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Conceptos Elementales de la Conceptos Elementales de la Teoría de ConjuntosTeoría de Conjuntos

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Objetivos:Objetivos:

1.1. Discutir el concepto de conjunto.Discutir el concepto de conjunto.2.2. Conocer distintas formas de expresar los Conocer distintas formas de expresar los

conjuntos.conjuntos.3.3. Definir el concepto de subconjunto.Definir el concepto de subconjunto.4.4. Definir las operaciones de, unión, Definir las operaciones de, unión,

intersección y diferencia de conjuntos.intersección y diferencia de conjuntos.5.5. Definir la cardinalidad de un conjunto.Definir la cardinalidad de un conjunto.6.6. Definir los conjuntos numéricos: Naturales, Definir los conjuntos numéricos: Naturales,

Cardinales, Enteros, Racionales, Cardinales, Enteros, Racionales, Irracionales y los Reales.Irracionales y los Reales.

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3Conjuntos:Conjuntos:

El concepto de conjunto no se define pero El concepto de conjunto no se define pero entendemos que un es entendemos que un es conjuntoconjunto la reunión o la reunión o colección de objetos con características colección de objetos con características comunes.comunes.Los objetos pertenecientes al conjunto recibenLos objetos pertenecientes al conjunto recibenel nombre de el nombre de elementoselementos o o miembrosmiembros del del conjunto.conjunto.Por lo regular se utilizan llaves para reunir a Por lo regular se utilizan llaves para reunir a los elementos del conjunto. Los elementoslos elementos del conjunto. Los elementosdentro de las llaves se escriben separados pordentro de las llaves se escriben separados porcomas.comas.Se utilizan letras mayúsculas para representarSe utilizan letras mayúsculas para representaro nombrar a los conjuntos.o nombrar a los conjuntos.

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{ }1) 2, 3, 5, 10A =

Ejemplos:

{ }2) 1, 2, 3, 4, ...N =

{ }3) aP =

{ }=B )4

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Otros ejemplos de conjuntos:Otros ejemplos de conjuntos:

{ } 3 2, 1, 0, W)5 =

{ } f e, d, c, b, a, T )6 =

{ } 3 2, 1, 0, 1,- 2,- 3,- 4,- 5,- G )7 =

{ } 20 , ... 6, 4, 2, P )8 =

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Los conjuntos pueden expresarse de las Los conjuntos pueden expresarse de las siguientes tres maneras:siguientes tres maneras:

2.2. Forma verbalForma verbal3.3. Forma de lista o enumerada Forma de lista o enumerada 4.4. Notación de construcción de conjunto Notación de construcción de conjunto

(enunciados).(enunciados).

Un conjunto dado puede denotarse de formaUn conjunto dado puede denotarse de formamás conveniente por un método que por otro, más conveniente por un método que por otro, pero la mayoría de los conjuntos pueden pero la mayoría de los conjuntos pueden representarse de cualquiera de las tres formas.representarse de cualquiera de las tres formas.

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Ejemplos:Ejemplos:

1.1. Forma verbal:Forma verbal:

El conjunto de todos los números enteros El conjunto de todos los números enteros positivos mayores que 5 inclusive.positivos mayores que 5 inclusive.

6.6. Forma enumerada:Forma enumerada:

8.8. Notación de construcción de conjuntos o Notación de construcción de conjuntos o enunciado.enunciado.

{ }5, 6, 7, ...

{ } es un número entero positivo mayor o igual a 5x x© copywriter

8EjemplosEjemplosCambia cada conjunto a la forma de lista o Cambia cada conjunto a la forma de lista o enumerada.enumerada.

{ } positivo enteroun es ,7 )1 xxx

{ } positivo enteroun es p 4, p 3 p )2

3) Las primeras cinco letras de la palabra

abecedario.

impares. números seis primeros Los )4

Solución

Solución

Solución

Solución

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9Definiciones:Definiciones:1. Un conjunto que no tiene elementos se

conoce como el conjunto vacíoconjunto vacío o conjunto conjunto nulonulo y se denota con los símbolos, Ejemplo: Conjunto de estudiantes en el

salón mayores de 500 años.2. Se dice que el conjunto AA es un subconjuntosubconjunto

del conjunto BB, si todo elemento de A A es elemento de BB.

En símbolos escribimos;4. El conjunto que contiene todos los

elementos en una discusión determinada se le llama el conjunto universal y se denota por, U.

{ }. o

B A

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Definiciones:Definiciones:

1. El conjunto A es un subconjunto propiosubconjunto propio del conjunto B, si y se denota por; .

Ejemplo:

5. Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

B,Ay B A B A

{ } { }a, b, c b, c, a=

{ } { }1,3,5 1,2,3,4,5ￌ

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Ejemplos:Ejemplos:

{ } { }{ }

Si W 1, 2, 3, 4, ..., 12 , P 2, 4, 6, 8

K 3, 5, 4, 6, 2 se tiene que:y

= =

=

1) P W

2) K W

3) P P

4) W W

5) W P

ￌￌￍￍﾹ

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Cuando se quiere indicar que un elementoCuando se quiere indicar que un elemento

pertenece a un conjunto, usamos el símbolo:pertenece a un conjunto, usamos el símbolo:

Para indicar que el elemento no pertenece a un Para indicar que el elemento no pertenece a un

conjunto usamos el símbolo:conjunto usamos el símbolo:

Para indicar que un conjunto no es un Para indicar que un conjunto no es un

subconjunto de otro conjunto usamos el subconjunto de otro conjunto usamos el

símbolo:símbolo:

Símbolos :Símbolos :

ￋ

Se lee, es elemento de

Se lee, no es elemento de

Se lee, no es subconjunto de© copywriter

13Ejemplos:Ejemplos:

{ } { }{ }

Si A 2, 5, 7, 8, 9, 11, 23 , B 5, 7, 9, 10, 11, 12 y

C 2, 7, 8, 11

= =

=

Falsa(F) o Cierta(C)

esn aseveració cada si Determine

{ }

{ }

___1. 3 A

___2. 7 B

___3. 10 A

___4. 3, 5, 7 A

___5. C

___ 6. C A

___7. C C

___8. 11 A

ￎￎￏ

ￌￆ ￌￌﾹￎ

FC

F

CF

C

C

F© copywriter

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DefiniciónDefinición

La La uniónunión de dos conjuntos A y B se define de dos conjuntos A y B se define como el conjunto que contiene a todos loscomo el conjunto que contiene a todos loselementos del conjunto A y todos los elementos del conjunto A y todos los elementos del conjunto B, sin repetirse.elementos del conjunto B, sin repetirse.

{ } B óA BA = xxx

{ } { }1 3 6 7 2 3 5 6 7A B , , , , , , ,=

{ }1 2 3 5 6 7, , , , ,=

Ejemplo:Ejemplo:

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DefiniciónDefinición

La La intersecciónintersección de dos conjuntos A y B se de dos conjuntos A y B se

define como el conjunto que contiene a todos define como el conjunto que contiene a todos

los elementos que son comunes a ambos los elementos que son comunes a ambos

conjuntos A y B.conjuntos A y B.

{ } By A BA = xxx

{ } { }1 3 6 7 2 3 5 6 7=ￇ ￇA B , , , , , , ,

{ }3 6 7, ,=

Ejemplo:Ejemplo:

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DefiniciónDefiniciónLa La diferencia de dos conjuntos A y B se define de dos conjuntos A y B se define

como el conjunto que contiene todos los como el conjunto que contiene todos los

elementos que están en el conjunto A, pero noelementos que están en el conjunto A, pero no

están en el conjunto B.están en el conjunto B.

{ } By A BA = xxx

El complemento de un conjunto A se denota y define por, .A U Aﾢ=

{ } { }1 3 6 7 2 3 5 6 7A B , , , , , , , = { }1=

Ejemplo:Ejemplo:

A =

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17Ejemplos:Ejemplos:

{ } { }{ } { }

Sea U 1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 23 , A 2, 5, 7, 8, 9, 11, 23 ,

B 5, 7, 9, 10, 11, 12 y C 2, 7, 8, 11 , encontrar:

= =

= =

( )1) A B 7) A B C

2) A C 8) A B

3) B C 9) A B

4) A B C 10) B C

5) A B 11) A

6) B C

C

= =ￇ ￇ= =ￇ= =

= =ﾢ= =ￇ

=ￇ ( ) 12) B C =ￇ

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución© copywriter