MATEMTICAS GENERALES

REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS

1

2. ALGUNOS CONCEPTOS BSICOS. a. LEY DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIN Y PARA LA DIVISIN

La ley de signos para la multiplicacin dice que el producto de signos iguales tiene como resultado signo positivo y el producto de signos contrarios tiene como resultado signo negativo. La ley de signos para la divisin se aplica igual que la ley de signos para el producto. Lo podemos ver en el siguiente cuadro.

Cocienteoducto

.

.

.

.

Pr

Ejemplos.

9

7

36

28

2

1

6

3

2

3

8

1220)4(5

25

1062.3

b. PROPIEDAD DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA.

La propiedad de los signos para la suma dice que signos iguales se suman y se conserva el signo que tienen y signos contrarios se restan y se conserva el signo del nmero mayor. Ejemplos.

zzzbbb

aaa

21952030156

865036304070

3107112

473945

325853

c. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES.

1. LEY CONMUTATIVA:

oductobaab

Sumaabba

Pr

Ejemplos:

15)5)(3()3)(5(

103773

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2

2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Esta propiedad solo se cumple para la multiplicacin con respecto a la suma , y dice:

acabcba )(

Ejemplo: 182*34*3)24(3

3. LEY ASOCIATIVA:

cinMultiplicacabbca

Sumacbacba

)()(

)()(

Ejemplos:

1810)53(10531053 24)4*3(24)3*2()4)(3(2

4. LEY DEL MODULO:

1. PARA LA SUMA: El nmero real 0 es llamado el mdulo de la suma, ya que para

todo nmero real a se cumple que: aaa 00 Ejemplo: 33003

2. PARA LA MULTIPLICACIN: El nmero real 1 es llamado el mdulo de la multiplicacin, ya que para todo nmero real a, se cumple: aaa *11* Ejemplo: 77*11*7

5. PROPIEDAD DEL INVERSO:

1. PARA LA SUMA: Para todo nmero real a existe un nico nmero real (llamado inverso aditivo de a), representado por a, de tal manera que:

0)( aaaa Ejemplo:

El inverso aditivo de 3, es -3, ya que 3 3 = 0. El inverso aditivo de 5, es 5, ya que -5 + 5 = 0.

2. PARA LA MULTIPLICACIN: : Para todo nmero real a 0 existe un nico

nmero real (llamado recproco o inverso multiplicativo de a), representado por a

1,

de tal manera que: 1*11

* aaa

a

Ejemplos: El recproco de 7 es 1/7, ya que 7*1/7=1. El recproco de 1/3 es 3, ya que 1/3*3=1. El recproco de 7/5 es 5/7, ya que (-7/5)*(-5/7)=1.

d. DIVISIN DE CERO Y DIVISIN ENTRE CERO.

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3

indefinidoesa

a

indefinidoes

bb

b

00

0

000

0,00

0

e. SIGNOS DE AGRUPACIN

Los signos de agrupacin se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad; por esto siempre se deben efectuar primero las operaciones indicadas dentro de los signos de agrupacin. Por ejemplo en la siguiente operacin.

)25(3 Primero debemos efectuar la operacin dentro del parntesis (cinco menos dos) y luego efectuar la multiplicacin por tres.

93*3)3(3)25(3 Los signos de agrupacin son de cuatro clases:

Parntesis ordinario o parntesis. Parntesis angular o corchete. Llaves.

Vnculo o barra.

La forma en que se emplean los signos de agrupacin es por lo general la siguiente:

Las operaciones se deben efectuar de adentro hacia fuera.

f. PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES

Cuando efectuemos operaciones aritmticas o algebraicas debemos seguir el siguiente orden. 1. Potencias o exponentes. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas.

Tenga en cuenta que cuando hay signos de agrupacin se debe desarrollar primero las operaciones que hay dentro de ellos.

Ejemplos:

54*3)1 primero efectuamos la multiplicacin y luego la suma

1751254*3 )54(*3)2 Primero efectuamos lo que tenemos dentro del parntesis.

279*3)9(*3)54(*3

72510205)10(205)818(205)4*218(205)3 Primero se efecto todo lo del parntesis empezando por la multiplicacin de

2*4=8 luego 18-8=10, este es el resultado del parntesis. Queda 10205 Se debe efectuar primero la divisin 21020 quedando 5+2 por ltimo Efectuamos esta suma 5+2=7.

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4

1331231041310454310954310

1675431044754310264754310)4

437)5(157)23(157)6

4375

157

23

157)5

56*3)7 2

23578 )

g. MNIMO COMN MLTIPLO m.c.m. Este tema es importante verlo en este momento, porque es necesario para la suma de fraccionarios de diferente denominador; desarrollarlo en ese momento sera una dificultad ms para una mejor comprensin del tema operaciones entre fraccionarios. El mnimo comn mltiplo entre dos o ms nmeros es el menor nmero que los contiene exactamente. Cuando afirmamos que un nmero a contiene exactamente a nmero b queremos decir que si dividimos el nmero a entre el nmero b el resultado ser un nmero entero. Tengamos en cuenta que cuando decimos que el m.cm. entre dos o ms nmeros es el menor nmero que los contiene exactamente, no estamos afirmando que sea el menor de los nmeros. De hecho el m.cm. de dos o ms nmeros nunca ser el menor de los nmeros. Ser el nmero que los contiene a todos en menor proporcin. Para entender mejor lo anterior veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo1. Determine el m.c.m entre 2 y 4. Si pensaste que es el nmero 2 recuerda que el m.c.m nunca ser el nmero menor. Si dijiste que es el nmero 4 estas en lo correcto, ya que si dividimos el 4 entre el 2 el resultado es 2 que es un nmero entero y si dividimos el 4 entre el 4 el resultado es 1 que es un nmero entero. Ejemplo2. Determine el m.c.m. entre 6 y 4 Si pensaste que es el nmero 12 estas en lo correcto ya que el 12 contiene 2 veces al nmero 6 y contiene 3 veces al nmero 4 y podemos ver que ambos son nmeros enteros. Si pensaste que es el nmero 6 recuerda que si dividimos el 6 entre el 4 el resultado no es un nmero entero. Si pensaste que es el nmero 24 recuerda que aunque el 24 contiene exactamente al 6 y al 4 no es el menor nmero que los contiene exactamente. El menor nmero que contiene exactamente al 6 y al 4 es el nmero 12. Ejemplo3. Determine el m.c.m. entre 10, 50, 70, 14, 20. Puedes ver que ya no es tan fcil saber cual es el m.c.m. de estos nmeros por esto debemos describir un mtodo para determinarlo.

METODO PARA DETERMINAR EL m.c.m. 1. Factorizar o descomponer cada nmero como un producto de sus factores primos.

Esto es dividir cada nmero primero por 2 luego por 3, por 5, por 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,... que son los nmeros primos. Como tarea te dejo para que consultes cual es la definicin de los nmeros primos y presentes los primeros 150 nmeros primos.

2. El m.c.m. resulta de multiplicar los factores primos entre si sin repetirlos y cada uno con su mayor exponente.

Retomando el ejemplo3 podemos ver que el 10 es divisible slo entre el 2 y el 5.

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5

Por lo tanto, 5*210 as mismo, 7.5.270 , 25*250 , 7.214 , 5.220 2 . Podemos ver que los nicos factores de estos nmeros son el 2, el 5 y el 7 tambin que el mayor exponente del 2 es el 2, del 5 es el 2 y del 7 es el 1.

Por lo tanto: 7007*25*47*5*2... 22 mcm Ejemplo4. Determine el m.c.m. entre 36, 45, 40 y 6.

22 3.236 , 5.345 2 , 5.240 3 y 3.26 Los nicos factores de estos nmeros son el 2, el 3 y el 5. Y el mayor exponente de cada nmero es: del 2 es el 3, del 3 es el 2 y del 5 es el 1.

Por lo tanto: 3605*9*85*3*2... 23 mcm Ejemplo5: Determine el m.c.m. entre 44, 48, 66 y 18.

242 3*218,11*3*266,3*248,11*244

158411*9*1611*3*2.. 24 mcm

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6

TALLER

RESUELVA Y SIMPLIFIQUE SI ES POSIBLE:

1. 6:)4(2 R

2. 4:26 R

3. 11:)4(7 R

4. )6(1

5. 3:)5(8 R

6. 90:)10(9 R

7. )6(8

8. )9(7

9. 0/7 10. 55 11. 24:)12)(2( R

12. )9(

13. 20 14. xRx 6:)6(

15. 1076:4*56235275 R 16. 3/1:62 R

17. 2:)2(4 R

18. 1200:4*32653724 22 R 19. 3/0

20. 142:2*35*3532579 2 R 21. 18:)2(6)3(23 R 22. )5)(5(

23. )4(2

24. 43*75242*5437

25.

0

80

26. aRa :32)( 27. )2)(3)(5(

28. 3*00

0

29. 3 yx 30. )3(0 x

31. 32

014

))()(( x

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7

32. 0*0

33. 0120 34. 10/3:)10/(3 R

35. 227.4*35276453 R DETERMINE EL m.c.m. 1. 520, 156, 720. R: 9360. 2. 490, 2100, 504, 180. R: 88200. 3. 54, 35, 42, 63, 45. 4. 1050, 630, 112, 360. R: 25200 5. 1500, 1008, 315, 1225. R: 882000. CONTESTE FALSO O VERDADERO, JUSTIFIQUE LAS RESPUESTAS FALSAS.

1. )()( cbacba 2. Todo nmero real tiene un recproco.

3. 00/3 4. El recproco de 2/3 es 3/2.

5. Si 000 bentoncesayab ,

6. El recproco de 2/5 es 5/2.

7. El inverso aditivo de 3 8 es 3 8 .

8. Si 000 bentoncesayab ,

9. abba . 10. El recproco de todo racional pertenece a los nmeros enteros. 11. El inverso aditivo de 5 es 1/5.

12. abba 13. El inverso aditivo de -5 es 5.

14. Si 000 bentoncesayab ,

15. Todo nmero real tiene inverso aditivo.

16. El inverso aditivo de 7 es 7 . 17. El inverso aditivo de todo nmero natural es otro nmero natural.

18. bb 0 .

19. El inverso aditivo de 5 es 5 .