Conceptos Teóricos de La Integral de Riemann
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10/1/2015 ConceptostericosdelaIntegraldeRiemann
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/teoria_integral.htm 1/9
CONCEPTOSTERICOSSOBRELAINTEGRALDERIEMANN
CONTENIDO:
IntroduccinParticindeunintervaloSumadeRiemannsuperioreinferiorVariacindelassumasdeRiemannIntegraldeRiemannsuperioreinferior.FuncionesRiemannIntegrablesCaracterizacindelasfuncionesRiemannIntegrablesSumasdeRiemannTiposdeaproximacindelaintegralFuncionesRiemannIntegrablesTeoremaFundamentaldelClculoEvaluacindelaintegral:regladeBarrowIntegraldeRiemanndefuncionesnopositivasPropiedadesdelaintegraldeRiemannAplicaciones
Introduccin
Consideraremosunafuncinrealy=f(x)positivayacotada,definidaenelintervalocerrado[a,b].
Sellamaintegraldefinidadelafuncinf(x) 0entreayb(loslmitesdeintegracin),alreadelaporcindeplanolimitadaporlagrficadelafuncin,elejeXylasrectasparalelasx=ayx=b.
ComenzaremosconlasdefinicionesdesumasuperiorysumainferiordeDarbouxdeunafuncindefinidaenunintervalo[a,b],asociadasaunaparticindelmismo.Estassumassonaproximacionesalreaquequeremoscalcular.
Veremosalgunasdesuspropiedades,enparticularlasreferentesalarelacinentreambassumasyasucomportamientocuandoseconsideranparticionescadavezmsfinas(quecorrespondernaaproximacionesdelreacadavezmejores).Estaspropiedadesnosgarantizanlaexistenciadelsupremodelassumasinferioresydelnfimodelassumassuperiores,siendoestosvaloreslasintegralesinferiorysuperior,respectivamente,deDarboux,enelintervalo[a,b].
Alserfpositivaen[a,b],estosvaloresnosproporcionanestimaciones,pordebajoyporarribadelreaencerradaporfen[a,b].SedirquefesintegrableDarbouxen[a,b]si"ambasaproximacionescoinciden".LaintegraldeRiemannsedefinedeformaligeramentediferente,apartirdeparticionesevaluadas.LaintegraldeRiemannyladeDarbouxsonequivalentes.DebidoaestehechonosreferiremoscomoIntegraldeRiemannatodasellas.Enestecasosedefinelaintegraldefenelintervalo[a,b]comoelvalorcomndelasintegralesinferiorysuperior.
DaremoselcriteriodeintegrabilidaddeRiemannquenospermiteestudiarlaintegrabilidaddeunafuncinsinnecesidaddecalcularlasintegralessuperioreinferior.Estonospermitehacerdiferentestiposdeaproximacindelaintegral.
Entrelaspropiedadesfundamentalesdelaintegralveremoslalinealidad,lamonotonaylaaditividadrespectodelintervalo.
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Daremostambin,unodelosresultadoscentralesdetodalaMatemtica,elTeoremaFundamentaldelClculo,querelacionadosramascentralesdelAnlisis:elClculoDiferencialyelClculoIntegral.Asmismo,veremoslaregladeBarrowquepermitecalcularlaintegraldeRiemanndeunafuncinintegrableapartirdeunaprimitivadelafuncin.
Algunasdelasaplicacionesprcticassonelclculodelmitesdealgunassucesionescuyostrminosestnformadosporsumasconunnmerocrecientedetrminos,mtodosparacalcularreas,longitudesdearcosdecurva,reasyvolmenesderevolucin.
Particindeunintervalo
UnaparticinPdelintervalocerrado[a,b]esunconjuntofinitodepuntosP={x0,x1,x2,...,xn}talque:
a=x0
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I(f,P) I(f,P')paratodorefinamientoP'delaparticinP
Grficamente,sepuedeverencolornaranjaelreaqueaumenta:
LasumasuperiordisminuyeamedidaquesevantomandorefinamientosdelaparticinP,porquecadarectngulosedivideenotrosdealturaigualoinferior,yelreasiempredisminuye.Esdecir:
S(f,P') S(f,P)paratodorefinamientoP'delaparticinP
Grficamente,sepuedeverencolornaranjaelreaquedisminuye.
IntegraldeRiemannsuperioreinferior.FuncionesRiemannIntegrables
Seafunafuncinacotadadefinidaenunintervalocerrado[a,b].Sedefine:
laintegralsuperiorI*(f)=inf{S(f,P):Pesparticinde[a,b]}
laintegralinferiorI*(f)=sup{I(f,P):Pesparticinde[a,b]}
EntoncessiI*(f)=I*(f)lafuncinfesRiemannIntegrableylaintegraldeRiemanndefsobreelintervalo[a,b]sedenotapor:
f(x)dx
Hayquedestacarquelassumassuperioreinferiordependendelaparticinparticularescogida,mientrasquelasintegralessuperioreinferiorsonindependientesdelasparticioneselegidas.Sinembargo,estadefinicinesdifcilparaseraplicadadeformaprctica,puesesnecesarioconocerelnfimoyelsupremosobrecualquierparticin.
CaracterizacindelasfuncionesRiemannIntegrables
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Supongamosquefesunafuncinacotadadefinidaenelintervalocerrado[a,b].EntoncesfesintegrableRiemannsiyslosiparatodo >0existealmenosunaparticinPtalque
|S(f,P)I(f,P)|
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Puntomedio:setomacomovalortjelpuntomedioentreloslmitesdelsubintervalo,esdecir,(xj1+xj)/2.Grficamente:
Puntoaleatorio:setomacomovalortjunpuntoelegidoaleatoriamenteentretodoslospuntosdelsubintervalo.Grficamente:
Puntonfimo:setomacomovalortjaquelpuntodelsubintervalotalquef(tj)eselnfimoenesesubintervalo.Grficamente:
Puntosupremo:setomacomovalortjaquelpuntodelsubintervalotalquef(tj)eselsupremoenesesubintervalo.Grficamente:
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Losdosltimostiposdeaproximacinnosontilesenlaprctica,puesparaaplicarlosseranecesariocalcularelnfimooelsupremodef(tj),teniendoquerecorrertodoelsubintervalo.PeroestonoesnecesarioPorqu?
SiunafuncinesRiemannIntegrable,podemosaproximarlaintegralporsumasdeRiemannR(f,P)tomandotjcomoqueramos.
Veamosesto:silafuncinesRiemannIntegrable,cualquiersumadeRiemannR(f,P)tiendealvalordelaintegral,porqueparacualquierpuntotjtenemosquedj f(tj) cj(siendodjelnfimoycjelsupremoenesesubintervalo),luegoI(f,P) R(f,P) S(f,P).
FuncionesRiemannIntegrables
TodafuncincontinuaenunintervalocerradoyacotadoesRiemannIntegrable.
Todafuncincontinuayacotadaenunintervalocerradoyacotado,exceptoenunacantidadnumerabledepuntos,esRiemannIntegrable.
Recprocamente,siunafuncinacotadadefinidaenunintervalocerradoyacotadoesRiemannIntegrable,entocesescontinuaeneseintervaloexceptocomomuchoenunacantidadnumerabledepuntos.
TodafuncinmontonayacotadaenunintervalocerradoyacotadoesRiemannIntegrable.
VeamosunejemplodeunafuncinRiemannIntegrablenocontinua.Definamoslafuncin:
Larepresentacingrficadeestafuncines:
EstafuncinesRiemannIntegrable,porquesepuedencalcularlasreasdelosrectngulosescalonados.Ysinembargo,noescontinuaenunacantidadnumerabledepuntos,esdecir,en1/n,siendonunnmeronatural.
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TeoremaFundamentaldelClculo
Seafunafuncinintegrabledefinidaenelintervalocerradoyacotado[a,b],sedefineunanuevafuncin:
F(x)= f(t)dt
EntoncesFescontinuaen[a,b].Esms,sifescontinuaenunpuntocdelintervalo(a,b),entoncesFesderivableency
F'(c)=f(c)
Evaluacindelaintegral:RegladeBarrow
RelacionaelClculoIntegralconelClculoDiferencial.
SeafunafuncinRiemannIntegrabledefinidaenelintervalocerradoyacotado[a,b].
YseaFunaprimitivadefen[a,b],esdecir,F'(x)=f(x)paratodoxpertenecientea[a,b].
Entonces:
f(x)dx=F(b)F(a)
IntegraldeRiemanndefuncionesnopositivas
Hastaahorasehaanalizadolaintegraldefuncionespositivas.Paralasfuncionespositivas,elvalordelaintegralcoincideconelreaquedelimitanconelejeXylasrectasx=ayx=b
Seestudiarnenestepuntolasfuncionesnopositivas.
Dadaunafuncinrealnopositivadefinidaenelintervalo[a,b],sepuededescomponerendosfuncionesf+(x)yf(x)definidasas:
f+(x)=max{f(x),0}
f(x)=max{f(x),0}
As,tenemosqueambasfuncionessonpositivasyfsepuededefinirenbaseaellasdeestamanera:
f(x)=f+(x)f(x)
Asqueelproblemasereduceacalcularlaintegraldedosfuncionespositivas.Tenemos,portanto,que:
f(x)dx= f+(x)dx f(x)dx
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PropiedadesdelaintegraldeRiemann
Seanf,gfuncionesintegrablesRiemanndefinidasenelintervalo[a,b].Entoncessecumplenlassiguientespropiedades:
1.Propiedadesdelinealidad:
f(x)dx= f(x)dx
Sicesunnmeroreal,entoncescf(x)esintegrableen[a,b],ysecumple:
cf(x)dx=c f(x)dxLafuncin(f+g)(x)esintegrableen[a,b],ysecumple:
[f(x)+g(x)]dx= f(x)dx+ g(x)dx
2.Propiedaddeaditividadrespectodelintervalo:
Sia
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algirarentornoalejeX,elrecintolimitadoporlasrectasx=a,x=b,elejeXylagrficadef(x)vienedadopor:
V= [f(x)]2dx
Clculodelalongituddeunacurva:
Seafunafuncinrealcontinuaen[a,b],talquesuderivadaf'tambinescontinuaen[a,b]entonceslalongituddelagrficadefentrex=ayx=bes:
Encoordenadasparamtricas,unacurvavienedefinidaporlaexpresin:
Enestecaso,lalongituddelacurvavienedadapor:
Clculodelrealateraldeunasuperficiederevolucin:
Seafunafuncinrealcontinuaen[a,b],talquesuderivadaf'tambinescontinuaen[a,b]entonceselrealateralderevolucinengendradaporf(x)algirarentornoalejeX,entrelasrectasx=ayx=b,es:
Volveralapginaprincipal