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CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO

- taxa de calor transferido, q

Cilindro longo

Esfera

Parede plana

Unisinos - Profa. Jacqueline Copetti


EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR

(DIFUSÃO DE CALOR)

Aplicações:

- Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3 paredes se

encontram

- Calor conduzido através das paredes de um cilindro curto de parede espessa

- Calor perdido por um tubo enterrado

1) Coordenadas cartesianas

Unidimensionalt

Tcq

x

q

A

1 )t,x(pg

x

x

TkAq

)x(x

t

Tcq

x

TkA

xA

1 )t,x(pg

)x(

t

Tcq

x

Tk

x

)t,x(pg


Tridimensional e k constante

t

T1

k

q

z

T

y

T

x

T )t,z,y,x(g2

2

2

2

2

2

Equação de Fourier-Biot

1) Coordenadas cilíndricas

tridimensional e k constante

t

T1

k

qT

r

1

z

T

r

Tr

rr

1 )t,z,,r(g2

2

22

2

Componentes: r – radial z – axial - circunferencial


3) Coordenadas esféricas

Componentes: r – radial - circunferencial - angular

t

T1

k

qT

senr

1Tsen

senr

1

r

Tr

rr

1 )t,,,r(g2

2

222

2

2

Condições de contorno e iniciais

A solução da equação da equação diferencial passa por um processo de

integração que envolve constantes.

A solução só vai ser única quando forem especificadas as condições

existentes nas fronteiras do sistema com o meio. As expressões matemáticas

destas condições são chamadas de condições de contorno.

Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada direção do sistema

de coordenadas, na qual a transferência de calor é significativa.


Condição inicial: Expressão matemática da distribuição inicial da temperatura no meio.

A temperatura em qualquer ponto em um determinado momento depende da condição

no início do processo de condução de calor (t=0).

Uma só condição inicial deve ser especificada (primeira ordem em relação ao tempo).

Tipos de condição de contorno:

- 1ª espécie: Temperatura especificadax = 0 T(0,t) = T1

x = L T(L,t) = T2

- 2ª espécie: Fluxo de calor conhecido

x∂

)t,0(T∂k=q

_o

"

L"_ q=

x∂

)t,L(T∂k

x = 0

x = L


Casos especiais:

- fronteira isolada x∂)t,0(T∂

k=0=q_

o" 0=

x∂

)t,0(T∂x = 0

x = L T(L,t)=T

- simetria térmica

• Imposta pelas condições térmicas nas superfícies

• Distribuição de temperatura em uma metade da

placa é a mesma na outra metade (em relação ao

plano central x=L/2).

• Não há fluxo de calor no plano central (superfície

isolada).

0=x∂

)t,2/L(T∂x = L/2

- 3ª espécie: Troca de calor por convecção na superfície

Condição mais comum encontrada na prática.

Baseada no balanço de energia na superfície.

Condução de calor na

superfície em uma direção

escolhida

Convecção na superfície na

mesma direção=

))t,0(TT(h=x∂

)t,0(T∂k _1∞1

_

)T)t,L(T(h=x∂

)t,L(T∂k 2∞

_2

_

x = 0

x = L

A TC através de um meio sob condições de

regime permanente e temperaturas de

superfície conhecidas, pode ser avaliada de

uma forma mais simples pela introdução do

conceito de resistências térmicas.q

02dx

T2d

112 TL

x)TT()x(T

Distribuição de temperatura na parede plana

unidimensional, sem geração e k constante

2ª Integração : T(x)=C1x+C2 x=L T(L)=T2

Taxa de calor

q=-kA dT/dx q=-kA C1 q=-kA (T2-T1)/L

1ª Integração : dT/dx=C1 x=0 T(0)=T1

)TT(L

kAq 21

Equação

diferencialCondições de contorno


Analogia entre problemas com circuitos elétricos

)TT(L

kAq 21

e

21

R

)VV(I

Fluxo da I

Fluxo de q

parede

21

R

)TT(q

(ºC/W)

kA

LRparede

(W)

Processos na superfície

1 Convecção:

)TT(hAq s

qhA

1Rconv

2 Radiação:

)TT(Aq 4_4s viz)TT(Ahq _sr viz

)TT)(TT(εσh22

svizsr viz

Ah

1R

rrad

(W/m2K)

(K/W)

(K/W)


Resolvendo a taxa de calor q por circuito de resistências térmicas

q

Rconve

)TT(

Rcond

)TT(

Rconvi

)TT(q

e,_

22_

11_

i,

Taxa de calor

condução

através da

parede

Taxa de calor

convecção:

fluido interno -

superfície 1

Taxa de calor

convecção:

superfície 2 –

fluido externo

= =

e,convconduci,conv

21

T

21

RRR

)TT(

R

)TT(q

∞_

∞_

∞

)heA/1()kA/(L)hiA/(1

)TT(

R

)TT(q

21

T

21

∞_

∞_

∞



Exemplo:Resistência dissipador-ambiente

Resistência case – dissipador

Resistência junção – case

Resistência junção - placa

Resistências em paralelo:

radiação e convecção

qconv

qrad

radconveq R

1

R

1

R

1

21

21eq

RR

RRR

genericamente

total

1

R

)TT(q ∞

_

condução


Resumindo

Similar ao “escoamento” de eletricidade através de uma rede de vários

componentes, cada um tendo diferente resistência elétrica, calor também pode fluir

através de diferentes caminhos em série e/ou em paralelo tendo diferentes

resistências térmicas.

Deve-se encontrar a resistência equivalente desta rede térmica, assim como uma

elétrica, que permitirá avaliar a diferença de temperatura total.


Resistências em série:

Resistências em paralelo:

Exemplo 1:Considere um chassis de alumínio em que se precisa encontrar a temperatura do

lado quente, onde tem uma taxa de calor de 6 W sendo transferido e a

temperatura do lado externo (fria) é mantida a 24 ºC.

A condutividade térmica do chassis é de 156 W/mK e a espessura é de 1,27 cm.

Desenvolver uma rede de resistências térmicas, representativa e encontrar a

resistência equivalente.


- Nenhuma variação de temperatura é

considerada na direção vertical.

- Somente foi calculada a temperatura no

ponto maior temperatura. Nenhuma outra

informação de temperatura é obtida deste

cálculo.

- Se existem componentes críticos

internos, é necessário analisar de outra

maneira para que se verifique que não

ultrapassou a faixa de temperatura de

funcionamento.

R: Tq = 43ºC


A solução deste problema usando análise de elementos finitos

poderia resultar em:

Embora o resultado final do valor da temperatura possa ser o

mesmo, a distribuição de temperatura ao longo das faces não é

uniforme.

Isto porque na análise por resistências térmicas se assume que o

fluxo de calor é uniforme ao longo da direção da resistência

térmica, o que significa um problema UNIDIMENSIONAL.

Esta suposição não é verdadeira, por exemplo, para os cantos

deste problema.

Temperatura em pontos intermediários:

Para calcular a distribuição da temperatura interna, é preciso ter

em mente que a relação é válida não só para toda a

rede, mas para cada elemento.

Portanto, as temperaturas nos pontos interiores podem ser

calculadas. Do exemplo anterior: T1= 40,6 ºC e T2=26,83ºC

No entanto, em vez da resistência total da rede, deve-se usar a

resistência adequada associada com o local de interesse. Além

disso, deve-se ter em mente que a taxa q é constante durante

todo o sistema, assim como os fluxos na direção dos pontos

quentes para os frios.

totalR

Tq


Sistemas compostos

No modelamento térmico o fluxo de calor é transferido através de

várias camadas de materiais diferentes.

Todo o calor é transferido por condução e devem-se selecionar

materiais que permitam conduzir o calor de forma eficiente

(spreaders). Na seleção destes materiais atenção deve ser dada à

compatibilidade dos coeficientes de expansão térmica (CET).

Materiais vizinhos com CETs incompatíveis podem causar falhas

no sistema.


Exemplo 2:

Calcular o fluxo de calor a partir de um circuito integrado (IC) e através da placa de circuito

impresso (PCB) para um dissipador de calor.

O circuito integrado (IC) gera 2 W de calor. O núcleo metálico é mantido a 29,4ºC. A área

da seção transversal dos spreaders, adesivos e isolamento é de 6,45 cm². Os dados de

espessura e condutividade térmica das diferentes camadas de materiais são:

Resistências e (cm) k (W/mK)Fitas adesivas superiores 0,02032 0,7788Fita adesiva inferior 0,00762 0,7788“Espalhadores” de prata (spreaders) 0,127 484,57

Isolante elétrico 0,0127 0,346PCB de cobre 0,08128 380,74

50 vias dfuro=0,063e=0,00711

Area_via=A_seção anular0,00126 cm²


Supondo que o calor gerado é uniformemente distribuído sobre 6,45 cm² de área.

Qual a variação total de temperatura?

Qual a temperatura no IC?

Qual o efeito de colocar mais uma fita (e=0,02032 cm) logo abaixo do PCB na variação

total de temperatura e na temperatura do IC?

Qual o elemento com maior resistência?

Obs: Na situação real, o calor flui longe de sua origem e se dissipa (“espalha”) de um modo

“cônico”. Em outras palavras, ele cobre progressivamente uma área maior. O ângulo de cone

formado depende da condutividade térmica do material do substrato


Resistência térmica de contato

Quando é necessário agrupar diferentes componentes em uma configuração, é

necessário unir duas superfícies e o calor deve fluir através da interface de união.

Devido a irregularidades das superfícies, a área de contato real é muito menor do

que a área de contato aparente.


- A área de fluxo de calor tem um impacto direto sobre a diferença de temperatura;

quanto maior for a área, mais baixa é a temperatura.

- Uma área de contato menor na interface leva a aumentos de temperatura maiores

que o esperado.

- As lacunas de ar agem como isolantes eficazes, devido à baixa condutividade

térmica do ar.

A interface apresenta uma barreira térmica que necessita ser considerada no projeto

e análise térmica.

A transferência de calor através da interface é a soma da TC dos pontos de contato

sólido e das lacunas nas áreas sem contato.


Tabela - Resistência de contato para a) interfaces metálicas sob condições de vácuo

e b) interface de alumínio (rugosidade da superfície de 10m, 105 N/m²) com

diferentes fluidos na interface

Soluções:

- Aplicar pressão no contato.

- Aplicar materiais de interface com boa condutividade térmica, enchimentos

intersticiais como graxas, elastômeros, pasta térmica, folhas metálicas

(estanho, prata, cobre, níquel ou alumínio)


Tabela – Resistência térmica de interfaces sólido/sólido representativas


- Entre os fatores que afetam a resistência da interface é a presença de

camadas de óxido e/ou tratamentos de superfície, tais como acabamento de

superfície ou um revestimento.

Por exemplo, o eletro-polimento de uma superfície metálica, torna a

superfície mais lisa removendo camadas de óxido e leva a uma melhor

condutividade térmica na superfície.

Revestimento de superfícies permite “espalhar” melhor o calor (área

maior), que conduz para menores valores de resistência de interface.

a) O chip dissipa 104 W/m² em condições normais, nesta condição ele irá operar

abaixo da temperatura máxima permitida de 85ºC?

b) Se o h aumentar para 1000 W/m²K, considerando a T=85ºC, qual o fluxo de

calor dissipado?

c) Se na superfície do chip for bloqueado o escoamento do ar e o resfriamento

for somente na parte inferior do alumínio, qual a temperatura do chip para

q”=10.000 W/m²?

Um chip de silício é fixado a uma

placa de alumínio de 8 mm de

espessura.

O contato entre o chip e a placa é

feito por uma junta de epóxi de 0,02

mm de espessura.

O chip e a placa tem cada um 10 mm

de lado e suas superfícies estão são

resfriadas por ar que se encontra a

25ºC e h=100 W/m²K.

Exemplo 2

Chip de silício

Junta de epóxi(0,02 mm)

Substrato de alumínio

isolamento


Perda de calor em cilindros longos (tubulações) e cascas

esféricas

2. Paredes cilíndricas com temperaturas conhecidas em r=ri e r=re:

Distribuição de temperatura para

T=T1 em r=r1 (interno) e T=T2 em

r=r2 (externo)

2221

21 T)r/rln()r/rln(

TT)r(T

)r/rln(

)TT(kL2q

12

21r

kL2

)r/rln(R 12parede

- Taxa de calor:

- Resistênciatérmica de parede cilíndrica:

q


3. Paredes esféricas (cascas esféricas) com temperaturas

conhecidas: T=T1 em r=r1 (interno) e T=T2 em r=r2 (externo)

q

)TT()r/r(1

)r/r(1T)r(T 21

21

11

Distribuição de temperatura para

T=T1 em r=r1 (interno) e T=T2 em

r=r2 (externo)

- Taxa de calor:

- Resistência térmica de parede esférica:

)r/1()r/1(

)TT(k4q

21

21r

krr4

rrR

21

1_

2parede


Exemplo 3

Um tanque esférico de 3 m de diâmetro interno e de 2 cm de espessura de aço

inoxidável é usado para armazenar água gelada (com gelo) a 0ºC. O tanque está

situado em uma sala cuja temperatura do ar é 22 ºC.

As paredes da sala estão também a 22ºC. A superfície externa do tanque é preta

e a transferência de calor entre essa superfície externa e os arredores é por

convecção natural e radiação.

Os coeficientes de transferência de calor interno e externo são 80 e 10 W/m²K,

respectivamente.

Determine a taxa de transferência de calor para a água gelada no tanque.


TUA=q

∑R

1=UA

T

)]h/1()k/L()k

L()

h

1)[(

A

1(

1U

2221

1

1+++

=

Também é conveniente expressar a transferência de calor através de

um meio de pela lei de resfriamento de Newton:

onde U é o coeficiente global de transferência de calor (W/m²K)


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