conectivos

LA NEGACIÓNSe denomina proposición negativa de la proposición afirmativa “p” a otra proposición que se denota “ p” y que se lee “no p” ó “no es cierto que p” y cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:

p p

V F

F V

Observamos que si p es verdadera, entonces p es falso; si p es falso, entonces p es verdadero. El valor de la negación siempre es opuesto del valor de verdad del enunciado. Lo importante es que su valor de verada depende del valor de verada de la afirmación.

Ejemplo:1.) La tisa es blanca2.) No es cierto que la tisa es blanca.3.) La tisa no es blanca4.) La tisa es azul

AnalizandoComo se puede notar (2) y (3) son cada uno una negación de (1) en cambio (4) es la negación de (1)

Otras formas de expresar la negación es utilizando los términos :• No es el caso que.• Es falso que.

En estos casos generalmente la negación niega proposiciones compuestas, y simbólicamente se expresa por p

LA CONJUNCIÓNDadas dos proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de componer estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota por el símbolo “ “, se escribe “ “ y se lee “p y q”.

Ejemplo:1.) Sean las proposiciones:☼ p = Fernando es ingeniero Industrial.☼ q = Pedro es Administrador de empresas.Luego = “ Fernando es ingeniero industrial y Pedro es administrador de empresas”.

La proposición conjuntiva es verdadera UNICAMENTE cuando las dos proposiciones coligadas p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. Esta característica es válida para toda conjunción y se puede resumir en la siguiente tabla de verdad.

p q

V V V

V F F

F V F

F F FHay palabras que también significan conjunción, estos son:•Pero.• Sin embargo.• además.• Aunque.• no obstante.• A la vez

Ejemplo:2.) Determinar el valor de verdad de la proposición: “ 2 + 3 + 5 = 11 y 4 + 8 5 + 6”

Si p : 2 + 3 + 5 = 11 V(p) = F q : 4 + 8 5 + 6 V(q) = V

Según la tabla de verdad V( ) = F

3.) “16 es múltiplo de 3, pero 5 es mayor que 3” Si p = 16 es múltiplo de 3 V(p) = F q = 5 es mayor que 3 Según la tabla de verdad V( ) = F

V(q) = V

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción inclusiva o débil, es una proposición coligativa que resulta de unir las proposiciones p y q con el conectivo “o”, el cual se denota por el símbolo “ ”, se escribe “p q” y se lee “p o q”.∨ ∨

Ejemplo:1.) “ Juan estudió alemán en un instituto o vivió en Alemania” Si p = Juan estudió alemán en un instituto de idiomas y q = Juan vivió en Alemania Entonces, la proposición se simboliza: “p q”∨

La disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falsa solamente cuando las dos son falsas. Su tabla de verdad es:

p q p q∨

V V V

V F V

F V V

F F FEjemplo:2.) Determinar el valor de verdad de la proposición: “José de San Martín es peruano o 12 es múltiplo de 3” Si p = José de San Martín es peruano → V(p) = F y q = 12 es múltiplo de 3 → V(q) = V Luego , por la tabla de la disyunción inclusiva: V(p q) = V∨

LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

En el lenguaje corriente, la palabra “o” suele usarse en su sentido excluyente, en cuyo caso la conectiva proposicional “ ” se llama △ disyunción exclusiva o fuerte, se escribe “p q” y △se lee “p o q pero no ambos”, esto es, se da exactamente una de las dos alternativas.Ejemplo:1.) Sean: p = La figura es un cuadrado q = La figura es un triángulo Entonces p q = “O la figura es cuadrado o es triángulo”△

La disyunción exclusiva es verdadera cuando solamente una de las proposiciones componentes es verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos. Su tabla de verdad es :

p q p △ q

V V F

V F V

F V V

F F FEjemplo:2.) Determinar el valor de verdad de la proposición: “O William Shakespeare es autor de Hamlet o es autor de la Iliada” Si P= W. Shakespeare es autor de Hamlet → V(p) = V q = W. Shakespeare es autor de la Iliada → V(q) = F Luego,

por la tabla de la disyunción exclusiva: V(p △ q) = V

LA CONDICIONAL

Dadas las proposiciones p y q, se denomina proposición condicional a la que resulta de unir p y q por el conectivo “si, …. entonces”, que se denota por el símbolo “ ⟶ “, se escribe “p ⟶ q” y se lee “ si p, entonces q”.La proposición p se denomina antecedente y la proposición q, consecuente. Ejemplo:1.) Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Miami. Si p = Patricia consigue visa de turista. y q = Patricia viajará a Miami. Entonces la proposición se simboliza p ⟶ q La relación entre la verdad de las proposiciones componentes y la proposición condicional se resumen en la siguiente tabla:

p q p ⟶ q

V V V

V F F

F V V

F F VLa condicional es falsa solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, siendo verdadera en todos los demás casos.

Ejemplo:2.) Determinar el valor de verdad de la proposición: “Si los monos son humanos entonces la tierra es plana” Si p = Los monos son humanos V(p) = F y q = La tierra es plana → V(q) = F Luego, por la tabla de la condicional: V(p ⟶ q) = V

También son conectivos condicionales los términos :•Porque• Puesto que• Ya que• Si• Cuando• Cada vez que

Todas se caracterizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antecedente

Ejemplo:3.) 16 es múltiplo de 2 puesto que 16 es número par Si p = 16 es múltiplo de 2 (antecedente) y q = 16 es número par (consecuente) Se simboliza: q ⟶ p

4.) Arturo no viajó a Europa porque perdió sus documentos. Si P = Arturo no viajó a Europa (antecedentes) y q = Arturo perdió sus documentos (consecutivos) Se simboliza: q ⟶ p

LA BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina proposición bicondicional a la que resulta de unir p y q por el conectivo “…. si, y sólo si ….” que se denota por el símbolo “ “, se escribe “p q” y se lee “ p si, y sólo si q”.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Observamos que la bicondicional es verdadera cuando las proposiciones componentes tienen el mismo valor veritativo, en otros casos es falsa.

Ejemplo:1.) “ Fernando comprará un automóvil si y sólo si obtienes un préstamos del banco”. Si p = Fernando comprará un automóvil y q = Fernando obtiene un préstamo del banco.Esta proposición bicondicional se entiende como: “Si Fernando compra un automóvil entonces obtienen un préstamos en el banco, y si obtiene un prestamos del banco compra un automóvil. Si simbolizamos esta proposición obtendremos que:

En consecuencia, la tabla de verdad de la bicondicional queda perfectamente determinada a por:

Otras expresiones del bicondicional :•Cuando y sólo cuando.• Si y solamente si.• Entonces y sólo entonces.

Signos de colección

Los signos de colección y/o agrupación (paréntesis, corchetes y llaves) se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejas, llamados esquemas moleculares, con el fin de evitar ambigüedades de las fórmulas. Así por ejemplo, la expresión:

Es ambigua; pero asociando sus términos:

La expresión dad tiene sentido y deja de ser ambigua.Otra finalidad de los signos de colección es darle mayor o menor jerarquía a los conectivos. En general, “~” es la menor jerarquía, le siguen que son de igual jerarquía, y luego “ ⟶ “ que es el mayor jerarquía. Sin embargo, cada conectiva puede ser de mayor jerarquía si así lo indica el signo de colección.Ejemplos:1.) “No es el caso de que 9 es múltiplo de 3 o que 2 x 8 = 15” Asignándole una variable a cada proposición simple se tiene: p = 9 es múltiplo de 3 q = 2x8 = 15 Su notación simbólica es:

Nótese que aquí la negación afecta a las variables dentro del paréntesis

2.) “Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o culpable”. Si p = “El testigo dice la verdad”; q = “Juan es inocente” y r = “Juan es culpable”; entonces se simboliza:

Aquí , el símbolo de mayor jerarquía es “ ⟶ “. Obsérvese que “~ “ sólo afecta a la variable “p” y que “ “ está limitado por el paréntesis.

3.) “ Daniel viajará si y sólo si saca su visa. Sacará su visa si tiene dinero. Por tanto, viajará a Colombia” Solución: p = Daniel viajará a Colombia; q = Daniel saca su visa ; r = Daniel tienen dinero. Entonces se simboliza:

4.) “Si Pable estuve en la calle donde ocurrió el accidente, entonces él es el herido. Sin embargo, se sabe que Pablo estuve en su casa en ese momento. Por lo tanto, no está herido”. Solución: p = Pablo estuvo en la calle donde ocurrió el accidente. q = Pable está herido. r = Pablo estuvo en su casa en ese momento. Luego, la fórmula proposicional es: