías organizadoras de la información para la realización
del análisis los datos obtenidos. 71
CAPÍTULO 4
ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN OBTENIDA EN LA APLICACIÓN
DE LOS ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS 73
4.1. Categoría organizadora 1: Problemas multiplicativos de comparación
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y
estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸. 73
4.2. Categoría organizadora 2: Problemas multiplicativos de comparación
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y
estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸. 78
4.3. Categoría organizadora 3: Problemas multiplicativos de comparación
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y
estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼. 81
4.4. Categoría organizadora 4: Problemas multiplicativos de
proporcionalidad directa simple cuya solución está determinada por la
estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸. 84
4.5. Categoría organizadora 5: Problemas multiplicativos de
proporcionalidad directa simple cuya solución está determinada por la
estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸. 88
4.6. Categoría organizadora 6: Problemas multiplicativos de
proporcionalidad directa simple cuya solución está determinada por la
estructura sintáctica 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼. 92
vi
4.7. Categoría organizadora 7: Problemas multiplicativos de combinación
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y
estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐸 = 𝐸. 96
4.8. Categoría organizadora 8: Problemas multiplicativos de combinación
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y
estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐸. 102
CAPÍTULO 5
CONCLUSIONES 106
5.1. Dificultades encontradas en la comprensión de los enunciados de
problemas multiplicativos 106
5.2. Algunas sugerencias 112
BIBLIOGRAFÍA 116
vii
Índice de figuras
CAPÍTULO 1
Figura 1.1.1 Varias representaciones de un mismo objeto 7
Figura 1.1.2 Cambio representaciones de un enunciado de problema
multiplicativo 9
Figura 1.1.3 Ejemplo de las dos descripciones superpuestas en un enunciado de
problema 11
CAPÍTULO 2
Figura 2.1.1 Correspondencia lexical entre las unidades significantes de un
registro en lengua natural y un registro numérico 20
Figura 2.1.2 Univocidad semántica terminal entre la unidades significantes de un
registro en lengua natural y un registro numérico 21
Figura 2.1.3 Conservacion del orden de organización de las unidades
significantes entre la unidades significantes de un registro en lengua
natural y un registro numérico 21
Figura 2.2.1 Comprensión de textos, tomando elementos de Duval (1986, 1999b) 25
Figura 2.3.1 Esquemas de las tres variaciones de un enunciado de problema
multiplicativo de comparación 38
Figura 2.3.2 Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe
de César ¿Cuánto puntos tiene José? 39
Figura 2.3.3 Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe
de César ¿Cuánto puntos tiene José? 39
Figura 2.3.4 Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene 21
puntos ¿Cuántas veces de más tiene puntos José que César?
¿Cuántas veces de menos tiene puntos César que José? 39
Figura 2.3.5 Esquema de un enunciado de problema multiplicativo de
proporcionalidad directa simple 40
Figura 2.3.6 Esquemas de las cuatro variaciones de un enunciado de problema
multiplicativo de proporcionalidad directa simple 41
Figura 2.3.7 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500
diarios. Si lleva 6 días ahorrando ¿Cuánto dinero tiene? 42
Figura 2.3.8 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra en 6 días un total de
$9000, si por cada día ahorra los mismo ¿Cuánto dinero ahorra en
un día? 42
Figura 2.3.9 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500
diarios. Si tiene ahorrado $9000 ¿Cuántos días lleva ahorrando? 43
Figura 2.3.10 Esquemas para el enunciado Lucía ahorra durante 6 días la cantidad
de $9000. Para ahorrar $1500 ¿Cuántos días debe ahorrar? 43
Figura 2.3.11 Esquemas de las tres variaciones de un problema multiplicativo de
combinación. 45
viii
Figura 2.3.12 Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el área de un terreno
cuyo largo es 80 m. y ancho es 38 m.? 45
Figura 2.3.13 Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el largo de un terreno
cuyo ancho es 38 m y área es 3040 m2? 46
Figura 2.3.14 Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el ancho de un terreno
cuyo largo es 80 m y área es 3040 m2? 46
CAPÍTULO 4
Figura 4.1.1 Ejemplo de correspondencia lexical, univocidad semántica e igual
orden de organización de las unidades significantes entre T1 y
registro numérico 74
Figura 4.1.2 Producción del estudiante E9A en la solución del problema T1 75
Figura 4.1.3 Producción del estudiante E8C en la solución del problema M1 75
Figura 4.1.4 Producción del estudiante E25D en la solución del problema A1 en
el registro figural unidimensional 77
Figura 4.1.5 Producción del estudiante E24B en la solución del problema A1 en
el registro numérico 78
Figura 4.2.1 Producción del estudiante E18A en la solución del problema T2 79
Figura 4.2.2 Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia
lexical ni igual orden de organización de las unidades significantes
entre T2 y su solución numérica 79
Figura 4.2.3 Producción del estudiante E10C en la solución del problema M2 80
Figura 4.2.4 Producción del estudiante E48C en la solución del problema A2 81
Figura 4.3.1 Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia
lexical ni igual orden de organización de las unidades significantes
entre T3 y su solución numérica 82
Figura 4.3.2a Producción del estudiante E3B en la solución del problema T3 por
suma reiterada 83
Figura 4.3.2b Producción del estudiante E3C en la solución del problema T3 por
ecuación 83
Figura 4.3.3 Producción del estudiante E20B en la solución del problema A3 84
Figura 4.4.1 Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad
semántica terminal y el mismo orden de organización de las
unidades significantes entre T4 y su solución numérica. 85
Figura 4.4.2 Producción del estudiante E7B en la solución del problema T4 86
Figura 4.4.3 Producción del estudiante E13C en la solución del problema M4 87
Figura 4.4.4 Producción del estudiante E37C en la solución del problema A4 88
Figura 4.5.1 Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad
semántica terminal y el mismo orden de organización de las
unidades significantes entre T5 y su solución numérica 89
Figura 4.5.2a Producción del estudiante E2D en la solución del problema T5 por
suma reiterada 90
Figura 4.5.2b Producción del estudiante E12A en la solución del problema T5 por
ecuación (multiplicación) 90
ix
Figura 4.5.3a Producción del estudiante E24C en la solución del problema M5 por
suma reiterada 91
Figura 4.5.3b Producción del estudiante E19C en la solución del problema M5 por
ecuación (multiplicación) 91
Figura 4.5.4 Producción del estudiante E27D en la solución del problema A5. 92
Figura 4.6.1 Ejemplo univocidad semántica terminal pero no hay
correspondencia lexical ni igual orden de organización de las
unidades significantes entre T6 y su solución numérica. 93
Figura 4.6.2 Producción del estudiante E2C en la solución del problema T6 con
suma reiterada 94
Figura 4.6.3 Producción del estudiante E13A en la solución del problema T6 con
ecuación 95
Figura 4.7.1 Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de
organización de las unidades significantes pero no correspondencia
lexical entre T7 y su solución numérica 97
Figura 4.7.2 Ejemplo de univocidad semántica terminal, correspondencia lexical
y orden neutral de organización de las unidades significantes entre
T7 y su solución icónica 97
Figura 4.7.3 Producción del estudiante E5D en la solución del problema T7 con
uso del registro icónico 97
Figura 4.7.4a Producción del estudiante E6D en la solución del problema T7 con
uso del registro icónico 98
Figura 4.7.4b Producción del estudiante E46C en la solución del problema A7 con
uso del registro icónico 98
Figura 4.7.5a Producción del estudiante E17B en la solución del problema M7 98
Figura 4.7.5b Producción del estudiante E17A en la solución del problema T7 98
Figura 4.7.6 Enlaces correctos posibles en la representación icónica de T7, M7
y A7 99
Figura 4.8.1 Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de
organización de las unidades significantes pero no correspondencia
lexical entre T9 y su solución numérica 103
Figura 4.8.2 Producción del estudiante E35C en la solución del problema A9 con
uso del registro icónico 103
Figura 4.8.3 Producción del estudiante E1B en la solución del problema T9 en
la cual responde no es posible la existan de 18 parejas 104
Figura 4.8.4 Producción del estudiante E8A en la solución del problema T9 en
la que se responde 12 chicos 104
x
Índice de tablas
CAPÍTULO 1
Tabla 1.1.1 Algunas interpretaciones semánticas de la multiplicación 2
CAPÍTULO 2
Tabla 2.1.1
Ejemplos de un mismo enunciado de problema multiplicativo con
representaciones auxiliares 16
Tabla 2.1.2 Diferentes registros semióticos del objeto matemático 18
Tabla 2.1.3 Diferentes tratamientos en el sistema de representación semiótica 18
Tabla 2.1.4 Funciones discursivas de una lengua 22
Tabla 2.2.1 Enunciados de problema multiplicativo con diferente contenido
cognitivo 26
Tabla 2.2.2 Enunciados de problema multiplicativo con diferente organización
de la redacción. 28
Tabla 2.2.3 Segmentación de un enunciado de problema multiplicativo con
diferente organización de la redacción 30
Tabla 2.2.4 Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas multiplicativos
de comparación. 34
Tabla 2.2.5
Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involcran
fracciones 34
Tabla 2.3.1 Definición de problema 35
Tabla 2.3.2 Ejemplo de un problema y un ejercicio 35
Tabla 2.3.3 Ejemplo de cantidades extensivas e intensivas 38
Tabla 2.3.4 Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo
de proporcionalidad directa simple 40
Tabla 2.3.5 Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo
de combinación. 44
CAPÍTULO 3
Tabla 3.0.1 Fases, instrumentos y población de la metodología de investigación 49
Tabla 3.1.1 Estructura sintáctica y de magnitudes de los enunciados de problemas
multiplicativos 51
Tabla 3.1.2 Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de
problemas multiplicativos y sus adaptaciones 52
Tabla 3.1.3 Enunciados de problemas multiplicativos con marcas lingüísticas o
trasfondo modificado 54
Tabla 3.1.4 Enunciados de problemas multiplicativos con representaciones
auxiliares 57
Tabla 3.2.1 Segmentación y recontextualización de T1 60
Tabla 3.2.2 Soluciones posibles de T1 61
Tabla 3.2.3 Segmentación y recontextualización de T2 62
xi
Tabla 3.2.4 Soluciones posibles de T2 62
Tabla 3.2.5 Segmentación y recontextualización de T3 63
Tabla 3.2.6 Soluciones posibles de T3 64
Tabla 3.2.7 Segmentación y recontextualización de T4 64
Tabla 3.2.8 Soluciones posibles de T4 65
Tabla 3.2.9 Segmentación y recontextualización de T5 66
Tabla 3.2.10 Soluciones posibles de T5 66
Tabla 3.2.11 Segmentación y recontextualización de T6 67
Tabla 3.2.12 Soluciones posibles de T6 68
Tabla 3.2.13 Segmentación y recontextualización de T7 68
Tabla 3.2.14 Soluciones posibles de T7 69
Tabla 3.2.15 Segmentación y recontextualización de T9 69
Tabla 3.2.16 Soluciones posibles de T9 70
Tabla 3.3.1 Categorías organizadoras de la información para el análisis de los
enunciados de problemas multiplictativos 71
Tabla 3.3.2 Enunciados de problemas multiplicativos aplicados y analizados por
cada categoría organizadora 72
CAPÍTULO 4
Tabla 4.1.1 Enunciados de problema multiplicativos de comparación con
estructura sintáctica a × b = c y estructura de magnitudes E × I = E 73
Tabla 4.2.1 Enunciados de problema multiplicativos de comparación con
estructura sintáctica c ÷ b = a y estructura de magnitudes E/I = E 78
Tabla 4.3.1 Enunciados de problema multiplicativos de comparación con
estructura sintáctica c ÷ a = b y estructura de magnitudes E/E = I 81
Tabla 4.4.1 Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa
simple con estructura sintáctica a × b = c y estructura de magnitudes
E × I = E 84
Tabla 4.5.1 Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa
simple con estructura sintáctica c ÷ b = a y estructura de magnitudes
E/I = E 88
Tabla 4.6.1 Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa
simple con estructura sintáctica a ÷ b = c y estructura de magnitudes
E/E = I. 92
Tabla 4.7.1 Enunciados de problema multiplicativos de combinación con
estructura sintáctica a × b = c y estructura de magnitudes E × E = E
96
Tabla 4.8.1 Enunciados de problema multiplicativos de combinación con
estructura sintáctica c ÷ a = b y estructura de magnitudes E/E = E. 102
CAPÍTULO 5
Tabla 5.1.1 Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de
problemas multiplicativos 114
xii
Resumen
En este trabajo se identifican y describen, desde una perspectiva semiótico-cognitiva, las
dificultades que se presentan en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos. Para
ello, este trabajo se estructura en dos etapas. En la primera etapa, se determinan los enunciados
representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos. En la segunda etapa, se
realiza una serie de observaciones a los estudiantes de grado 6º, de la Institución Educativa Distrital
Colegio Entre Nubes de la ciudad de Bogotá, respecto a cómo comprenden estos enunciados de
problemas y cómo varía su comprensión al realizarle modificaciones a estos enunciados. Las
modificaciones a los enunciados representativos del campo de enunciados de problemas
multiplicativos tuvieron dos versiones: Con respecto a la primera versión, se modificaron los
enunciados representativos en relación con las marcas lingüísticas o con la intensión de variar el
trasfondo que pueden surgir en el estudiante al leer el enunciado problema. Con respecto a la
segunda versión, se les agregó a los enunciados representativos representaciones auxiliarles
figurales o icónicas con el objetivo de evidenciar la incidencia de estas representaciones en la
comprensión de un enunciado de problema multiplicativo.
Los resultados de este trabajo evidencian que las dificultades en la comprensión de enunciados de
problemas multiplicativos son debidas a la incidencia que tiene: a) los factores de la variación de
la redacción del enunciado, puesto que éstos determinan la manera como es explicitado el
contenido cognitivo de los enunciados de problemas multiplicativos (Duval, 1999b); b) el uso
indiscriminado de representaciones auxiliares que apoyan el enunciado de problema
multiplicativo, dado que estas representaciones toman sentido y son significativas en la
comprensión de estos enunciados si y sólo han sido objeto intencionado de enseñanza para los
estudiantes; c) las interpretaciones que realizan los estudiantes desde el trasfondo cultural al leer
un enunciado problema, puesto que las interpretaciones que éstos hacen de los enunciados abren
una brecha entre el significado y el contenido pensado por el autor de los enunciados y entendido
por el estudiante; y d) las marcas lingüísticas en el enunciado, dado que las marcas lingüísticas
pueden atribuirle a un enunciado de problema matemático una intención de movilizar elementos
de la estructura conceptual (Pontón, 2012).
Estos resultados llevan a afirmar que la comprensión de los enunciados de problemas
multiplicativos se da cuando el estudiante logra la capacidad de comprender y de hacer por sí
mismo cualquier cambio de registro de representación, es decir ser capaz de afrontar la
complejidad cognitiva de la conversión (Duval, 2016).
PALABRAS CLAVES: Comprensión, dificultades, enunciados de problemas multiplicativos,
conversión, representaciones semióticas.
xiii
Introducción
El presente trabajo se centra en identificar y describir las dificultades presentes en la actividad
cognitiva de comprensión de enunciados de problemas multiplicativos desde la perspectiva
semiótica-cognitiva desarrollada por Raymond Duval (1986, 1999a, 1999b, 2016), el cual ha
investigado profundamente los modos de funcionamiento cognitivo necesarios para la producción
de una actividad matemática escolar.
La comprensión de enunciados de problemas como primera actividad para la resolución de
enunciados de problemas matemáticos, y en particular para los multiplicativos, está ligada a la
necesidad de realizar una conversión del enunciado de problema a una operación con números, un
esquema, un dibujo o una representación figural que manifieste su solución final o parcial, entre
otras (Duval, 1999a). Esa conversión, que algunos denominan “traducción”, se hace a partir de
una representación que está en un registro de salida (en lengua natural) a otra representación que
está en un registro de llegada (aritmético, icónico, concreto, figural, etc.). Para Duval (1999b,
2016) el estudio del qué constituye, cómo funciona y para qué se hace estas conversiones pone en
un lugar privilegiado el papel que cumplen las representaciones semióticas en el aprendizaje de
las matemáticas.
En la actividad matemática los objetos matemáticos tienen una naturaleza intangible, es decir solo
son directamente accesibles por medio de sus representaciones semióticas, esta naturaleza hace
que sea una dificultad porque implica que para reconocer cualquier objeto matemático únicamente
se puede a través de las representaciones de este objeto (Duval, 2016). La complejidad de poder
reconocer un objeto matemático a partir, único y el exclusivamente, de sus representaciones es tan
grande que es allí dónde radica gran parte de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas.
El presente trabajo se organiza en cinco capítulos. El primer capítulo presenta la problemática de
investigación y la pregunta problema las cuales permitieron planetar unos objetivos, general y
específicos.
xiv
En el segundo capítulo se presentan los aspectos conceptuales que se involucraron en este trabajo,
se tomó como referente teórico los aportes de Duval (1986, 1999a, 1999b, 2016) para establecer
qué implica la comprensión como actividad cognitiva en la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas y Pontón (2012) en lo relacionado con la compresión de enunciados de problemas
matemáticos desde una perspectiva semiótica-cognitiva y lingüística. Adicionalmente, se
presentan los aspectos conceptuales para determinar qué y cuáles son los enunciados de problema
multiplicativos (Castro, 1994; Castro, Rico y Castro, 1995; Puig y Cerdán, 1995; Maza, 1999;
Vergnaud, 2003; Cid, Godino y Batanero, 2004).
En el tercer capítulo se presentan los aspectos metodológicos para el desarrollo del trabajo. Para
ello, se establecen los enunciados representativos del campo de enunciados de problemas
multiplicativos que fueron aplicados a los estudiantes de sexto grado de básica secundaria de la
Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad de Bogotá. Adicional a estos
enunciados se realizó la aplicación de dos versiones más: La primera versión implicaba
modificaciones a los enunciados representativos en relación a las marcas lingüísticas o con la
intensión de variar el trasfondo que pueden surgir en el estudiante al leer el enunciado de problema,
dado que, de acuerdo a lo que plantea Pontón (2012), las marcas lingüísticas pueden atribuirle a
un enunciado de problema matemático una intención de movilizar elementos de la estructura
conceptual y el trasfondo al leer el enunciado problema le permite a los estudiantes hacer
interpretaciones estos enunciados así no cuenten con algunos elementos del campo de
conocimiento. En la segunda versión, se les agregó a los enunciados representativos
representaciones auxiliares figurales o icónicas con el objetivo de evidenciar la incidencia de estas
representaciones en la comprensión de un enunciado de problema multiplicativo.
En el cuarto capítulo se realiza el análisis de la información obtenida en cuanto a las dificultades
encontradas en los estudiantes respecto en la comprensión de los enunciados de problemas
multiplicativos que debían resolver.
Finalmente, en el quinto capítulo se presentan las conclusiones resultantes que se derivan del
análisis realizado y que atienden al planteamiento del problema presentado. La presentación de las
xv
conclusiones se hace en dos momentos los cuales obedecen a los aspectos específicos que
emergieron del proceso investigativo.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
1 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
1. Planteamiento de la problemática
Este capítulo se presenta en dos momentos: en el primero, se realiza la contextualización de la
problemática abordada y, en el segundo, se plantean los objetivos a desarrollar en este trabajo.
1.1. Problema de investigación
El sistema escolar colombiano en la educación básica primaria propone a los estudiantes de
educación básica primaria un acercamiento inicial a la resolución de enunciados problemas
multiplicativos al plantear en los Estándares de Básicos de Competencias en Matemáticas
(Ministerio de Educación Nacional [MEN], 2006) estándares como “Resuelvo y formulo
problemas en situaciones de variación proporcional” (p. 80) para los grados 1° a 3° y “Resuelvo y
formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y producto de medidas” (p.
82) para los grados 4° a 5°.1 El abordaje de la comprensión en el aula de estos enunciados de
problemas multiplicativos está enmarcado desde diversas interpretaciones, por ejemplo, como
concebir que la multiplicación es una suma reiterada o abreviada que agranda y la división es una
resta reiterada que achica (Rojas, Romero, Mora, Bonilla, Rodríguez y Castillo; 2011); sin
embargo, quedarse en este tipo de interpretación es limitada dado que, como expresan Rojas et al.
(2011), la multiplicación de un número 𝑥 ∈ Ν por un número 𝑦 ∈ ℚ/𝑦 ∈ [0,1] no agranda el
número 𝑥.
Diferentes investigaciones en Educación Matemática han transcendido esta interpretación en que
la multiplicación y la división son una suma y una resta reiterada respectivamente porque se queda
corta en lo que respecta a la complejidad que abarca comprender un enunciado problema
multiplicativo. Por ejemplo:
Por un lado, hay dificultades ligadas a las diferentes estructuras semánticas que puede tener un
enunciado de problema multiplicativo, ver tabla 1.1.1, pues como plantea Puig y Cerdan (1995) y
Cid, Godino y Batanero (2004a) tiende a suceder que a los estudiantes se les dificultad menos
comprender un enunciado de problema multiplicativo que involucre la operación de la división
1 En el capítulo 2, numeral 2.3, se define qué se entiende por enunciado de problema multiplicativo.
Planteamiento de la problrmática
2 Yerry Londoño Morales
que la de multiplicación, puesto que el reparto o la distribución equitativa es más familiar para el
estudiante. Además, hay mayor facilidad para comprender un enunciado cuya estructura semántica
es de isomorfismo de medidas a algunos de comparación, siendo los enunciados cuya estructura
semántica es de producto de medidas más complejos para comprender.
Tabla 1.1.1
Algunas interpretaciones semánticas de la multiplicación
AUTOR TIPO DE ESTRUCTURAS MULTIPLICATIVAS
Maza (1991) Razón: problemas resolubles por suma reiterada
Combinación: problemas resolubles por producto cartesiano.
Castro et al. (1995)
Isomorfismo de medidas: es una estructura que engloba a los problemas en los que
subyace una proporcionalidad simple directa entre las dos magnitudes implicadas.
El producto de medidas: es una estructura que engloba a tres magnitudes M1, M2 y
M3, de tal manera que una de ellas, M3 es el producto cartesiano de las otras dos.
Puig y Cerdan (1995)
Isomorfismo de medidas: problemas en los que hay una proporción simple directa
entre dos espacios de medida. Como la multoplicación no es semanticamente
conmutativa, hay tres posibilidades dentro de esta categoria.
Comparación multiplicativa: hay una función escalar que se usa para comparar dos
cantidades extensivas del mismo tipo de magnitud.
Producto de medidas: corresponden al modelo de la multiplicación como producto
cartesiano.
Vergnaud (2003)
Isomorfismo de medidas: una relación cuartenria entre cuatro cantidades, dos
cantidades son medidas de un cierto tipo, y el resto son medidas de otro tipo.
Producto de medidas: una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es
el producto de las otras dos, tanto el plano numérico como en el plano dimensional.
Cid, Godino y Batanero
(2004b)
Situación multiplicativa de razón: Situación en la que intervienen dos estados E1 y
E2 que hacen referencia a magnitudes distintas y una razón R que expresa el cociente
de E2 respecto a E1.
Situación multiplicativa de comparación: Intervienen dos estados E1 y E2 que hacen
referencia a una misma magnitud y una comparación C que indica el número de veces
que hay que repetir uno de los estados para igualarlo al otro.
Situación multiplicativa de combinación: Intervienen dos estados E1 y E2 que
expresan los cardinales de dos conjuntos o las medidas de cantidades de dos magnitudes
y un tercer estado Ef que indica el cardinal del producto cartesiano de esos dos conjuntos
o la medida de la cantidad de magnitud producto.
Por otro lado, hay dificultades, según Rojas et al. (2011), al considerar que para resolver un
problema multiplicativo solo es suficiente con encontrar cuál es la suma o resta reiterada que debe
hacerse, mas no comprender que la multiplicación es un cambio de unidad pues “cuando se
multiplica, lo que esencialmente se hace es expresar una cantidad o magnitud -no necesariamente
entera- de cierta cantidad o magnitud unidad en términos de otra unidad, y que para llevar a cabo
tal cambio de unidad, se realizan procesos de unitización o de normación” (Rojas et al., 2011, p.
58), esto implica reconocer en la multiplicación la importancia de determinar las unidades que se
ponen en juego y reconocer que las cantidades involucradas están atadas a cierta unidad.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
3 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Sin embargo, pese a la diversidad de literatura nacional e internacional sobre la enseñanza y el
aprendizaje de la multiplicación en la educacion primaria, las dificultades en lo que respecta a la
comprensión de las enunciados de problemas multiplicativas sigue siendo un tema latente para los
docentes. A continuación, vamos a analizar algunos resultados de las pruebas Saber 3º y 5º en
matemáticas aplicadas a los estudiantes de Colombia en lo que concerniente a la resolución de
enunciados de problemas multiplicativos:2
Prueba Saber 3º en matemáticas
- El 62,33% y el 45,28% de los estudiantes que presentaron la prueba en el 2014 y el 2016 no
respondieron correctamente las preguntas que evalúan la afirmación “Resolver y formular
problemas multiplicativos rutinarios de adición repetida”. La siguiente pregunta que evalúa
esta afirmación es tomada del Cuadernillo de preguntas de Matemáticas del ICFES (2015a, p.
125):
En una fiesta se repartieron 15 postres entre los invitados. Si cada invitado se comió 3
postres, ¿cuál grupo representa el total de invitados que asistió a la fiesta?
2 La información de estos resultados de las pruebas Saber de 3º y de 5º en matemáticas se obtuvo del Grupo de
Evaluación de la Calidad Educativa de la Subdirección de Referentes y Evaluación del MEN. El Instituto Colombiano
para la Evaluación de la Educación [ICFES] es la entidad nacional en Colombia encargada de diseñar, aplicar y
calificar las pruebas Saber, en la cual las afirmaciones “son enunciados que se hacen acerca de los conocimientos,
habilidades y capacidades que se pretende inferir a partir de las respuestas dadas por los estudiantes en las pruebas.
En otras palabras, la afirmación “traduce” el estándar en desempeños y permite dar cuenta del significado y alcance
de los puntajes obtenidos por los estudiantes” (ICFES, 2014)
Planteamiento de la problrmática
4 Yerry Londoño Morales
En este tipo de preguntas cuya solución se determina por la ecuación 15 ÷ 3 = 5 el no acierto
a la respuesta correcta, según Cid et al. (2004a), puede estar determinada por factores como:
el vocabulario pues términos como “si cada” toman significado solo en la escuela o el orden
de los datos pues lo que se debe averiguar es cuántas veces se suma reiteradamente el 3 hasta
que de 15 y el enunciado problema tiene otro orden; en ambas situaciones la dificultad está en
aspectos de la comprensión del problema y no en dificultades de la operación.
- El 50,10% y el 46,26% no respondieron correctamente tampoco la afirmación “Resolver y
formular problemas sencillos de proporcionalidad directa” en la prueba de 2014 y el 2016. La
siguiente pregunta que evalúa esta afirmación es tomada del Cuadernillo de prueba Saber 3°del
ICFES (2015b, p. 11):
Un lustro es una medida de tiempo. La tabla muestra la cantidad de años equivalente a 1 y 2 lustros.
¿Qué operación permite calcular la cantidad de años equivalente a 3 lustros?
A. 1 + 5
B. 3 × 5
C. 3 × 2
D. 10 + 2
Al igual que el primer enunciado de problema analizado los no aciertos pueden justificarse
por la no comprensión del vocabulario, pues el empleo de la palabra “operación” en el lenguaje
ordinario puede referir, también, a una cirugía. Adicionalmente, en este tipo de enunciado
problema su abstracción es determinante puesto que le pide al estudiante plantear la operación
más no resolverla y, además, a éste se le pide una solución por multiplicación directa que, tal
vez, puede generar una dificultad cuando el estudiante lleva determinado tiempo practicando
solo sumas y restas reiteradas (Cid et al., 2004a).
Para Cid et al. (2004a) la abstracción se da cuando el estudiante supone que el multiplicando
(3) es un número que indica la medida de una cantidad de magnitud (lustros), mientras que el
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
5 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
multiplicador (5) nos dice las veces que se repite la cantidad inicial para determinar la
operación que da respuesta a la pregunta que es 3 × 5.
Aquí la abstracción incide para su comprensión pues el expresar 3 × 5 implica unos niveles de
complejidad mayores pues es necesario tener en cuenta varios elementos. Por ejemplo: pasar
por la interpretación de la tabla para lo cual hay que deducir relaciones entre las cantidades
presentes, es decir hay covariación.
Prueba Saber 5º en matemáticas
El 43,38% y el 39,94% de los estudiantes que presentaron la prueba en el 2014 y el 2016 tampoco
respondieron correctamente las preguntas que evalúan la afirmación “Resolver y formular
problemas multiplicativos rutinarios y no rutinarios de adición repetida, factor multiplicante, razón
y producto cartesiano”. La siguiente pregunta que evalúa esta afirmación es tomada del
Cuadernillo de prueba Saber 5° del ICFES (2015c, p. 11):
A un evento deportivo asistieron niños y adultos. Por cada 7 niños había 2 adultos. Si en total había 28
niños, ¿cuántos adultos asistieron?
A. 19
B. 9
C. 8
D. 7
En este enunciado problema sus no aciertos pueden ser causados por el vocabulario involucrado,
el orden de los datos dados y la abstracción requerida. Así mismo su complejidad aumenta pues
hay otros factores como:
La sintáctica de los algoritmos que para Maza (1991) se refiere cuando el estudiante no hace una
aplicación correcta de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, lo cual
implica el conocimiento de las centenas, decenas, unidades, etc., es decir un conocimiento del
sistema de numeración decimal. Por ejemplo, 28 × 2 = 20 × 2 + 8 × 2.
Planteamiento de la problrmática
6 Yerry Londoño Morales
La sintáctica de los números cuando se ingresan cantidades menores que la unidad o muy grandes
o expresiones decimales o fraccionarias pues hacen difícil concebir modelos implícitos de las
operaciones (Puig y Cerdán, 1995), como por ejemplo que la división es un reparto para 2 ÷ 0,5.
La determinación de la unidad pues como identificaron Arce, Castrillón y Vega (1999) en los
enunciados de problemas multiplicativos cuya estructura semántica es de isomorfismo de medidas
hay menos dificultad si una de las cuatro cantidades es 1, por ejemplo, para la pregunta de la prueba
Saber 5º, analizada anteriormente, no se resuelve de mejor manera pues como no aparece 1 se
“oculta” la unidad dado que se propone una unidad con valor diferente a 1. Caso contrario que
sucede con las dos preguntas analizadas de la prueba Saber 3º.
Factores como la estructura semántica, el vocabulario, el orden de los datos, la abstracción, la
sintáctica de los algoritmos y los números y la determinación de la unidad inciden en la
comprensión y resolución de los enunciados de problemas multiplicativos pues pueden generar
dificultades. No obstantes, aunque las investigaciones nacionales e internacionales las han
abordado, la comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos en Colombia sigue
siendo una dificultad para los estudiantes que deben resolverlos.
Pero ¿por qué persisten estas dificultades? Dar respuestas a esta pregunta implicaría considerar
que, en la enseñanza de los problemas multiplicativos, los docentes tengan en cuentas los factores
antes mencionados más todos los demás que se han identificado en la literatura en Educación
Matemático, pero se nos quedan por fuera de este trabajo, y aquellos factores que faltarían por
identificar. Si bien, no podamos elaborar de momento un cuadro completo de estas dificultades a
continuación abordaremos otro factor que incide en dichas dificultades las cuales serán objeto de
análisis.
Para iniciar es necesario aclarar que en esta investigación los objetos matemáticos poseen una
naturaleza intangible, es decir solo son directamente accesibles por medio de sus representaciones
semióticas,3 esta naturaleza implica que para reconocer cualquier objeto matemático, entendiendo
3 En el capítulo 2, numeral 2.1.1, se define que es una representación semiótica.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
7 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
objeto matemático como “todo lo que es indicado, señalado, nombrado cuando se construye, se
comunica o se aprende matemáticas” (D’Amore, 2006, p. 180), únicamente se puede a través de
las representaciones de este objeto.
Según Duval (1999b, 2016), la complejidad de poder reconocer un objeto matemático a partir,
único y el exclusivamente, de sus representaciones es tan grande que es allí dónde radica gran
parte de los problemas en el aprendizaje de las matemáticas porque:
1. No basta con una sola representación del objeto puesto que una representación de un objeto
R1(O) conlleva su propio contenido de la representación 𝑅1(𝑂) → 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅1}, porque el
contenido de una representación depende tanto del sistema movilizado para producir la
representación como del objeto representado; esto implica que entre diferentes
representaciones de un mismo objeto R1(O1), R2(O1), R3(O1)… los contenidos que evocan sus
representaciones son diferentes 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅1(𝑂1)} ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅2(𝑂1)} ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑡{𝑅3(𝑂1)}… (Duval,
1999b, 2016), es decir cada representación de un objeto dice algo exclusivo “más no parcial”
del objeto.
Por ejemplo, en la figura 1.1.1 las representaciones R1(Oa), R2(Oa) y R3(Oa) son
representaciones distintas del mismo objeto, la R2(Oa) manifiesta que los dulces están
distribuidos equitativamente en las 3 bolsas, la R3(Oa) que los dulces están distribuidos no
equitativamente en las tres bolsas y la R1(Oa) no dice como están distribuidos los dulces.
R1(Oa): Juan tiene 18 dulces
distribuidas en 3 bolsas. ¿Cuántos
dulces puede tener en cada bolsa?
R2(Oa):
R3(Oa):
Figura 1.1.1. Varias representaciones de un mismo objeto
Planteamiento de la problrmática
8 Yerry Londoño Morales
Pero ¿Por qué el solo poder reconocer un objeto matemático a partir de sus representaciones
implica una dificultad para el aprendizaje de las matemáticas y en particular para la
comprensión de enunciados de problemas multiplicativos? Pensemos cuando a un estudiante
se le pone la multiplicación 8 × 11 = 88, será posible que con solo el registro de
representación semiótico numérico el estudiante pueda reconocer,4 por ejemplo: a) que 8 y 88
son dos cantidades, A y C respetivamente, de una misma magnitud en las que se está haciendo
un comparativo, en el marco de los enunciados de problemas multiplicativos, de igualación
(11𝐴 = 𝐶) o, b) que 8 y 11 son dos cantidades, A y B respetivamente, de magnitudes diferentes
o iguales que se compone para dar una tercera cantidad C de magnitud distinta a las anteriores,
por lo cual entre A y C no es posible hacer una comparación en el marco de los enunciados de
problemas multiplicativos. Las interpretaciones a) y b) corresponden a significados semánticos
distintos otorgados a la multiplicación, entonces ¿Cuántas representaciones semióticas son
necesarios para que un estudiante pueda comprender el objeto matemático que se desea
aprender si cada representación semiótica distinta del mismo objeto tiene su propio contenido?
2. Ligado a la anterior, las representaciones semióticas en la actividad matemática no se reducen
a designar objetos matemáticos o tomar el lugar del objeto representado o ser consideradas
como objetos; de hecho, el uso de las representaciones semióticas está ligado por la posibilidad
del procesamiento matemático (función cognitiva) que permite, el cual solo es posible en la
medida que se pueda una representación de un objeto ser cambiada, mas no sustituida, por
otras representaciones sin la necesidad de adicionar más datos (Duval, 2016). Es en esta idea
donde se centran los mayores problemas en el aprendizaje de las matemáticas, y la
comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos no son ajenas, pues el paso de
una registro a otro registro del mismo objeto puede tonarse fácil, difícil y, a veces, imposible
(Duval, 1999b). Ejemplo:
4 En el capítulo 2, numeral 2.1.2, se define que es un registro de representación semiótico.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
9 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 1.1.2. Cambio representaciones de un enunciado de problema multiplicativo
El cambio de registro de la R2(Ob) al registro de la R3(Ob) en la dirección R2(Ob)→R3(Ob) se
observa que: a) la cantidad 3 que no representa ninguna medida sino un escalar del registro
numérico R2(Ob) corresponde en el registro figural unidimensional R3(Ob) a la cantidad de
veces que se repite el segmento 𝑎𝑏 en dicha representación, b) la cantidad $200000 que
representa una medida en R2(Ob) corresponde en R3(Ob) a la medida del segmento 𝑎𝑏.
Este cambio de registro de R2(Ob)→R3(Ob) no es un ejercicio espontáneo para el estudiante
porque, por un lado, comprender que la cantidad 3 en el registro unidimensional no representa
una medida del segmento 𝑎𝑏 mientras que $200000 sí lo representa no es obvio para el
estudiante y, por otro lado, comprender que en el registro numérico las cantidades 3 y $200000
se puede algoritmizar mientras que el registro unidimensional la correspondencia a estas
cantidades no es posible.
3. Determinar la variedad de estructuras semánticas de los enunciados de problema multiplicativo
es posible solo si éstos están representados por lo menos en un registro semiótico de la lengua
natural o las representaciones de estos enunciados tienen como apoyo el registro semiótico de
la lengua natural.
R1(Ob): Teresa ahorra al mes 3
veces más de lo que ahorra Ana.
Si Ana ahorra al mes $200000
¿Cuánto ahorra Ana al mes?
R2(Ob): $200000 × 3 = $600000
R3(Ob):
Planteamiento de la problrmática
10 Yerry Londoño Morales
Por ejemplo, tener la representación numérica 5 × 3 = 15 no me dice desde el contenido del
registro numérico si su estructura semántica obedece a un isomorfismo de medidas, un
producto de medidas o una comparación. Es solo posible otorgar a 5 × 3 = 15 su estructura
semántica si está inmersa en un registro de lengua natural.
Entonces, solo es posible reconocer la estructura semántica de los enunciados de problemas
multiplicativos si se involucra un registro semiótico de lengua natural porque este registro,
según Duval (1999b), es el único que permite cumplir la función metalingüística de la
reflexividad discursiva la cual consiste “en señalar el valor, el modo o el estatus para una
expresión por parte de quien lo enuncia” ( p. 84), es decir que es en el registro de lengua natural
donde el enunciado de problema multiplicativo se sitúa con respecto a otros enunciados de este
tipo, de acuerdo al interés que el autor haya colocado en el enunciado o incluso en la relación
que quiera establecer con el lector del enunciado.
Así pues, el que el enunciado de problema multiplicativo esté en registro de lengua natural
implica que su comprensión no es tan obvia puesto que, como menciona Pontón (2012), “los
problemas de matematización llevados al aula de clases depende completamente de la
comprensión del enunciado producido en el registro de la RL que permita una tarea de
conversión, asunto que no es nada espontáneo.” (p. 423; cursiva y negrillas propias del autor),
en otras palabras si una situación problema en matemáticas está presentada en lengua natural
no hace que sea más fácil de solucionar, de hecho la complejidad cognitiva de resolver un
enunciado de problema, en particular aquellos que enunciados de problemas multiplicativos,
abarca un problema didáctico de orden mayor porque la comprensión de un enunciado
problema matemático involucra:
- De una parte, dotar a los estudiantes de elementos que le permitan ser capaces de
discriminar dos descripciones que se superponen: la situación extra-matemática que se
presenta en el enunciado del problema que se pretende movilizar y la situación matemática
de un modelo de tratamiento matemático instanciado por valores numéricos del enunciado
(Duval, 1999a). En la figura 1.1.3 se muestra como enunciado de problema describe las
dos situaciones: matemática y extra-matemático, que se yuxtaponen.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
11 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 1.1.3. Ejemplo de las dos descripciones superpuestas en un enunciado de problema.
- De otra parte, para Duval (1999a) lograr la comprensión de un enunciado de un problema
es fundamental el retener las unidades cognitivamente pertinentes que están definidas por
dos dimensiones semánticas diferentes:5 la dimensión semántica de los valores numéricos
que al significado connotativo que pueden tomar las cantidades de acuerdo al enunciado
problema, por ejemplo, en la figura 1.1.3 las cantidades 1200, 12 y 3 son números
cardinales que me cuantifican distintos elementos. Y la dimensión semántica de orden para
los sucesos de la situación extra-matemática del enunciado de problema.
Esta retención de las unidades cognitivamente pertinentes para la comprensión de un
enunciado de problema según las dos dimensiones semánticas (de valores numéricos y de
orden) estipula que no es posible considerar, por ejemplo, la cantidades en lo numérico o
los términos analíticos-descriptivos o denotativos en lo geométrico de manera aislada, dado
que “los símbolos matemáticos uno por uno con su interpretación impide ver que sólo
adquieren sentido global como sistema simbólico suficientemente complejos para sugerir
interpretaciones no sólo por los símbolos mismos como unidades significantes sino por sus
relaciones espaciales y temporales” (Pontón, 2012, p. 423; corchetes fuera del autor), en
otras palabras, un signo (como en la figura 1.3 son los números 1200, 12 y 3) no funciona
fuera del sistema simbólico puesto que es sólo ahí donde toma valor, en este sentido extraer
5 En numeral 2.2, del capítulo 2, se define que es una unidad cognitivamente pertinente.
Planteamiento de la problrmática
12 Yerry Londoño Morales
solo los datos numéricos para resolver un enunciado evidencia poco o nula comprensión
de la situación a resolver.
Ahora bien, de acuerdo con lo expuesto, se han dado tres argumentos por los cuales se manifiesta
que el acceder a los objetos matemáticos solo a través de las representaciones semióticas es una
limitante para la comprensión de las matemáticas, y en particular de los enunciados de problemas
multiplicativos, porque: uno, ¿Cómo reconocer un objeto matemático en dos representaciones
diferentes si sus contenidos no tiene nada en común? El reconocimiento de un objeto matemático
es una actividad que es posible a través de múltiples representaciones de ese objeto, pero un
problema es que varias representaciones de un mismo objeto sus contendidos no tiene nada en
común (Duval, 2016); dos, en la actividad matemática la comprensión se da en la medida que no
se enfoque en las representaciones de un objeto matemático, sino en la propiedad cambiar de
registro de representación (Duval, 1999a, 1999b y 2016) y; tres, de acuerdo a Benveniste (1931),
citado por Duval (1999b, p. 29) el registro de lengua natural es “la organización semiótica por
excelencia”; sin embargo, aunque este registro se utilice cotidianamente en la vida su uso en la
actividad matemática genera altos costos cognitivos, pues no es posible realizar algoritmos en este
registro, el paso de este registro a otro no es una actividad siempre fácil y, usualmente, no es objeto
de enseñanza en la escuela de manera intencionada dado que se da por obvio el dominio del mismo.
En consecuencia con lo mencionado, la pregunta que ocupa el estudio de este trabajo es la
siguiente:
¿Cuáles son las dificultades que encuentran los estudiantes de grado sexto de básica secundaria
de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes en el proceso de la comprensión de
enunciados de problemas multiplicativos, desde una perspectiva semiótico-cognitiva?
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
13 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
1.2. Objetivos
General
Identificar y describir las dificultades que encuentran los estudiantes de grado sexto de educación
básica secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes en el proceso de la
comprensión de enunciados problemas multiplicativos, desde una perspectiva semiotico-cognitiva.
Específicos
- Determinar los registros de representación semiótica que privilegian los estudiantes de grado
sexto de educación básica secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes
en el proceso de la comprensión y resolución de enunciados problemas multiplicativos.
- Caracterizar las conversiones entre los registros de representación semiótica que realizan los
estudiantes de grado sexto de educación básica secundaria de la Institución Educativa Distrital
Colegio Entre Nubes en el proceso de la comprensión y resolución de enunciados problemas
multiplicativos.
- Identificar algunos de los elementos que dificultan las conversiones entre los registros de
representación semiótica que realizan los estudiantes, de grado sexto de educación básica
secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes en el proceso de la
comprensión y resolución de enunciados problemas multiplicativos.
Marco teórico
14 Yerry Londoño Morales
2. Marco teórico
El siguiente capítulo se presentan los elementos de orden conceptual en lo que respecta a: el papel
que cumplen las representaciones semióticas en el aprendizaje de las matemáticas; qué constituye,
cómo funciona y para qué se hace la tarea de conversión y su relación con la comprensión de los
enunciados de problemas matemáticos y; qué se entiende y cuáles son los enunciados de problemas
multiplicativos.
2.1. Las representaciones semióticas y su papel en la comprensión de enunciados de
problemas matemáticos
La comprensión de enunciados de problemas como primera actividad para la resolución de
problemas matemáticos, y en particular para los problemas multiplicativos, está ligada a la
necesidad de pasar del enunciado de problema en lengua natural a una operación con números, a
un esquema, un dibujo, una representación figural, entre otras, que manifieste su solución final o
parcial (Duval, 1999a). Este paso, que algunos denominan “traducción”, se hace a partir de una
representación que está en un registro de salida (en lengua natural) a otra representación que está
en un registro de llegada (aritmético, icónico, concreto, figural, etc.). Según Duval (1999a, 1999b
y 2016), el estudio del qué constituye, cómo funciona y para qué se hace este paso pone en un
lugar privilegiado el papel que cumplen las representaciones semióticas en el aprendizaje de las
matemáticas.
La perspectiva semiótica-cognitiva desarrollada por Raymond Duval (1986, 1999a, 1999b, 2016)
ha investigado profundamente sobre el papel que cumple estas representaciones y es desde aquí
que se fundamenta este trabajo para dar respuesta a la pregunta de investigación definida en el
capítulo 1.
A continuación, se va a definir y caracterizar qué es una representación semiótica, qué es un
registro semiótico de representación o sistema semiótico de representación, cuáles son los criterios
de congruencia entre los registros de representación y, finalmente, qué establece que un registro
semiótico sea una lengua puesto que los enunciados de problemas multiplicativos están dados en
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
15 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
un registro de lengua natural y, como se explicó en el capítulo anterior, es en este registro donde
se determina la variedad de estructuras semánticas de los enunciados de problema multiplicativo.
2.1.1. Representación semiótica. Las representaciones semióticas están determinadas por los
“signos y sus asociaciones complejas, que se producen de acuerdo con reglas y que
permiten la descripción de un sistema, un proceso, un conjunto de fenómenos” (Duval, p.
61), es decir que una representación semiótica tiene como referente un sistema de
semiótico. De acuerdo con lo anterior, y como lo manifiesta Duval (2016), las
representaciones semióticas no se reducen a designar objetos matemáticos, es decir
colocarles nombres, a sustituir estos objetos perdiendo su característica intangible, o ser
considerada la representación como el objeto mismo.
En consecuencia, las representaciones semióticas no solo cumplen una función
comunicativa, sino que produce conocimiento en tanto que se puedan cambiar por otras
representaciones sin el apoyo de nuevos datos (Duval, 1999b, 20016).
En algunas situaciones como en los enunciados de problemas matemáticos de algunos
textos escolares o realizados por algunos docentes, el creador de la representación
semiótica involucra representaciones de manera intencionada o no para que sirvan de apoyo
o guía para la comprensión de la representación semiótica o solo por decoración. Duval
(2016) denomina a estas representaciones involucradas como representaciones auxiliares.
Una representación auxiliar puede ser una representación semiótica o no semiótica.
Hablaremos de representaciones no semióticas cuando, según Duval (2016), no dependen
de un sistema semiótico, por tanto, no puede ser cambiadas por otras representaciones
“equivalentes” aunque se usan en la actividad matemática. Algunas de estas son:
- Representaciones icónicas que son las que presentan un parecido con elementos
materiales (Duval, 2016).
- Representaciones concretas que son usadas para manipulaciones libres, como por
ejemplo los palillos para contar (Duval, 2016).
Marco teórico
16 Yerry Londoño Morales
- Las ilustraciones que, según Pontón (2012), privilegian datos poco relevantes y en
muchas ocasiones se vuelve un distractor para el lector.
- Los esquemas que, a diferencia de la ilustración, si tiene en cuenta los datos relevantes.
Frente a este tipo de representación Pontón (2012) aclara que:
Estos esquemas presentan dos inconvenientes: el primero es que hay diferentes
esquemas que se deben utilizar según los diferentes tipos de problemas; en estas
condiciones, la utilización del esquema apropiado presupone ya la comprensión
global del enunciado a un nivel suficiente para escoger cuál esquema puede ser el
más apropiado. El segundo inconveniente es su legibilidad semiótica: de una parte,
la separación de los dos tipos de datos que no se revelan en las mismas dimensiones
no se representa claramente; de otra parte, el recurso a las flechas exige una
interpretación por parte de los estudiantes, que se revela siempre delicada. (p. 145)
A continuación, en la tabla 2.1.1 se presentan algunos ejemplos de las representaciones
auxiliares:
Tabla 2.1.1
Ejemplos de un mismo enunciado de problema multiplicativo con representaciones auxiliares
Tipo de
representación
auxiliar
Ejemplo
No semiótica -
Icónica
En un entrenamiento de
fútbol 4 jugadores deben
realizar 3 tiros a la
portería cada uno
¿Cuántos tiros en total
deben hacerse a la
portería?
No semiótica -
Ilustración
En un entrenamiento de fútbol
4 jugadores deben realizar 3
tiros a la portería cada uno
¿Cuántos tiros en total deben
hacerse a la portería?
No semiótica -
Esquema
En un entrenamiento de fútbol 4
jugadores deben realizar 3 tiros
a la portería cada uno ¿Cuántos
tiros en total deben hacerse a la
portería?
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
17 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Semiótica – Plano
cartesiano
En un
entrenamiento de fútbol 4 jugadores deben realizar
3 tiros a la portería cada uno ¿Cuántos tiros en total
deben hacerse a la portería?
Nota: La primera imagen fue tomada de https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-
didacticos/problemas-de-multiplicacion/ y la segunda imagen de https://pixers.es/fotomurales/nino-
jugando-futbol-de-dibujos-animados-57095722.
2.1.2. Registro semiótico de representación. Son aquellos que permiten cumplir tres actividades
cognitivas (Duval, 1999a, 1999b):
La primera, la formación de una representación semiótica se da por la constitución de una
marca o un conjunto de marcas perceptibles que sean identificables y que tienen como
objetivo evocar el objeto matemático a partir de unos signos que dependen del sistema
semiótico al cual pertenecen. Al ser evocado el objeto, es necesaria la “selección en el
conjunto de caracteres y de las determinaciones que constituye lo que se quiere decir”
(Duval, 1999, p. 42). Es decir, que la formación de una representación es la primera
actividad cognitiva involucrada, de tal manera que la asociación formada de los signos
tenga un sentido. Por ejemplo, en la tabla 2.1.2 se presentan diferentes registros en el que
se representa el mismo objeto matemático, estos diferentes registros contienen cada uno
conjunto de marcas perceptibles las cuales evocan el mismo objeto matemático.
Marco teórico
18 Yerry Londoño Morales
Tabla 2.1.2
Diferentes registros semióticos del objeto matemático
Registro
numérico Registro figural unidimensional (recta numérica)
Registro de lengua
natural
3 × 5 = 15
Organicen tres
grupos, de tal
manera que cada
grupo este
conformado por
cinco personas
La segunda y la tercera son las actividades que determinan que las representaciones
semióticas cumplen, además de una función de comunicar, una función de transformación,
puesto que se obtendrán otras representaciones en el mismo registro u otro. El tratamiento
consiste en “transformar las representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias al
sistema, de modo que se obtengan otras representaciones que puedan constituir una
ganancia de conocimiento en comparación con las representaciones iniciales” (Duval,
1999b p. 29). Esta transformación se efectúa en el mismo sistema de registro de
representación semiótica, o sea que el tratamiento es una actividad interna al registro que
depende de los recursos propios de la representación para poder actualizar el objeto
matemático, esto con el objetivo de responder a una necesidad de hacer explícito o
implícito el contenido evocado de dicho objeto. Es por ello, que cada registro de
representación semiótica ofrece posibilidades específicas de diferentes tratamientos. En la
tabla 2.1.3 se muestran dos tratamientos que se realizan al registro numérico de salida, las
representaciones de ambos tratamientos siguen estando en el registro numérico.
Tabla 2.1.3
Diferentes tratamientos en el sistema de representación semiótica Registro de salida Tratamiento B Tratamiento C
3 × 5 = 3 × 5 = (3 + 3) + (3 + 3) + 3 3 × 5 = 5 + 5 + 5
La tercera actividad, la conversión, es la transformación de una representación de un objeto
en un registro de salida a otra representación del mismo objeto en otro registro de llegada,
en este tipo de actividad se conserva “la referencia al mismo objeto (objeto en el sentido
estricto, situación…), pero no conserva la explicitación de las mismas propiedades de
ese objeto. Por ende, la representación del objeto en el registro de llegada no tendrá el
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
19 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
mismo contenido que su representación en el registro de partida” (Duval, 1999a, p. 45,
negrilla propias del autor). De ahí que este tipo de transformación sea externa al registro.
En la tabla 2.1.2 las conversiones correspondería a: la transformación del registro númerico
al registro figural unidmensional o viceversa, la transformación del registro númerico al
registro en lengua natural o viceversa y la transformación del registro figural
unidmensional al registro en lengua natural o viceversa.
Pontón (2012) denomina como “intrarregistro” para el tratamiento e “interregistro” para la
conversión, que junto a la formación de representaciones semióticas me determinan un
registro semiótico de representación.
De las tres actividades cognitivas que involucra un registro semiótico de representación,
Duval (1999b) manifiesta que, es la conversión la tarea con mayor grado complejidad en
la medida que es una actividad que se encuentra orientada de un registro a otro donde es
necesario precisar el registro de salida y el registro de llegada.1 Por lo tanto, en la
conversión se involucra por lo menos dos registros de representación semióticos, el pasaje
de un registro a otro puede ser espontáneo o lineal (se habla de congruencia) o, en su
defecto, el pasaje de un registro a otro puede ser opaco (se habla de no congruencia) (Duval,
1999b).
2.1.3. Congruencia o no congruencia entre los registros de representación. Se precisa a partir
de los tres criterios que Duval (1999a, 1999b, 2016) expone:
- La correspondencia lexical entre las unidades significantes propias a cada representación
semiótica de cada registro, una correspondencia uno a uno entre los elementos constituyes
significativos (símbolos, palabras, reagrupamientos de palabras o de símbolo o
reagrupamientos visuales), es decir no puede haber una unidad significante de la
1 No obstante, Rojas (2014) presenta evidencias en las que manifiesta que “las transformaciones de tratamiento entre
representaciones semióticas -al interior de la variedad de registros utilizados-, no solo resultan fundamentales sino que
podrían ser fuente de dificultades en los procesos de comprensión de las matemáticas por parte de los estudiantes” (p.
14). Si bien en este trabajo investigación se centra la mirada en la transformación de conversión no hay que desconocer
la complejidad asociada a la actividad cognitiva de tratamiento.
Marco teórico
20 Yerry Londoño Morales
representación semiótica del registro de salida que no le corresponda una unidad
significante de la representación semiótica del registro de llegada y viceversa. Una unidad
significante en una representación semiótica es toda unidad que depende estrictamente del
léxico de ese registro y toma sentido de acuerdo con las únicas reglas de conformidad del
registro, según Duval (1999b, p. 73) “Las unidades significantes que componen una
representación, es decir, un enunciado, una fórmula o un texto, no aparecen de manera
separada e independiente unas de otras, de la misma manera como en los registros las
unidades discretas. Esto, simplemente porque la segmentación de estas representaciones
en unidades significantes es esencialmente funcional y porque estas unidades pueden ser
tanto palabras o símbolos como reagrupamientos de palabras o de símbolo.”
Ejemplo:
En la figura 2.1.1 se observa que registro de lengua natural contiene cinco unidades
significantes y el registro numérico tiene la misma cantidad de unidades significantes.
Entre ambos registros hay correspondencia lexical dado que cada unidad significante de
cada registro le corresponde una unidad significante del otro registro. No obstante, puede
suceder que a una unidad significante del registro de salida le corresponde dos más
unidades significantes del registro de llegada o viceversa.
Figura 2.1.1. Correspondencia lexical entre las unidades significantes de un registro en lengua natural y un
registro numérico
- La univocidad semántica terminal, cada unidad significante elemental de la representación
semiotica en registro de salida le corresponde sólo una única unidad significante en la
representación semiótica del registro de llegada. Es decir que a una unidad significante del
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
21 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
registro semiótico del registro de salida no le deben corresponder dos unidades
significantes de la representación semiótica del registro de llegada. Ejemplo:
Figura 2.1.2 Univocidad semántica terminal entre la unidades significantes de un registro en lengua natural
y un registro numérico
- El orden de organización de las unidades significantes en la representación de salida se
conserva o no en la representación de llega, es decir, el orden de las unidades significantes
en las representaciones de salida y de llegada guardan o no estricto orden. En la figura 2.1.3
se presenta un ejemplo de cuando entre dos registros se conserva dicho orden de
organización de las unidades significantes.
Figura 2.1.3. Conservacion del orden de organización de las unidades significantes entre la unidades
significantes de un registro en lengua natural y un registro numérico
2.1.4. Registro de lengua natural. Duval (1999b) plantea que un registro es una lengua si cumple
las cuatro funciones discursivas para que haya un discurso, estas son:
Marco teórico
22 Yerry Londoño Morales
Tabla 2.1.4
Funciones discursivas de una lengua
Tipo de función ¿Qué permite?
Referencial Designar objetos
Apofántica Decir alguna cosa sobre los objetos que se designan, bajo la forma de
una proposición enunciada
Expansión
discursiva
Vincular la proposición enunciada con otras en un todo coherente
(descripción, inferencia...) y
Reflexivilidad Señalar el valor, el modo o el status acordado para una expresión por el
que la enuncia.
Nota: Tomado de Duval (1999b, p. 84)
La función referencial es la que me permite designar los objetos en una lengua, por ejemplo,
en la figura 2.1.3 el “24” en el enunciado de problema multiplicativo me designa el objeto
matemático que me representa el número evocado. Como solo el 24, en el enunciado
problema, no me permite una actividad discursiva es necesario poder decir algo de ese
objeto designado en una proposición (unidad apofántica), o sea que la lengua debe permitir
la función apofántica, de ahí que en enunciado problema de la figura antes mencionada se
dice algo del objeto designado “Julio tiene 24 caramelos”.
La función de expansión discursiva de un enunciado completo permite poder vincular todas
las unidades apofánticas a unidad discursiva de tal manera que tenga continuidad y esté en
un todo coherente, entre ellas encontramos: relato, descripción, explicación, comentario,
argumentación, cálculo, etc. (Duval, 1999b). En la figura 2.1.3 todo el enunciado de
problema es una expansión discursiva dado que describe una situación (real o no) que
acontece.
Finalmente, la función de reflexividad, según Duval (1999b), permite situar el enunciado
completo con respecto a otros enunciados de este tipo, de acuerdo con el interés que el
autor haya colocado en el enunciado o incluso en la relación que quiera establecer con el
lector del enunciado. Para el enunciado de problema multiplicativo de la figura 2.1.3 se
puede situar dicho enunciado con relación a otros enunciados multiplicativos, de acuerdo
con el tipo de estructura semántica que se definieron en la tabla 1.1.1 del capítulo 1.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
23 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
2.2. La comprensión de los enunciados de problemas matemáticos: la tarea de conversión
De acuerdo con Duval (1999a, p. 90) “todas las dificultades relativas a los problemas se basan
principal sino exclusivamente en la comprensión de los enunciados de esos problemas”. Para este
trabajo la comprensión matemática presume la coordinación de al menos dos registros de
representación semiótica (Duval, 2016). En otras palabras, el comprender un enunciado de
problema matemático, y en particular los problemas multiplicativos, lleva inmersa la tarea de
conversión porque resolver estos enunciados se movilizan simultáneamente varios registros de
representación: el registro salida que está dado en lengua natural y el registro de llegada que puede
estar dado en registros semióticos como numéricos, figurales (uni, bi y tridimensionales),
tabulares, etc.
Es decir, que a los estudiantes se les presentan dos planos de la actividad de resolver un enunciado
de problema matemático, el plano de un enunciado como tarea a realizar y el plano de un cálculo
como solución a esa tarea.2 El paso de un plano a otro puede tornase fácil o imposible para el
estudiante pues todo depende si la tarea de conversión que el estudiante realice a los registros
involucrados (de salida y de llegada) sea congruente o no (Duval, 1999a, 1999b, 2016). En otras
palabras, las dificultades en la resolución de problemas radican es su comprensión (cambio de
registro para poder solucionarlo) y no en los cálculos realizados, sin demeritar la importancia del
uso adecuado de las reglas de conformidad propias de cada sistema de signos de cada registro para
realizar sus tratamientos.
De acuerdo con lo anterior, es en la conversión que se pone el peso de la comprensión y esto lleva
a cuestionarse ¿en qué consisten las dificultades de la conversión para resolver enunciados de
problemas matemáticos, y en particular los enunciados de problemas multiplicativos? Estas
dificultades, según Duval (1999a), se basan en una doble dificultad:
2 Se entiende por tarea como lo expresa Carroll (1993, citado por Acosta y Vasco, 2013, p. 49) a “cualquier actividad
en la que se involucra una persona, dado un marco apropiado, con el fin de lograr una clase determinada de objetivos,
resultados finales o situaciones terminales. Se debe entender, sin embargo, que dicha «finalidad» es solo relativa; el
resultado final o el estado podría llevar solo a otra terea, ya sea una repetición de la misma o una diferente”. Es decir,
una tarea es una mediación para acciones intencionadas; que se puede entender también como una forma de canalizar
las interacciones de los estudiantes y el docente (Obando, 2015).
Marco teórico
24 Yerry Londoño Morales
Dificultad a: Todos los problemas extra-matemáticos superponen dos descripciones en un mismo
enunciado: una, es la descripción de una situación no matemática que se pretende modelizar
(situaciones de ganancia y perdida, de compra y venta, de repartición, de comparación, etc.), y la
otra descripción, corresponde a la de un modelo de tratamiento matemático parcialmente
instanciado por valores numéricos (de tal manera que se puedan encontrar los otros). Ejemplo:
El problema anterior, involucra dos cantidades, donde la situación extra-matemática es la
comparación de la edad de dos sujetos (Claudia y Teresa). El modelo matemático instanciado
resultan de la comparación de orden multiplicativo, y no aditivo, de estas cantidades (3 × 14 =
42).
Dificultad b: Los objetos pertinentes (es decir, las unidades cognitivamente pertinentes en el
enunciado del problema) que han de retenerse para la resolución de un problema extra-matemático
siempre están definidos por el cruce de las determinaciones relevantes de dos dimensiones
semánticas diferentes, la dimensión semántica de los valores numéricos para las cantidades y la
dimensión semántica de los valores de orden para los eventos, las transformaciones. Para Duval
(1999a), las unidades cognitivamente pertinentes en una representación semiótica A, del registro
de salida, son aquellas unidades significantes de dicha representación cuya variación también
provocan un cambio en la representación semiótica B, del registro de llegada.
Para el ejemplo mencionado anteriormente, la dimensión semántica de los valores numéricos
corresponde al significado que toman los números connotativamente, de acuerdo con el contexto
en que se sitúa el enunciado de problema. Así, el 3 es un escalar que me indica la cantidad de veces
que se repite la edad de Teresa para obtener la edad de Claudia, mientras que el 14 es la medida
que me cuantifica la edad de Teresa. La dimensión semántica de los valores de orden está definida
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
25 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
por la disposición temporal en que se enmarcan las unidades significantes determinadas en el
problema.
En lo que respecta a las unidades cognitivamente pertinentes en el ejemplo anterior, U1 es una
unidad cognitivamente pertinente cuando su variación provoca un cambio en la representación
semiótica de salida. Si se cambia en U1 “3 veces más” por “la tercera parte de”, entonces tenemos
una variación en la representación del registro de llegada puesto que la edad de Claudia no
correspondería a 42 años.
De acuerdo con esta doble dificultad que en marca la conversión de todo enunciado de problema
deja en evidencia que la comprensión de un enunciado no es una tarea espontánea. Así mismo, la
comprensión de un enunciado de problema matemático está determinada por las interacciones
entre las variables relativas al lector y las variables relativas a la redacción del texto, dicha
interacción me determina las posibles situaciones de lectura que se pueden presentar en la
comprensión de un enunciado de problema (Duval, 1999b), como se muestra en a figura 2.2.1.
Figura 2.2.1. Comprensión de textos, tomando elementos de Duval (1986, 1999b).
Marco teórico
26 Yerry Londoño Morales
2.2.1. Variables de la redacción. Éstas dependen de la interacción entre el contenido cognitivo
del enunciado problema (es decir relativo a los conocimientos expresados) y la
organización de la redacción (plano lingüístico) del enunciado problema (Duval, 1986,
1999b).
Contenido cognitivo. Tanto en las aulas de clase como en los textos escolares de
matemáticas son presentados enunciados de problemas matemáticos similares o que
creemos tienen igual contenido cognitivo, no obstantes estos enunciados similares en su
mayoría evocan diferentes costos cognitivos (conocimientos necesarios para la solución
del enunciado), temas tratados o contendido cognitivo. Duval (1999b) afirma que el
contenido cognitivo de un enunciado:
“se define generalmente como el conjunto de los conocimientos que son necesarios
para la comprensión del tema tratado, independientemente de los que el texto
movilice o presente. Dicho de otra manera, el contenido cognitivo está definido en
referencia a los conocimientos de que dispone un experto sobre el tema tratado.
[…]. Entonces, el contenido cognitivo de un texto debe ser definido en tanto que
invariante de un conjunto de variaciones redaccionales, potenciales o
efectivamente realizadas en diferentes versiones”. (p. 271; cursiva propias del
autor).
Ejemplo:
Tabla 2.2.1
Enunciados de problema multiplicativo con diferente contenido cognitivo
Problema de comparación en contexto de
compra-venta.
Problema de proporcionalidad directa
simple en contexto de compra-venta.
María vende lápices a $500 cada uno. Si Pedro
vende el doble del lápiz que María y ha vendido
4 lápices ¿Cuántos lápices vendió María?
María vende lápices a $500 cada uno. Si Pedro
compró 2 lápices a María ¿Cuánto dinero
recibió María?
Nota: Ejemplo de enunciados de problema multiplicativo de igual contexto y diferente contenido
cognitivo.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
27 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
En la tabla 2.2.1 se muestra dos enunciados con igual contexto de compra-venta donde
interviene los mismos sujetos, pero cuyo contenido cognitivo son distinto pues su
estructura semántica son distintas: una comparación y otra proporcionalidad directa simple.
Es necesario aclarar que el contenido cognitivo de un enunciado problema matemático no
se debe confundir con la base de conocimientos que dispone el lector.
Organización de la redacción. Una aprehensión de la organización de la redacción de un
enunciado de problema matemático es la que permite el acceso al contenido cognitivo
(Duval, 1986, 1999b), es decir que la organización de la redacción de un enunciado es la
estrategia utilizadas por el autor del enunciado para que el posible lector, o sea el estudiante
que debe resolver el problema, objetívese el conocimiento movilizado. Dicha estrategia,
según Duval (1999b), está determinada por los tres factores de la variación de la redacción
de un enunciado de problema matemático, que corresponden esencialmente a la manera
como es explicitado el contenido cognitivo del texto.
El primero es relativo a la escogencia de elementos (objetos, relaciones, estados de
hecho...) que son explicitados […]. El segundo, más trivial, es relativo a la
escogencia de las expresiones referenciales o apofánticas para tematizar los
elementos que se quiere explicitar. El tercero concierne el orden de presentación de
los elementos explicitados. Este orden es evidentemente un orden de tematización
que se refleja en el orden de sucesión de las frases. (Duval, 1999b, p. 272-273)
Así pues, la organización de la redacción de un enunciado de problema matemático puede
ser modificada según estos tres factores de variación sin que se altere el contenido cognitivo
del enunciado (Duval, 1999b), es decir que se pueden obtener diferentes organizaciones de
la redacción de un enunciado problema con el mismo contenido cognitivo. Ejemplo:
Marco teórico
28 Yerry Londoño Morales
Tabla 2.2.2
Enunciados de problema multiplicativo con diferente organización de la redacción.
Enunciado de porlema A Enunciado problema B
¿Cuánto dinero recibió Maria de Pedro? Si
Pedro le compró 2 lápices por el valor de $500
cada uno.
María vende lápices a $500 por unidad. Si
Pedro compró un par de lápices a María
¿Cuánto dinero recibió María?
Nota: Ejemplo de enunciados de problema multiplicativo de igual contenido cognitivo y diferente
organización de la redacción.
En el ejemplo de la tabla 2.2.2, observamos que en el enunciado de problema B, el primer
factor de la variación de la redacción corresponde a los elementos que son nombrados,
estos son: María, cada uno, $500, compra-venta, lápices, entre otros.
El segundo factor de la variación de la redacción corresponde a las tres unidades
apofánticas que tematizar los elementos que se quiere explicitar, estas unidades son: U1:
María vende lápices a $500 cada uno, U2: Si Pedro compró 2 lápices a María y U3: ¿Cuánto
dinero recibió María?
El tercer factor de la variación de la redacción corresponde a la progresión en que se
determinan la concatenación de cada una de las unidades apofánticas, para el ejemplo que
tratamos es 𝑈1 → 𝑈2 → 𝑈3.
En lo que respecta a los dos enunciados problemas multiplicativos de la tabla 2.2.2 tiene
igual contendido cognitivo, pero diferente organización de la redacción, dado que entre los
enunciados A y B se modifica la organización de la redacción al: 1) explicitar más los
elementos de su contenido cognitivo, como es el caso que se especifique de quién recibe
dinero María en enunciado A o la palabra “par” en el enunciado B se convierta en un
registro diferente en el enunciado A. 2) El enunciado A sigue un orden diferente de
presentación al enunciado B.
2.2.2. Variables relativas al lector. Éstas dependen, según Duval (1986, 1999b), del estudiante
que resuelve el enunciado problema con respecto a: la base de conocimientos para afrontar
el contenido cognitivo del enunciado, la comprensión de las diferentes palabras que tiene
el enunciado problema, la competencia para la decodificación sintáctica, etc. Ejemplo:
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
29 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Para que el estudiante comprenda este enunciado de problema multiplicativo es necesario
que tenga conocimientos en lo que corresponde a la multiplicación para instanciar el
modelo de tratamiento matemático adecuado a la solución del problema, sea está concebida
inicialmente como suma reitera, cambio de unidad, entre otras. Adicionalmente, conocer
los términos que se involucra en el enunciado como “veces más”, identificar los sujetos
que intervienen en el enunciado (Claudia y Teresa) y comprender la estructura del
enunciado con relación a las unidades de información de orden lexical, unidades
significativas y cómo estás se relacionan.
2.2.3. Operaciones relativas de los procesos de comprensión de enunciados de problema
matemáticos. Es debido a la interacción entre las variables de la redacción y las variables
relativas al lector en la comprensión de un enunciado problema matemático que se pueden
presentar diferentes situaciones de lectura (Duval, 1999b). Dichas situaciones dependen
según Duval (1999b, p. 266):
De un lado, la distancia entre el contenido cognitivo del texto y la base de
conocimientos del lector y, del otro, la diferencia entre la organización propia al
contenido cognitivo del texto y la organización redaccional del texto. Estas dos
diferencias pueden variar considerablemente y así modificar radicalmente la
situación de lectura. La situación más simple ocurre cuando estos dos tipos de
diferencias están reducidos al mínimo; es la que se aproxima más a la comprensión
del discurso oral cotidiano. El problema de la comprensión de textos en la situación
escolar surge cuando se aleja de la situación que llamaremos una práctica oral del
texto, es decir, cuando surge una distancia significativa para uno de los dos
factores.
Marco teórico
30 Yerry Londoño Morales
Para enfrentarnos a estas situaciones de lectura Duval (1999b) menciona que es necesario
realizar dos operaciones fundamentales: la primera, es la segmentación de unidades
significantes que componen el enunciado, la cual es esencialmente funcional, y se efectúa
bajo los criterios de las operaciones discursivas (en la función referencial, función
apofántica, función de expansión discursiva y función de reflexividad) en la redacción de
un texto; la segunda, es la recontextualización de las unidades segmentadas del enunciado,
de tal forma que se pueda percibir los lazos que unen estas unidades en una totalidad.
La segmentación de un texto en unidades (Unidades segmentadas). La segmentación en
unidades, según Duval (1986, 1999b), es una segmentación que permite que en cada unidad
segmentada se pueda realizar un tratamiento de orden semántico o cognitivo, es decir que
esta segmentación descompone el enunciado problema en unidades textuales de
información. A diferencia de la segmentación por unidades, Duval (1986) expone que la
segmentación de orden lexical y semántica se determina visualmente por los signos de
puntuación y los espacios en blancos, que consiste específicamente en la aplicación de
reglas de análisis lingüístico para corregir las faltas en español y no para un análisis para la
comprensión de textos como actividad cognitiva. Ejemplo:
Claudia tiene 3 veces más la edad de Teresa que tiene 14 años ¿Cuántos años tiene Claudia?
Al realizar la segmentación de este enunciado de problema tenemos tres unidades
segmentadas, como muestra la tabla 2.2.3 las unidades segmentadas no necesariamente
coinciden con un signo de puntación; si bien en otros enunciados haya coincidencia es
necesario que cada unidad segmentada aporte unidades textuales de información.
Tabla 2.2.3
Segmentación de un enunciado de problema multiplicativo con diferente organización de la redacción Unidad segmentada U1 Unidad segmentada U2 Unidad segmentada U3
Claudia tiene 3 veces más la edad
de Teresa Teresa tiene 14 años ¿Cuántos años tiene Claudia?
La re-contextualización de las unidades segmentadas. “Dado que es insuficiente la
operación de segmentación de un texto para captar las conexiones o sistemas de redes que
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
31 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
unen cada unidad segmentada en su sentido global la segmentación de un texto es
solamente el proceso inicial de la lectura” (Duval, 1986; citado en Londoño y Cuero, 2010,
p. 18). Esta insuficiencia se da porque estas unidades disyuntamente en su totalidad no
dicen mucho y es la re-contextualización de unidades la que logra establecer las conexiones
de las unidades segmentadas, es decir que una unidad segmentada por separado solo me da
información parcia, por ejemplo, en la tabla 2.2.3 la unidad U2 por sí sola no me permite
establecer el modelo de tratamiento matemático parcialmente instanciado por valores
numéricos 3 × 14 = 42, para ello es necesario de las demás unidades segmentadas (U1 y
U3) para captar las conexiones que unen cada unidad segmentada en su sentido total.
La re-contextualización permite la démarche para la comprensión de un texto,3 dado que
permite integrar cada unidad en un todo en el texto, de tal forma que las conexiones
establecidas sean de acuerdo a la red de relaciones propias a la organización de la redacción
del texto (implicaciones, conjunciones, subordinación conceptual, etc.) o el tema tratado y
no al orden literal próximo (Duval, 1986).
2.2.4. El trasfondo: como un elemento constitutivo para la comprensión de enunciados de
problemas matemáticos. El trasfondo como idea abordada por Searle es, sin querer
minimizar su valor elevado, que las palabras no tienen significados puramente literales,
más bien las palabras tienen significados potenciales (Acero, 2006), pues el trasfondo en
un texto o enunciado de problema establece cuáles son los contextos en que se usan las
palabras, de ahí que el contexto juega un papel fundamental en la determinación de éstas.
En palabras de Acero (2006, p. 11) el trasfondo “determinan el contenido del acto de habla
llevado a cabo: lo que el hablante dice y su interlocutor entiende (de otro modo: sus
condiciones de verdad)”, dicho de otra forma el trasfondo es la pieza que cierra el espacio
entre el significado y el contenido pensado por el autor del enunciado de problema
matemático y entendido por el estudiante que lo resuelve. De ahí que trasfondo es:
3 Para Duval (1999b, p. 17) démarche es “todo lo que se alguien hace para llegar a un resultado, incluidas todas las
tentativas y las falsas pistas abandonadas”
Marco teórico
32 Yerry Londoño Morales
todo un conjunto de capacidades que sirven de sustrato a nuestros estados mentales
intencionales –en general, a nuestras capacidades intencionales– dentro de la
comunicación lingüística. Las capacidades del Trasfondo las entiende Searle como
capacidades no-representacionales que sostienen no sólo nuestras representaciones
mentales dotadas de contenido intencional, sino también las representaciones
lingüísticas que sirven de vehículo a la transmisión de pensamientos, es decir,
deseos y creencias. (Searle 1983, p. 143; citado en Acero, 2006)
Es por lo anterior que la idea de trasfondo tiene un valor que no depende de la noción de
significado literal de las palabras, o sea que el trasfondo no es un implícito ni una inferencia
que se tiene frente a un enunciado de problema (Pontón, 2012). Es por ello que en la
comprensión de un enunciado de problema matemático el trasfondo, que surge en el
estudiante que lee el enunciado problema, hace parte de la comprensión del problema, dado
que es necesario que el lector descifre en el enunciado de problema matemático el
significado contextual que el autor le daba a las palabras para dar fidelidad a la situación
extra-matemática que está evocando. No obstante, el estudiante siempre arrastra un
trasfondo en la lectura del enunciado el cual puede evocar un contenido cognitivo “distinto”
a del nivel de organización de redacción del enunciado problema, de ahí que la resolución
del problema no coincida con las intenciones del autor.
Es así como el trasfondo, de acuerdo a la investigaciones hechas por Pontón (2012), influye
siempre en las interpretaciones que se hagan del enunciado problema matemático puesto
que dichas interpretaciones “garantizaron que los estudiantes tuvieran formas de operar con
las representaciones semióticas involucradas, pero muchas de las formas de razonar sobre
dichas cantidades no corresponden a procesos operatorios que den solución al problema, ni
corresponden a las transformaciones posibles en los registros semióticos numéricos o
verbales involucrados en el enunciado del problema” (p. 434).
En este sentido es que Searle (1997, p. 145) manifiesta que, “el trasfondo es esencial para
la interpretación semántica”, dado que, por ejemplo, para el significado del enunciado de
problema multiplicativo «Jaime ha contado 16 patas de perros en una veterinaria, ¿Cuántos
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
33 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
perros hay en la veterinaria?» el significado literal del enunciado fija un conjunto de
condiciones de verdad dadas ciertas capacidades del trasfondo (Searle, 1997). En la
comprensión del enunciado de problema la palabra “patas” debe mantener un significado
semántico común entre el lector y el autor del enunciado, en otras palabras, la significación
de “patas” no esta estrictamente supeditado a su puro contenido semántico, sino que su
interpretación se remonta, según Searle (1997), a las capacidades de trasfondo que surge
en el estudiante al leer el enunciado problema.
No obstante, Searle (1997) aclara que, las interpretaciones están subordinadas al hecho que
el estudiante o lector del enunciado de problema matemático tiene cierto tipo de
conocimiento sobre el modo de funcionamiento del mundo, o sea que el lector tiene “un
cierto conjunto de capacidades para embragar con el mundo, y esas capacidades no están
ni pueden estar incluidas en el significado literal de la sentencia” (p. 143).
En conclusión, el trasfondo que puede surgir en el estudiante que lee el enunciado problema
matemático esta determinado por el bagaje histórico-cultural que lo induce a “actuar” de
esa manera, pero ha adquirido esta capacidad de trasfondo de una manera inconsciente
(Searle, 1997).
2.2.5. Las marcas lingüísticas: como otro elemento constitutivo para la comprensión de
enunciados de problemas matemáticos. En todo enunciado de problema matemático
podemos encontrar indicios o señales que nos pueden determinar los tipos de relaciones,
operaciones, categorías, estructura semántica, etc. que se establecen en la situación extra-
matemática que se pretende modelizar, estos indicios que denominaremos marcas
lingüísticas son aquellas palabras o unidades significantes en el registro de lengua natural
que me evocan explícitamente o implícitamente estas relaciones, por ejemplo, en los
enunciados de problemas multiplicativos las marcas lingüísticas me determinan si en el
enunciado se ponen en juego una comparación entre dos o más cantidades (ver tabla 2.2.4).
Marco teórico
34 Yerry Londoño Morales
Tabla 2.2.4
Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas multiplicativos de comparación. Marca lingüística Ejemplo
Veces más/menos María pesa dos veces más que lo que pesa de su hermanito Pedro. Si María pesa 48 kg.
¿Cuánto pesa Pedro?
Veces mayor/menor Pedro es dos veces menor que la edad de su hermana María. Si Pedro tiene 4 años
¿Cuántos años tiene María?
Doble/mitad María pesa el doble de lo que pesa de su hermanito Pedro. Si María pesa 48 kg. ¿Cuánto
pesa Pedro?
Como otro ejemplo, tenemos que para la comprensión de enunciados problemas que
involucran fracciones Pontón (2012) identificó tres grupos de marcas lingüísticas que
guardan una asociación conceptual u operativa con la aprehensión del sistema numérico de
los racionales (ver tabla 2.2.5).
Tabla 2.2.5
Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involcran fracciones
Nota: Ejemplo de marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involucran fracciones, tomado de
Pontón (2012, p. 221)
Estas marcas lingüísticas que se presentan en los enunciados de problemas que involucran
fracciones “guardan una asociación conceptual u operativa con la aprehensión del sistema
numérico de los racionales” (Pontón, 2012, p. 221), de hecho, dichas marcas como se
presenta en la tabla 2.2.5 evocan explícitamente la relaciones parte-todo/parte-parte,
relaciones de orden y relaciones entre dos magnitudes formar una fracción.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
35 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
2.3. Los enunciados de problema multiplicativos y sus magnitudes
En este apartado se define con mayor precisión qué se entiende por enunciado de problema
multiplicativo. Iniciaremos con precisar qué es un problema matemático:
Tabla 2.3.1
Definición de problema
Autor/año Definición
Kantowski,
1981
Un problema es una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee
un algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tiene
que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema. Un problema es una
situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor no tiene un procedimiento o
algoritmo que le conduzca con certeza a una solución (p. 195).
Goldin,
1982
Plantea que un problema es una tarea para la que no existe un algoritmo que determine
fácilmente por completo los métodos de solución. Una tarea es un problema cuando se
detectan pasos o procesos entre el planteamiento de la tarea y la respuesta (1982, p. 97)
Goldin (1982) realiza un análisis específico de las variables sintácticas, de contenido y
de contexto, estructurales y heurísticas que inciden en la dificultad de para resolver
problemas de estructura matemática.
Nota: definiciones tomadas de Pontón (2012, p. 12).
De acuerdo con la tabla 2.3.1 en un problema hay que determinar el modelo de tratamiento
matemático adecuado a la solución de éste, mientras que un ejercicio ya tiene el procedimiento o
algoritmo que se debe dar solución. En la siguiente tabla, se muestra un ejemplo de ejercicio y de
problema:
Tabla 2.3.2
Ejemplo de un problema y un ejercicio
Ejercicio Problema
3 × 30000 =
Andrés pagó por 3 camisetas $90000
¿Cuánto debe pagar si compra 5
camisetas?
Ahora bien, hablaremos de enunciado de problema multiplicativo cuando el problema comporta
una multiplicación o una división como modelo de tratamiento matemático parcialmente
instanciado (Vergnaud, 2003). Es decir, que, en un enunciado de problema multiplicativo, por un
lado, subyace una estructura semántica de multiplicación (ver tabla 1.1.1) y, por otro lado, está
Marco teórico
36 Yerry Londoño Morales
dado en un registro de lengua natural o las representaciones de estos enunciados tienen como apoyo
el registro semiótico de la lengua natural.4
La presencia del registro en lengua natural se da porque que la variedad de estructuras semánticas
de los enunciados de problema multiplicativo es solo posible si éstos están representados en este
registro porque, según Duval (1999b), es éste el único que permite cumplir la función
metalingüística de la reflexividad discursiva la cual consiste “en señalar el valor, el modo o el
estatus para una expresión por parte de quien lo enuncia” ( p. 84), es decir que es en el registro de
lengua natural donde el enunciado de problema multiplicativo se sitúa con respecto a otros
enunciados de este tipo, de acuerdo al interés que el autor haya colocado en el enunciado o incluso
en la relación que quiera establecer con el lector del enunciado.
Lo anterior implica que los enunciados de problemas multiplicativos que se discutirán en este
trabajo son de orden semántico desde lo que se evocan en el enunciado de problema, además cada
enunciado responde a la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 (Maza, 1991; Verganud, 2003); sin
embargo, se consideran las estructuras 𝑎 ÷ 𝑐 = 𝑏 y 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 para diferenciar los algoritmos de
la multiplicación y la división. Si bien la estructura sintáctica está compuesta por tres cantidades
los enunciados problemas multiplicativos son relaciones ternarias o cuaternarias, es decir hay tres
o cuatro cantidades involucradas, lo cual se ampliará más adelante.
Aunque los enunciados de problemas multiplicativos se pueden resolver por sumas o restas
reiterada hay aspectos propios de los multiplicativos que no se pueden reducir a lo aditivo, estos
aspectos irreductibles, que corresponden a la estructura semántica definidas en la tabla 1.1.1, son
lo que determinan el campo de enunciados de problemas multiplicativos, puesto que, según
Duval (1999a, p. 93), deben ser representativos “de las variaciones estructurales que generen la
multiplicidad de enunciados posibles y las variables concomitantes en un registro”. Estas variables
hacen aparecer, como se mencionó al inicio de este capítulo (ver numeral 2.2), las dos
características (que se traducen en dificultades) que comportan todo enunciado de problema
matemático y en nuestro caso el de los multiplicativos:
4 En el numeral 1.1, de capítulo 1, se amplia y ejemplifica esta idea.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
37 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
- Dificultad a: La descripción de una superposición de dos situaciones: una matemática y otra
extra-matemática
- Dificultad b: El cruce de las determinaciones provenientes de dos dimensiones semánticas: de
los valores numéricos para las cantidades y de los valores de orden.
Ahora bien, para la definición de los tipos de enunciados del campo de enunciados de problemas
multiplicativos se tomaron los aportes de Castro (1994), Castro et al. (1995), Puig y Cerdán (1995),
Maza (1991), Vergnaud (2003) y Cid et al. (2004); adicionalmente, se tomaron algunas de las
categorías presentadas en los referentes de calidad educativa en Colombia definidos por el MEN
que están en los Lineamentos curriculares (MEN, 1998) y los Estándares básicos de competencias
(MEN, 2006).
Los tipos de enunciados de problemas multiplicativos son:
2.3.1. Comparación. Denominado también como factor multiplicante, por Brown (1981; citado
por Puig y Cerdán, 1995) y el MEN (1998), corresponde a aquellos enunciados de
problemas multiplicativos en los cuales intervienen solo tres cantidades𝑚, 𝑛 y 𝑘, en la cual
𝑚 y 𝑛 tiene una misma magnitud M1 y 𝑘 es un escalar. Es decir que 𝑘 no se le atribuye o
es carente de propiedades de una magnitud; como 𝑘 expresa términos como doble,
cuádruple, la mitad, veces más, veces menos, etc. Kaput (1986) y Schwartz (1986), citado
por Puig y Cerdán (1995), consideran que es conveniente considerar que se trata también
de una magnitud intensiva sin ningún tipo de atributo de unidad de magnitud puesto que es
el cociente de dos magnitudes extensivas cuyas magnitudes son las mismas. La decisión de
tomar 𝑘 como una magnitud intensiva en esta investigación corresponde, también, a la
necesidad de definir con mayor facilidad las subcategorías de análisis.
Entenderemos, en este trabajo, por cantidades extensivas (E) las que expresan como
menciona Puig y Cedan (1995) “una entidad o sustancia y se refiere a un conjunto, montón
o trozo de esa cantidad” (p.125), de ahí que puedan ser discretas o continuas (Castro, 1994;
Castro, Rico, Castro; 1995). Las cantidades intensivas (I) “tiene unidades compuestas,
Marco teórico
38 Yerry Londoño Morales
formadas por el cociente de dos cantidades extensivas” (Puig y Cedan, 1995, p. 125).
Ejemplo:
Tabla 2.3.3
Ejemplo de cantidades extensivas e intensivas
Canitdades extensivas Canitdades intensivas
3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
8 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠
$2000
3 𝑚𝑠⁄
8 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠𝑛𝑖ñ𝑜⁄
$2000𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎⁄
Continuando con los enunciados de problemas multiplicativos de comparación estos son
aquellos que presentan una relación ternaria, pues intervienen solo tres cantidades, en un
solo espacio de medida. En esta relación se establece una comparación entre dos cantidades
de una misma magnitud 𝑚 y 𝑛 (una de ellas es referente y la otra el comparado) dada por
una cantidad 𝑘 (que es el factor de comparación).
Para este tipo de enunciados de problemas multiplicativos se puede presentar tres
variaciones de acuerdo en donde se acentúe la cantidad a hallar, ya sea en el referente, el
comparado o el factor multiplicante.
Espacio de medida M1 Espacio de medida M1 Espacio de medida M1
𝑎
× 𝑘
𝒙
𝒙
÷ 𝑘
𝑏
𝑎
÷ 𝒙 × 𝒙
𝑏
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Figura 2.3.1. Esquemas de las tres variaciones de un enunciado de problema multiplicativo de
comparación.
Para el caso 1, un enuunciado representativo es “César tiene 7 puntos y José tiene el tripe
de César ¿Cuánto puntos tiene José?”. En este enunciado la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐
(7 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 × 3 = 21 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐼 = 𝐸,
donde 7 puntos y 21 puntos son cantidades extensivas (E) y 3 es que un escalar es una
cantidad intensiva (I). Ejemplo:
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
39 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Cantidad Espacio de medida M1 (Edad)
m
(puntos
de César)
n
(puntos
de Jóse)
7
× 3
𝒙
Figura 2.3.2. Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe de César ¿Cuánto puntos
tiene José?
Para el caso 2, un enunciado representativo es “César tiene la tercera parte de los puntos
de José, si José tiene 21 puntos ¿Cuánto puntos tiene César?”. En este enunciado la
estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 (21 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 ÷ 3 = 7 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠) y su estructura de
magnitudes corresponde a 𝐸/𝐼 = 𝐸, donde 7 puntos y 21 puntos son cantidades extensivas
(E) y 3 que es un escalar es una cantidad intensiva (I). Ejemplo:
Cantidad Espacio de medida M1 (Edad)
m
(puntos
de César)
n
(puntos
de Jóse)
𝒙
÷ 3
21
Figura 2.3.3. Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene el tripe de César ¿Cuánto puntos
tiene José?
Para el caso 3, un enunciado representativo es “César tiene 7 puntos y José tiene 21 puntos
¿Cuántas veces de más tiene puntos José que César? ¿Cuántas veces de menos tiene puntos
César que José?”. En este enunciado la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 (21 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 ÷
7 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 = 3) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐼, donde 7 puntos y 21
puntos son cantidades extensivas (E) y 3 que es un escalar es una cantidad intensiva (I).
Ejemplo:
Cantidad Espacio de medida M1 (Edad)
m
(puntos
de César)
n
(puntos
de Jóse)
7
÷ 𝒙 × 𝒙
21
Figura 2.3.4. Esquema para el enunciado César tiene 7 puntos y José tiene 21 puntos ¿Cuántas veces de
más tiene puntos José que César? ¿Cuántas veces de menos tiene puntos César que José?
Marco teórico
40 Yerry Londoño Morales
2.3.2. Proporcionalidad directa simple. Otras denominaciones a este tipo de enunciado de
problema multiplicativo son:
Tabla 2.3.4
Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo de proporcionalidad
directa simple
Denominación Autor(es)
Isomorfismo de medidas
Castro (1994)
Castro at all. (1995)
Puig y Cérdan (1995)
Vergnaud (2003)
Razón
Maza (1991)
MEN (1998)
Cid at all. (2004)
Regla de correspondencia Nesher (s.f.; citado en Puig y
Cérdan, 1995)
Variación proporcional MEN (2006)
De repartir (MEN (1998)
Adición o sustracción repetida (MEN (1998)
En los enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa simple
intervienen cuatro cantidades 𝑚, 𝑛, 𝑙 y 𝑝, en la cual dos de ellas tienen una magnitud M1 y
las restantes una magnitud M2.
Ejemplo: Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios. Si lleva 6 días ahorrando ¿Cuánto
dinero tiene?
Espacio de medida
M1
(días)
Espacio de medida
M2
(dinero)
× $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄
1 1.500
× 𝟔 ÷ 𝟔
6
÷ $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄
9.000
Figura 2.3.5. Esquema de un enunciado de problema multiplicativo de proporcionalidad directa simple
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
41 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
La figura 2.3.3 se ve que hay una relación cuaternaria en la que intervine cuatro cantidades
extensivas, 1 y 6 cuya magnitud son días y $1500 y “9000 cuya magnitud son dinero. La
solución a este tipo de problemas como plantea Verganud (2003) se pude hacer de dos
maneras:
- Escalar (flechas en sentido vertical): a) multiplicando por 𝟔 las cantidades 1 día o $1.500
para hallar 6 días o $9.000, respectivamente. b) dividendo por 𝟔 las cantidades 6 días o
$9.000 para hallar 1 día o $1.500 respectivamente. La cantidad 6 es un operador-escalar
que existe explícitamente en la situación extra-matemática del enunciado de problema cuya
magnitud es intensiva (I).
- Funcional (flechas en sentido horizontal): a) multiplicando por $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄ las
cantidades 1 día o 6 días para hallar las cantidades $1.500 o $9.000, respectivamente. b)
dividiendo por $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄ las cantidades $1.500 o $9.000 para hallar las cantidades 1
día o 6 días respectivamente. La cantidad $𝟏𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝒅í𝒂⁄ es un operador-funcional que
existen explícitamente en la situación extra-matemática del enunciado de problema cuya
magnitud es intensiva (I).
Para los enunciados de problemas de proporcionalidad simple se puede presentar cuatro
variaciones de acuerdo donde se acentúe la cantidad a hallar:
Espacio de
medida
M1
Espacio de
medida M2
Espacio de
medida M1
Espacio de
medida M2
Espacio
de
medida
M1
Espacio
de
medida
M2
Espacio
de
medida
M1
Espacio
de
medida
M2
1 𝑛 1 𝒙 1 𝑛 𝒙 𝑛
𝑙 𝒙 𝑙 𝑝 𝒙 𝑝 𝑙 𝑝
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4
Figura 2.3.6. Esquemas de las cuatro variaciones de un enunciado de problema multiplicativo de
proporcionalidad directa simple.
Para el caso 1, un enunciado representativo es “Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios.
Si lleva 6 días ahorrando ¿Cuánto dinero tiene?”. Es este enunciado la unidad está explícita
y está en correlación con 𝑛, la solución de problema tiene la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 =
𝑐 (6 𝑑í𝑎𝑠 × $15001𝑑í𝑎⁄ = $9000) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐼 =
Marco teórico
42 Yerry Londoño Morales
𝐸, donde 6 días y $9000 son cantidades extensivas (E) y $15001𝑑í𝑎⁄ es una cantidad
intensiva (I). Ejemplo:
Espacio de medida M1
(días)
Espacio de medida M2
(Dinero)
1 $1500
6 𝒙
Caso 1
Figura 2.3.7. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios. Si lleva 6 días
ahorrando ¿Cuánto dinero tiene?
Para el caso 2, un enunciado representativo es “Lucía ahorra en 6 días un total de $9000,
si por cada día ahorra los mismo ¿Cuánto dinero ahorra en un día?”. Es este enunciado la
unidad está explícita y no está en correlación con 𝑛, la solución de problema tiene la
estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 ($9000 ÷ 6 𝑑í𝑎𝑠 = $15001 𝑑í𝑎⁄ ) y su estructura de
magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐼, donde $9000 y 6 días son cantidades extensivas (E) y
$15001𝑑í𝑎⁄ es una cantidad intensiva (I). Ejemplo:
Espacio de medida M1
(días)
Espacio de medida M2
(Dinero)
1 𝒙
6 $9000
Caso 1
Figura 2.3.8. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra en 6 días un total de $9000, si por cada día ahorra
los mismo ¿Cuánto dinero ahorra en un día?
Para el caso 3, un enunciado representativo es “Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios.
Si tiene ahorrado $9000 ¿Cuántos días lleva ahorrando?”. Es este enunciado la unidad está
explícita y está en correlación con 𝑛, la solución de problema tiene la estructura sintáctica
𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 ($9000 ÷ $15001 𝑑í𝑎⁄ = 6 𝑑í𝑎𝑠) y su estructura de magnitudes corresponde a
𝐸/𝐼 = 𝐸, donde $9000 y 6 días son cantidades extensivas (E) y $15001𝑑í𝑎⁄ es una
cantidad intensiva (I). Ejemplo:
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
43 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Espacio de medida M1
(días)
Espacio de medida M2
(Dinero)
1 $1500
𝒙 $9000
Caso 1
Figura 2.3.9. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra de su descanso $1.500 diarios. Si tiene ahorrado
$9000 ¿Cuántos días lleva ahorrando?
Para el caso 4, un enunciado representativo es “Lucía ahorra durante 6 días la cantidad de
$9000. Para ahorrar $1500 ¿Cuántos días debe ahorrar?”. Es este enunciado la unidad no
está explícita y no está en correlación con 𝑛, la solución de problema es necesario
involucrar ambas operaciones y Vergnaud (2003) los denomino problemas de regla de tres.
Ejemplo:
Espacio de medida M1
(días)
Espacio de medida M2
(Dinero)
𝒙 $1500
6 $9000
Caso 1
Figura 2.3.10. Esquemas para el enunciado Lucía ahorra durante 6 días la cantidad de $9000. Para ahorrar
$1500 ¿Cuántos días debe ahorrar?
Los enunciados que obedecen al caso 4 no serán tomados en cuenta en este trabajo dado
que solo serán objeto de análisis aquellos enunciados de problemas multiplicativos cuya
solución implique el uso de una estructura sintáctica, y para los enunciados del caso 4 es
necesario el uso de dos de las estructuras sintácticas.
Además, mientras que los demás enunciados de problema multiplicativo son de una etapa
(una multiplicación o una división), los enunciados del caso 4 implican para su resolución
el realizarlos en dos etapas: una multiplicación y una división (Puig y Cerdán, 19995). Lo
anterior implica, según Puig y Cerdán (19995), que en los enunciados del caso 4 la relación
entre los datos y la incógnita sea más compleja dado que el estudiante al resolver el
problema debe tomar nuevas decisiones como: en qué orden efectuó las operaciones,
sumándoles ya las decisiones de una etapa como: qué operaciones realizar y entre qué
cantidades.
Marco teórico
44 Yerry Londoño Morales
Finalmente, al igual que lo enunciados de problemas de comparación los de
proprocionalidad directa simple se puede resolver con sumas o restas reiteradas pero puede
volverse este procedimiento engorroso y poco práctico, además estos tipos de problemas
son de tipo unitario dado que hay una cantidad que cambia a medida que se repite una
cantidad sucesiva de veces (Maza, 1991).
2.3.3. Combinación. Otras denominaciones a este tipo de enunciado de problema multiplicativo
son:
Tabla 2.3.5
Otras denominaciones de los enunciados de problemas multiplicativo de combinación.
Denominación Autor(es)
Producto de medidas
Castro (1994)
Castro at all. (1995)
Puig y Cérdan (1995)
Vergnaud (2003)
MEN (2006)
Multiplicación cartesiana Nesher (s.f.; citado en Puig y Cérdan,
1995)
Producto cartesiano
Brown (1981; citado en Puig y Cérdan,
1995)
MEN (1998)
Los enunciados de problemas de combinación intervienen tres cantidades 𝑚, 𝑛 y 𝑝 que
pueden tener todas magnitudes diferentes o dos de ellas de igual magnitud; en estos
problemas hay una composición cartesiana de dos espacios de medida, M1, M2, en un
tercer espacio de medida, M3 (Puig y Cerdán, 1995). Por ejemplo, aquí encontramos los
problemas de área y volumen. Las magnitudes involucradas de las tres cantidades son
extensivas (E).
Para este tipo de enunciados de problemas investigaciones como las de Maza (1991)
consideran que tiene un grado mayor de dificultad que los anteriores, dado que no se
dispone del mismo sistema unitario de los enunciados de problemas multiplicativos de
comparación y de proporcionalidad directa simple. De hecho su sistema es binario porque
se dispone de dos cantidades iniciales del mismo nivel, es por ello que “la multiplicación
es semánticamente conmutativa, por lo que sólo hay dos posibilidades, según la incógnita
sea de M3 o de cualquiera de los otros dos, M1, o M2” (Puig y Cérdan, 1995, p. 134). Es
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
45 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
por lo anterior que muchos autores manifiestan que los enunciados problemas
multiplicativos de comparación y de proporcionalidad directa simple son asimétricas y de
combinación son simétricos.
Para este tipo de enunciado de problema multiplicativo de combinación se puede presentar
cuatro variaciones de acuerdo donde se acentúe la cantidad a hallar:
Espacio de medida
M2
𝑛
Espacio de medida
M2
𝒙
Espacio de medida
M2
𝑛
Espacio
de
medida
M1
𝑚
𝒙
Espacio de medida
M3
Espacio
de
medida
M1
𝑚
𝑝
Espacio de medida
M3
Espacio
de
medida
M1
𝒙
𝑝
Espacio de medida
M3
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Figura 2.3.11. Esquemas de las tres variaciones de un problema multiplicativo de combinación.
Para el caso 1, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el área de un terreno cuyo
largo es 80 m. y ancho es 38 m.?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐
(80𝑚 × 38𝑚 = 3040 𝑚2) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸 × 𝐸 = 𝐸, donde
80 m, 38 m y 3040 m2 son cantidades extensivas (E). Ejemplo:
Espacio de medida M2
38 𝑚
Espacio
de
medida
M1
80 𝑚
𝑥
Espacio de medida M3
Figura 2.3.12. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el área de un terreno cuyo largo es 80
m. y ancho es 38 m.?
Marco teórico
46 Yerry Londoño Morales
Para el caso 2, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el largo de un terreno cuyo
ancho es 38 m y área es 3040 m2?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎
(3040 𝑚2 ÷ 38𝑚 = 80 𝑚) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐸, donde
80 m, 38 m y 3040 m2 son cantidades extensivas (E). Ejemplo:
Espacio de medida M2
38 𝑚
Espacio
de
medida
M1
𝑥
3040 𝑚2
Espacio de medida M3
Figura 2.3.13. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el largo de un terreno cuyo ancho es 38
m y área es 3040 m2?
Para el caso 3, un enunciado representativo es “¿Cuánto mide el ancho de un terreno cuyo
largo es 80 m y área es 3040 m2?” En este enunciado la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏
(3040 𝑚2 ÷ 80 𝑚 = 38 𝑚) y su estructura de magnitudes corresponde a 𝐸/𝐸 = 𝐸, donde
80 m, 38 m y 3040 m2 son cantidades extensivas (E). Ejemplo:
Espacio de medida M2
𝑥
Espacio
de
medida
M1
80 𝑚
3040 𝑚2
Espacio de medida M3
Figura 2.3.14. Esquemas para el enunciado ¿Cuánto mide el ancho de un terreno cuyo largo es 80
m y área es 3040 m2?
En síntesis, un enunciado de problema multiplicativo se da cuando comportan una multiplicación
o una división (Vergnaud, 2003) y, para esta investigación, se definieron tres tipos enunciados
multiplicativos: de comparación, de proporcionalidad directa simple y de combinación. Se pudo
determinar que todos los enunciados de problemas multiplicativos obedecen a las estructuras
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótica-cognitivas
47 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
sintácticas 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 o 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 para distinguir las operaciones de multiplicación y
de división, sin desconocer que una es la inversa de la otra.
Diseño metodológico
48 Yerry Londoño Morales
3. Diseño metodológico
En este trabajo se asume un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo, dado que,
como planeta Vasilachis (2006), el análisis de la información es no matemática y, además, por un
lado, con esta investigación se busca conocer las dificultades que presentan los estudiantes en la
comprensión de enunciados problemas multiplicativos, para ello, es necesario realizar la
descripción exacta de las tareas propuestas a los estudiantes, de las producciones realizadas por
ellos y los datos generados, es decir que la descripción no se reduce a recoger solo datos, ésta va
más allá pues busca la identificación, determinación y caracterización de estos mismo. Por otro
lado, se busca con la investigación dar sentido a los datos hallados los cuales deben guardar
estrecha relación con la pregunta de investigación, para ello se realizan las interpretaciones de los
datos.
La metodología de investigación adoptada para el desarrollo de este trabajo es el estudio de caso
la cual es la forma obtener los datos y organizarlos para hacer el análisis cualitativo (Neiman y
Quaranta, 2006). Tomando como referente a Neiman y Quaranta (2006) el estudio de caso
considera: La pregunta de investigación, la cual se construye y pule a medida que se desarrolla la
investigación, es decir, que la pregunta es dinámica en la medida que toma una mayor claridad. La
recolección de la información es el momento o etapa donde se recurren a las diferentes fuentes de
información (observaciones, documentos, tareas, entre otras) que se llevan a cabo en el trabajo de
campo con el fin extraer, indagar y describir sobre las variables que comportan el estudio, la
recolección de la información se realizará en la Institución Educativa Distrital Colegio Entre
Nubes, con estudiantes de sexto grado de básica secundaria con un promedio de 12 a 14 años.
El análisis de la información, como lo plantea Neiman y Quaranta (2006), se “procede a través de
instancias de interpretación directa o de construcción de categorías” (p. 220), para ello en este
trabajo se establecen diferentes momentos para realizar el respectivo análisis, de acuerdo con las
tareas presentadas a los estudiantes. El rol del investigador, el cual realiza intervenciones no
directas sobre los estudiantes, por lo cual su participación se restringe a la recolección de datos
con intervenciones puntuales pues en las observaciones realizadas surgió la necesidad de hacer
preguntas con el propósito de confirmar algunas interpretaciones. La validación de los resultados
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
49 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
se hace de tal manera que aumente la confianza del investigador por medio de la triangulación de
los datos, para ello se consideran los elementos expuesto en el marco teórico, el análisis de los
instrumentos a la luz de dicho marco y lo que ejerció en el diseño de los instrumentos, es decir que
la triangulación de los datos da cuenta de cómo la aplicación de los instrumentos responde a las
variables de su diseño. Finalmente, la redacción del informe final, el cual debe ser comprensible
para el lector y velar por la fidelidad de la información encapsulado la realidad del fenómeno
estudiado.
De acuerdo a la metodología asumida, en la tabla 3.0.1, se presentan las fases y los instrumentos
de recolección de información que se aplican para el desarrollo de este trabajo y, así mismo, se
establece la población en la cual se ejecutó.
Tabla 3.0.1
Fases, instrumentos y población de la metodología de investigación
Fases
1. Análisis preliminar (marco teórico)
2. Selección de enunciados de problemas representativos del campo de enunciados de
problemas multiplicativos.
3. Recolección de información.
4. Análisis de la información y conclusiones
Instrumentos
de
recolección
de
información
Los instrumentos empleados para la toma de información son:
- Tareas con enunciados de problemas representativos del campo de enunciados de
problemas multiplicativos.
- Tareas modificadas de los enunciados de problemas representativos del campo de
enunciados de problemas multiplicativos.
- Protocolos de observación para las producciones de los estudinates.
Población Estudiantes de sexto grado de básica secundaria de la IED Colegio Entre Nubes
3.1. Selección de las tareas a aplicar
La selección de los enunciados de problemas multiplicativos se realiza en dos momentos: para el
primer momento se seleccionaron los enunciados problemas multiplicativos a partir del criterio 1,
para el segundo momento los problemas seleccionados en el primer momento son modificados de
acuerdo con los criterios 2 y 3 con el fin de entrever como varía la comprensión de los enunciados
definitivos por el criterio 1 y los modificados.
La determinación de utilizar los tres criterios para establecer los enunciados de problemas
multiplicativos a aplicar a los estudiantes, de grado sexto de la Institución Educativa Distrital
Colegio Entre Nubes, realizando modificaciones a estos enunciados fue basada en la caja de
Diseño metodológico
50 Yerry Londoño Morales
herramientas semiótico-cognitivas y particularmente lingüísticas que cosntruyó Pontón (2012)
para el desarrollo de su tesis doctoral, dado que permite modelar y operacionalizar lo que el
estudiante realiza cuando hace la lectura del enunciado de problema.
3.1.1. Momento 1. Selección de los enunciados problemas multiplicativos.
Para la selección de los enunciados de problemas multiplicativos se aplicó el siguiente criterio:
Criterio 1: Los enunciados de problemas multiplicativos deben ser representativos del campo de
enunciados de problemas multiplicativos
Dado que el interés de investigación está puesto en la identificación y descripción de las
dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión de enunciados problemas
multiplicativos es fundamental que los enunciados seleccionados sean representativos del campo
de enunciados de problemas multiplicativos, tal como lo manifiesta Duval (1999a) y se definió en
el capítulo 2, numeral 2.3.
Dado lo anterior, los enunciados seleccionados por el criterio 1 deben cumplir con: la descripción
de una superposición de una situación matemática y una extra-matemática (Duval,1999a), puesto
que los enunciados de problemas multiplicativos son de aplicación de un problema matemático.
Además, también, con el cruce de las determinaciones provenientes de dos dimensiones
semánticas: de los valores numéricos para las cantidades y de los valores de orden (Duval, 1999a),
dado que los números involucrados en los enunciados responden a diferentes significados del
número como medida y éstos están amarrados a la disposición temporal en que se enmarcan las
unidades significantes determinadas en la situación extra-matemática del enunciado de problema,
esta disposiciones depende las variables de redacción que determinar el tipo de enunciado, es decir,
por la organización de la redacción y por el contenido cognitivo del enunciado.
De acuerdo con lo anterior, hay nueve enunciados de problemas multiplicativos que cumplen con
este criterio, los cuales surgen de los tres tipos de enunciados de problemas multiplicativos (de
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
51 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
comparación, de proporcionalidad directa simple y de combinación) y sus respectivas tres
variaciones de cada uno (ver figuras 2.3.1, 2.3.6 y 2.3.11).
A continuación, se presentan las estructuras sintácticas y de magnitudes de cada uno de los nueve
enunciados de problemas multiplicativos que cumplen con el criterio 1:
Tabla 3.1.1
Estructura sintáctica y de magnitudes de los enunciados de problemas multiplicativos
Tipo de enunciado de problema
multiplicativo
Estructura
sintáctica
Estructura de
magnitudes
Comparación
𝑎 × 𝑏 = 𝑐 𝐸 × 𝐼 = 𝐸
𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝐸/𝐸 = 𝐼
𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝐸/𝐼 = 𝐸
Proporcionalidad directa simple 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 𝐸 × 𝐼 = 𝐸
𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝐸/𝐸 = 𝐼
𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝐸/𝐼 = 𝐸
Combinación 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 𝐸 × 𝐸 = 𝐸
𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 𝐸/𝐸 = 𝐸
𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝐸/𝐸 = 𝐸
En la tabla 3.1.1 se pudo identificar que los últimos dos enunciados de problemas multiplicativos
de combinación responden a la misma estructura sintáctica y estructura de magnitudes, esto
implica que realmente solo ocho enunciados representativos pues, como establece Duval (1999a):
En realidad, es necesario sustituir la noción de problema por la de campo de enunciados de
problemas posibles. Para colocar a los alumnos en situación eficaz de aprendizaje, no es
necesario plantearles problemas sino hacerlos trabajar sobre un campo de enunciados de
problemas. ¿Cómo se determina un campo de enunciados, por ejemplo el de los problemas
aditivos? Un enunciado de problema que sea una descripción, entre otras posibles, de una
superposición de situaciones, accede a un campo de enunciado de problemas considerando
todas las variaciones de descripción (cambiando el dato que se silencia y que constituye el
objeto de la pregunta, informaciones de más...). Llamamos “redaccionales” a estas
variaciones que permiten definir el campo de enunciados posibles de problemas cuya
resolución depende del mismo tipo de tratamiento matemático. (p. 94)
De acuerdo con lo anterior, los últimos dos enunciados de problemas multiplicativos de
combinación de la tabla 3.1.1 su resolución depende del mismo tipo de tratamiento matemático.
Diseño metodológico
52 Yerry Londoño Morales
Es pertinente aclarar que el modelo matemático para solucionar cualquier enunciado de problema
multiplicativo de la tabla 3.1.1 obedece a la ecuación general 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, sin embargo como los
números involucrados en los enunciados de problema multiplicativos son los naturales en este
trabajo para un análisis más detallado diferenciamos la operación de multiplicación con la de
división y, además, especificamos la estructura de magnitudes que cada enunciado puede
involucrar.
Para este primer momento en el que se seleccionaron los enunciados de problemas representativos
del campo de enunciados de problemas multiplicativos, a partir del criterio 1, la selección de los
ocho problemas fue tomada y adaptada de la clasificación de problemas multiplicativos trabajados
por Cid et al. (2004). Los tres problemas originales que corresponde cada uno a un tipo enunciados
de problema multiplicativo (de comparación, de proporcionalidad directa simple o de
combinación) sus transformaciones conciernen a dos tipos: una, por la necesidad de involucrar
medidas del contexto colombiano, ello implicó, por ejemplo, cambiar algunas de las cantidades
por unas mayores con la condición que sean éstas números naturales. Dos, para abordar las
diferentes variaciones que pueden presentar un tipo de enunciado de problema multiplicativo de
comparación (hay tres variaciones, ver figura 2.3.1), de proporcionalidad directa simple (hay tres
variaciones, ver figura 2.3.6) y de combinación (hay tres variaciones, ver figura 2.3.11) según
donde se desee acentuar la incógnita. La importancia de esta última modificación radica porque se
establece la relación inversa que existe entre la multiplicación y la división.
En la siguiente tabla, se presentan los enunciados de problemas multiplicativos originales de Cid
et al. (2004) y sus adaptaciones para generar los ocho enunciados representativos del campo de
enunciados de problemas multiplicativos.
Tabla 3.1.2
Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos y sus adaptaciones
Tipo de
enunciado Enunciados originales
Enunciados adaptados
Estructura sintáctica
𝑎 × 𝑏 = 𝑐
Estructura sintáctica
𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 o 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎
Comparación
La varilla A mide 70 cm. de
longitud y la varilla B mide 7
veces más que la A. ¿Cuánto
mide la varilla B?
T1: La varilla A mide 70 cm. de
longitud y la varilla B mide 7
veces más que la A. ¿Cuánto
mide la varilla B?
T2: La varilla A mide 7 veces menos
que la B y la varilla B mide 140 cm.
¿Cuánto mide la varilla A?
T3: La varilla A mide 70 cm. de
longitud y la varilla B mide 490 cm. de
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
53 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
longitud ¿Cuántas veces más mide la
varilla B que A? ¿Cuántas veces
menos mide la varilla A que B?
Proporcionalidad
directa simple
Juan compra 3 paquetes de
cromos, cada uno de los
cuales cuesta 25 pesetas
¿Cuánto ha pagado en total?
T4: Juan compra 8 paquetes de
cromos, cada uno de los cuales
cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado
en total?
T5: Juan compra $2.000 en paquetes
de cromos, cada uno de los cuales
cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de
cromos compró?
T6: Juan compra 8 paquetes de cromos
por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por
cada paquete de cromos?
Combinación
En un baile hay 3 chicos y
algunas chicas. Se pueden
formar 6 parejas distintas
entre ellos ¿Cuántas chicas
hay en el baile?
T7: En un baile hay 3 chicos y 6
chicas. ¿Cuántas parejas
distintas se pueden formar entre
ellos?
T8: En un baile hay 3 chicos y algunas
chicas. Se pueden formar 18 parejas
distintas entre ellos. ¿Cuántas chicas
hay en el baile?
T9: En un baile hay algunos chicos y
6 chicas. Se pueden formar 18 parejas
distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos
hay en el baile?
Nota 1: Los enunciados originales fueron tomados de Cid et al. (2004, p.74).
Nota 2: Dado que los enunciados T8 y T9 su resolución depende del mismo tipo de tratamiento matemático se deja
como enunciado representativo el T9. En la tabla se dejan ambos enunciados solo con la intención que el lector pueda
evidenciar en los enunciados de combinación las tres variaciones que se generan de acuerdo a donde se desee acentuar
la incógnita.
3.1.2. Momento 2. Modificaciones a los ochos enunciados representativos del campo de
enunciados de problemas multiplicativos.
Este segundo momento se estableció posterior a la aplicación a los estudiantes, de grado sexto de
educación básica secundaria de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes, de los
enunciados de problemas multiplicativos determinados por el criterio 1 y el respectivo análisis de
los hallazgos encontrados en la aplicación.
Para las modificaciones a los ochos enunciados representativos del campo de enunciados de
problemas multiplicativos se aplicaron los criterios 2 y 3:
Criterio 2: Variaciones en la redacción de los enunciado problemas multiplicativos: las marcas
lingüísticas y el trasfondo como elementos determinantes en la comprensión del enunciado
problema.
Las marcas lingüísticas y el trasfondo (ver capítulo 2) son determinantes a la hora de comprender
un enunciado de problema matemático, para el caso de las marcas lingüísticas Pontón (2012)
Diseño metodológico
54 Yerry Londoño Morales
menciona que pueden atribuirle al enunciado una intención de movilizar elementos de la estructura
conceptual, por ejemplo, dichas marcas son indicadores de: las relaciones de comparación con
palabras como n-veces más o n-veces menos para los enunciados de problema multiplicativo de
comparación, o de correlación entre la unidad y otra cantidad con palabras como por cada uno,
por cada un x, donde x es una magnitud extensiva (E), para los enunciados de problemas
multiplicativos de proporcionalidad directa simple.
Para el caso del trasfondo, Pontón (2012) manifiesta que, el significado de las palabras está
determinadas por “el significado de los elementos tanto léxicos y semánticos como sintácticos, así
como el contexto intra-textual y extra-textual”. (p. 89), es decir que en la comprensión de los
enunciados de problemas multiplicativos implica reconocer en cada unidad segmentada del
enunciado y sus palabras que las componen lo que se presupone en cada una de éstas en relación
con las conexiones que unen cada unidad segmentada en su sentido global, en otras palabras la
comprensión de un enunciado de problema multiplicativo “implica reconocer la lógica subyacente
entre el enunciado del problema, la pregunta y lo que se presupone en los datos dados y en la
pregunta formulada, en el marco del trasfondo de los lectores”. (Pontón, p. 178).
Es de acuerdo con lo expuesto anteriormente que el criterio 2 es tenido en cuenta en este trabajo,
dado que permite identificar cuáles son los elementos que inciden en la comprensión de enunciados
de problemas multiplicativos. En la tabla 3.1.3 se presentan lo ocho enunciados representativos
del campo de enunciados de problemas multiplicativos definidos por el criterio 1 pero con
variaciones en la redacción, ya sea con el objetivo de afectar sus marcas lingüísticas o el trasfondo
del enunciado.
Tabla 3.1.3
Enunciados de problemas multiplicativos con marcas lingüísticas o trasfondo modificado
Estructura sintáctica
𝒂 × 𝒃 = 𝒄
Estructura sintáctica
𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 o 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂
Comparación
M1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B es 7 veces más grande que la varilla A. ¿Cuánto mide la
varilla B?
M2: La varilla A es 7 veces más pequeña que la B y la
varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?
M3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B
mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces cabe la varilla A en la varilla B?
Proporcionalidad
directa simple
M4: Si 1 paquete de cromos cuesta $250 y Juan compra
8 paquetes de cromos ¿Cuánto ha pagado en total?
M5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, si 1
paquete cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de cromos
compró?
M6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000
¿Cuánto ha pagado por 1 paquete de cromos?
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
55 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Combinación
M7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. Si una pareja se
conforma por un chico y una chica ¿Cuántas parejas de
chico y chica se pueden formar entre ellos?
M9: En un baile algunos chicos y 6 chicas. Si una pareja
se confirma por un chico y una chica y si en total se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos
chicos hay en el baile?
A continuación, se exponen las diferentes variaciones en la redacción realizadas a los ocho
enunciados de problemas multiplicativos:
Para los enunciados de comparación: Se varió la marca lingüística “veces más/veces menos” de
los enunciados T1, T2 y T3 de la tabla 3.1.2, establecidos por el criterio 1, puesto que fue uno de
los elementos que más tuvo incidencia en su comprensión (ver capítulo 4, numerales 4.1, 4.2 y
4.3), dado que esta marca lingüística es la que dota de significado a la cantidad 7 como escalar.
Entre las opciones de variación, por ejemplo, estuvo cambiar “7 veces más” por el “séptuple”, sin
embargo se descartó porque de acuerdo a las indagaciones realizadas a la maestra de los estudiantes
a los que se le aplicaron dichas tareas éstos no han sido familiarizados con este tipo de términos,
es así que se decide reemplazar la marca lingüística “veces más/menos” por “veces más
grande/veces más pequeño”, ver enunciados M1 y M2 y M3 de la tabla 3.1.3.
Para los enunciados de propocionalidad directa simple: La variación que se presentó a los
enunciados T4, T5 y T6 de la tabla 3.1.2 se centró en explicitar la unidad en registro numérico.
Por ejemplo, en los enunciados T4 y T5 en la unidad segmentada “cada uno de los cuales cuesta
$250” se encontró que los estudiantes se le dificultaba determinar cuál era la unidad (ver capítulo
4, numerales 4.4, 4.5 y 4.6). Entre las opciones descartadas como variación de la redacción del
enunciado estaba realizar preguntas como “¿Cuánto cuesta 2 paquetes cromos? ¿Cuánto cuesta 3
paquetes cromos? ...” puesto que no se quería inducir al estudiante a la comprensión de enunciados
de proporcionalidad directa simple como una suma o resta reitera que direccionase a aspectos más
de orden aditivo, lo cual no es el interés de la investigación.
Dado que la unidad abordada en este tipo de enunciados (T4, T5 y T6) es compuesta, porque una
unidad corresponde a un paquete con varios cromos, surge la necesidad de explicitar dicha unidad
para cerrar un poco la brecha entre los conceptos de uno y unidad, pues de acuerdo con Arce et al.
(1999) en el contexto escolar no se da el reconocimiento a la interdependencia de estos conceptos
para articular, por ejemplo, las estructuras aditivas y multiplicativas.
Diseño metodológico
56 Yerry Londoño Morales
Para los enunciados de combinación: A diferencia de los dos tipos enunciados anteriores las
variaciones de la redacción en los enunciddos T7 y T9 de la tabla 3.1.2 no estuvieron focalizadas
en las marcas lingüísticas sino en variar el trasfondo que pueden surgir en el estudiante al leer el
enunciado problema multiplicativo. Lo anterior, porque en el análisis realizado a los enunciados
T7 y T9 (ver capítulo 4, numerales 4.7 y 4.8) se evidenció como desde el contexto de los
estudiantes la acción de conformar parejas en un baile no está limitado únicamente por la de chico-
chica, sino que una pareja se puede formar por chico-chico y chica-chica, es por ello que entre las
modificaciones realizadas a los enunciados T7 y T9 estaba el delimitar la conformación de parejas
por un chico y una chica.
Criterio 3: El uso de representaciones auxiliares como facilitadoras en la comprensión de
enunciado de problema multiplicativo.
Al igual que el segundo criterio, se le hacen modificaciones a los ocho enunciados determinados
por el criterio 1 (ver tabla 3.1.2), en este nuevo criterio se quiere evidenciar la incidencia de las
representaciones auxiliares en la comprensión de un enunciado de problema multiplicativo, es
decir que las representaciones auxiliares son adicionadas a cada uno de los enunciados de
problemas multiplicativos de manera intencionada para poder identificar el papel que cumplen
éstas en la comprensión de dichos enunciados.
En la tabla 3.1.4 se presentan los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de
problemas multiplicativos determinados por el criterio 1 agregándoles las representaciones
auxiliares que se involucran con el fin analizar como varía la comprensión de estos enunciados.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
57 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Tabla 3.1.4
Enunciados de problemas multiplicativos con representaciones auxiliares
Estructura sintáctica
𝒂 × 𝒃 = 𝒄
Estructura sintáctica
𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 o 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂
Comparación
A1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide
7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?
A2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la
varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?
A3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide la
varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla
A que B?
Proporcionalidad
directa simple
A4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado en total?
A5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada
uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de
cromos compró?
A6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000
¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos?
Combinación
A7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas
distintas se pueden formar entre ellos?
A9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se
pueden formar 18 parejas distintas entre ellos.
¿Cuántos chicos hay en el baile?
Diseño metodológico
58 Yerry Londoño Morales
A continuación, se exponen las diferentes representaciones auxiliares adicionadas a los ocho
enunciados de problemas multiplicativos:
Para los enunciados de comparación: Las representaciones auxiliares fueron en el registro figural
unidimensional el cual era un registro trabajado en clase por los estudiantes en grados anteriores,
según información suministrada por la maestra que dirigía el curso en el que los niños estaban.
Además, se optó por este registro unidimensional dado que las representaciones que subyacen a
éste tienen en cuenta los datos a operar como las medidas de los segmentos, pero carecen los datos
que me determinan los operadores para establecer su estructura sintáctica.
Para los enunciados de prorpocionalidad directa simple: Se adicionó el registro figural
bidimensional como representación auxiliar, dado que las representaciones figurales introducidas
permiten generar en los estudiantes una aprehensión operativa (Marmolejo y Vega, 2012) puesto
que permite reconfigurar la figura dada inicialmente en otra para establecer relaciones entre las
partes y el todo.1
Para los enunciados de combinación: Se decidió el registro icónico como representación auxiliar;
sin embargo, inicialmente se había optado como registro auxiliar el plano cartesiano pero la
maestra de matemáticas de los estudiantes a los que se le aplicaron las tareas manifestó que este
tipo de registro aún no era objeto de enseñanza para los estudiantes.
Finalmente, con el fin de realizar una comparación de los hallazgos en la comprensión de
enunciados de los problemas multiplicativos determinados por los criterios 1, 2 y 3 el análisis de
estos hallazgos no se encuentra disgregados, por tal motivo en el capítulo siguiente se encuentra
el análisis conjunto, y no por separado, de los enunciados surgentes de los tres criterios.
1 Para Marmolejo y Vega (2012) una aprehensión operativa de una figura se caracteriza por la realización de alguna
modificación en la configuración inicial de ésta, ya sea reorganizando los elementos que la componen o añadiéndole
o suprimiéndole elementos.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
59 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
3.2. Análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de los enunciados de
problemas multiplicativos seleccionados
En análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de los ochos enunciados
representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos seleccionados está
distribuidos en tres enunciados de comparación, tres enunciados de proporcionalidad directa
simple y dos enunciados de combinación. Estos enunciados son, entonces, los representativos de
las variaciones estructurales que se puedan crear en la variedad de enunciados posibles y las
variables concomitantes de los registros en que se presenten (Duval, 2016).
Para el análisis de las exigencias matemáticas y semiótico-cognitivo de cada uno de estos ochos
enunciados se tomó como modelo las rejillas de análisis aplicadas por Londoño y Cuero (2010) y
Pontón (2012), el diseño de estas rejillas estuvo orientado por la Dr. Teresa Pontón Ladino en el
marco de su tesis doctoral.
Las rejillas antes mencionadas tienen dos elementos fundamentales que permiten la realización del
análisis de los aspectos matemáticos y semiótico-cognitivo para cada uno de los ocho enunciados
representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos, estos son:
a. Segmentación y recontextualización del enunciado de problema como operación fundamental
de toda situación de lectura (Duval, 1999b) en la comprensión de un enunciado problema
matemático.
b. Soluciones posibles de los enunciados de problema matemáticos en los registros de
representación figural, numérico o icónico.
Adicionalmente, a estos dos elementos, se identificó en el análisis de los aspectos matemáticos y
semiótico-cognitivo de cada uno de los ocho enunciados representativas del campo de enunciados
de problemas multiplicativos sus estructuras sintácticas y de magnitudes. A estas dos estructuras
se les denominó organización estructural del enunciado de problema multiplicativo. Si bien, en el
capítulo 2 se abordaron estos elementos es necesario recordar que:
Diseño metodológico
60 Yerry Londoño Morales
- La estructura sintáctica de un enunciado de problema multiplicativo está dada por 𝑎 × 𝑏 = 𝑐
(Maza, 1991; Verganud, 2003); sin embargo, se considera la estructura 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏
para diferenciar las operaciones de la multiplicación y la división. Esta estructura sintáctica no
corresponde, necesariamente, al orden de presentación de los datos en el enunciado, ni a la
estructura gramatical, ni el tamaño de los números involucrados, sino que está determinada por
el lugar de la pregunta en el enunciado de problema multiplicativo, es la variación del lugar de
la incógnita la que establece la relación inversa que existe entre la multiplicación y la división.
- La naturaleza de las magnitudes, extensivas o intensivas, y la estructura de las magnitudes de
un enunciado de problema matemático corresponde al conjunto de expresiones y operaciones
permitidas entre las magnitudes de las cantidades que aparecen dicho enunciado (Puig y
Cerdan, 1995), la estructura de las magnitudes se identificó para cada una de las variaciones
de los enunciados que se presenta en los tres tipos de enunciados de problemas multiplicativos
(ver capítulo 2, numeral 2.3).
A continuación, se presenta el análisis de los aspectos matemáticos y semiótico-cognitivo de cada
uno de los ocho enunciados representativas del campo de enunciados de problemas
multiplicativos:
3.2.1 Problema T1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que
la A. ¿Cuánto mide la varilla B?
a. Al realizar la segmentación del problema T1 se evidencia que este consta de tres unidades
segmentadas:
Tabla 3.2.1
Segmentación y recontextualización de T1
Unidad
segmentada
U1 U2 U3
La varilla A mide 70 cm. de
longitud
la varilla B mide 7 veces más que
la A. ¿Cuánto mide la varilla B?
Objeto Varilla A Varilla A y B Varilla B
Marcas lingüísticas mide Veces más que
mide mide
Magnitud Extensiva (E) Intensiva (I) Extensiva (E)
Tipo de magnitud Longitudinal (cm) No hay (escalar) Longitudinal (cm)
Cantidades 70 7 490
Información explícita o
implícita
Medida de la 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴: 70 𝑐𝑚.
𝑩 = 𝐾 × 𝐴
𝑩 = 7 × 70
𝑩 = 490
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
61 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
𝐴 = 70
Relación de orden entre las medidas de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴 < 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵
Medida de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵: 490 𝑐𝑚.
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒂 × 𝒃 = 𝒄
Estructura de magnitudes: 𝑬 × 𝑰 = 𝑬
Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M1y A1, de ahí
que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T1. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se
afirma que T1, M1 y A1 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su
organización de la redacción.
b. Posibles soluciones de T1 en los registros de llegada:
Tabla 3.2.2
Soluciones posibles de T1
Reg
istr
o
Nu
mér
ico
C1A: Como una suma reiterada C1B: Como suma acumulativa C1C: Como factor escalar
70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. + 70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒎.
70 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 140 𝑐𝑚. 140 + 70 𝑐𝑚. = 210 𝑐𝑚. 210 + 70 𝑐𝑚. = 280 𝑐𝑚.
280 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 350 𝑐𝑚. 350 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 420 𝑐𝑚.
420 𝑐𝑚. +70 𝑐𝑚. = 𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒎.
70 𝑐𝑚.× 7 = 𝟒𝟗𝟎 𝒄𝒎.
Reg
istr
o F
igu
eral
Un
idim
ensi
on
al
C2A: Como suma reiterada y acumulativa y como comparación
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al
C3A: Como suma reiterada y acumulativa y como comparación
3.2.2. Problema T2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la varilla B mide 140 cm.
¿Cuánto mide la varilla A?
a. Al realizar la segmentación del problema T2 se evidencia que este consta de tres unidades
segmentadas:
Diseño metodológico
62 Yerry Londoño Morales
Tabla 3.2.3
Segmentación y recontextualización de T2
Unidad
segmentada
U1 U2 U3
La varilla A mide 7 veces menos
que la B la varilla B mide 140 cm ¿Cuánto mide la varilla A?
Objeto Varilla A y B Varilla B Varilla A
Marcas lingüísticas Veces menos
Magnitud Intensiva (I) Extensiva (E) Extensiva (E)
Tipo de magnitud No hay (escalar) Longitudinal (cm) Longitudinal (cm)
Cantidades 7 140 70
Información explícita o
implícita
𝑨 = 𝐵 𝐾⁄
𝑨 = 𝐵 7⁄
Relación de orden entre las medidas de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴 < 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵
Medida de la 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵: 140 𝑐𝑚.
𝑨 = 140 7⁄
𝑨 = 20
Medida de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴: 20 𝑐𝑚.
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂
Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑰 = 𝑬
Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M2y A2, de ahí
que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T2. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se
afirma que T2, M2 y A2 teniendo el mismo contenido cognitivo.
b. Posibles soluciones de T2 en los registros de llegada:
Tabla 3.2.4
Soluciones posibles de T2
Reg
istr
o
Nu
mér
ico
C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1B: Como factor escalar
𝟏𝟒𝟎 𝒄𝒎. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 120 𝑐𝑚. 120 − 𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 100 𝑐𝑚. 100 − 𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 80 𝑐𝑚.
80 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 60 𝑐𝑚. 60 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 40 𝑐𝑚. 40 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 20 𝑐𝑚. 20 𝑐𝑚. −𝟐𝟎 𝒄𝒎. = 0 𝑐𝑚.
140 𝑐𝑚.÷ 7 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎.
Reg
istr
o F
igu
eral
Un
idim
ensi
on
al
C2A: Como resta reiterada y acumulativa y como comparación
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
63 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al
C3A: Como resta reiterada y acumulativa y como comparación
3.2.3. Problema T3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud
¿Cuántas veces más mide la varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que
B?
a. Al realizar la segmentación del problema T3 se evidencia que este consta de cuatro
unidades segmentadas:
Tabla 3.2.5
Segmentación y recontextualización de T3
Unidad
segmentada
U1 U2 U3 U4
La varilla A mide 70
cm. de longitud
la varilla B mide 490 cm.
de longitud
¿Cuántas veces más mide
la varilla B que A?
¿Cuántas veces menos
mide la varilla A que B?
Objeto Varilla Varilla B Varilla A y B Varilla A y B
Marcas lingüísticas Veces más Veces menos
Magnitud Extensiva (E) Extensiva (E) Intensiva (I) Intensiva (I)
Tipo de magnitud Longitudinal (cm) Longitudinal (cm) No hay (escalar) No hay (escalar)
Cantidades 70 490 7 7
Información explícita o
implícita
Medida de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴: 70 𝑐𝑚.
𝐴 = 70
Medida de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵: 490 𝑐𝑚.
𝐵 = 490
Relación de orden entre las medidas de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴 < 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵
𝐵 = 𝑲 × 𝐴
490 = 𝟕 × 70
Relación de orden entre
las medidas de la
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐴 < 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐵
𝐴 = 𝐵 𝑲⁄
70 = 490 𝟕⁄
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃
Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑬 = 𝑰
Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M3y A3, de ahí que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T3.
Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se afirma que T3,
M3 y A3 teniendo el mismo contenido cognitivo.
b. Posibles soluciones de T3 en los registros de llegada:
Diseño metodológico
64 Yerry Londoño Morales
Tabla 3.2.6
Soluciones posibles de T3 R
egis
tro N
um
éric
o
C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1b: Como resta reiterada y acumulativa C1c: Como factor escalar
𝟕𝟎𝒄𝒎. → 1 𝑣𝑒𝑧
70𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 140𝑐𝑚. → 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
140𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 210𝑐𝑚. → 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
210𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 280𝑐𝑚. → 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
280𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 350𝑐𝑚. → 5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
350𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 420𝑐𝑚. → 6 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
420𝑐𝑚. +𝟕𝟎𝒄𝒎. = 𝟒𝟗𝟎𝒄𝒎. → 𝟕 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
𝟒𝟗𝟎𝒄𝒎. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 420𝑐𝑚. → 1 𝑣𝑒𝑧 420𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. . = 350𝑐𝑚. → 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 350𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 280𝑐𝑚. → 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 280𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 210𝑐𝑚. → 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 210𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 140𝑐𝑚. → 5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 140𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 70𝑐𝑚. → 6 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 70𝑐𝑚. −𝟕𝟎𝒄𝒎. = 0𝑐𝑚. → 𝟕 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
140𝑐𝑚.70𝑐𝑚.⁄ = 𝟕
Reg
istr
o F
igu
eral
Un
idim
ensi
on
al
C2A: Como resta reiterada y acumulativa y como comparación
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al C3A: Como suma reiterada y acumulativa
3.2.4. Problema T4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250.
¿Cuánto ha pagada en total?
a. Al realizar la segmentación del problema T4 se evidencia que este consta de tres unidades
segmentadas:
Tabla 3.2.7
Segmentación y recontextualización de T4
Unidad
segmentada
U1 U2 U3
Juan compra 8 paquetes de
cromos cada uno de los cuales cuesta $250 ¿Cuánto ha pagada en total?
Objeto Paquetes Paquetes y dinero Dinero
Marcas lingüísticas Cada uno Total
Magnitud Extensiva (E) Intensiva (I) Extensiva (E)
Tipo de magnitud Paquetes Dinero/paquete Dinero
Cantidades 8 1 y 250 2000
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
65 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Información explícita o
implícita
Uno de los elementos de la correspondida.
Paquetes
8
Dos elementos más de correspondidos.
Paquetes Dinero
8
1 250
Cuarto elemento de la correspondencia
Paquetes Dinero
8 x=2000
1 250
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒂 × 𝒃 = 𝒄
Estructura de magnitudes: 𝑬 × 𝑰 = 𝑬
Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M4y A4, de ahí
que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas
que T4. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se
afirma que T4, M4 y A4 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su organización de la redacción.
b. Posibles soluciones de T4 en los registros de llegada:
Tabla 3.2.8
Soluciones posibles de T4
Reg
istr
o N
um
éric
o
C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1B: Como operador-funcional
$𝟐𝟓𝟎 → 1 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒
$250 + $𝟐𝟓𝟎 = $500 → 2 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$500 + $𝟐𝟓𝟎 = $750 → 3 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$750 + $𝟐𝟓𝟎 = $1000 → 4 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$1000 + $𝟐𝟓𝟎 = $1250 → 5 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$1250 + $𝟐𝟓𝟎 = $1500 → 6 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$1500 + $𝟐𝟓𝟎 = $1750 → 7 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$1750 + $𝟐𝟓𝟎 = $𝟐𝟎𝟎𝟎 → 𝟖 𝒑𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆𝒔
8𝑝𝑎𝑞 × ($2501𝑝𝑎𝑞⁄ ) = $𝟐𝟎𝟎𝟎
Reg
istr
o F
igu
eral
Un
idim
ensi
on
al
C2A: Como suma reiterada y acumulativa.
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al
C3A: Como suma reiterada y acumulativa
3.2.5. Problema T5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta
$250. ¿Cuántos paquetes de cromos compró?
a. Al realizar la segmentación del problema T5 se evidencia que este consta de tres unidades
segmentadas:
Diseño metodológico
66 Yerry Londoño Morales
Tabla 3.2.9
Segmentación y recontextualización de T5
Unidad
segmentada
U1 U2 U3
Juan compra $2.000 en paquetes
de cromos
cada uno de los cuales cuesta
$250
¿Cuántos paquetes de cromos
compró?
Objeto Dinero y paquetes Paquetes y dinero Paquetes
Marcas lingüísticas En Cada uno Cuántos
Magnitud Extensiva (E) Intensiva (I) Extensiva (E)
Tipo de magnitud Paquetes Dinero/paquete Dinero
Cantidades 8 1 y 250 2000
Información explícita o
implícita
Dos elementos de la
correspondidos (uno
desconocido)
Paquetes Dinero
x 2000
Dos elementos más de la
correspondida.
Paquetes Dinero
x 2000
1 250
Incide sobre el elemento de la
correspondería desconocido
Paquetes Dinero
x=8 2000
1 250
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂
Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑰 = 𝑬
Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M5y A5, de ahí
que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T5. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se
afirma que T5, M5 y A5 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su
organización de la redacción.
b. Posibles soluciones de T5 en los registros de llegada:
Tabla 3.2.10
Soluciones posibles de T5
Reg
istr
o N
um
éric
o
C1A: Como suma reiterada y acumulativa C1B: Como operador-funcional
$𝟐𝟎𝟎𝟎 − $𝟐𝟓𝟎 = $1750 → 1 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒 $1750 − $𝟐𝟓𝟎 = $1500 → 2 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠 $1500 − $𝟐𝟓𝟎 = $1750 → 3 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$1250 − $𝟐𝟓𝟎 = $1000 → 4 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$1000 − $𝟐𝟓𝟎 = $750 → 5 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$750 − $𝟐𝟓𝟎 = $500 → 6 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$500 − $𝟐𝟓𝟎 = $250 → 7𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠
$250 − $𝟐𝟓𝟎 = $0 → 𝟖 𝒑𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆𝒔
$2000 ÷ ($2501𝑝𝑎𝑞⁄ ) = 𝟖𝒑𝒂𝒒
Reg
istr
o F
igu
eral
Un
idim
ensi
on
al
C2A: Como resta reiterada y acumulativa.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
67 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al
C3A: Como resta reiterada y acumulativa
3.2.6. Problema T6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada
paquete de cromos?
a. Al realizar la segmentación del problema T6 se evidencia que este consta de dos unidades
segmentadas:
Tabla 3.2.11
Segmentación y recontextualización de T6
Unidad
segmentada
U1 U2
Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada paquete de
cromos?
Objeto Dinero y paquetes Paquetes y dinero
Marcas lingüísticas Por Por cada
Magnitud Ambas extensivas (E) Intensiva (I)
Tipo de magnitud Paquetes y dinero Dinero/paquete
Cantidades 8 y 2000 250 y 1
Información explícita o implícita
Dos elementos de la correspondidos
Paquetes Dinero
8 2000
Dos elementos más de la correspondida
(uno desconido)
Paquetes Dinero
8 2000
1 x
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃
Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑬 = 𝑰
Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M6y A6, de ahí que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas
caracterizas que T6. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido
cognitivo se afirma que T6, M6 y A6 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre
ellos su organización de la redacción.
b. Posibles soluciones de T6 en los registros de llegada:
Diseño metodológico
68 Yerry Londoño Morales
Tabla 3.2.12
Soluciones posibles de T6 R
egis
tro
Nu
mér
ico C1A: Como operador-funcional
$2000 ÷ 8𝑝𝑎𝑞 = $𝟐𝟓𝟎𝟏𝒑𝒂𝒒⁄
Reg
istr
o F
igu
eral
Un
idim
ensi
on
al
C2A: Como distribución
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al
C3A: Como distribución
3.2.7. Problema T7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden
formar entre ellos?
a. Al realizar la segmentación del problema T7 se evidencia que este consta de tres unidades
segmentadas:
Tabla 3.2.13
Segmentación y recontextualización de T7
Unidad
segmentada
U1 U2 U3
En un baile hay 3 chicos 6 chicas ¿Cuántas parejas distintas se
pueden formar entre ellos?
Objeto Chicos Chicas Parejas
Marcas lingüísticas Parejas distintas
Magnitud Extensiva (E) Extensiva (E) Extensiva (E)
Tipo de magnitud Persona Persona Parejas
Cantidades 3 6 18
Información explícita o
implícita
Un elemento y su espacio de medida de la composición
cartesiano
Chico
3
Segundo elemento y su espacio de
medida de la composición
cartesiano
Chica
6
Chico
3
Tercer elemento y su espacio
de medida de la composición
cartesiano
Chica
6
Chico
3 x=18
Parejas
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒂 × 𝒃 = 𝒄
Estructura de magnitudes: 𝑬 × 𝑬 = 𝑬 Estas mismas estructuras (organización estructural) la cumplen igualmente los enunciados M7y A7, de ahí
que al realizar un análisis semiótico-cognitivo a estos dos enunciados cumplirían con las mimas caracterizas
que T7. Por lo anterior y teniendo en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo se
afirma que T7, M7 y A7 teniendo el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su
organización de la redacción.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
69 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
b. Posibles soluciones de T7 en los registros de llegada:
Tabla 3.2.14
Soluciones posibles de T7
Reg
istr
o
Nu
mér
ico C1A: Como multiplicación
3 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑜𝑠 × 6 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 = 𝟏𝟖 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒋𝒂𝒔
Reg
istr
o F
igu
eral
icón
ico
C2A: Como diagrama
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al C3A: Como composición cartesiana
3.2.8. Problema T9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se pueden formar 18 parejas
distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos hay en el baile?
a. Al realizar la segmentación del problema T9 se evidencia que este consta de tres unidades
segmentadas:
Tabla 3.2.15
Segmentación y recontextualización de T9
Unidad
segmentada
U1 U2 U3 U4
En un baile algunos chicos 6 chicas Se pueden formar 18
parejas distintas entre ellos
¿Cuántos chicos hay en el
baile?
Objeto Chicos Chicas Parejas Chicos
Marcas lingüísticas Algunos Parejas distintas Cuántos
Magnitud Extensiva (E) Extensiva (E) Extensiva (E) Extensiva (E)
Tipo de magnitud Persona Persona Parejas Persona
Diseño metodológico
70 Yerry Londoño Morales
Cantidades x 6 18 3
Información
explícita o implícita
Un elemento desconocido
y espacio de medida de la
composición cartesiano
Chico
x
Segundo elemento y espacio de medida de la
composición cartesiano
Chica
6
Chico
x
Tercer elemento y espacio de medida de la
composición cartesiano
Chica
6
Chico
x
18
Parejas
Incide sobre el elemento desconocido del primer
espacio de media
Chica
6
Chico
x=3
18
Parejas
Recontextualización
Estructura sintáctica: 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃
Estructura de magnitudes: 𝑬/𝑬 = 𝑬
Estas mismas estructuras la cumplen igualmente los enunciados T8, M9 y A9, de ahí que al realizar un análisis
semiótico-cognitivo a estos cinco enunciados cumplirían con las mimas caracterizas que T9. Por lo anterior y teniendo
en cuenta lo definido por Duval (2009b) como contenido cognitivo, se afirma que T9, M9 y A9 tienen el mismo contenido cognitivo, aunque ha variado entre ellos su organización de la redacción.
b. Posibles soluciones de T9 en los registros de llegada:
Tabla 3.2.16
Soluciones posibles de T9
Reg
istr
o
Nu
mér
ico C1A: Como multiplicación
18 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑗𝑎𝑠 ÷ 6 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 = 𝟑 𝒄𝒉𝒊𝒄𝒐𝒔
Reg
istr
o F
igu
eral
Bid
imen
sion
al
C2A: Como composición cartesiana
3.3. Recolección y organización de la información
La información obtenida en este trabajo de investigación se recogió utilizando las dos técnicas
cualitativas que se mencionaron en la figura 3:
- Las tareas propuestas a los estudiantes que son de dos tipos: 1) Tareas con los enunciados
representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos que se seleccionaron a
partir del criterio 1 (ver numeral 3.1) para analizar su comprensión. 2) Tareas con
modificaciones de los enunciados representativos del campo de enunciados problemas
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
71 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
multiplicativos que se obtuvieron a partir de la aplicación del criterio 1, estas modificaciones
se llevaron a cabo a partir de los criterios 2 y 3 que se utilizaron (ver numeral 3.1).
Es a partir de la aplicación de las tareas con los enunciados de problemas multiplicativos que
se generaron con los criterios 1, 2 y 3 se recogieron las informaciones de las producciones de
los estudiantes.
- Los protocolos de observación con o sin intervención que se realizaron a los estudiantes en el
momento que se aplicaban las tareas; en los protocolos hubo la necesidad de hacer preguntas
a los estudiantes para indagar sobre algunas cuestiones observadas en las producciones de ellos
con el propósito de confirmar algunas interpretaciones.
3.3.1. Categorías organizadoras de la información para la realización del análisis los datos
obtenidos. Una vez realizado el análisis semiótico-cognitivos a los ocho enunciados de
problema multiplicativos se pudo corroborar que cada uno de estos enunciados conlleva
una estructura sintáctica y una estructura de magnitudes como se evidenció en la tabla
3.1.1.
Estas estructuras de cada enunciado, a la cual denominados organización estructural, son
en este trabajo las categorías organizadoras de la información para la realización del
análisis los datos obtenidos. En la tabla 3.3.1 se presentan las categorías organizadoras de
la información:
Tabla 3.3.1
Categorías organizadoras de la información para el análisis de los enunciados
de problemas multiplictativos
Tipo de enunciado
de problema
multiplicatico
ORGANIZACIÓN ESTRUCTURAL
Estructura sintáctica Estructura de las
magnitudes
CATEGORÍA 1 Comparación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬
CATEGORÍA 2 Comparación 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬
CATEGORÍA 3 Comparación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰
CATEGORÍA 4 Proporcionalidad
directa simple 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬
CATEGORÍA 5 Proporcionalidad
directa simple 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬
CATEGORÍA 6 Proporcionalidad
directa simple 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰
Diseño metodológico
72 Yerry Londoño Morales
CATEGORÍA 7 Combinación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑬 = 𝑬
CATEGORÍA 8 Combinación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑬
En la tabla 3.3.2 están expuestas las ocho categorías organizadoras de la información y los
enunciados de problemas multiplicativos que se analizaron en cada una de éstas, los cuales
fueron aplicados a los estudiantes de grado 6º, del establecimiento educativo Institución
Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad de Bogotá.
Tabla 3.3.2
Enunciados de problemas multiplicativos aplicados y
analizados por cada categoría organizadora
En el siguiente capítulo se presentan los análisis de cada uno los ochos enunciados de
problemas multiplicativos, los cuales se hacen por categoría organizadora como se observa
en la tabla 3.3.2.
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS
MULTIPLICATIVOS APLICADOS Y
ANALIZADOS
CATEGORÍA 1 T1, M1 y A1
CATEGORÍA 2 T2, M2 y A2
CATEGORÍA 3 T3, M3 y A3
CATEGORÍA 4 T4, M4 y A4
CATEGORÍA 5 T5, M5 y A5
CATEGORÍA 6 T6, M6 y A6
CATEGORÍA 7 T7, M7 y A7
CATEGORÍA 8 T9, M9 y A9
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
73 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
4. Análisis de la información obtenida en la aplicación de los enunciados de los
problemas multiplicativos
En el siguiente capítulo se presenta el análisis de la información obtenida en la aplicación a los
estudiantes de grado 6º, de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad de
Bogotá, de las tareas concernientes a los ocho enunciados representativos del campo de enunciados
de problemas multiplicativos, tal cual se manifestó en el capítulo anterior este análisis se realizó a
partir de las ocho categorías organizadoras de la información que se presentaron en la tabla 3.3.1,
las cuales se generan por la organización estructural que tiene cada uno de los ocho enunciados.
4.1. Categoría organizadora 1: Problemas multiplicativos de comparación cuya solución está
determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸.
Tabla 4.1.1
Enunciados de problema multiplicativos de comparación con estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y
estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸 T1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?
M1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B es 7 veces más grande que la varilla A. ¿Cuánto
mide la varilla B?
A1: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 7 veces más que la A. ¿Cuánto mide la varilla B?
La resolución de T1 por parte de los estudiantes tuvo un éxito en sus respuestas del 78,6%, de los
desaciertos (21,4%) ningún estudiante en la resolución del enunciado le otorga a la palabra “más
que” la operación suma, aspecto diferente con el término “menos que” que se le atribuye resta (ver
numeral 4.2). Este otorgamiento a la marca lingüística “más que” de significarle asertivamente la
operación de multiplicación implica que los estudiantes comprenden en el enunciado que hay una
relación multiplicativa que relaciona la varilla B como igual a la varilla A en un número
determinado de veces (7𝐴 = 𝐵).
Análisis de la información
74 Yerry Londoño Morales
Esta comprensión puede suponerse porque en la no-congruencia entre el registro de salida (T1) y
registro de llegada (numérico) se puede evidenciar que, aunque no hay correspondencia lexical
dado que el signo “×” no correlaciona con una unidad segmenta de T1, si hay univocidad
semántica terminal y conservación de orden entre las unidades segmentadas de T1 y su solución
en el registro numérico, ver figura 4.1.1.
Figura 4.1.1. Ejemplo de correspondencia lexical, univocidad semántica e igual orden de organización de las
unidades significantes entre T1 y registro numérico.
Para todos los casos el único registro de llegada fue el numérico, en el cual los algoritmos para su
solución era la suma reiterada (24,4%) y la multiplicación (78,6%); lo anterior presupone que si
un estudiante tiene que enfrentarse a un problema éste infiere que el docente espera una respuesta
dada por un cálculo con números y no sea posible utilizar otros tipos de registros. Esta inferencia
del estudiante puede confirmar que la enseñanza de las matemáticas deja de lado u omite la
enseñanza de los registros multifuncionales como la lengua natural, los icónico o los figuras
geométricas, a pesar que sean estos registros utilizados en todos los dominios de la vida social
tienen la “desventaja” que los tratamientos en estos registros no son algoritmizables, es decir sus
tratamiento implican que no sean tan técnicos o formales como el registro numérico que es un
registro monofuncional, de ahí que el registro numérico es a veces el único que es objeto de
enseñanza en la escuela (Duval, 2016).
Entre las soluciones con suma reiterada en el registro numérico para T1 se presentó el caso en que
el 14,3% de los estudiantes sumaban ocho veces la cantidad 70 cm. y no siete veces, como se
muestra en la figura 4.1.2. Este tipo de error que presenta los estudiantes está ligado a como la
marca lingüística “veces más” la palabra más significa al estudiantes que aparte de los 70 cm. que
mide de la varilla A se debe operar otras siete veces más los 70 cm., o sea que se opera ocho veces
la cantidad 70 cm. En otros términos la palabra más de “veces más” induce al estudiante a que la
cantidad a repetida es excluyente y no incluyente.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
75 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 4.1.2. Producción del estudiante E9A en la solución del problema T1.
Al realizar el análisis de las soluciones de M1 que surge de la transformación que se le hace a T1
en el segmento del enunciado “La varilla B mide 7 veces más que la A” al cambiar veces más por
veces más grande el éxito en la resolución el problema fue del 68,8%, siendo poca la diferencia
entre la comprensión de T1 y M1. Esto se justifica porque M1 cumple las mismas características
de no-congruencia con el registro numérico que le sucede a T1 con dicho registro.
Del total de respuestas dadas al resolver M1 el 7,1% los estudiantes utilizaron un tipo de registro
auxiliar, para todos los casos se utiliza un registro icónico, como se muestra en la figura 4.1.3.
Todos los estudiantes que utilizaron el registro auxiliar icónico tuvieron éxito en su respuesta
corroborando que la varilla A cabe siete veces en la varilla B, es decir hay un comparativo de
igualdad de orden multiplicativo. Esto conduce a considerar dos aspectos: uno, que los registros
icónicos son un apoyo para visibilizar en un enunciado de problema multiplicativo de comparación
que los objetos involucrados a comparar (varillas A y B) tienen una relación de igualdad porque
relaciona la varilla B como igual a la varilla A en un número determinado de veces (7𝐴 = 𝐵). y
no de cualidad por no se establece una rleación de cual varilla mide más o menos (m𝐴 < m𝐵).
Dos, que la marcar lingüística “veces más grande” induce al estudiante a comprender que la varilla
A cabe siete veces en la varilla B y por ello la realización de un registro icónico que presentan un
parecido con la varilla.
Figura 4.1.3. Producción del estudiante E8C en la solución del problema M1.
Análisis de la información
76 Yerry Londoño Morales
Una posible causa para que el registro auxiliar sea el icónico puede obedecer a que el registro
multifuncional por no posibilitar tratamientos que sean algoritmos es necesario su articulación o
apoyo con el registro de la lengua natural, como este registro auxiliar es el resultado de cambio de
registro que tuvo como registro de salida el de la lengua natural esto exige una coordinación entre
los registros de salida (lengua natural), el auxiliar transicional (icónico) y el de llegada (numérico),
lo cual evidencia que hay comprensión de un enunciado de problema multiplicativo de
comparación cuando “las representaciones auxiliares transicionales, incluso las más icónicas y
concretas, ¡también requieran ser integradas con tareas sistemáticas de covariación si queremos
que sean eficientes!” (Duval, 2016, p. 89).
Con respecto al registro de llegada para la solución del M1, el registro de mayor uso fue también
el numérico con 93,8% en cuyos algoritmos utilizados fueron multiplicación (56,3%), suma
reitera, división y suma de las dos cantidades del enunciado con 12,5% cada una.
Para la solución de A1 el 70,6% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, para estos
estudiantes era necesario que la varilla A se pudiera sobreponer siete veces sobre la varilla B, en
todos los casos los estudiantes tomaban como referencia la medida del segmento que representaba
la varilla A en el enunciado A1, midiendo el segmento con unidades no estandarizadas como parte
del lápiz o el dedo, y lo sobreponían (las siete veces) sobre el segmento que represéntala la varilla
B. Para todos casos la división fue la única operación realizada.
Para los casos donde el estudiante da solución a A1 en el registro numérico, al igual que T1 y M1,
este enunciado es no-congruente con el registro de llegada.
El 29,4% de los estudiantes no resolvieron correctamente el enunciado A1. Este porcentaje de no
éxitos se le puede atribuir a que el registro auxiliar propuesto en este enunciado era un registro
figural unidimensional, el cual, posiblemente, ha sido poco abordado en la actividad matemática.
Además, el uso del registro unidimensional exige, por un lado, los tratamientos realizados en este
registro no son algoritmos (Duval, 1999b) y como se mencionó anteriormente es el registro
numérico es el de mayor (y casi único) uso en la escuela.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
77 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Por otro lado, el registro unidimensional está asociado casi siempre al manejo de la recta numérica
para números enteros y su extensión a los racionales (Adjiage, 1999; Pontón, 2008) o para la
medición de medias longitudinales, para muchos de los estudiantes que se enfrentaron a este
problema el registro auxiliar les era desconocido y su presentación no les implicaba comprender
como cambiar de un registro (el de lengua natural) a otro (el de registro figural unidimensional).
Más bien, el registro auxiliar restringía al estudiante a ver una ilustración que no garantiza la
comprensión de la situación multiplicativa de comparación, en otras palabras no es suficiente con
que se le presente al estudiante que resuelve un enunciado de problema varias representaciones
juntas de la situación plateada, más bien se requiere es que el estudiante pueda cambiar el registro
de representación (Duval, 1999a, 1999b, 2016).
Los registros de llegada para la solución de A1 fueron el numérico (76,5%) y el registro
unidimensional auxiliar (23,5%), siendo esta última representación un registro donde los
estudiantes que lo utilizaron todos tuvieron éxito y realizaron tratamientos sobre dicho registro
como la suma acumulativa, ver figura 4.1.4.
Figura 4.1.4. Producción del estudiante E25D en la solución del problema A1 en el registro figural unidimensional
Los tratamientos utilizados en la solución de A1 fueron multiplicación (52,9%), suma reiterada
(11,8%) y suma acumulativa (5,9%); sin embargo, para la multiplicación se presentó que algunos
estudiantes no operaban siete veces la cantidad sino ocho veces, ver figura 4.1.5, la causa de este
tipo de error se explico anteriormente. Estos tratamientos se realizaron dado que los estudiantes
establecían relaciones entre las partes (segmentos con longitud igual a la varilla A) y el todo
(longitud de la varilla B).
Análisis de la información
78 Yerry Londoño Morales
Figura 4.1.5. Producción del estudiante E24B en la solución del problema A1 en el registro numérico.
Al igual que T1 la palabra más de “veces más” induce al estudiante a que la cantidad a repetir es
excluyente y no incluyente, es por ello que se opera ocho y no siete veces.
4.2. Categoría organizadora 2: Problemas multiplicativos de comparación cuya solución está
determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸.
Tabla 4.2.1
Enunciados de problema multiplicativos de comparación con estructura sintáctica 𝑐 ÷𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸
T2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?
M2: La varilla A es 7 veces más pequeña que la B y la varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?
A2: La varilla A mide 7 veces menos que la B y la varilla B mide 140 cm. ¿Cuánto mide la varilla A?
La resolución T2 tuvo un éxito en sus respuestas del 37,5%, de los desaciertos (62,5%) el 37,5%
del total de estudiantes en la resolución del enunciado le otorga a la palabra “menos que” la
operación sustracción como se muestra en la figura 4.2.1. Este otorgamiento está estrechamente
ligada al significado de la palabra “menos” como una operación que implica una comparación
cualitativa que expresa solo una relación de orden (Castro, 1994) que responde a pregunta ¿Cuánto
falta?, en la cual la varilla A es menor que la varilla B (𝐴 < 𝐵) y el “menos que” no está ligado,
por tanto, a un comparativo de igualdad en el marco de las relación multiplicativa que relaciona la
varilla A como igual a la varilla B en un número determinado de veces (7𝐴 = 𝐵), sino como
m𝐵 −𝑚𝐴.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
79 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 4.2.1. Producción del estudiante E18A en la solución del problema T2
Otro de los aspectos que inciden en el bajo porcentaje de éxitos es debido a que el registro de salida
(T2) y el registro numérico de llegada no son congruentes porque, aunque hay univocidad
semántica, no hay correspondencia lexical ni se conserva igual el orden de organización de las
unidades significantes entre ambos registros, ver figura 4.2.2. Si el registro se llegada está
modelada por la ecuación 𝒙 × 7 = 140 la no congruencia es mucho mayor dado que el “veces
menos” y el signo × semánticamente no coinciden, es decir hay un distanciamiento entre la marca
lingüística y el signo que le corresponde lexicalmente en el registro de llegada.
Figura 4.2.2. Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia lexical ni igual orden de organización
de las unidades significantes entre T2 y su solución numérica
Para casi todos los casos (93,8% de los estudiantes) el único registro de llegada para resolver T2
era el numérico, en el cual los algoritmos utilizados para su solución eran la sustracción (37,5%),
la suma (18,8%), la división (31,3%) y la multiplicación y división (6,3%); lo anterior presupone
el monopolio del uso de registro numérico.
Al realizar el análisis en la comprensión de M2 que surge de la transformación que se le hace a T2
en el segmento del enunciado “La varilla A mide 7 veces menos que la B” al cambiar veces menos
por veces más pequeño el éxito en la resolución de M2 fue del 40%. Primero, se puede considerar
que el término “veces más pequeño” no denota para el estudiante que la varilla A cabe tantas veces
iguales (n-veces) en la varilla B, es decir, que la incomprensión que entre las varillas A y B hay
una relación aditiva y no multiplicativa sigue presente, de la misma manera que en la comprensión
del enunciado T2. Esto implica que el estudiante sigue sin identificar en el enunciado M2 hay un
relación multiplicativa de comparación y, segundo, la excepción de la marca lingüística “menos
Análisis de la información
80 Yerry Londoño Morales
que” y “veces más pequeño” conlleva a direccionar la resolución del enunciado del problema a
realizarlo con una sustracción, esto quiere decir que estas dos marca lingüistas son elementos
porque contribuyen a la no-congruencia entre el registro de salida (lengua laural) de un enunciado
de problema multiplicativo de comparación y su posible registro de llegada.
Adicional a las dificultades presentadas en la comprensión de M2 por las marcas lingüistas, que se
mencionaron anteriormente, se suma la no congruencia que hay entre M2 y su registro numérico
de llegada, como sucede con T2.
Del total de respuestas dadas a M2 el 13,3% utilizaron un registro auxiliar, para todos los casos se
utiliza un registro icónico, como se muestra en la figura 4.2.3. Los estudiantes que utilizaron el
registro auxiliar icónico tuvieron éxito en su respuesta corroborando que la varilla A cabe siete
veces en la varilla B, al igual que en la resolución de M1.
Figura 4.2.3. Producción del estudiante E10C en la solución del problema M2
Con respecto a los registros de llegada para la solución del M2, el mayor registro de solución fue
también el numérico con 86,7% en cuyos algoritmos utilizados fueron resta (49,7%), suma (6,7%),
división (40%) y multiplicación (6,7%). Al igual que en la solución del T1, T2 y M1 el presupuesto
del por qué es de mayor uso el registro numérico se conserva.
En la solución de A2 el 71,4% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, para estos
estudiantes era necesario que la varilla A se pudiera sobreponer siete veces sobre la varilla B, como
en A1. Para todos los casos la división fue la única operación realizada.
El 14,3% de los estudiantes que no tuvieron éxitos en la resolución de A2 midieron el segmento
que representaba la varilla A con la regla, la medición les arrojaba 1 cm. aproximado por exceso
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
81 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
o defecto como muestra la figura 4.2.4. Este porcentaje de no éxitos coincide con los argumentos
expuestos en los no aciertos para A1.
Figura 4.2.4. Producción del estudiante E48C en la solución del problema A2
Los estudiantes que resolvieron A2 en un registro numérico percibieron la misma no congruencia
como sucedió con T1 y M1.
Los registros de llegadas para la solución de A2 fueron numérico (71,4%) en el cual estuvieron
todos los aciertos a la respuesta del problema y el numérico con apoyo del registro auxiliar
unidimensional (14,3%) en el que los estudiantes usaron regla para medir; las demás producciones
(14,3%) no determinaron información ya sea porque se entregaron en blanco o lo consignado no
era claro.
4.3. Categoría organizadora 3: Problemas multiplicativos de comparación cuya solución está
determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼.
Tabla 4.3.1
Enunciados de problema multiplicativos de comparación con estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y
estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼 T3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide
la varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B?
M3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces cabe la
varilla A en la varilla B?
A3: La varilla A mide 70 cm. de longitud y la varilla B mide 490 cm. de longitud ¿Cuántas veces más mide
la varilla B que A? ¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B?
Análisis de la información
82 Yerry Londoño Morales
La resolución de T3 tuvo un éxito en sus respuestas del 18, 8%, siendo la más baja entre los tres
tipos de enunciados de comparación puesto que para T1 su éxito fue del 76,8% y T2 fue de 37,5%.
Los desaciertos para T3 fue de 81,3%, los estudiantes en la resolución del enunciado le otorgaban
en su mayoría a la palabra “más que” y “menos que” la operación suma o resta. Este otorgamiento
a las marcas lingüísticas “más que” y “menos que” de significarle estas operaciones manifiestan
que los estudiantes no comprenden en el enunciado una comparación multiplicativa sino una
comparación cualitativa que expresa solo una relación de orden (Castro, 1994) que responde a
pregunta ¿Cuánto falta o cuánto sobra?, en la cual la varilla A es menor que la varilla B (𝐴 < 𝐵)
o la varilla B es mayor que la varilla A (𝐴 < 𝐵).
Estas dificultades en la comprensión del enunciado T3 se diferencian de los de T1 y T2 porque en
el T3 el elemento incógnito o averiguar es el factor de comparación (el 7) que es dado en T1 y T2.
Que la incógnita corresponda al factor de comparación genera que entre el registro de salida (T3)
y el registro de llegada (los cálculos numéricos) no haya congruencia puesto que el orden de
organización de las unidades significantes no se conservan en ambos registro y no hay
correspondencia lexical entre las unidades significantes propias a cada registro porque al signo
“/” (de la solución simbólica) no le corresponde ninguna unidad significante de T3. Ejemplo:
Figura 4.3.1. Ejemplo de univocidad semántica pero no hay correspondencia lexical ni igual orden de organización
de las unidades significantes entre T3 y su solución numérica
Para casi todos los casos en las producciones de T3 el registro de llegada era el numérico (87,5%)
siendo la suma (50%), resta (43,8%), multiplicación (12,5%) y división (6,3%) los algoritmos
utilizados; lo anterior presupone, como en los análisis anteriores, el uso del registro numérico como
exclusivo en la enseñanza de los enunciados de problemas multiplicativos de comparación.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
83 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Entre las soluciones de T3 los estudiantes que realizaron la suma reiterada y ecuación (70 × 7 =
490) demostró que comprendieron que en este enunciado hay una relación multiplicativa de
comparación (ver figuras 4.3.2a y 4.3.2b).
Figura 4.3.2a. Producción del estudiante E3B en
la solución del problema T3 por suma reiterada.
Figura 4.3.2b. Producción del estudiante E3C en la solución del
problema T3 por ecuación.
No obstante, la figura 4.3.3.b devela que al igual que en el análisis de T1 y T2 los término
más/menos de “veces más/menos” induce al algunos estudiantes a que la cantidad a repetir es
excluyente y no incluyente, es por ello que el estudiante aunque opera por 7 afirma que es 6 veces.
Al realizar el análisis en la solución de M3 que surge de la transformación que se le hace a T3 en
el segmento del enunciado “¿Cuántas veces menos mide la varilla A que B?” al cambiar veces más
por veces cabe el éxito en la resolución el problema fue del 29,4%, siendo una diferencia algo
despreciable entre la comprensión de T3 y M3.
Del total de respuestas dadas a M3 ningún estudiante utilizó un registro auxiliar. Con respecto al
registro de llegada para la solución del M3, el único registro de solución fue el numérico cuyos
algoritmos utilizados fueron suma (47,1%), multiplicación (23,5%) y división (29,4%), sigue
siendo este registro el de mayor uso por los estudiantes para resolver problemas multiplicativos de
comparación. Las respuestas correctas (29,4%) al igual que T3 estuvieron resultas por sumas
reiteradas y por ecuación.
Para A3 el 58,3% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, un porcentaje significativamente
mayor que para T3 y M3. Para los estudiantes que tuvieron éxito era necesario también que la
varilla A se pudiera sobreponer siete veces sobre la varilla B tomado como referencia la medida
del segmento de la varilla A en el enunciado A3. La verificación de esta manera de razonar los
Análisis de la información
84 Yerry Londoño Morales
estudiantes la realizaban con sumas reiterada o multiplicando la medida de la varilla A por la
cantidad de veces que se sobrepuso en la varilla B, ver figura 4.3.3.
Figura 4.3.3. Producción del estudiante E20B en la solución del problema A3
El 41,7% de los estudiantes no tuvieron éxitos en la resolución de A3. Este porcentaje de no éxitos
al igual que A1 y A2 se le puede atribuir a que el registro auxiliar propuesto en A3 es un registro
figural unidimensional.
Los registros de llegadas para la solución de A3 fueron numérico (58,8%) y el mismo registro
figural unidimensional (35,3%), siendo esta última representación un registro donde los
estudiantes que lo utilizaron todos tuvieron éxito y realizaron tratamientos sobre dicho registro
como la suma acumulativa, ver figura 4.3.3.
Los tratamientos utilizados en la solución de A3 fueron multiplicación (17,6%), suma reiterada
(11,8%), resta (23,5%) y división (11,8%).
4.4. Categoría organizadora 4: Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa simple
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de
magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸.
Tabla 4.4.1
Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa simple con estructura sintáctica
𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐼 = 𝐸 T4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado en total?
M4: Si 1 paquete de cromos cuesta $250 y Juan compra 8 paquetes de cromos ¿Cuánto ha pagado en total?
A4: Juan compra 8 paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuánto ha pagado en total?
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
85 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
La resolución de T4 tuvo un éxito en sus respuestas del 100%, esto implica que el grado de
complejidad para la comprensión de este tipo de enunciados hace que los estudiantes no encuentren
dificultades en su comprensión debido a que:
1. Aunque entre T4 y su solución numérica no hay congruencia entre sus registros dado que no
hay correspondencia lexical, pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de
organización de las unidades significantes, porque al signo “×” del registro numérico no le
corresponde una unidad significante con el registro de lengua en que está presentado el
problema a solucionar, como se muestra en la figura 4.4.1.
Figura 4.4.1. Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de
organización de las unidades significantes entre T4 y su solución numérica.
2. En T4 su organización de la redacción no se aleja de la variables relativas del lector porque el
contexto en que es presentado T4 es cercano al estudiante, haciendo que su base de
conocimientos que dispone en relación con el contenido cognitivo del texto, su comprensión
del vocabulario, etc. sean suficientes y no se alejen de la manera como el enunciado está
presentado con respecto a los elementos que son explicitados y la manera en que se ordenan
estos elementos en el enunciado, en palabra de Duval (1999b):
En particular, cuando la organización redaccional de un texto se aleja mucho de las formas
de organización propias a los discursos orales espontáneos y cuando el texto no trata sobre
Análisis de la información
86 Yerry Londoño Morales
conocimientos familiares, muy rápidamente las dificultades de comprensión pueden llegar
a ser insuperables para muchos alumnos y, en general, para muchos lectores. (p. 264)
En la comprensión de T4 los estudiantes logran identificar que entre las magnitudes involucradas
(cromos y pesos/cromo) hay una relación multiplicativa de proporcionalidad directa simple porque
hay una correspondencia en dichas magnitudes, esto se puede observar cuando el estudiante
identifica la unidad, ver figura 4.4.2; sin embargo, cuando se le interrogaba con preguntas
referentes a cuanto constaba 1 paquete de cromos la gran mayoría no lograba relacionar el término
“cada uno” con “1 paquete de cromos” porque manifestaban que en el enunciado decía era el valor
de cada uno y no uno solo, es decir que no hay una construcción significativa en los estudiantes
para reconocer en los enunciado de proporcionalidad directa simple que la unidad es la
correspondencia de 1 paquete con su valor.
Figura 4.4.2. Producción del estudiante E7B en la solución del problema T4
Para todos los casos en la solución de T4 (100% de los estudiantes) el único registro de llegada
fue el numérico siendo los algoritmos para su solución la suma reiterada (12,5%) y la
multiplicación (87,5%); lo anterior presupone nuevamente dos aspectos: uno, el registros numérico
es el más usado en su enseñanza (enseñanza monorregistro), igual que pasa en la resolución de
enunciados de problemas multiplicativos de comparación y; dos, el uso de la suma reiterada como
algoritmo para la solución del problema puede obedecer a que el estudiante aún: no identifica en
los problemas multiplicativos cuáles cantidades son el multiplicando y el multiplicador o ve la
multiplicación como una operación única que resuelve solo ciertos tipos de problemas (Maza,
1991).
El análisis de las soluciones de M4 que surge de la transformación que se le hace a T4 el éxito en
la resolución del problema fue del 75%. El descenso en el éxito al solucionar M4 puede estar en
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
87 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
que para T4 la organización de la unidades significantes las magnitudes estaban dadas por 𝐸 × 𝐼 =
𝐸 y para M4 por 𝐼 × 𝐸 = 𝐸, esto muestra que la organización de la redacción de M4 se aleja de la
organización propia a los discursos orales espontáneos. Es decir, que la variación de la
organización que se le haga a un enunciado de problema multiplicativo (ver figura 2.2.1 del
capítulo 2) como es el caso de la variación de la redacción concerniente al orden de presentación
de los elementos explicitados afecta de manera directa su comprensión.
Sin embargo, por un lado, todas la soluciones de M4 tuvieron el orden 𝐸 × 𝐼 = 𝐸 a pesar que la
organización del enunciado era 𝐼 × 𝐸 = 𝐸 (ver figura 4.4.3) y, por otro lado, entre el registro que
es presentado M4 y el registro numérico de solución no son congruentes porque no se da a
cabalidad cumplimiento a los tres criterios de congruencias propuestos por Duval (1999a, 1999b,
2016) dado que no se cumple con el mismo orden de organización de las unidades significantes
entre los registros de salida y de llegada.
Figura 4.4.3. Producción del estudiante E13C en la solución del problema M4
Del total de respuestas dadas a M4 el 100% utilizaron el registro numérico sin apoyo de un registro
auxiliar en cuyos algoritmos utilizados fueron la resta (12,5%), la suma (6,3%) y la multiplicación
(87,5%). Las operaciones de suma y resta no corresponden a reiteraciones o acumulaciones, por
ende no dan solución correcta al M4.
En la soluciones de A4 el 100% lo realizaron exitosamente, de éstos el 41,7% utilizan el registro
auxiliar bidimensional o generaron uno para realizar tratamientos como se observa en la figura
4.4.4. En todos los casos el uso del registro auxiliar los estudiantes le asignaron a cada subdivisión
de la barra más grande el valor de $250 o generaron barras de casi igual tamaño a la barra más
pequeña y le agregaron el valor de $250, es decir las unidades figurales de la figura original (barra
grande o pequeña) son reconfiguradas visualmente sin recurrir a una propiedad matemática con el
fin de dar explicaciones a la respuesta de $2.000 (Duval, 2016). Lo anterior manifiesta que un
Análisis de la información
88 Yerry Londoño Morales
porcentaje pequeño de los estudiantes consideran validos soluciones a A4 que no estén
exclusivamente en el registro numérico.
Figura 4.4.4. Producción del estudiante E37C en la solución del problema A4
Los registros de llegadas para la solución de A4 fueron numérico (75%) y numérico con apoyo del
registro auxiliar bidimensional (41,7%), los algoritmos utilizados en los registros numéricos fueron
multiplicación (75%), suma reiterada (16,7%) y suma reiterada parciales (8,3%). Esta última suma
se da solo cuando hay un registro auxiliar dado que según manifestaciones de los estudiantes el
otro parcial corresponde a la misma cantidad de subdivisiones sobrante que se ve en la figura, es
decir suman hasta $1.000 que corresponden a 4 paquetes de cromos, entonces 8 paquetes cuentasn
$2.000.
4.5. Categoría organizadora 5: Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa simple
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de
magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸.
Tabla 4.5.1
Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa simple con estructura sintáctica
𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐼 = 𝐸 T5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de
cromos compró?
M5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, si 1 paquete cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de cromos compró?
A5: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, cada uno de los cuales cuesta $250. ¿Cuántos paquetes de
cromos compró?
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
89 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
La resolución T5 tuvo un éxito en sus respuestas del 80%, esto implica que el grado de complejidad
para la comprensión de este tipo de problemas no es tan crucial dado que 4/5 de los estudiantes
logran resolver la situación plateada con éxito, no obstante para T5 su comprensión implica
mayores dificultades, por ejemplo más que las de T4 que también es de proporcionalidad directa
simple, no centradas por la no congruencia entre los registros de salida (lengua natural) y posible
de llegada, porque como se muestra en la figura 4.5.1 los registros no son congruentes puesto que
no hay correspondencia lexical pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de
organización de las unidades significantes porque al signo “/” del registro numérico no le
corresponde una unidad significante del registro de lengua natural en que está presentado el
problema a solucionar.
Figura 4.5.1. Ejemplo de no correspondencia lexical pero si univocidad semántica terminal y el mismo orden de
organización de las unidades significantes entre T5 y su solución numérica
Las dificultades están enmarcadas en los factores de variación que me determinan la organización
de redacción de un enunciado (ver figura 2.2.1 del capítulo 2), si analizamos las unidades
segmentadas U1: Juan compra $2.000 en paquetes de cromos, U2: cada uno de los cuales cuesta
$250, y U3: ¿Cuántos paquetes de cromos compró? tenemos que:
- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de las expresiones referenciales o
apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar, este factor me determina
información explícita e implícita del enunciado pues: Por una parte, se designa el objeto
(función referencial del discurso) que en U1 sería cierta cantidad (desconocida) de cromos, en
U2 sería la unidad y en U3 sería los paquetes de cromos. Y por otra parte, se dice algo sobre
el objeto que se designó (función apofántica del discurso) que sería en U1 que esos cromos
cuestan $2000, en U2 que 1 cromo cuesta $250 y en U3 cuántos son esos paquetes.
Análisis de la información
90 Yerry Londoño Morales
De acuerdo a lo anterior, como la organización de redacción del enunciado se aleja poco de la
organización propia del discurso oral espontáneo este factor no es mayormente incidente en
las dificultades respecto a la comprensión del enunciado.
- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de elementos que son explicitados
este factor solo es posible analizar en la operación de re-contextualización porque el elemento
escogido es un problema multiplicativo de proporcionalidad directa simple que se resuelve por
el algoritmo de división, suma reiterada o ecuación (𝑎 × 𝒄 = 𝑏). Este elemento que está
inmerso en el enunciado dista en gran medida del factor anterior porque las funciones
referencias y apofánticas no hacen explícitos muchos elementos del contenido cognitivo, por
ejemplo no hay marcas lingüísticas que refiera a un reparto.
- Con respecto al factor de variación concerniente al orden de presentación de los elementos
explicitados sus dificultades en la comprensión radican porque “este orden es evidentemente
un orden de tematización que se refleja en el orden de sucesión de las frases” (Duval, 1999b,
p. 273) y para T5 solo se comprende que es un reparto (división) hasta que se llega a su
pregunta, es decir las cantidades 2000 y 250 son presentadas pero se sabe que hay que hacer
un reparto solo hasta el final, lo cual difiere en el orden de 2000/250 = 8.
En la comprensión de T5 solo el 73,4% de los estudiantes identifican explícitamente cual es la
unidad, caso particular eran los estudiantes que lo resolvían por suma reiterada (26,7%), división
(6,7%) o por ecuación (40%) (Ver figuras 4.5.3a y 4.5.3b).
Figura 4.5.2a. Producción del estudiante
E2B en la solución del problema T5 por
suma reiterada.
Figura 4.5.2b. Producción del estudiante E12A en la
solución del problema T5 por ecuación
(multiplicación)
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
91 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Para todos los casos (100%) el único registro de llegada fue el numérico siendo los algoritmos para
su solución la suma reiterada (25%), multiplicación (66,7%) y división (6,3%).
Las soluciones hechas a M5 que surge de la transformación que se le hace a T5 el éxito en la
resolución del problema fue del 62,5%. El descenso en el éxito de la solución del enunciado está
determinado, a diferencia de lo que sucedió con de M4, no por la organización de la unidades
significantes porque la estructura las magnitudes para M5 si estaban dadas por 𝐸 × 𝐼 = 𝐸. Es decir
que al igual que T5 las dificultades no radican en la congruencia entre el registro de salida y de
llegada sino por la incidencia de los factores de variación que me determinan la organización de
redacción del enunciado, por ello se omite este análisis.
Del total de respuestas dadas a M5 el 100% utilizaron el registro numérico sin apoyo de un registro
auxiliar en cuyos algoritmos utilizados fueron la suma (43,8%), la multiplicación (31,3%) y la
división (18,8%).
Con respecto a la comprensión de los conceptos de uno y unidad todos los estudiantes que tuvieron
éxito evidenciaron que identifican explícitamente cual es la unidad como, por ejemplo, se muestra
las figuras 4.5.3a y 4.5.3b. De lo anterior se puede deducir que si en los enunciados de problema
de proporcionalidad directa simple en la marca lingüística se explícita la unidad esto influye para
que el estudiante la identifique y no le genere una distancia conceptual con el concepto de uno.
Figura 4.5.3a. Producción del estudiante E24C en
la solución del problema M5 por suma reiterada.
Figura 4.5.3b. Producción del estudiante E19C
en la solución del problema M5 por ecuación
(multiplicación)
Para A5 el 76,5% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, tambien el 56,3% utilizan el
registro auxiliar bidimensional o generaron uno para realizar tratamientos, similar como en A4
(figura 4.5.4). En todos los casos el uso del registro auxiliar, igual como sucedió con A4, los
estudiantes hacen tratamientos sobre las unidades figurales de la figura original (barra grande o
Análisis de la información
92 Yerry Londoño Morales
pequeña) al hacer reconfiguraciones visualmente sin recurrir a una propiedad matemática con el
fin de dar explicaciones a la respuesta de $2000.
Figura 4.5.4. Producción del estudiante E27D en la solución del problema A5.
Al igual que T5 y M5 las dificultades no radican en la congruencia entre el registro de salida y de
llegada sino por la incidencia de los factores de variación que me determinan la organización de
redacción del enunciado, por ello se omite este análisis.
Los registros de llegadas para la solución de A5 fueron numérico (52,9%) y el registro auxiliar
bidimensional (52,9%), los algoritmos utilizados en los registros numéricos fueron multiplicación
(41,2%), suma reiterada (17,6%) y división (11,8%).
4.6. Categoría organizadora 6: Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa simple
cuya solución está determinada por la estructura sintáctica 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 y estructura de
magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼.
Tabla 4.6.1
Enunciados de problema multiplicativos de proporcionalidad directa simple con estructura sintáctica
𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐼. T6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos?
M6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por 1 paquete de cromos?
A6: Juan compra 8 paquetes de cromos por $2.000 ¿Cuánto ha pagado por cada paquete de cromos?
La resolución de T6 tuvo un éxito en sus respuestas del 44,4% este porcentaje es muy bajo con
respecto a T4 y T5, esto implica que el grado de complejidad para la comprensión de T6 es mucho
mayor. Esta complejidad es por dos aspectos: la uno, por la no congruencia entre el registro de
salida y llegada, que sucedió también para T5, y la otra, por la incidencia que tienen los factores
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
93 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
de variación que me determinan la organización de redacción del enunciado, lo cual sucedió en
T6.
Con respecto a la congruencia de los enunciados: en la figura 4.6.1 se muestra que hay univocidad
semántica, pero no correspondencia lexical, ni igual orden de organización de las unidades
significantes entre ellas, dado que no se cumplen los tres criterios no hay congruencia entre el
registro de salida (T6) y el registro de llegada (numérico).
Figura 4.6.1. Ejemplo univocidad semántica terminal pero no hay correspondencia lexical ni igual orden de
organización de las unidades significantes entre T6 y su solución numérica.
Con respecto a los factores de variación que me determinan la organización de redacción del
enunciado: al analizar las unidades segmentadas U1: Juan compra 8 en paquetes de cromos, U2:
por $2000, y U3: ¿Cuántos ha pagado por cada paquete de cromos? tenemos que:
- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de las expresiones referenciales o
apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar, este factor me determina
información explícita e implícita del enunciado pues: Por una parte, se designa el objeto que
en U1 sería los paquetes de cromos, en U2 sería el precio de esos paquetes de cromos y en U3
sería un paquete de cromos. Y por otra parte, se dice algo sobre el objeto que se designó que
sería en U1 que son 8 paquetes, en U2 que esos 8 cuestan $2000 y en U3 el valor de un paquete
de cromos.
De acuerdo a lo anterior como la organización de redacción del enunciado no se aleja de la
organización propia del discurso oral espontáneos este factor no es mayormente incidente en
las dificultades respecto a la comprensión del enunciado, como sucedió en T5.
Análisis de la información
94 Yerry Londoño Morales
- Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de elementos que son explicitados
el elemento escogido es una relación multiplicativa de proporcionalidad directa simple que se
resuelve por el algoritmo de división, resta reiterada o ecuación (𝒂 × 8 = 2000). Este
elemento que está inmerso en el enunciado dista en gran medida del factor anterior debido que
las funciones referencias y apofánticas no hacen explícitos muchos elementos del contenido
cognitivo, por ejemplo no hay marcas lingüísticas que induzcan a un reparto.
- Con respecto al factor de variación concerniente al orden de presentación de los elementos
explicitados se genera dificultad porque el orden de tematización no se refleja en el orden de
sucesión de las frases. Para T6 solo se comprende que es un reparto (división) hasta que se
llega a su pregunta, es decir las cantidades 2000 y 8 son presentadas pero se sabe que hay que
hacer un división solo hasta llegar a final, lo cual difiere en el orden de 2000/8 = 250.
En la comprensión de T6 se evidenció que la mayoría logra identificar en la unidad un paquete
pero no les es posible determinar su correspondencia con un precio, puesto que este precio se
desconoce muchos estudiantes le atribuyen la otra cantidad expuesta en el enunciado, de ahí que
multiplique $2000 × 8 o sumen reiteradamente $2000, como se muestra en la figura 4.6.2.
Figura 4.6.2. Producción del estudiante E2C en la solución del problema T6 con suma reiterada.
Para todos los casos (100%) el único registro de llegada fue el numérico siendo los algoritmos para
su solución la suma (22,2%), multiplicación (33,3%) y división (44,4%). Entre la operación de la
multiplicación se encuentran tratamientos de los estudiantes los cuales lo resolvían por la ecuación
𝒂 × 8 = 2000 siendo 𝑎 obtenido por prueba y error (ver figura 4.6.3).
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
95 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 4.6.3. Producción del estudiante E13A en la solución del problema T6 con ecuacion.
El análisis de M6 presenta un comportamiento igual a T6, dado ello se omite el análisis de los
resultados obtenidos para M6, esto implica que se conservan las dificultades en la no congruencia,
los factores de variación y el no reconociendo de la unidad en la correspondencia de un paquete
con su respetivo valor, además en que el registro de mayor uso para resolver M6 es también el
numérico.
Para A6 el 62,5% de los estudiantes lo resolvieron exitosamente, el 6,3% utilizan el registro
auxiliar bidimensional. Esta poca utilización es debido a que para encontrar por medio de registro
bidimensional el valor de un paquete de cromos no se opera directamente sobre las unidades
figurales de registro bidimensional (barra grande o pequeña) sino que se opera sobre las cantidades
numéricas asociadas a estas unidades figúrales, es por lo anterior que fue casi nulo el uso del
registro auxiliar para la solución de A6, situación distinta con A4 y A5.
Sin embargo, que el éxito de A6 sea mayor que en T6 y M6 está ligado a que el registro auxiliar
bidimensional aporta elementos en la comprensión porque en lo que respecta al factor de variación
relativo a la escogencia de elementos que son explicitados en el registro bidimensional evoca
elementos del contenido cognitivo en el que se induce a que hay una relación multiplicativa de
proporcionalidad directa simple entre los objetos, los anterior se materializa porque para dar
respuesta a la pregunta, desde el registro bidimensional, es necesario repartir los $2000 de la
unidad figural que corresponde a la barra mayor en las 8 particiones de igual tamaño y forma que
tiene esta barra con la barra de menor tamaño que es la unidad figural que me determina 1 paquete.
En conclusión, el registro auxiliar figural en A6 potencia elementos para su comprensión.
Al igual que T6 y M6 las dificultades también radican por la no congruencia entre el registro de
salida y de llegada.
Análisis de la información
96 Yerry Londoño Morales
Los registros de llegadas para la solución de A6 fueron numérico (93,8%) y los algoritmos
utilizados fueron multiplicación (37,5%), suma reiterada (12,5%) y división (37,5%).
4.7. Caregoría organizadora 7: Problemas multiplicativos de combinación cuya solución está
determinada por la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐸 =
𝐸.
Tabla 4.7.1
Enunciados de problema multiplicativos de combinación con estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 y
estructura de magnitudes 𝐸 × 𝐸 = 𝐸 T7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar entre ellos?
M7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. Si una pareja se conforma por un chico y una chica ¿Cuántas parejas de chico y chica se pueden formar entre ellos?
A7: En un baile hay 3 chicos y 6 chicas. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar entre ellos?
Las resoluciones de T7, M7 y A7 tuvieron un éxito en sus respuestas del 26,7%, 6,3% y 6,3%, esto
implica que hay un alto grado de complejidad para la comprensión de este tipo de enunciados, esta
complejidad de acuerdo al análisis que se hace se determina por dos aspectos:
- La congruencia entre los registros de salida (T7, M7 y A7) y de llegada:
Si el registro de llegada es numérico (ver figura 4.7.1), que fue el de más usado por los
estudiantes, se tiene que no hay congruencia porque, aunque, hay univocidad semántica e igual
orden de organización de las unidades significantes, pero no hay correspondencia lexical
porque para el signo “×” no hay correspondencia con el registro de salida.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
97 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 4.7.1. Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de organización de las unidades
significantes pero no correspondencia lexical entre T7 y su solución numérica
Si el registro de llegada es icónico, el cual fue utilizado por el 13,3%, 18,8% y 62,5% en las
soluciones de T7, M7 y A7, estos son congruentes porque hay correspondencia semántica entre
las unidades significantes y su representación icónica; asimismo, hay univocidad semántica
terminal y el orden en que se consideran las unidades significantes es neutro (ver figura 4.7.2)
Figura 4.7.2. Ejemplo de univocidad semántica terminal, correspondencia lexical y orden neutral de
organización de las unidades significantes entre T7 y su solución icónica
No obstante, aunque el registro icónico hay congruencia con T7, M7 y A7 solo el 7% de los
estudiantes en T7 lo utilizó de manera correcta (ver figura 4.7.3), para M7 y A7 fue del 0%. Lo
mencionado deja en evidencia que este registro icónico no es del dominio de los estudiantes, lo
cual se debe porque este registro icónico (que no es un registro semiótico de representación) es
un registro plurifuncional, por tanto no se pueden establecer algoritmos sobre dicho registro
(Duval, 2016).
Figura 4.7.3. Producción del estudiante E5D en la solución del problema T7 con uso del registro icónico.
Es por anterior que, los estudiantes limitan el uso de los registros icónicos para establecer o
verificar las conexiones de cómo se forman las parejas que determinan las 18 parejas (ver
figura 4.7.4a y 4.7.4b).
Análisis de la información
98 Yerry Londoño Morales
Figura 4.7.4a. Producción delestudiante E6D en la solución
del problema T7 con uso del registro icónico.
Figura 4.7.4b. Producción del estudiante
E46C en la solución del problema A7 con uso
del registro icónico.
Ahora bien, no todos los estudiantes utilizaron representaciones semióticas para establecer
dichas conexiones, de hecho, el 53,3%, 68,8% y 62,5% de los estudiantes que resolvieron los
enunciados de T7, M7 y A7 usaron conexiones de las cuales la mayorías se daban en
representaciones mentales y sus producciones solo daba cuenta del resultado (ver figuras 4.7.5a
y 4.7.5b)1.
Figura 4.7.5a. Producción del estudiante
E17B en la solución del problema M7.
Figura 4.7.5b. Producción del estudiante E17A en la solución
del problema T7.
Estas conexiones que realizaron la mayoría de los estudiantes a partir de relacionar la bina
chico-chica o chica-chica para formar las parejas en las soluciones de T7, M7 y A7 deja ver
que los estudiantes:
1. Para comprender los enunciados necesitaron el uso de otra representación. Si es icónico,
esta presenta un parecido con colecciones de elementos materiales (Duval, 2016) haciendo
1 Para Duval (1999b, p. 35) las representaciones mentales “son todas aquellas que permiten una mirada del objeto en
ausencia total de significante perceptible. Generalmente son identificadas con las “imágenes mentales” en tanto que
entidades psicológicas que han tenido una relación con la percepción. Pero las representaciones mentales cubren un
dominio más amplio que el de las imágenes. Es necesario incorporar en ellas no sólo los conceptos, las nociones, las
“ideas”, sino también las creencias y las fantasías, es decir, todas las proyecciones más difusas y más globales que
reflejan los conocimientos, y los valores que un individuo comparte con su medio, con un grupo particular o con sus
propios deseos”.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
99 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
que la situación fuera familiar o conocida para el estudiante, o, si es mental, presenta la
percepción de la situación que se tiene (Duval, 1999b).
2. No comprenden los enunciados dado que no son cualquier tipo de conexiones las que se
realizan entre los chicos y las chicas para conformar las parjas, esta comprensión se lograría
si las conexiones, por ejemplo, en el registro icónico son obtenidas, como menciona Duval
(2016, p.69), por “la coordinación de acciones concretas sobre representaciones icónicas
con operaciones semióticas que relevan de sistemas sin relación con las representaciones
icónicas movilizadas”, estas operaciones semióticas se concretan cuando el estudiantes
realizar la suma reiterada (para un chico se forman 6 parejas con las 6 chicas, para dos
chico…) o el producto cartesiano, en otros términos hay una coordinación cognitiva entre
el registro icónico y la operación semiótica que existe en el registro numérico al realizar la
multiplica 6 × 3 = 18 o la suma reiterada 6 + 6 + 6 (ver figuras 4.7.3).
3. En su gran mayoría no llevan a cabo la actividad cognitiva de conversión, del registro de
lengua natural a registro icónico, dado que para que se lleve a cabo esta actividad es
necesario que los estudiantes establezcas enlaces como red matricial o diagrama de árbol
para formar parejas las 18 parejas (ver figura 4.7.6)
Diagrama de árbol Red matricial Figura 4.7.6. Enlaces correctos posibles en la representación icónica de T7, M7 y A7
- La incidencia de los factores de variación que determinan la organización de redacción del
enunciado:
Los factores de variación inciden también en la comprensión que se pueda realizar de T7, M7
y A7. Para T7 y A7 si analizamos las unidades segmentadas U1: En un baile hay 3 chicos, U2:
6 chicas, y U3: ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar entre ellos? tenemos que:
Análisis de la información
100 Yerry Londoño Morales
a. Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de las expresiones
referenciales o apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar, este
factor me determina información explícita e implícita del enunciado pues: Por una parte,
se designa el objeto que en U1 sería chicos, en U2 sería chicas y en U3 sería parejas. Y por
otra parte, se dice algo sobre el objeto que se designó que sería en U1 que hay 3, en U2
que hay 6 y en U3 cuántas se forman.
De acuerdo a lo anterior, la organización de redacción del enunciado se aleja de la
organización propia del discurso oral espontáneos en el rol que cumple la función
apofántica en la U3, puesto que lo que se dice de las parejas (cuántos se forman) desde el
trasfondo del enunciado T7 y A7 abre una brecha entre el significado y el contenido
pensado por el autor de los enunciados y entendido por el estudiante. Esta situación se
devela por las significaciones que los estudiantes hacen para poder dar solución a los
enunciados. Ejemplo:
El 46,7% y 43,8% de T7 y A7 consideran que se forman 3 parejas porque éstas solo pueden
estar formadas por sujetos de diferente sexo (chica-chico) y ninguna de los sujetos que
forma la pareja puede formar otra nueva pareja (hay una relación monógama), como se
muestra en la figura 4.7.4b. Para M7 este porcentaje se aumenta al 75% cuando se introduce
la unidad significante “Si una pareja se conforma por un chico y una chica”.
El 13,3% y 12,5% de T7 y A7 consideran que se forman 4 parejas porque éstas se puede
estar formadas por sujetos de igual o diferentes sexo (chica-chico o chica-chica) y ninguna
de los sujetos que forma la pareja puede formar otra nueva pareja (hay una relación
monógama), como se muestra en la figura 4.7.5b. Para M7 este porcentaje se reduce al
6,3% cuando se introduce la unidad significante “Si una pareja se conforma por un chico
y una chica”
b. Con respecto al factor de variación relativo a la escogencia de elementos que son
explicitados el elemento escogido es una relación multiplicativa de combinación. Este
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
101 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
elemento que está inmerso en el enunciado dista en gran medida del factor anterior debido
que las funciones referencias y apofánticas no hacen explícitos muchos elementos del
contenido cognitivo, por ejemplo las marca lingüística “parejas” refiere a que hay que hacer
una composición con dos sujetos (chico-chica o chica-chica, para M7 se limita solo a la
primera) más no refiere de manera explícita a que esas parejas son el conjunto constituido
por la totalidad de enlaces posibles que tienen un primer componente en los chicos y un
segundo componente en las chicas.
c. Con respecto al factor de variación concerniente al orden de presentación de los elementos
explicitados sus dificultades en la comprensión radican porque el orden de tematización en
que se da el contenido cognitivo del enunciado no se refleja en el orden de sucesión de las
frases de dicho enunciado porque, por ejemplo, para generar los 18 enlaces los
componentes deben actuar al mismo tiempo.
Finalmente, los registros de llegaba en que fueron solucionados T7, M7 y A7 estuvieron: La lengua
natural el 46,7%, 50% y 0%, para T7 y M7 el alto porcentaje se da porque sus respuestas
correspondían a dar cuenta de los enlaces realizados en sus representaciones mentales, por ello en
A7 no hacía uso de este registro de lengua natural porque en el registro auxiliar propuesto
realizaban los enlaces. El registro icónico sólo o acompañado de registro número 13,5%, 18,5% y
62,5%. Por último, el registro numérico 53,3%, 31,3% y 25%, este poco uso del registro numérico
dista de los problemas multiplicativos de comparación y de proporcionalidad directa simple porque
gran parte de los problemas multiplicativos de combinación son abordados en la escolaridad en
contextos del pensamiento aleatorio para hallar el espacio muestral, este abordaje se realiza casi
siempre acompañado de registros icónicos (diagrama de árbol), figural (red matricial), tabular
(tabla de espacio muestral), etc., o en contextos métrico-espaciales para hallar áreas y volúmenes
que se acompaña de registros figurales.
Adicionalmente a los registros de llegada en que los estudinates resolvían los enunciados T7, M7
y A7, se pudo idenficiar que el 12,5% y 18,5% de los estudiantes en la resolución del enunciado
M7 y A7 manifestaron no comprender el enunciado problema y, por ende, no saber qué hacer
porque para ellos la situación presentada en el enunciado no es posible solucionarla dado que
Análisis de la información
102 Yerry Londoño Morales
argumentaban que “el tema no se ha visto” o “el profe no nos ha enseñado la operación que hay
que hacer para esto”. Si bien todos los estudiantes ya se habían enfrentado a problemas
multiplicativo en su educación básica primaria el no comprender que en estos enunciados hay una
relación multiplicativa, y en particular de combinación, puede estar asociado a la poca o nula
capacidad semántica de significar literalmente el enunciado, es decir, el trasfondo del enunciado
se aleja de la comprensión del mundo que revela el enunciado.
4.8. Categoría organizadora 8: Problemas multiplicativos de combinación cuya solución está
determinada por la estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐸.
Tabla 4.8.1
Enunciados de problema multiplicativos de combinación con estructura sintáctica 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏 y
estructura de magnitudes 𝐸/𝐸 = 𝐸. T9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos hay en el baile?
M9: En un baile algunos chicos y 6 chicas. Si una pareja se confirma por un chico y una chica y si en total
se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos chicos hay en el baile?
A9: En un baile hay algunos chicos y 6 chicas. Se pueden formar 18 parejas distintas entre ellos. ¿Cuántos
chicos hay en el baile?
El éxito en las soluciones de T9 y M9 fue del 18,2% para cada uno y para A9 con un poco de
progreso con el 22,2%, esto implica, al igual que los otros problemas de combinación abordados
en el numeral anterior, que hay un alto grado de complejidad para la comprensión de este tipo de
enunciados, esta complejidad de acuerdo al análisis que se hace se determina por dos aspectos:
- La congruencia entre los registros de salida (T9, M9 y A9) y de llegada:
Si el registro de llegada es numérico (ver figura 4.8.1), que fue el de más usado por los
estudiantes, se tiene que no hay congruencia porque aunque hay univocidad semántica terminal
no hay correspondencia lexical (flecha punteada y el signo /) y no hay igual orden de
organización de las unidades significantes.
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
103 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Figura 4.8.1. Ejemplo de univocidad semántica terminal, igual orden de organización de las unidades
significantes pero no correspondencia lexical entre T9 y su solución numérica
Si el registro de llegada es icónico, el cual fue utilizado por el 28,6%, 26,7% y 7,7% en la
solución de T9, M9 y A9, estos no son congruentes porque no se cumple ninguno de los tres
criterios de congruencia, de hecho para A9 el registro auxiliar icónico que se propuso solo
aporta el componente de los chicas y deja por fuera el conjunto constituido por la totalidad de
enlaces posibles y el componente de los chicos, esta es una de las causas por la cual el registro
icónico propuesto en A9 no fue utilizado y los estudiantes realizaron uno propio (ver figura
4.8.2)
Figura 4.8.2. Producción del estudiante E35C en la solución del problema A9 con uso del registro icónico.
Aunque en T9, M9 y A9 se establecía que habían 18 parejas, es decir 18 conexiones que para los
estudiante no eran esa cantidad o los enlaces no se determinaban por un producto cartesiano sino
por otro tipo de relaciones, estas dos interpretaciones de los estudiantes deja ver que hay una brecha
entre el significado y el contenido pensado por el autor de los enunciados y entendido por el
estudiante, es decir que el trasnfondo que puede surgir en el estudiante al leer el enunciado de
problema multiplicativo me puede indicir a dificultades en la comprensión de los enunciados a
resolver cuando las interpretaciones que surgen se alejan de los conocimientos que se movilizan
para la resolución del problema.
Análisis de la información
104 Yerry Londoño Morales
La cantidad de conexiones constituida por la totalidad de enlaces posibles por la combinación los
componentes de chicos y de chicas que los estudiantes establecian al resolver los problemas T9,
M9 y A9 estaba determinado por:
a. En T9 el 27,3% del total de estudiantes que desarrollaron la actividad respondieron que no
era posible que hubieran 18 parejas (ver figura 4.8.3), mientras que el 9,1% y 11,1% del
total de estudiantes que desarrollaron la actividad M9 y A9 respondieron de igual forma.
Entre las justificaciones estaban que hay muy pocas chicas o deberán haber mínimo nueve
chicas., pues 9 chicos más 9 chicas se forman las 18 parejas.
Figura 4.8.3. Producción del estudiante E1B en la solución del problema T9 en la cual responde no es
posible la existan de 18 parejas.
b. Si hay 18 parejas solo hay 12 chicos, respuesta dada por el 18,2% de los estudiantes de T9
y M9 y del 11,1% para A9, que corresponde al restar 18 parejas con las 6 chicas (18 − 6 =
12), ver figura 4.8.4. En esta respuesta, primero, las 6 chicas bailan con 6 de los 12 chicos
y, segundo, las mismas 6 chicas bailan con los otros 6 chicos faltantes. Este tipo de
respuesta evidencia que los estudiantes no comprenden que en los enunciados se moviliza
una relación multiplicativa de combinación en la que se debe encontrar una de las
cantidades elementales que se componen (3 chicos), conociendo la otra (6 chicas) y la
cantidad compuesta (18 parejas) a partir de la conjugación de formar parejas en la que un
chico puede formar pareja con las seis chicas o viceversa.
Figura 4.8.4. Producción del estudiante E8A en la solución de T9 en la que se responde 12 chicos
c. Si hay 6 chicas solo pueden haber 6 chicos para formar parejas, respuesta que tuvo igual
resultados que la respuesta fuera 12 chicos, estas soluciones corresponden a formar parejas
(chico-chica) a partir de las 6 chicas que se mencionan en los enunciados de problema. Al
igual que en el literal b), mencionado anteriormente, no comprenden la relación
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
105 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
multiplicativa de combinación en el enunciado de problema propuesto; no obstante, la
solución está basada al conformar un red de enlaces con la restricción que cada chica tiene
correspondencia uno-uno con un chico para formar parejas, la cual es univoca.
- La incidencia de los factores de variación que me determinan la organización de redacción
del enunciado (dado que las dificultades encontradas en la comprensión de T9, M9 y A9 son
similares en este aspecto a los de T7, M7 y A7 se omite este análisis).
Con respecto a los registros de llegaba en que fueron solucionados T9, M9 y A9 estuvieron: la
lengua natural el 36,4%, 18,2% y 22,2%, el registro icónico sólo o acompañado de registro
numérico 27,3%, 18,2% y 11,1% y, por último, el registro número que en T9, M9 y A9 fue de
9,1%, 45,5% y 22,2%.
Finalmente, el 36,4%, 18,2% y 22,2% de los estudiantes en la resolución del enunciado T9, M9 y
A9 manifestaron no comprender el enunciado problema y, por ende, no saber qué hacer porque
para ellos la situación presentada en el enunciado no es posible solucionarla.
En el siguiente capítulo se presentan las conclusiones y algunas sugerencias las cuales se sustentan
del análisis de la información, obtenida en la aplicación de los enunciados de los problemas
multiplicativos que se realizó en este capítulo, respecto a las dificultades que los estudiantes
encontraron en la comprensión de estos enunciados.
Conclusiones
106 Yerry Londoño Morales
5. Conclusiones
En este capítulo se presentan las conclusiones generales sobre las dificultades identificadas, desde
una perspectiva semiótica-cognitiva, en la comprensión de enunciados de problemas
multiplicativos. Estos enunciados de problemas, como se señaló en el capítulo 3, fueron aplicados
a los estudiantes de 6º grado de la Institución Educativa Distrital Colegio Entre Nubes de la ciudad
de Bogotá. Posterior a las conclusiones, se presenta algunas sugerencias que emergen del proceso
investigativo.
5.1. Dificultades encontradas en la comprensión de los enunciados de problemas
multiplicativos
Dado que en el capítulo anterior se analizó que las dificultades en la comprensión de los enunciados
de problemas multiplicativos se dan a partir de la interacción entre las variables del lector y del
texto del enunciado problema multiplicativo se encontró:
- Dificultades en la comprensión de los enunciados de problema multiplicativos relativas al
lector por la distancia entre el contenido cognitivo del texto y la base de conocimientos del
lector. Estas dificultades emergen cuando el enunciado a resolver no está realmente pensado y
dirigido a un lector en potencia que no cuenta con la base de conocimientos necesarios para la
comprensión del tema a abordar, teniendo en cuenta que los conocimientos necesarios
comprenden las estructuras cognitivas que implican cambios de registro, esto incluye: la
redacción del enunciado, la congruencia entre registro, la lógica pregunta y respuesta en el
enunciado, el trasfondo, entre otros. Ejemplo de ello se evidencia en los enunciados de
proporcionalidad directa simple que fueron los que tuvieron mayor éxito en su solución,
seguidos por los de comparación y finalizando con los de combinación. Dado que los
enunciados de proporcionalidad directa simple son abordados en Colombia desde los primeros
grados (de primero a tercero) según la propuesta de los estándares básicos de competencia
(MEN, 2006) mientras que los otros dos tipos de problemas multiplicativos su abordaje solo
es propuesto desde cuarto grado. Es decir, que entre mayor sea la base de conocimientos del
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
107 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
estudiante para afrontar los enunciados de problemas multiplicativos mayor es la posibilidad
que tiene el estudiante para superar las dificultades que se le presenten.
- Dificultades en la comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos relativas a la
incidencia de los factores de la variación de la redacción en la organización de redacción del
enunciado. Estas dificultades son de gran impacto en la comprensión de estos enunciados dado
que las variaciones de la redacción conciernen esencialmente a la manera como es explicitado
el contenido cognitivo de los enunciados de problemas multiplicativos (Duval, 1999b) en su
registro de salida. Estas dificultades están determinadas por los siguientes factores de
variacción de la redacción del enunciado:
a. La escogencia de elementos (objetos, relaciones, estados de hecho...) que son explicitados
y la escogencia de las expresiones referenciales para tematizar los elementos que se quiere
explicitar. En este factor se presentan dificultades cuando las expresiones referencias y
apofánticas del enunciado no hacen explícitos muchos de los elementos del contenido
cognitivo, como se dio en los problemas multiplicativos de proporcionalidad directa simple
y de combinación. Para el caso de los problemas de comparación las expresiones
referencias y apofánticas hacían siempre explica la relación de comparación, por ejemplo,
las marcas lingüistas “veces más/menos, veces más grandes/pequeño, dos veces, el triple,
la mitad, entre otras” me determinan explícitamente la comparación multiplicativa entre
dos cantidades.
b. El orden de presentación de los elementos explicitados. En este factor se presentan
dificultades dado que los enunciados de problemas multiplicativos movilizan una situación
extra-matemática la cual trascurre en un determinado tiempo en el que se puede distinguir
el antes, el ahora y el después, es decir que estas dificultades se dan cuando, efectivamente,
la secuencialidad temporal del enunciado no está en concordancia con el orden en que son
presentados los elementos explicitados del enunciado. Por ejemplo, esta dificultad se vio
reflejada particularmente en los problemas de proporcionalidad directa simple y de
combinación cuando el orden de tematización en que se da el contenido cognitivo de estos
enunciado no se reflejaba en el orden de sucesión de las frases de dicho enunciado.
Conclusiones
108 Yerry Londoño Morales
c. La escogencia de las expresiones referenciales o apofánticas para tematizar los elementos
que se quiere explicitar. En este factor se presentan dificultades cuando desde el trasfondo
que surge en el estudiante al leer el enunciado de problema multiplicativo se abre una
brecha entre el significado y el contenido pensado por el autor del enunciado y entendido
por el estudiante.
Por ejemplo, en lo enunciados de problemas multiplicativos de combinación cuando se
dice algo sobre el objeto que se designó (función apofántica), en este caso de la parejas a
conformar o conformadas -cuántos son-, los estudiantes significan el enunciado desde la
realidad de su contexto y no desde el contenido que moviliza el enunciado, es así que para
algunos estudiantes las parejas se conforman por relaciones de monogamia o por relaciones
de hetero u homogeneidad en lo sexos (chica-chico o chica-chica), más no por el conjunto
constituido por la totalidad de enlaces posibles que tienen un primer componente en los
chicos y un segundo componente en las chicas. En la comprensión de los enunciados de
problemas multiplicativos de comparación y proporcionalidad el directa simple el
trasfondo del lector hace que no se abra una brecha entre el significado y el contenido
pensado por el autor de los enunciados y entendido por el estudiante, dado que este
trasfondo contempla los conocimientos que se movilizan en el enunciado.
- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas al uso de
representaciones auxiliares que apoyan el registro de salida de lengua natural. Las
representaciones auxiliares generan una dificultad en la comprensión de los enunciados de
problemas multiplicativos toda vez que éstas no toman sentido y no son significativas en la
comprensión de estos enunciados, ya sea porque estas representaciones no han sido objeto
intencionado de enseñanza para los estudiantes. En otras palabras, no es suficiente con que se
le presente al estudiante varias representaciones juntas del mismo enunciado de problema
multiplicativo a resolver, más bien se requiere es que el estudiante pueda cambiar el registro
de representación (Duval, 1999a, 1999b, 2016).
Para el caso de las representaciones auxiliares no semióticas, Duval (2016) menciona que,
apoyan la comprensión cuando hay coordinación de acciones concretas sobres estas
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
109 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
representaciones con la representación semiótica. Ejemplo: cuando los estudiantes lograban
establecer las 18 parejas del enunciado A7, ya sea como: suma reiterada (para 1 chico se
forman 6 parejas con las 6 chicas, para 2 chicos se forman 12 parejas que las 6 chicas y para
los 3 chicos se forman 18 parejas con las 6 chicas), diagrama de árbol (como en la figura 4.7.6),
al hacer el conteo del conjunto constituido por la totalidad de enlaces posibles al relacionar dos
sujetos (ver figura 4.7.3).
En cambio, las representaciones auxiliares semióticas contribuyen a la comprensión toda vez
que el estudiante pueda intercambiarla por otra (Duval, 1999b, 2016), es decir comprende la
tarea conversión que existe entre el registro en legua natural del enunciado de problema
multiplicativo y la representación auxiliar. Por ejemplo, en los enunciados A1, A2 y A3 de
comparación que usó como registro auxiliar el figural unidimensional el cual brindó para
algunos estudiantes elementos para la comprensión de los enunciados en la medida que tenían
dominio sobre las trasformaciones que se hacen en este registro figural, o sea que en la medida
que para los estudiantes el registro auxiliar haya sido objeto de aprendizaje y no este como un
paratexto del enunciado a solucionar el registro auxiliar es potente para comprender dicho
enunciado.
- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativo a los
trasfondos. Los trasfondos que surgen en el estudiante al realizar la lectura de los enunciados
de problema multiplicativo inciden de manera directa en la comprensión de éstos toda vez que
le permite a los estudiantes hacer interpretaciones de los enunciados a si no cuenten con
algunos la base de conocimientos necesarios para resolver un enunciado de problema
multiplicativo, es decir, como menciona Pontón (2012, p. 434), “los estudiantes pueden buscar
significaciones (significación referencial y predicativa) sobre elementos presentados en los
enunciados de problemas desde el trasfondo cultural, pueden establecer significados desde su
experiencia con la situación extra-matemática”.
No obstante, cuando la comprensión de los enunciados de problema multiplicativos se hace
solo desde el trasfondo, esto conlleva a que la comprensión deje por fuera elementos que se
podrían establecer en la lógica de las preguntas y respuestas propia del campo conceptual de
Conclusiones
110 Yerry Londoño Morales
los enunciados de problemas multiplicativos (Pontón, 2012), es decir que el estudiante no
realiza una comprensión de la situación no matemática que moviliza el enunciado (relación de
comparación, de combinación o proporcionalidad directa simple) y sin esta comprensión no es
posible generar el modelo de tratamiento matemático parcialmente instanciado por valores
numéricos que involucra el enunciado.
Esta dificultad relativo a los trasfondos en la comprensión de los enunciados multiplicativos
se evidenció, por ejemplo, cuando el trasfondo del enunciado abría una brecha entre el
significado y el contenido pensado por el autor de los enunciados y entendido por el estudiante,
como sucedió en la solución de los enuciados T7, M7, A7, T9, M9 y A9.
- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas a la
estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 o 𝑐 ÷ 𝑎 = 𝑏. Estas estructuras como algoritmo para
resolver los enunciados que se genera en el registro de llegada afectan la comprensión de éstos
cuando en las unidades significantes del enunciado no hay correspondencia lexical con las
otras unidades significantes del registro numérico de llegada, o sea que no cumple con unos de
los criterios de congruencia entre el registro de salida (enunciado problema) y el registro de
llegada (tratamiento aritmético)
Por ejemplo, ninguno de los enunciados de problemas multiplicativos de comparación
proporcionalidad directa simple y de combinación guardan una correspondencia lexical entre
las unidades segmentadas de cada enunciado con su solución numérica, dado que los signos
“×” o “÷” de las estructuras sintácticas referentes a cada solución del enunciado no le
corresponde una unidad significante con el enunciado problema.
Finalmente, las dificultades en la comprensión de los enunciados de problemas multiplicativos
relativas a la estructura sintáctica tienen mayor impacto cuando a pesar de afectar el criterio de
congruencia “correspondencia lexical entre las unidades significantes propias a cada registro”
los registros involucrados (de salida y llegada) no cumplen con los otros dos criterios de
congruencia (univocidad semántica terminal e igual orden de organización de las unidades
significantes).
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
111 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas a las
marcas lingüísticas. Estas dificultades se dan cuando estas “pista o señales” se alejan del
contenido cognitivo de los enunciados, ya sea porque las interpretaciones a estas marcar
induzcan a otro tipo de contenido o no lo explicitan.
Por ejemplo, en los enunciados de comparación al significarle las marcas lingüísticas “más
que” y “menos que” los algoritmos de suma o resta de manera errónea manifiesta que los
estudiantes no comprenden en el enunciado una comparación multiplicativa sino una
comparación cualitativa que expresa solo una relación de orden (Castro, 1999). En los
enunciados de proporcionalidad directa simple las marcas lingüísticas no permiten entrever
que en la correspondencia que se da entre las cantidades de la relación cuaternaria se puede
dar un reparto o una iteración.
- Dificultades en la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos relativas a la
unidad. Estas dificultades se generan cuando esta unidad no es explícita o en el enunciado
corresponde a la cantidad a encontrar.
Por ejemplo, en los enunciados de comparación la unidad me determina una dificultad si en el
enunciado se pregunta por factor multiplicante, como sucede en lo enunciados T3, M3 y A3,
dado que la unidad en este sentido le hace falta un elemento de la correspondencia que es la
cantidad escalar con que se relaciona la otra cantidad. Para los enunciados de proporcionalidad
directa simple las dificultades que emergen de la unidad se dan cuando desde el enunciado hay
ausencia de uno de los elementos de la unidad, ya sea el uno, como concepto, o su
correspondencia con el valor asignado, en los enunciados T6, M6 y A6 se presentó esta
situación.
Conclusiones
112 Yerry Londoño Morales
5.2. Algunas sugerencias
- Desde la comprensión de enunciados de problemas multiplicativos como objeto de enseñanza
Los enunciados de problemas multiplicativos por estar en un registro de lengua natural exigen que
este registro sea objeto de aprendizaje en el aula porque los tratamientos dados al registro de lengua
natural no son los mismo al uso que se le da en la cotidianidad por fuera del aula (Duval, 1999a).
El análisis realizado en el capítulo anterior muestra que las operaciones de segmentación y re-
contextualización que se le hace a un enunciado de problema multiplicativo para su comprensión
implica que el estudiante superare los posibles obstáculos que se determinan por: la no congruencia
entre el registro de salida y de llegada, la incidencia de los factores de variación que me determinan
la organización de redacción del enunciado, la incidencia de las marcas lingüísticas que comporta
el enunciado y la comprensión del trasfondo del mismo enunciado.
- Desde las dificultades que encontraron los estudiantes al realizar el cambio de registro
En el análisis con relación a las dificultades en la comprensión de los enunciados de problemas
multiplicativos que los estudiantes encontraron se evidenció que, hay un supuesto por parte de los
estudiantes en torno a que ante todo enunciado de problema multiplicativo existen dos planos: uno,
el plano de un enunciado como tarea a realizar y, dos, el plano de un cálculo como solución a esa
tarea. Con respecto a esto es necesario que el docente tenga en cuenta que:
a. El paso de un plano a otro puede tornase fácil, difícil o imposible para el estudiante pues
todo depende si en la tarea de conversión hay congruencia o no entre a los registros
involucrados (de salida y de llegada). En otras palabras, una de las dificultades en la
resolución de problemas multiplicativos radica es en su comprensión (cambio de registro
para poder solucionarlo) y no en los cálculos realizados, lo anterior sin desmeritar la
importancia del uso adecuado de las reglas de conformidad propias de cada sistema de
signos en cada registro para realizar sus tratamientos y las dificultes que subyacen a los
tratamientos que se realizan en determinado registro (Rojas, 2014).
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
113 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
De acuerdo con lo anterior, es fundamental y recomendable que los docentes no trivialicen
las dificultades encontradas en la comprensión de los enunciados de problemas
multiplicativos a aspectos que depende solo del estudiante al no saber leer o conocer las
palabras del enunciado, es decir se le atribuye las dificultades a la base de conocimientos
que dispone el estudiante, a la incomprensión del vocabulario o su incompetencia para
hacer decodificación sintáctica del enunciado de problema matemático, etc. Por ejemplo,
estas suposiciones se dan cual al estudiante al manifestar no comprende un enunciado
problema se le hace afirmaciones como: vuelva y lea bien, busque en el diccionario las
palabras desconocidas, el problema se resuelve igual que el anterior, entre otras.
b. Los estudiantes después de leer el enunciado de problema multiplicativo en lengua natural
enfocan su resolución solo en el registro numérico (registro de llegada), lo anterior sugiere
a los docentes involucren de manera intencionada el uso de registros semióticos distintos
al numérico, así como también representaciones no semióticas, de modo que su uso para
resolver un problema matemático tome sentido y sea significativo para los estudiantes, de
tal manera que sí se genera una coordinación entre los registros involucrados, según Duval
(2016, p. 89), “la comprensión matemática comienza”. Dado que, solo hay comprensión
de los enunciados de problema multiplicativo cuando los estudiantes logran resolverlos de
manera que establezcan sinergias entre los registros involucrados para la solución de dichos
enunciados (Duval, 1999a, 2016).
- Desde el campo de enunciados de problemas multiplicativos
Se pudo identificar tres tipos de enunciados de problemas multiplicativos como se evidencia en el
capítulo 2; adicionalmente, se puedo establecer a partir del análisis de las exigencias matemáticas
y semítico-cognitivos de los enunciados de problemas multiplicativos seleccionados en el capítulo
3 que son ocho los enunciados representativos del campo de enunciados de problemas
multiplicativos, estos enunciados representativos se pudieron establecer a partir de la organización
estructural que comporta todo enunciado perteneciente a este campo, ver tabla 5.1.1.
Conclusiones
114 Yerry Londoño Morales
Tabla 5.1.1
Los ocho enunciados representativos del campo de enunciados de problemas multiplicativos
RELACIÓN
MULTIPLICATIVA
ORGANIZACIÓN ESTRUCTURAL
Estructura sintáctica Estructura de las
magnitudes
Enunciado Representativo 1 Comparación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬
Enunciado Representativo 2 Comparación 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬
Enunciado Representativo 3 Comparación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰
Enunciado Representativo 4 Proporcionalidad
directa simple 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑰 = 𝑬
Enunciado Representativo 5 Proporcionalidad
directa simple 𝒄 ÷ 𝒃 = 𝒂 𝑬/𝑰 = 𝑬
Enunciado Representativo 6 Proporcionalidad
directa simple 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑰
Enunciado Representativo 7 Combinación 𝒂 × 𝒃 = 𝒄 𝑬 × 𝑬 = 𝑬
Enunciado Representativo 8 Combinación 𝒄 ÷ 𝒂 = 𝒃 𝑬/𝑬 = 𝑬
Es necesario tener presente que esta cantidad de enunciados representativos corresponde a
enunciados cuyas cantidades son números enteros, es por ello que, por ejemplo, su análisis con
números racionales en expresiones fraccionarias implicaría tener presente otros aspectos propios
de este registro como sus interpretaciones semánticas de parte-todo, razón, cocientes, operador y
medidas (Kieren, 1980), sus marcar lingüística que indican parte de, relaciones de orden, la
fracción, etc. (Pontón, 2012), los trasfondos propios que puedan movilizar estas expresiones, las
características propias que enmarcan las transformaciones en los registros que se involucran para
este tipo de expresiones, entre otros aspectos.
De acuerdo con lo anterior, se recomienda a los docentes tener en cuenta que, si bien, existe un
solo campo de enunciados de problemas multiplicativos, como lo estipula Duval (1999a), es
necesario tener en cuenta otras variables que puede afectar su comprensión como: los tipos de
números involucrados; si los enunciados son de una o más etapas, es decir si invocaran una o varias
operaciones; las marcas lingüísticas involucradas, entre otras.
- Desde las exigencias matemáticas y cognitivas que deben considerarse en el diseño de
enunciados de problema multiplicativos
Dado que las dificultades que surgen de la tarea de conversión no es objeto de reflexión por parte
del docente a la hora de escoger un enunciado de problema como actividad a desarrollar, puesto
que los docentes se centran solo en corregir lo concerniente a errores en los cálculos, más no se
Comprensión de enunciados de problemas multiplicativos: algunas dificultades semiótico-cognitivas
115 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas
atienden las dificultades relativas a la comprensión del enunciado de problema, se recomienda a
los docentes hacer uso de la caja de herramientas semiótico-cognitivas y lingüísticas cosntruida
por Pontón (2012), dado que ésta permite:
En primera instancia, poder seleccionar los enunciados de problemas multiplicativos que se deseen
abordar, según los criterios como: registros, números, organización de la redacción, marcas
lingüísticas, entre otras, que se deseen involucrar en los enunciados. En segunda instancia, realizar
un análisis matemático y semiótico-cognitivo de los enunciados que se movilizan con el fin de
poder modelar y operacionalizar lo que el estudiante posiblemente va a realizar cuando hace la
lectura del enunciado de problema, lo anterior con el fin de prever las posibles dificultades que el
estudiante puede encontrar en el proceso de comprensión de un enunciado de problema
multiplicativo.
Finalmente, de acuerdo con la identificación y descripciones de las dificultades encontradas, desde
una perspectiva semiótica-cognitiva, en el proceso de comprensión de enunciados de problemas
multiplicativos se invita a los docentes de matemáticas a seguir considerando el problema de la
comprensión de enunciados matemáticos y a dimensionar todo lo que implica, lo anterior con el
fin de potenciar mejores aprendizajes en los estudiantes en dónde al compresión de los objetos
matemáticos ocupe un logar privilegiado.
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