UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

CURSO: FISICA III

CONDENSADORES DIELECTRICOS Y

POLARIZACIN

AUTOR: Mag. Optaciano L. Vsquez Garca

HUARAZ - PER

2010

I. INTRODUCCIN En este captulo se presenta el primer elemento de circuitos. Los circuitos elctricos son el fundamento de la gran mayora

de dispositivos que utilizamos en la actualidad. Siendo uno

de los componentes los capacitores o condensadores.

Los capacitores son dispositivos utilizados para almacenarenerga en el campo elctrico entre sus placas

2

II. CAPACITANCIA_1 Consideremos un conductor descargado

como se ve en la figura. Su potencial en

este caso es nulo

Carguemos al conductor con una carga+Q. Ahora su potencial es

El potencial en este caso es proporcionala la carga y tambin depende de la

distancia en donde se evala.

Si ahora dos conductores diferentes secargan con la misma carga, en general

sus potenciales sern diferentes . Es decir

TIENEN DIFERENTES CAPACIDADES.3

0

14

r dAr

A

V

DEFINICIN DE CAPACITANCIA

La capacitancia elctrica (C)es una propiedad fsica de un

conductor que expresa la

habilidad de un conductor para

adquirir carga sin un cambio

sustancial en su potencial.

Matemticamente se expresacomo el cociente entre la

carga y el potencial. Esto es

Para el caso de una esferapor ejemplo, la capacidad es

Las unidades de capacidadson :

el faradio = 1 F =1coul/1coul

Este tiene submltiplos

1F=10 exp(-6)1nF =10exp(-9)

1pF =10exp(-12)

4

qCV

00

44

q qC RV q R

III. CAPACITOR O CONDENSADOR. El capacitor es un dispositivoformado esencialmente por dos

conductores llamadas placas

del condensador aisladas y

separadas por el medio vaco o

por un dielctrico.

Sobre las placas se distribuyencargas iguales y opuestas +q y

q tal como se muestra en lafigura

La capacitancia de un capacitorest dada por

5

0 .

.

AB

A

E ndAqCV E ds

r r

r r

3.1. Aplicaciones de los capacitores Sirven para almacenar carga en sus

placas(armaduras).

Sirven para almacenar energa elctricadentro de su campo elctrico entre placas

Para producir configuraciones de campoelctrico

Como rectificadores de corriente,amplificadores de voltaje.

En aplicaciones elctricas y electrnicasde radio y televisin, sistemas de ignicin

de automviles, desfibriladores, y en

unidades electrnicas de flashes.6

3.1 Aplicaciones de los capacitores

Algunos keyboards usancapacitores en la base de los

keys.

Cuando el key espresionado, el espaciamiento

del capacitor disminuye y la

capacitancia se incrementa.

El key es reconocidomediante el cambio de dicha

capacitancia.

7

3.1. Aplicaciones de los capacitores:

Un desfibrilador usa la

energa elctrica almacenada

en un capacitor para liberar

una corriente elctrica

controlada, la misma que

puede restituir el

funcionamiento normal del

corazn de una persona

vctima de un paro cardiaco.

8

3.2 CARACTERSTICAS DE LA CAPACITANCIA DE UN CONDENSADOR

LA CAPACITANCIA:

Es independiente del campo, la cargay de la diferencia de potencial.

Depende de la geometra delcapacitor: (a) forma y tamao delcapacitor; (b) posicin y orientacin

relativa entre conductores

Depende del medio que hay entre lasplacas

No depende del material del cual esthecho las placas

9

3.3. Tipos de condensadores La mica es un mineral transparente. Tiene alta rigidez dielctrica Qumicamente es inerte

Por ello se fabrica capacitores conespesores muy delgados.

Se fabrica en diversas formas(redondas, rectangulares, etc.).

La pila construida se envuelve enplstico

Se puede construir capacitores decapacidades que van de 1pF a 01,pF 10

DE MICA

Capacitores de cermica Comercialmente existen dos tipos: (a)

de baja constante dielctrica y (b) de

alto K.

Los primeros se usan en circuitos dealta frecuencia mientras que los otros

en circuitos de baja frecuencia.

Su capacidad varia mucho con latemperatura. Voltaje y frecuencia.

Las capacidades de alto K van de 100pF a 0,1 pF.

Se fabrican en forma de disco conmetal ambos lados.

Requieren de una polaridad 11

Capacitores de papel Son los mas usados Tienen bajo costo Sus capacidades van de

500pF a 50pF

Se disean para resistirvoltejes muy altos.

Se usan cdigo decolores paraespecificarlos .

12

Capacitores de pelcula plstica

Se construyen de formaanloga a los de papel

Emplean como dielctricohojas muy delgadas deplstico (mylar, tefln,polietileno).

Su costo es mayor a los depapel

Sus capacidades van de 500pF a 1 F

.

13

Capacitores electrolticos

Se fabrican de aluminio otantalio

Su estructura es dos hojasde metal una de las cualesse cubre con una capa dexido, entre las hojas secoloca un electrolito quemoja al papel.

Tienen polaridad definiday solo se debe instalarcorrectamente evitando laperforacin del capacitor

Sus capacidades van de 1F a 500000 14

Condensadores variables El capacitor variable de airese anloga a las resistencias

variable.

Se fabrican uniendo placasmetlicas como se muestra

La separacin entre placasdebe ser importante

15

3.4 Seguridad en el uso de capacitores Un capacitor almacena energa Si el capacitor tiene capacidad

grande y est cargado a alto

voltaje la energa almacenada

es grande

Durante la descarga la energase libera mediante el flujo de

corriente que fluye a travs de

la conexin

Si la descarga ocurre en formaaccidental a travs del cuerpo

humano el choque elctrico es

muy doloroso e incluso mortal

Debido a que un condensadordescargado no se distingue de

uno cargado representa un

peligro oculto para la

seguridad. Esto significa que si

un capacitor se carga durante

su uso, se debe descargar

antes de manipularlo o

volverlo a guardar en su lugar.

Por ello se recomienda quesiempre se debe descargar

este elemento debe ser

conectado con una resistencia

16

3.5 Calculo de capacidades: capacitor plano_1 Un capacitor plano est

formado por dos placasparalelas conductoras derea A separadas por unadistancia muy pequea dcomparada con las demsdimensiones y que llevancargas +Q y Q en lasuperficie como se muestraen la figura superior.

Debemos observar que ladel campo elctrico es de laforma mostrada en la figurainferior 17

Calculo de capacidades: capacitor plano_2

Se usa una superficiegaussiana en forma de cuboy se aplica la ley de Gauss.

El campo elctrico entreplacas es

La diferencia de potencialentre placas es

Debido a que el potencial enla placa positiva es mayor queen la negativa entonces

La capacidad ser18

Calculo de capacidades: capacitor cilindrico_1Otra configuracin de importancia es la mostrada en la figura a, la

que constituye un capacitor cilndrico el cual consta de un cilndrico

slido de radio a sobre la que se distribuido uniformemente una

carga +q con una densidad de carga +, rodeado por una cscaracilndrica de radio interno b la cual lleva una carga uniformemente

distribuido q con una densidad de carga por unidad de longitud . Ambos cilindros tienen una longitud L

19

25-3. Calculo de la capacidad de un Capacitor Cilndrico

0

0 0

0

0

0

0

22

2

ln2

2

ln ln2

f b

i a

qE dA

q qE rL ErL

q drV E ds E drrL r

q bVL a

Lq qCq b bVL a a

02

lnC

L ba

Calculo de capacidades: capacitor esfrico_1Un capacitor esfrico el que consta de dos cascaronesesfricos conductores concntricos de radios ra y rb sobre

los que se ha distribuido cargas +Q y Q en sussuperficies con una densidad de carga .

21

Calculo de capacidades: capacitor esfrico_2

Aplicando la ley de Gauss

La diferencia de potencial

La capacidad delcondensador esfricoes

22

0

.

enc

A

qE ndA r r 2 22 2

0 0

44 a a r

r rE r E er

r r2

20

2

0

.

1 1

b ba

a a

a

b a

r drV V E dsr

rV V Vr r

r r

2

0

2

2

0

0

1 1

4

1 1

4

a

b b

a

a

b b

b a

b a

q qCV r

r r

rC

r

r r

r rC

r r

Ejemplo de aplicacin

Dos esferas de radios a y b cuyos centros estnseparados una distancia d Muestre que la capacitancia

del sistema es

Donde d es mucho mayor que los radios.

23

Solucin

24

3.6 CAPACITORES EN CIRCUITOS ELCTRICOS. Un capacitor es un dispositivo que se utiliza para almacenar carga en

sus placas y como tal almacenar energa en su campo elctrico

Esta energa almacenada puede ser utilizada posteriormente para hacerfuncionar otros dispositivos elctricos y electrnicos.

Para lograr este objetivo es necesario proceder a cargar el condensador,para ello se conecta las placas del capacitor a las terminales de una

batera tal como se muestra en la figura.

Es la batera la encargada de mantener la diferencia de potencial . Al hacer la conexin habr un reparto de carga entre las terminales y las

placas. Por ejemplo, la placa que es conectada a la terminal positiva de

la batera adquiere alguna carga positiva mientras que la placa

conectada a la terminal negativa adquiere alguna carga negativa, la

cantidad de carga acumulada en las placas depende de la capacidad del

capacitor.25

3.7 CAPACITORES EN CIRCUITOS ELCTRICOS_ continuacin

El reparto de carga ocasionauna disminucin momentneade cargas en las terminales dela batera y como tal unadisminucin en el voltaje enlas terminales.

Para mantenerse dichadiferencia de potencial ocurrenreacciones qumicas en elinterior de la batera con lafinalidad de compensar laprdida de carga 26

3.8CAPACITORES EN SERIE Supongamos que tenemos tres capacitores

inicialmente descargados C1, C2 y C3 los mismosque se conectan en serie, como se muestra en lafigura.

27

CAPACITORES EN SERIE_2 La diferencia de potencial en

cada uno de loscondensadores ser

La diferencia de potencialentre los extremos es

Remplazando la ecuacinanterior da

Simplificando

La generalizacin a N condensadores

28

1 2 31 2 3

; ; y Q Q QV V VC C C

1 2 3V V V V

1 2 3e

Q Q Q QC C C C

1 2 3

1 1 1 1eC C C C

1 2 3

1 1 1 1 1 1....... .....

e i NC C C C C C

1

1 1N

ie iC C

3.9 Capacitores en paralelo En la figura se muestra la conexin de tres condensadores cuyas

capacidades son C1, C2 y C3 conectados en paralelo, es decir las placasizquierdas de todos los condensadores son conectadas a la terminalpositiva, entones estarn al mismo potencial que la terminal positivaV+, mientras que sus placas derechas a la terminal negativa de labatera por lo tanto estarn al mismo potencial que la terminalnegativa V-

29

CAPACITORES EN PARALELO_2 Las diferencias de

potenciales sern iguales,es decir

La capacidad de cada unode los condensadores ser

La carga total positiva delsistema es

Al remplazar la segundaecuacin en la terceraresulta

De donde se obtiene lacapacidad equivalente

Generalizando30

1 2 3V V V V 31 2

1 2 3; ; y QQ QC C C

V V V

1 2 3eQ Q Q Q

1 2 3 1 2 3Q C V C V C V C C C V

1 2 3eQC C C CV

1 2 3 .... .....e i NC C C C C C

CONEXIN MIXTA En la figura, se muestra un circuito capacitivo con varios

capacitores conectados a una fuente de tensin que le

proporciona una diferencia de potencial. Es nuestro objetivo,

determinar la capacitancia equivalente del circuito

31

EJEMPLO DE APLICACIN 01En el circuito capacitivo mostrado en la figura. Determine: (a)

La capacidad equivalente, (b) la carga almacenada por cada

uno de los capacitores y (c) La diferencia de potencial entre

las terminales de cada capacitor

32

EJEMPLO DE APLICACIN 02Cuatro capacitores estn conectados como se muestra en la

figura. (a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los

puntos a y b. (b) calcule la carga de cada uno de los

capacitores si Vab = 15 V.

33

EJEMPLO DE APLICACIN 03En el circuito mostrado en la figura C1 = 3 F; C2 = 5 F, C3 =

6 F. Si entre los bornes a y b se aplica una diferencia de

potencial Vab = +24 V. Determine: (a) La carga en cada uno

de los capacitores, (b) la diferencia de potencial en cada uno

de los capacitores y (c) la diferencia de potencial entre los

puntos a y d

34

Ejemplo de aplicacin 04 Considerando el circuito mostrado, donde C1 = 6.00 F y

C2 = 3.00 F con V = 20.0V. Primero se carga elcapacitor C1 cerrando interruptor S1. Despus este

interruptor S1 se abre para conectar el capacitor cargado

con el capacitor C2 descargado al cerrar S2. Calcular la

carga inicial adquirida por C1 y la carga final de cada uno

de ellos.

35

Ejemplo de aplicacin 05En el circuito capacitivo mostrado en la figura se tiene queV = 12 V; C1=C5=C6=6 F y C2=C3=C4=4 F. Determine:(a) La carga neta almacenada por los capacitores y (b) Lacarga en el capacitor C4.

36

Ejemplo de aplicacin 06 Tres condensadores se

conectan tal como se muestra

en la figura. Se cierra el

interruptor S1 y el condensador

C3 se carga a una diferencia

de potencial de 330 V. Luego

se abre S1 y se cierra S2. (a)

Cul es la diferencia de

potencial en cada uno de los

condensadores? (b) Cul es la

carga en cada uno de los

condensadores?.

37

Ejemplo de aplicacin 07Determinar la capacidad equivalente entre los puntos a y b

para el grupo de capacitores conectados como se muestra

en la figura. Utilice los valores C1 = 5 F, C2 = 10 F y C3 = 2F. Si entre los extremos a y b se establece un a diferenciade potencial de 50 V, Cul ser la carga en los capacitores

cercanos a la terminal b?.

38

Ejemplo de aplicacin 08Halle la diferencia de potencial VA VB entre los puntos A yB del circuito mostrado.

39

Ejemplo de aplicacin 09Para el sistema de condensadores que se muestra en la

figura. Halle: (a) La diferencia de potencial entre a y b cuando

el interruptor S se encuentra abierto. (b) El potencial elctrico

del punto b cuando el interruptor S est cerrado. (c) la carga

en cada condensador cuando S est cerrado. (d) la energa

total almacenada cuando S est cerrado

40

Ejemplo de aplicacin 10Un capacitor de 10 F tiene sus placas en el vaco. Cada unade ellas tiene una carga de 1000 C. De la placa positiva sedispara hacia la placa negativa una partcula cargada con un

carga qo = -3,00 C y de masa 2.10exp-16 kg, con unavelocidad inicial de 2.10exp6 m/s. Lograr esta partcula

llegar hasta la placa negativa?. De ser as determine su

velocidad de impacto. De lo contrario cul es el espacio

entre las placas que recorre?.

41

solucin

42

Ejemplo de aplicacin 11 Cuatro placas paralelas P1, P2, P3 y P4, cada una de rea A = 7,50 cm2,

estn separadas sucesivamente por una distancia d = 1,19 mm, como se

muestra en la figura. La placa P1 es conectada a la terminal negativa de

una batera, y P2 a la terminal positiva. La batera mantiene una

diferencia de potencial de 12 V. ( a) Si P3 es conectada a la terminal

negativa, cul es la capacitancia del sistema de tres placas P1P2P3?. (b)

cual es la carga sobre P2?. (c) Si P4 es ahora conectada a la terminal

positiva de la batera, cul es la capacitancia del sistema de cuatro

placas P1P2P3?- Cul es la carga sobre P4?.

43

solucin

44

Ejemplo de aplicacin 12 Determine la capacidad equivalente en el circuito capacitivo

mostrado en la figura. Si entre los extremos a y b se aplica una

diferencia de potencial de 100 V. Cul es la carga en cada

capacitor?

45

Ejemplo de aplicacin 13

Determine la capacidad equivalente en el circuito capacitivomostrado en la figura

46

Ejemplo 14 En el circuito capacitivo mostrado en la figura todos los

capacitores tienen igual capacidad C. Determine lacapacidad equivalente entre los puntos: (a) X-Y; (b) V-Z y

X-Z

47

Ejemplo 15 Hallar la capacidad equivalente entre los bornes X e Y del

circuito capacitivo mostrado en la figura si todos los

capacitores tienen igual capacidad.

48

Ejemplo 16 En el circuito mostrado en la figura, las capacitancias de

los tres capacitores son C1 = 1F, C2 = 2F y C3 = 3F.Determine la carga en cada uno de los capacitores.

49

Ejemplo 17Cuatro placas metlicas iguales se encuentran en el aire a

distancias iguales d una de la otra. El rea A de lasplacas extremas estn unidas entre s y las del centro

conectadas a una batera de f.e.m . La distancia entreplacas es pequea en comparacin con sus dimensiones

de stas. Determine la carga en cada placa

50

Ejemplo 18 En el circuito capacitivo mostrado en la figura halle la

energa almacenada por el sistema si C = 19 F

51

Ejemplo 19 En el circuito determine: (a) la capacidad equivalente del

sistema, (b) La energa total almacenada y (d) la diferencia

de potencial en todos los capacitores

52

Ejemplo 20Un capacitor de 10 F est cargado a 15 V. A continuacinse le conecta en serie con un capacitor de 5 F sin carga.Esta combinacin en serie se conecta a una batera de 50

V, segn el diagrama de la figura. Determine las diferencias

de potencial que se presentan en las terminales de los

capacitores de 5 F y 10 F.

53

SolucinLa carga en el capacitor de 10 F es

Una carga q adicional es proporcionada por la fuente,

proporcionndole al capacitor de 5 F una carga q y al de10 F una carga q+150F. Entonces tenemos

Es decir las diferencias de potencial sern

54

Ejemplo 21En el circuito capacitivo encuentre la capacidad equivalente

entre los bornes X e Y

55

Solucin

56

Ejemplo 22

Un capacitor de capacidad C1 = 1,2 F seconecta en paralelo con una fuente de tensinque posee una diferencia de potencial V0 = 30V. Despus de la carga se desconecta C1 de lafuente de voltaje y se conecta en paralelo aotro condensador completamente descargadocuya capacidad es C2 = 2,4 F. (a) Determinela nueva diferencia de potencial V1, (b) Cuntaenerga se perdi al realizar la conexin?.

57

Ejemplo 23

Suponiendo que todos los capacitores queaparecen en la figura son idnticos (C1 = C2 = C3= C4 = C5 = 2 F). Determine: (a) la capacidadequivalente, (b) la diferencia de potencial entre lasarmaduras del capacitor C4 y (c) las cargas en loscapacitores C1 y C3.

58

Ejemplo 24 La figura muestra una batera de 50 V y cuatro

capacitores de capacitancias C1 = 1 F, C2 = 2 F,C3 = 3 F, C4 = 4 F y C5 = 5 F. Encuentre: (a) lacarga en cada uno de los capacitores si slo secierra la llave S1 y (b) la carga en cada uno de loscapacitores despus de cerrar tambin la llave S2.

59

Ejemplo 25 Los capacitores de la figura estn inicialmente sin carga y

conectados, como se indica en el diagrama, con elinterruptor S abierto.. La diferencia de potencial aplicada esVab = +210 V. (a) Cul es la diferencia de potencial entrec y d?. (b) cual es la diferencia de potencial entre losbornes de cada capacitor despus de cerrar el interruptorS?.

60

Ejemplo 26 En la figura, cada capacitancia C1 es de 6,9 F y cada

capacitancia C2 es de 4,6 F. (a) Calcular la capacidadequivalente de la red entre los puntos a y b. (b) Calcule lacarga en cada uno de los capacitores ms cercanos a lospuntos a y b cuando Vab = 420 V. (c) Con 4200 V a travsde a y b determine Vcd.

61

Ejemplo 27 Un capacitor de 4,00 F y otro de 6 F se

conectan en serie a travs de una toma decorriente de 660V. (a) halle la carga de cadacapacitor y el voltaje entre sus bornes, (b) loscapacitores cargados se desconectan de latoma de corriente y uno del otro y se conectande nuevo con los bornes del mismo signojuntos. Halle la carga final y el voltaje entre losbornes de cada uno

62

3.11 Red en Puente En la figura se muestra un

sistema de condensadores

en red en puente. En esta

conexin los capacitores no

estn conectados ni en

serie ni en paralelo y para

determinar la capacitancia

equivalente entre los puntos

a y d se utiliza la

transformacin tringulo-

estrella.

63

Red en Puente

64

1 2 5

1 2 1 5 2 5

1 2 5

1 11

1 1 1x

C C CC C C C C C C

C C C

1 5 2

1 2 1 5 2 5

1 2 5

1 11

1 1 1y

C C CC C C C C C C

C C C

2 5 1

1 2 1 5 2 5

1 2 5

1 11

1 1 1z

C C CC C C C C C C

C C C

Ejemplo de aplicacinEjemplo

En el circuito capacitivo

mostrado. Encuentre la

capacidad equivalente entre A

y B

Ejemplo

En el circuito mostrado

encuentre la capacidad

equivalente entre los

puntos A y B

65

Ejemplo de aplicacin Halle la capacidad equivalente Ce entre los puntos a y b de

la batera de capacitores de igual capacidad C = 1 Finstalados en el circuito mostrado en la figura

66

3.12 ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_1 Cuando un capacitor est cargndose mediante una batera

el trabajo es realizado por la batera para mover la carga

desde una placa del capacitor a la otra placa. Debido a que

el capacitor est siendo cargado, decimos que el capacitor

se encuentra almacenando energa en forma de energa

potencial electrosttica, energa que posteriormente puede

ser liberada cuando se descarga el capacitor.

67

3.12 ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_1 El capacitor al ser conectado a una batera mediante el cierre

del interruptor esta ltima transfiere energa de una placa ala otra hasta que la diferencia de potencial en el capacitorsea igual a la producida por la fuente aunque de polaridadesopuestas. Cuando se alcanza la etapa mostrada en la figura cse detiene el flujo de carga. En este instante se dice que elcapacitor se ha cargado completamente a una diferencia depotencial y sus placas acumulan una carga Q.

(a) (b) (c)68

3.12. ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_2

En etapas intermedias como la mostrada en lafigura b la placa superior del capacitor tendr unacarga +q y la otra una carga q, siendo ladiferencia de potencial en este instante

Para mover una cantidad de carga adicional dqdesde una placa a la otra en un intervalo detiempo dt, la batera debe hacer una cantidad detrabajo dW, dado por

69

qVC

.

( )dW dq V

3.12. ENERGA ALMACENADA EN UN CAPACITOR_3 Este trabajo corresponde a un cambio en la energa potencial

elctrica que es igual a dUe. En consecuencia en el tiempo dt la

energa potencial del capacitor a aumentado en la cantidad

La diferencia de potencial entre las placas es variable de maneraque la cantidad de trabajo realizado por la batera no solamente

depende de dq sino tambin de la diferencia de potencial entre las

placas , que cambia a medida que se acumula carga en el

capacitor. La cantidad de energa ser

70

EqdU Vdq dqC

2

0

12

QE

QU qdqC C

2 21 1 12 2 2E QU Q V C VC

Energia almacenada en un capacitor

3.13. Densidad de energa del campo elctrico Se ha determinado que los condensadores almacenan energa.

Pues bien dicha energa es almacenada en el campo elctrico

entre las placas del condensador mismo. Para el caso de un

capacitor de placas planas paralelas, cuya capacidad es

C=0A/d y siendo su diferencia de potencial V=Ed, laenerga potencial elctrica puede expresarse

72

2

20

20

121212

E

E

U C V

A Edd

U E Ad

3.13. Densidad de energa del campo elctrico Se ha determinado que los condensadores almacenan energa.

Pues bien dicha energa es almacenada en el campo elctrico

entre las placas del condensador mismo. Para el caso de un

capacitor de placas planas paralelas, cuya capacidad es

C=0A/d y siendo su diferencia de potencial V=Ed, laenerga potencial elctrica puede expresarse

Debido a que la cantidad Ad, representa el volumen entrelas placas, podemos definir a la densidad de energa Ecomo la energa por unidad de volumen, es decir

73

2 2 20 01 1 12 2 2E AU C V Ed E Add 2012E

E

E AdUEnergaVolumen V Ad

2012E E

3.13 Densidad de energa del campo elctrico _2 Ahora consideremos un

condensador infinitesimal en el

espacio comprendido entre las

placas como se ve en la figura

Para encontrar la densidad deenerga observe que el volumen

del pequeo cubo es dV, el rea de

su seccin transversal dA y su

espesor ds. Debido a que ds es

paralelo al campo elctrico entre

las placas, todo el flujo que sale del

rea dA de una superficie termina

sobre el rea correspondiente de la

superficie opuesta.

La energa almacenada en estecondensador infinitesimal ficticio

es prcticamente la energa que

se requiere para situar las cargas

superficiales sobre el rea dA de

los dos conductores. Podemos en

este caso hacer A tiende a dA y d

tiende a ds,

74 2 20 01 1( )2 2EdU E dA ds E dV 2012EE dU EdV

Ejemplo

Un capacitor de placas paralelas tiene una carga Q yplacas de rea A. Demostrar que la fuerza ejercida encada placa por la otra es F = Q2/2oA. es de atraccin ode repulsin? cae dentro del sentido comn estaecuacin?

W U F dx 2 2

02 2dU d Q d Q xFdx dx C dx A

F = Q2/2oA

Ejemplo Una esfera conductora de radio R en el vacio tiene una

carga +Q. (a) Determine la energa potencialelectrosttica total almacenada en el espacio circundante.(b) Cul es el radio R0 de la superficie esfrica tal quedentro de ella quede almacenada la mitad de la energa?.

76

Ejemplo

Un condensador cilndrico tiene radios a y b, como semuestra en la figura . Demuestre que la mitad de la energa

potencial elctrica almacenada est dentro de un cilindro

cuyo radio es

77

R ab

Ejemplo

78

IV. DIELECTRICOSUn dielctrico o aislante es caracterizadopor presentar un volumen sin cargas libres.

En estos materiales los electronespermanecen ligados a los tomos omolculas a los cuales ellos pertenecen.

Podemos considerar dentro de estos materialesal vacio, al vidrio, la mica, ciertos plsticos, etc.

Sus enlaces qumicos mantienen todos loselectrones ligados a sus tomos.

79

4.1 Aplicaciones de los dielctricos en capacitores

El uso de los dielctricos es muy amplio, en elcaso de los capacitores dichos materiales sonutilizados por ejemplo para mantener laseparacin fsica de las placas.

Por otro lado, debido a que la ruptura dielctricade mucho de ellos es mucho mayor que la delaire, permiten reducir al mnimo la fuga de carga,especialmente cuando se le aplica altos voltajes.Permitiendo de este modo una mayoracumulacin de carga en las placas del capacitor80

4.2 CAPACITORES CON UN DIELCTRICO Al introducir un dielctrico (vidrio, plstico, etc) entre las placas de

un capacitor, la capacitancia de este nuevo condensador vara.

FARADAY, utilizando un equipo sencillo, descubri que lacapacidad de un capacitor aumenta en un factor K (a esta

constante se le denomina constante dielctrica. La presencia de

un dielctrico cumple con las siguientes funciones:

1. Permite mantener una distancia muy pequea entre lasplacas sin que exista contacto fsico,

2. Permite aumentar la diferencia de potencial entre las placasdel capacitor, aumentando de este modo la capacidad dealmacenar cargas y energa.

3. Permite aumentar la capacitancia de un capacitor es decir uncapacitor tiene una capacitancia mayor que aquel sindielctrico

81

EXPERIMENTO DE FARADAY IEl efecto (3) se demuestra usando un electrmetro quien permite medir

la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. La figura a

muestra un electrmetro conectado a las placas de un capacitor

previamente cargado con cargas a una diferencia de potencial V0. Al

insertar un dielctrico entre las placas (figura b) se observa que la

diferencia de potencial disminuye a un valor V . Si ahora se retira el

dielctrico nuevamente se recupera el valor original V0, este hecho

muestra que las cargas originales no han variado.

82

EXPERIMENTO DE FARADAY I

Al insertar el dielctrico el potencial pasa de Vo a V = Vo/.Entonces la capacitancia se escribe

83

EXPERIMENTO DE FARADAY I

84

Experimento de Faraday II

85

EXPERIMENTO DE FARADAY II Si ahora se introduce el dielctrico sin desconectar de la

fuerte como se muestra en la figura.

En este caso la capacitancia se expresa en la forma

Entonces la carga antes de insertar el dielctrico con lacarga despus de insertar el dielctrico estn relacionadaspor

86

CAPACITORES CON UN DIELCTRICO La capacitancia original C0 est dado por Co = Qo/V0 y la capacidad

con dielctrico ser C = Q/V. Debido a que la carga Q es la misma yla diferencia de potencial V es menor que V0. Esta experienciamuestra que la capacitancia C de un capacitor se incrementa cuando

el espacio entre los conductores es llenado con un dielctrico. Es decir,

cuando un material dielctrico es insertado completamente hasta llenar

el espacio entre las placas, la capacidad se incrementa en

Cuando la carga es constante, Q = Q0 , entonces , CV= CoVo. Eneste caso tenemos

87

0eC K C0

e

VV 0eEE

Capacitancia de un capacitor de placas paralelas con dielctricos

Capacidad sin dielctrico Capacidad con dielctrico

88

0 00

0

Q ACV d

00 AC C d

Constantes Dielctricas y Resistencias Dielctricas de Varios Materiales a Temperatura Ambiente

Pictures from Serway & Beichner

Material Constante Dielctrica Resistencia Dielctrica (V/m)Aire (seco) 1.00059 3 x 106Baquelita 4.9 24 x 106

Cuarzo Fundido 3.78 8 x 106

Goma de Neopreno 6.7 12 x 106

Nylon 3.4 14 x 106

Papel 3.7 16 x 106

Poliestireno 2.56 24 x 106

Cloruro de Polivinilo 3.4 40 x 106

Porcelana 6 12 x 106

Vidrio Pyrex 5.6 14 x 106

Aceite de Silicio 2.5 15 x 106

Titanato de estroncio 233 8 x 106

Tefln 2.1 60 x 106

Vaco 1.00000 -Agua 80 -

4.3 BASES FISICAS DE Consideremos un capacitor sin dielctrico como se muestra en la figura

El campo elctrico se obtiene a partir de la ley de Gauss

El potencial ser900

0

dV Ed

4.3 BASES FISICAS DE

La capacidad ser0

0

0

AQ AC dV d

4.3 BASES FISICAS DE Introduzcamos ahora una placa metlica entre las armaduras del

capacitor

La d.d.p ser 0

od dV

0 0

0 0

0

0

//

o

C Q VC Q V

dV d

d dV d d

BASES FISICAS DE ---Continuacin Si en lugar de insertar un metal se coloca un dielctrico

93

0 0

0

0

. libre ligadanetaSG

i

q qqE ndA EA

q qEA

BASES FISICAS DE ---Continuacin

94

0

0

iE 0

0

iV Ed d 000

0

ii

QQ QCV d

d

0

0 0

00 0

0

i

i

QdC

QCd

4.4 DIELECTRICOS POLARES Tienen momentos dipolares elctricos

permanentes

El centro de la carga negativa no coincidecon la de la carga positiva

Ejemplos: HCl, CO, HN, agua, Se encuentran orientadas al azar Se alinean con la aplicacin de campos

95

4.4 DIELECTRICOS POLARES

96

4.5 DIELECTRICOS NO POLARES No tienen momentos dipolares permanentes. Ejemplos el Hidrgeno, oxigeno, nitrgeno,

dixido de carbono

Cuando se le aplica un campo elctrico externo sepolarizan.

El grado de polarizacin depende de latemperatura.

97

4.5 DIELECTRICOS NO POLARES

Al aplicar un campo externo E0, aparece un campo depolarizacin EP debido a las cargas en las caras izquierda y

derecha, siendo el campo neto.

980 'E E E

4.5 DIELECTRICOS NO POLARES

99

MOLECULAS POLARES Y NO POLARES

100

DEFINCIN DE POLARIZACIN

101

TIPOS DE POLARIZACIN

102

Qu tipo de polarizacin tendr el

agua y el cido fluorhdrico?

TIPOS DE POLARIZACIN

103

TIPOS DE POLARIZACIN

104

TIPOS DE POLARIZACIN

105

V. VECTOR POLARIZACIN (P) Se ha demostrado que los dielctricos estn formados

por dipolos permanentes o no permanentes

Al aplicar un campo externo, los dipolos se orientan Producto de la orientacin aparecen cargas de diferente

signo en las caras opuestas del dielctrico (Cargasligadas o inducidas)

Estas cargas producen un campo de polarizacin

106

Vector polarizacin_2 Con el objeto de definir el vector polarizacin consideremos

un dielctrico formado por N molculas sobre las que actaun campo externo E. Cada una de las molculas polaresadquiere un pequeo momento dipolar pi . Por tanto, unelemento macroscpico de volumen V que contiene mdipolos de esta clase tendr un momento dipolar medio

107

1

m

ii

p p r r1m

ii

p p r rEl vector polarizacin P macroscpicose define como el momento dipolarmedio por unidad de volumen

1

1 mi

iP p

Volumen r r

Vector polarizacin_3 El vector polarizacin en un punto se expresa en la forma

La existencia de una polarizacin implica la presencia de unnuevo campo elctrico dentro del dielctrico el mismo quecancela parcialmente al campo original.

108

0lim

v

p dpPv dv

r rr

Para determinar elcampo originado por lapolarizacin,consideremos un materialdielctrico el cual esuniforme en todas partes

Vector polarizacin_4 Si la carga positiva se desplaza una distancia vectorial con

relacin a la carga negativa, entonces la polarizacin ser

De la figura se observa que el volumen es A , entonces lamagnitud del vector polarizacin es

En el caso de que la polarizacin P no sea perpendicular ala superficie la densidad de carga superficial ligada seexpresa

109

iqPV r rr

i ii

q qPA A

. cosi P n P r r i P

Vector polarizacin_5La ecuacin anterior podra interpretarse diciendo que elvector polarizacin empuja una carga a travs de un reaunitaria de superficie dielctrica original no polarizada. Enotras palabras si el rea se considera en el interior deldielctrico, la cantidad de carga positiva empujada a travsde sta rea, cuando se polariza el dielctrico es

110

iQ P Q P AA

fueraQ Q P A

cosfueraS S

Q P dA P dA .dentro

S

Q P ndA r r

VI. LEY DE GAUSS PARA DIELCTRICOS

En el captulo III se estudila ley de Gauss y sus

aplicaciones en el caso de

que las cargas se

encontraban en el medio

vaco. Ahora apliquemos

dicha ley en el caso de la

presencia de dielctricos

para esto, consideremos

un capacitor de placas

paralelas con un dielctrico

en su interior tal como se

muestra en la figura111

0 0 0

.

ligadaenc libre

SG

qQ qE ndA r r

112

VI. Ley de Gauss para dielctricos

0 0 0

.

ligadaenc libre

SG

qQ qE ndA r rAntes de mostrar la ley de Gauss es necesario ver elcomportamiento del campo elctrico dentro de un dielctrico

VI. LEY DE GAUSS PARA DIELCTRICOS Para mostrar la aplicacin de la ley de Gauss consideremos el

capacitor con dielctrico mostrado en la figura

Es decir la ley de Gauss se escribe

1130 0

1. .

libreqE ndA P ndA r rr r 0 0 0

.

ligadaenc libre

SG

qQ qE ndA r r

VI. LEY DE GAUSS PARA DIELCTRICOS

0 ,. neta libreE P ndA q r r r0 eP E r r 0 1 .e libreE ndA q r r

0 1 e

0

1 e

. libreE ndA q r r0 . libreE ndA q r r

VII.Desplazamiento Elctrico Cuando se tiene un dielctrico en el interior de un

capacitor de placas paralelas y se aplica la ley de Gauss auna superficie gaussiana, se tiene

115

0

0 0 0

.

enc i

SG

Q q qE ndA r r 00 0iA AEA

VII.Desplazamiento Elctrico

116

0 0 0iE E P 0D E P

0D E P r r r 0 000

1e

e

D E E

D E

D E E

r r r

r r

r r r

. libreSG

D ndA q r r

Ejemplo 01 Un capacitor de placas paralelas de 3,54 mm y

rea 2 m2 est inicialmente cargado a unadiferencia de potencial de 1000 V. Si ahora sedesconecta la batera y se inserta una lmina dedielctrico de constante = 2 hasta que llenecompletamente el espacio entre las placas delcapacitor. Determine: (a) la capacitancia, (b) ladiferencia de potencial entre las placas delcapacitor, (c) la densidad de carga superficial, (d)el campo elctrico y (e ) el vector desplazamientoelctrico, antes y despus de la insercin deldielctrico

117

Ejemplo 02 Un capacitor en el aire tiene una separacin entre sus placas

paralelas de 1,5 cm y un rea de placa de 25 cm2, las placas

estn conectadas a una batera la que le cargada a una

diferencia de potencial de 250 V. Si ahora el capacitor es

desconectado de la fuente de energa y en seguida se

sumerge en agua destilada = 80. Determine : (a) la cargaantes y despus de la inmersin, (b) la capacitancia despus

de la inmersin y ( c) el cambio en la energa del capacitor

118

SOLUCIN

Ejemplo 03

(a) Cunta carga se le puede suministrar a un capacitorcon aire entre las placas antes que se rompa el

dielctrico, si el rea de cada una de sus placas es de

5 cm2?. Considere que (Emax)aire = 3.10ex6 V/m; (b) Qu

pasara si? Determine la carga mxima en el caso de que

se utilice poliestireno de constate = 2,56 entre susplacas?. Para el poliestireno Emax = 24.10ex6 V/m

120

Solucin

Ejemplo 04 Un capacitor de placas paralelas de 2 nF est conectado a

una batera cuya diferencia de potencial es V1 = 100 V yluego se le aisla. El material dielctrico entre las placas es

mica cuya constante dielctrica es = 5. (a) Cuntotrabajo debe realizarse para retirar la hoja de mica?. (b)

Cul ser la diferencia de potencial en el capacitor una

vez retirada la hoja de mica?.

122

Solucin

123

Ejemplo 05 Un capacitor de placas paralelas se elabora

utilizando un material dielctrico cuyaconstante es = 3,00 y cuya resistenciadielctrica es 2.10ex6 V/m. La capacitanciadeseada es 0,25 F y el capacitor debe resistiruna diferencia de potencial V = 4 kV.Determine el rea mnima de las placas delcapacitor

124

Solucin

125

Ejemplo 06 Los capacitores C1 = 6 F y C2= 2 F son

cargados en paralelo mediante una batera de250 V. Los capacitores se desconectan de labatera y entre s. A continuacin se conectanla placa positiva con la placa negativa deambos y la placa negativa del otro a la placapositiva del otro. Determine la carga resultanteen el capacitor

126

EJEMPLO 07 Dos capacitores idnticos, de placas planas y paralelas y

capacidad C = 4 F cada uno se conectan en serie atravs de una batera de 24 V. (a) Cul es la carga decada uno de los capacitores?. (b) Cul es la energa totalalmacenada por los capacitores?.

Un dielctrico de constante e = 4,2 se inserta entre lasplacas de uno de los capacitores mientras la bateratodava est conectada. Una vez insertado el dielctrico(c) Cul es la carga sobre cada capacitor?. (d) Cul es ladiferencia de potencial a travs de cada capacitor?. (e)Cul es la energa total almacenada en los capacitores.

EJEMPLO 08 Un capacitor de laminas plano paralelas cuya superficie es A = 100

cm2 y cuya separacin entre placas es d = 6 mm se carga hasta unpotencial V0 = 200 V. Sin desconectarlo de la batera se introducen enl tres lminas planas de dielctrico de igual espesor que ocupan todoel volumen entre las armaduras. Si la constante dielctrica de la lminacentral es 2 = 5 y las de las laterales es 1 = 3 = 2,5. Determinar:(a) la capacidad C0 del condensador sin dielctrico, as como la cargaQ0 y la densidad de carga superficial. (b) la capacidad Cd del capacitorcuando lleva las lminas de dielctrico indicadas en su interior. (c) ladensidad de carga en las placas una vez estn dentro los dielctricos.(d) El campo elctrico en cada lmina de dielctrico y (e) la cada depotencial en cada lmina

EJEMPLO 09 Una cscara dielctrica cilndrica tiene radio interno a y radio externo b

como se muestra en la figura. El material tiene una constantedielctrica e = 10. En el centro de la corteza hay alambre muydelgado de radio ro colineal al eje de la corteza cilndrica con una cargalibre por unidad de longitud = 200 nC/m. (a) Encuentre los vectoresdesplazamiento elctrico D, campo elctrico E y polarizacin P para r b. (b) la diferencia de potencial entre la superficiedel alambre y la superficie exterior de la corteza dielctrica. (c) lacarga inducida por unidad de longitud en la superficie interna de lacorteza as como en la superficie externa.

Ejemplo10 Una lamina no conductora de espesor t, rea A y constante

dielctrica e es insertada entre el espacio de las placas deun capacitor plano con espaciamiento d, carga +Q y rea A,

como se muestra en la figura. La lmina no necesariamente

est en el medio entre las placas del capacitor. Determine

la capacitancia del sistema.

130

Ejemplo 11 En un condensador de placas lanas paralelas se

insertan dos dielctricos cuyas constantesdielctricas son 1 y 2 como se muestra en lafigura. Determine la capacidad del capacitor.

131

Ejemplo 12

En capacitor de armaduras planas paralelas drea A y separadas una distancia d se colocandos dielctricos de constantes dielctricas k1 y k2como se muestra en la figura. Determine lacapacidad del capacitor.

132

Ejemplo 13 El espacio entre dos esferas metlicas concntricas muy

finas est lleno de un dielctrico cuya constante es e. Losradios de las esferas son iguales a r1 y r2. La cargas de losconductores interior y exterior son iguales a +Q y Q,respectivamente. Determine: (a) la diferencia depotencial, (b) la densidad de cargas de polarizacin y (c)la capacidad del condensador esfrico con dielctrico.

133

Ejemplo 14 Considere un condensador esfrico formado por dos

conductores de radios a y c. Entre las dos superficiesconductoras se llena dos materiales dielctricos tal que eldielctrico de constante 1 est entre a y b, y el dielctricode constante 2 entre b y c como se muestra en la figura.Determine: (a) El desplazamiento elctrico en cada uno delos dielctricos, (b) el campo elctrico en cada uno de losmateriales dielctricos y (c) la capacitancia de estesistema.

134

Ejemplo 14 Un capacitor cilndrico de longitud L est compuesto por

una cscara de radio a con una carga +Q y de otracscara de radio b con una carga Q, separadas por undielctrico de constante e tal como se muestra en lafigura. Determine: (a) El desplazamiento elctrico, (b) elcampo elctrico en el dielctrico, (c) la diferencia depotencial entre las placas del capacitor y (d) lacapacitancia del capacitor.

135

Ejemplo 23 A una fuente de f.e.m. se le conectaron dos

capacitores de placas panas paralelas de aire, cada unode los cuales tiene una capacidad C. Luego uno de stosse lleno completamente con un dielctrico homogneo,cuya constante dielctrica es . Cuntas vecesdisminuy la intensidad de campo elctrico en stecondensador?. Qu carga circula a travs de la fuente?.

136

Ejemplo 24 El espacio entre las placas de un capacitor plano se llena

con un dielctrico istropo, cuya constante dielctrica vara en direccin perpendicular a las placas segn una leylineal desde 1 hasta 2, siendo 1 > 2. El rea de lasplacas es A, mientras que la distancia de separacin entrelas placas es d. Determine: (a) La capacitancia delcapacitor y (b) La densidad volumtrica de las cargasligadas en funcin de , si la carga en el capacitor es Q y elcampo elctrico en l se orienta e el sentido deacrecentamiento de .

137

Ejemplo 25 Un condensador de placas paralelas rectangulares de

longitud a y ancho b con cargas +Q y Q, posee undielctrico de igual anchura insertado parcialmente unadistancia x entre las placas como se indica en la figura.(a) Determine la capacidad en funcin de x, despreciandolos efectos de borde. (b) Comprobar que la respuestaofrece los resultados esperados para x = 0 y x = a. (c)Determine la energa almacenada en funcin de x. (d)determine la fuerza que acta sobre el bloque dedielctrico.

138

Ejemplo 26 Calcular la capacidad de un capacitor esfrico el cual posee sus

armaduras de radios a y b > a, que se llena con un dielctrico

istropo, cuya constante dielctrica vara segn la ley = /r,donde es una constante y r es la distancia medida desde elcentro.

solucin

En la figura se muestra el capacito y la superficie gaussiana

usada para hallar E

139

solucin Aplicando la ley de Gauss

El campo elctrico ser

La diferencia de potencial

Remplazando el valor =/r,

Integrando

La capacitancia del capacitorser

140

2

2

. (4 )

4

libreS

r

D ndA q D r Q

QD er

0 2

0 04r

D QD E E er

2

04b

a

V b b

V a a

QdrdV Edrr

20 04 ( / ) 4

b b

a ba a

Qdr QdrV V Vr r r

0

ln( / )4

QV b a

0

ln( / )4

Q QC QV b a 04

ln( / )C b a

Ejemplo 27 Partiendo de dos placas cuadradas de lado l y con una separacin

d se fabrica un capacitor. En dicho capacitor se inserta en su

interior un dielctrico de constante K, a cierta distancia como se

muestra en la figura. Suponga que d es mucho menor que x.

Determine: (a) la capacidad equivalente del dispositivo, (b) la

energa almacenada en el capacitor cuando las placas se conectan

a una ddp V; (c) la magnitud y la direccin de la fuerza elctricaejercida sobre el dielctrico

141

SolucinParte (a) la capacidad del capacitor ser

Parte (b) la energa almacenada por el capacitor ser

Parte (c) La fuerza ser

Parte (d). Remplazando valores se obtiene

142

Ejemplo

Considere dos alambres paralelos y de cargasopuestas de radios d y una separacin D entresus centros. Suponiendo que la carga estdistribuido uniformemente en la superficie decada uno de los alambres, demuestre que lacapacidad por unidad de longitud de este par deconductores es

143

Solucin

144

problema 01 En la figura, la batera tiene una diferencia de potencial deV = 10 V y cada uno de los cinco capacitores tiene una

capacitancia de 10 F. Cual es carga y la diferencia depotencial en cada capacitor C1 y C2

145

Problema 02 Considere las configuraciones mostradas en las figuras.

Encuentre la capacidad equivalente, asumiendo que todoslos capacitores tienen la misma capacidad C

146

Ejemplo 03 La figura muestra una batera de 12 V y cuatro

condensadores descargados cuyas capacitancias son c1 =

1,00F, C2 = 2,00F; C3 = 3,00F y C3 = 2,00F. (a) sisolamente el interruptor 1 es cerrado cules so las cargas

sobre cada uno de los capacitores. (b) si ambos interruptores

se cierran cual son las cargas en cada uno de los

capacitores?.

147

Ejemplo 04 Cada uno de los capacitores mostrados en la

figura tienen una capacitancia de 25 F. Unadiferencia de potencial de 4200 V esestablecida cuando el interruptor es cerrado.Determine la cantidad de carga pasa a travsdel medidor A

148

Ejemplo 05 En la disposicin mostrada en la figura, una diferencia de

potencial V es aplicada, y C1 es ajustado hasta que elvoltmetro marca cero. Este balance ocurre cuandoC1 = 4 F, Si C3 = 9 F y C4 = 12 . Determine C2

149

Ejemplo 06 En la figura, cada capacitancia C1 es de 9,3 F y cada

capacitancia C2 es de 6,2 F. (a) Calcular la capacidadequivalente de la red entre los puntos a y b. (b) Calcule lacarga en cada uno de los capacitores ms cercanos a lospuntos a y b cuando Vab = 840 V. Con 840 V a travs de ay b determine Vcd.

150

Ejemplo 07 Considere un capacitor de placas paralelas llenadas

con aire con una placa conectada a un resorte deconstante elstica k, y la otra placa se mantiene fija.El sistema se mantiene fijo sobre una mesa como seve en la figura. Si sobre las placas a y b existe unacarga +Q y Q. Determine la deformacin delresorte.

151

Ejemplo 08 El circuito mostrado en la figura est formado por dos placas

metlicas paralelas idnticas conectadas mediante resortes

metlicos idnticos a una batera de 100 V. Cuando el interruptor

est abierto, las placas no tienen carga y se encuentran separadas

una distancia d = 8 mm, con una capacitancia C = 2 F. Si se cierrael interruptor S, la distancia entre las placas disminuye en un factor

de 0,5. (a) Cunta carga se acumula en cada una de las placas?.

(b) Cul es la constante de resorte en cada uno de ellos?.

152

Solucin

153

Ejemplo 13

Cada capacitor de la combinacin que se muestra enla figura tiene un voltaje de ruptura de 15 V. Cul es

el voltaje de la combinacin?

154

Solucin

155