Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente
Click here to load reader
-
Upload
fernando-felix-solis-cortes -
Category
Education
-
view
14.085 -
download
0
description
Transcript of Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente
![Page 1: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/1.jpg)
INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
Bibliografía
Autor
Competencia
Tema
INICIOFacultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007
Ing. Fernando Félix Solís Cortés
3.1 Concepto de derivada de una función“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México
Comprender la derivada de una función mediante su interpretación geométrica para resolver mediante derivación problemas de
optimización relacionados al área de Ingeniería
![Page 2: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/2.jpg)
Introducción a la Derivada
Dónde estoy, y a dónde voy?Dónde estoy, y a dónde voy?
Posición actualDónde estoy?Posición actualDónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidaddistracciones, etc.
Fuerzas externas que atacan
Antes de iniciar, es importante reflexionar…Antes de iniciar, es importante reflexionar…
![Page 3: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/3.jpg)
Recordemos el camino trazado…Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…
Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…
Introducción a la Derivada
Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…
Y el tema que iniciamos hoy es….
![Page 4: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/4.jpg)
“La pregunta del millón…”“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada
![Page 5: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/5.jpg)
“La pregunta del millón…”“La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por 2xy
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
xy 2
![Page 6: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/6.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en términos geométricos
Recta secanteRecta tangente
“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”
“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”
![Page 7: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/7.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en una funciónFunción original
![Page 8: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/8.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en una funciónFunción original
Recta secante
![Page 9: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/9.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en una funciónFunción original
Recta tangente
![Page 10: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/10.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y ym
x x
Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!
![Page 11: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/11.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y ym
x x
1 1( , )x y
2 2( , )x y
![Page 12: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/12.jpg)
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?y y
mx x
![Page 13: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/13.jpg)
Algo de historia.Algo de historia.
Introducción a la Derivada
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.
![Page 14: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/14.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1
Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente
tanm
![Page 15: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/15.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 16: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/16.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 17: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/17.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 18: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/18.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 19: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/19.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 20: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/20.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 21: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/21.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 22: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/22.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 23: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/23.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
![Page 24: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/24.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y2 2( , )x y
tanm
![Page 25: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/25.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acercamás al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver amostrar
Continuar
tanm
![Page 26: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/26.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?
![Page 27: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/27.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.tanm secm Procedemosa sustituir:
12
12sec xx
yym
2 1
2 1
y y
x x
tanm
![Page 28: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/28.jpg)
12
12sec xx
yym
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
y y
x x
Considerando: ( )y f xtanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemosa sustituir:
![Page 29: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/29.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
2 1x x x Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x
2 1x x x
tanm
![Page 30: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/30.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm
![Page 31: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/31.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm
![Page 32: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/32.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
2 1x x x
2 1( ) ( )f x f x
x
Podemos expresar lo anterior así:lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x 0x
Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm
![Page 33: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/33.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x 2 1x x x
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
2 1x x x
tanm
![Page 34: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/34.jpg)
1 1( ) ( )f x x f x
x
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim
0x 2 1x x x
La expresión nos queda así:
2 1x x x
tanm
![Page 35: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/35.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
tanm lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado enincrementos
=
![Page 36: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/36.jpg)
La derivada.La derivada.
Introducción a la Derivada
lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
dx
dy=
Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdx
dy2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
![Page 37: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/37.jpg)
Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:
2)( xxfy
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim
0
Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:
Al evaluar el término
)( xxf se puede observar que:
2)()( xxxxfy
Al sustituirlo obtenemos:
![Page 38: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/38.jpg)
Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
xxxx
dxdy
x
22
0
)(lim
)( xxf )(xf
Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:
xxxxxx
dxdy
x
222
0
))()(2(lim Reduciendo
términos:
xxxx
dxdy
x
2
0
)()(2lim
Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:
![Page 39: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/39.jpg)
Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
x
xxxdxdy
x
2
0
)()(2lim xx
xx
00lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdx
dy2
0
![Page 40: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/40.jpg)
Tomada de “El Cálculo”por Louis Leithold
![Page 41: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/41.jpg)
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy
2
![Page 42: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/42.jpg)
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy
2
1xAl sustituiren la derivadael valor de X:
2)1(2tan dxdy
mObserve que:
2tan m ?tan m
![Page 43: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/43.jpg)
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy
22tan m
![Page 44: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/44.jpg)
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy
2
![Page 45: Concepto geométrico de la derivada de una función y su relación con la recta tangente](https://reader037.fdocumento.com/reader037/viewer/2022102507/556d5d4ad8b42a6b4d8b4c7f/html5/thumbnails/45.jpg)
INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
Bibliografía
Autor
Competencia
Tema
Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007
Ing. Fernando Félix Solís Cortés
3.1 Concepto de derivada de una función“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México
Comprender la derivada de una función mediante su interpretación geométrica para resolver mediante derivación problemas de
optimización relacionados al área de Ingeniería
FIN