8/20/2019 Conjuntos de los Números Reales

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CONJUNTOS DE LOS NÚMEROS REALES

Los números reales son parte primordial de las matemáticas, ya que son todos los númerosque pueden ser representados en una recta numérica. Los números reales comprenden:

• Los números positivos.• Los números negativos.

• El cero.• Las fracciones.• Los decimales.• Los números racionales.• Los números irracionales.

Generalmente el conjunto de los números reales es representado por la letra “!, y se lesaplican las operaciones y las diferentes propiedades de operaci"n estudiadas en aritmética yen álge#ra:

$uma. esta.

%ultiplicaci"n. &ivisi"n. 'otenciaci"n. a(). 'ropiedad *sociativa. 'ropiedad +onmutativa. 'ropiedad &istri#utiva. 'ropiedad de +erradura. Elemento neutro.

$e puede definir a los números reales como el conjunto de todos los números con quereali)amos operaciones matemáticas a#itualmente en aritmética y álge#ra. * Los númerosreales se contraponen los números imaginarios, que son todos aquellos que no pueden ser 

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representados en una recta numérica, y que corresponden al producto #-i, donde # es unnúmero real, y la constante i representa la ra() cuadrada de /.

Los números reales en conjunto se representan por la letra pero ay una su#divisi"n quecontiene las dos siguientes:

/. 0úmeros reales positivos 1 2

3. 0úmeros reales negativos 1 epresentando 2 a los números reales positivos, que en la recta numérica corresponden alpositivo y que generalmente están a la dereca.

epresentando a los números negativos, que en la recta numérica corresponden alnegativo y que generalmente están a la i)quierda.

Ejemplo de números reales:

/. 0úmeros naturales: 4/356789;/<=>3. 0úmeros enteros positivos 1 4/, 3. 5, 6, 7, 8,9, , ;>5. 0úmeros enteros negativos 1 4 /, 3, 5, 6, 7, 8, 9, , ;>6. +ero: <7. 0úmeros fraccionarios: ?, @, /6A57, 3A98. 0úmeros decimales: .37 <.;;;, <.8379. 0úmeros racionales: ./37 y /A, .7 y ?, .7 y /9A3<. 0úmeros irracionales: p 1 5./6/7;38757;9;53568= BpiCD j 1

/.8/<55;96;;663<6785658785//993<5<;= Bpi, 0úmero *ureoCD /

Lista de números reales positivos:

/2

32

52

62

72

/<2

/72

/<<2

/7<2

/<<<2

/7<<2

/<,<<<2

/7,<<<2

/<<,<<<2

Lista de números reales neativos:

/3

5

6

7

/<

/7/<<

/7<

/<<<

/7<<

/<,<<<

/7,<<</<<,<<<

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S!STEMA DE NÚMEROS REALES

El sistema de números reales se compone principalmente de dos grandes conjuntos, el delosnúmeros racionales que son aquellos que pueden ser eFpresados como la divisi"n de dosnúmeros enteros como 5656, /7/7, incluso un número entero puede ser eFpresado comouna fracci"n, ya que el número entero puede ser dividido para // sin cam#iar su esencia, por ejemplo el número puede ser eFpresado en fracci"n as( //D mientras que el otro granconjunto del sistema de números reales es el de los números irracionales cuyarepresentaci"n decimal es eFpansiva, infinita y aperi"dica.

Los números irracionales son un conjunto en s( mismos pero, a su ve), los númerosracionales tienen su#conjuntos que son: las fracciones no enteras con sus respectivasnotaciones negativasD los números enterosD dentro de los números enteros están losnegativos y los enteros positivosD estos últimos a su ve) incluyen a los números naturales y alcero. 'ara aclarar esta conjunci"n, se puede graficar como en el diagrama de arri#a.

&e otra forma, se muestra a continuaci"n un mapa conceptual de números reales:

Representa"i#n De Números Reales

En la recta numérica, la representaci"n de números reales se puede acer con una eFactitudaproFimada, sin em#argo, se pueden usar técnicas para representarlos de forma eFacta.+omo en el siguiente ejemplo de 99:

 *ll( se puede ver que la ra() de 9 se puede descomponer para poder tra)ar un triángulo quecumpla con el teorema de 'itágoras. 'rimero se descompone 9 en suma de cuadrados:

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91332B5C391332B5C3

Los sumandos de esta adici"n serán los puntos en el eje cartesiano que nos darán lau#icaci"n del número en cada uno de los ejes del plano. La ra() de tres. 'ara ello primero sede#e representar la ra() de 3 o 33, la cual se o#tiene al tra)ar un triángulo cuyos catetostengan valor de uno y cuya ipotenusa será igual a 33. El vértice superior luego se de#e

trasladar de forma circular y con pivote en cero asta llegar a la l(nea ori)ontal o eje :

+on esta representaci"n eca, se procede a #uscar 55, ya que al descomponer estenúmero, o#tenemos que:

51/32B3C3'or lo tanto, en la recta numérica se de#e u#icar un punto entre estos dos sumandos,sean // y33 de tal modo que el gráfico, so#re el gráfico anterior quedar(a de esta manera:

Hinalmente, ya tenemos la u#icaci"n de 55 en el eje y de 33 en el eje I. *ora se procedea u#icar a 99 en la recta numérica, as(: