“La Función Natural Prima; p(nζ) = nζ ·

Cnζ + 1 y sus alcances Conceptuales de

Divisibilidad y Primalidad”

Congreso de Matemáticas Capricornio Comca 2009

Comunicaciones

Luis Ramos SandovalIngeniero Metalúrgico

I.- Existencia de un ente matemático de interés “nζ”

Dice relación con la existencia de una gran perfección matemática natural respecto de los números primos, haciéndolos dependientes por primera vez de una variable que se origina a partir del mismo primo.

Axioma nº 1: Sea “p” un número primo cuyo inverso multiplicativo es igual a “1/p”, corresponde a una fracción con numerador siempre igual a uno y denominador primo ≥ 7, el cual, puede ser representado también de forma decimal periódica pura.

 

1/p = 0, d1d2d3d4d5..........dn-2dn-1dn d1d2d3…dn-2dn-1dn ...... (1)

Donde: • d1 d2 d3 d4 d5……….……dn-2 dn-1 dn es la parte del número decimal periódico conocida como la

expansión decimal periódica pura.

• “nζ” corresponde a la cantidad de dígitos de este número decimal periódico puro a partir del inverso multiplicativo del número primo en cuestión, excluyendo el primer cero o a partir de la coma, puede tomar los valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,….n , y es igual al “n” del ultimo dígito igual a dn

Tabla nº 1:

Resultados de la aplicación de la definición del inverso multiplicativo para los números primos p hasta el primo igual a 83 mostrando la expansión decimal pura y nζ

p 1/p 0, d1 d2 d3 d4 d5 …….... dn ζ-1 dnζ nζ

7 1/7 0,142857 611 1/11 0,09 213 1/13 0,076923 617 1/17 0,0588235294117647 1619 1/19 0,052631578947368421 1823 1/23 0,0434782608695652173913 2229 1/29 0,0344827586206896551724137931 2831 1/31 0,032258064516129 15

37 1/37 0,027 341 1/41 0,02439 543 1/43 0,023255813953488372093 2147 1/47 0,0212765957446808510638297872340425531914893617 4653 1/53 0,0188679245283 13

59 1/59 0,0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 5861 1/61 0,016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 6067 1/67 0,014925373134328358208955223880597 3371 1/71 0,01408450704225352112676056338028169 35

73 1/73 0,01369863 879 1/79 0,0126582278481 1383 1/83 0,01204819277108433734939759036144578313253 41

La Función Natural Prima “p(nζ)” 

Se observa en “todos” los números primos mayores o iguales a siete, la existencia interna de una combinación lineal natural, perfecta y de tipo recursiva, generada a partir del cálculo del inverso multiplicativo de estos mismos.

El cumplimiento de esta fórmula se produce a partir del cálculo del inverso multiplicativo de cada número primo p (nζ) en particular.

Teorema n°1: Si “p”es un número primo mayor o igual a 7, entonces siempre se cumple:

p (nζ) = nζ · Cnζ + 1 ; con nζ ≥ 2 y Cnζ ≥ 1; nζ y Cnζ pertenecen a los Naturales (2)   

Donde:

• 1/p = 0, d1d2d3d4d5..........dnζ-2dnζ-1dnζ d1d2d3…dnζ -2dnζ -1dnζ......• d1d2d3d4d5........dn-2dn-1dnζ es igual a la expansión decimal periódica pura del inverso multiplicativo

del primo “p” en evaluación.• nζ corresponde a la cantidad de dígitos de la expansión decimal periódica pura del inverso

multiplicativo del primo “ p”.• Cnζ corresponde a un complemento numérico perteneciente a los números naturales obtenido a

partir del nζ para cada primo p en particular, de valor igual a ( p (nζ) – 1 ) / nζ

Tabla nº 2: Resultados de la aplicación de la ecuación nº 1 para los números primos “p” hasta el primo 97.

p (nζ) nζ Cnζ p (nζ) = nζ · Cnζ + 1 d1 d2 d3 d4 d5 …….... dn ζ-1 dnζ

7 6 1 7 = 6 · 1 + 1 142857 11 2 5 11 = 2 · 5 + 1 09 13 6 2 13 = 6 · 2 + 1 07692317 16 1 17 = 16 · 1 + 1 0588235294117647 19 18 1 19 = 18 · 1 + 1 05263157894736842123 22 1 23 = 22 · 1 + 1 043478260869565217391329 28 1 29 = 28 · 1 + 1 034482758620689655172413793131 15 2 31 = 15 · 2 + 1 03225806451612937 3 12 37 = 3 ·12 + 1 02741 5 8 41 = 5 · 8 + 1 0243943 21 2 43 = 21 · 2 + 1 02325581395348837209347 46 1 47 = 46 · 1 + 1 02127659574468085106382 9787234042553191489361753 13 4 53 = 13 · 4 + 1 018867924528359 58 1 59 = 58· 1 + 1 01694915254237288135593220 3389830508474576271186440 677966161 60 1 61 = 60 ·1 + 1 0163934426229508196721311 475409836065573770491803 27868852459

Ejemplo nº 1:

Se tiene para el primo p igual a 173, su inverso multiplicativo es:

1/173=0,0057803468208092485549132947976878612716763005780346

Entonces, se tiene que:

1/p = 0, d1d2d3…..........dn ζ -2dn ζ -1dn ζ d1d2d3d4d5......... dn ζ -2dn ζ -1dn ζ Donde:d1= 0 ; d2 = 0 ; d3 = 5 ; d4 = 7; d5 = 8 ; d6 = 0 ; d7=3; d8 = 4 ; d9 = 6 ; d10 = 8 ; d11= 2; d12 = 0 ; d13= 8 ;d14=0; d15= 9 ; d16 = 2 ; d17 = 4 ; d18 =8; d19 = 5 ; d20 = 5 ; d21=4 ; d22 = 9 ; d23 = 1 ; d24= 3 ; d25 = 2; d26 =9 ; d27= 4 ; d28=7; d29 = 9 ; d30 = 7 ; d31 = 6 ; d32 = 8; d33 = 7 ; d34 = 8 ; d35=6 ; d36 = 1 ; d37 = 2 ; d38 = 7 ; d39 = 1; d40 = 6 ; d41= 7 ; d42=6; d43 = 3

Calculando este inverso con el programa Mathematica (Wolfram), se tiene la siguiente expresión:

In[1]:= N[1/173,50]Out[1]= 0.0057803468208092485549132947976878612716763005780347

Igualando, se tiene que dnζ = d43 y es el último dígito de la expansión cíclica decimal pura, entonces: Entonces, igualando los subíndices, se tiene: n = nζ = 43

Aplicando la definición n°1, se tiene:

p (nζ) = nζ · Cnζ + 1, entonces: p (43) = 43· 4+ 1 = 173

Tabla nº 3:

Los siguientes resultados corresponden a la salida de un Programa realizado en Turbo Pascal ,

el cual, calcula y muestra la aplicación de la ecuación nº 1 como un par ordenado: p; [n]ζ 7; [6] 11; [2] 13; [6] 17; [16] 19; [18] 23; [22] 29; [28] 31; [15] 37; [3] 41; [5] 43; [21] 47; [46] 53;

[13] 59; [58] 61; [60] 67; [33] 71; [35] 73; [8] 79; [13] 83; [41] 89; [44] 97; [96] 101; [4] 103; [34] 107; [53] 109; [108] 113; [112] 127; [42] 131; [130] 137; [8] 139; [46] 149; [148] 151; [75] 157; [78] 163; [81] 167; [166] 173; [43] 179; [178] 181; [180] 191; [95] 193; [192] 197; [98] 199; [99] 211; [30] 223; [222] 227; [113] 229; [228] 233; [232] 239; [7] 241; [30] 251; [50] 257; [256] 263; [262] 269; [268] 271; [5] 277; [69] 281; [28] 283; [141] 293; [146] 307; [153] 311; [155] 313; [312] 317; [79] 331; [110] 337; [336] 347; [173] 349; [116] 353; [32] 359; [179] 367; [366] 373; [186] 379; [378] 383; [382] 389; [388] 397; [99] 401; [200] 409; [204] 419; [418] 421; [140] 431; [215] 433; [432] 439; [219] 443; [221] 449; [32] 457; [152] 461; [460] 463; [154] 467; [233] 479; [239] 487; [486] 491; [490] 499; [498] 503; [502] 509; [508] 521; [52] 523; [261] 541; [540] 547; [91] 557; [278] 563; [281] 569; [284] 571; [570] 577; [576] 587; [293] 593; [592] 599; [299] 601; [300] 607; [202] 613; [51] 617; [88] 619; [618] 631; [315] 641; [32] 643; [107] 647; [646] 653; [326] 659; [658] 661; [220] 673; [224] 677; [338] 683; [341] 691; [230] 701; [700] 709; [708] 719; [359] 727; [726] 733; [61] 739; [246] 743; [742] 751; [125] 757; [27] 761; [380] 769; [192] 773; [193] 787; [393] 797; [199] 809; [202] 811; [810] 821; [820] 823; [822] 827; [413] 829; [276] 839; [419] 853; [213] 857; [856] 859; [26] 863; [862] 877; [438] 881; [440] 883; [441] 887; [886] 907; [151] 911; [455] 919; [459] 929; [464] 937; [936] 941; [940] 947; [473] 953; [952] 967; [322] 971; [970] 977; [976] 983; [982] 991; [495] 997; [166] 1009; [252] 1013; [253] 1019; [1018] 1021; [1020] 1031; [103] 1033; [1032] 1039; [519] 1049; [524] 1051; [1050] 1061; [212] 1063; [1062] 1069; [1068] 1087; [1086] 1091; [1090] 1093; [273] 1097; [1096] 1103; [1102] 1109; [1108] 1117; [558] 1123; [561] 1129; [564] 1151; [575] 1153; [1152] 1163; [581] 1171; [1170] 1181; [1180] 1187; [593] 1193; [1192] 1201; [200] 1213; [202] 1217; [1216] 1223; [1222] 1229; [1228] 1231; [41] 1237; [206] 1249; [208] 1259; [1258] 1277; [638] 1279; [639] 1283; [641] 1289; [92] 1291; [1290] 1297; [1296] 1301; [1300] 1303; [1302] 1307; [653] 1319; [659] 1321; [55] 1327; [1326] 1361; [680] 1367; [1366] 1373; [686] 1381; [1380] 1399; [699] 1409; [32] 1423; [158] 1427; [713] 1429; [1428] 1433; [1432] 1439; [719] 1447; [1446] 1451; [290] 1453; [726] 1459; [162] 1471; [735] 1481; [740] 1483; [247] 1487; [1486] 1489; [248] 1493; [373] 1499; [214] 1511; [755] 1523; [761] 1531; [1530] 1543; [1542] 1549; [1548] 1553; [1552] 1559; [779] 1567; [1566] 1571; [1570] 1579; [1578] 1583; [1582] 1597; [133] 1601; [200] 1607; [1606] 1609; [201] 1613; [403] 1619; [1618] 1621; [1620] 1627; [271] 1637; [409] 1657; [552] 1663; [1662] 1667; [833] 1669; [556] 1693; [423] 1697; [1696] 1699; [566] 1709; [1708] 1721; [430] 1723; [287] 1733; [866] 1741; [1740] 1747; [291] 1753; [584] 1759; [879] 1777; [1776] 1783; [1782] 1787; [893] 1789; [1788] 1801; [900] 1811; [1810] 1823; [1822] 1831; [305] 1847; [1846] 1861; [1860] 1867; [933] 1871; [935] 1873; [1872] 1877; [938] 1879; [313] 1889; [118] 1901; [380] 1907; [953]

Tabla nº 4: Para valores más grandes, por ejemplo, se tiene:

500009; [62501] 500029; [500028] 500041; [250020] 500057; [500056] 500069; [500068] 500083; [22731] 500107; [250053] 500111; [250055] 500113; [500112] 500119; [83353] 500153; [500152] 500167; [166722] 500173; [83362] 500177; [500176] 500179; [71454] 500197; [125049] 500209; [125052] 500231; [50023] 500233; [500232] 500237; [250118] 500239; [250119] 500249; [250124] 500257; [500256] 500287; [500286] 500299; [500298] 500317; [250158] 500321; [125080] 500333; [250166] 500341; [500340] 500363; [250181] 500369; [125092] 500389; [21756] 500393; [500392] 500413; [83402] 500417; [500416] 500431; [11915] 500443; [83407] 500459; [500458] 500471; [250235] 500473; [500472] 500483; [250241] 500501; [71500] 500509; [55612] 500519; [250259] 500527; [500526] 500567; [500566] 500579; [500578] 500587; [83431] 500603; [250301] 500629; [500628] 500671; [250335] 500677; [250338] 500693; [250346] 500699; [500698] 500713; [500712] 500719; [250359] 500723; [250361] 500729; [125182] 500741; [500740] 500777; [500776] 500791; [250395] 500807; [500806] 500809; [35772] 500831; [250415] 500839; [250419] 500861; [500860] 500873; [500872] 500881; [50088] 500887; [500886] 500891; [100178] 500909; [500908] 500911; [83485] 500921; [250460] 500923; [250461] 500933; [250466] 500947; [250473] 500953; [500952] 500957; [250478] 500977; [500976] 501001; [250500] 501013; [125253] 501019; [501018] 501029; [501028] 501031; [250515] 501037; [125259] 501043; [250521] 501077; [250538] 501089; [62636] 501103; [501102] 501121; [250560] 501131; [501130] 501133; [125283] 501139; [501138] 501157; [125289] 501173; [125293] 501187; [250593] 501191; [250595] 501197; [250598] 501203; [250601] 501209; [62651] 501217; [167072] 501223; [167074] 501229; [501228] 501233; [501232] 501257; [501256] 501271; [250635] 501287; [501286] 501299; [501298] 501317; [125329] 501341; [71620] 501343; [501342] 501367; [501366]

Comprobaciones con el software Mathematica (Wolfram) para algunos cálculos elegidos:

Ejemplo n°2: Si realizamos el cálculo de 1237; [206]

In[1]:= N[1/1237,220]Out[1]=0.00080840743734842360549717057396928051738075990299110751818916734033953112

36863379143088116410670978172999191592562651576394502829426030719482619240097008892481810832659660468876313662085691188358932902182700080840743734842

El numero 220,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por loque, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 223.

Ejemplo n°3: Si realizamos el cálculo de 733;[61]

In[2]:= N[1/733,70]Out[2]= 0.001364256480218281036834924965893587994542974079126875852660300136425648

El numero 70,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por loque, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 72.

Ejemplo n°4: Si realizamos el cálculo de 1699; [566]

In[1]:= N[1/1699,580]

Out[7]=0.00058858151854031783402001177163037080635668040023543260741612713360800470

86521483225426721600941730429664508534432018834608593290170688640376692171865803413772807533843437316068275456150676868746321365509123013537374926427310182460270747498528546203649205414949970570924072984108298999411418481459682165979988228369629193643319599764567392583872866391995291347851677457327839905826957033549146556798116539140670982931135962330782813419658622719246615656268393172454384932313125367863449087698646262507357268981753972925250147145379635079458505002942907592701589170100058858151854032

El numero 580,corresponde a los decimales distintos de cero en el comienzo de la division, por loque, se debe de leer con tres ceros mas, es decir, 583.

II.- Demostración del Teorema n° 1:

Primeramente, consideremos un aspecto relevante y determinante del comportamiento respecto de la

división de “ 1/p” comparado con la división de “10 p-1 / p”, con p siendo primo, para ello se necesita

trabajar en la divisiones y realizar observaciones del comportamiento respecto de su numerador , cociente y cantidad de restos parciales que se generan en las divisiones.

Entonces, partamos con lo siguiente:Axioma nº 1: “en algún momento se produce en la división de 1 / p un resto igual a “uno” ycorresponde al primer numerador igual a “ 1 ” agregándose p-1 ceros al numerador o resto” Veamos la siguiente división calculando el inverso multiplicativo:

1 / p = 0, d1d2d3...........dnζ-1dn ζ (durante la división se van agregando “p-1” ceros hasta

Resto1 llegar al resto igual a 1): Resto2

Resto3

n i restos …….. …….. Restoi = 1El resto numero “uno” corresponde al momento donde se inicia o se vuelve a iniciar la expansión decimal pura. 

Si definimos a Znζ = d1d2d3........dn-1dnζ, como el “número entero” correspondiente al valor de la expansión decimal pura, donde Znζ puede ser algún entero para algunos primos p que cumple la Ecuación n°2. 

Axioma nº 2: “la cantidad de restos parciales son divisores de p-1, estos pueden tomar los valores 2, 3,……, nζ donde nζ pertenece a los naturales.”Ahora juguemos un poco, se tiene que, el inverso multiplicativo de p, es: 1/p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6…..……… dnζ

Si la multiplicamos convenientemente por 10nζ nos queda:

 

10 nζ / p = d1 d2 d3 d4 d5 d6……… dn ζ , d1 d2 d3 d4 d5.……. d nζ-1 d n ζ

Si reemplazamos: 1/ p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 …………….. dnζ nos queda: 10 nζ / p = d1 d2 d3 d4 d5…………..dnζ + 1/p

Si definimos a Znζ = d1 d2 d3 d4 d5 ………….. dnζ

Reemplazando nos queda: 10 nζ / p = Z nζ + 1/p O que es lo mismo tomando factor común de (1/p): (1/p) (10 nζ – 1) = Z nζ Si despejamos a p se tiene:

p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ (3)  

Donde:• p es un numero primo, que cumple la ecuación n°2• nζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimal• 1 / p = 0, d1 d2 d3 d4 d5….………. dnζ

• Z nζ = d1 d2 d3 d4 d5 d6………. dn ζ siempre pertenece a los naturales

Ejemplo n°5:

Veamos que sucede con el comportamiento de estas dos divisiones, para el número primo p = 7 .Primeramente veamos el caso igual a (1/ p): 1`0`0`0`0`0`0: 7 = 0, 1428571428857 Donde: Z nζ = 142857 -7

30 nζ = 6 -28 20 ceros agregados = 6 -14 60 -56 40 -35 50 -49 1 (resto final del período)

Aplicando la ecuación n°3:

p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ = ( 10 6 – 1) / 142857 = 999999 / 142857 = 7

Por otro lado, tenemos la siguiente herramienta matemática:

Teorema de Fermat: Si p es primo y no divide a “a” entonces, siempre se cumple que:

a p-1 ≡ 1 (mod p), es decir , a p-1 ≡ 1 (mod p) es divisible por p.

Si hacemos el siguiente reemplazo, a = 10, entonces nos queda: 10 p-1 ≡ 1 (mod p)En estos momentos conviene llevar esta formula en términos de una división: 10 p-1 : p = x1 x2 x3 x4 …………… xn

resto1 resto2 ....…. resto anterior resto final = 1Se cumple: 10 p-1 ≡ p · x1 x2 x3 x4 ……………xn + 1Si consideramos a X n = x1x2x3x4 ……… xn como la parte entera de la división de 10 p-1 con p.Por lo tanto, el teorema de Fermat garantiza que siempre existe un X n entero talque:

10 p-1 = p · X n + 1 (4)

Donde:• p es un numero primo• X n = x1 x2 x3 x4 ………… xn es un entero con una propiedad interesante.

Ejemplo n°6:

Veamos el caso (10 p-1 / p): 10`0`0`0`0`0 : 7 = 142857 ; Donde: X n = 142857 -7 30 número de dígitos X n = 6 -28

20 ceros tomados = 6 -14 60 -56 40 -35 50 -49 1 (último resto anterior al período decimal)

Aplicando la ecuación n°4:

10 p-1 = p · X n + 1 = 7 * 142857 +1 = 999999 + 1 = 1000000 = 10 7-1

Se puede observar que existe una exacta similitud en las dos divisiones, ya que, siempre se cumple que Z nζ = X n , en el aspecto de la forma digital de los números, y esto se debe a que siempre son los mismos resultados, el primero en el espacio decimal y el otro en el espacio de los enteros, diferiendo en significado, pero uniéndose en valor.

Resolviendo para la ecuación n°4 , aplicando logaritmo, se tiene:

log ( 10 p-1 ) = log ( p · X n + 1 )

Si se tiene que: X n = Z nζ ,(ver ejemplo n°5) entonces, reemplazando queda:

p - 1 = log ( p · Z nζ + 1 ) 

Si además, reemplazamos a p = ( 10 nζ – 1) / Z nζ , ecuación 3, en el argumento del logaritmo de la ecuación anterior: p - 1 = log (( 10 nζ – 1) /Z nζ · Z nζ + 1 ) p - 1 = log (( 10 nζ + 0 )) = log ( 10 nζ) = n ζ

  p = n ζ + 1 , donde n ζ pertenece a los naturales (5) Esta correspondería a la primera “ecuación solución” de la colección de ecuaciones de la forma:  

p = n ζ · Cn ζ + 1, con Cn ζ = 1 y nζ = { 6, 16, 18 ,22, 28, 46, .., n ζ,.. } 

Si p tiende al infinito, también nζ lo hace y siendo par siempre. Y si existen infinitos primos p también existirán infinitos nζ. El conjunto solución de números primos para esta ecuación, es el siguiente:

P °(p =nζ+1) = { 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, ...., p = n ζ +1 ,..}

Análogamente, se puede realizar el mismo procedimiento para algún primo p de la forma: p = 2 · n ζ + 1Se tiene que para 1/p la expansión decimal pura es:

1/p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6..……….. dnζ , si la multiplicamos por 10 2 · nζ

nos queda:10 2 · nζ/ p = d1 d2 d3……. dnζ d1 d2 d3………. dnζ, d1 d2 d3 d4 d5…..…....d n ζ

Si reemplazamos: 1/ p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6………….. dn ζ , nos queda:

10 2 · nζ / p = d1 d2 d3 ………….. dnζ d1 d2 d3 ………….. dnζ + 1/p

Si definimos a Znζ = d1 d2 d3……….. dnζ d1 d2 d3……….. dnζ

10 2·nζ / p = Z nζ + 1/p

O que es lo mismo, tomando factor común (1/p): (1/p) (10 2 · nζ – 1) = Z nζ

Por lo tanto, si despejamos a p se tiene:  

p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ (6)

Donde:• p es un numero primo• nζ cantidad de dígitos de la expansión decimal pura• 1 / p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6….…... dnζ

• Znζ = d1 d2 d3 d4 d5 d6…………. dnζd1 d2 d3 d4 d5 d6…. dnζ

Ahora, veamos como se comporta la división 10 p-1/ p aplicando el Teorema de Fermat, se puede ver que ocurre lo siguiente:

10 p-1 : p = x1x2 x3…..…..xn-1xnx1x2x3..….…...xn-1xn

resto1 resto 2 [X n ] ....…. 1 (último resto anterior al período decimal)Se cumple: 10 p-1 = p · x1x2 x3…..…..xn-1xnx1x2x3..….…...xn-1xn + 1Si definimos nuevamente a un “tipo digital de entero” con la forma igual a:

X n = x1x2 x3…..…..xn-1xnx1x2x3..….…...xn-1xn

Nuevamente, se observa que se cumple la forma digital: [ X n ] = [ Znζ ] ,(ver ejemplo n°6)  

Log ( 10 p-1 ) = log ( p · X nζ + 1)  

Entonces, reemplazando X n por Z nζ: p - 1 = log ( p ·Z nζ + 10 ) 

Si reemplazamos a p = ( 10 2·nζ – 1) / Z nζ en el segundo término de la ecuación: p - 1 = log (( 10 2· nζ – 1) / Z nζ ) · Z nζ + 1) 

p - 1 = log (( 10 2· nζ – 0)) = log ( 10 2·nζ )

p = 2 · n ζ + 1 (7)

 

Esta correspondería a la segunda “ecuación solución” de la colección de ecuaciones de la forma:

p = nζ · Cn ζ + 1, con Cn ζ = 2 y n ζ = { 6, 15, 21, 33, 35, 41,44 ..,nζ,.. }

Si p tiende al infinito, también nζ lo hace, siendo par o impar. Y si existen infinitos primos p, tal que, p = 2 · n ζ + 1, también existirán infinitos nζ. El conjunto solución primo para este tipo de ecuación, es el siguiente:

P ° (p =2 · n ζ+1) = {13, 31, 43, 67, 71, 83, 89,………....., p = 2 · nζ +1,……...}

Ejemplo n°7:

Veamos que sucede con el comportamiento de estas dos divisiones, para el número primo p = 13 .Primeramente veamos el caso igual a (1/ p):

1`0`0`0`0`0`0: 13 = 0, 076923076923 Donde: Z nζ = 076923076923

-91

90 nζ = 6 -78 120 -117 30 -26 40 -39 1 (resto final del período)

Aplicando la ecuación n°6: p = ( 10 2 · nζ – 1) / Z nζ = ( 10 12 – 1) / 076923076923 = 13

Ejemplo n°8: Veamos el caso (10 p-1 / p): 10`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0`0: 13 = 076923076923 ; Donde: X n = 076923076923

-91

90 número de dígitos de X n = 12 -78 120 -117 30 -26 40 -39 100 -91 90 -78 120 -117 30 -26 40 -39 1(último resto anterior al período decimal)

Aplicando la ecuación n°4: 10 p-1 = p · X n + 1 = 13* 076923076923 +1 = 1000000 = 10 13-1

Nuevamenete se puede observar que existe una exacta similitud en las dos divisiones, ya que, siempre se cumple que Z nζ = X n , en el aspecto de la forma digital de los números, y esto se debe a que siempre son los mismos resultados, el primero de forma decimal y el otro de forma de entero,

diferiendo en significado, pero uniendose estos en valor.

Análogamente, se puede realizar el mismo procedimiento para algún primo p de la forma igual a:

p = Cnζ · nζ + 1 (2)

Se tiene que la expansión decimal pura es: 1 / p = 0, d1 d2 d3 d4 d5.………... dnζ si la multiplicamos por 10 Cnζ· nζ nos queda:

( 10Cnζ · nζ ) / p = d1d2d3……..…..…dn ζ.....d1d2d3…………….….dnζ, d1d2d3 d4 d5………..d n ζ 

Cnζ · nζ (corriendo el decimal Cnζ · nζ “veces”)

Si reemplazamos: 1/ p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6……. dn ζ, nos queda:

10 Cnζ · nζ / p = d1d2……dnζ-1 dnζ …… ……d1d2……dnζ-1dnζ + 1/p

Si definimos a Z nζ = d1d2d3…dnζd1d2….dnζ………….d1d2……dnζ

Entonces, nos queda:

10 Cnζ · nζ / p = Z nζ + 1/p O que es lo mismo tomando factor común (1/p):

(1/p) (10 Cnζ · nζ – 1) = Z nζ

Si despejamos a p se tiene:

p = ( 10 Cnζ · nζ – 1) / Z nζ (8)

Donde:• p es un numero primo, que cumple : p = C nζ · n ζ + 1• nζ cantidad de dígitos de la expansión pura decimal• 1 / p = 0, d1 d2 d3 d4 d5 d6….….. dnζ

• Znζ = d1 d2 d3 …. dnζd1d2d3…. dnζ …… d1d2d3 …. dnζ

Ahora veamos como se comporta 10 p-1 / p , cuando p = C nζ · n ζ + 1, aplicando el Teorema de Fermat, se puede ver que ocurre lo siguiente: 10 p-1 : p = x1x2…xnx1x2…xn x1…xn x1x2...xn x1 x2 x3 x4 x5…………… xn

resto1 resto 2 X n

....…. resto“i” = 1

Se cumple: 10 p-1 = p · x1x2…xnx1x2…xn x1…xn x1x2...xn x1, x2 x3 x4 x5…………… xn + 1Si definimos a X n = x1x2…xnx1x2…xn x1…xn x1x2...xn x1 x2 x3 x4 x5…………… xn

Nuevamente se cumple que: X n = Z nζ , aplicando logaritmo y reemplazando X nζ por Z nζ y p = (10Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζ se tiene:

Log ( 10 p-1 ) = log (p · X nζ + 1) = p - 1 = log ((( 10Cnζ · nζ – 1) / Z Cnζ )· Z Cnζ + 1) p - 1 = log (( 10Cnζ · nζ +1 – 0)) = log ( 10 C nζ · nζ)

p = Cn ζ · n ζ + 1 (2)

El conjunto solución primo general para esta ecuación, es el siguiente:P ° = { p1 =1 · n ζ + 1, p2 = 2 · n ζ + 1, p3 = 3 · n ζ + 1,…..., pn = Cn ζ · n ζ + 1,….}Por lo que queda demostrado el Teorema n°1..  

Como consecuencia de esto, se obtiene otro ente matemático de mayor amplitud conceptual que el anterior, el cual, está relacionado con el primero y tiene la virtud de ser calculado por medio de la operación de Mínimo Común Múltiplo entre los “nζ” involucrados y lo he denotado como “nºζ”, que

significa nivel o potencial de los “nζ”. Obteniéndose un nuevo teorema fundamental de aritmética que

se acopla o se extiende sobre el primer teorema fundamental de la aritmética, el cual, dice que: “todo número natural puede ser representado como un producto de sus factores primos elevados a los exponentes correspondientes”, el nuevo teorema dice relación con la manera correcta de ordenarlos y relacionarlos entre sí.

III.- Existencia de un ordenamiento perfecto llamado Productoria Natural Prima

Corresponde al ordenamiento perfecto de los números primos y la visualización o descubrimiento de la relación que existe entre los números primos que tienen ciertos nζ, los cuales pueden ser

divisores, múltiplos o iguales respecto de un potencial nºζ determinado.

U(nºζ) = [(10)n°ζ - 1] / 9 = 111111……1111…………….....1111111111 (9)

  n veces unos = nºζ

 Sea la Productoria Natural Prima igual a U(nºζ ), un número natural formado solamente por

dígitos iguales a “unos”, entonces se tiene:

Teorema n°2 : “Existencia de una forma de Ordenamiento Numérico Perfecto entre todos los Números Primos por medio de la Productoria Natural Prima(P.N.P). donde se relacionan de forma exacta los “nζ”de cada número primo en cuestión para cada nivel de la productoria considerado”

Sea la Productoria Natural Prima igual a U(nºζ), un número natural formado solamente por dígitos iguales a “unos”, entonces se tiene:

U(nºζ) = [(10) n°ζ - 1]/9 = (p1) exp1· (p2) exp2

· (p3) exp3 · (p4) exp4·……· (pn) expn (10)

Entonces, siempre se cumple que:

• p1= p1 (nζ1) = nζ1· Cnζ1+1; p2 = p2 (nζ2) = nζ2· Cnζ2+1; p3 = p3 (nζ3) = nζ3 · Cnζ3 + 1,..………….,

pn= pn (nζn) = nζn ·Cnζn+1.

• Los exp1, exp2, exp3, exp4,…………,expn son los posibles exponentes.

• nºζ es el Mínimo Común Múltiplo (M. C. M.) de los nζ1, nζ2, nζ3,…..…,nζn

La demostración de esta fórmula es extremadamente compleja, por lo que es posible hacerla de forma parcial, por ejemplo, bajando la cantidad de primos involucrados o nivel.

Tabla n °5: Niveles del conjunto n°ζ (los resultados de la ecuación 18)

Nivel n°ζ Productoria Prima de Números Primos Expresión de la M.C.M con su respectivos nζ perteneciente al nivel n°ζ Productoria

1°ζ 3 nζ =1 ¿? 2°ζ 11 nζ =2 ((10)2–1)/9 3°ζ 37 nζ =3 · 3 nζ =1 ((10)3–1)/9

4°ζ 11nζ =2 ·101 nζ =4 ((10)4–1)/9 5°ζ 41nζ =5 · 271nζ=5 ((10)5–1)/9 6°ζ 3 nζ =1 · 7nζ =6 · 11nζ=2 · 13nζ =6 · 37nζ5 =3 ((10)6–1)/9 7°ζ 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 ((10)7–1)/9 8°ζ 11 nζ =2 ·73 nζ=8 ·101 nζ =4 ·137 nζ =8 ((10)8–1)/9 9°ζ 32

nζ =1 · 37 nζ =3 · 333667nζ =9 ((10)9–1)/9 10°ζ 11nζ =2 · 41 nζ =5 · 271nζ =5 · 9091nζ =10 ((10)10–1)/9 11°ζ 21649nζ =11 · 513239nζ =11 ((10)11–1)/9 12°ζ 3 nζ =1· 7nζ =6· 11nζ =2 · 13nζ =6 · 37nζ =3 ((10)12–1)/9 101nζ =4 · 9901nζ =12 13°ζ 53 nζ =13 · 79nζ =13 · 265371653nζ =13 ((10)13–1)/9 14°ζ 11 nζ =2 · 239 nζ =7 · 4649 nζ =7 · 909091nζ =14 ((10)14–1)/9 15°ζ 3nζ =1 · 31nζ=15 · 37nζ =3 · 41nζ =5 · 271nζ =5 ((10)15–1)/9 2906161nζ=15 16°ζ 11nζ =2 · 17nζ =16 · 73 nζ =8 · 101nζ =4 · 137nζ =8 ((10)16–1)/9 5882353nζ =16 17°ζ 2071723 nζ =17 · 5363222357nζ =17 ((10)17–1)/9 18°ζ 32

nζ =1, · 7nζ =6 · 11nζ =2 · 13nζ =6 · 19nζ =18 ·37 nζ =3 · ((10)18–1)/9 52579nζ =18 · 333667nζ =9 19°ζ 1111111111111111111nζ =19 ((10)19–1)/9 20°ζ 11nζ =2 · 41nζ =5 · 101nζ =4 · 271nζ =5 3541nζ =20 · 9091nζ =10 · 27961nζ =20 ((10)20–1)/9

  

21°ζ 3nζ =1 · 43nζ =21 · 239nζ =7 · 4649nζ =7 · 1933nζ =21 401031493 nζ =21 ((10)21–1)/9

22°ζ 112 nζ =22 · 23nζ =22 · 4093 nζ =22 · 8779 nζ =22

21649nζ =11 · 513239nζ =11 ((10)22–1)/9

23°ζ 11111111111111111111111 nζ =23 ((10)23–1)/9  24°ζ 3 nζ =1 · 7nζ =6 · 11nζ =2 · 13nζ =6 · 37nζ =3 73 nζ =8 · 101nζ =4 · 137 nζ =8 · 9901nζ =12 99990001nζ =24 ((10)24–1)/9

25°ζ 41nζ =5 · 271nζ =5 21401nζ =25 · 25601nζ =25 182521213001 nζ =25 ((10)25–1)/9  26°ζ 11nζ =2 · 53 nζ =13 · 79nζ =13 · 859nζ =26 265371653nζ =13 · 1058313049nζ =26 ((10)26–1)/9  27°ζ 33

nζ =3 · 37 nζ =3 · 757 nζ =27, 333667nζ =9 · 440334654777631nζ =27 ((10)27-1)/9 28°ζ 11 nζ =2 · 29 nζ =28 · 101 nζ =4 · 239nζ=7 · 281nζ =28

4649 nζ =7 · 909091nζ =14 · 121499449nζ =28 ((10)28–1)/9

Para el nivel primo igual 331°ζ:1987 nζ =331 ·559190292456522954761505340267292959794217972375999552647766034781636190795727786165632164625622099200357881787172174691047363417

771067494268299502320639713694570262260247162109265783146004585360398143488229044343790191802270312587373483196331711681485209416764524967846558183749930101213442934630654811832466588380025722753453 nζ =331 = ((10)331–1)/9  Para el nivel primo igual 337°ζ:427991 nζ =337 · 282549563 nζ =337 ·9188152908208946356626597117935112864428102385590794565344276027932765729600704475474522937798178804642243817015946282552881350849970398635150721101844196496924502149339474370031575781271181289148181461458368581766244409487816661803740129739164743683186706366989101143937955823849478782178108864591920880651248326458831267 nζ =337 = ((10)337–1)/9  Para el nivel primo igual 347°ζ:27067 nζ =34 ·41050397573100495478298707322980423065397388373706399346477670636240111985484579418151664798873577090594122404075483471057417191085495663025496401932652717741571327118303140765918317918909044634097281232168733554184472276613999006580378730968009425171282783873761817383201356305135815240370602989289951273178080729711867259434407622237821373 nζ =347 = ((10)347–1)/9  Para el nivel primo igual 349°ζ:127037 nζ =349 · 28974679nζ =349 ·301862127103802063094001172967973147636310334771038543128789771777134862964105111852083611566590978614075299597509701112389587804295849046963913768160469831508840116325889777904827683723520540833718569215385562310368089128719366920995013215758729116539459553456242179261646818461376997055242207823838477705346141650446419842549104902757 nζ =349 = ((10)349–1)/9

Para el nivel primo igual 353°ζ:

1781225293nζ =353 · 1044667255801249 nζ =353 · 5971186761077908392402271407138469531337493584613277755428999212784863535602930319390757965057266944400930822994221431803426200382259169609623749938890624018856064323434210138683794638398181555480636589432967847046558303900493221643545118097808466487261074656366822115475153656260621410869928975265101194270553763134331528776323 nζ =353 = ((10)353–1)/9  Para el nivel primo igual 359°ζ:719 nζ =359 · 73237 nζ =359 · 799853 nζ =359 · 33569502677 nζ =359 785855991688978978125460013209260027928446302813414720986338751852780003950136419283201282988744594394228861719755518723385529070

9109825629403941784691278972144854404040634621176351483732183484479155098695349665003563689421620833599440598813960666608597014658045136751481516533494667313211292928329674320653732579091897263224715271477 nζ =359 = ((10)359–1)/9

Estos cálculo se demoran un día o más por nivel.  

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991001011021031041051061071081091101111121131141151161171181191201211221231241251261271281291301311321331341351361371381391401411421431441451461471481491501511521531541551561571581591601611621631641651661671681691701711721731741751761771781791801811821831841851861871881891901911921931941951961971981992002012022032042052062072082092102112122132142152162172182192202212222232242252262272282292302312322332342352362372382392402412422432442452462472482492502512522532542552562572582592602612622632642652662672682692702712722732742752762772782792802812822832842852862872882892902912922932942952962972982993003013023033043053063073083093103113123133143153163173183193203213223233243253263273283293303313323333343353363373383393403413423433443453463473483493503513523533543553563573583591

6

11

16

21

26

Grafico n°1: Tendencias de cantidad de factores primos en niveles n°z de primos y mul-tiplos versus nivel factorizado

Cantidad de factores primos de niveles primos Cantidad de factores primos de niveles multiplos

Numero del Nivel n°z

Can

tidad

de

fact

ores

prim

os

Ejemplo nº 9:Veamos el caso cuando el nivel nºζ es igual a 25. La Productoria Prima Natural es:

41 nζ =5 * 271 nζ =5 * 21401 nζ =25 * 25601 nζ =25 * 182521213001 nζ =25 =

((10)25 – 1)/9 = 1111111111111111111111111

Comprobemos el valor de los nºζ particulares para cada primo.Se tiene:

1/41 = 0,02439 02439 024…….. esto significa que nζ = 51/271 = 0,00369 00369 00……….. entonces nζ = 51/21401 = 0,00004 67267 88467 82860 61399 00004 672679…. nζ = 251/25601 = 0,00003 90609 74180 69606 65599 0000390609……….nζ = 251/ 182521213001 = 0,00000 00000 05478 81522 12999 0000000000054…se tiene que nζ = 25.

Por lo tanto, cumple con la P. P. N. y con la condición que 25 es el Mínimo Común Múltiplo de los nζ relacionados

III.- Divisor de la Productoria Prima Natural

Veamos el caso de que exista algún divisor posible, en donde U es divisible por algún número primo.

Sea p1 algún primo ≥ 7, donde se cumple que: p1(nζ1) = nζ1 · Cnζ1 + 1 (11)

Si p1 es divisor de la Productoria Prima Natural, entonces debe cumplir con la siguiente expresión, si nζ1

es igual o divisor del nivel n°ζ, entonce se cumple que:

U mod p1 = 0 (12)

O en términos de los nζ:

[(10)nºζ -1] / 9 mod (nζ1 · Cnζ1 + 1) = 0 (13)

Ejemplo nº 10: Sea p1 un número primo, digamos 173, entonces p1= 173, y cumple con: p1(nζ) = nζ1 · Cnζ1 + 1, por lo tanto nζ1 = 43 (calculado anteriormente).

Si consideramos el caso para el mismo nivel de n ºζ:U = ((10)43 - 1) /9 ) = 1111111111111111111111111111111111111111111(un número formado por 43 unos) , resulta que 173 es un divisor exacto de U.

Veamos entonces, si se cumple:1111111111111111111111111111111111111111111 : 173 = 6422607578676942838792549775208734746307 (Esta división tiene como resultado a un número natural y es exacta o de resto cero).

Se tiene que buscando otro posible divisor primo con igual periodo nζ, se encuentra que el número: 1527791 tiene un nζ igual a 43, es decir, 1/ 1527791, es igual:

0,0000006545397898010919032773461815130472689, es un número con 43 dígitos, por lo que el 1527791 debe pertenecer a la Productoria Prima Natural, esto significa que divide deforma exacta al número resultante anterior de la primera división, comprobemos tanta belleza:6422607578676942838792549775208734746307: 1527791 = 4203852214522105994074156592890477 con resto cero.

Como se esperaba, exactamente el número 1527791 divide a 6422607578676942838792549775208734746307 Por lo tanto, se tiene que:1111111111111111111111111111111111111111111 = p3 * p3 * p3 =173 • 1527791 • 4203852214522105994074156592890477¿Uno podría encontrar algún otro?

El cálculo de un posible número primo gigantesco a partir de la definición de la Productoria Prima Natural, es posible, mediante la utilización de condiciones o resultados que sean lo más poco probables, es decir, realizando un tipo de tamizado matemático en el conjunto de los números primos con nuevas condiciones de primalidad o divisibilidad.

Ahora viene la gran pregunta, ¿hay manera de saber cuándo se estará en presencia de un producto de sólo dos números primos?, cosa que un número primo determine al otro, por medio de la fórmula

Consideremos los siguientes pasos a seguir para disminuir la posibilidad de encontrarse con más de dos primos en la fórmula:

• Aumentar el cálculo de los nζ lo más que se pueda, para tener un espectro más amplio del comportamiento, con varios PC he calculado y tabulado hasta el primo 100.000.000.

• Que el nζ sea un número primo, ya que, al serlo no se tienen submúltiplos, por consiguiente, no se tienen números primos con nζ submúltiplos que cumplan la fórmula. Por lo tanto, se reduce la cantidad de primos.

Si, “p1” es algún primo muy grande, con un nζ1 también primo (nζ1 = nζ2 = nº ζ), entonces se cumple que:

• p1 = p1(nζ) = nζ1 · Cnζ1 + 1

• (((10)nºζ -1)/9) mod (nζ1 · Cnζ1 + 1 )=0Entonces existe un posible numero primo p2 gigantesco que cumple lo siguiente:

( ( (10)nºζ - 1) / 9) div (nζ1 · Cnζ1 + 1 ) = p2 , entonces, se tiene que:

p1 · p2 = (10)nºζ - 1) / 9 = 111111111…....11111………….11111 Donde: p1 = p1(nζ) = nζ1 · Cnζ1 + 1 ; p2 = p2(nζ) = nζ2 · Cnζ2 + 1

y nζ1 = nζ2 = nºζ = nζ Intuitivamente se puede hacer la siguiente observación matemática:• Si nζ ∞ (tiende al infinito primo) la expresión (10)nºζ - 1) / 9 estaría formada por

dos números primos solamente con un 99,999….99% de certeza, ya que al aumentar nºζ cada vez, será más difícil encontrar un tercer primo con el mismo nºζ, pero aún no hay PC’s tan poderosos para comprobarlo.

• Si realizamos programas que nos permitan calcular primos que tienen un nζ que sea primo y este a su vez, que resulte en otro primo que tenga otro nζ primo, y así sucesivamente, bajaríamos cerca de cero la posibilidad de repetición del nζ. A continuación, se detalla.

Cálculo de un Record de un “Posible Número Primo” Utilizando el ejemplo anterior podemos plantear lo siguiente: p1 = 8630519 [4315259]p2 = 17261039 [8630519]p3 = 34522079 [17261039]p4 = 69044159 [34522079]p5 = ((10^69044159-1)/9)[69044159]O también que es lo mismo:p5=((10^69044159-1)/9)[69044159][34522079][17261039][8630519][4315259] Si U es un generador del nivel 69044159 de la Productoria Prima Natural, entonces se define que:U = 111111………………………………………….11111 = (1069.044.159-1) / 9  Si consideramos que existe otro número divisor primo que divida a este número, este deberíapertenecer a la Productoria Prima del generador U con un nζ igual a 69.044.159, por ende, este debe ser de la forma igual a: 

p(nζx )= nζ · Cnζx + 1 = 69.044.159 · Cnζx + 1 y debe cumplir con lo siguiente:

U mod p(nζx ) = (1069044159-1) / 9 Mod (69.044.159 · 2 *x + 1)

He realizado evaluaciones tentativas de posibles divisores de (1069044159 -1)/9Con el siguiente programa y evaluado en el Software Mathematica:“ In:[1]:= n = 1; While[n<100000000000, If[PrimeQ[69044149*2*n+1], Print["resto:",

Mod[(10^69044149-1)/9, 69044149*2*n+1], "divisor:", 69044149*2*n+1]]; n++] ”

Encontrando los siguientes divisores: 88238435203( “= 1278 *69044159+1”) y 3204339419191 (“= 69044159*46410+1”) Los resultados de la salida del programa y donde se producen los restos ceros o divisores, semuestran a continuación: resto:400842314divisor:828529909 resto:603394603divisor:1380883181 resto:294259429divisor:2071324771 resto:4465715855divisor:8285299081 resto:8855658164divisor:9113828989 resto:1576871020divisor:10494712169 resto:11541482399divisor:11599418713 resto:8187113025divisor:11737507031 resto:10903299887divisor:12566036939 resto:6455827402divisor:13394566847 ……………………………….. resto:20039859484divisor:31898401459 resto:10000814494divisor:33141196321 resto:597063356divisor:86167110433 resto:28655921833divisor:87133728659 resto:40829126091divisor:87547993613 resto:0divisor:88238435203 “= 1278 *69044159+1” resto:48804053446divisor:89205053429 resto:52101456980divisor:90309759973

resto::83774188986divisor:91690643153resto::80515798789divisor:92795349697resto:64744895774divisor:94176232877resto:93305352669divisor:102323443639resto:51497557319divisor:103704326819resto:42741273471divisor:104394768409resto:23556243041divisor:104809033363resto:29545827626divisor:104947121681resto:36696895326divisor:105637563271resto:60011889931divisor:105775651589resto:40694965863divisor:110332566083resto:66134010109divisor:111989625899resto:103965718880divisor:114060950669……..resto:2713043447005divisor:3192049558889resto:1663633669604divisor:3195225590203resto:1723549838153divisor:3195639855157resto:1772553329454divisor:3196054120111resto:701747282078divisor:3201577652831resto:1017559293999divisor:3203648977601resto:0divisor:3204339419191 “= 69044159*46410+1”resto:1763143754713divisor:3205167949099resto:1942801858607divisor:3208482068731resto:2668856711016divisor:3209724863593

Hasta la fecha no he encontrado mas divisores, por lo que el número:

p = [(1069044159-1)/9 ] / [ (69.044.159 · 1278+ 1) (69.044.159 · 46410 + 1) ]=

392971613738635761185638667448214500024709070033582933988558884493937109576893655768530061780276………

Es un candidato fuerte para ser un numero primo de 69 millones de dígitos aproximadamente. Y ha sido evaluado hasta el numero : 109324659448919 y corresponde a 791701 evaluaciones.

Existe un premio para los records de números primos gigantes, pero este debería confirmarse

y aún no hay tecnología tan avanzada, sólo la posibilidad de hacerlo en sistema Java y utilizar

la red mundial para confirmarlo.

Esto sería, muy interesante, ya que pudiese transformarse en una obsesión matemática sin

precedentes, por lo que necesito ayuda………..

Gracias a todos ………………y nos vemos en el próximo Comca 2010