Conceptos y fenómenos eléctricos de Corrientecontinua: Resolución de circuitos. Teoremasfundamentales

Hemos recordado y ampliado nuestros conocimientos de electricidad. Emilio se siente unexperto en la materia, pues conoce el origen de la electricidad, los condensadores, loselementos que componen un circuito eléctrico, las resistencias, los generadores..., inclusoconoce plenamente sus repercusiones energéticas en la sociedad.

Realmente tenemos derecho a sentirnos así, pues sabemos bastantes cosas, pero..., todavíanos queda mucho por recorrer. Sí, amigo, sí, bastante porque... ¿Cómo resolveríamos uncircuito eléctrico si sus resistencias no están en serie, ni en paralelo, ni en estrella ni entriángulo? ¿Y si además hay varias fuentes de tensión por medio de las resistencias? ¿Y sisólo nos interesa saber la intensidad o caída de tensión en un receptor o resistencia de uncircuito eléctrico?... Muchas dudas, ¿verdad?

La gran complejidad de muchos de los circuitos utilizados en Electrotecnia, con variasramificaciones, hacen necesario establecer normas que faciliten su resolución de una formasencilla. Estas normas son aplicables tanto a los circuitos de corriente continua como a losde alterna (que veremos en la siguiente unidad), lo cuáles sólo requerirán pequeñasmodificaciones para su resolución.

Algunos de vosotros, como en el caso de Emilio, conoce algo de ello por la materia deTecnología Industrial de 1º de Bachillerato, pero si no es tu caso, no te preocupes, puespartimos de lo más básico.

En este tema conoceremos los teoremas más importantes para la resoluciónde cualquier circuito eléctrico de corriente continúa, para ello echaremos manode herramientas matemáticas para la resolución de ecuaciones de varias incógnitas.Éstas incógnitas serán normalmente las intensidades.

¿Lo ves complicado? Si es así, no te preocupes. Con unas pequeñas nociones no habráningún circuito de corriente continua que se te resista. ¡Ánimo!

1. Ley de Ohm generalizada

Emilio se pregunta: "¿Otra vez?". Si. La ley de Ohm la tendrás contigo cada vez que quierasresolver un circuito, lo que pasa es que ahora la explicaremos más generalizada.

¿Recuerdas la relación que existía entre tensión, resistencia e intensidad? Veamos como seaplica en circuitos un poco más complejos.

La intensidad de corriente eléctrica que recorre un circuito es directamente proporcional a lafuerza electromotriz (f.e.m.) total del circuito e inversamente proporcional a la resistenciatotal del mismo.

Recuerda la Ley de Ohm con esta aplicación.

Animación 1.Aplicando la Ley de Ohm: Sube y baja los potenciómetros de la Tensióny la Resistencia

y observa cómo varía la Intensidad, según la ley de Ohm

Fuente: IES Juan A. Suanze (Avilés)

Licencia: Desconocida

Consideremos el siguiente circuito:

Imagen 1. Ley de ohm. Circuito inicial.

Imagen de elaboración propia.

Podemos observar que cada una de las fuentes de alimentación (generadores) tiene unaresistencia interna (r) con lo que la intensidad total del circuito será igual a:

El valor de Et será la suma de las distintas fuerzas electromotrices presentes en el circuito.

La resistencia total será la suma de las distintas resistencias internas de los generadoresmas la resistencia R

Si en el circuito hay varias fuerzas electromotrices, como ocurre en el ejemplo de la figura,se consideran positivas las que favorecen la circulación de la corriente y negativas las que seoponen a dicha corriente.

Imaginemos un generador de corriente continua de f.e.m. 24 V y resistencia interna 0,1Ω que está conectado a un circuito exterior de resistencia 7,9 Ω. Calcular la intensidadde corriente.

Calcular la intensidad de corriente del siguiente circuito:

Imagen 3. Imagen de elaboración propia.

2. Leyes de Kirchhoff

Por ahora la cosa no parece complicada, ¿verdad? Ahora estudiaremos un concepto nuevosobre los circuitos eléctricos. ¿Os acordáis cuando al principio del tema os preguntaba sipodíais resolver circuitos cuando sus resistencias no estaban en serie y había generadorestambién por el medio? Pues con estas leyes podremos resolver estos circuitos.

Al final de este apartado os pongo un video sobre estas leyes. ¡Ánimo!

Gustav Robert Kirchhoff(1824-1887), enunció dosreglas que permiten resolverde forma sistemáticaproblemas de circuitoseléctricos. Dichos circuitostendrían difícil solución con laaplicación directa de la ley deOhm.

Las reglas enunciadas porKirchhoff tienen comofinalidad la obtención de unsistema de ecuaciones cuyaresolución, por cualquiermétodo matemáticoadecuado, nos permitaconocer las intensidades decorriente (en valor y sentido)existentes en un circuito.

Imagen 4. Gustav RobertKirchhoff

Fuente: Wikipedia

Licencia: Creative Commons.

Antes de adentrarnos en el desarrollo eléctrico y matemático de las leyes de Kirchhoff,conviene establecer las siguientes definiciones:

Red: será el conjunto de fuerzas electromotrices, contraelectromotrices, resistencias yconductores, unidos entre si de forma arbitraria, de forma que por ellos circulan corrientesde iguales o distintas intensidades.

Primera ley de Kirchhoff o regla de los nudos: La suma algebraica de lasintensidades en un nudo es cero

Para aplicar esta ley debemos fijar arbitrariamente un sentido positivo, por ejemplo, el deentrada al nudo. De esta forma el nudo dibujado anteriormente quedaría de la siguienteforma:

O lo que es lo mismo:

Esta regla se puede resumir diciendo que la suma de corrientes que llega a un nudo es iguala la suma de corrientes que salen de dicho nudo.

Segunda ley de Kirchhoff o regla de las mallas: La suma algebraica de las fuerzaselectromotrices aplicadas a una malla es igual a la suma de las caídas de tensión en dichamalla.

Veamos como se obtiene esa expresión. Si consideramos la malla BCDEB de la red anterior yaplicamos en cada una de las ramas de dicha malla la ecuación:

(La diferencia de potencial entre dos puntos será igual a la caída de tensión producida en lasresistencias mas/menos la fuerza electromotriz existente entre esos puntos)

Sumando ambas ecuaciones resulta:

Que sería lo mismo que teníamos al principio:

Primera ley de Kirchhoff o regla de los nudos: La suma algebraica de lasintensidades en un nudo es cero

Segunda ley de Kirchhoff o regla de las mallas: La suma algebraica de lasfuerzas electromotrices aplicadas a una malla es igual a la suma de las caídas detensión en dicha malla

Lo prometido es deuda, ahí va ese vídeo:

2.1. Aplicación de las leyes de Kirchhoff a uncircuito

Para resolver un circuito mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff debemostener en cuenta los siguientes aspectos:

1. Debemos asignar sentido a cada una de las intensidades que circulan por las ramasdel circuito. El sentido que tomemos no afectará a la resolución del circuito y lo únicoque puede ocurrir es que alguna intensidad se obtenga con valor negativo quesignificará que su sentido es el contrario al que habíamos determinado en un primermomento.

2. Debemos contar los nudos que tiene el circuito y aplicar la primera ley de Kirchhoff an-1 nudos cualesquiera. Se suelen considerar positivas las intensidades que entran en elnudo y negativas las que salen aunque se puede tomar el criterio contrario sin que estoafecte al desarrollo del circuito.

3. Aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas independientes de la red.En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de ramas menosel número de nudos disminuido en una unidad.

Cuando apliquemos esta ley deberemos elegir como positivo un sentido de recorrido dela malla, horario o antihorario, considerando positivas todas las intensidades y fuerzaselectromotrices del mismo sentido que el elegido y negativas las de sentido contrario.

Indica que término corresponde con las siguientes definiciones.

1. Punto de un circuito donde concurren varios conductores distintos :

2. Conjunto de todos los elementos de un circuito comprendidos entre dos nudosconsecutivos:

3. Conjunto de ramas que forman un bucle cerrado:

4. Línea cerrada que no contiene elementos en su interior:

Comprobar

Las leyes de Kirchoff son:

1

2

3

En una malla hay dos generadores cuyas tensiones suman 10V y tres resistencias. Lastensiones de dos son 2 y 6 V ¿Cuál será la tensión de la tercera resistencia?

1V

3 V

2 V

El número de mallas independientes de un circuito será:

Igual al número de nudos

En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de ramasmenos el número de nudos disminuido en una unidad.

En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de nudosmenos el número de ramas disminuido en una unidad.

Calcular las intensidades que recorren el circuito de la figura y la diferencia depotencial entre A y B.

Imagen 8: Imagen de elaboración propia

3. Método de mallas

Ahora veamos un método que nace de las leyes de Kirchhoff, el que simplifica la resolución deredes, pues se obtiene un número de ecuaciones menor que utilizando las 2 leyes de kirchhoff.Interesante, ¿verdad? Estoy seguro que a partir de ahora utilizarás este método.

El método de trabajo es muy similar al utilizado en el apartado anterior pero ahora vamos aasignar intensidades a cada una de las mallas en vez de rama por rama como hicimosanteriormente.

Consiste en aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada una de la R-(n-1) mallasindependientes de la red, considerando como incógnitas las intensidades de cada una de lasmallas, cuyo sentido determinaremos arbitrariamente con antelación.

R=ramas n=nudos

Una vez obtenidas las intensidades de cada malla será fácil obtener la intensidad de cadarama mediante la suma algebraica de las intensidades de las mallas a las que pertenece esarama.Las ramas exteriores tendrán una intensidad +/- la intensidad de la malla a la quepertenecen. El signo positivo o negativo dependerá de si coincide o no con la referencia de laintensidad de malla.Cuando la rama pertenezca a dos mallas la intensidad vendrá como suma algebraica de lasintensidades de dicha malla.Veamos el ejercicio anterior pero ahora resuelto por mallas:

Imagen 10: Método de mallas - Circuito inicialImagen de elaboración propia.

Tenemos 3 ramas y 1 nudos, por tanto aplicaremos la segunda ley a Kirchhoff a 2 mallasindependientes (3-(2-1))Tomamos dos intensidades arbitrarias IA e IB, una para cada una de las mallasMalla izquierda: 24*IA-2*IB=6-4Malla derecha: 84*IB-2*IA=8-6Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:IA=85*10-3 A (al ser positivo observamos que el sentido previsto por nosotros es correcto)IB= 20,8*10-3 A (al ser positivo observamos que el sentido previsto por nosotros escorrecto)

Nos faltaría obtener la intensidad que circula por la rama central que llamaremos IC. Paraobtener este valor restaremos al valor de IA el valor de IB:IC= 64,2*10-3 A (el sentido será el mismo que tiene IA)

Se puede observar que los resultados coinciden tanto si utilizamos Kirchhoff como si seutiliza el método de mallas.

Recuerda que en el método de mallas partimos de unas intensidades asignadasarbitrariamente por nosotros, por tanto, si al resolver el sistema de ecuaciones algunade ellas tiene signo negativo significa que el sentido es el contrario al considerado ennuestra asignación pero el valor se mantendrá igual.

Utilizando el método de mallas obtener las intensidades que circulan por la red de lafigura.

Imagen 11. Imagen de elaboración propia

4. Teorema de superposición

Aquí tenemos otro teorema para la resolución de circuitos eléctricos. Seguro que el nombreos suena, ¿verdad? En el tema 1, para el cálculo de magnitudes de la carga eléctrica... puestiene la misma base, pero en vez de calcular magnitudes de cargas eléctricas, ésta vez loutilizamos para el cálculo de intensidades de corriente.

Éste método no es el más utilizado, pero a veces su uso es necesario debido a ciertascomplejidades de algunos circuitos eléctricos. Yo que vosotros lo tendría en cuenta.

La idea que intenta transmitir este teorema es muy sencilla, cuando tengas varios generadoresen un circuito lo puedes resolver por partes considerando en cada una de esas partes un sologenerador y el resto anulados. El resultado final vendrá uniendo los resultados de todas esaspartes.

La respuesta de un circuito que contenga más de un generador es la suma algebraica de lasrespuestas obtenidas para cada uno de los generadores, suponiendo los demás generadoresnulos.

Es decir, en una red que contenga varios generadores la intensidad de corriente que circularápor una rama cualquiera será igual a la suma algebraica de las producidas por cada generadoractuando independientemente (sustituiremos los demás por sus resistencias internas).

Nota: puede darse el caso de que los generadores no se sustituyan por sus resistenciasinternas al considerarse estos valores despreciables, en ese caso cada generador serásustituido por un cortocircuito o conductor de resistencia nula.

Veamos un ejemplo con el siguiente circuito:

Imagen 13. Teorema de superposición - Circuito inicial

Imagen de elaboración propia

Se puede observar que tenemos dos generadores y según el principio de superposición laintensidad resultante I será la suma algebraica de las intensidades obtenidas actuando cadauno de los generadores de forma independiente. Para aplicar este principio primerocortocircuitaremos E2 (dejando actuar a E1 de forma independiente) y posteriormentecortocircuitaremos E1 (actuando E2 de forma independiente).

Calcular todas las intensidades de corriente que recorren el circuito aplicando elteorema de superposición.

Imagen 15. Imagen de elaboración propia

5. Teorema de Thevenin

¿Recordáis al principio del tema cuando os decía: "¿Y si sólo nos interesa saber la intensidado caída de tensión en un receptor o resistencia de un circuito eléctrico?"

Con lo que ya sabéis: las leyes de Kirchhoff, el método de las mallas, superposición...habréis comprobado que cualquier modificación de una resistencia repercute en el cálculo dela intensidades de corriente, ¿verdad?

Imaginad por un momento que queremos saber el comportamiento de un circuitosimplemente cambiando en un punto del mismo un receptor o resistencia, de entre variosque tenemos. Si a eso unimos que es un circuito de por ejemplo 4 mallas, pues su resoluciónes larga y tediosa, pues cada vez que cambiamos de resistencia en ese punto, tendremosque volver a hacer los cálculos.

Emilio según está pensado todo eso, le empiezan a dar los 7 males... "¡Menudo engorro! ¡Yono tengo tanto tiempo para estar haciendo eso!", piensa el pobre.

Pero no te preocupes, gracias a este teorema que viene a continuación las cosas se simplificanmuchísimo. Y estoy seguro que este teorema será uno de tus preferidos. ¿Qué no? Ya loverás...

Imagen 16: Wikipedia

Licencia: Creative Commons

Hasta ahora hemos estudiado y resuelto circuitos completos con todas sus intensidades ytensiones pero existen circuitos en los que surge la necesidad de variar solo una de lasresistencias que lo forman manteniendo intacto el resto de elementos del circuito. Al realizaresta modificación estaremos alterando los valores de las intensidades que circulan por lasdistintas ramas del circuito y por tanto deberemos recalcular esas nuevas intensidades.

¿Te parece lógico y funcional tener que calcular todos los parámetros cada vez que varíe lamisma resistencia?

Veamos un ejemplo mediante un circuito. Supongamos que tenemos que calcular lacorriente para diferentes valores de la carga RL que se encuentra conectada entre losextremos A y B de un circuito como el de la figura.

Imagen 17. Teorema de Thevenin - Circuito inicial

Imagen de elaboración propia

Con los métodos trabajados hasta ahora habría que reducir el circuito hasta encontraruno equivalente con una sola resistencia para cada uno de los valores de la carga RL.

Puedes ver la siguiente animación sobre el teorema de Thevenin, haciendo click en elsiguiente enlace :

Animación sbore el teorema de Thevenin

El equivalente Thevenin consiste en:

Un generador con una resistencia en paralelo

Un generador

Un generador con una resistencia en serie

Una resistencia

El circuito de la figura muestra el circuito equivalente de una fuente de alimentación.Obtener los valores de corriente y tensión de la resistencia de carga RL. a)RL= 10Ω b)RL= 20Ω.

Imagen 19. Imagen de elaboración propia

¿Qué tal? ¿Cómo lo veis? No es complicado, ¿verdad? Pues aquí os dejo un video de laresolución de un circuito de la PAU, (ahora PAEG). Estoy seguro de que lo sabrás resolver sindificultad.

6. Teorema de Norton

Este teorema, al igual que el de Thevenin, nos permitirá simplificar un circuito comprendidoentre dos terminales.

El teorema dice lo siguiente:

Un circuito que tenga dos terminales, se comporta respecto de unaresistencia de carga colocada entre ellos como un simple generador deintensidad Ix en paralelo con una resistencia Rx.

Si partimos del mismo circuito utilizado para explicar el teorema de Thevenin.

Imagen 23. Teorema de Norton - Circuito inicial

Aplicando el teorema de Norton nos quedaría el siguiente circuito equivalente.

Imagen 24. Teorema de Norton- Circuito equivalente de Norton

Imagen de elaboración propia

El valor de Ix lo obtenemos cortocircuitando los terminales A y B, obteniendo el circuitosiguiente.

Imagen 25. Teorema de Norton - Circuito cortocircuitado

R34 es el resultado del paralelo de las resistencias 3 y 4

Y la intensidad que circulará por este circuito será:

Puedes ver la siguiente animación para convertir un circuito equivalente Thevenin enun circuito Norton:

Convertir circuito equivalente Thevenin en un circuito Norton

En un equivalente Norton tenemos:

Una fuente de intensidad con una resistencia en paralelo

Una fuente de tensión con una resistencia en paralelo

Una fuente de tensión con una resistencia en serie

Una fuente de intensidad con una resistencia en serie

Para obtener el equivalente Norton:

Cortocircuitamos la fuente de tensión del circuito

Calculamos la resistencia equivalente con el circuito abierto (sin resistencia decarga)

Quitamos la resistencia de carga y cortocircuitamos los terminales

Ninguna de las anteriores es correcta

Hasta ahora habíamos trabajo solamente con generadores de tensión pero existentambién los llamados generadores de corriente o fuentes de intensidad.

Sus símbolos tanto ideal como real son:

Imagen 27. Fuente de intensidad ideal

Imagen de elaboración propia

Imagen 28. Fuente de intensidad real

Imagen de elaboración propia

Un generador de corriente ideal es aquel elemento activo que proporciona energía conuna determinada corriente I que es independiente de su tensión en bornes. El sentido dela corriente se indica con una flecha colocada en el interior del círculo.

Un generador de corriente real es un elemento activo que proporciona energíaeléctrica con una determinada intensidad I que depende de la tensión bornes; esto esdebido a que presenta una resistencia en paralelo en la que se produce unaderivación de corriente.

Obtener el equivalente Norton, entre los terminales A y B, del circuito de la figura yla intensidad que circula por la resistencia de carga RL=10Ω.

Imagen 29. Imagen de elaboración propia

Aquí tienes un video explicativo sobre el teorema de superposición, transformación de fuentesy teorema de thevenin. Estoy seguro que te será de mucha utilidad, pues explica conceptosmuy interesantes. Empápate de ellos, con esto serás un experto en la resolución de circuitoseléctricos de corriente continua.

7. Puente de Wheastone

Para finalizar el tema, estudiaremos el Puente de Wheatstone que se utiliza para el cálculode una resistencia rápidamente. Tiene numerosas aplicaciones interesantes, como veréisposteriormente. Hoy en día este puente se utiliza mucho en todo lo relacionado con laElectrotecnia, pues este método es el utilizado para comprobar averías en la líneas eléctricasde Alta y Media Tensión, donde sus longitudes son kilométricas. Os animo a que busquéisesta aplicación una vez estudiado su concepto. Es muy interesante y te abrirá la mente enmuchas aplicaciones Electrotécnicas. ¡Ánimo!

Es un método utilizado para medir resistencias con bastante rapidez y precisión.

En la parte inferior puedes ver un puente de Wheatstone junto al circuito sobre el que estádiseñado.

Imagen 34. Puente de Wheatstone.

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Licencia: Creative Commons

Imagen 35. Esquema de Puente de Wheatstone

Imagen de elaboración propia

En el puente de Wheatstone, además de la resistencia que queremos medir, tenemos dosresistencias fijas R1 y R3 y una variable R2.

Una vez cerrado el interruptor modificaremos el valor de la resistencia variable R2 hastaconseguir que la intensidad por R1 y R2 sea la misma y que la intensidad por R3 y Rx seatambién la misma (galvanómetro marcando 0).

Llegados a este punto podemos decir que entre B y D no existe diferencia de potencial al nopasar corriente y que el puente de Wheatstone está equilibrado.

Veamos como podemos obtener el valor de R .

Se observa que en el puente de Wheatstone se verifica que los productos de lasresistencias opuestas son iguales. En el siguiente enlace puedes ver una aplicación del puente de Wheatstone

Aplicación Puente de Wheatstone

8. Aplicaciones

Como hemos podido ver durante el tema son bastante numerosos los métodos de resolución decircuitos que podemos utilizar dependiendo de las características del circuito o de losparámetros sobre los que queremos incidir.

A los teoremas y métodos explicados habría que añadir algunos otros como el teorema deRosen, método de Maxwell, método de Millman, los puentes de hilo, Fraetz y Wien, etc. Dichasaplicaciones, además de quedar fuera de los contenidos propios de segundo de bachillerato,harían esta parte de resolución de circuitos demasiado extensa y tediosa para el alumno.

Resolver un circuito, según lo hemos hecho durante este tema, puede parecer algo mecánico ycarente de otra utilidad que no sea la de obtener ciertos valores de intensidad, resistencia otensión. Pero nada más alejado de la realidad. Nuestro entorno está lleno de elementos quedirecta o indirectamente funcionan o son gobernados mediante circuitos eléctricos y dependede los valores que tomen estos circuitos el comportamiento de dichos elementos o aparatos.

Como ejemplo nos pueden servir algunas de las aplicaciones de uno de los circuitos trabajadosen esta última parte de la unidad: el puente de Wheatstone.

Recordemos que hemos dicho que es un instrumento eléctrico de medida que se utiliza paramedir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente. El puenteestá constituido por cuatro resistencias que forman un circuito cerrado, siendo una de ellasla resistencia bajo medida.

Pero este circuito, unido a otros elemento eléctricos o electrónicos, nos permite realizar unaserie de operaciones que quizá desconozcamos:

a) Mediante termistores NTC se utilizan en una gran variedad de aplicaciones: sensor detemperatura (termómetro), medidor de la velocidad de fluidos, estabilización de tensiones,etc.

b) Utilizando en el puente una LDR o fotorresistencia se utiliza para aplicaciones en circuitosdonde se necesita detectar la ausencia de luz de día:

- Luz nocturna de encendido automático, que utiliza una fotorresistencia para activar una omás luces al llegar la noche.

- Relés controlados por luz, donde el estado de iluminación de la fotorresistencia, activa odesactiva un interruptor, que puede tener un gran número de aplicaciones

c) En el desarrollo de galgas extensométricas utilizadas para comprobar el asentamiento deconstrucciones de hormigón. Este tipo de galgas son un sensor basado en el efectopiezorresistivo. Un esfuerzo que deforma a la galga producirá una variación en suresistencia eléctrica. Esta variación de resistencia llevará consigo una variación de voltajeque mediremos mediante el puente de Wheatstone.

Estas galgas también pueden ser utilizadas para modelizar la sismicidad de la cortezaterrestre, detectando movimientos casi imperceptibles.Haz click en el siguiente enlace y podrás comprobarlo.

Simulador para modelizar la sismicidad en la corteza terrestre