4.7.1 Concavidad y puntos de Inflexión de una curva. Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.

fig. 4.12 Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: Definiciones: Sea f una función derivable en un punto c. i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c se cumple que:

{ 0)())(()()( ' >−−−=444 3444 21

tc yy

cfcxcfxfxZ

yc: y de la curva ; yt: y de la tangente

fig. 4.13 ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un

intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c se cumple que:

0)())(()()( ' <−−−= cfcxcfxfxZ iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de

I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo

abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos: (a, c) y (c, b).

Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa. El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

TEOREMA 1 (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD) Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: i. Si para todo x ι I, entonces, f es cóncava hacia arriba en I. 0)('' >xf ii. Si para todo x ι I, entonces, f es cóncava hacia abajo en I. 0)('' <xf Observación: En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que “hay inflexión” sin existir punto de inflexión. La gráfica de la fig. indica esta posibilidad. Allí se muestra inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

fig. 4.14

Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ’’(x) = 0 o f ’’(x) no existe, son “candidatos” viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que f ’’(c) = 0 y sin embargo, el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la fig. 4.15.

fig. 4.15 Como f (x) = x4, f ’(x) = 4x3, f ’’ (x) =12 x2

Para c = 0, se tiene: ; sin embargo el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, y no cambia la concavidad de la curva.

0)0(12)0('' 2 ==f

0)('' >xf