8/19/2019 Conjuntos Compactos

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 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

VICERRECTORADO ACADÉMICO

AREA DE MATEMÁTICA

CENTRO LOCAL SUCRE

Estudiante:

CHRISTIAN JOSÉ GUTIÉRREZ RODRÍGUEZC.I. 17.763.461

Correo: christianjgutierrezr@hotmail.comTELÉFONO: (0426)185.69.03

Cód. Carrera 126

LAPSO 2015-2

CUMANA, FEBRERO DE 2016

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OBJ 5 PTA 1 Sea ( , ) un espacio métrico. Demuestre que la función(, ) =   (,)(,) ,  , ∈ , 

define una métrica en

 , a

 se le denomina acotación de la métrica

 en

 .

Respuesta: para demostrar que  es una métrica para  se tienen que satisfacer las siguientes propiedades: cualesquiera que sean los puntos , ,  de :(1) (, ) = 0 ya que (, ) = 0 (2) Si ≠ , (, ) =   (,)(,)   > 0 ya que (, ) > 0 (3) (, ) =   (,)(,) =   (,)(,) = (, ) (4) 

(

,

) =

  (

,

)

(

,

)

= 1

−   (

,

)

≤ 1

 −   (

,

)

(

,

) 

ya que (, ) ≤ (, ) + (, ) =

(, ) + (, )1 + (, ) + (, ) ≤   (, )1 + (, ) + (, ) + (, )1 + (, ) + (, )≤   (, )

1 + (, ) + (, )1 + (, ) = (, ) + (, ) 

Por lo tanto de (1)-(4) sabemos que

 es también una métrica para

 .

OBJ 5 PTA 2 Demuestre que ⊂ ℝ es abierto en (ℝ, )  si y solo si,  es abierto en (ℝ, |⋅|),decimos entonces que las métricas |⋅| y  son equivalentes.Respuesta:

Definición: Si ⊂ , decimos que es abierto si para todo ∈  existe  > 0 tal que () ⊂ . ⊂ ℝ es abierto en (ℝ, |⋅|) si, y sólo si, para cada ∈  existe un intervalo abierto (, ) quecontiene a  el cual está contenido en . Esto se debe a que () = ( − ,  + ); ahora paracada ∈  (, ), donde  =    y tomamos  =    entonces:    + 2    =  + 2   − − 2   ,  + 2   + − 2    =  + −  + 2   ,  +  +  − 2    = (, ) 

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Por la definición como     ⊂  entonces  es abierto. Y si ⊂ ℝ es abierto en (ℝ, |⋅|) entonces  es abierto en (ℝ, ).OBJ 5 PTA 3 Sea  un espacio métrico, y ,  ⊂ . Demuestre que,(a)  es denso en  si y sólo si,   ̅ ⊃ .

(b)  es denso si y sólo si,   ̅ = .(c)  es denso si y sólo si, cualquier conjunto abierto  en  contiene puntos en .(d) Si  es denso en   y es cerrado, entonces ⊃ . 

OBJ 5 PTA 4 Sea 

 un conjunto compacto en

ℝ. Demuestre que

 tiene un máximo y un mínimo.

Respuesta: Según el teorema 10.2.4 del libro de Bartle-Sherbert en la página 386  un subconjuntocompacto de ℝ  es cerrado y acotado. Por hipótesis  es compacto por lo tanto es cerrado y acotado.Como  es acotado por el axioma del supremo (y del ínfimo) en ℝ, existe un real  supremo de ,y un real  ínfimo de . Para probar que  es máximo e  es mínimo basta demostrar que pertenecena  (por definición cuando existe el supremo o extremo superior de  y además pertenece a , sellama máximo de ; si no existe extremo superior o si existe pero no pertenece a , el máximo de no existe. Por el axioma del supremo: todos los conjuntos acotados tienen supremo o extremosuperior, pero aun así, si este no pertenece al conjunto, no es máximo. Análogamente el mínimode un conjunto es, cuando existe y pertenece a

, el ínfimo o extremo inferior de

.)

Demostremos que ∈ . La prueba de que ∈   es la misma, cambiando el sentido de lasdesigualdades y sustituyendo  por , supremo por ínfimo, y cota superior por cota inferior.Supongamos por absurdo que   pertenece al complemento   de . Como sabemos que   escerrado, entonces usando el teorema (En un espacio métrico ( , ) cualquier conjunto ⊂  escerrado si y solo si su complemento  es abierto) obtenemos que  es abierto. Por definición deabierto todos los puntos de  son interiores a . Luego, por la hipótesis de absurdo  es interiora .Por la definición de punto interior a un conjunto existe una bola () contenida en . O sea,todo elemento de () pertenece a  lo que implica que () es disjunto con , o dicho de otromodo, que ningún punto de

 pertenece a

(

)

 =

 (

− ,

+

  ).

>

 0, el número real

 es

cota superior de  porque es el supremo de  (la menor de las cotas superiores de ). Entoncestodo elemento de  es menor o igual que . Además sabemos que ningún elemento de  perteneceal intervalo ( − , +  ).De las dos afirmaciones anteriores se deduce que todo elemento de  es menor o igual que − .Entonces hemos probado que −  es también cota superior de . Pero como >  0 esa cotasuperior es menor que . Luego  no era la menor de las cotas superiores de  y por lo tanto  noera el supremo de . Esto es absurdo, por lo tanto se concluye que  tiene un máximo.

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OBJ 5 PTA 5 Si  y  son conjuntos compactos disjuntos, demuestre que existe  ∈  tal que0 0, ∃  > 0: (, ) 

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   tiene una discontinuidad de segunda especie en cada punto, ya que no existen  (+), ni (−).Intentando calcular el límite de la función, tomando un punto cualquiera  ∈ ℝ y tomando  =0,5 debemos hallar

δ> 0 tal que si 0  <   | − | 0, en ese intervalo siempre habrá racionales e irracionales, por tanto habrá puntosdonde la función valga 1 y otros donde valga 0 

Si tomamos el límite  fuera de la franja [0,1] tendremos | () − |   > 1 > 0,5 =  , bien para los puntos donde () = 0 o bien para los que  () = 1.Entonces el límite

  debe estar a distancia menor de 0,5  tanto del 0  como del 1, pero eso es

imposible, si estamos más cerca del 0 entonces la distancia al 1 es mayor de 0,5, si estamos mascerca del 1 la distancia a 0 es mayor de 0,5. Veámoslo con rigor analítico:

1) |1 − | 

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Por otra parte, si ∈ , pero ≤ , resulta que () ≤ ()  } > () y por lo tanto solo nos quedaafirmar que lim⟶ () = í{ (): ∈ ,  >  } ≥ ()  y al cumplirse esta igualdad por ladefinición dada al inicio concluimos que f es continua.En el otro caso, se sigue de forma análoga.

OBJ 7 PTA 9 Sea   ⊂ ℝ  y :  ⟶ ℝ con la propiedad que para cada  > 0 existe una función

:

  ⟶ ℝ  tal que

 es uniformemente continua en

  y |

 (

)

− (

)| <

  para todo

∈ .

Demuestre que  es uniformemente continua en ℝ.OBJ 7 PTA 10 En el espacio ℝ con la métrica , considere la función  : ℝ ⟶ ℝ tal que,

 () = 1 + || 

Demuestre que

  es un homeomorfismo de

ℝ sobre el intervalo (

−1,1).

Respuesta:

Definición: Sean  y  espacios métricos y sea :  ⟶  una aplicación biyectiva. Decimosque  es un homeomorfismo, si  y  son continuas.Como  contiene un valor absoluto se define de la siguiente manera:

 () =    1 +    ≥ 0

1

−    < 0

 

Veamos si f es inyectiva: ≥ 0  ⟶  () = () ⟺  =  1 +   = 1 +  (1 + ) = (1 + )  +  =   +    =   

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 < 0 es similar. De aquí tenemos que  es inyectiva.Veamos si f es sobreyectiva:  < 0 ⟶ Despejamos  

 =

1 −  ⟺ (1

− ) =

  ⟺ −  =

  ⟺  =

  +

⟺  =

 (1 +

) 

⟺  = 1 +  Ahora tomando  =    debemos verificar que  () =  

    1 +  =

1 +

1 −   1 +   ⟺

  1 + 

1 +  − 1 +    =   ≥ 0  es similar. De aquí tenemos que  es sobreyectiva

La función

  es inyectiva y sobreyectiva por tanto es una biyección del eje real sobre el intervalo

abierto (

−1,1).

Recordemos ahora algunos teoremas conocidos del cálculo:Si ( , )  es un espacio métrico y ℎ,   son funciones continuas sobre  , entonces también soncontinuas:

(i)    ∋  ⟶ (ℎ(), ()) ⟶ ℎ()   +  ()   ∈ ℝ,(ii)    ∋

 

⟶ ℎ(), () ⟶ ℎ() ∗ ()   ∈ ℝ,(iii)    ∖ (0) ∋  ⟶ ℎ()/()   ∈ ℝ,

Siendo

ℎ(

) =

   y

(

) = 1 + |

|  funciones continuas, entonces

 (

) =

  ()

(

)  también es

continua. Como   es continua y monótona en el intervalo (−1,1)  por el teorema 5.5.5 del librode Bartle-Sherbert en la página 195   es también continua.Se puede concluir entonces que  es un homeomorfismo de ℝ sobre el intervalo (−1,1).OBJ 7 PTA 11 Sea () = √   para ∈ [0,1], demuestre que no existe ninguna constante  talque |()| ≤ || para toda ∈  [0,1] y concluya que la función uniformemente continua  no esuna función Lipschitz en [0,1].

Respuesta: según teorema 5.4.5 del libro de Bartle-Sherbert   si  :  ⟶ ℝ  es una función deLipschitz, entonces  es uniformemente continua en . Pero el recíproco no siempre es cierto. Estees uno de los casos ya que () = √  para toda  en el intervalo acotado y cerrado [0,1]. Puestoque  es continua en , por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3 del mismo libro se sigue que es uniformemente continua en . Sin embargo no hay ningún número  > 0 tal que |()| ≤|| para toda ∈ [0,1].Po lo tanto  no es una función de Lipschitz en .

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OBJ 7 PTA 12 Sea  () =    para ∈ (0,1), calcule los primeros siete (07) polinomios deBernstein de  y demuestre que, () = 1 −    +  .Respuesta:

Definición: Sea    una función continua. El polinomio n-ésimo de Bernstein de lafunción  se define como:() =  (1 − )   

donde  =   !!()! Como

 = 7 y

 (

) =

 ,

() =  7 (1 − ) 7   = 70 (1 − ) 07 + 71 (1 − ) 17 + 7

2 (1 − ) 2

7 + 7

3 (1 − ) 3

7 + 7

4 (1 − ) 4

7 

+ 75

(1 − ) 57

 + 76

(1 − ) 67

 + 77

(1 − ) 77

 =

1

7

(1

− ) + 12

7

  (1

− ) + 45

7

  (1

− ) + 80

7

  (1

− ) + 75

7

   + 36

7

  (1

− ) +

 

El factor común es (1 − )=−  +