Conjunto

Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Al-gunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos sonregulares. La colección de estos últimos—los polígonos regularesen la imagen— es otro conjunto, en particular, un subconjuntodel primero.

En matemáticas, un conjunto es una colección de ele-mentos considerada en sí misma como un objeto. Loselementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa:personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se diceque un elemento (o miembro) pertenece al conjunto siestá definido como incluido de algún modo dentro de él.Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul,Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedadque todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para losnúmeros naturales, si se considera la propiedad de ser unnúmero primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miem-bros y por nada más. En particular, un conjunto puedeescribirse como una lista de elementos, pero cambiar elorden de dicha lista o añadir elementos repetidos no de-fine un conjunto nuevo. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Vier-nes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miér-coles}AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul,Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo,Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjuntode los números naturales es infinito, pero el conjunto delos planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho ele-mentos). Además, los conjuntos pueden combinarse me-diante operaciones, de manera similar a las operacionescon números.Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentidode que no es posible definirlos en términos de nocionesmás elementales, por lo que su estudio puede realizarsede manera informal, apelando a la intuición y a la lógica.Por otro lado, son el concepto fundamental de la mate-mática: mediante ellos puede formularse el resto de obje-tos matemáticos, como los números y las funciones, entreotros. Su estudio detallado requiere pues la introducciónde axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

1 Historia

El concepto de conjunto como objeto abstracto no co-menzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, amedida que se despejaban las dudas sobre la noción deinfinito.[1] Los trabajos de Bernard Bolzano y BernhardRiemann ya contenían ideas relacionadas con una vi-sión conjuntista de la matemática. Las contribucionesde Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas entérminos claramente conjuntistas, que aún prevalecenen la matemática moderna: relaciones de equivalencia,particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitólas hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que ne-cesitó en su trabajo.La teoría de conjuntos como disciplina independiente seatribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando consus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarro-lló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propie-dades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a serdeterminante a finales del siglo XIX, en el proceso de«axiomatización» de la matemática, en el que todos losobjetos matemáticos, como los números, las funciones ylas diversas estructuras, fueron construidos con base enlos conjuntos.

2 Definición

Un conjunto es una colección bien definida de objetos,entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier co-sa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algu-

1

2 2 DEFINICIÓN

nos ejemplos son:

A es el conjunto de los números naturales me-nores que 5.B es el conjunto de los colores verde, blanco yrojo.C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.D es el conjunto de los palos de la baraja fran-cesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras ma-yúsculas. Los objetos que componen el conjunto se lla-man elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» alconjunto y se denota mediante el símbolo ∈:[n 1] la expre-sión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a perte-nece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contrariase usa el símbolo ∉. Por ejemplo:

3 ∈ A , ♠ ∈ D

amarillo ∉ B, z ∉ C

2.1 Notación

Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto depolígonos. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a di-cho conjunto, pero otras no.

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En elejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa unadefinición intensiva o por comprensión, donde se especi-fica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sinembargo, para los conjuntos B y C se usa una definiciónextensiva, listando todos sus elementos explícitamente.Es habitual usar llaves para escribir los elementos de unconjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuandolos conjuntos se especifican de forma intensiva medianteuna propiedad:

A = {Números naturales menores que 5}D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}D = {p : p es un palo de la baraja francesa}F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},

En estas expresiones los dos puntos («:») significan «talque». Así, el conjunto F es el conjunto de «los númerosde la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10(ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez prime-ros cuadrados de números naturales. En lugar de los dospuntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua«/» .

2.2 Igualdad de conjuntos

Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en laimagen, A, tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarsemediante llaves o mediante un diagrama de Venn. El orden delas personas en A es irrelevante.

Un conjunto está totalmente determinado por sus elemen-tos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismoconjunto puede especificarse de muchas maneras distin-tas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, elconjunto A de los números naturales menores que 5 es elmismo conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2,3 y 4. También:

B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la ban-dera de México}C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥,♦}

2.5 Conjuntos disjuntos 3

El orden en el que se precisan los elementos tampoco setiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blan-co}C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}

Además, un conjunto no puede tener elementos «repeti-dos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elementode dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, porejemplo:

{1, 2} = {1, 2, 1}

En ausencia de alguna característica adicional que dis-tinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse delconjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elemen-tos.

2.3 Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama elconjunto vacío y se denota por ∅ o simplemente {}. Exis-te un único conjunto vacío, ya que lo único que distinguea un conjunto son sus elementos.

2.4 Subconjuntos

Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular unsubconjunto propio).

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto quecontiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆B y se dice que «A está contenido en B». También puedeescribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjuntode A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya quesiempre se cumple que «cada elemento de A es a su vezun elemento de A». Es habitual establecer una distinción

más fina mediante el concepto de subconjunto propio:Aes un subconjunto propio de B si es un subconjunto de Bpero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjuntopropio, B ⊋ A).[n 2]

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un sub-conjunto propio del «conjunto de todas las per-sonas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

2.5 Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningúnelemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de losnúmeros racionales y los números irracionales son dis-juntos: no hay ningún número que sea a la vez racional eirracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos esel conjunto vacío.

3 Cardinalidad

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el casode un conjunto finito se pueden contar los elementos delconjunto:El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en losejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números),|B| = 3 (tres colores) y |F | = 10 (diez cuadrados). El únicoconjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.En un conjunto infinito no hay un número finito de ele-mentos. Es el caso por ejemplo de los números naturales:N = {1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe unamanera de com-parar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existenconjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «núme-ro de elementos» de un conjunto infinito es un númerotransfinito.

4 Operaciones con conjuntos

Operaciones con conjuntos

Unión

4 7 REFERENCIAS

Intersección

Diferencia

Complemento

Diferencia simétrica

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarsepara, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nue-vos conjuntos:

• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A yB, que se representa como A ∪ B, es el conjunto detodos los elementos que pertenecen al menos a unode los conjuntos A y B.

• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dosconjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los ele-mentos comunes a A y B.

• Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjuntoA con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminarde A cualquier elemento que esté en B.

• Complemento: El complemento de un conjunto Aes el conjunto A∁ que contiene todos los elementosque no pertenecen aA, respecto a un conjuntoU quelo contiene.

• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia si-métrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A ΔB con todos los elementos que pertenecen, o bien aA, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto car-tesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × Bde todos los pares ordenados (a, b) formados con unprimer elemento a perteneciente a A, y un segundoelemento b perteneciente a B.

Ejemplos

• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}

• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}

• {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}

• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}

• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0,2), (0, b)}

5 Véase también• Axiomas de Zermelo-Fraenkel

• Relación matemática

• Correspondencia matemática

• Conjunto de Borel

• Diagrama de Venn

• Estructura algebraica

• Función matemática

• Georg Cantor

• Morfismo

• Teoría de conjuntos

6 Notas[1] Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moder-

na de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Ál-gebra Elemental (pág.1 y pág.2) habla de: “La notación dePeano x ∈ X”.

[2] También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero segúnel autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; osubconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A. Véase Subconjunto.

7 Referencias[1] Esta sección está basada en Ferreirós, J. «The early deve-

lopment of set theory». En Edward N. Zalta. The StanfordEncyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition) (en inglés).Archivado desde el original el 30-07-2011. Consultado el15-12-2011.

5

[2] Véase Cantor, Georg (2006) [1872-1899]. Fundamentospara una teoría general de conjuntos. Escritos y correspon-dencia selecta. Edición de José Ferreirós. Crítica. p. 137.ISBN 84-8432-695-0.

7.1 Bibliografía

• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian(1996). What is Mathematics? An Elementary Ap-proach to Ideas and Methods (en inglés). OxfordUniversity Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplementodel capítulo II.

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el18-04-2011.

• Jech, Thomas. «Set Theory». En Edward N. Zal-ta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring2009 Edition) (en inglés). Consultado el 22-04-2011.

• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos ytemas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.

• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Ro-chester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edi-ción de la OEA, traducida al español por César E.Silva.

8 Bibliografía adicional• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos(1965) Compañía editorial Continental S.A. Méxi-co 22, D.F. primera edición en español.

9 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre ConjuntosCommons.

• Weisstein, Eric W. «Set». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Esta obra deriva de la traducción de Set de laWikipedia en inglés, publicada por sus edito-res bajo la Licencia de documentación libre deGNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

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