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Conjuntos numéricos

ContenidosArtículos

Número 1Número natural 12Número entero 17Número racional 21Número irracional 26Número real 27

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 34Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 35

Licencias de artículosLicencia 36

Número 1

NúmeroPara el concepto lingüístico véase Número gramatical.

Un número, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad. También puede indicar elorden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve pararepresentarlo, dicho signo gráfico de un número recibe el nombre de numeral o cifra. El que se escribe con un sologuarismo se llama dígito.[1]

En matemática moderna, el concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios, negativos,irracionales, trascendentales, complejos (todos ellos con correlatos físicos claros) y también números de tipo másabstractos como los números hipercomplejos que generalizan el concepto de número complejo o los númeroshiperreales, los superreales y los surreales que incluyen a los números reales como subconjunto.

Tipos de númerosLos números más conocidos son los números naturales, denotados mediante , son conceptualmente los mássimples y los que se usan para contar unidades discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos,conforman el conjunto de los enteros, denotados mediante (del alemán Zählen 'números'). los números negativospermiten representar formalmente deudas, y permiten generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales.Otro tipo de números ampliamente usados son números fraccionarios, y tanto cantidades inferiores a una unidad,como números mixtos (un conjunto de unidades más una parte inferior a la unidad). Los números fraccionariospueden ser expresados siempres como cocientes de enteros, el conjunto de todos los números fraccionarios es elconjunto de los números racionales (que usualmente se definen para que incluyan tanto a los racinales positivos,como a los racionales negativos y el cero). Este conjunto de números de designa como .Los números racionales permiten resolver gran cantidad de problemas prácticos pero desde los griegos se conoce queciertas relaciones geométricas (la diagonal de un cuadrado de lado unidad) es un número no entero que tampoco esracional. Igualmente la solución de numérica de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales,usualmente es un número no racional. Puede demostrarse que cualquier número irracional puede representarse comouna sucesión de Cauchy de números racionales que se aproximan a un límite numérico. El conjunto de todos losnúmeros racionales y los irracionales (obtenidos como límites de succesiones de Cauchy de números racionales) esel conjunto de los números reales . Durante un tiempo se pensó que toda magnitud física existente podía serexpresada en términos de números reales exclusivamente. Entre los reales, existen números que no son soluciones deuna ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estosnúmeros son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales estánrelacionados entre sí por la identidad de Euler.Uno de los problemas de los números reales es que no forman un cuerpo algebraicamente cerrado, por lo que ciertosproblemas no tienen solución planteados en términos de números reales. Esa es una de las razones por las cuales seintrodujeron los números complejos , que son el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a losnúmeros reales. Además algunas aplicaciones prácticas así como en las formulaciones estándar de la mecánicacuántica se considera útil introducir los números complejos. Al parecer la estructura matemática de los númeroscomplejos refleja estructuras existentes en problemas físicos, por lo que en física teórico y en diversas aplicacioneslos números complejos se usan en pie de igualdad con los números reales, a pesar de que inicialmente fueronconsiderados únicamente como un artificio matemático sin relación con la realidad física. Todos los conjuntos denúmeros fueron de alguna manera "descubiertos" o sugeridos en conexión con problemasplanteados en problemas físicos o en el seno de la matemática elemental y todos ellos parecen tener importantesconexiones con la realidad física.

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Fuera de los números reales y complejos, claramente conectados con problemas de las ciencias naturales, existenotros tipos de números que generalizan aún más y extienden el concepto de número de una manera más abstracta yresponden más a creaciones deliveradas de matemáticos. La mayoría de estas generalizaciones del concepto denúmero se usan sólo en matemáticas, aunque algunos de ellos han encontrado aplicaciones para resolver ciertosproblemas físicos. Entre ellos están los números hipercomplejos que incluyen a los cuaterniones útiles pararepresentar rotaciones en un espacio de tres dimensiones, y generalizaciones de etos como octoniones y lossedeniones.A un nivel un poco más abstracto también se han ideado conjuntos de números capaces de tratar con cantidadesinfinitas e infinitesimales como los hiperreales y los transfinitos.

Enumeración de los tiposLa teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros. Mientras quelas operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cualesestán:•• Números naturales

•• Número primo•• Números compuestos•• Números perfectos

•• Números enteros•• Números negativos•• Números pares•• Números impares

•• Números racionales•• Números reales

•• Números irracionales•• Números algebraicos• Números trascendentes:

•• π•• e

•• Extensiones de los números reales•• Números complejos•• Números hipercomplejos

•• Cuaterniones•• Octoniones

•• Números hiperreales•• Números superreales•• Números surreales

•• Números usados en teoría de conjuntos•• Números infinitos•• Números transfinitos

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Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Naturales primos

Naturales compuestos

Cero

Enteros negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesIrracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios puros

Números naturales especialesEl estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números,la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos.Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos.Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero quecondiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuestouniversalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante.Más formalmente, en The concept of number, el matemático Frege realiza una definición de «número», la cual fuetomada como referencia por muchos matemáticos (entre ellos Russell, cocreador de principia mathematica):«n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son

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equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1» porque no está definidoaún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos).

Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ven inhabilitados para definir al número como laexpresión de una cantidad, porque la simbología matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y elhecho de «cantidad» referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, porejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (elcontinuo).Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales, explícita que supone sabida unadefinición (quizás debido a su «obviedad») de las palabras o conceptos cero, sucesor y número. De esta manerapostula:•• 0 es un número,•• el sucesor de todo número es un número,•• dos números diferentes no tienen el mismo sucesor,•• 0 no es el sucesor de ningún número,•• y la propiedad inductiva.Sin embargo, si uno define el concepto cero como el número 100, y el concepto número como los números mayoresa 100, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría queridocomunicar, sino a su formalización.La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdomayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege.

Historia del concepto de númeroCognitivamente el concepto de número está asociado a la habilidad de contar y comparar cual de dos conjuntos deentidades similares es más numeroso. Las primeras sociedades humanas se toparon muy pronto con el problema dedeterminar cual de dos conjuntos era "mayor" que otro, o de conocer con precisión cuantos elementos formaban unacolección de cosas. Esos problemas podían ser resuletos simplemente contando. La habilidad de contar del serhumano, no es un fenómeno simple, aunque la mayoría de culturas tienen sistemas de cuenta que llegan comomínimo a centenares, algunos pueblos con una cultura material siemple, sólo disponen de términos para los números1, 2 y 3 y usualmente usan el término "muchos" para cantidades mayores, aunque cuando es necesario usanrecursivamente expresiones traducibles como "3 más 3 y otros 3" cuando es necesario.El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta,como las encontradas en huesos: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestasen once grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen unade las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros defases lunares.[2] En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. Los sistemas numeralesde la mayoría de familias lingüísticas reflejan que la operación de contar estuvo asociado al conteo de dedos (razónpor la cual los sistemas de base decimanl y vigesimal son los más abundantes), aunque están testimoniado el empleode otras bases numéricas además de 10 y 20.El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas

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usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para laagrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios.[3]

En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque laforma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa.Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:1. Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios

hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre unadeterminada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense,romano, griego, armenio y judío.

2. Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 serepresenta con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahorafundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chinoclásico, asirio, armenio, etíope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este elprimer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo seutilizaba entre otros dígitos.

3. Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o engeneral la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: Elsistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.

Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema denumeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones engeneral, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima delnúmero, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo .Hay tablas de descomposición de desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo ó

, no sabemos por qué no utilizaban pero parece que trataban de utilizarfracciones unitarias menores que .Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestrasmultiplicaciones y divisiones se hacían por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1),donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación.

Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, antesreferido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para , ó

con una representación basada en la interpretación del problema.Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: Demultiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un númerodado no fijó, etc. Por ejemplo para calcular , tomaban su mejor aproximación entera , y calculaban

(una mayor y otra menor) y entonces es mejor aproximación, procediendo igualobtenemos y obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal1,414222) como valor de partiendo de (véase algoritmo babilónico).Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sustablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamentelarga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percatarondel desarrollo periódico.

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Descubrimiento de los inconmensurablesLas circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (seutiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal deun cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C.Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como con p y q primos entre sí. Por el teoremade Pitágoras tenemos que , , entonces y por tanto debe serpar y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos , entonces y , entonces

es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Loselementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrarun múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulaciónde Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón si dados dos números naturales cualesquiera m y

n, si entonces (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestroprocedimiento actual).En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real quedará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las tales que y las que .

Descubrimiento del 0En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden, porejemplo, en el sistema babilónico el número , sobre base 60 puede ser ó . A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener mucho cuidadopara no fallar.Hacia el siglo III a. C., en Grecia, se comenzó a representar la nada mediante una "o" que significa oudos 'vacío', yque no dio origen al concepto de cero como existe hoy en día. La idea del cero como concepto matemática parecehaber surgido en la India mucho antes que en ningún otro lugar. La única notación ordinal del viejo mundo fue lasumeria, donde el cero se representaba por un vacío.En América, la primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a. C.Se trata de una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Losmayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, yuna flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).

Números negativosBrahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellassea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / ,potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Asípor ejemplo para el cociente establece:Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada(0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo onegativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a lageometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fundamentación lógica y su mezclade lo práctico con lo formal.

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Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran variossiglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellosutilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.

Trasmisión del sistema indo-arábigo a OccidenteVarios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225),Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajópor Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en elcapítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VIIlas fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en elcapítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie:

con .No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número conmagnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría pordiversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos.

Las fracciones continuasPietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fraccionescontinuas como hoy: Queremos calcular y sea el mayor número cuyo cuadrado es menor que y

, tenemos: que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a ... Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4),4+(8/33)...Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediantenúmeros racionales.

Primera formulación de los números complejosLos números complejos eran en pocos casos aceptados como raíces o soluciones de ecuaciones (M. Stifel(1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno como coeficientes). Estos números se llamaron inicialmenteficticii 'ficticios' (el término "imaginario" usado actualmente es reminiscente de estas reticencias a considerarlosnúmeros respetables). A pesar de esto G. Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y R. Bombelli(1526-1573) las reglas aditivas a través de haberes y débitos, pero se consideran manipulaciones formales pararesolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.Cardano en la resolución del problema dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40 obtiene comosoluciones (en su notación 5p:Rm:15) y (en su notación 5m:Rm:15), soluciones queconsideró meras manipulaciones "sutiles, pero inútiles".En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecenen los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli dice en su Álgebra que tuvo lo quellamó "una idea loca", esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar conellos, tratando de eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. para y m.d.m.

para dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una deestas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2º grado que resuelve correctamente. Daun método para calcular .

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Generalización de las fracciones decimalesAunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la EuropaRenacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y lasaceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que Simón Stevinpublicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1ª dice que la Disme es un especie de aritmética quepermite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes definenuestra parte entera: cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (1ª posición decimal1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente se dice segunda(2). Es decir, los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), ó 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añadeque no se utiliza ningún número roto (fracciones), y el número de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9.Esta notación la simplificó Jost Burgüi (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolopor un "." en la parte superior de las unidades 372·43, poco después Magín (1555-1617) usó el "." entre las unidadesy las décimas: 372.43, uso que se generalizaría al aparecer en la Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. La ","también fue usada a comienzos del siglo XVII por el holandés Willerbrod Snellius: 372,43.

El principio de inducción matemáticaSu antecedente es un método de demostración, llamado inducción completa, por aplicación reiterada de un mismosilogismo que se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de losprimeros números naturales impares es el cuadrado del -ésimo término, es decir

. Pascal (1623-1662) usó el método de inducción matemática, en suformulación abstracta, tal y como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al triángulo numérico quelleva su nombre. La demostración por inducción consta siempre de dos partes: el paso base y el paso inductivo, loscuales se describen a continuación en notación moderna:Si es un subconjunto de los números naturales (denotado por ) donde cada elemento cumple la propiedad

y se tiene que1. pertenece a .2. El hecho de que sea un miembro de implica que también lo es.

entonces , es decir que todos los números naturales tienen la propiedad .De manera intuitiva se entiende la inducción como un efecto dominó. Suponiendo que se tiene una fila infinita defichas de dominó, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrarque si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente también se caerá. La conclusión es que se pueden tirar todas lasfichas de esa fila.

La interpretación geométrica de los números complejosEsta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamentaldel álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostración realizados porD’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostracióncorrecta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos. También trabajó con los números enteroscomplejos que adoptan la forma , con y enteros. Este símbolo para fue introducido porprimera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) peropasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss” a pesar de no publicar susideas hasta 30 años después.Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los

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matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer.

Descubrimiento de los números trascendentesLa distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la época en que Eulerdemostró que y son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que πpodía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintostipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que seestableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite yLindeman.

Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma (p.e. 0,101001.....) son trascendentes.Hermite (1822-1901) en una memoria “Sobre la función exponencial” de 1873 demostró la trascendencia de probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: no puede existir.Lindeman (1852-1939) en la memoria “Sobre el número ” de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer laecuación: con y algebraicos, por tanto la ecuación notiene solución para x algebraico, pero haciendo tenemos , entonces no puede seralgebraico y como i lo es entonces π es trascendente.El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si , con a algebraico distinto de cero y de uno, y b irracionalalgebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si sontrascendentes o no: , , , ... Sin embargo e y 1/e sí que son trascendentes.

Teorías de los irracionalesHasta mediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sussencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo XIX. La introducción del rigor en el análisispuso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuraciónlógica sobre bases aritméticas.Bolzano había hecho un intento de construir los números reales basándose en sucesiones de números racionales, perosu teoría pasó desapercibida y no se publicó hasta 1962. Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitudtiempo, a partir de particiones de números racionales:

si ,

cuando

y si

cuando

pero no desarrolló más su teoría.Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre laaritmetización de los números reales:• Charles Meray (1835-1911) en su obra “Noveau preçis d’analyse infinitesimale” define el número irracional como

un límite de sucesiones de números racionales, sin tener en cuenta que la existencia misma del límite presuponeuna definición del número real.

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• Hermann Heine (1821-1881) publicó, en el Journal de Crelle en 1872, su artículo "Los elementos de la teoría defunciones", donde proponía ideas similares a las de Cantor, teoría que en conjunto se llama actualmente "teoría deCantor-Heine".

• Richard Dedekind (1831-1916) publica su “Stetigkeit und irrationale zahlen”. Su idea se basa en la continuidad dela recta real y en los “agujeros” que hay si sólo consideramos los números racionales. En la sección dedicada al“dominio R” enuncia un axioma por el que se establece la continuidad de la recta: “cada punto de la recta dividelos puntos de ésta en dos clases tales que cada punto de la primera se encuentra a la izquierda de cada punto dela segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división”. Esta misma idea la utiliza en lasección “creación de los números irracionales” para introducir su concepto de “cortadura”. Bertrand Russellapuntaría después que es suficiente con una clase, pues esta define a la otra.

• Georg Cantor (1845-1918). Define los conceptos de: sucesión fundamental, sucesión elemental, y límite de unasucesión fundamental, y partiendo de ellos define el número real.

• Karl Weierstrass (1815-1897). No llegó a publicar su trabajo, continuación de los de Bolzano, Abel y Cauchy,pero fue conocido por sus enseñanzas en la Universidad de Berlín. Su caracterización basada en los “intervalosencajados”, que pueden contraerse a un número racional pero no necesariamente lo hacen, no es tan generalizablecomo las anteriores, pero proporciona fácil acceso a la representación decimal de los números reales.

Álgebras hipercomplejasLa construcción de obtención de los números complejos a partir de los números reales, y su conexión con el grupo detransformaciones afines en el plano sugirió a algunos matemáticos otras generalizaciones similares conocidas comonúmeros hipercomplejos. En todas estas generalizaciones los números complejos son un subconjunto de estos nuevossistemas numéricos, aunque estas generalizaciones tienen la estructura matemática de álgebra sobre un cuerpo, peroen ellos la operación de multiplicación no es conmutativa.

Teoría de conjuntosLa teoría de conjuntos sugirió muchas y variadas formas de extender los números naturales y los números reales deformas diferentes a como los números complejos extendían al conjunto de los números reales. El intento de capturarla idea de conjunto con un número no finito de elementos llevó a la aritmética de números transfinitos quegeneralizan a los naturales, pero no a los números enteros. Los números transfinitos fueron introducidos por GeorgCantor hacia 1873.Los números hiperreales usados en el análisis no estándar generalizan a los reales pero no a los números complejos(aunque admiten una complejificación que generalzaría también a los números complejos). Aunque parece losnúmeros hiperreales no proporcionan resultados matemáticos interesantes que vayan más allá de los obtenibles en elanálisis real, algunas demostracciones y pruebas matemáticas parecen más simples en el formalismo de los númeroshiperreales, por lo que no están exentos de importancia práctica.

Sistemas de representación de los númerosLos números como expresión de cantidades aparecen en todas las culturas humanas. Incluso los grupos humanos conculturas materiales más simples disponen en su lengua de alguna manera para expresar cantidades en formanumérica, al menos hasta cierto número, mediante palabras que designa a estos números (palabras numerales). Eladvenimiento de la escritura también comportó la búsqueda de sistemas de representación gráfica para los números,estos sistemas van desde sistemas muy simples basados en rayas a sistemas elaborados que permiten expresarnúmeros elevados.

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Cifra, dígito y numeralUna de las formas más frecuenes de representar números por escrito consiste en un "conjunto finito de símbolos" odígitos, que adecuadamente combinados permiten formar cifras que funcionan como representaciones de números(cuando una secuencia específicas de signos se emplea para representar un número se la llama numeral, aunque unacifra también puede representar simplemente un código identificativo.)

Base numéricaTanto las lenguas naturales como la mayor parte de sistemas de representación de números mediante cifras, usan uninventario finito de unidades para expresar una cantidad mucho mayor de números. Una manera importante de lograreso es el uso de una base aritmética en esos sistemas un número se expresa en general mdeiante suma omultiplicación de números. Los sistemas puramente aritméticos recurren a bases donde cada signo recibe unainterpretación diferente según su posición. Así en el siguiente numeral arábigo (base 10):

El <8> por estar en última posición representa unidades, el <6> representa decenas, el <5> centenas, el <3> millaresy el <1> decenas de millares. Es decir ese numeral representara el número:

Muchas lenguas del mundo usan una base decimal, igual que el sistema arábigo, aunque también es frecuente que laslenguas usen sistemas vigesimales (base 20). De hecho la idea de usar un número finito de dígitos o signos pararepresentar números arbitrariamente grandes funciona para cualquier base b, donde b es un número entero mayor oigual que 2. Los ordenadores frecuentemente usan para sus operaciones la base binaria (b = 2), y para ciertos usostambién se emplea la base octal (b = 8 ) o hexadecimal (b = 16). La base coincide con el número de signos primarios,si un sistema posicional tiene b símbolos primarios que designaremos por , el numeral:

Designará al número:

Números en las lenguas naturalesLas lenguas naturales usan nombres o numerales para los números frecuentemente basados en el contaje mediantededos, razón por la cual la mayoría de las lenguas usan sistemas de numeración en base 10 (dedos de las manos) obase 20 (dedos de manos y pies), aunque también existen algunos sistemas exóticos que emplean otras bases.

Referencias[1] DRAE (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2& TIPO_BUS=3& LEMA=número+ )[2] Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 12-13[3] Ian Stewart, Historia de las matemáticas, Crítica, 2008. ISBN 978-84-8432-369-3 p. 14

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Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan paracontar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porquefueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.

Convenios de notación

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, elcero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia delos mismos. Dependiendo del autor, el conjunto de los númerosnaturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

•• Definición sin el cero:

•• Definición con el cero:

donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas. Históricamente, el uso del cero comonumeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,[1] pero no seconsideraba un número natural.[2]

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definicionesconjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,[3] y otras, como la teoría de lacomputación.[4] En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.[4] Sin embargo, en la actualidad ambosconvenios conviven.[5]

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, incluyendo el cero en losnaturales, a los números naturales sin el cero, o enteros positivos se les denota como:

[6]

HistoriaAntes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,

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en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue RichardDedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjuntode números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando laexistencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Fregeperdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró laexistencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso delaxioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto denúmeros naturales como ordinales según von Neumann.las propiedades de los números naturales son:1.1. Que un número natural va después del otro2.2. Que dentro de dos números natural no puede haber otro3.3. Que son infinitos

Construcciones axiomáticasHistóricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre lasque destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de PeanoLos axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la deconjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.Los cinco axiomas de Peano son:1.1. El 1 es un número natural.2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.3.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural

cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los númerosnaturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntosEn teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. Laidea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que sequiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contengaprecisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada porVon Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple1. Para cada , 2. La relación es un orden total estricto en 3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contieneelementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

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Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cadanúmero natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientesexpresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Porejemplo:

• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)• 1 es el sucesor de 0, entonces • 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces •• y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es pornaturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de susantecesores. Así si y sólo si .Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrolloaxiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica dedemostración conocida como inducción matemática.Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir quesi es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjuntoinductivo.Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamadoMonoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse enun grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente

los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los

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conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturalesLas operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturalesde lectura simbólica de agrupación o construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del número de raícesu origen de un determinado objeto geométrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con undeterminado conjunto numérico.Los conjuntos numéricos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichosconjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos. Si el resultado de laoperación siempre da elementos del conjunto numérico, se dice que el espacio es cerrado para dicha operación(cumple con la propiedad de cierre o clausura), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras vecesno, se dice que el espacio es abierto para dicha operación (no es cerrado, no cumple con la propiedad de cierre o declausura).De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma(operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abiertadeconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada,constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doblenaturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciacióncuyo resultado es potencia (operación cerrada en los naturales, constructora de objetos geométricos "perfectos"),radicación cuyo resultado es raíz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y lalogaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raíces de un objeto potencialmente perfecto, ode posibles propiedades dimensionales de los objetos geométricos).Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras,deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. A partir de esta concepción se puededecir que:La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de lamultiplicaciones, es decir,si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción oresta deconstruye el segmento de recta.No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número alque se le resta el otro, es mayor.Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado,-15, no está dentro del conjunto de los números naturales.La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:•• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a, pues la construcción de dicho segmento conserva su

longitud sin importar que cantidad coloque primero, y a×b = b×a siempre construirá la misma área rectangular,sin importar el orden en el cual se coloquen los factores(propiedad conmutativa).

•• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una maneraespecífica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.

Al construir la multiplicación de números naturales áreas rectangulares, se puede observar claramente que la adicióno suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidadesiguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, ya que:

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Propiedades de los números naturalesLos números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólosi existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operacionesaritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < bEn los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemosencontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:

    y     .Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturalesLos números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elementoen una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño deun conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundode lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.•• Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros,

para lo cual en NxN se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de NxN(a; b) ~ (c; d) si y solo si a + d = b + c

Referencias[1] Nils-Bertil Wallin. « The history of zero (http:/ / yaleglobal. yale. edu/ about/ zero. jsp)». Consultado el 07-07-2011.[2] « FIBONACCI: EL HOMBRE QUE INTRODUJO LA NUMERACIÓN ÁRABE EN EUROPA (http:/ / recuerdosdepandora. com/ ciencia/

matematicas/ fibonacci-la-numeracion-arabe-y-los-obstaculos-de-la-religion/ )» (en español) (11-01-2011). Consultado el 05-03-2011.[3] Véanse textos como Jech (2006). ISBN 978-3-540-44085-7, Devlin (1993). ISBN 0-387-94094-4 o Kunen (1992). ISBN 0-444-86839-9.[4][4] Véase Welschenbach, 2005, p. 4.[5] Véase Weisstein, Eric W.. « Natural Numbers (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NaturalNumber. html)» (en inglés). MathWorld. Consultado

el 14-08-2011.[6] Cominos (2006). ISBN 9781852339029., p. 27.

Bibliografía• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.

ISBN 970-32-1392-8.• Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN

978-84-8236-049-2.• Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés.

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Número entero

Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número naturalcuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en

la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano«debido» o «negativo» (en rojo).

Los números enteros son un conjunto denúmeros que incluye a los númerosnaturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), losnegativos de los números naturales (..., −3,−2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como−1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres»,etc.), son menores que todos los enterospositivos (1, 2, ...) y que el cero. Pararesaltar la diferencia entre positivos ynegativos, a veces también se escribe unsigno «más» delante de los positivos: +1, +5,etc. Cuando no se le escribe signo al númerose asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, queproviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:−783 y 154 son números enteros45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de formasimilar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse paracontabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; perotambién puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura delEverest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros pordebajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

HistoriaLos números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidadde unidades no divisibles (por ejemplo, personas).No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticositalianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución deecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos dela India. [cita requerida]

Aplicación en contabilidadEncuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance

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positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de3 sueldos.

IntroducciónLos números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones enlas que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total operdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidadesse pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 −1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es unaganancia negativa.

Números con signoLos números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos(«−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Seleen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llamanúmeros positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya quesumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por laletra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

La recta numéricaLos números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como estánordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir,cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Serepresenta por dos barras verticales «| |».

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Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

• Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.• Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

•• El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».• El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».

•• El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operaciones con números enterosLos números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los númerosnaturales.

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño delcírculo y su color.

En la suma de dos números enteros, sedetermina por separado el signo y elvalor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

•• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos delos sumandos.

•• Si ambos sumandos tienen distinto signo:

•• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.•• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

1.1. Propiedad asociativa:[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2.2. Propiedad conmutativa:

Número entero 20

(+9) + (−17) = −8(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

RestaLa resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 ,(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

MultiplicaciónLa multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valorabsoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

•• El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.• El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

• (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.• (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.• (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.• (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

Ejemplo.

1.1. Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

2.2. Propiedad conmutativa:(−6) × (+9) = −54(+9) × (−6) = −54

pero si es absoluto negativo se pone una monda de cauchoLa suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedaddistributiva:

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Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo.

• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

Propiedades algebraicasEl conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma y producto, tiene una estructuraque en matemáticas se denomina anillo.Más allá de su estructura algebraica, el conjunto de los números enteros tiene una relación de orden.Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.

Referencias• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006) (en inglés). Mathematics.

Applications and Concepts. Course 2. McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que losracionales son numerables (Georg Cantor).

En matemáticas, se llama número racional a todo número que puederepresentarse como el cociente de dos números enteros (másprecisamente, un entero y un natural positivo[1]) es decir, una fraccióncomún a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. Eltérmino «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto delos números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboardbold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos).Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es unsubconjunto de los números reales ( ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un númerodecimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para númerosescritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria,hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todonúmero que admite una expansión finita o periódica (en cualquier baseentera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, adiferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, setoma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentesentre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalenciasobre .

Número racional 22

Construcción formalVéanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyodenominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con elconjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y portanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clasede equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Demostración

De esta manera , esdecir que el conjunto de los números racionales es el cociente por la relación de equivalencia.

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyodivisor es 4.

Definición de suma y multiplicación en Q

• Se define la suma

• Se define la multiplicación

Relaciones de equivalencia y orden en Q

• Se define la equivalencia cuando

• Los racionales positivos son todos los tales que

• Los racionales negativos son todos los tales que

• Se define el orden cuando

Número racional 23

Existencia de neutros e inversos

• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales

y se le denota por .• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los

racionales y se le denota por .• Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que

• Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal que

Equivalencias notables en Q

• Todo número entero se puede escribir como fracción

• con y

•

•

• con y

• con y .

Propiedades

• El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpoconmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .

• Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.• La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.• El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la

misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de losreales, la constituyen los números irracionales).

• Propiedad arquimediana: el conjunto es denso en por construcción misma de ; es decir, para cualquierpareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos.

• Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional puede descomponerse en la forma:donde son números enteros primos, (siendo algunos de ellos negativos si

q no es entero) y . Por ejemplo .

Número racional 24

Escritura decimal

Representación racional de los números decimalesTodo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyensecuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puedeexpresarse como número racional de la siguiente manera:• Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número

entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

• Ejemplo:

• Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el númeroescrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

• Ejemplo:

• Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre y , donde es el número escritosin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. Eldenominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.• Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que la

fracción correspondiente será , es decir: .

Desarrollo decimal de los números racionalesEl valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del

separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».•• Ejemplo:

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional 25

Número racional en otras basesEn un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contienefactores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.•• Ejemplos:

• En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es dela forma 2n·5p (n y p enteros).

• En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominadorcontiene factores primos distintos de 2 y 3.

Propiedades topológicas de los números racionales• Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.• Poseen una expansión finita como fracción continua regular.• Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una

topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|.• Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.• Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es

totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.

Número p-ádicoSea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|p = p−n, donde pn es la mayor potencia de p que divide aa.Si |0|p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|p = |a|p / |b|p, entonces la función multiplicativa

define una métrica sobre .

El espacio métrico no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos . El teoremade Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o alvalor absoluto p-ádico.

Referencias[1] Elena de Oteyza de Oteyza. Álgebra. Pearson Educación, 2003.

Bibliografía• Cárdenas, Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F.: Trillas. ISBN 968-24-3783-0. OCLC 7121505 (http:/ /

worldcat. org/ oclc/ 7121505).• Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich; C. Pisot, M. Zamansky (2001), « Rational Number (http:/ / www.

encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Rational_number& oldid=14864)», en Hazewinkel, Michiel (eninglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

• Weisstein, Eric W. « RationalNumber (http:/ / mathworld. wolfram. com/ RationalNumber. html)» (en inglés).MathWorld. Wolfram Research.

Número racional 26

Enlaces externos• Números Racionales (http:/ / numerosracionales. com) Definición, propiedades y operaciones de números

racionales, junto con ejemplos.

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde

y son enteros, con diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Es cualquier número real que noes racional. Segunda Definicion:Un Numero irracional es un numero que no se puede escribir en fraccion.

NotaciónNo existe una notación universal para indicarlos, como , que es generalmente aceptada. Las razones son que elconjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ),los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tanapropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, locual puede crear confusión.Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.

ClasificaciónTras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podríaparecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de losnúmeros reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan losnúmeros racionales.Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dosenteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse alnúmero irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solouna aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifrasdecimales no periódicas.Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales quehacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tresprincipales son los siguientes:1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número "e" 2,7182 ...):

3. (Número "áureo" 1,6180 ...):

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante

Número irracional 27

operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier ordenson irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica , por lo quees un número irracional algebraico.2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienende las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen alescribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente,como los dos siguientes:

...

...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuaciónalgebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de losnúmeros naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de losirracionales.

Enlaces externos• Números Irracionales [1] Más información sobre números irracionales

Referencias[1] http:/ / numerosirracionales. com

Número real

Diferentes clases de números reales.

Recta real.

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyentanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como alos números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no sepueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifrasdecimales no periódicas, tales como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de variasformas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para lospropósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con elrigor necesario para el trabajo matemático formal.Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunquecarecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no seconsideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usabanexpresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definiciónprecisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos quehicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para lamatemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas(aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En unasección posterior se describirán dos de las definiciones precisas másusuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchyde números racionales y cortaduras de Dedekind.

Número real 28

HistoriaLos egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C.un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en Chinapoco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Eulerdescartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo seutilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definiciónrigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes deteoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en elsiglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los númerosreales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde laantigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,Cauchy y Weierstrass.

Evolución del concepto de númeroSe sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemasprácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico denúmero. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían acocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y loexpresaron con la máxima «todo es número».En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primerasdos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudestengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en estaforma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, ola hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, untriángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si es un número racional donde está reducido a sus términos mínimos (sin factor común)

entonces 2q²=p².La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendoobtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto esimposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante lasmagnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvoconsecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.[2]

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética

Número real 29

puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricosencontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales que p/q esuna aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejoraproximación.[3] Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas medianteprocesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originóque durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los númerosreales con los puntos de una línea recta.Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de lanotación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos ylongitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de formamecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahoraconocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dandoprimacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analíticaeste punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse ennúmeros, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderososmétodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto delímite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (porejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a laintuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares.Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento conla medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos comocontinuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de lasdemostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

Tipos de números realesUn número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos quepueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que losirracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuyarepresentación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimalaperiódica:Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe unpolinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos losnúmeros racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la

ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.Ejemplos

Número real 30

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Operaciones con números realesCon números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque

sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal

que 0·x=1).Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotasverticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores dela variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variableen que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficasen geometría analítica.

Notación

Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen unasecuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como porejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntosconsecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltanmás dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a unnúmero real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fraccióndecimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos comoproporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cundeíntegramente el concepto y significado del número real. En el análisismatemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirseque los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y elanálisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente lacontinuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un númerono-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismosupone que todos los números reales son recursivos.Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunosprogramas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (porejemplo, " ") en vez de su respectiva aproximación decimal.Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto detodos los números reales.La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor

consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo delos números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Número real 31

Construcciones de los números reales

Caracterización axiomáticaExisten diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo lacaracterización más común mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

1. es un campo.2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:

Si entonces ;

Si y entonces .3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es denaturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados.Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones yque podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambasestructuras serían esencialmente la misma.

Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.

En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales)y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo para representarlo.Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es completo en el sentido de Dedekind, puesexisten otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamenteequivalentes. Algunos de estos son:• (Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.• (Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.• Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tiene intersección no vacía.Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie deaxiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como unconjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)

•••

Número real 32

13. Si , y entonces (Transitividad)14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma

del supremo)Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el quedistingue de otros cuerpos ordenados como .

Construcción por números decimalesConsideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que

, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y unasecuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es unelemento del conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se lellama el conjunto de los números reales positivos.Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se lellama el conjunto de los números reales negativos.Al número decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.Se define la relación de orden total de los números decimales como

1. para todo 2. siempre que y 3. para todo 4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquiera

de los casos siguientes:•• y además existe tal que para todo y

Construcción por cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro quese puede aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de losnúmeros racionales en dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los númerosracionales y en todos los números racionales tales que .Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortaduraes el "espacio" que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que

y .Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reducesimplemente a .También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, deesta manera es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de losnúmeros reales bajo la teoría de conjuntos.

Número real 33

Construcción por sucesiones de CauchyLas sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese porejemplo, la ecuación.

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma , sin embargo el resultado

final es el número irracional . Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a .Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que unasucesión de números racionales es una función se denota simplemente por .Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes.Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo

existe un tal que para todo se cumple .De esta manera es posible definir al número real como la sucesión de números racionales:

Referencias[1] Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.[2] Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.[3] Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. 19269766. ISBN 3-540-96981-0.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número real. CommonsWeisstein, Eric W. « Número real (http:/ / mathworld. wolfram. com/ RealNumber. html)» (en inglés). MathWorld.Wolfram Research.

Fuentes y contribuyentes del artículo 34

Fuentes y contribuyentes del artículoNúmero  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57425751  Contribuyentes: Acratta, Airunp, Allforrous, Andres.63, Aparejador, AstroNomo, Atlante, Baiji, Bedwyr, BetoCG,Bibibo, Bucho, Caiok, Camilo, Carloszelayeta, Carutsu, Correogsk, Damifb, Danidvt, Danielba894, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Diogeneselcinico42, Dj-Gonzlez, Dnu72, Dodo, Donner,Dorieo, Dr Juzam, Dreitmen, EL Willy, Ecelan, Edmenb, Eduardosalg, Elliniká, FAR, Fadesga, Farisori, Fer31416, Frutoseco, Gafotas, Gengiskanhg, Geo, Ggenellina, Gonis, HiTe, Homo logos,Humberto, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Ivanics, J. A. Gélvez, JA Galán Baho, JMCC1, Jhs124, Jorge c2010, JorgeGG, José Flores, Jredmond, Kn, Kokoo, Laura Fiorucci, Lema, Lin linao,Llull, Lobillo, Lungo, Macarrones, Maldoror, Maleiva, Manuel Trujillo Berges, MarcoAurelio, Matdrodes, Maveric149, Millars, Montahiti, Moraleh, Moriel, Mortadelo2005, Mr. Moonlight,Mstreet linux, Nixón, Oscar ., Otnirebal, P. S. F. Freitas, Pacomegia, PhJ, Pinglord, Pla y Grande Covián, Poco a poco, Punk12345, Pólux, RASECZENITRAM, Raulshc, Romero Schmidtke,Rovnet, Rupert de hentzau, Sabbut, Sermed, Sigmanexus6, Skyhack, Soulreaper, Tano4595, Taragui, Tirithel, Tomatejc, Tuncket, Vargenau, Vicaram, Victormoz, Vivero, Xulianbaena, Y0rx,Yavidaxiu, YoaR, Yosoyelconejo, conversion script, 214 ediciones anónimas

Número natural  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59861921  Contribuyentes: -jem-, 217-127-165-236.uc.nombres.ttd.es, 2fast4all, Airunp, Akhram, Akma72, Alephcero,Alexander-Venezuela, Alvaro qc, Amadís, Andreasmperu, Angelito7, Angelsaracho, Antonorsi, Antur, Antón Francho, Arrt-932, Arturo Reina, Ascánder, AstroNomo, Ayleen, BL, Banfield,Barteik, Belb, Beto29, BetoCG, BlackBeast, Blitox, Carloszelayeta, Cgb, Charly Toluca, Cinabrium, Cobalttempest, Criscam.11, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Damián del Valle, Dangelin5, Daniel JG,Dark, David0811, DayL6, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Domaniom, Dorieo, Drappy Dan, Dreitmen, Eduardo 09fut, Eduardosalg, Eferro, Eloy, Elsenyor, Elvenbyte, Emiduronte, Ernessaul,Ernesto Trento, Erudición, Faustito, Feministo, Fmariluis, Foundling, Fran89, Fsd141, GermanX, Ggenellina, Gizmo II, Grillitus, Gusgus, Gustronico, Góngora, HUB, Helmy oved, House,Hugoses, Humberto, JMCC1, Jarisleif, Jkbw, Jndvdrm, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Julio grillo, Kismalac, Kn, Komputisto, Lahi, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Locosepraix, Lourdes Cardenal, Luienrike, Lulu123, Macheledesma, Mafores, Magister Mathematicae, Manwë, Marcelo, Marcoantoniothomas, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mel 23,MiguelMTN, Miss Manzana, Montgomery, Moriel, Mortadelo, Mortadelo2005, Msdus, Muro de Aguas, Nachosan, Netito777, Nihilo, Opti72, Ornitododo, Oscarthebig, Palissy, Pan con queso,Platonides, Poco a poco, Pólux, Queninosta, Raulshc, Ricardogpn, RoyFocker, Rumpelstiltskin, Sabbut, Saloca, Sigmanexus6, Sittsam, SuperBraulio13, Superzerocool, Taichi, Technopat, Tefaa:D, Tguardia, Toad32767, Tonatihu, Tuncket, UA31, Valentin vendetta, Vatelys, Vitamine, Vivero, Vubo, WILLIAM ARANGO RESTREPO, Wesisnay, Wikipedico wikipedico, Xatufan, Yeza,Ysidoro, Zorosandro, conversion script, dup-200-65-89-249.prodigy.net.mx, Érico Júnior Wouters, 642 ediciones anónimas

Número entero  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59966878  Contribuyentes: -seb-, 217-125-66-179.uc.nombres.ttd.es, AVIADOR, Abgenis, Adriansm, Airunp, Airwolf,Alephcero, Allforrous, Andreasmperu, Angel GN, Angelito7, Ascánder, AstroNomo, Açipni-Lovrij, Bachi 2805, Baiji, Banfield, Belb, Beto29, BuenaGente, Camilo, Camiz10, Charly Toluca,Comae, David0811, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Doctor C, Dodo, Dreitmen, Edp3, Eduardosalg, Eli22, Eloy, Especiales, Esteban474, FAR, Faco, Farisori, Fixertool, Foundling, Fran89,FrancoGG, Frankilin, Furti, GermanX, Ggenellina, Gilaaa, Greek, Gsrdzl, Gusbelluwiki, Gustronico, Harpagornis, Hawking, Helmy oved, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Igna, IngeniosoHidalgo, Isha, JMCC1, Jacastrou, Jacoki, Jarev, Jarisleif, Javierito92, Jcaraballo, Jjafjjaf, Jkbw, Jonathan11117, Joseaperez, Juan Marquez, Juancri, KanTagoff, Karlozshida, Karshan, Kelvin539,Kismalac, Kn, Kved, Laura Fiorucci, Leonpolanco, M S, Maaavilapa, Macar, MadriCR, Magister Mathematicae, Maleiva, Manwë, Marcelo, Marianov, Matdrodes, Maveric149, Mel 23,MiguelAngel fotografo, MiguelAngelCaballero, Miniush, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Mushii, Netito777, Nicop, Nixón, Otnirebal, Pabcar, Pan con queso, Pieter, Pimer, Poco a poco, Pólux,Ralgis, Rastrojo, Raulshc, Raystorm, Ricardogpn, Rob Hooft, Roninparable, RoyFocker, Rubenerm, Rubpe19, Sabbut, Savh, Sebrev, Sergio Andres Segovia, Sofiaa B, SuperBraulio13,Technopat, Tharasia, Tirithel, Tortillovsky, Txo, UA31, Valentin vendetta, Vitamine, Vivero, Wewe, Xqno, Xsm34, Yearofthedragon, Youssefsan, Zanaqo, conversion script, 744 edicionesanónimas

Número racional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=60005964  Contribuyentes: 142857, 212.95.194.xxx, 333, Adriancho1995, Airunp, Aleator, Alvaro qc, Amadís, AndreEngels, Andreasmperu, Angel GN, Ariss, AstroNomo, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, Baute2010, Bibliofilotranstornado, BlackBeast, Boatbadly, C'est moi, Camilo, Carmin, Charly Toluca,Charly genio, Cinabrium, Cucharro, DIRQUENSHNOF, DJ Nietzsche, Darc-lord, Dark, David0811, Davius, Dermot, Diegusjaimes, Dnu72, Doctor C, Dorieo, Dove, Dovidena, Edslov,Eduardosalg, Emiduronte, Er Komandante, Farisori, Fernando Estel, Foundling, Gelpgim22, GermanX, Ggenellina, Ginés90, Googolplanck, Götz, HUB, Halfdrag, Helmy oved, Hprmedina,Humbefa, Igna, Interwiki, Isha, Iulius1973, JAQG, JMCC1, Javierito92, Jcaraballo, Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Jtico, Julian Mendez, Kn, Korolain, Kved, Leonpolanco, Llull, Lorrie Baril,Luis1970, M S, Magister Mathematicae, Maldoror, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, McMalamute, Mel 23, Metronomo, MiguelMTN, Moriel, Mpeinadopa, Msdus, Muro de Aguas,Netito777, Nixón, Ortisa, Oscar ., Oyauguru, Poxqo, Pólux, Queninosta, Ralgis, Raulshc, Ricardogpn, Roberto Fiadone, Rosarino, RoyFocker, Sabbut, SaeedVilla, Savh, Sebrev, Sergio AndresSegovia, Sigmanexus6, Simonolea, Smoken Flames, SuperBraulio13, Tano4595, Technopat, Thorongil, ThunderFOX, Tirithel, Varano, Vitamine, Vivero, Xinese-v, Yeza, Youssefsan,conversion script, maipo.as.arizona.edu, 559 ediciones anónimas

Número irracional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59992413  Contribuyentes: .Sergio, 2rombos, 3coma14, Abajo estaba el pez, Adriansm, Allforrous, Angel.F, Aparejador,Axxgreazz, Açipni-Lovrij, Banfield, BlackBeast, Ca in, Carabás, Charly genio, Cobalttempest, Cotiixe On, Decot, Diego Javier Gomez, Diegusjaimes, Dnu72, Edslov, Especiales, Facuman8,Gato ocioso, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, HanniballL, HiTe, Hispa, Humberto, Ialad, Igna, Iulius1973, JMCC1, Jarke, Jkbw, Joseaperez, Juanitorreslp, Julian Mendez, Kn, Leonpolanco,Lsdelrio, Lucien leGrey, Mafores, Magister Mathematicae, Manolo456, Matdrodes, Mencey, Moriel, Mortadelo2005, Mr-lonxito, Msdus, Muro de Aguas, Netito777, Nicoguaro, Nikho 98,Otnirebal, PACO, Poco a poco, Pólux, Radical88, Ramjar, RamonExio, Raulshc, Raystorm, Rosarinagazo, Rubpe19, Sabbut, SaeedVilla, Sanbec, Savh, Snakefang, Tano4595, Technopat,Tirithel, Tomatejc, Tortillovsky, UA31, Varano, Vivero, Waka Waka, Wewe, Will vm, Xenoforme, YoaR, Youssefsan, conversion script, Érico Júnior Wouters, 300 ediciones anónimas

Número real  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=59724087  Contribuyentes: 3coma14, Acratta, Akael, Alvaro qc, Andre Engels, Andreasmperu, Antonorsi, Antur, Aparejador,AstroNomo, Açipni-Lovrij, Balderai, Banfield, Bucephala, BuenaGente, C'est moi, CASF, Camiloalcubo2, Carloszelayeta, CayoMarcio, Charly Toluca, Charly genio, Chfiguer, Cyberplant, DJNietzsche, Daniel JG, Dark Bane, Dat, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen, Eduardosalg, Elliniká, Emiduronte, Erfil, Fixertool, Foundling, GTAVCSA, Gemini1980, GermanX, Ggenellina,Gonis, Greek, Gsrdzl, Guanxito, HUB, Hawking, Helmy oved, Henry1103-2009, Humberto, Igna, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez,Kadellar, Kikegall, Klemen Kocjancic, Kn, KnightRider, Kved, Kybernia, Lauranrg, Lenincomp, Leonpolanco, Lfgg2608, Linkedark, Lojano, Lsdelrio, MI GENERAL ZAPATA, MadriCR,Magister Mathematicae, Maldoror, Maleiva, Manwë, Marianov, Martorell, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mel 23, Miguel, Miss Manzana, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Mutari,Nachosan, Nicop, Nory caro, OMenda, Oscar ., Paintman, Parras, Peejayem, Petruss, Poco a poco, Point-set topologist, Pólux, Rastrojo, Raulshc, Ravave, Rovnet, Rubpe19, Rupert de hentzau,Sabbut, Santiperez, Savh, Sebrev, Sigmanexus6, Snakeyes, Soulreaper, SuperBraulio13, Susleriel, Technopat, Thctase, Tirithel, Txo, UA31, Vitamine, Vivero, Walter closser, Wewe, Yeah2323,Youssefsan, conversion script, 364 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 35

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.Archivo:Three apples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Three_apples.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Oleg AlexandrovArchivo:Subtraction.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Subtraction.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: File:Fruit.svg:Gage. File:WikiVoc-banana.svg: Andrew c. Derivative work: kismalac.Archivo:Integers-line.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Integers-line.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes: kismalacArchivo:AdditionRules-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:AdditionRules-2.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: AdditionRules.svg: Ezra Katz derivative work: kismalacArchivo:Diagonal argument.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diagonal_argument.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Cronholm144Archivo:Fracciones.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fracciones.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: GermanArchivo:Números reales.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Números_reales.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Drini (PedroSánchez)Archivo:Real number line.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Real_number_line.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:PhroodArchivo:Latex real numbers.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Latex_real_numbers.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:Arichnad

Licencia 36

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