Comprobación de La Solución de La Ecuación Diferencial de Onda Lineal-untels-fernandez Fernandez...
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UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR
ALUMNO: Fernández Fernández Leonel Alison.
CICLO: IV.
CURSO: FÍSICA 2.
TEMA: Movimiento ondulatorio.
DOCENTE: Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo.
COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA LINEAL.
a) La ecuación diferencial:
∂ y2
∂2x= 1v2. ∂ y
2
∂ t 2
b) Su solución:
y=f ( x−vt )= ym. sin(kx−wt+φ)
Empecemos con la primera y segunda derivada parcial de “y” con respecto a “x”:
∂ y∂ x
=k . ym .cos (kx−wt+φ )
∂ y2
∂2 x=−k2 . ym . sen (kx−wt+φ)
Procedemos con la primera y segunda derivada parcial de “y” con respecto a “t”:
1
2
∂ y∂ t
=−w . ym .cos (kx−wt+φ)
∂ y2
∂ t2=−w2 . ym. sen(kx−wt+φ)
Por último reemplazamos 2 y 3 en 1:
−k 2 . ym . sen (kx−wt+φ )=−1v2.w2 . ym. sen (kx−wt+φ )
Notamos que en ambos lados de la igualdad, se repiten los factores:
− ym . sen (kx−wt+φ )
Así que podemos simplificarlos:
k 2= 1v2.w2
De esa igualdad fácilmente obtenemos:
v=wk
3
UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR
ALUMNO: Fernández Fernández Leonel Alison.
CICLO: IV.
CURSO: FÍSICA 2.
TEMA: Movimiento oscilatorio forzado.
DOCENTE: Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo.
DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE AMPLITUD Y DESFASAJE, MEDIANTE LA COMPROBACION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL
MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO.
Vamos a suponer que nuestra fuerza externa tiene
la siguiente forma:
F ext ( t )=F ext .cos (wt)
Como se vio en el movimiento oscilatorio
amortiguado, la fuerza que actúa en oposición al
movimiento tiene la forma:
F=−b . v
Consideraremos un resorte de constante de elasticidad k, entonces la fuerza
recuperadora de este resorte tiene la forma:
F=−k . x
Aplicamos la segunda ley de Newton:
F ext .cos (wt )−b . v−k . x=m.a
m .a+b . v+k . x=Fext .cos (wt )
m . d2 xd t 2
+b . dxdt
+k . x=Fext
.cos (wt )
d2 xd t 2
+ bm. dxdt
+ km.x=F
ext
. cos(wt )m
Del movimiento oscilatorio sabemos que:
β= b2m
Del movimiento armónico simple se sabe que:
wo=¿√ km ¿
Reemplazando:
d2xd t 2
+2β . dxdt
+wo2 . x=F
ext
.cos (w f t )m
La solución de esa ecuación diferencial es:
x=A . sin (w f t−φ)
Hallamos la primera y segunda derivada:
dxdt
=A .wf .cos (wf t−φ )
d2 xd t 2
=−A .w f2 .sin (wf t−φ )
Reemplazamos en 1:
−A .w f2 .sin (wf t−φ )+2 β . A .w f .cos (w f t−φ )+wo
2 . A . sin (wf t−φ )=Fext .cos (wf t )m
1
Desarrollamos senos y cosenos:
−A .w f2 .¿
Agrupamos a conveniencia:
[−A .w f2+wo2 . A ]¿
[(−A .w f2+wo2 . A )cos (φ )+2 β . A .wf . sin (φ)]sin (w f t )+¿[ (A .w f2−wo2 . A )sin (φ )+2 β . A .w f .cos(φ)]cos (w f t )=¿ Fext .cos (w f t )m
¿¿
Ahora igualamos los coeficientes:
[(−A .w f2+wo2. A )cos (φ )+2 β . A .wf . sin (φ)]sin (w f t )=0
[(A .wf 2−wo2 . A )sin (φ )+2β . A .wf .cos (φ)]cos (wf t )=¿ F ext .cos (wf t )m
¿
Desarrollando 2 obtenemos:
tan φ=(wf
2−wo2)
2 β .w f
Desarrollando 3 obtenemos:
A=F extm .¿¿
De la ecuación 4:
2
3
5
4
√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2β .w f )
2 ¿¿
w f2−wo
2
Del triángulo:
sin (φ )=wf
2−wo2
√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2 β .w f )
2¿¿
cos (φ )=2 β .wf
√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2β .wf )
2 ¿¿
Reemplazamos en 5, y desarrollando obtenemos el resultado:
A=F ext
m .√(w¿¿ f ¿¿2−wo2)2+(2 β .w f )
2¿¿
2 β .w f
φ