CONCEPCIONES EN TORNO AL INFINITO ACTUAL:...

CONCEPCIONES EN TORNO AL INFINITO ACTUAL:

Análisis Mediado Por El Software Cabri Geometre

JUAN CARLOS VEGA VEGA

Código: 9000075

Asesor:

VIANNEY ROCÍO DÍAZ PÉREZ

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y HUMANIDADES

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

Bogotá, Colombia

2014

CONCEPCIONES SOBRE EL INFINITO ACTUAL: ANÁLISIS MEDIADO POR CABRI GEOMETRE 2

Contenido

INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 8

1.PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ................................................................. 10

1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ............................................................ 11

2.JUSTIFICACIÓN .............................................................................................. 12

3. OBJETIVOS ..................................................................................................... 14

3.1. OBJETIVO GENERAL ..................................................................................... 14

3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS............................................................................ 14

4.MARCO TEÓRICO ........................................................................................... 15

4.1. REFERENTE HISTÓRICO.............................................................................. 16

4.1.1.ARISTÓTELES ........................................................................................................... 17

4.1.2. BERNHARD BOLZANO .......................................................................................... 19

4.1.3 GEORGE CANTOR .................................................................................................... 21

4.1.4 EL INFINITO ACTUAL ............................................................................................. 23

4.2. REFERENTE DIDÁCTICO ............................................................................. 23

4.2.1. OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS ..................................................................... 24

4.2.2. OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS ................................................................................. 25

4.2.3. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN ...................................................................... 26

4.2.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................................................ 28


4.3. REFERENTE TECNOLÓGICO ...................................................................... 31

4.3.1. ACERCA DE CABRI GEOMETRE ......................................................................... 31

4.3.2. IMPLEMENTACIÓN A NIVEL EDUCATIVO DE CABRI-GEOMETRE ............. 32

4.3.3. ESTUDIOS SOBRE EL INFINITO DESDE CABRI GEOMETRE COLOMBIA.... 34

4.4 SIMULACION Y MODELACIÓN ................................................................... 40

5. MARCO METODOLÓGICO ........................................................................... 43

5.1 METODOLOGÍA ............................................................................................... 43

5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS PARTICIPANTES ................................................ 44

5.2.1. LICEO HERMANO MIGUEL LA SALLE ............................................................... 44

5.2.2. INSTITUTO SAN BERNARDO DE LA SALLE ...................................................... 44

5.3. ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................... 44

5.4. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ............................................................ 58

5.5. VALIDEZ DEL ESTUDIO ............................................................................... 58

6. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ....................................... 58

6.1 LICEO HERMANO MIGUEL LA SALLE ...................................................... 59

6.2. INSTITUTO SAN BERNARDO DE LA SALLE ............................................ 71

6.3. COMPARACIÓN DE RESULTADOS ENTRE INSTITUCIONES ............. 80

6.4. ANÁLISIS HISTÓRICO DEL INFINITO SEGÚN RESULTADOS............ 87

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................... 91

8. ANEXOS ................................................................................................................. 97

9. REFERENCIAS ............................................................................................ 119


LISTA DE ILUSTRACIONES

Figura 1. Flujograma propuesta Software Cabri Geometre ............................................. 16

Figura 2. Ambiente de Cabri Geometre........................................................................... 32

Figura 3. Representación en Cabri de hexágonos regulares ............................................ 36

Figura 4. Representación del fractal “copo de nieve” en Cabr ........................................ 38

Figura 5. Regresión lineal de una situación en calculadora TI-92 .................................. 41

Figura 6. Fractal “carpeta de Sierpinski” en papel .......................................................... 46

Figura 7. Biyección entre el conjunto de números naturales e impares .......................... 63

Figura 8. Correspondencia entre la cantidad de puntos entre dos segmentos ........ 64

Figura 9. Obtención numérica de las dimensiones del papel ................................. 66

Figura 10. Respuesta dada a la situación problema 1, Institución 1. .................... 67

Figura 11. Respuesta dada a la situación problema 3, Institución 1. .................... 70

Figura 12. Respuesta dada a la situación problema 4, Institución 1. ............................. 71

Figura 13. Características de Cabri dadas por los docentes de Institución 2. ................. 74

Figura 14. Solución dada a la cantidad de puntos de los segmentos, Institución 2. ....... 75

Figura 15. Respuesta dada a la situación problema 4, Institución 2. .............................. 80


LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Tabulación de la serie armónica ....................................................................... 39

Tabla 2. Categorías de análisis para los instrumentos ..................................................... 54

Tabla 3. Cronograma de actividades ........................................................................... 57

Tabla 4. Cuadro comparativo entre instituciones educativas ................................... 87


LISTA DE ANEXOS

Anexo 1. Registro audiovisual de socialización sobre Cabri Geometre .......................... 98

Anexo 2. Registro audiovisual construcción de fractales con papel ............................... 99

Anexo 3. Construcción de la curva de Koch y el copo de nieve ................................... 100

Anexo 4. Registro audiovisual de construcción SP1 LHEMI ...................................... 101

Anexo 5. Registro visual de construcción SP3 LHEMI ................................................ 102

Anexo 6. Construcción del fractal triángulo de Sierpinski en Cabri Geometre ............ 103

Anexo 7. Registro audiovisual SP4 INSTITUTO SAN BERNARDO ......................... 104

Anexo 8. Artículo publicado en evento internacional I CEMACYC ............................ 105


El Aleph (fragmento)

"En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi in-

tolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión

producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres

centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del

espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del univer-

so. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telara-

ña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inme-

diatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi

en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una

casa en Frey Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos

ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la

violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer de pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda,

donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de

Plinio, la de Philemont Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página, vi la noche y el día con-

temporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi

dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo mul-

tiplicaban sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la

delicada osadura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi

en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el

suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que

hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el

Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí

vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los

hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo."

(Jorge Luis Borges)


INTRODUCCIÓN

El infinito es un concepto fundamental referenciado no solo en las matemáticas sino también

en el ámbito de las ciencias, las artes, las letras y la filosofía. A través de la historia de la hu-

manidad, muchos de los conocimientos matemáticos que se imparten en las aulas escolares se

han venido transformando, esto debido principalmente a los cambios sociales, económicos,

científicos y culturales del ser humano y, no siendo el único caso, el infinito hace parte de la

gama de objetos matemáticos que ha pasado de tener un carácter intuitivo a una noción axio-

mática, esto es, una caracterización formal de leyes que rigen este concepto y que varía su

significado según los diferentes contextos en los que sea utilizado.

Esta investigación mostrará las concepciones que tienen algunos de los docentes de ma-

temáticas sobre el infinito actual, concepto que, al ser de carácter polisémico, conlleva a cier-

tas contradicciones entre lo formal y lo intuitivo. Luego pues, partiendo del enunciado ante-

rior y haciendo referencia a algunas de las herramientas metodológicas de la enseñanza de las

matemáticas como la resolución de situaciones problema y la implementación del software

educativo Cabri Geometre en el aula, la presente investigación está organizada en siete capí-

tulos, en los tres primeros se exponen aspectos preliminares tales como el problema y la pre-

gunta de investigación, la justificación y la presentación de algunos otros relacionados con su

intencionalidad. En el cuarto capítulo, se hace una breve revisión histórica, didáctica y tecno-

lógica acerca de los conceptos fundamentales que se involucran en esta investigación.


En el quinto apartado se expone la metodología utilizada para la investigación, la carac-

terización de los participantes, las instituciones educativas a las que pertenecen, los instru-

mentos y categorías de análisis. El capítulo seis muestra los resultados obtenidos de la inves-

tigación teniendo como base la triangulación de la información y los aportes teóricos del ca-

pítulo cuatro. Adicionalmente, se incluirán anexos referentes a evidencias audiovisuales de la

aplicación de los instrumentos, registros gráficos de las respuestas obtenidas y a los productos

esperados dentro de la investigación. Finalmente, se expondrán los aciertos y dificultades

evidenciados durante el diseño, ejecución y análisis de la propuesta de investigación en forma

de conclusiones y recomendaciones.


1. Problema De investigación

El término infinito hace parte del lenguaje común en los seres humanos y juega un papel

importante dentro de la matemática actual, pues aunque no tiene un fundamento empírico

determinado, posee una estructura rigurosa que históricamente ha mostrado un desarrollo

axiomático, evolución que se ha dado a la par con diferentes conceptos y nociones

matemáticas desde la antigüedad hasta nuestros días.

En el contexto educativo, el concepto de infinito no aparece como una temática específica

en el currículo de matemáticas, ni se establece un grado en el cual se deba aprender dicho

término. En las aulas de clase, este objeto matemático es presentado intuitivamente, pues

según Fischbein (1987), lo intuitivo es “una forma de conocimiento primitiva, opuesta a

interpretaciones y concepciones científicas”, de igual modo afirma: “en la enseñanza, los

métodos intuitivos deben prevalecer a los métodos formales en unas determinadas edades,

pero las secuencias de actividades deben de estar de acuerdo con el desarrollo formal para no

inducir concepciones erróneas”. (p. 234).

Adicionalmente, Fischbein (1987) manifiesta que se debe tomar conciencia en el

proceso de la enseñanza de las matemáticas, pues se utilizan conceptos cuya validez ha sido

instaurada de forma lógica y de manera empírica, fenómeno que desemboca en que en

algunas ocasiones se acepten hechos que contradicen la forma natural de pensamiento. Es por

esta razón que dentro de las concepciones que tienen la gran mayoría de personas en torno a


este objeto matemático van encaminadas específicamente hacia algo que según sus creencias

no tiene fin o algo que sigue, sigue y nunca termina, pues es una noción que, según

Monaghan (2001), “aparece casi sin conflicto con la intuición y continúa operando

prácticamente sin evolucionar en las personas que no se dedican al estudio de las

matemáticas”. (p. 245).

Se observa que en los cursos de matemáticas desarrollados en la formación profesional en

matemáticas, se trabajan diversos objetos conceptuales que involucran la noción de infinito

como un tema problemático, ya que es presentado como una noción contraintuitiva y se le

emplea superficialmente desde un carácter potencial. Lo que se menciona anteriormente se

debe específicamente a que desde tempranas edades, el ser humano se enfrenta con una

experiencia natural que pone en juego la noción de infinito, esta es, el proceso de contar, por

lo que se hace necesario que en la enseñanza de las matemáticas, se coloquen en ejecución

herramientas metodológicas pertinentes en todos los niveles de formación, esto con el fin de

tratar directamente las diversas representaciones del infinito y generar una reflexión en torno

a este objeto matemático visto como una totalidad y no como intuitivamente se ha concebido.

1.1. Pregunta de investigación

Para abordar el argumento anteriormente mencionado se pretende dar respuesta a la siguiente

pregunta de investigación:

¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes de matemáticas de dos instituciones

de la comunidad Lasallista frente al concepto de infinito actual enmarcado en situaciones

problema que requieran dinamismo y simulación para su resolución?


2. Justificación

Como se mencionó en el problema de investigación, cuando se habla de las concepciones

sobre el infinito, se escuchan frecuentemente percepciones relacionadas a situaciones en las

que interviene este objeto matemático, incluyendo diversas representaciones intuitivas o

formales que puede llegar a tener dicho término, lo que algunos autores llaman la intuición

del infinito (Fischbein, Tirosh, & Hess 1979) y también, aquellas definiciones que coinciden

con la conceptualización matemática contemporánea del mismo.

Una de las causas a las que se le atribuye el anterior razonamiento es que la educación

matemática sigue teniendo un enfoque tradicionalista, en donde el docente muchas veces

ajeno a sus intereses, explica las temáticas y los estudiantes transcriben las ideas, las repiten

mecánicamente sin reflexión alguna y no se establecen relaciones entre los conceptos

formales y aquellos que provienen naturalmente. El proceso anterior conlleva a que

frecuentemente se practiquen en el aula “rutinas de problemas desconectados de la realidad,

además de que no proporcionan desarrollo intelectual alguno.” Nieto, N & López, F. (2009,

p. 54), haciendo que algunos de los contenidos matemáticos no sean útiles para la vida.

Para contrarrestar un poco este problema, es vital las herramientas tecnológicas en el aula,

ya que el uso de estos medios informáticos, como apoyo a la enseñanza, permite acercarse a

los conceptos a través de diferentes representaciones de los mismos y como afirma Santos,

(2000) el uso de la tecnología permite establecer diferentes representaciones de los objetos


matemáticos y pueden ayudar, a partir de la visualización y la exploración, a establecer

relaciones matemáticas entre éstos y mostrar diversas propiedades que los registros en el

papel no se pueden determinar.

Es por lo anterior que se aborda esta temática teniendo en cuenta que en la formación

matemática de los docentes se tratan diferentes conceptos relacionados con el infinito pero no

se estudia su estructura conceptual ni tampoco su variación epistemológica , por lo tanto,

utilizando como metodología la implementación del software Cabri Geometre y la resolución

de situaciones problema, es de interés en esta investigación determinar cuáles son las

concepciones que tienen algunos profesores del infinito actual, si éstas están influenciadas

por las ideas intuitivas que sobre éste objeto matemático han desarrollado y analizar si es

posible la caracterización del mismo por medio de la simulación y modelación dada por el

software; esto con el fin que, en primer lugar, se establezcan diferencias entre las dos formas

de pensar el infinito matemático (actual y potencial) y, en segundo lugar, para que en futuras

investigaciones, se busque el desarrollo de habilidades espaciales y de simulación con

docentes y estudiantes por medio de la resolución de problemas y situaciones de cambio e

incertidumbre, a la vez que son estos últimos algunos de los retos educativos del siglo XXI.


3. Objetivos

3.1. Objetivo general

Implementar una serie de situaciones problema mediadas por el software Cabri Geometre que

permitan identificar las concepciones que tienen los docentes de matemáticas de la

comunidad Lasallista sobre infinito actual.

3.2. Objetivos específicos

Identificar etapas históricas de las matemáticas en torno a la evolución conceptual del

infinito actual.

Diseñar un conjunto de situaciones problema a través del software Cabri Geometre

encaminadas hacia la reconceptualización del infinito actual.

Analizar si el uso de situaciones problema permite el cambio de representaciones en la

construcción del infinito actual a partir de la implementación de herramientas

tecnológicas de simulación, como es el caso del software Cabri Geometre.

Comparar los resultados obtenidos en las instituciones educativas respecto a las

concepciones de los docentes frente al infinito actual y la modelación de las

situaciones problema realizada por medio de Cabri Geometre.


4. Marco Teórico

Para el desarrollo de este capítulo, se tendrán en cuenta tres aspectos relevantes para la

contextualización de la actual investigación. En primer lugar, se realizará un acercamiento

histórico de la evolución conceptual del infinito basado en algunos personajes que dedicaron

parte de su vida al estudio de este objeto matemático, específicamente del infinito en acto,

ellos fueron: Aristóteles, Bernhard Bolzano y George Cantor. En segundo lugar se presentará

un apartado relacionado con la didáctica de las matemáticas, especialmente los obstáculos

que se generan en torno al concepto de infinito desde la perspectiva de Bruno D´Amore, los

sistemas de representación según Raymond Duval y la resolución de problemas, teniendo

como base los aportes de George Polya. Finalmente, se hará una descripción desde el ámbito

tecnológico de las propuestas que se han desarrollado por medio del software Cabri Geometre

en la construcción del concepto de infinito actual, partiendo del pensamiento geométrico y

variacional que han sido desarrolladas por el Ministerio de Educación Nacional.


Figura 1. Flujograma propuesta Software Cabri Geometre

4.1. Referente Histórico

En el proceso histórico de las matemáticas se presentaron ciertas etapas que fueron

determinantes para la conceptualización del infinito actual, para esto se tomarán como

referencia los aportes de tres matemáticos, que aunque no fueron los únicos en tratar este

concepto, marcaron las pautas en la construcción del infinito, su existencia y su campo


operacional y, que posteriormente, servirán como base para el desarrollo de la propuesta a la

que hace referencia este documento.

4.1.1. Aristóteles.

Aristóteles (384-322 a.C.), fue uno de los filósofos griegos más destacados de la antigüedad,

así como también en el campo científico. En cuanto a las matemáticas, específicamente en la

lógica, desarrolló una serie de reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se

respetaban y si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez), no a falsas

conclusiones. En el razonamiento, los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones

emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. En el ejemplo más

famoso, "Todos los humanos son mortales" y "Todos los griegos son humanos", se llega a la

conclusión válida de que "Todos los griegos son mortales".

Con los aportes de este referente en el campo de las matemáticas, se dará comienzo a este

recuento histórico revisando el origen del término infinito en la cultura griega, el cual surgió

como una categoría filosófica y no como un objeto matemático como tal; por esta razón,

Aristóteles es el primero de los filósofos griegos que trata el concepto infinito y da la

posibilidad de su existencia, aspecto que sus antecesores, aunque se vieron involucrados en

torno al desarrollo de este concepto, no tuvieron en cuenta. Gramaticalmente, siguiendo a

Fuenlabrada, I. & Armella, L. (2008), el término de infinito poseía los siguientes significados

en dicho contexto:

Como sustantivo, pues dicho término aparecía referenciado en documentos míticos,

teológicos o metafísicos, relacionado estrechamente con el reino de los dioses.


Como adjetivo que caracterizaba las nociones absolutas del universo, el ser o el

tiempo.

Como adverbio de modo para clasificar los diversos procesos mentales como

extender, operar, aproximar, subdividir, entre otras, concepción basada en la noción

de infinito en potencia: procesos que son interminables. Esta última categorización

fue la única a la cual se le dio validez, pues la filosofía Griega rechazaba la existencia

de lo que se consideraban “objetos infinitos”. Estas acciones que se mencionan en este

tipo de concepción son la base del desarrollo conceptual del infinito, pues se puede

decir que el resultado de cada una de ellas es de carácter intuitivo e informal.

Teniendo en cuenta lo planteado por Aristóteles en su obra Metafísica, el infinito sólo

podía existir en potencia, más nunca en acto, pues era una insensatez imaginar un objeto al

que se le puedan extraer partes indefinidamente, idea también planteada por el filósofo en su

libro Phys III. Más adelante, Aristóteles se refirió a la imposibilidad de la existencia del

infinito en acto de objetos físicos y lo cual podría refutarse al decir que hay cosas que no son

físicas y que perfectamente podrían ser infinitas, como por ejemplo, el conjunto de los

números (Cassini, 1998). Aristóteles no afirma de manera segura que los

números sean infinitos, sino que se suponen infinitos. Y más aún, aportes posteriores en la

quinta parte de su libro tercero de Física manifiestan que “el número no puede ser infinito,

ya que éste, así como todo lo que tiene número, puede contarse y si puede contarse, no es

infinito” (Phys III, 5).

Como se ha observado, la concepción que se tenía frente al infinito era más hacia la

caracterización de un proceso mental más que como un objeto matemático. Dentro de su


evolución histórica, es necesario retomar las nociones que se tenían desde la cultura griega

para relacionarlo más adelante con su segundo significado, el de adjetivo y que con la

generación de nuevos objetos conceptuales, para este caso los conjuntos, el término infinito

se incorporará dentro de las matemáticas como un objeto de estudio desde los desarrollos

realizados por Bernhard Bolzano y George Cantor.

4.1.2. Bernhard Bolzano.

Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 – 1848) filósofo,

lógico y teólogo Checo, quien realizó importantes contribuciones a las matemáticas y a

la teoría del conocimiento es conocido en el campo del análisis por el teorema de Bolzano,

así como por el teorema de Bolzano Weierstrass y es considerado el primer matemático en

tratar de fundamentar la noción de infinito actual. En su obra Las Paradojas del infinito

(1851), Bolzano abrió la posibilidad de la existencia de dicho objeto como un atributo o

característica de una colección y no como se planteaba anteriormente, simplemente como un

adverbio. Este checo defendió la existencia de un infinito actual y enfatizó en el concepto de

equivalencia entre dos conjuntos, esto es, que cada conjunto tuviera la misma cantidad de

elementos, era aplicable tanto a conjuntos finitos como infinitos, además aceptó como algo

normal que los conjuntos infinitos fueran equivalentes a una parte de ellos mismos.

La gran motivación que condujo a Bolzano a la publicación de su obra fue, como

manifiesta Fuenlabrada I. & Armella L. (2008), una serie considerable de paradojas que se

habían producido en esta época a raiz de la ausencia de un campo operacional bien definido y

bien delimitado para el tratamiento del infinito. Tal fue el impacto sobre el objeto matemático

que para el estudio y resolución de estas paradojas que era menester un nuevo concepto de

infinito, concepción que se convirtió en problema a la no existencia de un infinito en acto, ya


que lo que él buscaba era mostrar que a causa de la carencia sobre el significado del término

infinito, se llegaban a contradicciones entre lo académico y lo intuitivo.

Posteriormente, Bolzano enfatiza en el campo matemático y deja de lado el carácter

metafísico para dar lugar al infinito como un atributo de colecciones y, al tiempo que abre la

primer gran discusión sobre los conglomerados, los conjuntos y las multitudes:

“cada objeto arbitrario A puede unirse con otro objeto arbitrario B, C, D,… para formar

una totalidad, o para hablar de manera más rigurosa, estos objetos ya forman una totalidad

sin nuetra intervención y se pueden enunciar diversas verdades de diferentes grados de

importancia, con tal de que A, B, C, D,… realmente representen, uno y cadea uno de ellos,

un objeto distinto” (Bolzano,1851, p. 77).

Estas agrupaciones que hace referencia Bolzano es a lo que él denomina como conjunto, y

un conjunto cuyos elementos comparten una característica determinada A, esto es, objetos

que se consideran como parte de un conjunto más amplio o como caso particular sometido a

un principio o norma general, se le denomina una multitud de A`s..Teniendo claridad en esto,

Bolzano define una multitud infinita como aquel conjunto en el que cualquier multitud finita

solo puede ser parte de la infinita, afirmación ejemplificada como el conjunto de todas las

verdades absolutas es un conjunto infinito, lo que dejaba ver que las matemáticas se

relacionaban estrechamente con la noción abstracta de conjunto y, por esta razón, la validez

en la existencia de estas colecciones infinitas, parafraseando a Fuenlabrada I. & Armella L.

(2008), tenía que estar basado específicamente en una naturaleza no contradictoria, sustento

que excluyó la validación empírica del infinito considerada hasta el momento.


Con esta nueva concepción, el infinito deja de tener una representación constructiva, es

decir de agregación de elementos y desemboca en una noción de conjunto como una

totalidad, sin necesidad de pensar en la fragmentación de sus elementos. Más adelante, en el

proceso de conceptualización del infinito, Bolzano realiza un estudio referente a la

comparación de conjuntos infinitos, para el cual tuvo en cuenta los siguientes criterios:

inicialmente la posibilidad de establecer una relación inyectiva entre dos conjuntos infinitos y

posteriormente una correspondencia entre la parte y el todo. Aunque se pudiera establecer

una relación uno a uno entre un conjunto y un subconjunto propio, esto no garantizaba que

los dos conjuntos fueran equipotentes, es decir, tuvieran la misma cantidad de elementos

(Bolzano,1851). Las relaciones que se establecen entre los conjuntos se basan en el carácter

de la inclusión, a lo que Bolzano definió relaciones de tipo objetual y que son desarrollados

más adelante por George Cantor, prespectiva que se presentará a continuación.

4.1.3 George Cantor.

A finales del siglo XIX, Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918), matemático

alemán que junto a Dedekind y Frege dan la primera definición de lo que hoy en día se

conoce como la teoría de conjuntos, siendo esta la base de las matemáticas modernas. Este

autor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual, pues siguiendo a Ortiz, J (1994)

“Todos los argumentos dados, señala Cantor, en contra del infinito han sido insensatos, ya

que han tratado la aritmética de los números infinitos como una extensión de la aritmética de

los números finitos”. (p. 65).

Cantor demostró, contra la famosa aniquilación de lo finito por lo infinito, que los

números infinitos eran susceptibles de ser modificados por los números finitos. Así, la

distinción de k (elemento de un conjunto) y k +1 (el sucesor de ese elemento) “demostraba


que los números finitos podían ser sumados a los números infinitos sin ser desechados”,

(Dauben, 1979, p. 134). También rechazó la distinción aristotélica entre infinito actual e

infinito potencial, ya que todo infinito potencial presupone la existencia de un infinito actual.

Consecuentemente Cantor, creador de la teoría de conjuntos y seguidor del legado de

Bolzano, consideró que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar

conjuntos infinitos. Si existe una correspondencia biunívoca entre dos conjuntos, podemos

decir que dichos conjuntos son equipolentes o tienen la misma potencia. De acuerdo con

Ortiz J. (1994), “el término de potencia de un conjunto dio paso al término de número

cardinal. Bolzano introdujo las siguientes definiciones de conjunto infinito: Un conjunto no

vacío A es finito si para algún entero positivo n, A es equipotente a {1,2,...., n}; de otra forma

A es infinito. Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente al

conjunto A; en cualquier otro caso A es finito”. (p. 66).

Como se ha observado, la evolución en torno al concepto de infinito se ha desarrollado

durante varias etapas históricas, enfatizando en el campo numérico y se relacionan

estrechamente con la teoría de conjuntos por lo que se cerrará este apartado con la

definición del infinito actual y su diferencia con el infinito potencial. Luego pues si se parte

de lo planteado Penalva (2008), se encuentra que el infinito tiene distintos significados según

el contexto en el que se utilice; este objeto matemático puede ser de carácter potencial, si es

representado por un proceso sin fin por medio de una acción planeada, pero no ejecutada o de

tipo actual en el sentido de “cardinal infinito de Cantor, es decir, se considera la totalidad de

los elementos de un conjunto infinito” (p. 2).


4.1.4 El infinito actual.

Algunos autores como De Lorenzo y Le Goff, De Lorenzo (2001), consideran el infinito

actual como un objeto matemático originado en un contexto geométrico, puesto que es un

infinito ilimitado y métrico, que permite la cuantificación y la resolución de problemas del

mundo real y en el cual se involucran elementos de las matemáticas tales como: número infi-

nito, punto infinito, construcciones infinitas en espacios finitos y series con infinitos elemen-

tos. Esta concepción del infinito surge al ser considerado como una unidad, dicho en otras

palabras, como “un objeto unitario” que es infinitamente grande o numeroso. Un ejemplo de

esto es el conjunto de los números naturales, racionales o simplemente subconjuntos propios

de éstos, o también en la geometría, específicamente con los fractales, pues al tomar algunos

de estos conjuntos aparece el infinito en acto cuando se puede establecer una función biyec-

tiva entre el conjunto y una parte propia de este.

4.2. Referente didáctico

Para el desarrollo de este apartado se tendrán en cuenta tres aspectos fundamentales en el

campo de la didáctica de las matemáticas, inicialmente se presentará una breve

conceptualización de los obstáculos epistemológicos y didácticos en torno al concepto de

infinito, luego se dará una mirada hacía los diversos sistemas de representación que se ponen

en juego al momento de caracterizar el objeto matemático de estudio y finalmente, al ser uno

de los temas desde el que se sustenta esta propuesta, una fundamentación teórica acerca de la

resolución de problemas en torno a la definición de la expresión problema, así como también

la descripción de algunas fases y estrategias heurísticas para su resolución.


4.2.1. Obstáculos epistemológicos.

Al tomar en cuenta los postulados de Bruno D'Amore, (Arrigo, G. & D'Amore, 1999) y

Artigue (1995), se han determinado los siguientes obstáculos en el proceso de enseñanza y

aprendizaje del infinito actual: El modelo de infinito como proceso sin fin, La aceptación del

axioma euclidiano y la concepción de lo mismo y cuántos, determinados a partir de un

estudio realizado en docentes y que está plasmado en su obra Lo veo, pero no lo creo:

Obstáculos epistemológicos y didácticos para la comprensión del infinito actual y que se

presentarán brevemente a continuación:

4.2.1.1. El modelo de infinito como proceso sin fin.

Según Arrigo, G. & D'Amore, B. (1999), el significado dado al infinito en acto está ligado a

la inconmesurable cantidad de los números naturales hallada a partir de la inducción (uno

más el siguiente), esto quiere decir que se concibe al infinito en la posibilidad de seguir

reiterando un proceso, que es finito, tantas veces como se quiera, bien sea desde el punto de

vista de la realización física o la realización mental. Para ejemplificar se utilizará un ejercicio

trivial: se tiene que el último elemento de un conjunto es el número 9.999’999.999 se podrá

encontrar el elemento sucesor por medio de la inducción matemática, que establece para cada

número natural k, el siguiente será k+1, que para este caso será el número 10.000’000.000.

4.2.1.2. La aceptación del axioma euclidiano.

Como lo plantea D´Amore, (Arrigo, G. & D'Amore, B, 1999) “En este obstáculo hay una

caracterización del todo como mayor que la parte. Es sin duda una de las características de


los conjuntos finitos que los estudiantes asocian a la noción de infinito, que además es

compatible con la teoría de conjuntos estudiada en la matemática escolar” (p. 32). Para esto

imagine la cantidad de pasto de una hacienda, siendo esta última el “todo” y la cantidad de

pasto que hay en el corral del ganado, “la parte”. ¿Será posible hacer ese conteo?, ¿En dónde

hay mayor cantidad de pasto, en la hacienda, en el corral o tendrán la misma cantidad?

4.2.1.3."Lo mismo" y "cuántos".

Dos conjuntos tienen el mismo cardinal, es decir igual cantidad de elementos, si se puede

establecer una correspondencia uno a uno entre los mismos. En muchos casos, al establecer

que la cantidad de elementos de un conjunto equivale al cardinal de otro conjunto de

diferente naturaleza, por ejemplo, que el cardinal de los números naturales es el mismo de los

números racionales, se considera erróneo y muchas veces “descabellado” al intuir que la

cantidad de los números racionales es mayor que la cantidad de naturales. Asocie ahora este

mismo ejemplo con la pregunta del obstáculo anterior.

4.2.2. Obstáculos didácticos.

Este obstáculo se centra en la "idea" de los números naturales como un conjunto infinito (con

infinitos elementos), y que es posible construirlo a partir de la posibilidad de añadir siempre

un elemento adicional. Conocimiento que, siguiendo a Arrigo, G. & D'Amore, B. (1999),

“resulta útil para construir una idea sobre el cardinal, en conjuntos finitos, como el número de

elementos de un conjunto que se halla a partir del conteo uno a uno”. (p. 33)

Como se ha mencionado, los diversos obstáculos acerca del infinito actual se presentan de

forma intuitiva y dependen de la representación que cada persona tenga sobre este objeto


matemático. A continuación se ahondará un poco más sobre las representaciones y su

importancia para este estudio.

4.2.3. Sistemas de representación.

Un tema importante dentro de la educación matemática es la concepción que se tiene sobre

las diferentes representaciones de los objetos matemáticos, este hecho ha llevado a que el

interés de especialistas se centre en su estudio durante los últimos años. (Castro & Castro,

1997; Duval, 1999a, y Moreno, 1999, entre otros), y a analizar el papel que desempeñan en el

razonamiento de los estudiantes.

Luego pues, según Duval, las representaciones en el campo de las matemáticas son

notaciones por medio de símbolos o gráficos, o bien manifestaciones verbales, mediante las

cuales se expresan los conceptos y procedimientos en esta disciplina, así como también sus

características más relevantes (Duval, 1999a), un ejemplo de ello se puede observar en una

función cuadrática, , la representación utilizada en esta notación es de carácter

algebraica o también llamada analítica, adicionalmente se requiere de una representación

tabular que se genera al momento de reemplazar valores numéricos en la incógnita y cuya

finalidad es encontrar el valor numérico de para finalmente llegar a su representación

gráfica, es decir una parábola.

El NCTM (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas), dentro de sus principios y

Estándares para las Matemáticas Escolares del año 2000 señala que: “Los programas de


instrucción matemática, deberían enfatizar las representaciones matemáticas para fomentar la

comprensión de las matemáticas de forma que todos los estudiantes:

• Creen y usen representaciones para organizar, memorizar y comunicar ideas

matemáticas.

• Desarrollen un repertorio de representaciones matemáticas que puedan usarse de

forma útil, flexible y apropiada.

• Usen representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y

matemáticos.”

Una vez planteados estos postulados, Fischbein, Tirosh, & Hess (1979) recomiendan

analizar detalladamente las relaciones de inconsistencia que se establecen al momento de

realizar el cambio de representación, para este caso, de un objeto matemático como lo es el

infinito, pues al ser tratado desde lo intuitivo, existe una compleja correspondencia entre el

mundo de las matemáticas y el mundo físico, pues como lo manifiestan estos tres autores, si

esta relación no es comprendida acertadamente, se puede llevar a definiciones y conjeturas

contradictorias, preocupación mostrada por Bolzano históricamente.

Se ha hablado ya sobre las representaciones frente a los objetos matemáticos,

especialmente sobre el infinito actual, ahora bien, es importante referenciar también las

representaciones y la traducción entre los diferentes registros que se ponen en juego en la

implementación de las herramientas tecnológicas en el ámbito educativo, pues como lo

manifiesta Santos (2000), las calculadoras graficadoras, término que se hará mención en el

referente tecnológico, muestran una amplia gama de “representaciones de objetos y

relaciones matemáticas en diferentes registros y permiten la conversión de representaciones,


lo cual supone una inapreciable herramienta de trabajo en educación matemática”.

(Ministerio de Educación Nacional, 2002).

Lo mencionado anteriormente por estos autores conlleva a concluir que el uso adecuado

de las herramientas tecnológicas puede permitir que se logre un mayor razonamiento frente a

un objeto matemático del que se puede conseguir mediante la enseñanza por medio de lápiz y

papel, con esto no se pretende anular dicha metodología pero sí mostrarlo como un elemento

útil para los docentes de matemáticas, ya que según Orozco J. (2006):

“La construcción, exploración, manipulación directa y dinámica de objetos en pantalla,

conducen en un nivel bajo a la elaboración de conjeturas, en un nivel medio, a la

argumentación y un nivel superior, a la realización de demostraciones, a su vez las

representaciones cuantitativas geométricas, tabulares, algebraicas y gráficas, en forma

dinámica, es decir, que al variar un elemento o argumento en la expresión original, se

produce una variación de dependencia entre las variables, posibilita el análisis, la

generalización de conceptos, realizaciones de transformaciones y la asociación de figuras

con objetos físicos para pasar a un nivel de conceptualización, más elevado”(p. 8).

4.2.4. Resolución de problemas.

Durante varios años, diversos autores han desarrollado sus investigaciones en torno a la

resolución de problemas, uno de ellos, George Polya establece que: “se entenderá que

resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía camino alguno,

encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado

que no es conseguible de forma inmediata utilizando los medios adecuados” (Sigarreta, 2006,

p. 53), por tanto, al ser el concepto de problema un término de carácter ambiguo, se

mostrarán a continuación diferentes posturas en relación al concepto de problema.


4.2.4.1. Definición de problema.

El término problema ha sido utilizado continuamente y no es raro encontrar infinidad de

definiciones acerca de este concepto. En el ámbito educativo, existen diversos significados

acerca de lo que es un problema, e incluso en investigaciones recientes, se ha demostrado que

existe una dificultad común de los profesores de matemáticas al confundir problema con

ejercicio o tarea. Algunos de estos autores caracterizan cada uno de estos objetos, esperando

un tratamiento diferente para cada uno de ellos en las aulas de clase. Para Majmutov, (citado

por Sigarreta, 2006, p. 14) “la tarea es un fenómeno objetivo que para el alumno existe desde

el inicio mismo en forma material, y se transforma en fenómeno subjetivo solo después que

se percibe y se toma conciencia de ello. Mientras que los elementos fundamentales de un

problema son lo conocido y lo desconocido”. Esto implica que para este autor, una situación

problema está contenida en una categoría más amplia denominada tarea que relaciona

directamente el mundo matemático con el real.

Por otra parte, son muchos los autores que han intentado definir lo que significa un

problema; no hay claridad aún por parte del sistema educativo si equivale a hablar de un

ejercicio descontextualizado donde se necesite un resultado únicamente numérico, pero este

no es el caso de las situaciones que se pretenden generar en esta investigación pues se

utilizarán las mencionadas, a fin de que sirvan como pretextos para enfrentar a los docentes

con contextos donde no sólo necesiten realizar un serie de procedimientos para encontrar la

solución, sino que a partir de los hallazgos encontrados, generen una reflexión de los proceso

involucrados en su resolución, especialmente la conceptualización del infinito. La

implementación de las situaciones problema en el aula de clase hace que las personas

encuentren la aplicabilidad de las matemáticas en la vida real.


El proyecto de resolución de se desarrolla en cuatro fases para su resolución. A partir de

estas fases, se han establecido aquellas competencias que debe desarrollar un estudiante para

matematizar cada una de estas situaciones y estas son:

Traducir coherentemente una realidad problemática matematizable en un objeto

matemático que la representa. Se da respuesta a las siguientes preguntas:

¿Quién es el personaje?

¿Qué necesita saber para resolver un problema

¿Qué necesita saber el personaje para alcanzar lo que quiere?

Formular perspicazmente estrategias, basadas en las matemáticas, para hallar los

valores del objeto matemático. Se da respuesta a las siguientes preguntas:

¿Cuál es la interpretación matemática del vacío de información?

¿Con qué procedimiento puedo obtener el resultado?

¿Cuáles insumos necesito para obtener el resultado?

Desarrollar sistemáticamente la estrategia elegida para resolver el problema

matemático.

Se da respuesta a las siguientes preguntas:

¿Cuál es la interpretación matemática del vacío de información?

¿Con qué procedimiento puedo obtener el resultado?

¿Cuáles insumos necesito para obtener el resultado?


Expresar propositivamente la solución del problema matemático, en términos de

la realidad problemática inicial. Se da respuesta a las siguientes preguntas:

¿Cuál es el resultado de la estrategia a partir del objeto matemático?

¿Qué significa el resultado para el personaje? Prada, A. (2012, p. 17)

4.3. Referente tecnológico.

Este último apartado mostrará algunos de los aportes que el software Cabri Geometre ha

proporcionado en la enseñanza de las matemáticas por medio de su dinamismo. En primer

lugar, se hará una breve descripción del software así como también de sus ventajas y

desventajas, seguidamente se desarrollarán algunas reflexiones en torno a la implementación

de Cabri en el ámbito educativo, específicamente en América Latina, para finalmente mostrar

algunas de las actividades realizadas en este software desde los pensamientos geométrico y

variacional, que servirán como base para la elaboración de las situaciones problema en

relación con el infinito actual.

4.3.1. Acerca de Cabri Geometre.

El software Cabri Geometre es un programa educativo diseñado por Jean Marie Laborde y

Franck Bellemain en la Universidad Joseph Fourier de Grenoble, Francia. El dinamismo que

brinda Cabri ayuda a aprender cómo se hace geometría, a estudiar las propiedades

geométricas de las figuras y sus múltiples componentes para luego entender mejor la

rigurosidad matemática de las demostraciones. “Fue desarrollado para permitir la exploración


y manipulación directa y dinámica de la geometría, a través de la interacción didáctica”1,

además de ser un medio de trabajo con el cual se tiene la posibilidad de experimentar con una

materialización de los objetos matemáticos, de sus diversas representaciones y sus relaciones,

de tal forma que aquellas personas que interactúan con este software, puedan vivir un tipo de

experimentación matemática que no es posible tener de otra forma. Por esta razón, es natural

esperar que quienes trabajen con Cabri Geometre puedan avanzar en su comprensión y

conocimiento sobre la geometría de una manera distinta a la enseñanza tradicional.

Adicionalmente, ellos serán capaces de enfrentar diferentes problemas en variados contextos,

encontrándole sentido así a algunos de los conceptos matemáticos vistos en su etapa escolar.

Figura 2. Ambiente de Cabri Geometre

4.3.2. Implementación a nivel educativo de Cabri Geometre.

Al ser Cabri Geometre un software educativo que apoya el proceso de la enseñanza de las

matemáticas escolares, se han desarrollado diversos proyectos alrededor del mundo con el fin

1Tomado de: Ministerio de Educación Nacional. (2002). Memorias del Seminario Nacional Formación de

Docentes sobre el Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Bogotá. MEN


de aprovechar al máximo el dinamismo proporcionado por esta herramienta tecnológica. En

el Proyecto de Nuevas tecnologías autores como Moreno Armella afirman que una de las

características principales de este tipo de software es la capacidad de arrastre de las figuras

construidas ya que en el papel estas representaciones son estáticas, en cambio, las figuras

construidas con Cabri son dinámicas, lo cual permite garantizar que las propiedades con las

que se construyó la figura estarán presentes al modificarla con el arrastre. A continuación, se

mencionarán dos propuestas a nivel Latinoamericano que se han dedicado al estudio del

impacto que ha tenido el software a nivel educativo y que se han enmarcado en el campo de

la didáctica como apoyo educativo, estos son Iberocabri y el proyecto de incorporación de

nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la educación media de Colombia , cabe

aclarar que no se referenciarán contextos Europeos puesto que para la realización de este

análisis se deben tener en cuenta las necesidades de la población objetivo.

4.3.2.1. Iberocabri.

Desde el programa Matemática Educativa se ha hecho común el uso del software CABRI II

PLUS en ambientes escolares de básica y media para el desarrollo de actividades de

geometría dinámica, cálculo y otras asignaturas, en las que se desarrollan propuestas

didácticas pertinentes, que al ser acompañados por una buena didáctica y orientación, se

logran resultados satisfactorios. Algunas propuestas en capacitación de docentes han sido

publicadas por el doctor Eugenio Díaz Barriga, miembro del comité científico de Iberocabri,

en investigaciones realizadas sobre geometría dinámica, enseñanza de las matemáticas,

aprendizaje y evaluación de las mismas. Iberocabri, (2013).

Según sus organizadores, el uso de Cabri favorece una enseñanza dinámica por su

carácter interactivo. En efecto, en un ambiente tradicional lápiz-papel, los alumnos tienen a


menudo una actitud pasiva, el docente aporta tarde o temprano la solución al problema

propuesto. Este software ofrece una variedad de herramientas que facilitan un trabajo de

investigación y ponen a los alumnos en una actitud activa, ya que siguiendo a Laborde,

(1996), disponen de un conjunto de figuras, se plantean preguntas, formulan hipótesis, las

verifican en tiempo real, con la ayuda de manipulaciones adecuadas.

4.3.2.2. Colombia

Desde el proyecto Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la

educación media de Colombia, llevado a cabo en el año 2001 y 2002 y liderado por el

Ministerio de Educación Nacional con la colaboración de universidades e instituciones

educativas de educación básica y media a nivel distrital y nacional, se muestra el proceso de

formación de docentes de matemáticas en el uso de calculadoras y el software Cabri

Geometre en diferentes contextos disciplinares, propuestas que, como se plantea dentro de las

finalidades de este proyecto, sirven como marco de referencia para todas aquellas personas

cuyo interés se centra en el mejoramiento de la educación matemática por medio de la

implementación de las herramientas tecnológicas en el aula de clase.

4.3.3. Estudios sobre el infinito desde Cabri Geometre en Colombia.

Consiguientemente, el Ministerio de Educación Nacional ha desarrollado el proyecto de

implementación de las nuevas tecnologías en el aula de clase y su impacto en la clase de

matemáticas específicamente, para esto ha plasmado en diferentes memorias las experiencias,

conferencias, actividades, artículos, ponencias y talleres generados en torno al uso del

software Cabri Geomete y las calculadoras TI-92 por docentes, niños y jóvenes de educación

básica y media de colegios y universidades del país. Al revisar dichas memorias se invita a


generar una reflexión por parte de los docentes de sus prácticas pedagógicas tradicionales y

se motiva a investigar sobre nuevas herramientas que permitan el mejoramiento continuo de

la educación matemática.

En los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1998) se reconoce que “respecto a la

formación matemática básica, el énfasis estaría en potenciar el pensamiento matemático

mediante la apropiación de contenidos que tienen que ver con ciertos sistemas matemáticos.

Tales contenidos se constituyen en herramientas para desarrollar, entre otros, el pensamiento

numérico, el espacial, el métrico, el aleatorio y el variacional” (p. 16). Tomando como base

estos cinco tipos de pensamiento, se presentarán algunos de los estudios desarrollados en el

proyecto anteriormente mencionado enfocado en dos de ellos, el pensamiento geométrico y el

variacional, pensamientos que se relacionan estrechamente con el concepto de infinito.

4.3.3.1. Pensamiento Geométrico.

El pensamiento espacial o geométrico se entiende, según el Ministerio de Educación Nacio-

nal, (1998) como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se constru-

yen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones

entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales”.

(p. 37). Dentro de las propuestas que se han desarrollado con el software Cabri Geometre en

torno a este pensamiento han sido dirigidas por el asesor Luis Moreno Armella y han sido

encaminadas hacia los procesos de visualización, pues este proceso, siguiendo a Clemens y

Battista (1992), los docentes relacionan los procesos utilizados para realizar deducciones par-

tiendo de sus diversas representaciones de los objetos matemáticos que se enseñan durante la

etapa escolar, de estas se pueden mencionar la identificación de las propiedades de los polí-


gonos, especialmente triángulos y cuadriláteros, representaciones en tres dimensiones y reco-

nocimiento de poliedros tales como el cubo, los prismas, cilindros, pirámides entre otros.

En el ámbito educativo se han implementado actividades que muestran las características

fundamentales de la geometría dinámica, este término da la posibilidad dentro del software,

de modificar las construcciones hechas, un ejemplo de esto es la Figura 3, en esta se muestran

tres representaciones de hexágonos regulares, en Cabri, a medida que se modifica uno de sus

vértices, aumenta o disminuye cada una de la longitud de sus lados, esta herramienta hace

que manera dinámica se observen diferentes formas de representación geométrica de un polí-

gono y la implicación que conlleva el arrastrar uno de sus vértices. Esto corrobora la impor-

tancia del uso de las herramientas tecnológicas en el aula de clase pues aparte de ser un mé-

todo motivador para los estudiantes, “los instrumentos de mediación son un buen indicio de

la naturaleza de las actividades materiales e intelectuales de las distintas épocas. Debe men-

cionarse también que, debido a la naturaleza mediada del aprendizaje, cualquiera sea la tec-

nología que empleemos, ella siempre modifica la naturaleza del conocimiento que construi-

mos”. Armella, (Citado en Ministerio de Educación Nacional, 2004)

Figura 3. Representación en Cabri de hexágonos regulares


Por otra parte, en los últimos años se ha ido desarrollando la Geometría fractal, llamada

también “Geometría de la Naturaleza”, definida como “un conjunto de estructuras irregulares

y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales

reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la

matemática tradicional.”(Orjuela, C. 2007, p. 4). Una de las razones que ha llevado al estudio

en este campo de la matemática es que siendo esta un área relativamente joven, ha

proporcionado una gran cantidad de situaciones problema que cuestionan la geometría

Euclidiana, pues al estar más relacionada con la naturaleza, resulta ser un ambiente más

atractivo para aquellos que se dedican a investigar sobre las diversas geometrías que se han

generado durante toda la historia de la humanidad.

En las aulas de clase se han venido trabajando la construcción de fractales aplicando un

proceso iterativo con hojas de papel y usando los objetos tridimensionales como base para la

investigación en conceptos de la matemática tales como, noción de infinitud, secuencias,

series y la idea de iteración y autosemejanza. Los fractales solo existen en su estado infinito,

pero en la práctica se busca ir más allá pues solo es posible visualizarlos en alguna etapa

finita de su construcción desde la manualidad realizada con el papel. Por lo anterior, se han

ido generando fractales por medios tecnológicos y la programación orientada a objetos,

mediante el uso de programas tales como WinLogo, Visual Basic y C ++, que muestran

dichos objetos que simulan elementos propios de la naturaleza.

Cabri, al ser una de las herramientas educativas en el campo de la geometría ha

desarrollado diferentes construcciones de fractales, ejemplo de ello es la figura 4, el copo de

nieve, objeto que es construido al tener un triángulo equilátero (todos sus lados iguales) y a

cada uno de sus lados se le divide en tres partes iguales, borrando el segmento de la mitad y


generando sobre este un nuevo triángulo equilátero al cual se le realiza este mismo

procedimiento n veces.

Figura 4. Representación del fractal “copo de nieve” en Cabri

La noción de fractal y su implementación tecnológica en el ámbito educativo ayudará

para la construcción de las situaciones problema que se plantearán en esta investigación y que

se pretenden modifiquen la concepción que se tiene acerca del infinito.

4.3.3.2. Pensamiento Variacional.

Teniendo la definición de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (2006),

“el pensamiento variacional tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la

identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así

como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros

simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos”. (p. 66).

Los contenidos que más se exploran dentro de la etapa escolar dentro el pensamiento

variacional es la resolución de ecuaciones con una o varias incógnitas, funciones y gráficas


en torno a la noción de cambio y desde etapas tempranas la enseñanza de las secuencias tanto

numéricas como geométricas.

Con lo anterior y la implementación de las calculadoras TI-92 (simulador del ambiente

gráfico de Cabri Geometre) el Ministerio de Educación Nacional ha planteado talleres para

docentes de matemáticas en los cuales se estudien las propiedades de las sucesiones y series,

ejemplificando un poco se tomará como base la serie armónica, serie conformada por la suma

de las primeras fracciones con numerador 1 de la siguiente manera:

Por medio de Cabri Geometre, se puede obtener la sumatoria parcial de cada uno de los

términos de esta secuencia utilizando la tabulación (asignación de valores utilizando valores

conocidos) y por medio de una sintaxis correspondiente obtener la sumatoria hasta n pasos:

Paso Resultado

Tabla 1. Tabulación de la serie armónica


Aparte de esta serie se han trabajado múltiples regularidades basadas en las operaciones

básicas y relaciones numéricas en torno al infinito. También es común ver la representación

gráfica de funciones, especialmente lineales, con los cuales se trabajan modelos estadísticos

tales como regresiones lineales y que son muy utilizados por las empresas para el tratamiento

de la información.

Como se puede observar, son varias las aplicaciones que ha tenido el software Cabri

Geometre en el campo educativo; se han tomado estos dos pensamientos pues fueron

actividades propuestas en el proyecto desarrollado por el Ministerio de Educación Nacional,

plasmadas en el documento Memorias del Seminario Nacional Formación de Docentes sobre

el Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas y que servirán como modelo para la

generación de las situaciones problema de esta investigación, que apoyadas por las etapas

históricas identificadas inicialmente, puedan lograr los objetivos planteados en torno a la re

conceptualización del infinito.

4.4 Simulación y modelación.

Para la generación de las situaciones problema en Cabri Geometre es importante hablar de

dos temas que se tornan cruciales al momento de tratar conceptos de la matemática con

herramientas tecnológicas, estas son la simulación y la modelación. Mediante la modelación

se intenta dar explicación de un fenómeno físico o natural, un ejemplo de su aplicación se

evidencia cuando se van a diseñar aviones, estimar tendencias ecológicas, controlar el tráfico

urbano, analizar la difusión de epidemias, predecir el tiempo atmosférico, entre muchas más

aplicaciones; dicho en otras palabras, es hacer que el conocimiento matemático que se tiene


sea aplicado en un contexto real, ejemplo de ello es la figura 5, que representa el ingreso

anual per cápita entre los años 1990 y 1996 en un país europeo.

Figura 5. Regresión line al de una situación en calculadora TI-92

Por su parte, la simulación es un proceso en el cual se reproduce artificialmente un

fenómeno y las relaciones que existen entre las variables de algún sistema, por esto y

siguiendo a Armella (2002), este proceso se asocia a una herramienta tecnológica que

muestra visualmente, y a menudo, físicamente las entradas y salidas (resultados) de la

simulación, como por ejemplo los simuladores de conducción o de vuelo. En el campo

educativo se han desarrollado simuladores como el software “Micro mundos” y otros

programas en los cuales se favorece la interacción de los estudiantes con los objetos virtuales

para que el proceso de aprendizaje sea óptimo y se analice la aplicación de la información allí

mostrada.

Para cerrar este apartado, pedagógicamente el software Cabri Geometre es una

herramienta fundamental en la enseñanza de las matemáticas escolares, pues teniendo como

base la reflexión dada por Orozco, J. (2006), el manejo de medios multimedia en el aula de

clase permite al estudiante no sólo interactuar con el programa sino también caracterizar

diferentes objetos matemáticos que son presentados constantemente de manera simbólica,

adicional a esto, el estudiante podrá explorar y realizar construcciones teniendo en cuenta las


propiedades de la Geometría Euclidiana para lograr procesos de abstracción y generalización

en algunas de las temáticas escolares. Con la simulación y la modelación, propiedades que

posee el software Cabri Geometre, se pretende que por medio de las situaciones problema

que se generarán en esta investigación, los docentes de matemáticas se enfrenten a contextos

reales en donde el concepto de infinito se encuentre inmerso, adicionalmente mostrando

cómo por medio de la implementación de estas herramientas se puede mostrar la

aplicabilidad de los conceptos matemáticos y como se mencionó en la parte inicial de

proyecto, puedan mejorar sus prácticas educativas tradicionales con sus estudiantes.


5. Marco metodológico

En este capítulo se mostrará la metodología que se llevará a cabo para la realización de este

proyecto de investigación.

5.1 Metodología

Al ser este un proyecto de investigación cuya finalidad es el cambio de representaciones en

torno a un concepto matemático en docentes de esta área y cuyas implicaciones se verán

reflejadas en su acto educativo, se recurrirá a la metodología Empírica – Analítica dentro de

un enfoque cualitativo, pues como afirma Gregorio Rodríguez (1996), estos métodos

estudian“ la realidad en su contexto natural, tal y como sucede, intentando sacar sentido de, o

interpretar los fenómenos de acuerdo con los significados que tienen para las personas

implicadas. La investigación cualitativa implica la recogida de una gran variedad de

materiales: entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos

históricos, imágenes, sonidos, que describen la rutina y las situaciones problemáticas y los

significados en la vida de las persona.”(p. 4) Adicionalmente, en el análisis de la información

se utilizarán elementos de la investigación cuantitativa, específicamente la inferencia

estadística, para mostrar los resultados de la aplicación de los instrumentos diseñados

5.2. Descripción de los participantes

Para llevar a cabo esta investigación, se tomaron como muestra docentes de matemáticas de

dos instituciones de la comunidad Lasallista, las cuales fueron: el Liceo Hermano Miguel La


Salle y el Instituto San Bernardo De La Salle, esto debido principalmente a la metodología

usada en la resolución de situaciones problema en cada uno.

5.2.1. Liceo Hermano Miguel la Salle.

Como se mencionó en la parte inicial del documento, los participantes seleccionados para

este estudio fueron diez profesores de Matemáticas del Liceo Hermano Miguel La Salle,

institución de carácter privado y situada en la localidad de Barrios Unidos de la ciudad de

Bogotá. La formación inicial de los docentes es en Matemáticas, Física, licenciatura en

matemáticas y física, algunos de ellos con estudios de posgrado en sus disciplinas o en

Educación Matemática.

5.2.2. Instituto San Bernardo de la Salle.

Por otra parte, se escogió como segundo plantel educativo el Instituto San Bernardo de la

Salle, ubicado en la localidad de Santa Fe de la ciudad de Bogotá y los participantes fueron

los ocho docentes del área de matemáticas, de los cuales, seis tienen formación como

licenciados en matemáticas y dos como ingenieros de sistemas. Al igual que en la institución

anterior, algunos docentes cuentan con posgrados en matemáticas, educación y enseñanza de

las ciencias exactas.

5.3. Etapas de la investigación.

A continuación se describirán cada una de las tres etapas de esta investigación:

• Etapa1: Revisión documental. (2012 – II).

En esta fase se plantea la visualización de la propuesta de investigación en torno a la

planeación del problema, la justificación y los objetivos para posteriormente realizar una


revisión documental histórica en torno a algunos de los matemáticos que centraron su

atención en el concepto del infinito actual, Aristóteles, Bernhard Bolzano y George Cantor,

información que se convertirá en eje centrar para el planteamiento de las situaciones

problema en torno a este objeto matemático. Adicionalmente, se revisarán algunos de los

aportes que Cabri Geometre en el campo de la enseñanza de las matemáticas.

• Etapa 2: Diseño y aplicación de instrumentos. (2013 – I).

Una vez identificadas las etapas históricas que marcaron el desarrollo conceptual del infinito

actual se procederá a diseñar los instrumentos que se aplicarán en la población objetivo

(docentes) desde tres modalidades:

Prueba Diagnóstica: para identificar cuáles son las concepciones que tienen los

docentes de matemáticas en torno a este objeto matemático y que se esperan sean

desde lo intuitivo, se construirá un instrumento de entrada, que responda a las

siguientes preguntas: ¿Qué término asocia al infinito? ¿Cómo podemos establecer una

relación de equipotencia entre dos conjuntos? ¿Qué es un fractal?

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

CONCEPCIONES EN TORNO AL INFINITO ACTUAL

PRUEBA DIAGNÓSTICA

Nombre: _______________________________________________________

Las siguientes preguntas están relacionadas con el concepto de infinito que usted

posee. Solamente puede marcar una respuesta


1. ¿Con qué término relaciona usted la palabra infinito?

a. Tamaño

b. Grandeza

c. Pequeñez

2. ¿En qué etapa de su vida adquirió la mayor información sobre el infinito?

a. En Ninguna, ha sido siempre una idea intuitiva

b. Educación básica y media

c. Educación superior

3. ¿Con qué término relaciona usted la palabra fractal?

a. Ninguna

b. Geometría

c. Autosemejanza

4. ¿Cuál de los siguientes conjuntos numéricos tiene mayor cantidad de elementos?

Naturales Impares

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. ¿Qué conoce usted acerca del software Cabri Geometre?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


6. Dada la siguiente figura, analice cada pregunta y justifique su respuesta.

En la figura, ¿El segmento AB representa el mismo número de puntos que el segmento CD? y

¿El segmento AB representa el mismo número de puntos que el segmento EF?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Construcción de fractales con papel: como contextualización a la construcción de

fractales, se implementará una actividad manual en donde los docentes de

matemáticas realizarán la carpeta de Sierpinski (Ver Figura 6) efectuando una serie de

cortes para ir obteniendo en cada iteración una cantidad cada vez mayor de

paralelepípedos.

Figura 6. Fractal “carpeta de Sierpinski” en papel


Situaciones Problema: teniendo como base las etapas históricas desarrolladas en el

proyecto y el contexto en el cual los docentes están inmersos, se construirán

situaciones problema desde el software Cabri Geometre con el fin de determinar los

cambios de representación que se hacen frente al concepto de infinito actual.

Cada una de las situaciones problema involucra la construcción de un fractal en

Cabri Geometre, por lo que se mostrará paso a paso la generación del fractal “copo de

nieve” al iniciar y contextualizar a los docentes del software antes de la aplicación de

los instrumentos.

Para conseguir los objetivos de esta investigación es de vital importancia la

formulación de categorías de análisis en las cuales se relacionen las concepciones que

tienen los docentes desde su formación como licenciados en matemáticas y aquellas

representaciones que se re conceptualizan por medio de la aplicación de la propuesta,

para esto se tomarán como referencia algunos de los estudios que Bruno D`Amore ha

realizado con estudiantes en relación al concepto de infinito actual.

Una vez finalizado este proceso, se aplicará la propuesta a docentes de

matemáticas en forma de taller-seminario en dos sesiones y haciendo una distribución

de docentes: en un grupo los profesores de básica primaria y en un segundo aquellos

que imparten dicha asignatura en los cursos superiores; adicionalmente se llevarán

registros audiovisuales de la interacción de los profesores con las situaciones

problema planteadas desde el software educativo así como también la evidencia física.

Se muestra a continuación las situaciones problema con sus respectivos objetivos

y categorías de análisis:


SITUCIONES PROBLEMA EN TORNO AL INFINITO ACTUAL

SP1. FORMATOS DE PAPEL DIN Y CARNETIZACIÓN EN LA UMNG

Los formatos de papel DIN fueron definidos en el año

1922 en la norma 476 del DIN –Deutsches Institutfür

Normung (Instituto Alemán de Normalización) y desarro-

llados por el ingeniero berlinés Dr. Walter Porstmann; ha

sido la base de su equivalente internacional 216 de la ISO

(Organización Internacional para la Estandarización). En

la actualidad es más usual denominarlos sin prefijo al-

guno: "A4", "A3", etc.

Figura A.

Estos tamaños estandarizados están divididos en series cada una de las cuales está pensada

para un uso concreto que determina sus proporciones. La forma de obtener el formato A1 se

realiza doblando por la mitad el formato A0, así como el formato A2 se consigue doblando el

formato A1 de la misma manera y sucesivamente hasta obtener un formato de menor área

según el uso correspondiente1.(Figura A)

Jaime Pedraza, encargado de la carnetización en la Universidad Militar Nueva Granada,

recibe una resma de 500 hojas de tamaño A4 para la producción de los carnés de los estudian-

tes nuevos de primer semestre de 2013. Con las indicaciones dadas en la figura 1, Jaime debe

1 Tomado de http://carlinvallecas.es/wp-content/uploads/2012/11/el-papel-procesos-de-fabricacion-

historia-y-tipos.pdf


realizar los cortes hasta obtener un formato estándar para cada uno de los carnés y que por

cada hoja salgan la mayor cantidad de documentos. Si el encargado de la carnetización reali-

za los cortes adecuadamente en su totalidad y utiliza 24 hojas de la resma entregada. ¿Qué

formato utilizó Jaime para los carnés? ¿Cuántos estudiantes se inscribieron en toda la Univer-

sidad para el periodo 2013 – I? (Utiliza la información de la figura B)

Figura B.

SP2. VIAJE EN BICICLETA.

Natalia desea ir en su bicicleta desde el punto A hasta el punto B y para esto tiene que pa-

sar por el punto C, que resulta ser el punto medio entre A y B. Luego ella debe pasar por el

punto D, el punto medio entre C y B. Luego por el punto E, que es el punto medio entre D y

B; y así sucesivamente debe ir pasando por el punto medio de cada segmento resultante. Si-

guiendo este proceso, ¿es posible que en algún momento Natalia alcance el punto B con su

bicicleta? Justifique su respuesta.


SP3. SALONES DE CLASE DEL GIMNASIO CAMPESTRE SIERPINSKI

Según las políticas del Ministerio de Educación Nacional, el tamaño de las aulas de clase de

una institución estará reglamentado según el número de estudiantes inscritos. Un salón de 1 a

15 estudiantes debe tener 24 metros cuadrados de área, de 16 a 30 estudiantes 48 metros cua-

drados y de 31 a 40 estudiantes se requieren 64 metros cuadrados.

José Luis Suárez es un magister en Educación y licenciado en matemáticas que ha decidi-

do montar su propia institución educativa a la cual llamará Gimnasio Campestre Sierpinski en

honor a Wacław Sierpinski, personaje quien describió por primera vez en 1916 el fractal

“La alfombra de Sierpinski” y el cual se construye de la siguiente manera:

1. Se comienza con un cuadrado.

2. El cuadrado se divide en 9 cuadrados congruentes y se

elimina el cuadrado central.

3. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada

uno de los 8 cuadrados restantes.

La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un

número infinito de iteraciones.

José decide aplicar la forma de este fractal para la construcción de sus salones de clase

haciéndole las siguientes modificaciones:

1. El terreno tiene forma cuadrada y uno de sus lados mide 132 metros.

2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes y se obvian los cuadrados con núme-

ros pares. (Ver figura C)


3. Se realiza este procedimiento dos veces más a cada uno de los cuadrados resultantes.

Figura C.

Si los lados de cada uno de los salones del Gimnasio Campestre Sierpinski tendrán la me-

dida de los lados de los cuadrados resultantes del paso número tres. ¿Qué rango de número

de estudiantes tiene pensado el licenciado para cada uno de los salones de su institución edu-

cativa? ¿Estaría de acuerdo usted con esa cantidad?

SP4. PIRAMIDE TELEFÓNICA TELECOM BOGOTÁ

En una reciente entrevista a Jorge Álvaro Ramírez

al canal JcV, arquitecto quien diseñó la pirámide de la

sede principal de Telefónica Telecom Bogotá ubicada

en la localidad de Suba, menciona que cada uno los

lados de la pirámide están formados por mínimas figu-

ras triangulares de vidrio azul teniendo en cuenta la

construcción del fractal “Triángulo de Sierpinski” has-

ta su cuarta iteración.

Si la longitud de los lados de los triángulos de menor área resultantes del proceso fractal

es de 1.16 metros. ¿Cuál es la altura de la sede Telefónica Telecom Bogotá?


PRUEBA DE SALIDA

Después de haber realizado las anteriores situaciones problema modeladas por el software

Cabri Geometre, responda las siguientes preguntas:

1. ¿Qué puede concluir ahora sobre el concepto del infinito teniendo en cuenta las acti-

vidades realizadas y sus concepciones previas?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. ¿Considera que la capacitación sobre Cabri Geometre y el infinito actual aportó ele-

mentos metodológicos para su labor como docente de matemáticas? ¿Cuáles?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


CATEGORÍAS DE ANÁLISIS

INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS

Tabla 2. Categorías de Análisis para los instrumentos

INSTRUMENTO FASE OBJETIVO DESCRIPCIÓN CATEGORÍAS E INDI-

CADORES

PD

Dia

gn

óst

ico

Identificar

las concep-

ciones intui-

tivas que los

docentes de

matemáticas

tienen acerca

del infinito

actual

Por medio de una

encuesta escrita,

los docentes de

matemáticas se

enfrentarán a al-

gunas preguntas

que giran en torno

a las concepciones

acerca del infinito.

Se presentan al-

gunos interrogan-

tes acerca del

infinito en su dua-

lidad potencial-

actual.

PRIMERA PARTE

REPRESENTACION

Geométrica y Verbal

CONCEPTOS EN AC-

CIÓN

Intuición del infinito

Infinito potencial

Cardinalidad

Biyección

Indicadores

1.Intuición sobre el Infinito

2.Infinito Potencial

3.Infinito Actual

SP1

Co

nte

xtu

aliz

ació

n

Identificar el

significado

del proceso

de la “itera-

ción” como

acercamiento

inicial con el

concepto de

infinito ac-

tual en una

situación

problema.

Utilizando como

base la norma

DIN que estable-

ce el formato del

papel, se busca

que por medio del

software Cabri

Geometre se ha-

gan las construc-

ciones correspon-

dientes para que el

docente de res-

puesta a los plan-

teamientos dados

y que con ayuda

de la simulación,

se encuentre una

primera relación

entre la iteración

en mitades y el

infinito actual

REPRESENTACION

Geométrica y numérica

CONCEPTOS EN AC-

CIÓN


Iteración

Semejanza

Longitud

Área

Indicadores

1.Traducir

2.Formular

3.Desarrollar

4. Expresar


SP2

Est

ruct

ura

ción

Enfrentar al

docente a una

modificación

realizada de

la paradoja

de Zenón en

una situación

específica y

determinar

concepciones

en torno a su

planteamien-

to y resolu-

ción.

Por medio de la

simulación y di-

namismo del

software Cabri-

Geometre, se bus-

ca que el docente

realice la cons-

trucción del seg-

mento dado y por

medio de macros

encuentre los pun-

tos medios co-

rrespondientes y

deduzca una posi-

ble solución a la

paradoja de Ze-

nón.

REPRESENTACION

Geométrica

CONCEPTOS EN AC-

CIÓN


Infinito Potencial

Iteración

Segmento

Punto medio

Indicadores

1.Intuición sobre el Infinito


3.Infinito Actual

SP3

Est

ruct

ura

ció

n

Relacionar

los términos

“auto seme-

janza” e “ite-

ración” con

el concepto

de infinito

actual en una

situación

problemática

específica

por medio de

la construc-

ción del frac-

tal “alfombra

de Sierpins-

ki”

La construcción

de la alfombra de

Sierpinski se utili-

za como pretexto

para que, en pri-

mer lugar, se ob-

tengan las dimen-

siones de un salón

de clase para de-

ducir información

adicional y en

segundo lugar, se

utilice la iteración

y auto semejanza

por medio de ma-

cros y se estructu-

re un concepto

más sólido del

infinito actual.

REPRESENTACION

Geométrica y Numérica

CONCEPTOS EN AC-

CIÓN


Iteración

Polígono

Trisección de un

segmento

Semejanza

Longitud

Indicadores

1.Traducir

2.Formular

3.Desarrollar

4. Expresar


SP4

Val

idac

ión

Aplicar los

términos

“auto seme-

janza” e “ite-

ración” con

el concepto

de infinito

actual en una

situación

problemática

específica

por medio de

la construc-

ción del frac-

tal “Triángu-

lo de Sier-

pinski”

La construcción

del triángulo de

Sierpinski se utili-

za como pretexto

para llegar a un

concepto de infi-

nito actual. Por

medio de un pro-

ceso finito con

macros y la ayuda

del teorema de

Pitágoras se ob-

tendrá la respuesta

a la situación pro-

blema y la mode-

lación realizada se

mostrará otra re-

presentación del

infinito actual

utilizando anima-

ciones con el

software Cabri-

Geometre.

REPRESENTACION


CONCEPTOS EN AC-

CIÓN


Iteración

Polígono Regular

Punto medio

Semejanza

Longitud

Teorema de Pitágo-

ras

Longitud

Indicadores

1.Traducir

2.Formular

3.Desarrollar

4. Expresar

• Etapa 3: Análisis e interpretación de datos (2013 – II)

A continuación se describirá brevemente el proceso de análisis de datos que se llevará a cabo

en esta etapa:

• Organizar los datos: los datos fueron clasificados a partir de las estrategias empleadas

en cada situación planteada en las categorías preestablecidas.


• Categorización de la información: se elaboraron categorías para establecer posibles

relaciones entre lo que se observó en la prueba diagnóstica y la ejecución de la

propuesta

• Cruzar información, comparar y proponer: la información obtenida en la observación se

cruzará entre las diferentes fuentes que se utilizan para su recolección, es decir,

teniendo en cuenta la información recolectada en el instrumento diseñado, la

proporcionada por las grabaciones del trabajo con el programa y los formatos físicos.

Finalmente se plasmarán los resultados obtenidos del análisis en forma de

conclusiones y recomendaciones, en donde se tendrán en cuenta los hallazgos

encontrados durante el proceso, aspectos por mejorar, aciertos y se dejará abierta la

propuesta hacia futuras investigaciones referidas al estudio del infinito y las

implicaciones que conlleva el uso de herramientas tecnológicas sobre este objeto

matemático en el aula de clase.

5.4. Cronograma de actividades

Tabla 3. Cronograma de Actividades

Cronograma de actividades

Actividad

2012 2013 A

A

g

o

S

S

e

p

P

O

c

t

n

N

o

v

e

E

n

e

f

F

e

b

M

M

a

r

a

A

b

r

m

M

a

y

j

J

u

n

j

J

u

l

a

A

g

o

s

S

e

p

n

N

o

v

Eta

pa 1

Planteamiento del

problema

x

x

x

x

Pregunta de

investigación

x

x

x

x

a

Objetivos

-

x

x

x

x

Revisión de

antecedentes y bibliografía

x

x

x

x

x

x

Construcción del marco

teórico y metodológico.

x

x

S

x


Eta

pa 2

Ob

jeti

vo

Gen

eral,

ob

jeti

vo

esp

ecíf

ico 1

y 2

Etapas históricas

X

x s x

Diseño de situaciones

problema

x

x x

Realización de las

categorías de análisis

x

X

x

x

x

Aplicación de

instrumentos

- x

X

x

x

x

Eta

pa 3

Ob

jeti

vo G

ener

al,

ob

jeti

vos

esp

ecíf

ico

s 3 y

4.

Triangulación de la

información

- s

x

x

Análisis de resultados

x

s

x

x

x

Conclusiones y

recomendaciones

x x

x

x

Última revisión y

entrega de monografía

- s

x

x

Presentación de

Ponencia en el I Congreso

De Educación Matemática

De América Central Y De El

Caribe

s

x

5.5. Validez del estudio

Para maximizar la validez del estudio se tendrán en cuenta los siguientes criterios:

Triangulación de la información obtenida por las dos fuentes de recolección de datos:

instrumentos aplicados y grabaciones de video.

Grabación de la implementación con el software, esto permitirá validar los resultados

obtenidos e identificar las representaciones que se modificaron durante la ejecución.


6. Resultados y análisis de la información

Este apartado se dividirá en dos partes: en primer lugar se realizará el análisis teniendo en

cuenta la aplicación de los instrumentos en cada institución educativa y posteriormente

realizar una comparación entre los resultados obtenidos a nivel general por los docentes de

los planteles de la comunidad Lasallista.

Adicionalmente, para el análisis de datos se utilizarán como referentes los tres aspectos

planteados en la etapa número dos de Diseño y Aplicación de instrumentos del marco

metodológico: la prueba diagnóstica, la construcción de fractales con papel y la resolución

de las situaciones problema, los resultados de la prueba de salida se analizarán en la segunda

parte de este capítulo.

6.1. Liceo Hermano Miguel la Salle

La aplicación de los instrumentos en esta institución educativa se llevó a cabo en dos

sesiones, cada una de 50 minutos. A continuación se describirán los resultados obtenidos en

cada uno de los referentes a analizar:

Prueba Diagnóstica.

Este análisis consiste en presentar cada una de las respuestas de los docentes participantes en

este estudio para encontrar similitudes, diferencias y contradicciones entre las concepciones

mencionadas en el instrumento en relación al infinito.


Pregunta 1:

En esta primera pregunta se evidencia una concepción intuitiva sobre el infinito, pues de

acuerdo con Núñez (1997) “es más fácil comprender el infinito en lo grande como un proceso

que continua sin parar y que no tiene fin, que el infinito en lo pequeño, en donde a pesar de

conservarse el hecho de un proceso sin fin, aparece una nueva situación que sugiere que

dicho proceso tiene un límite”. (p. 20). Desde los primeros años de vida y aún durante la

formación profesional, se asocia el infinito a la noción de crecimiento en la posibilidad de

encontrar un número natural mayor a uno dado, la noción de límite, y en la cardinalidad de

un conjunto numérico, por lo que se puede concluir que este objeto matemático no pasa de

ser concebido como algo que no tiene fin, que no se puede contar o que no tiene límites.

Pregunta 2:

Tamaño Grandeza Pequeñez

0

5

10

¿Con qué término relaciona usted la palabra infinito?

0

2

4

6

8

IntuitivoEd. Básica

Ed Superior

¿En qué etapa de su vida adquirió la mayor información sobre el infinito?


Efectivamente en la educación superior es donde se evidencia un mayor acercamiento al

infinito, específicamente los docentes manifiestan que en los cursos de precálculo, cálculo

diferencial y algunos otros en seminarios relacionados con la teoría de conjuntos en donde se

comprende la cardinalidad de los naturales y los reales y las diversas correspondencias entre

estos.

Pregunta 3:

Los docentes en cuestión manifestaron que durante su formación profesional no hicieron

mayor énfasis en la construcción de fractales aunque durante los cursos de geometría se les

fueron mencionadas dos características fundamentales de éstos: en primer lugar la auto

semejanza, es decir que cada figura resultante mantiene las mismas propiedades de la figura

inicial frente a su forma y en segundo lugar la dimensión no entera, esto es que así como un

rectángulo tiene dimensión dos (2) ya que sus dimensiones son: ancho y largo y un cubo tiene

dimensión tres (3) ancho, alto y altura, los fractales no poseen una dimensión entera por su

construcción.

0

5

10

NingunaGeometría

Autosemejanza

¿Con qué término relaciona usted la palabra fractal?


Pregunta 4:

Es importante rescatar que la mayoría de docentes, al tener una formación matemática,

respondieron que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos basados en dos

principios: inicialmente el establecer una relación biyectiva en la cual para cada elemento del

conjunto de los números naturales le corresponde un elemento del conjunto de los números

impares (Ver Figura 7) y por otra parte, la congruencia entre el cardinal de ambos conjuntos.

Figura 7. Biyección entre el conjunto de números naturales e impares

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

¿Cual de los siguientes conjuntos numéricostiene mayor cantidad de elementos?

Impares

Naturales

Tienen la mismacantidad de elementos

Son infinitos


Por el contrario, pocos docentes dieron prelación hacía un conjunto específico,

específicamente los profesores de educación inicial, esto muestra nuevamente que las ideas

intuitivas prevalecen, pues al tener como base lo planteado por Garbín (2005) el infinito

potencial se considera como una idea intuitiva, mientras que el infinito actual es una noción

contra intuitiva.

Pregunta 5: ¿Qué conoce usted acerca del software Cabri Geometre?

Para esta pregunta la mayoría de docentes manifestaron que ya habían interactuado con el

software en su formación profesional, ya que en los cursos de geometría se utilizaron

calculadoras graficadoras, aunque su manejo fue muy básico, específicamente, manifiestan

los docentes, construcción de polígonos y caracterización de estos, trisección de segmentos

con circunferencias y generación de triángulos semejantes y congruentes. (Ver anexo

audiovisual 1)

Pregunta 6:

En primer lugar, los docentes que se enmarcaron dentro de la opción sí, argumentaron que al

igual que el numeral 4, se puede establecer una biyección entre el segmento AB y el

segmento CD, generalizando una equipotencia entre los dos conjuntos (Ver figura 8), pues

En la figura, ¿El segmento AB representa el mismo número de

puntos que el segmento CD?

Si

No


justificaron sus respuestas considerando que esta igualdad en el número de elementos se

debía a que los conjuntos eran infinitos.

Figura 8. Correspondencia entre la cantidad de puntos entre dos segmentos

En segundo lugar, los docentes que dieron una respuesta negativa coincidieron en que los

dos segmentos tiene diferente longitud, por lo tanto el segmento AB tiene menos puntos que

el segmento CD, en este caso y siguiendo a Núñez (1997) quien considera que “el

pensamiento abstracto hace parte de una dimensión de la actividad mental humana, la cual no

está basada en la experiencia directa con lo que nos rodea”. (p. 20). Lo anterior sugiere que la

persona debe alejarse un poco de su percepción sensorial para comprender algunos elementos

que son concebidos por su mente y que no se pueden materializar, esto hace referencia a uno

de los obstáculos epistemológicos en el estudio del infinito, la caracterización del todo mayor

que una de sus partes.

Construcción de Fractales con papel.

En esta segunda actividad, los docentes se sintieron muy motivados pues ninguno de ellos

había construido un fractal con papel. Dándoles las instrucciones correspondientes, cada

profesor iba recortando y tomando por escrito el total de paralelepípedos que se formaban en

cada iteración y algunos se atrevieron a conjeturar una expresión que relacionara el paso


correspondiente con el total de sólidos formados. Al realizar el tercer paso se dieron cuenta

que el paso siguiente no se podía hacer, puesto que el tamaño del papel no permitía este

proceso, por lo que en ese momento se hizo preámbulo a la siguiente actividad que era la

construcción del fractal “copo de nieve” en el software Cabri Geometre. (Ver Anexo

Audiovisual 2)

Situaciones Problema.

Al realizar la modelación de la construcción del fractal copo de nieve, (Ver Anexo 3) los

docentes identificaron las herramientas básicas para la generación de macros y conocer el

entorno gráfico de Cabri Geometre. Posteriormente, se hizo lectura una a una de las

situaciones problema para aclarar dudas; para este análisis se tomarán como base las

categorías mencionadas en el marco metodológico relacionadas con los cuatro pasos para la

resolución de problemas: Traducir, Formular, Desarrollar y Expresar.2


2 Es importante aclarar que los docentes del Liceo utilizan estos cuatro pasos para la resolución de situa-

ciones problema en todos los niveles escolares, por lo cual se logró ahorrar bastante tiempo en la implemen-tación.

0

2

4

6

8

10

Traducir Formular Desarrollar Expresar

FORMATOS DE PAPEL DIN Y CARNETIZACIÓN EN LA UMNG


Traducir: la totalidad de docentes logró identificar quién era el personaje y cuál era su fi-

nalidad, adicionalmente manifestaron desconocer el tema de los formatos del papel, lo cual

hizo que generara curiosidad en dar solución a la situación problema.

Formular: durante esta fase se presentaron dos situaciones, dos docentes decidieron utili-

zar el software Cabri Geometre, mientras que el restante de profesores manifestó utilizar lápiz

y papel puesto que dedujeron que la longitud de cada lado del rectángulo resultante, resultaba

ser la mitad del rectángulo anterior (Ver figura 9), es decir, obteniendo las dimensiones de

cada formato, estimarían el tamaño de los carnés.

Figura 9. Obtención numérica de las dimensiones del papel

Desarrollar: los docentes que decidieron utilizar la herramienta tecnológica obtuvieron

una respuesta correcta, ya que aplicando la opción, distancia y longitud, (Ver anexo audiovi-

sual 4) y realizando la modelación correspondiente logran encontrar el formato de papel ade-

cuado, que para este caso era el A7.


Aquellos profesores que utilizaron el pensamiento numérico para dar solución a la situa-

ción realizaron una aproximación del tamaño de cada carné con las dimensiones encontradas

y respondieron que el formato adecuado era el A8.

Expresar: la implicación de la situación problema se resumía en obtener una respuesta

numérica, solo tres docentes consiguieron llegar a este paso, puesto que al decir que A7 era el

formato pertinente, salía una menor cantidad de carnés por hoja, caso contrario del A8, cuya

respuesta fue cuestionada por algunos, como se evidencia en la figura 10.

Figura 10. Respuesta dada a la situación problema 1

SP2. VIAJE EN BICICLETA.

0

2

4

6

8

10


VIAJE EN BICICLETA


Traducir: al igual que la situación problema anterior, todos los docentes identificaron que

Natalia era el personaje y la finalidad era saber si ella podría lograr llegar hasta el punto B

con su bicicleta.

Formular y Desarrollar: inmediatamente al ser leída la situación problema, los docentes

asociaron dicho relato con una de las paradojas de Zenón, la cual manifiesta que: “Un corre-

dor debe recorrer el espacio que media entre el punto de salida y la meta. Para ello deberá en

primer lugar alcanzar el punto medio del trayecto y aún antes el punto que media entre este

último y la salida...Puesto que nadie puede completar ese número infinito de tareas es necesa-

rio concluir que el corredor no puede alcanzar la meta”. Por lo cual, sugirieron realizar la

construcción en Cabri Geometre comenzando con un segmento y con la opción Punto medio,

observar si en algún momento ese punto medio coincidiría con el punto B, es decir el punto

de llegada. De esto se obtuvieron las siguientes conclusiones.

Expresar: la primera conclusión se centró en plantear que físicamente sí es posible que

Natalia llegue a su destino, puesto que las distancias son mensurables, sin embargo, existió

una segunda visión frente a lo matemático, debido a que este proceso nunca tendrá fin y si se

tiene en cuenta la infinitud de los puntos que conforman un segmento y lo que plantea Arrigo,

G. & D'Amore, B. (1999), siempre se encontrará un punto entre otros dos, haciendo que la

concepción de infinito se convierta desde un punto de vista ‘potencial` a otra visión del infi-

nito como actual, esto es, visto desde lo finito hacia lo infinito.



Traducir y Formular: el identificar el personaje y la finalidad no causó dificultad entre

los docentes; por el contrario, en esta fase y teniendo en cuenta la S1, cuatro docentes utiliza-

ron el software como medio para resolver la situación, en el Anexo visual 5 se evidencia la

construcción realizada por un docente del fractal en su totalidad y haciendo uso de herramien-

ta distancia y longitud logra hallar el resultado. Por su parte, el resto de profesores decidieron

nuevamente recurrir al pensamiento numérico para hallar su respuesta.

Desarrollar y Expresar: las respuestas obtenidas fueron unánimes, aunque los que no uti-

lizaron la herramienta tecnológica, lograron obtener la respuesta y su implicación en un tiem-

po menor que quienes lo usaron (Ver figura 11), esta situación permitió reflexionar sobre la

pertinencia de la implementación de los diversos tipos de software en el aula de clase y el

tipo de ejercicios que se le plantean a los estudiantes.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


SALONES DE CLASE DEL GIMNASIO CAMPESTRE SIERPINSKI


Figura 11. Respuesta dada a la situación problema 3

SP4. PIRÁMIDE TELEFÓNICA TELECOM BOGOTÁ

Traducir y Formular: Una vez hicieron uso del software, la mitad de los docentes deci-

dieron hacer la construcción del triángulo de Sierpinski por medio de la herramienta macros,

haciendo una retroalimentación de esta. Dos docentes por el contario, preguntaron cómo se

construía el fractal y comenzaron a ensayar con las herramientas correspondientes hasta la

iteración 3, para finalmente obtener la longitud de los lados de los triángulos resultantes. Fi-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


PIRAMIDE TELEFÓNICA TELECOM BOGOTÁ


nalmente, el resto de profesores prefirieron calcular numéricamente el resultado, como se

observa en la figura 12.

Figura 12. Respuesta dada a la situación problema 4, Institución 1.

Desarrollar y Expresar: posterior a encontrar la longitud de los lados de los triángulos re-

sultantes del proceso fractal, los docentes calcularon la longitud de uno de los lados de la

pirámide y, utilizando el teorema de Pitágoras ,calcularon la altura de este sin embargo, pasa-

ron por alto que la pregunta hacía referencia no a la altura de los lados triangulares de la pi-

rámide sino la altura la misma, por lo que sólo un docente llegó a la implicación correcta,

esto se evidencia también en la figura 12.

6.2. Instituto san Bernardo de la Salle

La aplicación en el Instituto, se realizó en una sola sesión de 50 minutos, por lo que la

construcción de fractales con papel no se llevó a cabo. Los resultados obtenidos fueron los

siguientes:


Prueba Diagnóstica

Pregunta 1:

Al recopilar las respuestas obtenidas en esta segunda institución se puede observar que sigue

prevaleciendo una noción intuitivita sobre el infinito, pues teniendo como base los resultados

obtenidos por Arrigo, G. & D'Amore, B. (1999), se tiende a recordar el concepto de este

objeto matemático como un proceso que está en construcción y que no termina, dicho de otro

modo, se evidencia la concepción del infinito como una noción estrictamente potencial.

Pregunta 2:

Tamaño Grandeza Pequeñez

0

2

4

6

¿Con qué término relaciona usted la palabra infinito?

0

2

4

6

8

IntuitivoEd. Básica

Ed Superior

¿En qué etapa de su vida adquirió la mayor información sobre el infinito?


En su totalidad, los docentes de matemáticas del instituto San Bernardo de la Salle

determinan que durante su formación profesional, sea licenciatura o ingeniería, tuvieron una

formación sobre el infinito, pero específicamente lo relacionaban con el hallazgo de límites

en los seminarios de cálculo y en las matemáticas básicas.

Pregunta 3:

Al momento de responder esta pregunta, algunos de los docentes se refirieron

tímidamente al término fractal, pues aunque no tuvieron una formación específica sobre este

concepto, lo relacionaron con la geometría de la naturaleza, aporte que dio un profesor cuya

formación había sido ingeniería.

Pregunta 4:

0

2

4

6

NingunaGeometría

Autosemejanza

¿Con qué término relaciona usted la palabra fractal?

0

2

4

6

8

¿Cuál de los siguientes conjuntosnuméricos tiene mayor cantidad de

elementos?

Impares

Naturales

Tienen la mismacantidad de elementos


Para el caso de esta pregunta en donde se requería comparar el número de elementos de

dos conjuntos, la gran mayoría de los educadores coincidieron en afirmar que ambos

conjuntos tenían el mismo número de elementos, esto se debe en gran medida a la idea de

cardinalidad que se tiene en la formación profesional y, teniendo en cuenta uno de las

características mencionadas dentro de los obstáculos epistemológicos sobre el infinito

planteados por Bruno D’Amore, se encontró que aquellos conjuntos se le pueden agregar

cada vez más elementos sin posibilidad de llegar a un fin.

Pregunta 5: ¿Qué conoce usted acerca del software Cabri Geometre?

Como se puede evidenciar en la figura 13, algunos de los profesores conocen someramente

Cabri Geometre, puesto que durante su formación profesional no tuvieron contacto a

profundidad con software para la enseñanza de las matemáticas, simplemente hacían alusión

al programa Derive, utilizado para cálculo.

Figura 13. Características de Cabri dadas por los docentes de institución 2.


Pregunta 6:

En esta pregunta, un 90% de los docentes coincidieron en que los segmentos AB y CD, tenían

la misma cantidad de puntos, una justificación dada por uno de ellos referencia a la idea de

bisección entre los dos segmentos, que se pueden relacionar como dos conjuntos numéricos,

ya que a pesar de que visualmente el segmento AB tiene menor longitud que el segmento CD,

se puede establecer una función con un punto de referencia externo en el cual para cada punto

del segmento inicial, le corresponde otro punto del segmento final (Ver figura 14).

Figura 14. Solución dada a la cantidad de puntos de los segmentos

En la figura, ¿El segmento AB representa el mismo número de puntos que el segmento

CD?

Si

No


Situaciones Problema

Previamente a la resolución de las cuatros situaciones problema se realizó una capacitación a

los profesores de esta institución educativa del software, para esto se efectuó la construcción

del fractal utilizando los comandos básicos (Ver Anexo 6). A diferencia de los docentes del

Liceo Hermano Miguel, fue necesario contextualizar los pasos correspondientes a la

resolución de problemas, ya que la metodología utilizada en el Instituto respecto a estos,

difiere en su forma.


Traducir: en un 100% los profesores identificaron tanto que Jaime Pedraza era el perso-

naje y su finalidad era, por una parte, saber cuál era el formato adecuado para realizar los

carnés de la Universidad Militar Nueva Granada y finalmente conocer el total de estudiantes

matriculados en el primer semestre del año 2013 en dicha Institución de Educación Superior.

Formular y desarrollar: durante esta fase se observó que ninguno de los docentes utilizó

la herramienta tecnológica para resolver la situación problema, sino por el contrario utilizar

una de las hojas tamaño A4 (o tamaño carta) que se proporcionaron para la aplicación y co-

0

2

4

6

8


FORMATOS DE PAPEL DIN Y CARNETIZACIÓN EN LA UMNG


menzaron a realizar los dobleces correspondientes. Por otra parte, y basándose en el proce-

dimiento numérico usado por los docentes del Liceo Hermano Miguel, la mitad de educado-

res comenzaron a efectuar las operaciones aritméticas para hallar la respuesta.

Expresar: a pesar de que no se utilizó el software educativo en cuestión, los docentes en-

contraron las respuesta correcta, el formato A7 y con esta información obtuvieron el total de

estudiantes matriculados en ese semestre, el cual era 192 personas.

SP2. VIAJE EN BICICLETA

Traducir: en semejanza con la situación problema anterior, la totalidad de los profesores

identificaron el personaje y su finalidad

Formular y Desarrollar: los docentes relacionaron la situación problema con la paradoja

de Zenón, por lo cual establecieron dos estrategias para dar su solución: por un lado teniendo

en cuenta el carácter analítico - matemático y por otra parte la esencia física de los lugares.

Ninguno utilizó el software Cabri Geometre.

0

1

2

3

4

5

6

7

8


VIAJE EN BICICLETA


Expresar: teniendo en cuenta el carácter analítico se determinó que no era posible que

Natalia llegara a su destino, esto debido a que en esta situación problema existen dos proce-

dimientos que entran en juego, por una parte la iteración del número de pasos que se deben

realizar y la distancia que en cada paso recorre; donde mientras el número de pasos aumenta

(proceso divergente), la distancia cubierta por ellos disminuye (proceso convergente). Núñez

(1997). Si por el contrario se resuelve a situación por medio de lo físico, las respuestas con-

vergen en la posibilidad de recorrer aquella distancia es viable, nuevamente por la conmen-

surabilidad.


Traducir y Formular: para esta situación problema, los docentes decidieron, en su totali-

dad, realizar la construcción del fractal en el software, posterior a que identificaran el perso-

naje, José Luis Suárez y su finalidad construir su institución educativa con las características

del fractal.

Desarrollar y Expresar: al realizar la construcción del fractal en Cabri Geometre, los do-

centes representaron el cuadrado con las medidas correspondientes, las unidades de medida

0

2

4

6

8


SALONES DE CLASE DEL GIMNASIO CAMPESTRE SIERPINSKI


fueron modeladas en centímetros en vez de metros. Posteriormente hicieron las divisiones de

cada uno de los lados del cuadrado en tres partes iguales, repitieron el procedimiento según lo

indicado y finalmente utilizando la herramienta distancia y longitud del software, obtuvieron

la longitud del cuadrado resultante, que para el caso de la situación problema, representaba la

medida del lado de cada salón de la institución que quería construir el Licenciado. Para ex-

presar la solución hallaron el área del cuadrado numéricamente y reflexionaron en torno a la

cantidad de estudiantes por aula.

SP4. PIRAMIDE TELEFÓNICA TELECOM BOGOTÁ

Traducir y Formular: los docentes identifican con facilidad el personaje y su finalidad y

como en la capacitación realizada se mostró paso a paso la construcción del Triángulo de

Sierpinski, comenzaron a explorar nuevamente el fractal siguiendo las instrucciones de la

situación problema.

Desarrollar y Expresar: teniendo ya el fractal construido por medio de macros hasta la

tercera iteración, (Ver Anexo audiovisual 7), los docentes utilizaron el dinamismo de Cabri

Geometre para modificar el tamaño del triángulo e hicieron un cambio de representación del

0

1

2

3

4

5

6

7

8


PIRAMIDE TELEFÓNICA TELECOM BOGOTÁ


objeto matemático, para esto hicieron coincidir el valor numérico de la longitud de los lados

de los triángulos de menor área y con esa información, ellos dedujeron el valor del lado de la

pirámide. Finalmente hicieron uso del Teorema de Pitágoras para calcular la altura de dicho

sólido. Se evidenció que en un 90% los educadores acertaron con su respuesta. (Ver figura

15).

Figura 15. Respuesta dada a la situación problema 4, Institución 2.

6.3. Comparación de resultados entre instituciones en torno al infinito

Consecuentemente con los resultados descritos anteriormente, se procederá a realizar un cua-

dro comparativo general teniendo en cuenta las concepciones sobre el infinito actual de los

docentes de matemáticas de cada institución, las categorías de análisis planteadas, las caracte-

rísticas de la población y el método aplicado en el desarrollo de la investigación. Adicional a


esto, en la parte superior de algunos instrumentos se realizará una reflexión utilizando aspec-

tos mencionados en el marco teórico en el apartado del referente didáctico tales como los

obstáculos epistemológicos y didácticos sobre el infinito, sistemas de representación, uso de

software educativo en el aula de clase y situaciones problema.

Instrumento Liceo Hermano Miguel La Salle Instituto San Bernardo De La Salle

Prueba

Diagnóstica

Pregunta 1.

Se determina que los docentes de

esta institución dan una respuesta

intuitiva frente al concepto de

infinito, es decir, hacía la grande-

za de un conjunto.

En caso similar, los educadores del

Instituto manifiestan por su forma-

ción, que el infinito está referenciado

de forma intuitiva como un “algo”

que nunca termina y que siempre es

creciente. (Infinito Potencial).

Prueba

Diagnóstica

Pregunta 2.

Durante la formación profesional,

especialmente en los cursos de

cálculo y Teoría de Conjuntos los

profesores obtuvieron la mayor

formación profesional. En un 75%

los docentes son egresados de la

Universidad Pedagógica Nacional.

Los docentes de esta institución, en

un 90% son egresados de la Univer-

sidad Distrital Francisco José De y

referencian los cursos de cálculo

como los espacios en que abordaron

el concepto de infinito. En caso con-

trario, los docentes no tuvieron el

seminario Teoría de Conjuntos. Esto

indica que la formación profesional

influye notoriamente en la concep-

ción de un objeto matemático


Prueba

Diagnóstica

Pregunta 3.

Los profesores de esta institución

dicen que durante su formación,

en varios académicos se hizo refe-

rencia a las características de los

fractales e inclusive existe dentro

del pensum académico una electi-

va con este nombre.

Como se mencionó en el apartado

anterior, los educadores de esta insti-

tución tuvieron una formación míni-

ma frente a los fractales, esto hizo

que relacionaran el término con

geometría y no con la auto semejan-

za, siendo esta última una de las pro-

piedades de los fractales.

Prueba

Diagnóstica

Pregunta 4.

La mayoría de los docentes coin-

cidieron en decir que los conjun-

tos tienen el mismo número de

elementos, esto porque ambos son

infinitos y se puede establecer una

función biyectiva entre sus ele-

mentos. Se puede evidenciar en

las respuestas de los docentes una

relación estrecha con la evolución

conceptual del infinito actual.

En el mismo caso, estos participantes

concluyeron, que, por la cardinalidad

de los conjuntos, se puede establecer

una función biyectiva entre los ele-

mentos de ambos conjuntos.

Prueba

Diagnóstica

Pregunta 5.

Los docentes de esta institución

han explorado de forma somera el

software Cabri Geometre, identi-

ficando los comandos básicos

para construcciones geométricas.

El uso que le han dado los profesores

del Instituto ha sido muy poco, esto

debido a su desconocimiento y a la

poca interacción con herramientas

informáticas para la enseñanza de las

matemáticas en sus prácticas diarias.


Prueba

Diagnóstica

Pregunta 6.

Se determinó que para dar res-

puesta a este interrogante se debía

establecer una biyección entre los

elementos del segmento AB y el

segmento CD y así poder concluir

que el número de puntos de am-

bos segmentos es el mismo.

Teniendo como base la pregunta nú-

mero 4 de la prueba diagnóstica, se

llegó a la conclusión que al estable-

cer la biyección entre los puntos de

ambos segmentos, se determina que

la cantidad de puntos del segmento

AB es la misma que la cantidad de

puntos del segmento CD.

Con base en el estudio de Guillermina Waldegg, G. (1998), se manifiesta que aunque la

intuición hace parte del proceso de aprendizaje, es un obstáculo epistemológico para

aceptar los conceptos formales en matemáticas, pues estos pueden conllevar a

contradicciones y posiblemente a confusiones en el estudiante, puesto que hasta que no

se tenga una formación disciplinar, será una concepción cerrada, que por lo general se

establece de manera temprana y en la cual “la falta de información se oculta de manera

tal que la persona la entiende como coherente, completa e inmediata”. Fischbein, Tirosh,

& Hess. (1979. p. 56).

Situación

Problema 1.

Al finalizar la resolución de esta

situación problema, los docentes

concluyeron que este proceso se

asemeja a la construcción de un

fractal, pues mantiene la propie-

dad de autosemejanza y se puede

llevar al infinito por medio del

uso de software educativo.

Como la mayoría de profesores re-

solvieron la situación problema de

forma manual, se concluyó que el

procedimiento llevada a cabo, era la

construcción de un fractal, ya que

mantenía sus propiedades y se podía

obtener realizando una serie infinita

de pasos.


Al realizar las construcción en Cabri Geometre el docente debía determinar las dimen-

siones del papel para realizar los carnés correspondientes, es decir, modelar una situa-

ción de la vida real involucrando los conocimientos matemáticos que posee, Armella, L.

(2002). Sin embargo, más que el resultado numérico, se pretendía un cambio de repre-

sentación, en este caso a nivel geométrico, de la generación de espacios infinitos en una

superficie finita como lo es una hoja de papel y lo que se conoce conceptualmente en

matemáticas como el infinito actual.

Situación

Problema 2.

Referenciando la paradoja de Ze-

nón, se determinó que físicamente

era posible dar solución a la situa-

ción, sin embargo, de forma analí-

tica y utilizando el software, no

era posible pues el proceso de

obtener el punto medio es infinito.

De igual manera que en el Liceo, se

llegó a las mismas conclusiones te-

niendo en cuenta el aspecto matemá-

tico y físico, a pesar de que los do-

centes del Instituto no utilizaron Ca-

bri Geometre.

Situación

Problema 3.

Sin utilizar la herramienta tecno-

lógica en su totalidad, los docen-

tes construyeron el fractal de for-

ma gráfica en el papel y recono-

cieron que no solamente el infini-

to crece sino que también decrece

dentro de ambientes finitos.

Utilizando el software, se realizó la

construcción del fractal correspon-

diente y se comprendió que el fractal

referencia un tipo de infinito actual y

no potencial, como se pensaba ini-

cialmente.


Situación

Problema 4.

Usando la construcción de Trian-

gulo de Sierpinski, los docentes

identificaron las propiedades co-

rrespondientes, obtuvieron las

respuestas numéricas y estable-

cieron de forma similar a la situa-

ción problema anterior, que el

infinito se puede representar tanto

de forma potencial como actual,

término definido al finalizar la

implementación.

Al construir el fractal de triangulo de

Sierpinski y dar solución a la situa-

ción, se determinó de igual manera

que al realizar el proceso de manera

infinita se pueden encontrar cada vez

más triángulos de menor área que

mantienen las propiedades del lado

de la pirámide, mostrando nueva-

mente una visión del infinito en acto.

Estas situaciones problema modelan la concepción del infinito actual, pues al tener su-

perficies finitas en contextos reales, permite que se identifique por medio de la iteración

y la característica de auto semejanza, esta otra clase de infinito, que como plantea De

Lorenzo (2001) permite verse como construcciones infinitas en espacios finitos. Las si-

tuaciones problema a pesar que requieren el hallazgo de una respuesta numérica a partir

de la construcción de fractales y operaciones matemáticas específicas, se utilizan como

pretexto para que se caracterice de un tipo de infinito que va en contra de lo intuitivo, es

decir , hacia lo grande y de algo que no termina sino también hacia lo infinito en lo fini-

to y que a pesar de que se puede extender el proceso de iteraciones hasta donde se quie-

ra, es necesaria la implementación de herramientas tecnológicas que permitan visualizar

este otro tipo de infinito.


Prueba de

Salida

Pregunta 1

y

Pregunta 2.

Al utilizar como pretexto las si-

tuaciones problema, en donde se

debía obtener una respuesta nu-

mérica y adicionalmente, la cons-

trucción de algunos fractales con

el software Cabri Geometre, los

profesores del Liceo expresaron

que el infinito no solamente se

puede relacionar con la grandeza,

sino que también se puede orien-

tar hacia la pequeñez, como en el

caso de los fractales. Manifestaron

que en muchos casos la intuición,

a pesar de que su formación es

matemática, suele llevar a confu-

siones conceptuales, más aún, en

objetos abstractos disciplinares.

Adicionalmente, los docentes

afirmaron que la capacitación

realizada y la implementación de

los instrumentos fueron pertinen-

tes para fomentar el cambio de la

representación intuitiva que se

Al contrario de los profesores del

Liceo Hermano Miguel, los partici-

pantes de esta institución, aunque

reflexionaron en torno a la dualidad

del infinito en acto y en potencia, no

manifestaron que se dieran mayores

cambios de sus concepciones refe-

rente al infinito, por el contrario, se

centraron en el campo metodológico,

en la implementación de herramien-

tas de modelación y simulación en el

aula y especialmente en la resolución

de situaciones problema, que como

las presentadas, logran potenciar en

el estudiante diversos tipos de pen-

samiento y no solo el numérico al

que se está acostumbrado en la ense-

ñanza tradicional de las matemáticas.


tiene sobre el infinito y que el

explorar y usar el software Cabri

Geometre como un elemento de

apoyo metodológico en el aula,

ayuda a despertar la motivación

de los estudiantes.

Tabla 4. Cuadro comparativo entre Instituciones Educativas

6.4. Análisis histórico del infinito según resultados

Al tomar el referente histórico reseñado en el tercer capítulo, que se enfoca principalmente en

el carácter actual del infinito visto en los conjuntos numéricos, se realizará un análisis respec-

to a las respuestas y conjeturas dadas por los docentes antes, durante y posterior a la aplica-

ción de los instrumentos de esta investigación. Inicialmente, y a pesar de la formación mate-

mática de los participantes, se evidencia que el infinito es considerado como un concepto

intuitivo, es decir que se relaciona con la etapa Aristotélica puesto que las ideas previas “no

académicas” salen a relucir por las condiciones sociales y culturales de cada persona. En un


ámbito matemático, se asocia intuitivamente el infinito simplemente a conjuntos numéricos

que no tienen fin y a la cardinalidad, es decir, al número total de elementos de un conjunto

como es el caso del cardinal de los números naturales denominado Aleph sub cero .

Debido a las contradicciones que se dieron en Grecia sobre la noción intuitiva del infinito,

Aristóteles clasificó dos tipos de infinito teniendo en cuenta las siguientes características: el

infinito en potencia siendo un proceso de crecimiento sin límites y el infinito visto como una

totalidad completa, lo que es denominado como infinito actual. Este último concepto mate-

mático fue referenciado por primera vez al momento de dividir un segmento en infinitas par-

tes, lo que después se relacionaría con la cardinalidad de un conjunto numérico. Con la inves-

tigación se pudo determinar que no se presentan dichas contradicciones por parte de los do-

centes, sin embargo, el caracterizar un tipo de infinito como lo es el actual en ambientes dife-

rentes a los numéricos y reflexionar sobre un concepto matemático que es poco estudiado en

los currículos escolares pero transversal a los contextos disciplinares, puede generar divaga-

ciones en torno a este objeto matemático.

Posteriormente y basado en la segunda etapa histórica del infinito, Bernhard Bolzano

defiende una postura sobre este concepto matemático en relación con la posibilidad de la

equipotencia entre dos conjuntos, aclaración realizada durante el documento y que los docen-

tes, por su conocimiento profesional, tuvieron en cuenta. Aparecen así elementos conceptua-

les tales como las paradojas de Zenón y de Aquiles, que aunque físicamente no permiten con-

ceptualizar la noción de infinito, ayudan a visualizar un poco más el infinito en acto, visto

como un proceso infinito de subdivisiones sobre un todo. El enfrentar a los docentes de ma-

temáticas a estas situaciones deja ver que la intuición hace parte del conocimiento, ya que por

medio de los sentidos percibimos y actuamos sobre el mundo físico.


Dada ya una visión del infinito en acto por Aristóteles, Bolzano abre una nueva visión

en la teoría de conjuntos, pues los estudios de este checo abren las puertas para hallar la for-

ma de comparar dos conjuntos infinitos fundamentados en los dos siguientes aspectos: en

primer lugar la correspondencia uno a uno entre dos conjuntos numéricos, acción los docen-

tes fueron considerando en el desarrollo de la investigación y que retomaron de sus cursos

universitarios. Físicamente, y haciendo referencia a uno de los obstáculos epistemológicos

sobre el infinito mencionados en el marco teórico, no es posible que la cantidad de elementos

de un conjunto numérico, para efectos de comprensión los números naturales, tengan la mis-

ma cantidad de elementos que los números impares, puesto que la intuición manifiesta que el

primer conjunto podría tener el doble de elementos que el segundo, acciones que histórica-

mente fueron rechazadas por los académicos de la época pero que con los aportes de Bern-

hard Bolzano fueron adquiriendo fundamento gracias a su rigurosidad matemática para la

conceptualización del infinito.

Como una segunda vía para la comparación entre dos conjuntos infinitos y haciendo

referencia a la relación entre el infinito actual con los instrumentos utilizados para la investi-

gación, Bolzano propone otro mecanismo basado en la relación parte – todo, pues en ese

momento, siguiendo a Fuenlabrada I. & Armella L. (2008) “aunque se podía establecer una

relación uno a uno entre un conjunto y un subconjunto propio, esto no construiría una justifi-

cación para concluir que estos conjuntos fueran equinumerables”, (p. 21), es decir la misma

cantidad de elementos. Al proponer el estudio de los fractales y evidenciar un proceso infinito

dentro de un polígono limitado muestra que se puede establecer una correspondencia entre la

figura geométrica inicial y cada una de sus partes, que adicionalmente son autosemejantes a

la inicial, por lo tanto Bolzano fundamenta que para este tipo de comparación, no visto desde

lo numérico, los sistemas de verificación son en su mayor parte empíricos pues se basan en

propiedades geométricas que necesariamente son identificados por los sentidos, por lo que se


recomienda, en estudios sobre el infinito realizados por D’Amore, Fuenlabrada y Guillermina

Waldegg, que en los cursos universitarios de cálculo y teoría de conjuntos, se le permita al

estudiante explorar primero desde la intuición para posteriormente llegar a conjeturas tenien-

do como base el rigor de los objetos matemáticos.

Finalmente, Con George Cantor se muestra que la cantidad de elementos de los conjun-

tos numéricos se pueden comparar utilizando una función biyectiva, no uno a uno como lo

planteó Bolzano, acción que realizaron cada uno de los docentes y que se evidencia en algu-

nas de las gráficas del apartado anterior. Con esta nueva forma de comparación, específica-

mente en el campo numérico, se deja lado el carácter intuitivo dado por los sentidos y se re-

curre mucho más a la lógica matemática, dándole así una rigurosidad al estudio del infinito

fundamentado en la demostración de las propiedades como transitiva, conmutativa, asociativa

y en la composición de funciones. De este modo el infinito deja de tener un significado po-

tencial, para darle paso a un infinito que puede ser visto como una totalidad, a pesar de que

los instrumentos diseñados para investigación no se referían exclusivamente a conjuntos nu-

méricos, se demostró de una forma geométrica, apoyado con la construcción de fractales y la

resolución de problemas, cómo el infinito puede aparecer dentro de lo finito dejando de ser

una noción intuitiva como se pensaba en las primeras etapas históricas.


7. Conclusiones y recomendaciones

En este último capítulo se presentarán algunas de las reflexiones obtenidas del proyecto de

investigación, teniendo en cuenta los objetivos planteados inicialmente, el desarrollo y ejecu-

ción de la propuesta a docentes del área de matemáticas de instituciones educativas de la co-

munidad de la Salle y el contraste entre los resultados y la teoría existente sobre las concep-

ciones del infinito actual, representadas en situaciones problema mediadas por el software

Cabri Geometre.

Al momento de comenzar esta investigación se pensó en la necesidad de involucrar las

herramientas tecnológicas para la conceptualización de un objeto matemático como lo es el

infinito, esto debido principalmente a que, existiendo ya un estudio sobre las concepciones

del infinito actual realizado por Bruno D’Amore y de la cual se referencian algunos apartados

de sus hallazgos con estudiantes de primeros semestres de licenciatura en matemáticas e in-

geniería, se hace imperativo que en el campo educativo se aproveche la gran variedad de

software, especialmente en el área de matemáticas, asignatura que escolarmente presenta

aversiones por los estudiantes debido al carácter rígido, formal y exacto de sus contenidos. La

visualización, modelización, simulación, exploración e interactividad que ofrecen programas

tales como Cabri Geometre, Derive, GeoGebra, Descartes, Regla y Compás, entre otros, des-

piertan el interés de los educandos y principalmente desarrollan en ellos el pensamiento ma-

temático que va más allá de la resolución de algoritmos y hallazgo de respuestas numéricas,

secuelas que desafortunadamente se mantienen de la enseñanza básica tradicional.


Con la evolución de herramientas cada vez más útiles para la humanidad, se plantean así

nuevos desafíos como su adaptación y su manejo en las escuelas y colegios, para lo cual se

requerirá de la formación y capacitación continua de profesores que comiencen, a través de la

educación, a generar en el estudiante un pensamiento crítico, racional, capaz de transformarse

en un ciudadano con poder de decisión en la sociedad. El docente deberá entonces inculcarle

al estudiante que la tecnología es una herramienta de apoyo, más no se convertirá en un ele-

mento indispensable; adicionalmente deberá escoger adecuadamente los contenidos y los

instrumentos metodológicos pertinentes, teniendo en cuenta las necesidades actuales, buscan-

do siempre la generación de nuevos puntos de vista sobre la realidad y especialmente, no lle-

vándolos al facilismo sino más bien hacia la creatividad e innovación.

Un segundo elemento fundamental para la elaboración, desarrollo y ejecución de este

proyecto de investigación fue la construcción de situaciones problema. Uno de los retos de la

educación matemática del siglo XXI es dejar de pensar de una forma mecánica y repetitiva,

aunque es importante y no se puede dejar de lado. Sin embargo, en los currículos nacionales

de matemáticas, aunque se recalca la importancia de implementar situaciones problema en el

aula, siguen presentándose enunciados en libros de texto como los siguientes: Si una camisa

cuesta US 20, un pantalón US 30 y un par de zapatos US 50 ¿Cuánto valen las tres pren-

das?, en un contexto Colombiano en donde el dólar no es la moneda oficial, no se conoce por

cultura general la tabla de conversión, ni mucho menos la frase está adaptada al contexto dia-

rio de los estudiantes. Problemas como: Calcule la pendiente de la recta que pasa por los

puntos (0, 1) y (8,9) cuando muchos de los estudiantes e inclusive docentes, desconocen la

definición y aplicabilidad de las propiedades de la función lineal, hacen de estos ejercicios,

rutinas numéricas, donde simplemente por medio de algunas fórmulas, muchas veces comple-

jas, se obtiene un resultado y no se reflexiona sobre el mismo.


Los docentes, como orientadores y facilitadores del saber, deben plantear situaciones

reales, con contextos motivadores que inciten a los estudiantes a pensar matemáticamente, a

encontrarles aplicabilidad, a aprehender a leer, a comprender lo escrito y a no centrarse en lo

algorítmico, debilidades en la enseñanza que se evidencian en los resultados de pruebas na-

cionales e internacionales como SABER, PISA y TIMMS, entre otras. Algunas de las situa-

ciones problema que se presentan en esta investigación sirven como modelo para que los pro-

fesores las implementen en el aula y, el método de resolución que se utilizó, enmarcado den-

tro del proyecto Matemáticas Para La Vida de la Fundación para el desarrollo educativo y

pedagógico, sirva como carta de navegación para formar un estudiante matemáticamente

competente , esto es, capaz de deducir información de una situación real a partir del conoci-

miento matemático, haciendo que se apropie de la situación y tome decisiones como si fuera

él, el personaje en cuestión.

Por otra parte y centrado más hacía el campo matemático, se encuentra el tercer concepto

que le da sustento a la investigación, el infinito actual. Como se mostró en los apartados ini-

ciales, históricamente el infinito, como la gran mayoría del conocimiento de la humanidad, ha

ido evolucionando a partir de las prácticas, formas de vida y posibilidades tecnológicas de

cada época. Es conocido por la comunidad matemática (docentes, investigadores, científicos

y matemáticos puros, entre otros) que el infinito es un concepto al que se le ha dado un trata-

miento disciplinar muy bajo, como lo pueden ser los conjuntos numéricos, las representacio-

nes geométricas, los teoremas fundamentales del álgebra, la aritmética y el cálculo, y esto se

debe en gran medida al carácter intuitivo que este término posee y por lo cual su definición

está muy alejada de constituir un objeto de conocimiento que las personas generan fácilmen-

te a partir de su interacción con el mundo físico. Tanto el análisis histórico como el análisis


de la resolución de las situaciones problema indican que para que el infinito se convierta en

un objeto de estudio, es de vital importancia que el estudiante no entre en un conflicto con-

ceptual y a pesar de que se tenga una idea “no disciplinar” del infinito, el docente debe tomar

tanto la postura disciplinar como la que discierne sus conocimientos fuera del aula, esto per-

mitirá no sesgar el conocimiento matemático y ver otras visiones de los objetos de estudio,

para este caso del infinito.

Ver el infinito desde su carácter potencial deja ver que la intuición juega un papel impor-

tante dentro del proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, ya que referencia

una idea de grandeza, en el cual un algo, que no se puede describir concretamente, sigue cre-

ciendo sin límites y se relaciona naturalmente con el lenguaje común de las personas. La con-

cepción actual del infinito lo aterriza de una forma real, en donde las nociones de finito e

infinito dentro de un mismo espacio se pueden dar, las cuales se vieron reflejadas en la gene-

ración de fractales por medio de Cabri Geometre. Estas construcciones permitieron establecer

traducciones entre diferentes registros de objetos matemáticos necesarios para la conceptuali-

zación del infinito actual, para este caso, se hizo el tránsito entre la representación gráfica

geométrica, simbólica y manipulativa y transformaciones entre éstas, por lo cual el software

fue un elementos clave para lograr este cambio de registros, sin embargo, algunos de los do-

centes no lo usaron totalmente en la resolución de las situaciones problema.

Siendo un grupo de docentes de matemáticas de dos instituciones educativas de la misma

congregación la muestra para la investigación, permite determinar una gran gama de concep-

ciones frente al infinito y para responder la pregunta de investigación, sus ideas previas, la

formación profesional y el campo laboral, influyen notoriamente en los resultados obtenidos

en donde lo intuitivo, potencial, actual, dualidad entre los anteriores, fenómenos físicos y las


reglas matemáticas entran en juego, generando en ellos mayor curiosidad por abordar este

objeto matemático, no quedarse simplemente con una certeza y utilizar como metodología en

el aula el carácter histórico de las matemáticas. Por otra parte y complementando la idea del

párrafo anterior, el uso de las herramientas tecnológicas fue elemento clave en esta investiga-

ción ya que, haciendo uso del dinamismo proporcionado por Cabri Geometre, se caracterizó

el infinito actual por medio de la creación de macros que llevados a un número ilimitado de

iteraciones, permitieron la conceptualización, el cambio de la concepción intuitiva que tenían

algunos de los docentes sobre el infinito actual con la representación fractal y generó en ellos

una reflexión en torno a la incorporación tanto del objeto matemático como las tecnologías de

la información y comunicación en los currículos en cada uno de sus campos de acción educa-

tiva.

Durante el proceso de aplicación de instrumentos se tuvieron algunos aciertos como difi-

cultades. De las primeras se rescata el hecho de utilizar material concreto en la construcción

de fractales con papel, esto hizo que durante el desarrollo de dichas actividades los docentes

tomaran una postura de estudiantes y se mostraran dispuestos a explorar y obtener informa-

ción adicional sobre algunos conceptos matemáticos desconocidos o simplemente poco apli-

cados en su labor educativa. Por otra parte, muchos de los docentes interactuaron no solamen-

te con los instrumentos sino con sus mismos compañeros, esto enriquecía el dinamismo y el

nivel conceptual de todos los participantes.

Sin embargo, se recomienda utilizar en este tipo de investigaciones software gratuito, para

que todos los participantes estén en constante exploración tanto en el momento como poste-

rior a la aplicación, un caso particular fue durante el taller llevado a cabo en el I Congreso De


Educación Matemática De América Central Y De El Caribe 3, realizado en Santo Domingo,

República Dominicana en el 2013 y en el cual se implementó cada una de las situaciones

problema con docentes de matemáticas de América Latina y enriqueció de forma conceptual

la interacción entre los académicos asistentes; pero a pesar de que se contaba con el software,

la universidad sede del evento adquirió un demo de Cabri Geometre, el cual cerraba sesión en

un tiempo determinado , haciendo mínima la interacción de los profesores con el programa.

Finalmente, se deja abierto este documento para futuras investigaciones en las cuales se

analice el impacto de las herramientas tecnológicas en el aula de clase, especialmente softwa-

re educativo como Cabri Geometre u otros de los mencionados durante la investigación y se

tomen como objetos de estudio conceptos matemáticos que presenten dificultades en los es-

tudiantes y en los cuales sea necesario un instrumento que modele y permita la comprensión

y el cambio de las concepciones de una disciplina como lo es la matemática.

3 Ver artículo referenciado en el Anexo 8 y publicado en la página web de las memorias del evento:

http://www.centroedumatematica.com/memorias-icemacyc/438-498-1-DR-T.pdf


Anexos


Anexo 1

Registro audiovisual de socialización sobre Cabri Geometre

(Ver CD adjunto – archivo INFINITO1)


Anexo 2

Registro audiovisual Construcción de fractales con papel



Anexo 3

Construcción de La curva de Koch y el copo de nieve en Cabri Geometre

Vamos a definir una macro que permitirá construir, por repeticiones sucesivas, otro fractal denomina-

do curva de Koch o copo de nieve. Con la herramienta Punto, dibuja los extremos A y B de un seg-

mento.

•Dibuja un segmento con extremos en dichos puntos, A y B.

•Con la herramienta Distancia y Longitud, mide la longitud del segmento AB.

•Con la herramienta Calculadora; divide la longitud del segmento AB entre 3. Arrastra el resultado al

área de trabajo.

•Utiliza la herramienta Transferencia de medidas para transferir la medida obtenida (igual a la tercera

parte de la longitud del segmento) a partir de los extremos del segmento.

•Con la herramienta Circunferencia, dibuja circunferencias con centros en los extremos A y B del

segmento y radio igual a la medida transferida.

•Señala los puntos de intersección, M y N de las dos circunferencias con el segmento.

•Con la herramienta Circunferencia, dibuja circunferencias con centros en los puntos M y N y radio

igual a la medida transferida (por tanto, pasan por los extremos A y B, respectivamente).

•Señala el punto P de intersección de las dos circunferencias que acabas de dibujar.

•Utiliza la herramienta Polígono para dibujar los segmentos AM, MP, PN, NB y MN. Oculta el seg-

mento MN.

•Haz clic en el botón Objetos iniciales y selecciona los extremos A y B del segmento.

•Haz clic en el botón Objetos finales y selecciona en orden los segmentos AM, MP, PN y NB.

•Haz clic en Definir Macro y en el siguiente cuadro de diálogo introduce como nombre dela macro

koch. Haz clic en Aceptar.

De esta forma ya hemos definido la macro. Para comprobar el resultado, vamos a dibujar el fractal

copo de nieve. Para ello sigue los siguientes pasos:

1) Con la herramienta Polígono regular, dibuja un triángulo equilátero ABC.

2) Selecciona la macro koch y, a continuación, selecciona los extremos A y B del primer lado, los

extremos B y C del segundo y los extremos C y A del tercero. Observa el resultado.

3) Repite el apartado anterior para cada uno de los segmentos obtenidos y observa el resultado.

4) Continúa repitiendo el apartado (2) y observa los resultados. Si seguimos el proceso

indefinidamente, el resultado es un fractal, que se asemeja al copo de nieve.


Anexo 4

Registro audiovisual de construcción SP1 LHEMI



Anexo 5

Registro visual de construcción SP3



Anexo 6

Construcción del fractal Triángulo de Sierpinski en Cabri Geometre

• Vamos a definir una macro que permitirá construir, por repeticiones sucesivas, otro fractal denomi-

nado triángulo de Sierpinski.

• Con la herramienta Polígono regular, dibuja un triángulo equilátero de vértices A, B y C.

• Selecciona la herramienta Punto medio y señala cada uno de los lados AB, BC y CA del triángulo

equilátero. De esta forma obtienes los puntos M, N y P.

• Con la herramienta Triángulo, dibuja el triángulo de vértices M, N y P. Observa que este triángulo

también es equilátero.

• Haz clic en el botón Objetos iniciales y selecciona los vértices A, B y C del triángulo equilátero

inicial.

• Haz clic en el botón Objetos finales y selecciona el triángulo equilátero MNP.

• Haz clic en Definir Macro y en el siguiente cuadro de diálogo introduces como nombre de la macro

sierpinski. Haz clic en Aceptar.

Una vez definida la macro, vamos a utilizarla para construir el denominado triángulo de Sierpinski.

Para ello sigue los siguientes pasos:

1) Con la herramienta Polígono regular, dibuja un triángulo equilátero ABC.

2) Selecciona la macro Sierpinski y, a continuación, selecciona los vértices A, B y C del triángulo. De

esta forma obtienes el triángulo equilátero MNP.

3) Repite el apartado anterior para cada uno de los triángulos equiláteros AMP, MNB y NCP situados

en las esquinas. Observa el resultado.

4) Continúa repitiendo el apartado 2 y observa los resultados. Si seguimos el proceso indefinidamente,

el resultado es un fractal, que se llama triángulo de Sierpinski.


Anexo 7

Registro audiovisual de construcción SP4 INSTITUTO SAN BERNARDO



Anexo 8

Artículo publicado en evento Internacional I CEMACYC

Taller: Concepciones en torno al infinito actual: análisis me-

diado por el software Cabri- Geometre

Juan Carlos Vega Vega

Maestría en Educación, Universidad Militar Nueva Granada

Colombia

[email protected]

Resumen

El interés de este proyecto se centra en mostrar la relación entre un objeto matemático

como lo es el infinito actual con el ámbito tecnológico en el campo educativo. Siendo el

infinito actual un concepto matemático intuitivo, se piensa implementar de una serie de

situaciones problema en forma de taller-capacitación a docentes de esta área del conoci-

miento para que por medio del software educativo Cabri Geometre, se modelen algunos

de estos contextos y permitan un cambio de representación sobre la noción instintiva del

infinito.

Palabras clave: Concepciones, Infinito Actual, Cabri Geometre, Situaciones Problema,

Fractales

mailto:[email protected]


Presentación

El término infinito hace parte del lenguaje común en los seres humanos y juega un papel importante

dentro de la matemática actual, pues aunque no tiene un fundamento empírico determinado, posee una

estructura rigurosa que históricamente ha mostrado un desarrollo axiomático, evolución que se ha

venido dando a la par con diferentes conceptos y nociones matemáticas desde la antigüedad hasta

nuestros días.

Cuando se habla acerca de las concepciones intuitivas sobre el infinito, se escuchan frecuente-

mente percepciones relacionadas a situaciones en las que interviene este objeto matemático, incluyen-

do diversas representaciones que pueden llegar a tener dicho término, lo que algunos autores llaman

la intuición del infinito Fischbein, Tirosh, &Hess. (1979) y también, aquellas definiciones que coinci-

den con la conceptualización matemática contemporánea del mismo.

En el contexto educativo, el concepto de infinito no aparece como una temática específica en el

currículo de matemáticas, ni se establece un grado en el cual se deba aprender dicho término. En las

aulas de clase, este objeto matemático es presentado intuitivamente, pues como lo explica Efraim

Fischbein en su obra Intuition in Science and Mathematics, lo intuitivo es “una forma de conocimien-

to primitiva, opuesta a interpretaciones y concepciones científicas, afirma también que en la enseñan-

za, la intuición debe prevalecer a las prácticas formales, pero que las secuencias didácticas y metodo-

lógicas deben estar de acuerdo con el desarrollo formal de las matemáticas para no inducir a los estu-

diantes a concepciones erróneas.

Con lo mencionado anteriormente, se busca que por medio de la implementación del software

Cabri Geometre y la generación de situaciones problemáticas se puedan determinar las concepciones

que se tienen acerca del concepto de infinito actual en cuanto a su carácter intuitivo, tomando como

base la visión que tienen de éste los profesores de matemáticas de todos los niveles de escolaridad, y

analizar si es posible la re conceptualización del mismo por medio de la simulación y modelación

dada por el software.


Marco teórico.

Para el desarrollo de este apartado se tendrán en cuenta tres aspectos relevantes para la respectiva

contextualización de la propuesta:

Referente Matemático

En primer lugar se realizó un acercamiento histórico de la evolución conceptual del infinito basado en

algunos personajes que dedicaron parte de su vida al estudio de este objeto matemático, ellos son:

Aristóteles, Bernhard Bolzano y George Cantor.

Referente Didáctico

En segundo lugar se tomó como referencia a Bruno D´Amore, este autor ha realizado varias investi-

gaciones en torno a las concepciones sobre el infinito actual en estudiantes de educación básica, me-

dia y superior utilizando contextos matemáticos como la biyección y equipotencia entre conjuntos,

todos estos planteados con lápiz y papel. En estos estudios se manifiesta que al momento de presentar

este objeto matemático se pueden llegar a contradicciones entre lo intuitivo y lo formal, ya que el

medio físico no permite identificar la diferencia entre el infinito actual y el potencial por sus caracte-

rísticas. Por otra parte, se tomaron como referentes los obstáculos epistemológicos y didácticos del

infinito actual planteados por D´Amore para determinar las posibles causas por las cuales los docentes

de matemáticas, al momento de enfrentarlos a situaciones problema, identifican solamente la existen-

cia de un infinito potencial, hipótesis que se tiene por el carácter intuitivo del infinito actual.

Referente Tecnológico

En este tercer momento se tuvieron en cuenta algunos de los aportes que el software Cabri Geometre

ha tenido en la contribución de la enseñanza de las matemáticas por medio de su dinamismo,

específicamente de Luis Moreno Armella y su implementación de dicho software en el ámbito

educativo. En primer lugar, se buscó una descripción del software así como también sus ventajas y

desventajas en el aula de clase, seguidamente se desarrollaron algunas reflexiones en torno a la

implementación de Cabri en el ámbito educativo específicamente en América Latina y finalmente se

consultaron algunas de las actividades realizadas en este software desde el campo geométrico y


variacional que sirvieron como base para la elaboración de las situaciones problema en relación con el

infinito actual.

Infinito Actual

Algunos autores como De Lorenzo y Le Goff (De Lorenzo, 2001) consideran el infinito actual como

un objeto matemático originado en un contexto geométrico puesto que es un infinito ilimitado y mé-

trico, que permite la cuantificación y la resolución de problemas del mundo real y en el cual se invo-

lucran elementos de las matemáticas tales como: número infinito, punto infinito, construcciones infi-

nitas en espacios finitos y series con infinitos elementos. Esta concepción del infinito surge al ser

considerado como una unidad, dicho en otras palabras, como “un objeto unitario” que es infinitamente

grande o numeroso, un ejemplo de esto es el conjunto de los números naturales, racionales o simple-

mente subconjuntos propios de éstos, al tomar algunos de estos conjuntos aparece el infinito en acto

cuando se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto tomado y una parte pro-

pia de éste.

Metodología del taller.

A continuación se describirán cada una de las etapas que se desarrollarán en el taller:

Etapa Diagnóstica 1.

Para identificar cuáles son las concepciones que tienen los docentes de matemáticas en torno a este

objeto matemático y que se esperan sean desde lo intuitivo, se implementará un instrumento de entra-

da en forma de cuestionario y que busca dar respuesta a algunas de las siguientes preguntas: ¿Qué

entiende por infinito actual? ¿Qué conjunto numérico tiene mayor cantidad de elementos? ¿Qué es un

fractal? ¿Conoce el software Cabri Geometre? Esta etapa tiene una duración de 15 minutos.

Etapa Diagnóstica 2.

Con papel y tijeras se les mostrará a los docentes un primer acercamiento a la geometría fractal por

medio de la construcción de dos fractales por medio de procesos reiterativos. Esta etapa tiene una

duración de 15 minutos.


Etapa De Aplicación.

Teniendo como base el contexto en el cual los docentes están inmersos, se les presentarán cuatro si-

tuaciones problema que deberán ser modelados con el software Cabri Geometre, esto con el fin de

determinar los cambios de representación que se hacen frente al concepto de infinito actual. Se nece-

sitará una sala de cómputo con acceso al software.

Cada una de las situaciones problema involucra la construcción de un fractal en Cabri Geome-

tre, por lo que se mostrará paso a paso la generación del fractal “copo de nieve” y contextualizar a los

docentes del software antes de la aplicación de los instrumentos. Esta etapa tiene una duración de 90

minutos. Se muestra a continuación las situaciones problema con su respectivo objetivo y ca-

tegoría de análisis:

SP1. Formatos de papel DIN y carnetización en la Universidad

Militar

Los formatos de papel DIN fueron definidos en el año 1922 en la

norma 476 del DIN –Deutsches Institutfür Normung (Instituto Ale-

mán de Normalización) y desarrollados por el ingeniero berlinés Dr.

Walter Porstmann; ha sido la base de su equivalente internacional 216

de la ISO (Organización Internacional para la Estandarización). En la

actualidad es más usual denominarlos sin prefijo alguno: "A4", "A3",

etc.

Estos tamaños estandarizados están divididos en series cada una de las cuales está pensada para

un uso concreto que determina sus proporciones. La forma de obtener el formato A1 se realiza do-


blando por la mitad el formato A0, así como el formato A2 se consigue doblando el formato A1 de la

misma manera y sucesivamente hasta obtener un formato de menor área según el uso correspondiente1

Jaime Pedraza, encargado de la carnetización en la Universidad Militar Nueva Granada en la ciudad

de Bogotá, recibe una resma de 500 hojas de tamaño A4 para la producción de los carnés de los estu-

diantes nuevos de primer semestre de 2013. Con las indicaciones dadas en la figura 1, Jaime debe

realizar los cortes hasta obtener un formato estándar para cada uno de los carnés y que por cada hoja

salgan la mayor cantidad de documentos. Si el encargado de la carnetización realiza los cortes ade-

cuadamente en su totalidad y utiliza 24 hojas de la resma entregada. ¿Qué formato utilizó Jaime para

los carnés? ¿Cuántos estudiantes se inscribieron en toda la Universidad para el periodo 2013 – I? (Uti-

lice la información de la figura 1)

Figura 1. Dimensiones del papel

SP2. Viaje en bicicleta.

Natalia desea ir en su bicicleta desde el punto A hasta el punto B y para esto tiene que pasar por el

punto C, que resulta ser el punto medio entre A y B. Luego ella debe pasar por el punto D, el punto

medio entre C y B. Luego por el punto E, que es el punto medio entre D y B; y así sucesivamente

debe ir pasando por el punto medio de cada segmento resultante. Siguiendo este proceso, ¿Es posible

que en algún momento Natalia alcance el punto B con su bicicleta? Justifique su respuesta.

1Tomado de http://carlinvallecas.es/wp-content/uploads/2012/11/el-papel-procesos-de-fabricacion-

historia-y-tipos.pdf


SP3. Salones de clase del gimnasio campestre Sierpinski

Según las políticas del Ministerio de Educación, el tamaño estándar de las aulas de clase de una insti-

tución estará reglamentado según el número de estudiantes inscritos. Un salón de 1 a 15 estudiantes

debe tener 24 metros cuadrados de área, de 16 a 30 estudiantes 48 metros cuadrados y de 31 a 40 es-

tudiantes se requieren 64 metros cuadrados.

José Luis Suárez es un licenciado en matemáticas que ha decidido montar su propia institución

educativa a la cual llamará Gimnasio Campestre Sierpinski en honor a Wacław Sierpinski, personaje

quien describió por primera vez en 1916 el fractal “La alfombra de Sierpinski” y el cual se construye

de la siguiente manera:

Se comienza con un cuadrado.

El cuadrado se divide en 9 cuadrados congruentes y se elimina el cuadrado central.

El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes.

La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

José decide aplicar la forma de este fractal para la construcción de sus salones de clase haciéndole las

siguientes modificaciones:

1. El terreno tiene forma cuadrada y uno de sus lados mide 132 metros.

2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y se obvian los cuadrados con números pa-

res.

3. Se realiza este procedimiento dos veces más a cada uno de los cuadrados resultantes.

Si los lados de cada uno de los salones del Gimnasio Campestre Sierpinski tendrán la medida

de los cuadrados resultantes del paso número tres, ¿Qué rango de número de estudiantes tiene pensa-

do el licenciado para cada uno de los salones de su institución educativa? ¿Estaría de acuerdo usted

con esa cantidad?


SP4. Pirámide Telefónica Telecom Bogotá

En una reciente entrevista a Jorge Álvaro Ramírez al canal JcV, ar-

quitecto quien diseñó la pirámide de la sede principal de Telefónica

Telecom ubicada en la ciudad de Bogotá, Colombia, menciona que

cada uno los lados de la pirámide están formados por mínimas figu-

ras triangulares de vidrio azul teniendo en cuenta la construcción del

fractal “Triángulo de Sierpinski” hasta su cuarta iteración.

Si la longitud de los triángulos de menor área resultantes del proceso fractal es de 1.16 metros.

¿Cuál es la altura de la sede Telefónica Telecom Bogotá?

Tabla 1. Categorías de análisis para situaciones problema

INSTRU-

MENTO FASE OBJETIVO

SE ESPERA

QUE

CATEGORÍAS E

INDICADORES

PD

Dia

gnóst

ico Identificar

las concepciones

intuitivas que

los docentes de

matemáticas

tienen acerca del

infinito actual

Por medio de

una encuesta es-

crita, los docentes

de matemáticas se

enfrentarán a

algunas preguntas

que giran en torno

a las concepcio-

nes acerca del

infinito dividido

en dos partes. En

primer lugar se

presentan algunos

interrogantes

acerca del infini-

to en su dualidad

potencial-actual.

PRIMERA PARTE

REPRESENTA-

CIÓN

Geométrica y Verbal

CONCEPTOS EN

ACCIÓN

Intuición del in-

finito

Infinito potencial

Cardinalidad

Correspondencia

Uno a Uno.

Indicadores

1.Intuición sobre el

Infinito


3.Infinito Actual


SP1

Co

nte

xtu

aliz

ació

n Identificar

el significado

del proceso de la

“iteración” co-

mo acercamien-

to inicial con el

concepto de

infinito actual

en una situación

problema.

Utilizando como

base la norma

DIN que estable-

ce el formato del

papel, se busca

que por medio del

software Cabri

Geometre se ha-

gan las construc-

ciones correspon-

dientes para que

el docente dé

respuesta a los

planteamientos

dados y que con

ayuda de la simu-

lación, se encuen-

tre una primera

relación entre la

iteración en mita-

des y el infinito

actual

REPRESENTA-

CION

Geométrica y numé-

rica

CONCEPTOS EN

ACCIÓN

Intuición del in-

finito

Iteración

Semejanza

Longitud

Área

Indicadores en la resolu-

ción de problemas

1.Traducir

2.Formular

3.Desarrollar

4. Expresar

SP2

Est

ruct

ura

ción

Enfrentar al

docente a una

modificación

realizada de la

paradoja de

Zenón en una

situación especí-

fica y determi-

nar concepcio-

nes en torno a su

planteamiento y

resolución.

Por medio de la

simulación y di-

namismo del

software Cabri-

Geometre, se

busca que el do-

cente realice la

construcción del

segmento dado y

por medio de

macros encuentre

los puntos medios

correspondientes

y deduzca una

posible solución a

la paradoja de

Zenón.

REPRESENTA-

CION

Geométrica

CONCEPTOS EN

ACCIÓN

Intuición del in-

finito

Infinito Potencial

Iteración

Segmento

Punto medio


ción de problemas

1.Intuición sobre el Infi-

nito


3.Infinito Actual


SP3

Est

ruct

ura

ció

n

Relacionar

los términos

“auto semejan-

za” e “iteración”

con el concepto

de infinito ac-

tual en una si-

tuación proble-

mática específi-

ca por medio de

la construcción

del fractal “al-

fombra de Sier-

pinski”

La construcción

de la alfombra de

Sierpinski se uti-

liza como pretex-

to para que, en

primer lugar, se

obtengan las di-

mensiones de un

salón de clase

para deducir in-

formación adicio-

nal y en segundo

lugar, se utilice la

iteración y auto

semejanza por

medio de macros

y se estructure un

concepto sólido

del infinito actual.

REPRESENTACION

Geométrica y Numérica

CONCEPTOS EN AC-

CIÓN

Intuición del in-

finito

Iteración

Polígono

Trisección de un

segmento

Semejanza

Longitud


ción de problemas

1.Traducir

2.Formular

3.Desarrollar

4. Expresar

SP4

Val

idac

ión

Aplicar los

términos “auto

semejanza” e

“iteración” con

el concepto de

infinito actual

en una situación

problemática

específica por

medio de la

construcción del

fractal “Triángu-

lo de Sierpinski”

La construcción

del triángulo de

Sierpinski se uti-

liza como pretex-

to para llegar a un

concepto de infi-

nito actual. Por

medio de un pro-

ceso finito con

macros y la ayuda

del teorema de

Pitágoras se ob-

tendrá la respues-

ta a la situación

problema y la

modelación reali-

zada se mostrará

otra representa-

ción del infinito

actual utilizando

animaciones con

el software Cabri

Geometre.

REPRESENTACIÓN


CONCEPTOS EN AC-

CIÓN

Intuición del in-

finito

Iteración

Polígono Regular

Punto medio

Semejanza

Longitud

Teorema de Pitá-

goras

Longitud


ción de problemas

1.Traducir

2.Formular

3.Desarrollar

4. Expresar


Etapa De Verificación.

Finalmente, se dejarán registros escritos de cada una de las intervenciones realizadas por los docentes

así como también un cuestionario de salida para identificar si se modificaron o no las concepciones

intuitivas sobre infinito luego de la aplicación del taller, a continuación se presentan algunas de las

reflexiones a las que se esperan que los docentes identifiquen en cada actividad:

Prueba diagnóstica.

Se evidencia una concepción intuitiva sobre el infinito, pues de acuerdo con (Núñez, 1997.) es más

fácil comprender el infinito en lo grande como un proceso que continúa sin parar y que no tiene fin,

que el infinito en lo pequeño, en donde a pesar de conservarse el hecho de un proceso sin fin, aparece

una nueva situación que sugiere que dicho proceso tiene un límite. Desde los primeros años de vida y

aún durante la formación profesional, se asocia el infinito a la noción de crecimiento en la posibilidad

de encontrar un número natural mayor a uno dado, la noción de límite, y en la cardinalidad de un

conjunto numérico, por lo que se puede concluir que este objeto matemático no pasa de ser concebido

como algo que no tiene fin, que no se puede contar o que no tiene límites.

Sp1.

Al realizar las construcción en Cabri Geometre se espera que el docente determine las dimensiones

del papel para realizar los carnés correspondientes, sin embargo, más que el resultado numérico, se

espera que en primer lugar, los docentes identifiquen que por medio de la creación de macros se pue-

den generan espacios geométricos infinitos en una superficie finita como lo es una hoja de papel y, en

segundo lugar, se genere un análisis de las potencialidades del software en la enseñanza de contextos

disciplinares matemáticos, pues a partir de construcciones en papel algunas de estas temáticas se man-

tienen de manera intuitiva, retomando lo inicialmente mencionado, conlleve a concepciones erróneas

de dichos contenidos.

Sp2.


En esta situación hay una caracterización del todo como mayor que la parte. Es sin duda una de las

características de los conjuntos finitos que se asocian a la noción de infinito, que además es

compatible con la teoría de conjuntos estudiada en la matemática escolar. Este axioma, se constituye

así en uno de los obstáculos necesarios de superar a fin de comprender una de las características

fuertes de los conjuntos infinitos. (Arrigo, G. &D'Amore, B, 1999). Para esto se puede tomar como

ejemplo la cantidad de pasto de una hacienda, siendo esta última el “todo” y la cantidad de pasto que

hay en el corral del ganado, “la parte”. ¿Será posible hacer ese conteo?, ¿En dónde hay mayor

cantidad de pasto, en la hacienda, en el corral o tendrán la misma cantidad?

Sp3. y Sp4.

Estas dos últimas situaciones problema modelan la concepción del infinito actual, pues al tener super-

ficies finitas en contextos reales, permite que los docentes identifiquen por medio de la iteración y la

autosemejanza, la caracterización de este tipo de infinito, que como plantea De Lorenzo, permite ha-

cer construcciones infinitas en espacios finitos. Las situaciones problema, a pesar que requieren el

hallazgo de una respuesta numérica a partir de la construcción de fractales y operaciones matemáticas

específicas, se utilizan como pretexto para que el docente caracterice de un tipo de infinito que va en

contra de lo intuitivo, es decir , hacia lo grande y de algo que no termina sino también hacia lo infinito

en lo finito y que a pesar de que se puede extender el proceso de iteraciones hasta donde se quiera, es

necesaria la implementación de herramientas tecnológicas que permitan visualizar este otro tipo de

infinito.

Resultados y Conclusiones

Con la implementación de este taller se espera que en primer lugar, se conozcan las concepciones que

tienen los docentes sobre el infinito actual y se puedan abstraer sus diferencias con el infinito poten-

cial por medio del software Cabri Geometre, en segundo lugar, se mejoren las prácticas docentes y la

formalización de conceptos matemáticos abstractos intuitivos como es el caso del infinito en acto y,

finalmente, que para futuras investigaciones, se busque el desarrollo de habilidades espaciales y de


simulación con docentes y estudiantes por medio de la resolución de problemas y situaciones de cam-

bio e incertidumbre, siendo estos últimos algunos de los retos educativos del siglo XXI.

El concepto de infinito está muy alejado de constituir un objeto de conocimiento que las perso-

nas, especialmente los docentes de matemáticas, generan fácilmente a partir de su interacción con el

mundo físico. Tanto el análisis histórico como el análisis de la resolución de las situaciones problema

indican que, para que el infinito se convierta en un objeto de estudio, es necesaria la implementación

de herramientas tecnológicas en el aula que permitan la modelación y simulación de este tipo de obje-

tos matemáticos.

Finalmente, las situaciones problema sirven como pretextos para enfrentar a las personas a con-

textos a los cuales no sólo necesiten realizar una serie de procedimientos para encontrar la solución

numérica, sino que a partir de los hallazgos encontrados, generen una reflexión de los procesos invo-

lucrados en su resolución, es decir se encuentre la aplicabilidad de las matemáticas en la vida real.

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