Cônicas -...
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Cônicas
1. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x2 + 25y
2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a
alternativa correta. a) Seu centro é (– 2,1). b) A medida do seu eixo maior é 25. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8.
2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana 2 2x y 4y 0 e a
parábola α de equação 2y 4 x .
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola .α
Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as
inequações 2 2x y 4y 0 e 2y 4 x .
3. (Uem 2013) Sobre a cônica de equação 2 2x 4y 9, assinale o que for correto.
01) Trata-se de uma elipse. 02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0). 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os
triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro.
08) A circunferência centrada na origem e de raio 2 tangencia essa cônica.
16) O ponto 1
2 2,2
pertence à cônica.
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4. (Ufpe 2013) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com
equações respectivas 2y x 8x 13 e 2y x – 4x – 3.
Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. ( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1,–6). ( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,2). ( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação
y 2x – 6.
( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102. ( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0,–3). 5. (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse
de equação 2 2x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que
a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y 0.
6. (Unesp 2013) Os pontos A e C são intersecções de duas cônicas dadas pelas equações
2 2x y 7 e 2y x –1, como mostra a figura fora de escala. Sabendo que 2 3
tg 493
e
tomando o ponto B 0,– 7 , determine a medida aproximada do ângulo ˆABC, em graus.
7. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica
2 2(x 2) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação,
então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3.
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8. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é 2 2
2 2
x y1
a b é dada por
A ab .π Então, a área da região situada entre as elipses de equações 2 216x 25y 400 e
2 216x 9y 144 é:
a) 12 u.a.π
b) 20 u.a.π
c) 8 u.a.π
d) 256 u.a.π
e) u.a.π
9. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 10. (Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x
2 + 7x – 1, e a origem do
sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são
pontos que estão na reta
a) 15x
y .2
b) y 7x.
c) 13x
y .2
d) y 6x.
e) 11x
y .2
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11. (Uepb 2012) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular
de dimensões x metros e y metros, com x y, de perímetro 300 m e área 25000 m , conforme
nos mostra a figura.
Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse,
1 2F e F , local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a
distância em metros entre as torres é
a) 100 3
b) 25 3
c) 50 3
d) 40 3
e) 30 3 12. (Espcex (Aman) 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação
2 29x y 36x 8y 11 é dada por
a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma parábola. e) uma hipérbole. 13. (Espcex (Aman) 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela
equação 2 2
2 2
x y1.
36 60 Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do
retângulo MNPQ.
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 92 m e) 96 m
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14. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para
fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m b) 72 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m
15. (Ime 2010) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa pelo ponto
5,1 .
A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y 2x é:
a) 3 y 2 3 x 6
b) y 2x 3 3
c) 3y 6x 2 3
d) 3 y 2 3 x 4
e) y 2x 3
16. (Uft 2010) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR . Encontre os valores de b,
tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse 2
2xy 1
4 em um único
ponto. A soma dos valores de b é: a) 0 b) 2
c) 2 5
d) 5
e) 2 5
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17. (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades.
Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.
Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas
e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a
distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111
a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. 18. (Udesc 2009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V)
ou falsas (F).
( ) A equação x2 - 2x + y
2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto
ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x2 + 4y
2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x
2 - 4y
2 = 4 em
apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y
2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x
2 - 4y
2 = 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.
a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 19. (Ita 2008) Dada a cônica ë: x
2 - y
2 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à ë no ponto
P = (2, 3 )?
a) y = 3 x – 1 b) y = 3
x2
c) y = 3
x 13
d) y = -3
x 75
e) y = -3
x 42
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20. (Unesp 2008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma
estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,
sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela
equação
2 2x y
100 25
= 1, com x e y em milhões de quilômetros.
A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que
o ângulo PÔA mede 4
π.
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:
a) 2 5 .
b) 2 10 .
c) 5 2 .
d) 10 2 .
e) 5 10 .
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Gabarito: Resposta da questão 1:
[E] 9x
2 + 25y
2 – 36x + 50y – 164 = 0
9(x
2 – 4x + 4) + 25(y
2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25
9(x – 2)
2 + 25(y + 1)
2 = 225
2 2(x 2) (y 1)
125 9
Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 2:
a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e ,α obtemos
2 2 2
2 2
2
2
2
x y 4y 0 x 4 y
y 4 x y 5y 4 0
x 4 y
y 5y 4 0
x 4 y
y 1 ou y 4
( 3,1) ou (0, 4).
b) Completando os quadrados, obtemos
2 2 2 2x y 4y 0 (x 0) (y 2) 4. Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.
Por outro lado, a equação canônica de α é 2y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do
gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3, 1) e ( 3, 1).
Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações
2 2x y 4y 0 e 2y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo.
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Resposta da questão 3:
01 + 02 + 04 + 16 = 23. [01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos
2 2
2 2
x y1,
3 3
2
que é a equação de uma elipse centrada na origem, com a 3 e 3
b .2
[02] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos
(a,0) (3,0) e ( a,0) ( 3,0).
[04] Correto. Pela definição de elipse, temos AD AE BD BE. Logo, como DE é lado
comum, segue o resultado. [08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de
ordenada 3
y .2
Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio 2
intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 2. Daí, como 3
2 1,4 1,5 ,2
concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam. [16] Correto. Temos
22 1
(2 2) 4 8 1 9.2
Resposta da questão 4: V – F – F – F – V. Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos:
2
2
y x 8x 13 x 1 e y 6.
x 5 e y 2y x 4x 3
Logo, os pontos de interseção das parábolas são (1, 6) e (5, 2).
A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação
6 2y 2 (x 5) y 2x 8 2x 6.1 5
Completando o quadrado, obtemos:
2 2Ay x 8x 13 (x 4) 3,
donde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto (4,3) (4, 2).
Completando o quadrado, vem
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2 2By x 4x 3 (x 2) 7.
Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto (2, 7).
A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por
2 2(4 2) [3 ( 7)] 104 102.
A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que x 0, ou seja, (0, 3).
Resposta da questão 5: [B]
2 2x 9y 8x 54y 88 0
x2 – 8x + 16 + 9 (y
2 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81
(x – 4)
2 + 9 (y – 3)
2 = 9
2(x 4) (y 3)1
2 23 1
Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. Resposta da questão 6:
Determinando os pontos A e C através da resolução de um sistema com as equações da parábola e da circunferência.
2 2
2
x y 7,
y x 1
A( 3,2) e C( 3,2) (figura abaixo)
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Considerando, agora, o triângulo CDO:
2 2 3tg
33α ˆ ˆ49 COD 41 AOC 82α
ˆAOC 82ˆABC 412 2
(ângulo inscrito)
Resposta da questão 7:
[C]
Reescrevendo a equação 2 2(x 2) 4(y 5) 36, obtemos
2 2
2 2
(x 2) (y 5)1,
6 3
que é a equação de uma elipse centrada em (2, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo
das abscissas. Logo, como a 6 e b 3, temos m 2 6 8 e n 5 3 2. Portanto,
m n 8 ( 2) 6.
Resposta da questão 8:
[C] Reescrevendo as equações das elipses, obtemos
2 22 2
2 2
x y16x 25y 400 1
5 4
e 2 2
2 2
2 2
x y16x 9y 144 1.
3 4
Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem
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e, portanto, a área sombreada é dada por
(5 4 4 3) 8 u.a.π π
Resposta da questão 9:
[C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto
médio do segmento 1 2F F , considere a figura.
Temos 1A ( 10, 0), 2A (10, 0), 1B (0, 8), 2B (0, 8), 1F ( c, 0) e 2F (0, c), com
c 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1B F OF OB 10 c 8
c 6.
Portanto, a distância pedida é dada por
2 2OP OF 11 6 5 m.
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Resposta da questão 10:
[B]
Considere a figura, com , .
Como P( , ) e Q( , ) pertencem ao gráfico da parábola 2y 4x 7x 1, segue que
2 2
2 2
1
4 7 1 8 2 2.
74 7 1 4 7 12
Portanto, a equação da reta que passa por P e Q é dada por:
7
2y x x 7x.1
2
Resposta da questão 11:
[C]
Sabendo que o perímetro do terreno mede 300 m e sua área 25000 m , temos
2(x y) 300 x y 150
xy 5000 xy 5000
x 100 e y 50
ou .
x 50 e y 100
Porém, como x y, segue-se que x 100 e y 50.
Daí, sendo 2OF f, pelo Teorema de Pitágoras, vem
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2 22 2 2 2
2
x yf 50 25 f
2 2
f 25 3
f 25 3 m.
Portanto, o resultado é 2f 2 25 3 50 3 m.
Resposta da questão 12:
[E] Completando os quadrados, obtemos
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
9x y 36x 8y 11 9(x 4x) (y 8y) 11
9[(x 2) 4] [(y 4) 16] 11
9(x 2) (y 4) 9
(x 2) (x 2)1,
1 3
que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo Ox. Resposta da questão 13: [E] Considere a figura.
Sejam 1F e 2F os focos da elipse.
Queremos calcular 1 2 1F F 2 OF .
Sabendo que 2 2
1 1FB 60 e 2 2
1OB 36 , da relação fundamental, vem
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
1
F B OB OF OF 60 36
OF 2304
OF 48 m.
Portanto, 12 OF 2 48 96 m.
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Resposta da questão 14:
[D]
2 2 2
2
d 30 50
d 1600
d 40m
2d 80m (distância focal)
Resposta da questão 15: [A]
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
c2 c a 2(I)
a
c a b (II).
De (I) e (II), temos:
a = b, logo a equação da hipérbole será
x y a .
Substituindo o ponto ( 5,1) na equação acima, temos:
5 1 a a 4.
Logo, a equação da hipérbole será dada p
2 2or: x y 4.
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A equação da reta pedida é da forma y = 2x + k, já que é paralela à reta y = 2x.
Considerando o sistema 2 2x y 4 (I)
y 2x k (II)
e substituindo (II) em (I), encontraremos a seguinte
equação: 3x
2 + 4kx + k
2 – 4 = 0 que deverá ter o discriminante igual a zero, já que a reta deve ser
tangente à circunferência.
2 2
2 2
2
4k 4 3 k 4 0
16k 12K 48 0
4K 48 0
K 2 3.
Considerando k = 2 3 e multiplicando a equação + y 2x 2 3 por 3 temos a equação
3y 2 3x 6 apresentada alternativa [A].
Resposta da questão 16: [A] Resolvendo um sistema com as equações temos:
1)(4
22
bxx
124
222
bxbxx
8016
04485
04484
2
22
222
b
bbxx
bxbxx
Para que a reta seja tangente o delta deverá ser zero. 0
-16b2 + 80 = 0
-16b2 = - 80
b2 = 5
b= 5
Logo, a soma será 0 . Resposta da questão 17:
0,943ac0,943a
c
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a2 = 5
2 + c
2 a
2 = 25 + (0,943a)
2 a
2 = 25 + 0,889a
2 0,111a
2 = 25 a =
111,0
25a =
15
3
1
5
...3333,0
5
A distância é 2ª = 2.15 = 30m Resposta da questão 18:
[B]
i) Verdadeira.
1e)1,1(1)1()1(0122 2222 rCyxyyxx
ii)
Verdadeira.
)0,2(e)0,2(44
3649
22
2
yx
yx
)0,2(e)0,2(241
421
222
AAaayx
iii) Falsa.
OxBBOyAAba
yx 212122
22
e4e9194
OxAAbayx 21
2222
''1e414
Portanto, .'' 2121 AAAA
Resposta da questão 19: [E] Resposta da questão 20: [B]