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Con las siguientes actividades aprenderás el concepto o proceso que queremos que
domine satisfactoriamente.
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 1 Problemas de aplicación para iniciar la unidad.
Aprendizajes Con estos problemas los adquirirás, el concepto de razón de
cambio entre dos variables.
Desarrollo de la actividad
Actividad
Objetivo(s) de la actividad:
Al término de esta actividad habrás recordado el
concepto de razón de cambio.
Introducción:
La razón de cambio te permitirá ver la relación entre dos cantidades que están
cambiando. Si una cantidad depende de la otra, entonces la siguiente expresión es
verdadera.
Razón de cambio = ������ �� �� �������� �����������
������ �� �� �������� �������������
Cuando se hace alusión a la gráfica de una recta a esta razón de cambio se le
denomina pendiente de la recta y esta relación ya vista anteriormente se le conoció
como la constante de proporcionalidad.
Actividades prácticas para el aprendizaje.
Actividad 1
Explorarás razones de cambio.
La siguiente gráfica muestra segmentos de recta en el plano cartesiano.
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Contesta las siguientes preguntas
a) ¿Cuál es el cambio vertical de A a B, de B a C, de C a D y de D a E?
b) ¿Cuál es el cambio horizontal de A a B, de B a C, de C a D y de D a E?
c) Halla la razón de cambio vertical a cambio horizontal para cada segmento de
recta.
d) ¿Qué sección es la más inclinada?
Actividad 2.
Esta actividad es con el firme propósito de que practiques lo aprendido y verifiques
si tu aprendizaje ha sido significativo.
Según los datos en la siguiente tabla.
Costo de alquiler de una computadora.
Número
de días.
Costo.
1 $600
2 $750
117
3 $900
4 $1050
5 $1200
a) ¿Es igual la razón de cambio para cada par de días consecutivos?
b) ¿Qué representa la razón de cambio?
c) Halla la razón de cambio usando los días 5 y 2.
d) ¿Crees que hallar la razón de cambio sólo para un par de días significa que la
razón de cambio es igual para todos los datos? Explica.
Problemas complementarios.
1) Halla la razón de cambio para cada situación.
a) Un bebe mide 18 pulgadas al nacer y 27 pulgadas a los 10 meses.
b) El costo de los boletos para grupos en un museo es de $480 para cuatro personas
y $780 para 10 personas.
c) Conduces 48 kilómetros en una hora y 152 kilómetros en cuatro horas.
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 2 Problemas de aplicación para iniciar la unidad.
Aprendizajes Con estos problemas adquirirás, los siguientes conceptos:
función lineal, pendiente de una recta y ordenada al origen.
Desarrollo de la actividad
Actividad
Objetivo (s) de la
actividad:
Al término de esta actividad serás capaz de modelar una
función lineal que te lleve a la solución de una situación
problemática.
Introducción:
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En el siguiente actividad tu meta será aprender los conceptos de función lineal así
como los significados de los parámetros que intervienen en ellos como: el parámetro
m (rapidez de variación constante) y el parámetro b (condición inicial), ya el
significado de m fue expuesto anteriormente solo que se le dio el nombre de razón
de cambio, de aquí en adelante siempre te referirás a este concepto como pendiente
de la recta la cual se define como sigue:
m = razón de cambio = ������ �� �� �������� �����������
������ �� �� �������� �������������.
Esto lo podrás expresar en forma simbólica como:
� =�� − ��
�� − ��
Actividades prácticas para el aprendizaje.
Actividad 2
Modelarás funciones lineales que resuelven una situación problemática.
Con las siguientes estrategias de aprenderás el concepto de función lineal.
1) Un tanque de gas con capacidad de 500 litros tiene un 10% de su capacidad y
se ha encomendado a una pipa repartidora que lo llene hasta un 80%. Cada minuto
se le proporciona 50 litros a dicho recipiente.
a) ¿Qué cantidad de litros tenía el tanque antes de llegar la pipa?
b) Elabore una tabla para indicar el nivel del tanque para cada minuto de llenado.
c) ¿En qué tiempo llenará la pipa el tanque?
d) Encuentre un modelo algebraico que satisfaga las condiciones impuestas en el
problema.
e) Represente gráficamente el modelo algebraico en el plano cartesiano.
f) ¿Cuál es el rango de valores para las dos variables involucradas en el problema?
g) Repita el problema para tanques con capacidad de 300, 750, 1000 y 1500 litros
respectivamente.
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2) Un tanque tiene una capacidad de 500 litros, pero por razones de seguridad solo
está permitido que esté a una capacidad de 80%.
a) ¿Qué cantidad de litros tiene el tanque al 80% de su capacidad?
b) Elabore una tabla que relacione el tiempo y el consumo por día, sí el gasto diario
es de 20 litros.
c) ¿Qué tiempo deberá transcurrir para cargar el tanque nuevamente?
d) ¿Qué modelo algebraico satisface las condiciones del problema?
e) Elabore una gráfica que represente este modelo en el plano cartesiano.
f) La representación gráfica es una recta.
g) ¿Cuál es el intervalo de valores para las variables involucradas en el modelo?
h) Repita el problema para tanques de capacidad 200, 400, 600 y 1000 litros
respectivamente.
La siguiente actividad es de refuerzo para que el alumno practique el conocimiento
adquirido y se dé cuenta que lo aprendido ha sido significativo en su aprendizaje.
1) La señora Carmen va a abrir una cuenta de ahorros en Bancomer, la cantidad
inicial con la cuenta asciende a $50000 a la que le acumulará mensualmente
$10000. ¿Cuánto tendrá ahorrado al cabo de un año?
2) Dado que una batería estaba produciendo una corriente de 1.05 amperes a las
12 horas (mediodía) y que la corriente producida estaba decreciendo a la razón de
0.005 amperes/por hora, encuentre la corriente que estaría produciendo t horas
después de mediodía y en particular a media noche
3) El costo de adaptar un nuevo cable y clavija para una cortadora de setos es de
C pesos cuando la longitud del cable es de x metros, donde C = 45 + 27x.
a) Cuál podría ser el significado del término constante, 45?
b) Cuál podría ser el significado del coeficiente, 27?
c) ¿Cuál sería la pendiente de la gráfica de C contra x?
d) ¿Qué longitud del cable daría un costo $855?
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4) La ganancia hecha en una sola jornada de un tren es de P pesos cuando hay x
asientos vacíos, donde P = 25.5 – 0.4x.
a) ¿Cuál piensa usted que es el significado del término constante 25?
b) ¿Es la gráfica de P contra x una línea recta? Sí es así, ¿cuál es su pendiente? Si
no, ¿qué tipo de curva es?
c) ¿Cuál es el número mínimo de asientos vacíos que ocasionan que el tren tenga
pérdida en una sola jornada?
d) Sugiera un significado para el coeficiente, - 0 4.
5) El señor Vera midió la cantidad de petróleo que el depósito de su calefacción
central 10 días después de que fue llenado y encontró que era 1420 litros. Después
de otros 30 días la midió de nuevo y encontró que la cantidad de petróleo era de
880 litros.
a) Encuentre la relación entre el número de litros de petróleo en el depósito y el
número de días después de que fue llenado el depósito, suponiendo que el número
de litros disminuyó uniformemente conforme el número de días aumentó.
b) ¿Qué cantidad de petróleo contenía el depósito cuando acababa apenas de ser
llenado?
c) ¿Cuál es la cantidad promedio de petróleo utilizada cada día por el sistema de
calefacción central del señor Vera?
d) Sí el señor Vera ordena más petróleo cuando la cantidad en el depósito se redujo
a 700 litros, ¿qué tan seguido ordena petróleo para este depósito?
e) Él está considerando tener adaptado un nuevo calentador de agua que usará en
promedio, únicamente 15 litros de petróleo por día. ¿Qué tan seguido tendrá que
ordenar petróleo para el nuevo calentador?
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 3 Pasando del registro tabular al modelo algebraico.
Aprendizajes
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Con estos problemas adquirirás la habilidad siguiente, dada una
tabla de valores construirás el modelo algebraico que lo
representa.
Desarrollo de la actividad.
Actividad.
Objetivo (s) de la
actividad:
Al término de esta actividad serás capaz de modelar una
función lineal a partir de una tabla de valores dada.
Introducción
Lograrás aprendizaje si desarrollas satisfactoriamente uno o dos de los ejercicios
propuestos, para encontrar el parámetro m será necesario que trabajes con la
fórmula que calcula la rapidez de variación constante � =��� ��
��� �� y que para que
encuentres el parámetro b (condición inicial) tomarás otro punto de la tabla y lo
evaluarás en el modelo lineal � = �� + �
Actividades prácticas para el aprendizaje.
Actividad 3
Encontrarás la función lineal a partir de una tabla de valores dada.
Escribe una función lineal para cada relación dada.
1)
� − 2 − 1 0 1 2
� 20 17 14 11 8
2)
� 1 2 3 4 5
�(�) 5 10 15 20 25
122
3)
� 0 1 2 3 4
� 5 8 11 14 17
4)
� 1 2 3 4 5
�(�) 1 4 7 10 13
5)
� 2 4 5 7 10
� − 2 0 1 3 6
6)
� − 2 − 1 1 2 4
�(�) 13 12 10 9 7
7)
8)
� − 4 − 2 0 2 4
� 3 6 9 12 15
� − 1 − 3 − 5 − 7 − 9
123
� (�) − 11 − 3 5 13 21
9)
� 0 6 12 18 24
ℎ(�) − 2 0 2 4 6
10)
� − 4 − 2 4 6 8
�(�) 26 18 10 6 2
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 4 Encontrarás un modelo lineal a partir de una tabla incompleta, y
que tú completarás con el modelo encontrado.
Aprendizajes Con estos problemas aprenderás a obtener un modelo lineal, que
te sirva para completar una tabla dada.
Desarrollo de la actividad
Actividad
Objetivo (s) de la
actividad:
Al término de esta actividad serás capaz de modelar una
función lineal a partir de una tabla con algunos valores dados
y encontrarás los valores faltantes.
Introducción:
Para lograr este aprendizaje te sugerimos que desarrolles satisfactoriamente uno
de los ejercicios propuestos, haciendo hincapié en que para encontrar el
parámetro m es necesario que trabajes con la fórmula que calcula la rapidez de
variación constante � =��� ��
��� �� y que para que encuentres el parámetro b
(condición inicial) tomes otro punto de la tabla y lo evalúes en el modelo lineal � =
�� + �, para que completes los valores que no están determinados en la tabla.
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Actividades prácticas para el aprendizaje
Actividad 4
Copia y completa la tabla para cada ecuación.
a)
� 1 2 3 4 5
�(�) 12 24 36
b)
� − 4 − 2 0 2 4
�(�) − 2 − 1 2
c)
� -3 -1 1 2 4
ℎ(�) 18 17 − 17
d)
� − 2 0 2 4 6
�(�) 2 3 4
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 5 Graficarás una función lineal a partir de sus parámetros,
pendiente y ordenada al origen.
Aprendizajes
Con esta actividad aprenderás a graficar una función lineal
tomando en consideración como modifican a la gráfica la
variación de los parámetros m y b.
Desarrollo de la actividad
125
Actividad
Objetivo (s) de la
actividad:
Al terminar esta actividad el serás capaz de graficar una
función lineal a partir de como modifican a la gráfica los
parámetros m y b solamente, sin hacer uso de una tabla de
valores.
Introducción:
Para lograr el aprendizaje te sugerimos que en equipo discutas con tus
compañeros este contenido, para que de esta manera logres el objetivo que se
pretende que alcances.
Actividades prácticas para el aprendizaje
Actividad 5
Graficarás funciones lineales.
Forma: � = �(�)= �� + �
Como afectan o modifican a la gráfica la variación de los parámetros m y b.
Graficarás funciones fijando uno de los parámetros y variando el otro.
Caso 1) Grafica �(�)= �� + �, para � = � y � = �,�,� − �,� − �.
a) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= �
b) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= � + �
c) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= � + �
d) Para � = � � � = − � obtendrás: �(�)= � − �
e) Para � = � � � = − � obtendrás: �(�)= � − �
Tabula algunos valores de x con � ∈ � en una misma tabla. Después grafica todas
las funciones en el mismo plano cartesiano. Utiliza lápices de colores para cada
una de las gráficas.
Llena la siguiente tabla.
� �(�)= � �(�)= � + 1 �(�)= � + 2 �(�) = � − 1 �(�)= � − 2
126
− 2
− 1
0
1
2
-
Explica con tus propias palabras como se modifica la gráfica al variar el parámetro
b.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
____
Caso 2: Grafica �(�)= �� + � para � = � � � = �,�,�,− � � − �
a) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= �
b) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= � + �
127
c) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= �� + �
d) Para � = − � � � = � obtendrás: �(�)= − � + �
e) Para � = − � � � = � obtendrás: �(�)= − �� + �
Tabula algunos valores de x con � ∈ � en una misma tabla. Después grafica todas
las funciones en el mismo plano cartesiano. Utiliza lápices de colores para cada
una de las gráficas.
Llena la siguiente tabla.
� �(�)= 1 �(�)= � + 1 �(�)= 2� + 1 �(�)= − � + 1 �(�)= − 2�1
− 2
− 1
0
1
2
-
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Explica con tus propias palabras como se modifica la gráfica al variar el parámetro
�.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
____
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 6 Dada el modelo que representa una función lineal. Elaborarás
una tabla de parejas ordenadas (�,�). Después trasladarás estas
parejas ordenadas a un plano cartesiano para hacer su
representación gráfica.
Aprendizajes
Con esta actividad se espera que aprendas a graficar una función
lineal dado su modelo algebraico.
Desarrollo de la actividad
Actividad
Objetivo (s) de la
actividad:
Al término de esta actividad serás capaz de graficar una
función lineal a partir del modelo algebraico que la
representa.
Introducción:
Para que logres este aprendizaje te sugiero, que discutas este contenido con tus
compañeros de equipo para que de esta manera logres el objetivo a alcanzar,
toma como ejemplo uno de los ejercicios y los restantes hazlos como tarea, para
que de esta manera corrobores si este aprendizaje te fue significativo.
Actividades prácticas para el aprendizaje
Actividad 6
129
Dadas las siguientes funciones, elabora su gráfica en el plano cartesiano.
a) � = �(�)= − �� + � b) � = �(�)=�
�� − �
c) � = �(�)= �� − � d) � = �(�)= −�
�� + �
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 7 Dada una gráfica en el plano cartesiano, encontrarás el modelo
funcional que la representa.
Aprendizajes
Con esta actividad se espera que aprendas a encontrar un
modelo algebraico dado una gráfica en el plano cartesiano.
Desarrollo de la actividad
Actividad
Objetivo (s) de la
actividad:
Al término de esta actividad serás capaz de encontrar una
función lineal a partir de una representación gráfica en el
plano cartesiano.
Introducción:
Para que logres este aprendizaje te sugiero que trabajes con tu equipo para
discutir este contenido, para que de esta manera logres el objetivo a alcanzar,
toma como ejemplo uno de los ejercicios y los demás hazlos de tarea para que
de esta manera corrobores si este aprendizaje te fue significativo.
Actividades prácticas para el aprendizaje
130
Actividad 7
Dadas las siguientes gráficas escribe la función lineal que representa
a) b)
c) d)
e) f)
131
Tema 2 Función lineal
Sub-tema 8 Problemas de aplicación.
Aprendizajes
Con esta serie de problemas se espera que adquieras la
habilidad para resolver situaciones reales donde interviene para
darles respuesta, una función lineal de la forma �(�)= �� + �,
se pretende también que, esto lo lleves a cabo aplicando el
modelo de George Polya para resolver problemas.
Desarrollo de la actividad
Actividad.
Para trabajar esta actividad te recomiendo que trabajes en equipo con tus
compañeros para resolver algunos problemas para que logres una mayor
comprensión de los mismos y adquieras un conocimiento más significativo y de
esta manera puedas resolver las demás situaciones problemáticas que se te
encomendarán como tarea extra clase.
Objetivo (s) de la
actividad:
Al término de esta actividad será capaz de resolver
problemas de aplicación en diferentes contextos,
aplicando las heurísticas de Polya.
Introducción:
132
Para resolver problemas aplicando el modelo de George Polya deberás
considerar las siguientes etapas para su consecución.
1) Comprenderás el problema.
2) Concebirás un plan.
a) Determinarás la relación entre los datos y la incógnita.
b) De no encontrar una relación inmediata, puedes considerar problemas
auxiliares.
c) Obtendrás finalmente un plan de solución.
3) Ejecutará del plan.
4) Examinarás la solución obtenida.
Actividades prácticas para el aprendizaje
Actividad 9
Modelación matemática: Emplearás de funciones lineales.
Objetivo: Encontrarás una función lineal y la utilizarás para hacer predicciones.
Te sugiero repasar la solución del siguiente ejemplo, para que comprendas su
método de solución, para que después tu solito resuelvas otros que se te
plantearán.
Ejemplo.
Se sabe que los grillos chirrían con mayor frecuencia a mayores temperaturas y
con menor frecuencia a menores temperaturas. Por consiguiente, el número de
chirridos es una función de la temperatura.
Los siguientes datos se reunieron y fueron registrados en una tabla.
Temperatura °C 6 8 10 15 20
Número de chirridos
por minuto.
11 29 47 75 108
¿Podrás predecir el número de chirridos por minuto para una temperatura de
18°C? Si un modelo lineal se ajusta razonablemente bien a los datos, podrás
133
utilizar una función lineal como un modelo matemático de la situación. En tal caso,
puedes usar el modelo (la función lineal) para hacer predicciones.
Utiliza los datos reunidos en la tabla anterior para predecir el número de chirridos
por minuto cuando la temperatura es de 18°C. Aplica las heurísticas para resolver
problemas.
Entiendes el plan.
Pregunta: ¿Podrás ajustar una función lineal a los datos? De ser así, ¿Cuál será
el número de chirridos por minuto correspondiente a una temperatura de 18°?
Datos: Los grillos chirrían 11 veces por minuto a 6°C, 29 veces por minuto a 8°C,
y así sucesivamente, tal como se indica en la tabla.
Desarrolla y lleva a cabo un plan.
En primer lugar, traza una gráfica de los datos para determinar si una función
lineal proporciona un buen ajuste. Haz una gráfica con un eje t (temperatura) y un
eje c (chirridos por minuto), y representa los datos. Podrás ver que se encuentran
aproximadamente sobre una recta. Por lo tanto, puedes utilizar una función lineal
para modelar la situación.
La recta la colocarás de forma que algunos puntos estén por encima y otros por
debajo de ella, de modo que cada punto se encentre cerca de la misma.
Podrás utilizar dos de los puntos dados que se encuentran cerca de la recta para
encontrar una función. Escoge los puntos (6,11) y (20, 109), pues la recta por ellos
es muy cercana a la recta que queremos ajustar sobre el dominio de datos.
Con los puntos dados puedes encontrar la razón promedio, como sigue:
� =�� − ��
�� − ��=
��� − ��
�� − �=
��
��= �
Luego, tu modelo será:
� = �� + �
Por lo que, si tomas el punto (6,11) y lo sustituyes en el modelo anterior, como
sigue:
�� = �(�)+ �
�� = �� + � ∴ � = �� − �� = ��
Por lo tanto, tu modelo lineal es:
� = �� − ��
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Utilizando el modelo anterior encontrarás que cuando t = 18, c = 7(18) – 31 = 95.
Comprueba si tu resultado satisface las condiciones del problema.
De esta manera, cuando la temperatura es de 18°C, los grillos chirrían unas 95
veces por minuto.
Tu respuesta es razonable pues 95 se encuentra entre 47 y 109, y es más cercano
a este último número.
Actividades de refuerzo.
Te propongo los siguientes problemas de aplicación para que compruebes si el
aprendizaje que adquiriste te fue significativo. Si no ocurre lo anterior te sugiero
consúltame para que te aclare las dudas que tengas o te repita nuevamente los
procesos que no asimilaste, esto lo palearemos fuera de horario de calse.
1) Se ha visto en el atletismo que ciertos records en las carreras han cambiado
con el tiempo de acuerdo con funciones lineales. En 1920 el record de los 100
metros planos era de 10.43 segundos.
En 1983 era de 9.93 segundos. Sea R el record en los 100 metros planos y t el
número de años transcurridos desde 1920.
a) Ajusta una función lineal a los datos.
b) Utiliza la función para predecir el record en el año 2000; en el año 2050.
c) ¿En qué año el record será de 9 segundos?
2) Un experimento químico generó las siguientes temperaturas para una solución
respecto al tiempo.
a) Si una función lineal se ajusta a los datos, determínala.
Tiempo ( minutos) 5 15 25 30 32
Temperatura ( °F ) 75 130 175 200 210
135
b) Predice la temperatura de la solución después de 8 minutos.
c) Predice el tiempo que tardará la temperatura en alcanzar los 60°F.
Directrices para que encuentres funciones lineales.
a) Representa gráficamente los datos.
b) Si los datos se encuentran aproximadamente sobre una recta, se puede utilizar
una función lineal.
c) Traza una recta de modo que aproximadamente la mitad de los puntos se
encuentren por encima de ella y la otra mitad por debajo.
d) encuentra las coordenadas de dos de los puntos dados que se encuentren
sobre o muy cerca de la recta.
e) Recurre a la ecuación de los datos para encontrar una función lineal.
3) El costo del transporte en taxi es de $30 por el primer �
�de milla. Por tres millas
el costo es de $86.
a) Ajusta una función lineal a los puntos dados.
b) utiliza una función lineal para encontrar el costo de un viaje de 7 millas.
c) ¿Qué distancia puede viajar una persona por $400?
4) Si rentas un automóvil por un día y Ingreso 100 kilómetros, el costo es de $600.
Si viajas 150 kilómetros, el costo es de $750.
a) Ajusta una función lineal a los datos dados.
b) Utiliza la función para calcular cuánto costará rentar el automóvil p0r un día
para realizar un viaje de 200 kilómetros.
5) Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año
específico. Éstos eran los impuestos municipales para cinco ingresos distintos.
Ingreso (en miles de dólares ) 8 15 25 40 75
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Impuestos ( en dólares) 24 70 180 300 560
a) Si una función lineal se ajusta a los datos, determínela.
b) Predice el impuesto que se debe pagar a un ingreso 55000 dólares.
c) Predice el ingreso correspondiente a un impuesto de 240 dólares.
6) Usa los datos de cada tabla y represéntalos en el plano cartesiano.
1)
x 1 2 3 4 5
y 2 -3 8 9 -25
a) Ajusta los datos a una función lineal.
b) Predice para que valor de x es y igual 15.
c) Predice para que valor de y es x igual a 8.
2)
x 1 2 3 4 5
y 21 15 12 9 7
a) Ajusta los datos a una función lineal.
b) Predice para que valor de x es y igual 15.
c) Predice para que valor de y es x igual a 10.
7) Grafica en el plano cartesiano los datos de la siguiente tabla.
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Longitud y masa de los huevos de ave.
a) Traza una recta de ajuste
b) Escribe su ecuación.
c) Usa la ecuación para predecirla masa de un huevo que tiene 8 centímetros de
largo.
8) Grafica en el plano cartesiano los datos de la siguiente tabla.
Calorías y grasa en comidas rápidas seleccionadas.
Grasa (gramos). 6 7 10 19 20 27 36
Calorías. 276 260 220 388 430 550 633
a) Traza una recta de ajuste
b) Escribe su ecuación.
Tipo de huevo. Longitud (cm). Masa (gramos).
Golondrina. 1.9 2.0
Vencejo. 2.5 3.6
Tórtola. 3.1 9.0
Perdiz. 3.6 14.0
Búho. 3.9 20.7
Golondrina. 4.0 19.0
Gallina pequeña. 5.3 42.5
Garza. 6.0 60.0
Gallina grande. 6.3 63.8
138
c) Calcula el número de calorías en comidas rápidas seleccionadas.
9) Estudios realizados por el célebre italiano Leonardo da Vinci, sobre las
proporciones humanas, indican que la estatura y la envergadura (distancia que
hay, con los brazos extendidos, entre las puntas de los dedos de ambas manos)
de una persona son prácticamente iguales.
Los registros a continuación contienen las estaturas y envergaduras (en pulgadas)
de un grupo de 28 personas.
Datos (estatura, envergadura):
(60,61), (65,65), (68,67), (72,73), (61,62), (63,63), 70,71),
(75,74), (71,72), (62,60), (65,65), (66,68), (62,62), (72,73),
(70,70), (69,68), (69,70), (60,61), (63,63), (64,64), (71,71),
(68,67), (69,70), (70,72), (65,65), (64,63), (71,70), (67,67).
Representa en un plano cartesiano los puntos que corresponden a estas
mediciones.
Observa detenidamente la forma de la nube de puntos que acabas de representar.
Según lo que has aprendido de las gráficas de funciones lineales.
a) Escribe un modelo lineal (función lineal) que se ajuste al conjunto de datos.
b) Predice la envergadura para una persona que tiene una estatura de 50
pulgadas.
c) Predice la estatura para una persona cuya envergadura es de 77 pulgadas.
10) a) Haz Una gráfica con los datos de la temperatura promedio del mes de julio
y la precipitación anual de las ciudades de la siguiente tabla.
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Ciudad Temperatura promedio
de julio (ºF).
Precipitación promedio
anual (pulgadas).
Nueva York 76.4 42.8
Baltimore 76.8 41.84
Atlanta 78.6 48.61
Jacksonville 81.3 52.76
Washington, D.C. 78.9 39.00
Boston 73.5 43.81
Miami 82.5 57.55
b) Halla una función lineal que se ajuste a los datos dados.
c) Calcula el promedio de precipitación para una ciudad con una temperatura
promedio de 75º F en julio.
11) Los estudiantes midieron los diámetros y circunferencias de las partes
superiores de diversos cilindros. A continuación aparecen los datos que reunieron.
Diámetro
(en centímetros)
3 3 5 6 8 8 9.5 10 10 12
Circunferencia
(en centímetros)
9.3 9.5 16 18.8 25 25.6 29.5 31.5 30.9 39.5
a) Representa gráficamente los datos.
b) Halla el modelo lineal que mejor se ajusta a los datos dados.
c) ¿Qué significa la pendiente de la función?
140
d) Halla el diámetro de un cilindro con una circunferencia de 45 centímetros.
e) Halla la circunferencia para un cilindro que tiene un diámetro 15 centímetros.
12) Compras una tarjeta telefónica de $240. Cada minuto cuesta $6.
a) Elabora una tabla para el valor de la tarjeta después de hablar por teléfono
durante 0, 10, 20, 30, 40 y 50 minutos.
b) Según la tabla, ¿Cuál es el valor de la tarjeta después de haber hablado durante
30 minutos?
c) Si quedan $180 en la tarjeta, ¿durante cuántos minutos se ha hablado?
d) Si quedan $40 en la tarjeta, ¿durante cuántos minutos se ha hablado?
e) ¿Cuál es la intersección en el eje x en la gráfica de los datos de la tabla?
f) ¿Qué significado tiene, si es que hay, intersección con el eje x?
g) ¿Cuál es la intersección con el eje y de la gráfica de los datos de la tabla?
h) ¿Qué significado tiene, si existe dicha intersección?
i) ¿Qué ecuación describe el valor de la tarjeta después de hablar por teléfono
durante x minutos?
Compara funciones lineales.
1) A un individuo que aspira a un puesto de ventas se le ofrecen dos planes
alternos de pago salarial.
Plan A: Un salario base de $12000 mensuales más una comisión del 4% de las
ventas totales durante el mes.
Plan B: Un salario base $14000 al mes más una comisión del 4% de las ventas
totales durante el mes.
a) Para cada plan, formula una función que exprese los ingresos mensuales como
una función del
total de ventas x.
b) ¿Para qué volumen de ventas es preferible el plan B?
c) ¿Para qué volumen de ventas es preferible el plan A?
141
d) ¿En algún momento los salarios para cada plan serán los mismos?
2) Un antropólogo puede utilizar funciones lineales para estimar la estatura de un
hombre o una mujer, dada la longitud de ciertos huesos. El húmero es el hueso
del brazo entre el hombro y el codo. La altura, en centímetros, de un hombre con
un húmero de longitud x está dada por M(x) = 2.89x + 70.64. La estatura, en
centímetros de una mujer con un húmero de longitud x dada por F(x)
= 2.75x + 71.48. En algunas ruinas, se han encontraron húmeros de longitud de
45 centímetros.
a) Suponiendo que el hueso pertenecía a un hombre, ¿Cuál era su estatura?
b) Suponiendo que el hueso pertenecía a una mujer, ¿cuál era su estatura?
c) ¿Para qué estatura serían iguales la longitud del húmero de una mujer y la
longitud del húmero de un hombre.
3) Supón que tiene que elegir entre las siguientes compañías para rentar un
automóvil. Puedes suponer que el costo de la gasolina será el mismo.
Compañía A: $600 por día y $2 por milla.
Compañía B: $280 por día y $3 por milla.
Determina a cuál compañía acudirías en cada situación. Justifica tu elección.
a) Necesitas rentar un automóvil durante 3 días para un viaje de 375 millas.
b) necesitas rentar un automóvil durante 3 días para un viaje de 1200 millas.
c) Necesitas rentar un automóvil durante 12 días para un viaje de 3000 millas.
d) ¿Cuál es la cantidad en millas por día para la que una compañía se convierte
en una mejor elección que la otra?
e) La compañía C cobra $500 por día más $4 por milla, pero las primeras 100
millas no se pagan.
¿Para cuáles situaciones en los incisos a), b) y c) sería más económica la
compañía C?
4) Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para
adultos y niños.
142
Dos fórmulas que permiten modificar las dosificaciones en adultos y niños son:
Regla de Couling: � =�
��(� + �)�
Regla de Friend: � =�
����
Donde a denota la dosis para adulto (�� ��) y t, la edad de los niños (�� �ñ��).
a) Si a=100, grafica las dos ecuaciones lineales en el mismo plano coordenado
para� ≤ � ≤ ��
b) ¿Para qué edad las dos ecuaciones especifican la misma dosis?
5) Un economista modela el mercado del trigo mediante las funciones lineales
siguientes:
Función de oferta: f(p) = 8.33p – 14.58
Función de demanda: f(p) = - 1.39p + 23.35
Aquí p es el precio por bushel (en dólares) f(p) la cantidad de busheles producidos
y vendidos (en millones).
a) ¿En qué punto el precio es tan bajo que no se produce trigo?
b) ¿En qué punto el precio es tan elevado que no se vende trigo?
c) Trace la gráfica de las rectas de oferta y demanda en el mismo plano cartesiano
y determine el punto de equilibrio. Estime el precio de equilibrio y las cantidades
producidas y vendidas en ese punto.
6) Los talleres aplicación están modificando los salarios de sus empleados. La
administración está considerando dos planes, ambos en base en un salario fijo
más una comisión en porcentaje por ventas al menudeo. El plan A $6000 de
salario más 6% de ventas, y el pan B $3000 de salario más 10% de ventas.
a) Escribe un modelo lineal para cada uno de los planes.
b) Traza cada una de las gráficas para cada modelo lineal en el mismo plano
cartesiano.
c) ¿Para qué nivel de ventas serán iguales los planes?
d) ¿Bajo qué condiciones preferiría un empleado el plan A?
e) ¿Qué tipo de empleado preferiría el plan B?
143
7) Martin sale de su casa a las 7 a.m. en su bicicleta y circula a 20 millas por hora.
Juan sale de la misma casa dos horas después en un auto y circula a 45 millas
por hora a lo largo de la ruta de Martin. Sea t la entrada del número de horas
después de las 7 a.m., y sea d la salida en millas, con d = vt.
a) Trazar una gráfica para cada persona, que muestre la distancia en millas que
recorre cada una entre las 7 a.m. y el mediodía.
b) ¿Cuál ecuación describe la distancia de Martin desde casa?
c) ¿Cuál ecuación describe la distancia de Juan desde casa?
d) ¿Cuál es la intersección de las dos gráficas?
e) ¿Qué significado tiene dicha intersección?
f) ¿Quién tiene la gráfica con mayor pendiente Martin o Juan? ¿Por qué?
g) ¿Por qué empieza la gráfica de Juan en (2, 0) y no en el origen?
Propuesta para evaluarte sobre el tema de funciones lineales.
Para evaluar los aprendizajes de la unidad te recomendamos resuelvas el
siguiente cuestionario.
Propuesta de examen para evaluar los conocimientos que adquiriste por en el
tema.
Nombre del alumno: ___________________________________ Grupo:
______
Número de cuenta: __________________ Calificación: ________
Instrucciones: Resuelva cada uno de los siguientes problemas.
1) Halla la tasa de cambio para situación.
144
a) Crecer de 1.4 metros a 1.6 metros en un año.
b) Recorrer 3 millas en 15 minutos y 7 millas en 55 minutos.
c) Leer 8 páginas en 9 minutos y 22 páginas en 30 minutos.
2) Representa gráficamente cada función sin tabular, solamente haciendo uso la
razón de cambio y de la condición inicial.
a) � =�
�� + � b) � = −
�
�� − �
3) Relaciona cada ecuación con su gráfica cada marca de la escala representa
una unidad.
1) 2)
4) Escribe una ecuación para la recta con la razón de cambio y la condición inicial
dada.
a) m = -7, b = -1/3 b) m = 8/3, b = 2/3
5) Una tienda de música está ofreciendo cupones de promoción para sus CD. El
precio normal de un CD es de $280. Con un cupón los clientes obtienen un
descuento de $80 del total de la compra.
145
a) Escriba el modelo lineal que resuelve el problema, donde c es la cantidad de
CD y t el costo total de la compra.
b) Representa gráficamente la ecuación.
c) Halla en costo total por la venta de 6 CD.
6) Grafica los datos de la siguiente tabla.
� 1 2 3 4 5
� 2 − 3 8 9 − 25
7) ¿Es mejor alquilar un helicóptero a un consto de $1625 por día, con un cargo
por distancia de $50 por kilómetro o a $2000 por día con una distancia permitida
ilimitada? Justifica tu respuesta.