CONSEJO DE POSGRADO - UCE · ii DERECHOS DE AUTOR Yo, LUIS ANGEL REINOSO PEREZ, en calidad de autor...
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA CONSEJO DE POSGRADO Ecuaciones algebraicas, Teorema de Abel y aplicaciones. Una visión básica Trabajo de Titulación previo a la obtención del Grado de: Magíster en Docencia Matemática Universitaria AUTOR: Lic. Luis Ángel Reinoso Pérez. TUTOR: Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D. Quito, 2019
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CONSEJO DE POSGRADO
Ecuaciones algebraicas, Teorema de Abel y aplicaciones. Una visión básica
Trabajo de Titulación previo a la obtención del Grado de:
Magíster en Docencia Matemática Universitaria
AUTOR: Lic. Luis Ángel Reinoso Pérez.
TUTOR: Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D.
Quito, 2019
ii
DERECHOS DE AUTOR
Yo, LUIS ANGEL REINOSO PEREZ, en calidad de autor del trabajo y titular de
los derechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación ECUACIONES
ALGEBRAICAS, TEOREMA DE ABEL Y APLICACIONES. UNA VISION
BASICA, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA
ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E
INVESTIGACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una
licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra,
con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de
autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.
Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la
digitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual,
de conformidad a lo dispuesto en el Art. 1444 de la Ley Orgánica de Educación
Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su
forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la
responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa
y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
Firma: _______________________
Lic. Luis Ángel Reinoso Pérez
C. C. 1720689957
Dirección electrónica: [email protected]
Teléfono: 0998887805.
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE TITULACIÓN
Yo, Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D., en mi calidad de tutor del trabajo de
titulación, modalidad Proyecto de Investigación, elaborado por el Lic. LUIS
ANGEL REINOSO PEREZ, cuyo título es: ECUACIONES ALGEBRAICAS,
TEOREMA DE ABEL Y APLICACIONES. UNA VISION BASICA, previo a
la obtención del Grado de Magister en Docencia Matemática Universitaria;
considero que el mismo reúne los requisitos y méritos necesarios en el campo
metodológico y epistemológico, para ser sometido a la evaluación por parte del
tribunal examinador que se designe, por lo que lo APRUEBO, a fin de que el
trabajo sea habilitado para continuar con el proceso de titulación determinado por
la Universidad Central del Ecuador.
En la ciudad de Quito, a los 21 días del mes de diciembre de 2018.
__________________________________
Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D.
DOCENTE – TUTOR
C.C. 1705940508
Teléfono: 0998327673
iv
DEDICATORIA
A mis padres que siempre velaron por el cumplimiento de mis deberes y desde el
cielo me cuidan y hacen de mí un hombre de bien.
A la memoria de mi compañero, gran amigo y compatriota, el Magister Hiraín
Álvarez Gálvez, quien partió anticipadamente y siempre fue un motor impulsor en
esta maestría.
A todos mis compañeros que han sido fuente de inspiración y estimulo, a la
realización de este trabajo.
v
AGRADECIMIENTOS
Quiero dejar constancia de mi agradecimiento a la dedicación, paciencia y
voluntad del Danilo Gortaire Játiva, PhD. por haber sido el tutor de este proyecto
investigativo. El quien fue el creador e inspirador de la idea central de este tema
de trabajo y trazar los lineamientos a seguir, siempre tuve su ayuda ante las dudas
e inquietudes que surgieron a lo largo de este camino, mi eterno agradecimiento a
usted.
Debo agradecer, a mis compañeros profesores de la Escuela de Ciencias Físicas y
Matemáticas de la UDLA, por la colaboración y apoyo prestados en todos los
sentidos y en especial a Juan Carlos García Navas, por motivarme a seguir los
estudios de esta maestría que ha contribuido a enriquecer mis conocimientos en el
vasto campo de las Matemáticas.
Debo incluir a todos los profesores de la Facultad de Ingeniería en Físicas y
Matemáticas que a lo largo de las 20 asignaturas de la maestría formaron en mí el
conocimiento necesario para poder realizar este trabajo de una forma que refleje
los conocimientos adquiridos en la misma.
Por último, agradecer al Mat. Luis Cornelio Castillo Cabay y al Mat.
Guillermo Alexis Albuja Proaño, por sus atinadas observaciones a este proyecto, a
la MSc. Gabriela Valladares, a la Ing. Angie Perozo, así mismo, muy en especial a
la Dra. Fabiola Cevallos, que, con sus amplios conocimientos en el campo
pedagógico, contribuyeron a la revisión final para la aprobación de este trabajo de
investigación. A todos mi más ETERNO AGRADECIMIENTO.
vi
CONTENIDO
Páginas Preliminares
DERECHOS DE AUTOR....................................................................................... ii
APROBACIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE TITULACIÓN ................... iii
DEDICATORIA .................................................................................................... iv
AGRADECIMIENTOS .......................................................................................... v
CONTENIDO ........................................................................................................ vi
LISTA DE TABLAS.............................................................................................. xi
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................... xii
RESUMEN ........................................................................................................... xiv
ABSTRACT .......................................................................................................... xv
PRELIMINARES ................................................................................................. xvi
CAPÍTULO I ........................................................................................................... 1
CONTEXTUALIZACIÓN ..................................................................................... 1
Introducción ......................................................................................................... 1
1.1. Planteamiento del problema ..................................................................... 7
1.1.1 Delimitación del problema. ............................................................. 12
vii
1.2. Formulación del problema. ......................................................................... 12
1.3. Objetivos..................................................................................................... 12
1.3.1. Objetivo General. ................................................................................. 12
1.3.2. Objetivos específicos ........................................................................... 13
1.4. Justificación e importancia de la investigación .......................................... 13
CAPÍTULO II ....................................................................................................... 18
MARCO TEÓRICO .............................................................................................. 18
2.1. Álgebra ....................................................................................................... 18
2.1.1. Antecedentes. ....................................................................................... 19
2.1.2. Teoría de resolución de ecuaciones................................................. 24
2.1.3. La Teoría Sociocultural de Vigotsky y el aprendizaje del Álgebra. 26
2.1.4. Lenguaje Algebraico. ........................................................................... 28
2.2. Teoría de grupos ............................................................................................. 36
2.2.1. Introducción. ........................................................................................ 36
2.2.2. Grupos de Transformaciones. .............................................................. 38
2.2.3. Teoremas sobre los grupos. ................................................................. 44
2.2.4. Isomorfismos. ...................................................................................... 49
viii
2.2.5. Definición de espacios vectoriales isomorfos ...................................... 50
2.2.6. Teorema de Lagrange. ......................................................................... 52
2.2.7. Subgrupos. ........................................................................................... 54
2.2.8. Homomorfismos. ................................................................................. 58
2.2.9. Permutaciones. ..................................................................................... 64
2.2.10. Permutaciones no solubles. ................................................................ 68
2.3. Número complejos...................................................................................... 69
2.3.1. Introducción. ........................................................................................ 69
2.3.2. Campos y polinomios. ..................................................................... 78
2.3.3. El Campo de los números complejos. ............................................. 88
2.3.4. La unicidad del número complejo. .................................................. 94
2.3.5. Descripción geométrica del número complejo. ............................... 98
2.3.6. Forma trigonométrica del número complejo. ................................ 101
2.3.7. Continuidad en los números complejos. ....................................... 106
2.3.8. El teorema fundamental del algebra en el campo de los números
complejos ..................................................................................................... 111
2.3.9. Campos de Gauss. ......................................................................... 115
ix
2.3.10. Ecuaciones de 2-do, 3-ro y 4-to grados. .................................... 116
2.4. Superficie de Riemman de la función 𝒘 = 𝒛. ................................... 121
2.4.2. Superficie de Riemann de otras funciones. ........................................ 129
2.4.3. Funciones representables por radicales.............................................. 136
CAPÍTULO III .................................................................................................... 142
METODOLOGÍA ............................................................................................... 142
3.1. Introducción .............................................................................................. 142
3.2. Objetivos................................................................................................... 147
3.3. Justificación e importancia ....................................................................... 147
3.4. Fundamentación ....................................................................................... 148
3.4.1. Teoría de la instrucción...................................................................... 148
3.4.2. Aprendizaje jerarquizado. ............................................................. 149
3.4.3. Aprendizaje significativo. ............................................................. 151
3.4.4. El Teorema de Abel. ..................................................................... 153
3.5. Diseño del módulo instruccional para la enseñanza de Álgebra .............. 156
3.6. Contexto ................................................................................................... 156
3.6.1. Contenidos conceptuales.................................................................... 157
x
3.6.2. Contenidos procedimentales. ............................................................. 157
3.6.3. Estrategias metodológicas.................................................................. 161
CAPÍTULO IV .................................................................................................... 169
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................. 169
Conclusiones.................................................................................................... 169
Recomendaciones ............................................................................................ 173
BIBLIOGRÁFIA................................................................................................. 178
ANEXO A. BIOGRAFÍA DEL AUTOR............................................................ 184
xi
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Situación................................................................................................. 36
Tabla 2. Tabla de multiplicar (rotación del triángulo equilátero) ........................ 46
Tabla 3. Modelo para el Diseño Instruccional ................................................... 149
xii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Triángulo equilátero ............................................................................. 45
Figura 2 Rotación del triangulo ........................................................................... 47
Figura 3. Rotación de un cuadrado ...................................................................... 48
Figura 4. Rotación de un cuadrado (d,f,g,h) ........................................................ 49
Figura 5. Tetraedro con vértices en D .................................................................. 56
Figura 6. Simetría del cuadrado .......................................................................... 61
Figura 7. Simetría de rombo ................................................................................ 61
Figura 8 Homoformismo ...................................................................................... 62
Figura 9. Ejercicio 1(Descripción geométrica del número complejo) ................. 98
Figura 10. Ejercicio 2 (Descripción geométrica del numero complejo) .............. 99
Figura 11. Forma trigonométrica del número complejo .................................... 102
Figura 12. Papiro Rhind ..................................................................................... 117
Figura 13. Ejercicio Mapeo 𝑊 = 1𝑧 ............................................................... 123
Figura 14. Ejercicio Mapeo w= 2𝑧 . .................................................................. 123
Figura 15. Corte 2 𝑧 = −1𝑧 . .......................................................................... 124
Figura 16 Ejercicio superficie de Riemann(Circulo) ......................................... 127
xiii
Figura 17. Ejercicio superficie de Riemann ( -1, 1) ........................................... 127
Figura 18 Ejercicio superficie de Riemann(Circulo) ......................................... 129
Figura 19. Superficie de Riemann 𝑤(𝑧) = 𝑧2 ................................................... 132
Figura 20 Ejercicio superficie de Riemann 𝑤(𝑧) = 𝑧2 .................................... 132
Figura 21. La demostración de Abel .................................................................. 155
xiv
TÍTULO: Ecuaciones algebraicas, Teorema de Abel y aplicaciones. Una visión
básica
Autor: Luis Ángel Reinoso Pérez
Tutor: Danilo Gortaire PhD.
RESUMEN
El objetivo de la investigación fue proveer a los profesores de nivel medio y
medio superior de una herramienta de consulta a fin de desarrollar este tema en la
asignatura de Algebra, el cual teóricamente está sustentado en la Teorema de Abel
y de qué forma hacer uso del mismo, a través de la Teoría de Grupos y del campo
de los Números complejos. Metodológicamente, esta indagación se realizó bajo un
enfoque cualitativo de tipo documental, los documentos empleados fueron libros de
texto de historia de la matemática, tesis doctorales, trabajos de grado de maestrías,
artículos especializados y el libro de texto que utilizan los docentes de una Institución
Educativa para impartir el contenido sobre la resolución de ecuaciones. Para el
análisis de la información se empleó la técnica del análisis de contenido. El diseño de
la investigación corresponde al de campo debido a que los datos se recolectan en
forma natural y al diseño transversal puesto que los datos fueron recolectados en
un solo momento. Se demostró que el efecto de una herramienta de consulta en la
enseñanza de la asignatura de Álgebra es significativo respecto a las estrategias de
la enseñanza tradicional. El estudio consistió en la caracterización de los
significados institucionales de referencia y la descripción de los significados
institucionales pretendidos sobre las ecuaciones algebraicas respectivamente;
luego se contrastó la información obtenida entre ambos tipos de significados. De
igual forma se fundamentó bajo los enfoques del Álgebra, Teoría de Grupo,
Superficie de Riemann y Números complejos. Pretendiendo así de esta manera,
contribuir a la incorporación de la tecnología en la praxis educativa de los
Educadores Matemáticos.
PALABRAS CLAVES: TEOREMA DE ABEL / NÚMEROS COMPLEJOS/
POLINOMIOS/ ECUACIONES ALGEBRAICAS/ GRUPOS/ SUPERFICIE DE
RIEMANN.
xv
TITLE: Algebraic equations, Abel's theorem and applications. A basic vision
Author: Luis Ángel Reinoso Pérez
Tutor: Danilo Gortaire PhD.
ABSTRACT
The objective of the research was to provide high school and higher-level
education teachers with a consulting tool in order to develop this topic in the
Algebra subject, which theoretically is based on Abel's Theorem and how to use
it, through the Theory of Groups and the field of Complex Numbers. Methodologically, this study was conducted using a qualitative approach of a
documentary type, the documents used were textbooks on the history of mathematics,
doctoral theses, master's degree projects, specialized articles and the course book used
by teachers of an Institution to teach about how to solve equations. The technique of
content analysis was used for the analysis. It is a field research because the data is
collected naturally and the cross-sectional design since the data was collected in a
single moment. It was shown that the effect of a consulting tool in the teaching of
the subject of Algebra is significant with respect to traditional teaching strategies.
The study consisted of the characterization of the institutional meanings of
reference and the description of the intended institutional meanings on the
algebraic equations respectively; then the information obtained between both
types of meanings was contrasted. Likewise, it was based on the approaches of
Algebra, Group Theory, Riemann Surface and Complex Numbers. Trying this
way to contribute the incorporation of technology in the educational praxis of
Mathematics teachers.
KEY WORDS: ABEL THEOREM / COMPLEX NUMBERS/
POLYNOMIANS/ ALGEBRAICS EQUATIONS/ GROUPS/ RIEMANN
SURFACE.
xvi
PRELIMINARES
La Facultad de Ciencias e Ingenierías Físicas y Matemáticas, perteneciente a la
Universidad Central del Ecuador; ha desarrollado durante los últimos tres años,
desde el mes de junio del 2015 hasta el presente mes de diciembre del 2017, un
programa de 20 asignaturas para los 12 estudiantes inscritos en la Maestría en
Docencia y Matemáticas Universitarias. La culminación de los estudios de este
postgrado se realiza con el presente trabajo investigativo titulado: Ecuaciones
algebraicas, teorema de Abel y aplicaciones. Una visión básica.
El tutor encargado de supervisar este trabajo investigativo es el Doctor en
Ciencias Físicas y Matemáticas Danilo A. Gortaire Játiva, el cual fue nuestro
docente a lo largo de nuestros estudios, en 3 materias diferentes, este profesor
realizó sus estudios en la Universidad de Minsk, Bielorrusia, y posee un vasto
conocimiento en las estructuras del Algebra y la Teoría de Grupos.
1
CAPÍTULO I
CONTEXTUALIZACIÓN
Introducción
El álgebra representa uno de los pilares fundamentales para la formación del
docente de matemática por cuanto a según el autor González (2005):
“El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar
todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El
concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético,
puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante
números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se
representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se
les asigne”. (p. 1)
Esta afirmación pone de manifiesto la necesidad de que los actuales docente de
matemática desarrolle la capacidad y metodologías de abstracción de cantidades a
una forma generalizada de expresión de conceptos matemáticos, que facilitan en
la actualidad la solución de problemas de análisis matemático y para su futura
aplicación en diferentes campos del conocimiento.
De allí que Cadena y otros (2002) en su trabajo de investigación titulado “El
Álgebra de Viéte y Solución de Ecuaciones de Tercer y Cuarto Grado”
establezcan que:
“La importancia del método algebraico en la matemática moderna y su
campo de aplicaciones han aumentado grandemente en las décadas
recientes. Por ejemplo: Las crecientes demandas de la tecnología obligan a
reducir a resultados numéricos las soluciones de difíciles problemas del
análisis matemático, y esto, generalmente, sólo es factible después de la
2
algebrización de estos problemas, proceso que a su vez crea nuevos y
complicados problemas dentro del álgebra misma”.
“Ciertos problemas del análisis no resultaron claros y comprensibles hasta
que fueron abordados por métodos algebraicos basados en una
generalización profunda de la teoría de los sistemas de ecuaciones de
primer grado. La gran cantidad de material algebraico recogido en el
período previo sirvió de base real para la construcción del álgebra
abstracta contemporánea. En el siglo actual el álgebra ha encontrado
aplicaciones en la geometría, en la física contemporánea, especialmente en
el análisis funcional y en la mecánica cuántica. Particularmente
importantes en la actualidad son los problemas de mecanización de los
cálculos algebraicos por medio de distintas máquinas de cálculo, en
especial las máquinas electrónicas de alta velocidad. Las cuestiones
relacionadas con este tipo de matemática calculatoria están dando lugar a
nuevos y diferentes problemas algebraicos”. (p.1)
Resulta evidente la necesidad de que los contenidos algebraicos impartidos a los
estudiantes de secundaria en la asignatura de matemática sean correctamente
asimilados, en vista de que la comprensión de los mismos garantiza la sólida base
necesaria para la comprensión de futuros conocimientos en otras áreas de la
matemática.
Ratificando esta postura, la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad
de Tucumán (2008) afirma en la página web de su Cátedra de Álgebra:
“La importancia de la Matemática en la formación de graduados en
distintas ramas de las ciencias, radica tanto en la contribución que hace la
enseñanza de la misma al desarrollo del pensamiento en general, como así
también a las diversas formas específicas del pensamiento matemático.
Dichas formas están estrechamente vinculadas entre sí y en particular a: El
3
desarrollo del pensamiento lógico-deductivo y creativo, tan necesario para
todas las disciplinas. El perfeccionamiento de un lenguaje preciso, que
permite la interrelación con la disciplina en cuestión. El desarrollo del
pensamiento final, imprescindible a la hora de interpretar los resultados
obtenidos. El desarrollo del pensamiento algorítmico y del pensamiento
funcional. La racionalización del trabajo mental de los alumnos”. (p.1)
La matemática fortalece en gran forma los procesos del pensamiento antes
descritos, sin embargo, de forma más específica la Facultad de Ciencias
Económicas de la Universidad de Tucumán (2008) en la página web de su Cátedra
de Álgebra indica que:
“En particular, la asignatura “Álgebra” no sólo aporta a la consecución de
las formas del pensamiento antes mencionadas sino que, al proporcionar
los instrumentos matemáticos básicos, contribuye a la formación de
habilidades esenciales en los estudiantes que los capacitan para un
desempeño eficiente tanto en el resto de las asignaturas de la Disciplina
Matemática (Introducción al Análisis Matemático y Análisis Matemático),
como en las Matemáticas del Área Aplicada (Estadística, Investigación
Operativa, Matemática Financiera) y otras del Ciclo Superior que
necesitan Álgebra como herramienta fundamental”. (p.1)
Mucho se ha discutido en torno a la ciencia didáctica y a la consolidación de
estrategias y métodos activos, adecuados y centrados en el alumno para la
promoción de competencias que el alumno utilizará en algún momento de su
carrera o de su vida; sin embargo, Salgado (2000) sostiene que en “ciertos ámbitos
educativos se siguen instrumentando a ultranza las variadas propuestas
metodológicas tradicionales que hacen caso omiso de todos los aportes teóricos
que últimamente han alcanzado gran difusión” (p.7).
4
Así, por ejemplo, se promueven pruebas y evaluaciones integrales a los
estudiantes sin antes haberles brindado un conjunto de herramientas básicas para
que puedan demostrar que sus competencias, previa preparación y ejercitación
planificada y mediada, se encuentran acordes para el desempeño posterior en
tareas más complejas, de mayor exigencia cognoscitiva.
En otros ámbitos, Salgado (2000) plantea la existencia de educadores que evitan
utilizar los objetivos, métodos y técnicas de enseñanza propuestos en los
programas destinados a cada asignatura, con la finalidad de trabajar bajo criterios
propios, algunas veces alejados de los paradigmas instaurados y legalmente
vigentes (p.8); sin embargo, el presente trabajo pretende dar solución a un
problema que, desde la perspectiva del investigador y sobre la base de sus
experiencias en el desarrollo del curso de inducción a la mención, ha venido
afectando el desempeño académico en relación con la formación de esquemas
previos del estudiante de nuevo ingreso desde esos momentos y que, hasta hoy,
con cambio de medios y estrategias de selección, no se ha logrado solventar.
El álgebra como puede observarse resulta de gran importancia para la formación
de futuros profesionales en diferentes áreas del saber, en particular en la
formación de los docentes de matemática egresados de las diferentes
universidades del país. Sin embargo, en el caso de los estudiantes de secundaria
en la materia de Matemática se puede observar dificultad para la comprensión de
esta rama de la matemática, hecho evidenciado a través de conversaciones
sostenidas con los estudiantes de la mención en relación a este aspecto y tal como
se demuestra en los resultados obtenidos en la asignatura Álgebra, objeto de
estudio.
Por lo tanto, la asignatura es de gran importancia por su aplicación en el estudio
de problemas físicos y geométricos que requieren el uso y resolución de
ejercicios, para efectuar cálculos en la elaboración de modelos matemáticos que
simulan procesos y/o fenómenos físicos, por lo que es indispensable en la
5
formación integral del alumno. De este hecho deriva la importancia de la
asignatura, ya que una de las tareas fundamentales del docente es impartir a el
estudiante de educación media y superior el análisis y cálculo de los mismos, es
decir la predicción de manera cuantitativa del comportamiento de un sistema o
proceso para así proceder a su diseño, análisis o para cumplir con ciertas
especificaciones de producción.
De esta manera, uno de las pretensiones de este trabajo es permitir que el
estudiante maneje con bastante habilidad y destreza la teoría y los métodos de
resolución de las ecuaciones de grados superiores, también se busca que este en
capacidad de identificar varios sistemas dinámicos en los que el modelo
matemático que rige su comportamiento son este tipo de ecuaciones.
Al mismo tiempo, en este trabajo proyecta a despertar el interés de los docentes en
apoyarse en herramientas de consulta simbólico-gráficas para el aprendizaje y
enseñanza de las ecuaciones de grados superiores. Adicionalmente se busca
proveer a los docentes de la asignatura ecuaciones algebraicas un material que
complemente los ejercicios y materiales bibliográficos con los que se cuenta en la
actualidad y donde se enfoque en nuevas herramientas.
Tomando en cuenta lo anteriormente expuesto, es preciso afirmar que el área de
matemática, en la educación superior, exige una base cognoscitiva y de
información previa que se funda en la educación media y superior; pero en estos
niveles también se consolidan valores y perspectivas que condicionan la visión de
los estudiantes en relación con el área. Ante esta situación se desarrolló un estudio
centrado en un diseño de investigación descriptiva y documental a fin de
proponer, sobre una base integrativa y centrada en la realidad, un módulo
instruccional que pudiera dar solución al problema detectados relacionado con los
contenidos implícitos en las disciplinas mencionadas.
6
El desarrollo de esta investigación implicó explorar las raíces de un problema el
cual, se denotaba en la observación de bajo rendimiento en dicha materia, a fin de
brindar a los interesados en el tema, docentes especialmente, nuevas formas de
asumir su desenvolvimiento profesional en vías de consolidar competencias
básicas en sus alumnos.
Abordar esta investigación implica relacionar el componente curricular de las
asignaturas Álgebra las opiniones de los docentes y la experiencia de los alumnos,
por lo cual se hace necesario vislumbrar las disertaciones de cada capítulo y
conocer las reflexiones aportadas.
Finalmente, el uso de herramientas de consulta permite que el docente comparta
los conocimientos al estudiante para que se centralice en las sistematizaciones
evitando errores de cálculo. Para verificarlo basta conocer unos pocos comandos
básicos. Cualquiera que sea el área científica o técnica en la que se esté
trabajando, ya sea en el ámbito de la enseñanza, en el de investigación o en
desarrollo, las herramientas de consulta son un contexto integral que cubre los
aspectos necesarios.
Es importante denotar que el presente proyecto está dividido en 6 capítulos, y
comentados por capítulos. En el capítulo I Contextualización, Capitulo II; Marco
teórico donde se detalla la Teoría del álgebra se denota los antecedentes, el
aprendizaje según Vygotsky y el lenguaje algebraico. En el capítulo II, se exponen
lo concernientes a la Teoría de Grupos, así como las principales estructuras del
Algebra tales como Isomorfismos y Homomorfismos. Introducción, de igual
forma se expone la descripción del campo de los números complejos como
extensión del campo de los números reales dada la necesidad de la solución de la
problemática que implica la raíz de un numero negativo, en ella se va guiando al
estudiante a través de ejercicios a la profundización del estudio en este aspecto, de
vital importancia en el campo del algebra. Sucesivamente se expone todo lo que
concierne a una superficie de Riemann.
7
Dado que las mismas constituyen el lugar natural para el estudio del
comportamiento global de numerosas funciones de variable compleja. Superficie
de Riemann de una función w= √z. Superficie de Riemann de funciones
avanzadas. Funciones representables por radicales.
Capitulo III: metodología de la propuesta de herramienta de consulta para los
profesores citando el estudio del teorema de Abel, así como la demostración del
mismo y la forma de cálculo de las raíces de una ecuación de 5to grado a través de
medos numéricos. Por último, el Capítulo IV abarcará las conclusiones y
recomendación es al finalizar este proyecto.
1.1. Planteamiento del problema
El tema de la educación es un asunto de actualidad y discusión permanente en casi
todas partes del mundo. Los diagnósticos que han realizado algunos autores, como
lo son las teorías pedagógicas, los programas y las reformas para tratar de mejorar
la manera de desarrollar el proceso de educación sistemática. Por lo cual, resulta
un reto para los docentes e investigadores hacerse una idea clara de dónde surgen
las debilidades cognitivas evidenciadas en los alumnos, producto del proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Por otro lado, el autor Puryeaur (1998) prosigue explicando que la educación es
una herramienta clave para promover el desarrollo social. En pocas palabras, la
educación permite preparar a los ciudadanos para una participación responsable
en las instituciones democráticas y en la sociedad civil, ayuda a reducir los índices
de fertilidad, a mejorar los de salud, entre otras cosas.
En la educación, existen ejes transversales que impregnan todos los contenidos
desarrollados y que se relacionan directamente con las competencias que se deben
consolidar en los aprendices. Destacan entre estos ejes el lenguaje, el
razonamiento matemático, trabajo, ambiente, valores e identidad nacional.
8
En este sentido, el estudio de la materia matemática juega un papel esencial en el
sistema educativo. Esta área aporta componentes clave para el desarrollo de
cualquier país. De modo que, es imprescindible para la comprensión del mundo,
porque su proceso fomenta una aproximación más rigurosa frente a los problemas:
permite definirlos con precisión, encontrar la información relevante para poder
abordarlos, seguir pasos ordenadamente para llegar a conclusiones y respuestas;
es decir, la matemática es necesaria para la formación personal de cada alumno y
alumna, pues dependerá de muchas de las competencias que la matemática
fomenta para asumir la orientación correcta en la toma de muchas decisiones
importantes de su vida futura.
En los estudios sistemáticos de educación superior se prepara a los alumnos para
que asuman los retos que la educación superior impone. En todos los niveles
básicos la matemática figura como asignatura obligatoria. De acuerdo con la
opinión de Odremán (2001), paradójicamente, se ha desarrollado un rechazo
general hacia esta asignatura, al igual que sucede con la lectura y la escritura, que
se extiende desde la educación básica hasta los estudios superiores.
En la enseñanza de nivel medio, se estudian en detalle las ecuaciones de primer y
segundo grado de una variable, los estudiantes aprenden que para resolver estas
ecuaciones existen fórmulas generales que expresan sus raíces en términos de los
coeficientes por medio de operaciones aritméticas y de radicales. Sin embargo,
muy pocos de ellos conocen si existen fórmulas similares para resolver ecuaciones
algebraicas de orden superior.
De hecho, existen estas fórmulas también existen para ecuaciones del tercer y
cuarto grado. En este trabajo investigativo se abordará los métodos para resolver
estas ecuaciones en la primera parte.
Sin embargo, en caso de considerar la ecuación genérica de una variable de grado
mayor que resulta que la misma no es soluble por radicales, se demuestra que no
9
existen fórmulas generales (en radicales) que expresen las raíces de estas
ecuaciones en términos de sus coeficientes por medio de un número finito de
operaciones aritméticas ni de radicales. Este es precisamente el enunciado del
Teorema del famoso matemático noruego Abel.
Ante esta problemática se han implementado estrategias para fortalecer
significativamente los procesos de enseñanza y aprendizaje de esta importante
área de la matemática. Tal es el caso de la investigación desarrollada por Acevedo
y Falk (2000) titulada “Formación del Pensamiento Algebraico en los Docentes”,
publicada en la Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa, la cual consistió en la elaboración de un texto en el cual “se establecen
eslabones explícitos entre la teoría formal del álgebra abstracta y las nociones
elementales fundamentales en los cursos de álgebra y aritmética de la escuela
media”.
Con esta investigación en el año 2000 se pone de manifiesto la importancia de la
comprensión del álgebra para la resolución de problemas donde se relaciona ésta
con la aritmética. Sin embargo, más adelante se entiende con la creciente
avanzada de la tecnología que usando la misma en la enseñanza del álgebra podría
traer consigo la obtención de resultados favorables.
Esta creencia se logra evidenciar a través de la investigación desarrollada por
Ortega (2002) titulada “Una estrategia didáctica para la enseñanza del álgebra
lineal con el uso del sistema de cálculo algebraico DERIVE” en la cual se llega a
la conclusión de que las:
Características del programa DERIVE han favorecido y proporcionado
unas situaciones de enseñanza que conducen hacia un aprendizaje que
tiene las siguientes características: a) Se trata de un aprendizaje por
descubrimiento y activo, que, a partir de los conocimientos previos del
alumno, facilita la adquisición de aprendizajes significativos sobre los
10
contenidos básicos del álgebra lineal. b) Un aprendizaje que proporciona al
alumno la posibilidad de utilizar varias estrategias de resolución de
problemas, aunque en general el alumno tienda a utilizar una de ellas. c)
Un aprendizaje colaborativo, basado en las colaboraciones que propicia el
trabajo en grupo suscitado por el programa DERIVE. d) Un aprendizaje
adaptado a las necesidades de cada alumno, ofreciendo la posibilidad de
utilizar varios niveles de aprendizaje motivado fundamentalmente: por la
ayuda que presta el programa, por el ambiente colaborativo que se fomenta
entre los alumnos y por el material didáctico disponible en los guiones de
trabajo, es decir, permite una adecuada atención a la diversidad. (p. 27)
Esto quiere decir que la implementación de tecnología para la enseñanza del
álgebra mejora notablemente la estimulación de los estudiantes, ya que la misma
en sí constituye una herramienta motivadora para el aprendizaje. Por otro lado,
Gómez y Rouquette (2004) en su investigación “Uso de un sistema tutorial
inteligente en el ámbito educativo” concluyen que:
Con el uso de un laboratorio virtual se pueden realizar diferentes
experimentos de investigación como el que se presenta, con diversos
objetivos, entre ellos contemplar la realización de mejores materiales
encaminados a superar el desempeño de los estudiantes. En este estudio se
observa que las estrategias de enseñanza, las de aprendizaje y la forma de
promoverlas influyen directamente en la obtención de un aprendizaje
significativo. (p.7)
Nuevamente se pone de manifiesto la importancia de la escogencia de estrategias
de enseñanza y aprendizaje que garanticen la obtención apropiada de los
conocimientos en los estudiantes.
Ante esto, se observó la necesidad de implementar una solución educativa que
tome en cuenta la forma en que los estudiantes perciben el conocimiento, adaptada
11
a los requerimientos conceptuales de la asignatura Álgebra que se fundamente en
el uso de la tecnología, dada las ventajas que éstas han tenido al ser
implementadas en los ambientes educativos y por otro lado basada en las
estrategias de enseñanza exitosas empleadas por los docentes que han permitido la
aprobación de algunos estudiantes en la referida asignatura.
Estas estrategias fueron determinadas a través de preguntas contenidas en un
instrumento de recolección de información el cual será aplicado a los docentes
que dictan la asignatura Álgebra. En consecuencia, en la presente investigación se
desarrolló una una herramienta de consulta a fin de desarrollar este tema en la
asignatura de Algebra y profundizar el conocimiento del Teorema de Abel y de
qué forma hacer uso del mismo, a través de la Teoría de Grupos y del campo de
los números complejos para los profesores de nivel medio y medio superior.
La estrategia de aprendizaje mejorará la técnica en la solución de problemas, ya
que facilitará al estudiante asentar el significado y comprensión de los objetos
matemáticos como son los Números Complejos y por ende la parte cognitiva del
individuo mediante su exposición a experiencias que contradicen sus esquemas
mentales.
Cuando el sujeto percibe una situación objetiva del medio ambiente que contraría
sus ideas, que lo afecta de algún modo, provoca la necesidad de restablecer el
equilibrio perdido mediante la realización de un conjunto de acciones físicas y
mentales. Esta situación desequilibrante es el problema y el conjunto de acciones,
el proceso de solución de problemas.
La estrategia de aprendizaje es una metodológica basada en la práctica docente y
en su reflexión profunda sobre el modo de emplearla y que comprende actividades
concretas y voluntarias que persiguen el propósito del aprendizaje de los números
complejos y la solución de problemas relacionados con ellos desde esta
perspectiva se elabora un diseño instruccional para ser materializado en el
12
ejercicio de las funciones Académicas utilizando la resolución de problemas de
como herramienta operativa. Que posiblemente sea capaz de activar procesos
cognoscitivos y metacognocitivos en los alumnos permitiéndoles mejorar así sus
habilidades en la asignatura de algebra una manera significativa.
Sobre la base de las disertaciones anteriores, la presente investigación tiene su
origen en la búsqueda de respuestas a los interrogantes planteados previamente.
Este estudio está orientado a diseñar un módulo instruccional para la enseñanza en
Álgebra dirigido a los estudiantes de educación superior a partir de la experiencia
vivida con la disciplina de matemática
1.1.1 Delimitación del problema.
Surge la necesidad de diseñar de una herramienta de guía metodología para el
desarrollo de ecuaciones algebraicas de consulta para la asignatura de Algebra
para los profesores de nivel medio y medio superior en el periodo 2018-2019
1.2. Formulación del problema.
¿Es factible para los docentes de educación media y superior una herramienta de
consulta para la enseñanza de la asignatura de algebra y solución de ecuaciones
polinómicas, de las cuales las de grado 5 en adelante son imposibles de solucionar
por métodos algebraicos según plantea el Teorema de Abel?
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo General.
Proveer a los profesores de nivel medio y medio superior de una herramienta de
consulta a fin de desarrollar este tema en la asignatura de Algebra y profundizar el
conocimiento del Teorema de Abel y de qué forma hacer uso del mismo, a través
de la Teoría de Grupos y del campo de los números complejos.
13
1.3.2. Objetivos específicos
-Diagnosticar la necesidad de una herramienta de consulta para apoyar el proceso
de estudio de la asignatura algebra.
- Estudiar la factibilidad del desarrollo de la herramienta de consulta a fin de
desarrollar este tema en la asignatura de Algebra dirigido a los profesores para
apoyar su proceso de estudio y aprendizaje.
- Realizar un estudio documental y bibliográfico que sustente la demostración del
Teorema de Abel y aplicarlo a un resultado de continuidad de funciones dadas por
una serie de potencias.
-Crear un repositorio de ejercicios para que los docentes que aborden esta
temática puedan tener de una forma organizada y clara el modo de enseñanza del
tema, y sea fácil comprensión para el estudiante y no cause rechazo por parte del
mismo al aprendizaje de un apasionante tema como el álgebra.
-Desarrollar una metodología precisa, para que los estudiantes de una forma breve
y concisa puedan pasar del estudio del algebra elemental al conocimiento de los
métodos abstractos del algebra moderna.
1.4. Justificación e importancia de la investigación
En ocasiones, no se concede mucho espacio al estudio de las ecuaciones de grado
superior a 2, tomando en cuenta que a veces conducen a la solución de vitales
problemas en matemáticas conllevan a ecuaciones de grados superiores a 2.
En este trabajo investigativo, se propone dar a conocer dos importantes ramas de
la Matemática, el estudio de la teoría de grupos y el estudio de los números
complejos (Kurosh, 1978)
14
Desde este punto de vista, los Números Complejos ofrecen a los alumnos los
fundamentos que les permitirán sumar ondas senoidales, y constituyen elementos
básicos para la evaluación del comportamiento de modelos matemáticos
representativos de situaciones reales, como es el caso de resoluciones de circuitos
de corriente alterna. Por otro lado, las representaciones de parámetros o elementos
circuitales como condensadores, bobinas resistencias se realizan en el plano
complejo. De allí la necesidad de proporcionar a los estudiantes de las carreras
técnicas, facilidades para la adquisición de conocimiento de los Números
Complejos y sus aplicaciones.
Para este propósito se propondrá una serie de problemas, que servirán de
repositorio y a la vez herramienta de consulta, para aquellos profesores que
enseñen esta rama de las Matemáticas. Los cuales están vinculados a la solución
de ecuaciones, teoría de grupos, y funciones de variable compleja (Kostrikin,
1989).
La importancia de esta investigación se fundamenta en el desarrollo de una
metodología educativa para la enseñanza de la asignatura Álgebra. La misma
resulta conveniente, tomando en cuenta las ventajas del uso de la tecnología en las
aulas de clase se procura contribuir de manera efectiva con los docentes en el
proceso de enseñanza de la mencionada asignatura, puesto que el referido material
se fundamentará en las estrategias que han garantizado para los mismos óptimos
resultados en los estudiantes que aprueban Álgebra y al tiempo que se pretende
plantear a los alumnos una forma diferente (en esta materia) de comprender con
mayor facilidad las demostraciones de teoremas y propiedades inherentes a esta
área del conocimiento matemático, de igual forma busca insertar tanto a docentes
como alumnos en el uso de las nuevas tecnologías, en aras de establecer en las
aulas del nivel superior la modalidad de enseñanza del Álgebra Abstracta asistida
por computadora.
15
La estrategia propuesta, desde el punto de vista de su utilidad metodológica, no
sólo intenta beneficiar a los docentes y educandos involucrados en el proceso, del
mismo modo pretende impulsar mejoras y avances en la calidad de la enseñanza
por cuanto el desarrollo de la misma se ajusta a las exigencias de la actualidad.
El docente podrá valerse de este recurso durante el desarrollo de sus clases y por
otro lado los estudiantes podrán tener acceso a esta herramienta metodológica de
consulta para los repasos y avances de sucesivas clases desde cualquier lugar en el
que éstos se encuentren. Este material tiene implicaciones prácticas en el sentido
de que se plantea como una solución ante el elevado porcentaje de estudiantes que
no aprueban Álgebra en el mismo semestre en el que la inscribe.
En este sentido al egresar un docente mejor formado, garantiza en otros niveles
una educación para la excelencia, en virtud de que los nuevos facilitadores
egresados bajo estos paradigmas tecnológicos gozarán de una formación que
integra no sólo el aspecto técnico, sino que de igual forma siempre tendrá presente
que los estudiantes a los cuales le impartirá clases representan un conglomerado
con diferentes sistemas de representación. Con esta investigación no sólo se
beneficiarán los alumnos y los docentes, sino que también se fortalece la calidad
de los contenidos impartidos en las aulas y por ende la imagen de la institución.
De igual forma posee relevancia social en el sentido de que los docentes egresados
tendrán la posibilidad de implementar estrategias basadas en los recursos
tecnológicos o desarrollar ellos mismos sus materiales didácticos basados en
tecnología que éstos conocen por haber tenido una enseñanza bajo esta modalidad.
Estos docentes al implementar esta estrategia en los colegios en los cuales
desempeñen sus actividades académicas de aula fortalecerán la enseñanza en otros
niveles de estudio, ya que la misma permite presentar el conocimiento desde una
perspectiva más amplia que la de sólo limitarse al pizarrón.
16
Por otro lado, el material a presentar goza de valor teórico, el mismo intenta
redundar en la eficacia del uso de la tecnología en ambientes educativos, y aportar
solidez a esa hipótesis, hecho que se ha demostrado suficientemente en la
implementación de espacios virtuales, aulas interactivas, materiales
computarizados, software educativos, entre otros que han representado en otros
casos una mejora significativa en el aprendizaje de contenidos específicos de
álgebra como en otras áreas del conocimiento. (Lobo, 2002; Rubí, 2003; Montero
y otros, 2002; Cariello, 2004; entre otros).
Esta investigación, además, desde el punto de vista de su utilidad metodológica,
servirá de punto de partida para futuras investigaciones orientadas tanto a
disminuir cada día los resultados desfavorables en la aprobación del álgebra en el
nivel superior, fortaleciendo cada día la importancia de la misma para la
comprensión de otros conocimientos matemáticos, como a mejorar el rendimiento
académico las otras áreas del saber matemático.
En general, esta investigación es de suma importancia ya que representa una
novedad la implementación de una herramienta metodológica educativa para la
enseñanza del Álgebra en la mención Matemática, en la cual como materiales de
apoyo novedosos, sólo existen hasta ahora algunos textos elaborados por algunos
docentes de la cátedra de álgebra del departamento de Matemática y más aún,
tomará en cuenta la forma como los estudiantes perciben el conocimiento
(Sistemas de Representación), de manera tal que los estudiantes visuales contarán
con una interfaz que les permita acceder de manera sencilla a los contenidos, los
auditivos contarán además con la opción de activación y desactivación de sonidos
y los kinestésicos contarán con un material interactivo y de fácil navegabilidad.
Por otro lado, resulta de gran importancia en virtud de que actualmente y de
manera progresiva se está dando inicio a la modalidad de aprendizaje
semipresencial, lo cual indica que los docentes estarán en el deber de desarrollar
17
materiales computarizados para las diferentes asignaturas que conforman el
pensum de estudios, iniciativa que ya está siendo abordada por algunos docentes.
18
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. Álgebra
En este capítulo se estudian algunas definiciones, teoremas y los métodos
utilizados para el manejo y resolución de las ecuaciones y números complejos.
Debido a sus diversas aplicaciones en ciencias e ingeniería, la ecuación ha sido
históricamente la clase más estudiada de ecuaciones, según lo afirma Trench
(2002, p. 103).
A partir de la definición de números complejos y de la geometría, a los
estudiantes se le introduce al conocimiento de las superficies de Riemann
mediante la realización de ejercicios básicos. De ahí se continúa al estudio de las
nociones topológicas básicas, como los fundamentos de grupos, cubiertas,
revestimientos ramificados, sus monodromías, trenzas, entre otros.
Este trabajo investigativo se hará a través de cuatro capítulos que se establecen de
la siguiente manera: el primer capítulo se basa en la explicación de la teoría de
grupos y todos los fundamentos de esta basado en la teoría de Galois sobre este
tema, en el cual se van enumerando las definiciones básicas de esta, así como los
teoremas derivados de estos axiomas básicos.
El segundo capítulo se refiere al estudio del campo de los números complejos el
cual ahondara en las definiciones y teoremas propios de un campo planteado en la
antes mencionada teoría de Galois. El tercero se basará en la resolución de
ecuaciones de grados superiores y la aplicación de algunos teoremas como el
Teorema de Vietta para el tercer grado o el de Ferrari para el 4to grado.
El cuarto capítulo estará enfocado a la demostración del Teorema de Abel, basado
en todos lo anteriormente expuesto y se anexara un conjunto de ejercicios así
como su resolución sobre el tema, finalmente se expondrán conclusiones y
recomendaciones del presente trabajo investigativo (Kurosh, 1978).
19
El objetivo final es motivar el estudio y al aprendizaje del Algebra de las
Ecuaciones a través de un repositorio de ejercicios, para que los profesores puedan
tener una guía metodológica en la cual apoyarse en un curso de esta materia, y de
esta manera motivar a los estudiantes al estudio de esta parte de las matemáticas.
El tiempo aproximado de ejecución de este trabajo es de seis meses donde se
incluye el período de elaboración, revisión por parte del tribunal y defensa.
2.1.1. Antecedentes.
El álgebra es un área de la matemática que representa la generalización de la
cantidad a través de letras y símbolos especiales (Baldor, 2001). Es por ello que el
proceso de aprendizaje de esta asignatura resulta complejo, por cuanto a los
estudiantes les cuesta comprender que una letra represente la totalidad de los
elementos de un determinado conjunto.
Existen investigaciones en las cuales se han tratado de implementar estrategias o
modelos de enseñanza en razón del bajo desempeño de los alumnos en la
asignatura Álgebra. Tal es el caso de Hernández (2004) quien, en un trabajo de
grado para optar al título de magíster presentado ante el Centro de Investigación y
Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional en México, desarrolló una
estrategia fundamentada en un Modelo Concreto de Bloques para la enseñanza del
Álgebra en el cual estableció lo siguiente:
“Se comprobó con el estudio la necesidad de abandonar la búsqueda del
buen modelo puesto que no hay tal, debido a las tendencias cognitivas de
los estudiantes, por lo tanto, se recomienda el uso de diversos modelos
para lograr un mejor acercamiento a los contenidos del álgebra elemental”.
(p. v)
20
Como se puede observar este autor sugiere que la enseñanza del álgebra haciendo
uso de una sola estrategia no conlleva a resultados óptimos en el mencionado
proceso. Adicionalmente Hernández (2004) señala:
“En el estudio, el modelo de bloques algebraicos se utiliza como medio
para indagar la comprensión y las dificultades que enfrentan los alumnos
al momento de iniciarse en el conocimiento de los contenidos tratados,
finalmente se encontró que el modelo no es paradigmático”. (p. v).
Esto permite evidenciar que se han realizados estudios que permiten indagar
acerca de las dificultades que muestra el estudiante para acceder a los
conocimientos. En este sentido se ha empleado en muchos casos el uso de
materiales computarizados que permitan minimizar las debilidades de aprendizaje
que muestran los estudiantes en la matemática.
Tal es el caso de Lobo (2002), que, en su trabajo de grado presentado en la
Universidad de los Andes para optar al título de Magíster, titulado “Desarrollo de
un Tutorial Interactivo en Multimedia sobre la Resolución de Problemas de
Lógica-Matemática y Comprensión Lectora para los Estudiantes del "Curso
Introductorio" de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia”, estableció que:
“Se determinó que la aplicación del software instruccional incidió de
manera significativa en el rendimiento académico de los estudiantes del
curso introductorio aspirantes a ingresar como estudiantes regulares a la
Universidad Nacional Abierta. Dichos resultados sirvieron para tomar
decisiones que conllevaron a la búsqueda de la solución al problema de
rendimiento académico presentado en el curso respectivo, permitiendo la
orientación a futuras investigaciones en procura de mejorar el nivel
académico del estudiante en la institución”. (p. iv)
21
Lo dicho anteriormente demuestra que es posible desarrollar una metodología con
la cual se obtengan en un amplio margen, resultados satisfactorios en procura de
fortalecer la enseñanza de áreas como la matemática que resulta en general
complicada para los estudiantes. Esto se ha evidenciado en numerosos trabajos de
investigación, en los cuales se han implementado Software Educativos que han
arrojado óptimos resultados. Tal es el caso de López (2008), quien en su trabajo
presentado en la Universidad de Carabobo para optar al título de magíster titulado
“Aprendizaje del Cálculo de la Derivada mediante el uso de un Material
Instruccional Computarizado” llegó a la conclusión de que:
“La evaluación, corrección y aplicación del instrumento asegura su validez
como estrategia auxiliar de enseñanza de conocimientos para el
aprendizaje básico de la derivada. Y permite dar solución al problema del
aprendizaje a corto plazo, sin afectar los pensum de estudios. Con este
medio de aprendizaje utilizado en la investigación, el autor logró que los
estudiantes se incorporaran a las nuevas tecnologías. Al interactuar ellos
con el material instruccional computarizado de la Derivada, desarrollaron
las habilidades que estimulan en los atributos (percepción, atención,
memoria, motivación, aprendizaje, pensamiento, lenguaje, creatividad,
entre otros.) de ellos”. (p. 126)
Esta afirmación permite mostrar la importancia de la implementación de espacios
tecnológicos en el ámbito educativo en virtud de los óptimos resultados en este
caso particular de enseñanza de la Derivada. Es interesante resaltar que muchas
veces este tipo de materiales no sólo contribuye a mejorar el aprendizaje del área
para el cual han sido creados, sino que promueven el despertar en el estudiante de
ciertos conceptos que habían sido olvidados.
Al respecto, Moya y González (2006), en su trabajo titulado Propuesta de
Desarrollo de Material Hipermedia para la enseñanza de la Matemática, indican:
22
“…la navegación de los estudiantes en el material produjo además
conceptualizaciones matemáticas que estaban “olvidadas”, y
especialmente transversalidades históricas y de otras ciencias que los
ayudaron a proponer Proyectos Tecnológicos con una visión real: “la
matemática está en todas partes”. De este modo este último objetivo fue
satisfactoriamente cumplido”. (p. 7)
Resulta interesante comprobar que este hecho de igual forma constituye un punto
de partida para la puesta en marcha de nuevos proyectos tecnológicos sustentados
en la estrecha relación de la matemática con nuestro entorno.
En este mismo orden de ideas Morales y Vera (2007) en su trabajo titulado
“Eficiencia de un software educativo para dinamizar la enseñanza del cálculo
integral” redundan en la eficacia de la tecnología para la enseñanza de la
matemática afirmando:
“La implementación práctica del SE diseñado fue calificada dentro de la
categoría de Aceptable ya que el rendimiento académico de los alumnos se
elevó significativamente y el juicio de valor de los expertos consultados
indica que están de acuerdo con que él se utilizado, en la experiencia
didáctica llevada a cabo en el aula, posee un conjunto de atributos que
permitieron un uso eficiente del mismo. Esto permite afirmar que se logró
implementar de manera adecuada el recurso empleado, posibilitando la
difusión de cultura matemática mediante las TIC, en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de la Matemática… (p. 210)
Es evidente que la implementación de este recurso multimedia logró tener
aceptación entre los estudiantes al representar para ellos un apoyo que permitió
elevar su nivel académico en la asignatura, al tiempo que gozó de aceptación por
parte del grupo de expertos consultados. Sin embargo, el interés primordial se
encuentra en determinar la efectividad del uso de software educativo para la
23
enseñanza del álgebra. Esta inquietud fue abordada por Montero y otros (2002) en
un trabajo realizado en la Universidad de Ramón Llull de España, titulado
“ALGTEC: Un complemento a la enseñanza del álgebra lineal en la carrera de
ingeniería de telecomunicaciones”, en el cual se asevera que:
“ALGTEC ofrece una imagen más atractiva de la asignatura álgebra lineal,
y consigue que los alumnos aumenten su motivación al asociar dicha
asignatura con cuestiones técnicas… el aumento del interés hacia la
asignatura por parte del alumno gracias a ALGTEC se verá traducido en
una mejora de los resultados académicos obtenidos. A pesar de que la
experiencia con los alumnos aún es corta, la buena aceptación de la
aplicación observada por parte de éstos permite ser optimistas y prever que
en cursos venideros ALGTEC será una herramienta muy utilizada entre los
alumnos de ingeniería de nuestra universidad”. (p. 6)
Es evidente que el referido grupo investigador confía en el éxito académico de los
estudiantes ante la implementación de este recurso tecnológico para la enseñanza
de los contenidos de la asignatura álgebra lineal. Por otro lado, Cariello (2004) en
su trabajo presentado en la Universidad de Carabobo para optar al título de
magíster, titulado “ENAL: Sistema Computarizado para asistir en la enseñanza
del Álgebra Lineal” indica: Que un alto porcentaje de los sujetos encuestados
considera pertinente un cambio en las estrategias de enseñanza-aprendizaje en la
asignatura de álgebra lineal, considerando estimulante la inclusión de Sistemas
Computarizados como parte de esos cambios.
El uso de un Sistema Computarizado permitiría un mayor afianzamiento de los
conocimientos en el aprendizaje, así como también, la incorporación de ejercicios
propuestos por los estudiantes y la solución de ejercicios mediante la utilización
del sistema, estimularía a que el proceso se realice de una forma más efectiva (p.
57).
24
Lo indicado anteriormente permite ser optimista ante la aceptación del
estudiantado de ambientes tecnológicos para el aprendizaje del álgebra, por cuanto
éstos han confirmado la pertinencia de esta herramienta como apoyo a la labor
docente, en beneficio de su rendimiento académico.
2.1.2. Teoría de resolución de ecuaciones.
La definición moderna de grupo se suele dar como: Un grupo G es un conjunto,
con una ley de composición interna, de 𝐺 × 𝐺 𝑒𝑛 𝐺, que asigna a cada par
ordenado de elementos x, y de G, un único tercer elemento en G (usualmente
llamado el producto de x e y) denotado por xy, tal que se verifiquen las tres
propiedades siguientes:
Asociativa: ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑛 𝐺, 𝑥(𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧.
Existencia de neutro: ∃𝑒 𝑒𝑛 𝐺 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥 = 𝑥 = 𝑥𝑒 ∀ 𝑥 𝑒𝑛 𝐺.
Existencia de simétricos: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝐺, ∃ 𝑦 𝑒𝑛 𝐺 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥𝑦 = 𝑒 =
𝑦𝑥.
Observaremos que la definición anterior es redundante (o sea, que sobran algunas
afirmaciones) y que tampoco es la más corta ya que se puede dar con solo dos
axiomas. Sin embargo, si son suficientes para definir formalmente y con precisión
lo que entendemos actualmente por un grupo. Es importante darse cuenta que esta
definición procede del siglo XX y que no se convirtió en standard hasta bien
entrado ese siglo. En realidad, durante el siglo anterior, el XIX, la definición de un
grupo abstracto era algo colateral y oculto en la teoría de los pocos grupos
concretos que se estudiaban y se utilizaban (Arnold, 2004).
Es importante denotar, que existieron dos significados del término "grupo
abstracto" durante la primera mitad del siglo XX. Un significado era el definido o
descrito por los axiomas anteriores (que son cuatro, incluyendo a la operación
binaria) y otro el de un grupo definido por generadores y relaciones (que en
25
realidad es una especialización de la primera definición). Por ejemplo, Todd usaba
el segundo sentido cuando decía que los grupos de Mathieu eran grupos abstractos
(Kurosh, 1978).
La emergencia del concepto de grupo, disociado de grupos concretos, fue un
proceso notablemente lento. Lagrange que estudió las permutaciones en 1770,
nunca consideró su producto. Ruffini en 1799, sí consideró su producto y estudió
ciertas propiedades de los grupos de permutaciones (los llamaba permutazione),
pero solo consideró necesario resaltar la propiedad de clausura de la composición
(la operación binaria), manejando la propiedad asociativa de forma implícita (al
ser una composición de aplicaciones) y sin destacar la existencia, ni de la
identidad, ni de los inversos (Godement, 1987).
La primera versión de Galois sobre Teoría de Resolución de Ecuaciones, que
implícitamente utiliza propiedades profundas de los grupos de permutaciones.
Una de esas notas decía: "Si en uno de estos grupos, uno tiene las sustituciones S
y T entonces uno tiene la sustitución ST" (Aznar, 2007).
Sin embargo, en sus manuscritos no aparece por ningún lado una definición de lo
que es un grupo o de las propiedades que debe tener. Podemos entender hoy día
porqué su trabajo era tan difícil de entender para sus contemporáneos y en
particular para Poisson, miembro de la academia. Su memoria contenía muchos
cálculos explícitos en un grupo, concepto que no aparecía definido por ninguna
parte. Aunque, Galois con una intuición prodigiosa usaba extensamente la
aritmética de los grupos de permutaciones (Kurosh, 1978).
En 1845, un año antes de publicar definitivamente Liouville la memoria perdida
de Galois, Cauchy dio una definición: consideraba sustituciones en n símbolos x,
y, z, ... y definía sustituciones derivadas como todas aquellas que se pueden
obtener como producto de las dadas, en cualquier orden. Al conjunto obtenido
(hoy día diríamos al subgrupo engendrado) lo llamó "un sistema conjugado de
26
sustituciones". Durante un tiempo los dos términos, "grupo" y "sistema conjugado
de sustituciones", fueron sinónimos según el departamento de algebra de la
Universidad de Granada (Aznar, 2007).
Así, la escuela francesa, representada por Galois, Cauchy y Jordan define grupo
en base a la propiedad de clausura (la primera de las cuatro actuales), suficiente
para trabajar con subgrupos de permutaciones finitos. No aparecen la
asociatividad, existencia del neutro, ni de los inversos, que se tienen garantizados
por el contexto. A pesar de esta limitación, Cauchy llegó a escribir sobre este
tópico, un total de 25 artículos en tan solo unos pocos meses (Redheffer, 1975).
2.1.3. La Teoría Sociocultural de Vigotsky y el aprendizaje del
Álgebra.
Las actividades algebraicas se relacionan directamente con los procesos
psicológicos avanzados, ya que el álgebra, como generalización de la aritmética,
requiere la movilización a un plano superior de abstracción, donde los símbolos
algebraicos encuentran su referente en los números, que son símbolos de
anteriores símbolos, son abstracciones y generalizaciones de anteriores
abstracciones y generalizaciones.
Además, la transición de los objetos en la vida cotidiana a los números, y de los
números hacia los símbolos del álgebra posibilita que el control o la regulación
del pensamiento se libere del contexto para trasmutar al plano de las relaciones
entre los conceptos, y el sujeto es capaz de utilizar el significado de los símbolos
de manera voluntaria y consciente. Esto es designado por Vigostky como la
sistematicidad de los conceptos científicos (Papini, 2003).
La relación entre el álgebra y la aritmética es de continuidad y ruptura a la vez, ya
que convergen (las generalizaciones algebraicas se fundamentan sobre las
generalizaciones numéricas provenientes de un sistema anterior) y divergen (se
27
requiere de una ruptura de pensamiento y hábitos para pasar de situaciones
numéricas a algebraicas) simultáneamente.
Papini (2003) plantea que:
“…los objetos del álgebra podrán evolucionar hacia considerarlos modelos
matemáticos si existen (como en el lenguaje natural) variadas situaciones
de interacción social (escolar) en las que un docente mediador genera
interacciones con sus alumnos a través de actividades que pongan en
evidencia justamente este aspecto modelizador de los símbolos
algebraicos”. (p.69)
El rol del docente estará dirigido a fomentar el desarrollo de los alumnos a través
de las tareas, de los significados y de los procesos que promueve en clase,
generando situaciones de reflexión y explicitación, considerando los aspectos
siguientes:
El tipo de tarea, que se proponga la apropiación de las herramientas del álgebra
debería posibilitar las instancias de contextualización y descontextualización, las
actividades deben permitir visualizar un objetivo, que ofrezcan elementos que
permitan una adecuada interpretación.
La necesidad de la mediación del docente, pues el aprendizaje de las herramientas
del álgebra exige de situaciones específicas que involucren la intervención de otro
sujeto que las ofrezca como tales, pues la validez de las relaciones matemáticas no
resulta del todo explicativo para la producción de escrituras, además, las nociones
matemáticas son el producto cultural a lo largo de siglos de contextos culturales
variados, muy diferente a los alumnos actuales, situación que no puede
reproducirse con la interacción en la clase de matemática con un tipo de problema.
La validación de las escrituras en la interacción social, la validación de las
escrituras no se realiza a través de axiomatización de teoremas, pues la función
28
comunicativa del lenguaje, en particular del algebraico, ofrece al alumno la
posibilidad de tomar las herramientas como objeto de discusión y entender, desde
ese marco, el sentido de lo convencional.
La función intelectual de las herramientas semióticas, la apropiación de las
herramientas del álgebra genera una reestructuración del pensamiento aritmético
anterior, recíprocamente, los instrumentos de pensamientos aritméticos anteriores
que posee el sujeto condicionan la apropiación de las herramientas algebraicas.
Las primeras instancias en el aprendizaje del álgebra, el proceso de apropiación
del signo existe una etapa de aprehensión de la estructura externa del signo, las
cuales implican concebirlos provisoriamente como una propiedad de los objetos
en lugar de un símbolo de dichos objetos.
2.1.4. Lenguaje Algebraico.
Cuando queremos enseñar matemática, algo que es esencial es utilizar
correctamente el lenguaje matemático el cual tiene símbolos y signos los cuales
van a tener significados específicos según su colocación dentro de una ecuación.
Esta es una de las razones por la cual el alumno y el docente tienen que llegar a
convenios los cuales van a ser orientados en la parte didáctica por el especialista,
es decir, realizar convencimientos en el modo y forma de traducir un
planteamiento.
Ejemplo:
- En caso de que el planteamiento trata de un número cualquiera, los educandos al
observar que no sabemos cuál es el número lo sustituye en la ecuación con una
letra del abecedario a, b, c, x, y, z.
- De igual forma, de hacerse referencia a un número entero n par o impar buscar la
forma general de representarlos matemáticamente. m = 2 × n + 1
29
- Teniendo referencia a la mitad o tercera parte de un número y así sucesivamente.
Mitad de un número 2 x/ . Tercera parte 2 x 3. Cuarta parte 2 x 4.
El problema más importante que se encuentra para la resolución de ecuaciones es
el de traducir un enunciado que está en lenguaje coloquial, a una expresión
simbólica o matemática.
Algunas expresiones con números enteros o reales son:
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
Un número cualquiera x
El doble de un número 2x
El triple de un número 3x
La mitad de un número x
2
La tercera parte de un
Número
x
3
Dos números
Consecutivos
x, x + 1
Un número impar 2x + 1
Dos impares
Consecutivos
2x + 1, 2x + 3
En este punto también se puede utilizar el juego de la igualdad fija para formar
expresiones.
Ejemplo
Formar la expresión:
“El doble de un número aumentando en 3 es igual a menos nueve”
30
2𝑥 + 3 = −9
Se le pide a uno de los equipos que lo haga
Ejemplo
“Un número menos 6 da 13”
𝑥 − 6 = 13
Se escoge a uno de los alumnos para que argumente el motivo queda esa ecuación
Ejemplo
La ecuación es:
3𝑥 = 9
El docente forma la ecuación y pide a los equipos que la resuelvan y que la
expliquen para los equipos restantes
Trasponiendo
𝑥 =9
3, 𝑥 = 3
El valor de la incógnita es igual a 3
Ejemplo
“Si al doble de un número añadimos 8, tenemos otro número que es 30”
2𝑥 + 8 = −30
31
Etapa de Consolidación:
En el siguiente ejemplo se aplican los pasos para resolver problemas con
ecuaciones que es la finalidad de la estrategia y los alumnos han de desarrollar
situaciones como las siguientes:
Situación Planteada:
En un corral hay 120 animales entre pavos y pollos. Si la cantidad de pollos es el
triple de la cantidad de pavos, ¿Cuántos pavos hay en el corral?
Pedirles a los diferentes equipos que realicen los diferentes pasos:
Leer e interpretar el problema:
Se debe determinar la cantidad de pavos a partir del total de 120 animales que hay
en el corral, considerando la relación existente entre la cantidad de pollos y de
pavos.
Definir las variables o incógnitas:
X = número de pavos.
3X = número de pollos
Plantear una ecuación que represente la situación descrita inicialmente (traducir)
la ecuación es la siguiente:
3X + X = 120
Debido a que la suma del triple de los pollos más los pavos es 120
32
Resolver la ecuación de acuerdo con el método de solución de ecuaciones
descritos anteriormente
3X + X = 120
Se agrupan los términos semejantes 3X + X = 4X
4X = 120
X = 120/4
X = 30
Como el valor encontrado fue el de la variable X es el único que se va a sustituir
en la ecuación.
Verificar el resultado obtenido
Se sustituye el valor obtenido para la variable X en la ecuación planteada y se
tiene:
3X + X = 120
3(30) + 30 = 120
90 + 30 = 120
120 = 120
Como la igualdad se cumple, el valor X es el correcto
Responder la pregunta del problema.
33
El resultado X = 30 significa que, de los 120 animales, 30 son pavos.
Ejemplo
El doble de un número menos 4 es igual a 6.
Se le pide a uno de los equipos que interprete y resuelva.
Una vez interpretado el enunciado del problema se definen las variables y se
plantea una ecuación que permite obtener el número:
Solución
X es el número desconocido.
2X es el doble del número desconocido.
Se plantea la ecuación: 2X - 4 = 6
Se resuelve la ecuación: 2X = 6 + 4
X = 10/2
X = 5
Se verifica el resultado sustituyendo la variable X por su valor encontrado:
X = 5
2X - 4 = 6
(2 .5) – 4 = 6
10 – 4 = 6
34
6 = 6
Conclusión
Por lo tanto, el resultado es correcto X = 5 es el número buscado.
Ejemplo
La hermana de Petra tiene un vivero con plantas frutales muy variadas.
¿Cuántas variedades de mangos tiene si sabe que el doble de ellos disminuido en
cuatro es igual a treinta?
Situación planteada
El problema.
Interpretación:
Determinar la variedad de mangos existentes en el vivero.
Definir las variables:
X = número de mangos.
2X = doble de ellas.
Plantear la ecuación que represente la situación descrita inicialmente Es:
2X - 4 = 30
Resolver la ecuación:
2X - 4 = 30
35
2X = 30 + 4
X = 34/2
X = 17
Verificar el resultado:
2(17) - 4 = 30
34 - 4 = 30
30 = 30
Responder la pregunta del problema:
X = 30 significa el número de variedades de mangos que tiene la hermana de
Petra.
Con los grupos se busca que entre ellos se dé los siguientes pasos y sean ellos los
que propongan el mejor camino de plantear la situación.
36
Tabla 1.
Situación
2.2. Teoría de grupos
2.2.1. Introducción.
En la actualidad la teoría de grupos es un área de las matemáticas que tiene mayor
aplicación ya que van desde las ciencias exactas hasta la música. En el caso de las
ciencias exactas las aplicaciones incluyen áreas como la geometría algebraica, la
topología algebraica y la teoría de números, en el área de la física y química
estudio de las simetrías de las estructuras moleculares (Arnold, 2004).
Evariste Galois fue un matemático francés que mediante su descubrimiento logra
fusionar la geometría y el álgebra con la Teoría de Galois la misma que se
caracteriza por vincular la teoría de cuerpos con la teoría de grupos.
La teoría de Galois se origina al querer dar respuesta a la ausencia de una fórmula
que resuelva ecuaciones de polinomios de grado 5 o mayor mediante la extracción
de raíces con la ayuda del uso de operaciones algebraicas puesto que esta solución
Situación planteada
Definir las Variables
Plantear una ecuacion
Elaborar la respuesta
Interpretación
Resolver la ecuación
Verificar el resultado
Comunicar la respuesta
37
solo se daba en ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado es entonces que
Galois demuestra de manera casi simultánea a otro matemático de la época , es el
autor Niels Henrik Abel quien determino que la forma de dar solución a
ecuaciones de grado cinco es utilizando la adición y sustracción, la
multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes
en otras palabras por medio de radicales (Perez, 2010).
Es entonces que se concluye que las ecuaciones de grado 5 pueden resolverse solo
mediante cálculo numérico, pero existen casos en los cuales las ecuaciones se
pueden resolver mediante radicales (Perez, 2010).
De esta manera, es que se manifiesta el Teorema de Galois en la forma: “Si en una
ecuación polinómica la potencia mayor corresponde a un número primo y si
también se tiene el conocimiento de dos valores de la x, los demás pueden ser
obtenidos a partir de ellos por medio del uso de la adición, la sustracción, la
multiplicación y la división, por lo cual la ecuación puede resolverse por medio de
radicales” (Perez, 2010)
La teoría de grupos tiene su origen en el trabajo de Evariste Galois que trata sobre
la solubilidad en radicales de la ecuación 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 − 𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑥 +
𝑎0 = 0 pero ya antes de este trabajo existían otros autores como Cauchay que ya
hablan de grupos y es por esto que el término grupo es usado por Galois en el
desarrollo de su trabajo.
La influencia de la teoría de grupos es la más poderosa en la matemática esto se
debe a que las matemáticas se aplican en casi todas las disciplinas tanto científicas
como artísticas es decir las matemáticas viene a formar un lenguaje universal.
La teoría de grupos, por ejemplo, parte de conceptos tales como que, si un
conjunto M es un conjunto arbitrario de elementos de naturales, y si cada par de
38
elementos ordenados de M se pone en correspondencia con un elemento de M,
entonces decimos que en M se ha definido una operación binaria.
Tomando como ejemplo la suma en el conjunto de números naturales y la resta en
el conjunto de números enteros son operaciones binarias. La resta no es una
operación binaria en el conjunto de números naturales porque, por ejemplo, no se
puede poner el par (3, 5) en correspondencia con ningún número natural
(Marshall, 1975).
Consideremos las siguientes operaciones:
a) adición;
b) resta;
c) multiplicación; en los siguientes conjuntos:
1) de todos los números naturales pares;
2) de todos los números naturales impares;
3) de todos los números enteros negativos.
¿En qué casos se obtiene una operación binaria?
2.2.2. Grupos de Transformaciones.
En los grupos de transformación se considera a X e Y como conjuntos de
naturaleza arbitraria y al suponer que cada elemento de X tiene correspondencia
con un elemento y definido en Y es que se dice que existe un mapeo del
conjunto X en el conjunto Y: 𝜙: 𝑋 → 𝑌, donde 𝑦 se denomina imagen del
39
elemento x y x la pre-imagen del elemento y. Se escribe: 𝜙(𝑥) = 𝑦 (Arnold,
2004).
Por definición el mapeo es sobreyectivo si para cada elemento de Y
existe un elemento de X, es decir, que cada elemento de Y tiene una pre imagen
previa x en X, tal que es decir que cada elemento de Y tiene una
imagen previa en X. (Arnold, 2004)
Como un ejemplo de aplicación podemos aplicar este mapeo para ubicar una
ciudad con determinada inicial y el resultado será que ubicará a cada ciudad del
mundo con la letra seleccionada haciendo la búsqueda basada en las letras del
alfabeto (Marshall, 1975).
En cambio el mapeo funciona en la asignación uno a uno o conocida
como biyectiva del conjunto X en el conjunto Y si para cada y en Y existe una pre
imagen en X y esta es única (Arnold, 2004).
Considerando las aplicaciones del conjunto de los números enteros en el conjunto
de los enteros no negativos, tenemos los ejemplos:
Sea M un conjunto arbitrario al que para abreviar llamaremos un mapeo biyectivo
de M en sí mismo, es decir, una transformación del conjunto M (𝑀𝜙→ 𝑀).
Comencemos con algunos conceptos sencillos: dos transformaciones 𝑔1 y 𝑔2 se
consideran iguales si 𝑔1(A) = 𝑔2(A) para cada elemento A de M. Se utilizará el
término permutación en lugar de transformación ya que es utilizado cuando la
transformación es definida en un conjunto finito y queda definida de la siguiente
manera (Arnold, 2004).
40
Donde la primera fila contiene los elementos del conjunto dado y la segunda fila
indica las imágenes que corresponden a una permutación, dado que la
transformación se realiza uno a uno y para cada trasformación existe su inversa
que viene determinada de la siguiente manera (Arnold, 2004): si 𝑔(𝐴) = 𝐵
entonces 𝑔−1(B)= A
De esta manera como ejemplo se tiene que si entonces su inversa
tomaría la siguiente forma 𝑎−1= (𝐴𝐵𝐶𝐶𝐴𝐵
), es decir que 𝑎−1=b.
Si se considera la transformación de todos los números reales dados por
Se pide encontrar la transformación inversa.
Supongamos ahora que un conjunto G de transformaciones posee las siguientes
propiedades:
- Si dos transformaciones 𝑔1 y 𝑔2 corresponden a G entonces su producto 𝑔1 𝑔2
también pertenece a G.
- Si una transformación 𝑔 pertenece a G entonces su transformación 𝑔−1 también
pertenece a G, en este caso al conjunto de transformaciones se le denomina
“grupo de transformaciones” (Arnold, 2004).
2.2.2.1. Grupos.
Un grupo se define como la pareja (𝐺, 𝑜), donde G es un conjunto no vacío y 𝑜
una aplicación 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 que es una operación binaria denotada por
𝑜(𝑥 , 𝑦): = 𝑥𝑜𝑦, que satisface:
La operación 𝑜 es asociativa de tal manera que, 𝑥𝑜(𝑦𝑜𝑧) = (𝑥𝑜𝑦)𝑜𝑧 para todos x,
y, z ∈ G.
41
Existe un 𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑒𝑜𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ 𝐺 (neutro por la izquierda)
Dado que 𝑥 ∈ 𝐺, existe un 𝑥 ∈ 𝐺 tal que 𝑥 𝑜 𝑥 = 𝑒 (inverso por la izquierda).
En esta definición no es necesario que 𝑒 y 𝑥 sean únicos, pero esto se lo
comprobará más adelante. Mientras la operación “o” se denota por 𝑥 𝑜 𝑦 = 𝑥𝑦,
en el caso de tratarse de una multiplicación o en el caso de ser una adición se
denotará de la siguiente manera 𝑥𝑜𝑦 = 𝑥 + 𝑦. La notación aditiva se utiliza
cuando x o y = y o x, para todos los x, y ∈ G y se entiende que para este caso el
grupo G es abeliano (Barrera, 2003).
Para muchos propósitos es natural considerar los grupos de transformaciones
como una coincidencia es por ello que consideraremos como elementos abstractos
en lugar de conjunto de elementos reales ya que se trata de transformaciones,
también se considera aquellas operaciones binarias en conjuntos arbitrarios que
tienen propiedades básicas de las operaciones binarias en un grupo de
transformaciones de esta menara cualquier operación binaria se llamara una
multiplicación si le corresponde a la pareja (a, b) un elemento c al que se llamará
producto de a y b y escribimos ab=c y en algunos casos toma nombres
diferentes como composición, adición, entre otros (Arnold, 2004).
Ejemplos
1. (Z, +) es un grupo con la adición tradicional de los enteros.
2. El conjunto de matrices invertibles 𝑛 × 𝑛 con entradas en R y operación,
el producto tradicional de estas matrices forma un grupo denotado por
GL(n, R).
3. Siendo X un conjunto no vacío y 𝑆𝑋 =𝑓:𝑋𝑓→𝑋 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎, 𝑆𝑋 es
un grupo con la operación composición de funciones, denominado grupo
de permutaciones en X. A los elementos de 𝑆𝑋 se les llama permutación.
42
Nuevamente, un grupo es un conjunto de elementos de naturaleza arbitraria en el
que se define una operación binaria de tal modo que se cumplan las siguientes
condiciones:
1. Asociatividad para cualquier elemento 𝑎, 𝑏 y 𝑐 para G
2. En G hay un elemento de e tal que a e =e a= a para cada elemento de G dicho
elemento se llama unidad (o elemento neutral) del grupo G.
3. Par cada elemento a de G hay en G un elemento tal que
dicho elemento se denomina elemento inverso a.
De esta manera el número de elementos de un grupo finito se denomina orden del
grupo y los grupos que contienen un número infinito de elementos se denominan
grupos infinitos. Para mayor comprensión se muestran algunos ejemplos de
grupos finitos (Arnold, 2004).
Complemento y ejercicios.
Considerando el conjunto de todos los números enteros y que de este conjunto
tomaremos como operación binaria la adición habitual para obtener un grupo en el
cual el papel unitario viene dado desde 0, porque para cada
entero. Asimismo, para cada elemento existe un inverso que dado el caso se llama
elemento opuesto Esta asociatividad se desprende de
las reglas de la aritmética del que se desprende un grupo de enteros denominado
enteros bajo adición.
Este grupo considera los siguientes conjuntos:
a) Todos los números reales
b) Todos los números reales sin el cero
43
Cabe mencionar que es necesario definir si los conjuntos 1 y 2 se someten a las
siguientes condiciones:
1. Si todos los numero positivos reales forman un grupo bajo la
multiplicación
2. Si todos los números naturales forman un grupo
a) debajo de la suma
b) bajo la multiplicación
3. Probar que en cada grupo existe un elemento de unidad único
4. Probar que para cada elemento de un grupo existe un único elemento
inverso
5. Demostrar que
a)
b)
Si a y b son elementos de un grupo por la definicion de operación binaria la
expresion a.b proporciona algun elemento definido del grupo y de las expresiones
dan algunos elementos del grupo.
De los dos elementos obtenidos cualquiera se puede multiplicar nuevamente ,
obteniendo nuevamente un elemento de grupo y asi sucesivamente. Por lo tanto
para configurar de forma unica en cada paso la operación que se realizara en el
siguiente paso se colocara entre parentesis las dos expresiones que deben ser
44
multiplicadas ya que no podemos encerra entre corchetes las expresiones que
contienen una letra (Arnold, 2004).
Suponiendo que una operación binaria 𝑎. 𝑏 posee la propiedad de asosciatividad
es decir que es aplicable para cualquier elemento a,b,c.
Pruebe que toda expresión bien organizada en la que los elementos de izquierda
𝑎1, 𝑎2,……. 𝑎𝑛, a derecha dan el mismo elemento que la multiplicación.
De esta manera si los elementos 𝑎1, 𝑎2,……. 𝑎𝑛,son elementos de un grupo todas
las expresiones bien organizadas que contienen elementos 𝑎1, 𝑎2,……. 𝑎𝑛,en este
orden y que se ditinguen solo por la disposicion de los corchetes dan los mismo.
Elemento que indicaremos mediante eliminando los
corchetes.
La multiplicación de los números reales posee otra propiedad importante: el
producto no cambia si los factores se permutan
arbitrariamente .Sin embargo no todos los grupos poseen esta propiedad (Arnold,
2004).
Como definición dos elementos a y b de un grupo se conmutan si ab=ba. Si se
conmutan en dos elementos de un grupo se dice que el grupo es abeliano o
conmutativo (Arnold, 2004).
2.2.3. Teoremas sobre los grupos.
Teorema: Sea (G, o) un grupo y g ∈ G, entonces gg= g implica g=e
De esta manera si existe un elemento g∈ G tal que gg= e, lo que implica que
g(gg) = gg=e. Y por otro lado, g(gg)= (gg) g=eg=g
45
Teorema: Sea G un grupo, entonces:
Existe un elemento de e ∈ G tal que 𝑒𝑔 = 𝑔 para todo g ∈ G. Además 𝑔 =
𝑔𝑒 = 𝑔 para todo g ∈ G.
Para todo g ∈ G, existe un único g ∈ G, existe un único g ∈ G tal que gg= e.
Además, 𝑔𝑔 = 𝑔 𝑔 = 𝑒.
Ejemplo
Figura 1. Triángulo equilátero
Sean A, B y C los vértices de un triángulo equilátero (Figura 1). Rotamos el
triángulo en un ángulo de 120 ° alrededor de su centro O en la dirección mostrada
por la flecha. Luego, el vértice A pasa sobre el vértice B, B sobre C y C sobre A.
De esta manera, el triángulo final coincide con el triángulo inicial (si descuidamos
las etiquetas de los vértices).
Decimos que la rotación de 120 ° alrededor del punto O es una transformación
que envía el triángulo a sí mismo. Denotamos esta transformación por Nosotros a
puede escribirlo en la formula 𝑎 = (𝐴𝐵𝐶𝐵𝐶𝐴
) la primera fila contiene todos los
vértices del triángulo, y la segunda fila indica dónde se envía cada vértice. Una
rotación de 240 ° en la misma dirección alrededor del punto O también es una
transformación que envía el triángulo a sí mismo. Denota esta transformación por
Todavía existe una transformación que envía el triángulo a sí
46
mismo, y que es diferente en a y b, esta rotación es de 0 °. Lo denotamos por e: y
queda determinado así 𝑒 = (𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶
). Es fácil ver que solo hay tres rotaciones
diferentes del plano 2 que se transforman en un triángulo equilátero ABC en sí
mismo, a saber, e, a y b.
Sean 𝑔1 y 𝑔2 dos transformaciones arbitrarias del triángulo. Luego denotamos por
𝑔1 . 𝑔2 (o simplemente 𝑔1 𝑔2 ) la transformación 𝑔3 obtenida realizando primero
la transformación y luego 𝑔2 y una segunda la transformación 𝑔1 ; 𝑔3, se llama el
producto o composición de las transformaciones 𝑔2 y .
Es posible hacer la tabla de multiplicar (Tabla 1) donde cada fila, así como cada
columna, corresponde a alguna rotación que transforma el triángulo ABC en sí
mismo. Ponemos la transformación correspondiente a 𝑔1 . 𝑔2 en la intersección de
la fila correspondiente a la transformación 𝑔2 . Entonces, por ejemplo, en la celda
seleccionada de la Tabla 1 tenemos que colocar la transformación que se
obtiene girando primero el triángulo 240 ° y luego 120 ° más.
Por lo tanto es una rotación de 360 °, es decir, coincide con e. Nosotros
obtenemos el mismo resultado por el siguiente razonamiento: la transformación b
envía el vértice A al vértice C, a y luego envía C hacia A. De esta manera, la
transformación envía A hacia A. Exactamente de la misma manera obtenemos que
B es enviado en B, y C en C. Por lo tanto es decir,
Tabla 2.
Tabla de multiplicar (rotación del triángulo equilátero)
47
Fuente: (Arnold, 2004)
Cualquier transformación de alguna figura geométrica en sí misma que mantenga
las distancias entre todos sus puntos se llama simetría de la figura dada. Así que
las rotaciones del triángulo equilátero, consideradas en el Ejemplo 1, son simetrías
de él.
Ejemplo
Además de las rotaciones, el triángulo equilátero todavía posee 3 simetrías, a
saber, las reflexiones con respecto a los ejes 𝑙1 , 𝑙2 y 𝑙3 (Figura 2). Denotamos
estas transformaciones por c, d y f para que 𝑐 = (𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶𝐵
), 𝑑 = (𝐴𝐵𝐶𝐶𝐵𝐴
), 𝑓 = (𝐴𝐵𝐶𝐵𝐶𝐴
)
Aquí es posible imaginar la composición de dos transformaciones de dos maneras
diferentes. Consideraremos la composición c . d
Figura 2 Rotación del triangulo
Podemos imaginar que el eje es enviado por la transformación d a una nueva
posición (es decir, en la posición original del eje y después de esto,
consideramos la transformación c como la reflexión con respecto a la nueva
posición del eje (es decir, con respecto a el eje original (Arnold, 2004)
48
Por otro lado, también es posible considerar que los ejes no están rígidamente
fijados a la figura, y que no se mueven con ella; Por lo tanto, en el ejemplo que
examinamos, después de la transformación d, la transformación c se realiza como
reflexión con respecto al eje original .Consideraremos las composiciones de dos
transformaciones exactamente de esta manera. Con esta elección, el razonamiento
sobre los vértices de la figura, de manera análoga a los argumentos presentados
inmediatamente antes del Problema 2, es correcto. Es conveniente utilizar dichos
argumentos para calcular la tabla de multiplicar.
Escribe la tabla de multiplicar para todas las simetrías del triángulo equilátero.
Ejemplo
Digamos e, a, b y c denotamos las rotaciones de un cuadrado en 0 °, 180 °, 90 ° y
270 ° en la dirección mostrada por la flecha (Figura 3).
Figura 3. Rotación de un cuadrado
49
Figura 4. Rotación de un cuadrado (d,f,g,h)
Ejemplo
Sea G un grupo de orden impar demostrar que cada x ∈G existe y ∈ G tal que
𝑦2=x
Sea |G|= 2n-1, n ∈N entonces para todo x ∈G se tiene x2n−1= e, es decir, x2n = x.
por consiguiente basta tomar 𝑦 = 𝑥𝑛
2.2.4. Isomorfismos.
El termino isomorfismo significa de “igual forma” con esto se busca destacar la
idea que existen similitudes y correspondencias formales entre varios tipos de
sistemas. Entonces los isomorfismos buscan la construcción de modelos que se
asemejen al original, al descubrir un isomorfismo entre dos estructuras muestra
que cada una puede reducirse a la de la otra con lo que se evidencia dos puntos de
vista desiguales en cada cuestión y suele ser fundamental en su comprensión
adecuada (Arnold, 2004).
Dos estructuras matemáticas que tiene relación de isomorfismo se denominan
isomorfas, en el álgebra abstracta el isomorfismo es una biyectiva f tal que f y su
inverso sean homorfismos, esto significa que la estructura de dos sistemas tiene
una parte en general (Pérez, 2010).
50
Definición de Isomorfismo de espacios vectoriales:
Sea V y W espacios vectoriales sobre un espacio de un campo F y una aplicación
T: V W se llama isomorfismo de V sobre W si es biyectiva y lineal que
significa que
T(x V + y) = T(x) W + T(y) ∀ x, y ∈ V
T (α V · x) = α W · T(x) ∀x ∈ V ∀α ∈ F
Ejemplo. La aplicación T: M2, 3(R) → R 6, definida por la regla
Es un isomorfismo sea V, W espacios vectoriales de un campo F, T: V W un
isomorfismo. De donde la aplicación inversa queda de la siguiente manera
𝑇−1:𝑊 V también lineal por lo cual es un isomorfismo.
2.2.5. Definición de espacios vectoriales isomorfos
Sea V y W espacios sobre un mismo campo vectorial F, se dice que V y W son
isomorfos y se escribe V ∼ W si existe un isomorfismo de V sobre W
Teorema: Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F, sea 𝑇 = 𝑉 → 𝑊 un
isomorfismo y sea A = (𝑎1, … . . 𝑎𝑛) una base de V, entonces B=(
T(𝑎1),……T(𝑎𝑛)) es una base de W y consecuentemente dim(W)= dim(V).
Aplicamos la linealidad de T en el lado izquierdo de la igualdad:
51
Xn∑ λjT(aj ) = 𝑛𝑗=1 0𝑊
𝑇(∑ λ𝑗a𝑗𝑛𝑗=1 )= 0𝑊.
La última indica que:
𝑇(∑λ𝑗a𝑗
𝑛
𝑗=1
) ∈ ker(T)
Al ser una transformación biyectiva, ker (T)= 0 y
∑λ𝑗a𝑗
𝑛
𝑗=1
= 0𝑉
Con lo cual se aplica la independencia de 𝑎1,…… 𝑎𝑛 aimplica a λ1 =…=λ𝑛 = 0
Para demostrar que B genera a W usamos las hipótesis que T es suprayectiva y A
genera a V . Sea w ∈ W. Como T es suprayectiva, existe un v ∈ V tal que T(v) =
w. Como v ∈ V = `(a1, . . . , an), existen λ1, . . . , λn ∈ F tales que
𝑣 = ∑λjaj
𝑛
𝑗=1
Aplicamos T a ambos lados de la ´ultima igualdad y recordamos que T(v) = w:
𝑤 = ∑λjT ∈ l(T(𝑎1), … . 𝑇(𝑎𝑛))
𝑛
𝑗=1
Idea de la demostración. Sea A = (𝑎1 , . . . , 𝑎1) una base de V . Construyamos el
mapeo
52
T: 𝐹𝑛 → V ,
𝑇 (𝑥) = ∑(𝑥𝑘)(𝑎𝑘)
𝑛
𝑘=1
De tal manera que T es un isomorfismo
Teorema 1: Sea 𝑅𝑛 𝑅𝑚 una trasformación lineal y A= ETE de la matriz T
que es un isomorfismo solo si el rango (A)= m=n.
Ejemplo
Sea t: 𝑅2 𝑅2 la trasformación lineal cuya matriz es A=(1 11 − 1
), determinar si
T es un isomorfismo.
2.2.6. Teorema de Lagrange.
Para cada subgrupo H de un grupo G existe una partición del conjunto de los
elementos de G en subconjuntos. Para cada elemento x de G, considere el
conjunto de todos los elementos de la forma xH donde h se ejecuta sobre todos los
elementos de un subgrupo H. El conjunto así obtenido, denotado por xH se llama
el coset izquierdo de H (o clase lateral izquierda de H) en G, generado por el
elemento x (Barrera, 2003).
Complemento y ejercicios.
1. Encuentre todos los cosets izquierdos de los siguientes subgrupos del grupo de
simetrías del triángulo equilátero: a) el subgrupo de rotaciones del triángulo; b) El
grupo generado por la reflexión con respecto a un solo eje.
2. Demostrar que dado un subgrupo H de un grupo G cada elemento de G
53
Pertenece a una coset izquierda de H en G.
Supongamos que un elemento pertenece al coset izquierdo de H generado por un
elemento x. Probar que los cosets izquierdos de H generados por elementos x y y
coincidir.
3. Supongamos que los cosets izquierdos de H, generados por elementos y tienen
un elemento común. Probar que estos cosets izquierdos coinciden.
Por lo tanto, los cosets izquierdos generados por dos elementos arbitrarios son
desunidos o coincidentes. De esta manera, hemos obtenido una partición de todos
los elementos de un grupo G en clases separadas. Dicha partición se denomina
partición izquierda del grupo G por el subgrupo H.
El número de elementos de un subgrupo se denomina orden del subgrupo. Sea el
orden de un subgrupo H. Si ℎ1y ℎ2 son dos elementos diferentes de H 𝑥ℎ1 = 𝑥ℎ2,
cada coset izquierdo m contiene elementos n. Por lo tanto n, si es el orden del
grupo Gr y es el número de los cosets izquierdos de la partición de m.r=n G por
H, entonces y hemos probado el teorema siguiente. (Arnold, 2004)
Teorema 2. (Teorema de Lagrange) El orden de un subgrupo H de un grupo G
divide el orden del grupo G.
Complemento y ejercicios.
1. Probar que el orden de un elemento arbitrario divide el orden del grupo.
Probar que un grupo cuyo orden es un número primo es cíclico y que cada
elemento de él es diferente a su unidad.
2. Supongamos que un grupo G contiene exactamente 31 elementos. ¿Cuántos
subgrupos contiene?
54
Sea p un número primo. Demostrar que todos los grupos que tienen el mismo
orden p son isomorfos entre sí.
3. Suponga que m se divide n. Obtenga un grupo de orden que contiene un
subgrupo isomorfo a un grupo dado G de orden m.
4. Supongamos que m se divide n ¿Es posible que un grupo de orden n no
contenga ningún subgrupo de orden m?
También se pueden obtener los cosets correctos Hx y la partición correcta de un
grupo G mediante un subgrupo H. Si el orden de un subgrupo H es igual a m
entonces, cada coset m derecho contiene elementos y el número de cosets es igual
al entero n/m donde n está el orden del grupo. Por lo tanto, el número de cosets
correctos coincide con el número de los cosets izquierdos.
5. Encuentre las particiones izquierda y derecha del grupo de simetrías del
triángulo equilátero mediante los siguientes subgrupos: a) el subgrupo de
rotaciones e,a,b; b) el subgrupo e,c, generado por la reflexión con respecto a
un eje.
6. Encuentre las particiones izquierda y derecha del grupo de simetrías del
cuadrado por los siguientes subgrupos: a) el subgrupo e,d, generado por la
simetría central; b) El subgrupo e,d, generado por la reflexión con respecto a
una diagonal.
7. Encuentre la partición del grupo de todos los enteros (debajo de la suma) 6 por
el subgrupo de los números divisibles por 3.
2.2.7. Subgrupos.
En el conjunto de los elementos de un grupo G, considere un subconjunto H.
Puede ocurrir que H sea un grupo bajo la misma operación binaria definida en G.
55
En este caso, H se llama un subgrupo del grupo G. Por ejemplo, el grupo de
rotaciones del regular n-gon es un subgrupo del grupo de todas las simetrías de n-
gon. (Marshall, 1975)
Complemento y ejercicios.
1. Si es un elemento de un grupo G, entonces el conjunto de todos los elementos
de tipo 𝑎𝑚 es un subgrupo de G (este subgrupo es cíclico).
2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Demuestre que: a) los elementos de la
unidad en G y en H coinciden; b) si a es un elemento del subgrupo H, entonces los
elementos inversos de a en G y en H coinciden.
3. Probar que para que H sea un subgrupo de un grupo G (bajo la misma
operación binaria), las siguientes condiciones son necesarias y suficientes:
a) 𝑆𝑖 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏 (𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐺) ∈ 𝐻;
b) 𝑒 (𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐺) ∈ 𝐻;
c) si 𝑎 ∈ 𝐻 entonces también (tomado en el grupo G) ∈ H.
4. Encuentre todos los subgrupos de los siguientes grupos: 1) de simetrías del
triángulo equilátero, 2) de simetrías del cuadrado.
5. Encuentre todos los subgrupos de los siguientes grupos cíclicos: a) b) c)
6. Demostrar que un grupo cíclico infinito tiene un número infinito de subgrupos.
7. Demostrar que la intersección de un número arbitrario de subgrupos 4 de un
grupo G es en sí mismo un subgrupo del grupo G.
56
Ejemplo
Considere un tetraedro regular, con vértices marcados con las letras A, B, C y D.
Si miramos el triángulo ABC desde el punto D, entonces la rotación definida por
el orden cíclico de los puntos A, B, C puede ser una rotación en sentido horario o
antihorario (consulte la Figura 5). Distinguiremos estas dos orientaciones
diferentes del tetraedro.
Figura 5. Tetraedro con vértices en D
Es la orientación del tetraedro preservada por las siguientes permutaciones:
(rotación de 120 ° alrededor de la altitud);
𝑏 = (𝐴 𝐵 𝐶 𝐷𝐷 𝐶 𝐵 𝐴
) (Rotación de 180 ° alrededor del eje a través de los puntos
medios de los bordes AD y BC);
(Reflexión con respecto al plano que contiene el borde AD
y el punto medio del borde BC);
(Permutación cíclica de los vértices)
Complemento y ejercicios
57
1. Todas las simetrías del tetraedro regular obviamente forman un grupo, que
se llama el grupo de simetrías del tetraedro. ¿Cuántos elementos contiene
el grupo de simetrías del tetraedro?.
2. En el grupo de simetrías del tetraedro, los subgrupos son isomorfos para:
a) el grupo de simetrías del triángulo equilátero; b) el grupo cíclico
3. Demostrar que todas las simetrías del tetraedro que preservan su
orientación forman un subgrupo. ¿Cuántos elementos contiene?
4. El grupo de simetrías del tetraedro que preserva su orientación se
denomina grupo de rotaciones del tetraedro.
5. Encuentre en el grupo de rotaciones del tetraedro los subgrupos isomorfos
a: a) b)
2.2.7.1. Producto directo.
El producto directo G × H de los grupos G y H es el conjunto de todos los pares
ordenados donde g está cualquier elemento de G y h cualquier elemento de
H, con la siguiente operación binaria: donde se
toma el producto 𝑔1 𝑔2 en el grupo G, y en el grupo H (Arnold, 2004).
Complemento y ejercicios.
1. Probar que G × H es un grupo.
2. Supongamos que un grupo G tiene n elementos, y que un grupo H tiene k
elementos. ¿Cuántos elementos contiene el grupo G × H?
3. Demostrar que los grupos G × H y H × G son isomorfos.
58
4. Encuentra los subgrupos de G × H isomorfos a los grupos G y H.
5. Sean G y H dos grupos conmutativos. Probar que el grupo G × H también
es conmutativa.
6. Sea un subgrupo de un grupo G y 𝐻1 un subgrupo de un grupo H.
Demostrar que 𝐺1 x 𝐻1es un subgrupo del grupo G × H.
7. Sean G y H dos grupos arbitrarios. ¿Es cierto que cada subgrupo del
grupo G × H puede representarse en la forma 𝐺1 x 𝐻1 cuando 𝐺1 en que
hay un subgrupo del grupo G y 𝐻1 un subgrupo del grupo H?
8. Demostrar que el grupo de simetrías del rombo es isomorfo al grupo.
1. ¿Es cierto que:
a)
b)
9. Demostrar que si y solo si los números son relativamente
primos.
2.2.8. Homomorfismos.
Sean G y F dos grupos. Un mapeo tal que ϕ(a)(b) = para
todos los elementos a y b del grupo G (aquí el producto ab se toma en G y
en F) se llama un homomorfismo de G en F. Los homomorfismos se
distinguen de los isomorfismos porque los homomorfismos no son necesariamente
biyectivos. (Marshall, 1975)
59
Ejemplo
Sea G el grupo de rotaciones del cubo, y el grupo de permutaciones de los dos
tetraedros, inscritos dentro del cubo. A cada rotación del cubo corresponde una
permutación bien definida de tetraedros. Cuando realizamos dos rotaciones del
cubo una tras otra, la permutación de los tetraedros así obtenidos es el producto de
las permutaciones de los tetraedros correspondientes a estas rotaciones. Por lo
tanto, el mapeo del grupo de rotaciones del cubo en el grupo de permutaciones de
dos tetraedros es un homomorfismo (Marshall, 1975).
Complemento y ejercicios.
1. Sea un homomorfismo sobreyectivo de un grupo G en un
grupo F. Demuestre que si el grupo G es conmutativo, entonces F es
conmutativo. ¿Es cierta la proposición inversa?
2. Probar que un homomorfismo de un grupo G en un grupo F envía la
unidad del grupo G a la unidad del grupo F.
3. Probar que donde hay un homomorfismo.
Tenga en cuenta que elemento inverso que aparece en el miembro
izquierdo de la ecuación se toma en el grupo G, mientras que en el
miembro derecho se toma en el grupo F.
10. 4. Sean ϕ1: 𝐺 F y ϕ2: 𝐹 H sean dos homomorfismos.
Demostrar que ϕ1 0 ϕ2: 𝐺 H es un homomorfismo.
4. Se obtienen ejemplos importantes de homomorfismos mediante la
construcción del "homomorfismo natural". Sea N un subgrupo normal de
un grupo G. Considere el mapeo ϕ del grupo G en el grupo cociente G / N
que envía cada elemento del grupo G a un coset T de N que contiene el
elemento g.
60
5. Demostrar que es un homomorfismo sobreyectivo de G en
G / N.
Definición. El mapeo sobreyectivo ϕ se denomina homomorfismo natural de un
grupo G en el grupo cociente G / N.
Hemos demostrado que a cada subgrupo normal le corresponde un
homomorfismo. Ahora demostraremos que, a la inversa, cada homomorfismo
sobreyectivo de un grupo G en un grupo F puede verse como un homomorfismo
natural de G en el grupo cociente G / N por un subgrupo normal adecuado N.
Definición. Sea un homomorfismo. El conjunto de elementos g tales
que ϕ (g)=𝑒𝐹 se llama el núcleo del homomorfismo ϕ y es denotado por ker ϕ.
(Arnold, 2004)
Complemento y ejercicios.
1. Probar que ker ϕ es un subgrupo del grupo G.
2. Demostrar que ker ϕ es un subgrupo normal del grupo G. Considere la
partición de G por el núcleo (kernel) ker
3. Demuestre que 𝑔1 y 𝑔2 pertenezca al mismo coset si y solo si
Teorema 3. Sea un homomorfismo suprayectivo de un grupo G en un
grupo F. El mapeo que envía cada coset a la imagen de ϕ un
determinado elemento del coset (y por lo tanto de un elemento arbitrario), es un
isomorfismo (Marshall, 1975).
La prueba de este teorema está contenida en las soluciones de los siguientes
problemas.
61
Ejemplo
El problema pregunta si el cociente del grupo de simetrías del cuadrado por el
subgrupo normal generado por la simetría central es isomorfo al grupo de
rotaciones del cuadrado o al grupo de simetrías del rombo. A cada elemento del
grupo de simetrías del cuadrado corresponde alguna permutación de los ejes de
simetría (Figura 6). Esta permutación solo puede intercambiar entre sí las
diagonales y también los ejes y
Figura 6. Simetría del cuadrado
Figura 7. Simetría de rombo
De este modo, obtenemos un mapeo del grupo de simetrías del cuadrado en un
grupo de permutaciones de cuatro elementos y Este mapeo es una
suposición de homomorfismo sobre el grupo de esas permutaciones, los cuales
envían a y a (verifican). Este grupo consta de cuatro
permutaciones y es isomorfo al grupo de síntomas del rombo (Figura 7)
(Marshall, 1975).
62
El núcleo del homomorfismo así obtenido contiene todas las simetrías del
cuadrado que envía cada eje de simetría sobre sí mismo. No es difícil verificar que
estas transformaciones son justas e y la simetría central a. Por lo tanto, según el
Teorema 3, el subgrupo es un subgrupo normal del grupo de simetrías del
cuadrado y el cociente correspondiente. El grupo es isomorfo al grupo de
simetrías del rombo (Marshall, 1975).
Ahora observamos lo que sucede con los subgrupos, con los subgrupos normales
y con las personas bajo la acción de un homomorfismo. Sea un
homomorfismo. Elija en G un subconjunto M. El conjunto de los elementos de F
que tienen al menos una imagen previa en M se denomina imagen del conjunto M
por el homomorfismo (denotado por A la inversa, sea P un subconjunto
de F; el conjunto de todos los elementos de G que tienen una imagen en P se
llaman pre-imagen de P (denotado por Nota que el símbolo 𝜙−1 no tiene
significado) fuera de P: un homomorfismo, en general, no tiene mapeo inverso.
Nota también que si entonces está contenido en M, pero no
necesariamente coincide con M (ver Figura 8) (Arnold, 2004).
Figura 8 Homoformismo
Complemento y ejercicios
63
1. Demuestre que las rotaciones del tetraedro en 180 ° alrededor de los ejes a
través de los puntos medios de los bordes opuestos forman, junto con la
identidad, un subgrupo normal del grupo de simetrías del tetraedro.
Encuentra el grupo de cociente correspondiente.
2. Demuestre que las rotaciones del cubo en 180 ° alrededor de los ejes a
través de los centros de caras opuestas forman, junto con la identidad, un
subgrupo normal del grupo de rotaciones del cubo. Encuentra el grupo de
cociente correspondiente.
3. Deje que en el plano se le dé una regular n-gon con centro O. Sea R el
grupo de rotaciones del plano alrededor del punto O. Considere el
subgrupo de rotaciones del plano que envía la regla regular n-gon, así
mismo. Demuestre que este subgrupo es un subgrupo normal de R y que
es isomorfo a R.
4. Sean y sean dos subgrupos normales de grupos y
respectivamente. Probar que 𝑁1x 𝑁2es un subgrupo normal y que
y esto ( )/( 𝑁1x 𝑁2)~=( /𝑁1) x ( /𝑁2).
5. ¿Es posible que dos subgrupos normales de dos grupos no isomórficos
sean isomorfos entre sí, y que los grupos de cociente correspondientes
sean isomorfos?
6. ¿Es posible que dos subgrupos normales del mismo grupo sean isomorfos
y que los grupos de cocientes correspondientes no sean isomorfos?
7. ¿Es posible que dos subgrupos normales del mismo grupo no sean
isomorfos y que los grupos de cocientes correspondientes sean isomorfos?
8. Demostrar que la imagen de un subgrupo H de un grupo G bajo un
homomorfismo es un subgrupo del grupo F.
64
9. Sea H un subgrupo de F y un homomorfismo. Demostrar que
es un subgrupo de G.
10. Sea N un subgrupo normal de un grupo F y un homomorfismo.
Demostrar que es un subgrupo normal del grupo G.
11. Sean 𝐾1 y 𝐾2 sean los conmutadores de los grupos G y F y ϕ= G F un
homomorfismo suprayectivo de G en F. Demuestre que ϕ𝐾1= 𝐾2 Es
verdad que
2.2.9. Permutaciones.
Consideramos ahora, más atentamente, las permutaciones (es decir, las
transformaciones) del conjunto de enteros 1, 2,…,n; estas permutaciones se
denominan permutaciones de grado. Observamos que cualquier permutación en
un conjunto arbitrario de n elementos puede considerarse como una permutación
de – gree n: basta con enumerar los elementos del conjunto por los enteros 1,2,…,
n. Cada permutación de grado se puede escribir en la forma donde se encuentra
la imagen del elemento m debajo de
Permutación. Recordemos que una permutación es un mapeo biyectivo; como
consecuencia, todos los elementos de la segunda fila son distintos (Pérez, 2010).
Definición. El conjunto de todas las permutaciones de grado n con el habitual
funcionamiento de la multiplicación (es decir, la composición) de las
permutaciones se denomina grupo simétrico de grado n y se denota por
(Arnold, 2004).
Ejemplo
Probar que para n ≥ 3 el grupo no es conmutativo.
65
Una permutación puede intercambiar algunos elementos y arreglar los otros.
También puede suceder que los elementos permutados cambien su posición
cíclicamente. Por ejemplo, la permutación.
Arregla los elementos 2, 5 y 7, y permuta los otros elementos cíclicamente:
Las permutaciones de este tipo se llaman
permutaciones cíclicas, o simplemente ciclos. Para permutaciones cíclicas incluso
utilizaremos otra notación. Por ejemplo, la expresión (1436) denotará la
permutación que envía y corrige los otros elementos
del conjunto con el que tratamos. Entonces, si nuestra permutación tiene un grado
7, entonces coincide con la permutación que hemos considerado anteriormente
(Arnold, 2004).
Las permutaciones no son todas cíclicas. Por ejemplo, la permutación.
No es cíclico, pero puede representarse como producto de dos ciclos:
Los ciclos obtenidos permutan diferentes elementos. Se dice que los ciclos de este
tipo son independientes. Es fácil ver que el producto de dos ciclos independientes
no depende del orden de los factores. Si identificamos aquellos productos de
ciclos independientes que se distinguen solo por el orden de sus factores, entonces
se mantiene la siguiente proposición.
66
a) Cada permutación puede representarse de manera única (hasta diferentes
ordenamientos de factores) por un producto de ciclos independientes.
Demuestra esta proposición.
b) Un ciclo de tipo que permuta solo dos elementos, se llama una
transposición.
c) Demostrar que cada ciclo puede representarse como un producto de
transposiciones (no necesariamente independientes).
d) Las transposiciones (1, 2), (2, 3), (…), se denominan
transposiciones elementales.
e) Demostrar que cada transposición puede ser representada como producto
de transposiciones elementales.
f) De los resultados de los Problemas 1-3 se deduce que cada permutación de
grado puede representarse como un producto de transposiciones
elementales. En otras palabras, el siguiente teorema sostiene.
Teorema 4. Si un subgrupo de grupo contiene todas las transposiciones
elementales, entonces coincide con todo el grupo
Supongamos que los números 1,2,…, n se escriben en una fila en un orden
arbitrario. Decimos que el par i, j es una inversión en esta fila si, pero j
aparece antes i en esta fila. El número de inversiones en una fila caracteriza el
desorden con respecto al orden habitual (Arnold, 2004).
Definición. La permutación se llama par o impar de acuerdo
con la paridad del número de inversiones en la fila inferior. Por ejemplo, la
67
permutación idéntica es uniforme porque el número de
inversiones en la fila inferior es cero (Arnold, 2004).
Complemento y ejercicios.
1. Encuentra el número de inversiones en la fila 3, 2, 5, 4, 1.
2. En la secuela ya no estaremos interesados en el número de inversiones,
sino en su paridad.
3. Demostrar que la paridad del número de inversiones en una fila cambia si
uno intercambia dos números cualesquiera.
4. Demostrar que al multiplicar una permutación uniforme por una
transposición arbitraria, se obtiene una permutación impar y, a la inversa,
al multiplicar una permutación impar con una transposición arbitraria, se
obtiene una permutación uniforme.
5. Demuestre que una permutación par puede descomponerse solo en un
producto de un número par de transposiciones, y una permutación impar
solo en un número impar de transposiciones.
6. Determine la paridad de un ciclo arbitrario de longitud:
a) 3,
b) 4.
68
7. Probar que el resultado de la multiplicación de dos permutaciones de la
misma paridad es una permutación uniforme, mientras que el resultado de
la multiplicación de dos permutaciones de paridades opuestas es una
imputación impar.
8. Sea a una permutación arbitraria. Demuestre que a y 𝑎−1 tenga la misma
paridad.
Definición. El grupo de todas las permutaciones pares de grado n se denomina
grupo alterno de grado n y se denota por (Marshall, 1975).
Complemento y ejercicios.
1. Probar que para n ≥ 4 no es conmutativo.
2. Probar que el grupo alterno es un subgrupo normal del grupo simétrico
y encontrar la partición de por
3. Calcula el número de elementos del grupo .
4. Demostrar que los grupos y son solubles.
2.2.10. Permutaciones no solubles.
Ahora probamos que el grupo alterno no es soluble. Una de las posibles
pruebas utiliza la siguiente construcción. Inscribimos en el dodecaedro cinco
tetraedros regulares, numerados por los números 1, 2, 3, 4 y 5 de tal manera que a
cada rotación del dodecaedro corresponda una permutación uniforme del
tetraedro, y que a diferentes rotaciones corresponda diferentes permutaciones Así
que hemos definido un isomorfismo entre el grupo de rotaciones del dodecaedro y
el grupo de las permutaciones pares de grado 5. La no solubilidad del grupo se
69
derivará de la no solubilidad del grupo de rotaciones del dodecaedro (Marshall,
1975).
Complemento y ejercicios.
1. Inscriba en el dodecaedro cinco tetraedros como se explicó anteriormente.
Otra prueba de la no solubilidad del grupo consiste en repasar el
argumento de la prueba de la no solubilidad del grupo de rotaciones del
dodecaedro. Para ello hay que resolver el siguiente problema.
2. Probar que cada permutación uniforme de grado 5, diferente de la
identidad, se puede descomponer en ciclos independientes de una de las
siguientes maneras: a) b) c)
3. Demostrar que el grupo no contiene subgrupos normales, excepto la
identidad y todo el grupo.
4. Probar que el grupo simétrico para contiene un subgrupo
isomorfo para
Teorema 5. Para el grupo simétrico no es soluble.
La prueba de este teorema, así como los otros resultados de este capítulo, serán
necesarios en el próximo capítulo para demostrar la no solvencia por radicales de
ecuaciones algebraicas de grado superior a cuatro (Arnold, 2004).
2.3. Número complejos
2.3.1. Introducción.
En consecuencia, los números complejos es uno de los temas de la matemática
donde se acrecienta la situación, la cual es agravada por otros factores que
aumentan el bajo rendimiento escolar, entre esto; Se tienen los conocimientos
70
previos que los estudiantes no dominan con eficiencia, la metodología impartida
por el docente es la tradicional pasiva, discursiva y repetitiva o memorística.
De igual manera, los recursos de uso más frecuentes siguen siendo tiza, pizarrón,
borrador, ignorando el uso del video proyector, y también los textos, no son los
actualizados, muchas veces por lo bajo del ingreso económico de los estudiantes
no se les pide que adquieran libros actualizados que vienen con software
educativos.
La actitud del docente y de los alumnos, el desconocimiento de programas,
Estrategias metodológicas; indicadores que unidos a los anteriores agravan la
situación. Es por ello que para enseñar y aprender matemática se debe generar,
realizar, y poner en práctica Estrategias que ayuden a comprender mejor cualquier
objeto matemático.
Los argumentos expuestos anteriormente reflejan la gravedad de la situación y
justifican el interés que existe entre educadores, investigadores y organismos
vinculados al problema. Es necesario presentar alternativas de solución que
mejoren dicha realidad y esta es la finalidad de esta investigación.
De continuar la Enseñanza de los Números Complejos en las condiciones que han
sido descritas, implicaría no avanzar en la búsqueda de Estrategias que ayuden a
mejorar su comprensión. Continuara el bajo rendimiento académico, así como la
acumulación de repitientes, disminuye el nivel de la Enseñanza, se egresan
individuos sin las competencias necesarias para su desempeño profesional. Todo
esto repercute en el prestigio institucional y en la calidad de la Educación.
Según Ante esta situación Carneiro (1996), propone como opción “una
presentación de los números complejos a través del estudio de vectores en el
plano, reinvicando que cada profesor en su quehacer docente decide que considera
mejor” y actualmente la matemática presenta excelentes oportunidades para
71
introducir en los alumnos problemas con mayor aplicación a la realidad, a través
de la ayuda del computador.
Por esto el docente debe hacer concebir en el alumno una nueva herramienta para
la construcción del aprendizaje en forma práctica, el uso de una herramienta que
permita al docente sustituir métodos tradicionales por métodos actualizados
acorde con las demandas tecnológicas.
De la reflexión anterior, se hace imperioso replantearse una nueva Enseñanza
innovadora con el propósito de desarrollar nuevos modelos que resulten más
eficientes en cuanto a su calidad y que se correspondan simultáneamente con la
realidad sociocultural, político científico tecnológico del país.
Por esto se considera que se necesita crear diversas actividades y Estrategias que
ayuden a entender el contenido de los números complejos, transferirlo y aplicarlo
en la resolución de diversos problemas.
Por otro lado, la Instrucción basada en los procesos cognitivos intenta inducir en
el alumno la configuración consciente de Estrategias cognoscitivas que le
permitan enfrentar el aprendizaje con mayor posibilidad de éxito si se desarrolla
de esa manera la enseñanza de la matemática puede contribuir a que el educando
mejore su capacidad intelectual global y por ello estaría en condiciones de
continuar aprendiendo en forma permanente.
En ese contexto se podría pensar en una Estrategia de instrucción que tome en
cuenta estos aspectos, para que conlleve al alumno a alcanzar los objetivos
programados y, por lo tanto, a mejorar su rendimiento. Se espera que el efecto de
la Enseñanza orientada a incrementar la destreza entendiendo por esto la habilidad
Matemática que es la capacidad para usar los números de manera efectiva y de
razonar adecuadamente en la resolución de problemas basada en un aprendizaje
72
constructivo, significativo y compartido, favorezca la motivación intrínseca en
esta tarea.
Tomando en cuenta lo anteriormente dicho, surge la necesidad de determinar el
efecto de la Estrategia de aprendizaje propuesta en la presente investigación, la
cual está centrada en el reforzamiento de los números complejos, para mejorar la
habilidad de la resolución de problemas de dicha asignatura.
Otro punto importante de mencionar, es una aportación del autor Fibonacci, (1175
- 1250), de Pisa, estudió ecuaciones de tercer grado. El árabe Omar Khayam
(1079) resolvía geométricamente una ecuación de 3er grado, a través de
intersecciones de Cónicas.
En Italia Miguel Angel el que pintó la Capilla sixtina encontró procedimientos
generales de fórmulas para resolver ecuaciones de 3er y 4to grado. Scipione del
Ferro; fue el primero en encontrar una solución general para las ecuaciones de 3er
grado, Tartaglia redescubrio la formula por sí mismo poco después. Cardano, fue
el primero en publicar una fórmula que por eso lleva su nombre en su célebre
(libro Ars Magna, de 1545). Ferrari (discípulo de Cardano) descubrió la fórmula
para ecuaciones de 4° grado.
Por otra parte, Gauss fue el primero en tener una concepción clara de la
correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano y
el mérito de saber aplicar esta idea a la teoría de los números complejos, y de
haber visto claramente la utilidad para los analistas del siglo XIX. A lo largo de
los siglos XVII y XVIII, los matemáticos habían llegado a la convicción de que
los números imaginarios, permitían resolver las ecuaciones de segundo grado.
Aunque los primeros en idear los números imaginarios los usaban formalmente y
apenas comprendían lo que estaban haciendo, otros generalizaron las definiciones
de funciones trigonométricas y exponenciales al dominio de los complejos y
73
extendieron al análisis matemático (calculo), ecuaciones de grado superior y otros
temas afines adaptándolos a estas generalizaciones.
Estos progresos técnicos, entre los que se cuentan la interpretación geométrica de
varias operaciones entre números complejos, prepararon el camino para su
indispensable uso posterior en la teoría del electromagnetismo y en otras ciencias
físicas. Su avance estimuló el desarrollo del Algebra abstracta y en particular, el
análisis vectorial y los cuaterniones. El número complejo es una magnitud de las
progresiones verdaderas que se dan como consecuencia de postular entidades
imaginarias.
Es así como los números complejos constituyen un tema importante que se inicia
en el ciclo diversificado y se proyecta a nivel superior, el cual puede ser enseñado
a través de herramientas claves en el desarrollo actual de las tecnologías
educativas tal como el uso de una metodología o herramienta educativo cuya
característica no sólo sea de recurso de enseñanza-aprendizaje, sino de acuerdo a
una determinada estrategia de enseñanza (Urbina,1999).
Esto es a través del uso del herramientas educativo el cual pudiera diseñarse
utilizando unas estrategias de aplicación y unos objetivos de aprendizaje, pero se
debe tener presente que aun cuando actualmente existe una gran variedad de
programas, la calidad del producto que se diseñe no será tan alta como los que ya
existen en el mercado, sin embargo el docente deberá romper el paradigma que
aún permanece en el aula en cuanto al uso e incorporación de nuevas herramientas
en los procesos de enseñanza.
Es importante señalar que en Ecuador existe la preocupación de incorporar nuevas
herramientas educativas que faciliten la labor docente en el aula y mejoren
significativamente el rendimiento escolar, es por esto que el Consejo nacional de
Matemáticas suscribió un documento donde se expone la utilización del
computador desde el pre-escolar hasta la educación media y superior, en apoyo a
74
lo citado el Ministerio de Educación en (1988-1989) inicio la implementación de
la informática a nivel de educación media y superior, situación que permitirá al
docente reflexionar respecto a los nuevos cambios tecnológicos y el compromiso
de preparar a la población estudiantil al manejo de todos estos conocimientos.
También el docente debe ser precavido al momento de seleccionar los programas
que se implementarán en el proceso de enseñanza, así como los contenidos,
debido a que deberán estar vinculados de acuerdo a las necesidades del grupo de
alumnos y será aquí, donde el docente deberá romper el paradigma en cuanto al
uso e incorporación de los recursos y herramientas en los procesos de enseñanza.
Ante la situación expuesta los programas de diseño y producción educativos
conocidos se convierten en un requisito para la introducción dela informática en el
sistema educativo, por esto es indispensable replantearse un nuevo modo de
desarrollo, explorando nuevas vías, basadas en la búsqueda de capacidad
tecnológica e industrial, donde según Prendes (1998); “Su valor no ha de radicar
tanto en el producto acabado, sino en el proceso seguido en el diseño y
producción” (p.239), en este sentido es necesario tomar en cuenta los conceptos y
el objeto que se quiere analizar adecuándolos a las realidades concretas para lo
que se quiere utilizar.
También Martínez (1987) destaca lo siguiente “el profesor a la hora de diseñar
materiales para la enseñanza... tiene la posibilidad de intervenir en forma creadora
lo cual le permitirá una mayor participación de profesores y alumnos, así como un
mayor desarrollo de las capacidades creadas (p.86).
Posteriormente destaca aspectos importantes para posibilitar o limitar las
actividades de diseño y producción de herramientas metodológicas, tales como los
factores técnicos referentes a la disponibilidad de medios no sólo con un fin
exclusivo para la docencia sino para que los alumnos puedan interactuar y
aprender con ellos.
75
Respecto al diseño de materiales multimedia Gros y otros (1997) analizaron las
principales teorías (conductista, cognitiva y constructivista) sobre las que se
apoyan los diseños de software educativo proponiendo la utilización de una nueva
teoría y modelo de enseñanza-aprendizaje mixta, el cual permita la incorporación
del tipo de contenido de acuerdo a la edad del usuario y el contexto de uso
(p.149).
Así mismo existen varios autores que coinciden en cuanto a los aspectos
principales al momento de diseñar (Bartolomé, 2000 y Cabero 1996), Duarte y
otros 1996, Park y Hannafin, 1993; Prendes 1998; Prendes y Solano 2000, Salinas
1995) Citados por Alfageme (2004) proponen tomar en cuenta el conocimiento
del contenido, estructura y presentación, hacia quien va dirigido, interés,
comunicación y tratar que el diseño sea sencillo y fácil de usar.
También (Orihuela y Santos, 1999) citado por (Alfageme 2004), destacan que los
factores principales son: El diseño de los objetivos del aprendizaje, estructuración
de los contenidos, actividades de formación, los recursos complementarios y
evaluación, según sus opiniones. Se trata de “No aprender por aprender, sino de
movilizar, con un determinado objetivo los conocimientos y aplicaciones que el
enseñante intenta desarrollar (Delacote, 1998, p.28).
No obstante, de acuerdo al programa de articulación del nivel de educación media
y superior en matemática se reconoce un tipo característico del pensamiento
humano, el matemático, que día a día crece y alcanza niveles de abstracción cada
vez mayor.
Esto constituye, un instrumento igualmente importante para la formación del
pensamiento crítico, lógico, ordenado adecuadamente, que capacita al individuo
para la toma de decisiones, de acuerdo a las exigencias actuales de la sociedad. El
cual está dirigido a dotar al estudiante de conocimientos útiles en la Educación
superior, y propone el uso de la calculadora y la computadora en la herramienta
76
apropiado para la transformación del aula de matemática, en un laboratorio que
promueva la investigación.
Lo anterior es posible si en la práxis se aplica los contenidos a través de la
implementación de un software que permita el aprendizaje de los números
complejos.
Es importante realizar una breve descripción del origen de los números complejos
fueron utilizados en el siglo XVII por Rothe e Girard. Euler (1707 – 1783), a
través de los complejos introdujo el símbolo i, aclarando el significado de los
números, el cual no se justificaba en sus tiempos. Wessel (1798) comprobó la
parte irreal que comprenden a los números, por medio de composiciones y
rotaciones en el plano.
Fue Gauss quien descubrió a los números complejos obteniendo resultados sobre
Geometría plana y sobre los Números reales, con la ayuda de los mismos, Gauss
demostró que todo polinomio de coeficientes reales puede ser descompuesto en
factores de grado mayor a dos.
Posteriormente un siglo después que Gauss hizo pública todas sus invenciones en
los números complejos; Hamilton, Cayley, Cauchy, adoptaron universalmente en
sus trabajos la representación geométrica de los citados. Sus demostraciones
constituyen por su claridad y originalidad un progreso considerable y uno de los
primeros ejemplos de un razonamiento topológico aplicado a un problema de
Algebra y prepararon el camino para su indispensable uso en la teoría del
electromagnetismo y otras ciencias físicas. Sus avances estimularon el desarrollo
del álgebra abstracta y en particular, el análisis vectorial y los cuaterniones.
Al estudiar matemáticas en los niveles colegiales, el conjunto de números
considerados fue progresivamente ampliado. La razón de esto se basó en estas
extensiones. Permitiéndonos operar en números con más libertad. Así que al pasar
77
de los números naturales a los enteros hicieron posible restar dos números
cualesquiera. (Arnold, 2004)
Al pasar a los números racionales se hizo posible dividir dos números cualquiera,
etc. Pero el resultado más importante de tales extensiones consiste en las
propiedades del sistema extendido que a menudo nos permite descubrir algunas
propiedades nuevas del sistema inicial (Arnold, 2004).
Por ejemplo, muchos problemas difíciles se resolvieron a través de la teoría de los
números concernientes únicamente a enteros utilizando los números reales, así
como también los números complejos.
Históricamente, los números complejos aparecieron solo como una forma de
resolver ciertos problemas en los números reales. Así, por ejemplo, el matemático
italiano Cardano (1501–1576) ideó un procedimiento correcto para determinar las
raíces de una ecuación de tercer grado usando, en los pasos intermedios de los
cálculos, las raíces hasta ese momento "no existentes" de los números negativos.
(Redheffer, 1975)
Posteriormente los números complejos jugaron un rol cada vez más importante en
el campo de las matemáticas y sus aplicaciones. Fueron introducidos por primera
vez en la teoría de las ecuaciones algebraicas, debido a que el dominio de los
números complejos resultó un entorno mucho más conveniente para el estudio de
estas ecuaciones (Redheffer, 1975).
Por ejemplo, cada ecuación algebraica de grado n (n ≥ 1) con coeficientes reales o
complejos tienen al menos una raíz compleja (lo cual veremos más adelante),
mientras que no todas las ecuaciones algebraicas con coeficientes reales tienen al
menos una raíz real (Pérez, 2010).
Dado que se encontró una interpretación de números complejos en términos de los
vectores en el plano, nociones geométricas tales como la continuidad y las
78
transformaciones geométricas se hicieron aplicables al estudio de números
complejos.
La relación entre números complejos y vectores también nos permite reformular
varios problemas de mecánica en términos de números complejos y sus
ecuaciones en particular, en hidrodinámica, aerodinámica, la Teoría de la
electricidad, termodinámica, entre otros (Arnold, 2004).
2.3.2. Campos y polinomios.
Euclides fue un matemático griego que vivió y murió entre los siglos IV y III a.C
en Alejandría, su principal obra, los elementos, se componen de 13 libros, los
cuales contienen 465 proposiciones que se subdividen en 93 problemas y 372
teoremas. Al respecto Pastor y Babini (s.f) señalan que “gran parte de los libros se
abre con un grupo de definiciones o, mejor dicho “términos” según el vocablo
utilizado por Euclides, a las que en primer libro se agregan las proposiciones
básicas, nuestros axiomas, que Euclides distingue en postulados y nociones
comunes” (p. 73).
Al analizar el significado institucional de los polinomios en educación media y
superior, de acuerdo a la clasificación que Godino (2003) hace en torno a estos
significados (de referencia, pretendidos, implementados, evaluados), permitirá
distinguir los sistemas de prácticas institucionales potenciales de ese contenido
matemático a ese nivel educativo. Cabe destacar, que en el presente estudio sólo
se profundizará en los primeros dos tipos de significados institucionales: el
significado institucional de referencia, el cual permitirá mostrar el origen y la
evolución de los polinomios mediante la realización de un estudio epistemológico
e histórico de dicho objeto matemático; y el significado institucional pretendido,
con el que se podrá evidenciar los significados elementales y sistémicos que los
docentes empleen para llevar a cabo su actividad pedagógica referente a los
polinomios.
79
Estos resultados, permitirán poner en evidencia y, por lo tanto, corroborar o
contrastar las categorías propuestas por el enfoque ontológico y semiótico de la
cognición e instrucción matemática (EOS) para el analizar de los polinomios;
adicionalmente a esto, el docente de matemática de educación media y superior
podrá estar consciente de la importancia del recurso que emplea para su actividad
en el aula, y a su vez, podrá activar mecanismos que hagan de una manera u otra
más eficaz su enseñanza al ser capaz de seleccionar o por lo menos revisar ese
recurso tan importante en cuanto a contenido como lo es el libro de texto en el que
apoya su praxis, en consecuencia también se verán beneficiados los estudiantes y
la institución en la que ambos “protagonistas” (docente- estudiante) son
representantes.
En el mismo orden de ideas, las conclusiones obtenidas en este trabajo, darán paso
a futuras investigaciones que indaguen aún más en el fenómeno estudiado, ya que
serán de gran aporte, para una comprensión del complejo proceso de enseñanza y
aprendizaje de los polinomios en educación media y superior, y más allá, de la
enseñanza del álgebra escolar.
Cabe destacar, que el esquema empleado en este estudio, puede ser aplicado al
estudio de cualquier tópico matemático, por la versatilidad de las herramientas
empleadas, además; por otro lado esta investigación puede seguir desarrollándose
en el futuro en la medida en que se analicen a mayor profundidad tanto los
aspectos planteados en los objetivos como otros aspectos que pueden emerger
durante el desarrollo del trabajo; aunado a esto, en conjunto con otros trabajos
afines (basados en el mismo enfoque y analizándose el mismo objeto matemático
(los polinomios), se podría ampliar el “panorama educativo” del tema de los
polinomios en educación media y superior.
Por lo tanto, es importante señalar que los números reales tienen como
característica que se pueden sumar, multiplicar, y las operaciones inversas son
también permitidas: la resta y la división (esta última, sin embargo, no por cero).
80
En cualquier adición de varios números los términos pueden ser conmutados de
cualquier manera, y pueden ser recogidos arbitrariamente entre corchetes sin
cambiar el resultado. Lo mismo vale para los factores de cualquier producto.
Todas estas propiedades, así como la relación entre la adición y la multiplicación,
se puede resumir como sigue:
Los números reales poseen las tres propiedades siguientes:
Forman un grupo conmutativo (ver capítulo 2.3) para la adición (el
elemento neutro de este grupo se denota por 0 y se llama el cero).
Si se excluye el 0, los números reales forman un grupo conmutativo para
la multiplicación.
La suma y la multiplicación están relacionadas por la ley distributiva, esto
es:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
(Redheffer, 1975).
La existencia de estas tres propiedades es muy importante porque nos permiten
simplificar la aritmética de expresiones algebraicas, para resolver ecuaciones, el
conjunto de números reales no es el único que posee estas tres propiedades.
Con el fin de destacar todos estos conjuntos presentaremos el siguiente concepto.
Definición. Un conjunto en el existan las dos operaciones binarias (suma y
multiplicación) que posea las propiedades anteriormente definidas se denomina
campo. (Arnold, 2004). Después de esto el profesor puede orientar el siguiente
Complemento y ejercicios a fin de fijar el concepto anteriormente definido.
Complemento y ejercicios.
81
1. Verifique si los siguientes subconjuntos de los números reales provistos de
las operaciones habituales de suma y multiplicación son un campo:
a) Todos los números naturales
b) Todos los números enteros
c) Todos los números racionales
d) Todos los números del tipo donde 𝑥1 + √3𝑥2 donde 𝑥1, 𝑥2 son dos
números racionales arbitrarios.
2. Demostrar que en todos los campos se cumple la identidad.
𝐶. 0 = 0. 𝐶 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑪 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
3. Probar que en cada campo se cumple que:
a) (−𝑥). 𝑦 = 𝑦. (−𝑥) = −(𝑥𝑦)
b) (−𝑥). (−𝑦) = 𝑥𝑦
para cualquier par de elementos x, y
4. Sean dos elementos de un campo arbitrario que cumplen 𝑥. 𝑦 = 0 ,
demostrar que 𝑥 = 0 ó 𝑦 = 0 .
5. Supongamos que, en el conjunto, existe el módulo de multiplicación que
se asocia a dos números el residuo de la división por de su producto
habitual.
Construye las tablas de multiplicación módulo 2, 3 y 4.
6. Demostrar que los residuos modulo N con las operaciones de adición y
multiplicación forman un campo si y solo si N es un número primo
(Redheffer, 1975).
Pasaremos a definir la operación resta y división en un campo arbitrario K.
82
Definición. Se define la diferencia de los elementos y - x de los elementos x, y ∈
K, al elemento r que resuelve la ecuación
𝑟 + 𝑥 = 𝑦 (𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 + 𝑟 = 𝑏)
Se denomina cociente de la división de los elementos x, y ∈ K
𝑦 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥
𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑦 ≠ 0
al elemento Q que resuelve la ecuación 𝑄𝑦 = 𝑥 (𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦𝑄 = 𝑥)
Dado que un campo se cumple que la solución de una ecuación del tipo 𝑎𝑥 = 𝑏 es
única, y como la operación de suma y multiplicación son conmutativas, se
concluye que las operaciones de diferencia y división son únicas en cualquier
campo. (Arnold, 2004)
Sabiendo que un campo es un grupo para la adición, así como si se excluye el
cero, para la multiplicación, la ecuación 𝑟 + 𝑥 = 𝑦 , es equivalente a la
ecuación
𝑟 = 𝑥 + (−𝑦) y la ecuación 𝑞𝑥 = 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0 para es equivalente a la
ecuación 𝑞 = 𝑦 𝑥−1 de esto se concluye que 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 + (−𝑥) y además
𝑥
𝑦 = 𝑦𝑥−1
Se puede probar fácilmente que las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división en un campo arbitrario poseen todas las propiedades básicas que poseen
estas operaciones en el campo de los números reales. En particular, en cualquier
campo se pueden multiplicar los dos miembros de una ecuación o dividirlo por el
mismo número siempre y cuando sea distinto de 0; y cada término puede ser
transpuesto de un miembro a otro invirtiendo su signo, etc. (Arnold, 2004)
83
Consideremos, por ejemplo, la propiedad que relaciona la resta y la
multiplicación.
El profesor puede sugerir al estudiante que demuestre que en cualquier campo K
se cumple que (𝑥 − 𝑦)𝑐 = 𝑥𝑐 − 𝑦𝑐 , ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑐 ∈ 𝐾 (Arnold, 2004)
Si K es un campo, entonces es posible, para el campo de los números reales,
considerar los polinomios con coeficientes en el campo K, o, en otras palabras, los
polinomios sobre K.
Definición. Una expresión como (n es un número natural)
𝒂𝟎𝒙𝒏 + 𝒂𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝒂𝒏 = 𝟎
(𝟐, 𝟏)
donde 𝑎0, 𝑎1, …… , 𝑎𝑛 ∈ K, y además 𝑎0 ≠ 0, se denomina polinomio de grado n
de la variable 𝑥 sobre K.
Si 𝑥 es un elemento del campo K la expresión 𝑥 se considera por sí misma un
polinomio sobre K, además sí 𝑎 ≠ 0 , este representa un polinomio de grado 0,
sin embargo, si 𝑎 = 0, el grado de este se considera indefinido (Arnold, 2004).
Los elementos 𝑎0, 𝑎1, …… , 𝑎𝑛 se denominan los coeficientes del polinomio (2.1) y
el elemento 𝑎0 se denomina coeficiente principal.
Dos polinomios sobre la variable 𝑥 se consideran iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos del mismo grado en ambos polinomios coinciden.
Sea 𝑃(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
Si en el segundo miembro de esta ecuación uno reemplaza con un elemento
cualquiera llamado α ∈ K y uno realiza los cálculos indicados, es decir, las
84
operaciones de suma y multiplicación en el campo K, se obtiene como resultado
algún elemento β del campo K. Entonces podemos representarlo de la siguiente
forma 𝑃(𝛼) = 𝛽 , si 𝑃(𝛼) = 0 , donde 0 es el elemento cero del campo K,
entonces se dice que α es una raíz de la ecuación, y también se puede expresar
como que es una raíz del polinomio (Redheffer, 1975).
Los polinomios en cualquier campo se pueden sumar, restar y multiplicar.
La suma de dos polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) es un polinomio 𝑅(𝑥) en que el
coeficiente de 𝑥𝑘 𝑘 = 0,1,2,…. , es igual a la suma (en el en el campo K) de los
coeficientes de 𝑥𝑘 𝑒𝑛 los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) y de la misma manera se
puede definir la diferencia de dos polinomios. Resulta evidente que el grado de la
suma o de la diferencia de dos polinomios no es superior al máximo del grado de
los polinomios dados. (Redheffer, 1975)
Para calcular el producto de los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) se debe multiplicar cada
monomio 𝑎𝑥𝑘 del polinomio 𝑃(𝑥) por cada monomio 𝑏𝑥𝑙 del polinomio 𝑄(𝑥)
según la regla 𝑎𝑥𝑘𝑏𝑥𝑙 = 𝑎𝑏𝑥𝑘+𝑙, donde 𝑎𝑏 es el producto en K, y 𝑘 + 𝑙 es la
suma usual en los números enteros. Posteriormente se deben sumar todas las
expresiones obtenidas, agrupando los monomios donde la variable 𝑥 tiene el
mismo grado, y reemplazando la suma de la expresión 𝒅𝟏𝒙𝒓 + 𝒅𝟐𝒙
𝒓 + ⋯+ 𝒅𝒔𝒙𝒓
por la expresión (𝒅𝟏 + 𝒅𝟐 + ⋯+ 𝒅𝒔)𝒙𝒓 (Redheffer, 1975)
Sean
𝑷(𝒙) = 𝒂𝟎𝒙𝒏 + 𝒂𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝒂𝒏
𝑸(𝒙) = 𝒃𝟎𝒙𝒎 + 𝒃𝟏𝒙
𝒎−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒎−𝟏𝒙 + 𝒂𝒎
85
Entonces
𝑷(𝒙)𝑸(𝒙) = 𝒂𝟎𝒃𝟎𝒙𝒏+𝒎 + (𝒂𝟎𝒃𝟏 + 𝒂𝟏𝒃𝟎)𝒙
𝒏+𝒎−𝟏 + (𝒂𝟎𝒃𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟏
+ 𝒂𝟐𝒃𝟎)𝒙𝒏+𝒎−𝟐 + ⋯ . . +𝒂𝒏𝒂𝒎
Tomando en cuenta que 𝑎0 ≠ 0 𝑦 𝑏0 ≠ 0 el grado del producto 𝑷(𝒙)𝑸(𝒙) es
igual a 𝑛 + 𝑚, es decir, el grado del producto de dos polinomios (distinto de cero)
es igual a la suma de los grados de los polinomios dados.
Teniendo en cuenta que las operaciones de suma y multiplicación de los
elementos del campo K poseen la propiedad conmutativa, asociativa y las
propiedades distributivas, no es difícil verificar que la introducción de
operaciones de adición y multiplicación de polinomios también poseen estas
propiedades. (Arnold, 2004)
𝑆𝑖 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 𝑅1(𝑥) ,
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑅2(𝑥), 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥) = 𝑅3(𝑥)
y α es cualquier elemento del campo K, (α ∈ K) se obtiene
𝑃(𝛼) + 𝑄(𝛼) = 𝑅1(𝛼) , 𝑃(𝛼) − 𝑄(𝛼) = 𝑅2(𝛼), 𝑃(𝛼)𝑄(𝛼) = 𝑅3(𝛼)
Los polinomios en un campo arbitrario K se pueden dividir entre sí con un
residuo. Dividiendo el polinomio 𝑃(𝑥) por el polinomio 𝑄(𝑥) con un residuo
significa encontrar los polinomios S(x) (cociente) y R(x) (resto) tal que
𝑃(𝑥) = 𝑆(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
Por otra parte, el grado del polinomio R(x) debe ser inferior al grado del
polinomio Q(x) o puede ser el caso que 𝑅(𝑥) = 0.
86
Tengamos 𝑃(𝑥)𝑦 𝑄(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑄(𝑥) ≠ 0 dos polinomios cualesquiera sobre el
campo K. Demostramos que es posible dividir el polinomio 𝑃(𝑥) por el
polinomio 𝑄(𝑥) con un residuo.
Sean
𝑷(𝒙) = 𝒂𝟎𝒙𝒏 + 𝒂𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝒂𝒏
𝑸(𝒙) = 𝒃𝒙𝒎 + 𝒃𝟏𝒙𝒎−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒎−𝟏𝒙 + 𝒂𝒎
Si 𝑛 < 𝑚 se tiene que 𝑆(𝑥) = 0 𝑦 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) y así obtenemos el cociente
y el resto requerido. 𝑆𝑖 𝑛 ≥ 𝑚 , a continuación, consideramos el polinomio.
𝑃(𝑥) −𝑎0
𝑏0 𝑥𝑛−𝑚𝑄(𝑥) = 𝑅1(𝑥)
Este polinomio no contiene monomios en 𝑥𝑛 porque su grado no es mayor que
𝑛 − 1 o simplemente 𝑅1(𝑥) = 0.
Entonces el polinomio 𝑅1(𝑥) tiene la siguiente forma:
𝑹𝟏(𝒙) = 𝒄𝟎𝒙𝒌 + 𝒄𝟏𝒙
𝒌−𝟏 + ⋯+ 𝒄𝒌−𝟏𝒙 + 𝒄𝒌
𝑆𝑖 𝑘 ≥ 𝑚 , a continuación, consideramos el polinomio.
𝑅1(𝑥) −𝑐0
𝑏0 𝑥𝑘−𝑚𝑄(𝑥) = 𝑅2(𝑥) etc…
Dado que el grado del polinomio obtenido es estrictamente inferior al grado del
polinomio precedente, este procedimiento debe terminar, es decir, en algún paso
obtenemos
𝑅𝑠−1(𝑥) −𝑑0
𝑏0 𝑥𝑙−𝑚𝑄(𝑥) = 𝑅𝑠(𝑥)
87
Cuando el grado de 𝑅𝑠(𝑥) es inferior al grado de 𝑄(𝑥) o 𝑅(𝑥) = 0
Por lo tanto, tenemos
𝑃(𝑥) =𝑎0
𝑏0 𝑥𝑛−𝑚𝑄(𝑥) + 𝑅1(𝑥)
=𝑎0
𝑏0 𝑥𝑛−𝑚𝑄(𝑥) +
𝑐0
𝑏0 𝑥𝑘−𝑚𝑄(𝑥) + 𝑅2(𝑥)
=𝑎0
𝑏0 𝑥𝑛−𝑚𝑄(𝑥) +
𝑐0
𝑏0 𝑥𝑘−𝑚𝑄(𝑥) + ⋯… . .+
𝑑0
𝑏0 𝑥𝑙−𝑚𝑄(𝑥) + 𝑅𝑠(𝑥)
= (𝑎0
𝑏0 𝑥𝑛−𝑚 +
𝑐0
𝑏0 𝑥𝑘−𝑚 + ⋯… . .+
𝑑0
𝑏0 𝑥𝑙−𝑚)𝑄(𝑥) + 𝑅𝑠(𝑥)
En consecuencia, la expresión entre paréntesis es el cociente de la división del
polinomio 𝑃(𝑥) por el polinomio 𝑄(𝑥) y 𝑅𝑠(𝑥) es el Resto. El procedimiento de
la división de dos polinomios descritos en este trabajo se llama algoritmo
euclidiano. (Redheffer, 1975)
Se propone el siguiente ejercicio para el estudiante.
Complemento y ejercicios.
1. Sean:
𝑃(𝑥) = 𝑆1(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅1(𝑥)
𝑃(𝑥) = 𝑆2(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅2(𝑥)
para los cuales los grados de 𝑅1(𝑥)𝑦 𝑅2(𝑥) son menores que el grado de
𝑄(𝑥), (es posible que 𝑅1(𝑥) = 0 𝑜 𝑅2(𝑥) = 0). Demuestre que
88
𝑅1(𝑥) = 𝑅2(𝑥) y que 𝑆1(𝑥) = 𝑆2(𝑥)
2.3.3. El Campo de los números complejos.
Se puede deducir que existen campos más pequeños que el campo de los números
reales; por ejemplo, el campo de los números racionales. Ahora construimos un
campo que es más grande que el campo de los números reales: al cual
denominaremos el campo de los números complejos (Arnold, 2004).
Consideremos todos los pares posibles de números reales, es decir, los pares de
tipo (𝑎, 𝑏), donde a y b son dos números reales arbitrarios. Definiremos que
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑), Si y sólo si 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑 en el conjunto de todos estos pares
definiremos dos operaciones binarias, la suma y la multiplicación, de la siguiente
manera:
(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) (𝟐, 𝟐)
(𝑎, 𝑏)(𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) (𝟐, 𝟑)
(aquí entre paréntesis en los segundos miembros de las ecuaciones las operaciones
son las operaciones habituales en números reales). Por ejemplo, obtenemos
(√5, 5) + (√11,−2) = (√5 + √11, 3)
(1,2)(3, −2) = (7,4)
Definición. El conjunto de todos los pares de números reales con las operaciones
de la suma y de la multiplicación definida por (2,2) y (2,3) se denomina campo de
los números complejos.
De esta definición está claro que en los números complejos no hay nada
extraordinario, simplemente los números complejos no son más que pares
89
ordenados de números reales. Sin embargo, podemos preguntarnos: ¿es correcto
llamar números a los elementos de este nuevo campo? Responderemos esta
pregunta un poco más adelante (Arnold, 2004).
Otra cuestión para resaltar y tener en cuenta es la forma en como están definidas
las operaciones de suma y multiplicación de números complejos sobre todo en la
multiplicación. La cual también será respondida en el siguiente punto (Arnold,
2004).
En primer lugar, induzcamos al alumno a descubrir las propiedades del conjunto
de números complejos que hemos definido a través del siguiente complemento y
ejercicios.
A partir de ahora denotaremos los números complejos con una sola letra, por
ejemplo (z o w).
Complemento y ejercicios.
1. Demostrar que los números complejos forman un grupo conmutativo para
la adición.
2. ¿Qué número complejo es el elemento unitario (cero) de este grupo?
3. Demostrar que la operación de multiplicación de números complejos es
conmutativa y asociativa.
4. Sea un número complejo arbitrario, Supongamos que z ≠ (0,0) Demostrar
que existe un número complejo 𝑧−1 tal que
𝑧. 𝑧−1 = 𝑧−1. 𝑧 = (1,0)
Es de hacer notar al estudiante que los resultados de los problemas 3 y 4
muestran que los números complejos forman un grupo conmutativo bajo
multiplicación.
90
5. Demostrar que las operaciones de suma y multiplicación de los números
complejos poseen la propiedad distributiva, es decir, que para cualquier
número complejo
𝑧1(𝑧2 + 𝑧3) = 𝑧1𝑧2 + 𝑧2𝑧3
De los resultados de los problemas 2 – 5 se deduce que los números complejos
con las operaciones de suma y multiplicación definidas por (2,2) y (2,3)
forman un campo. Este campo es denominado el campo de números
complejos.
Para números complejos de tipo (𝛼, 0) donde α es un número real, las fórmulas
(2,2) y (2,3) resultan:
(𝛼, 0) + (𝛽, 0) = (𝛼 + 𝛽, 0)
(𝛼, 0)(𝛽, 0) = (𝛼𝛽, 0)
Por lo tanto, si asociamos a cada número complejo de tipo (𝛼, 0) el número real α
entonces las operaciones con números complejos de tipo (𝛼, 0) corresponden a las
operaciones habituales en números reales. Por lo tanto, simplemente identificar el
número complejo (𝛼, 0) con el número real 𝛼 podemos decir que el campo de
números complejos contiene el campo de los números reales (Redheffer, 1975).
El número complejo (0, 1) no es real (bajo nuestra definición) y lo denotaremos
como 𝑖: 𝑖 = (0,1) ya que el campo de números complejos contiene todos los
números reales y el número 𝑖 , además de contener a todos los números de la
forma 𝑏𝑖 y a los de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 donde a y b son dos números reales
cualesquiera y las operaciones de adición y multiplicación en los números reales
se extienden a las operaciones en números complejos (Redheffer, 1975).
Se le requerirá al estudiante realice el siguiente ejercicio.
91
Complemento y ejercicios.
1. Sea z = (a, b) demostrar que
(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖
Del resultado del problema anterior, obtenemos que
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑐 𝑦 𝑏 = 𝑑 y
Como consecuencia, cada número complejo puede representarse en una forma
única de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 donde 𝑎 𝑦 𝑏 son dos números reales.
En mucha literatura, 𝑎 es denominada parte real del número complejo, y el
coeficiente 𝑏 como la parte imaginaria.
La representación de un número complejo z en la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 es llamada
representación algebraica de z.
Para los números complejos en fórmulas algebraicas de la representación (2,2) y
(2,3) se pueden leer como:
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 (𝟐, 𝟒)
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 (𝟐, 𝟓)
2. Resuelva la ecuación
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑐 + 𝑑𝑖
3. Resuelva la ecuación
92
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0
4. Calcular
a. 𝑖3
b. 𝑖4
c. 𝑖𝑛
5. Encuentre todos los números complejos 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 tales que:
a. 𝑧2 = 1
b. 𝑧2 = −1
c. 𝑧2 = 𝑎2
d. 𝑧2 = −𝑎2
Definición. El número complejo 𝑎 − 𝑏𝑖 se denomina conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
y se representa como 𝑧 de lo cual se deduce
𝑧 + 𝑧 = 2𝑎 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑧. 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
6. Sean 𝑧1, 𝑧2 dos numero complejos cualesquiera. Probar que:
a. 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2
b. 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 − 𝑧2
c. 𝑧1. 𝑧2 = 𝑧1. 𝑧2
d. 𝑧1/𝑧2 = 𝑧1/𝑧2
7. Sea
𝑃(𝑧) = 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
Donde Z es un numero Complejo y 𝑎0, 𝑎1 …… , 𝑎𝑛 ∈ ℝ, demostrar que
𝑃(𝑧) = 𝑃(𝑧)
93
La transferencia a los números complejos es un paso sucesivo en la secuencia:
números naturales – números enteros – números racionales – números reales –
números complejos.
El alumno puede percibir que hasta los números reales se trabaja con números
esencialmente, mientras que los números complejos son objetos de otra
naturaleza. por supuesto, el profesor puede utilizar cualquier terminología que
desee, pero se debe hacer énfasis en que los números complejos deben, de hecho,
considerarse como números (Godement, 1987).
La primera objeción de los estudiantes en contra de esto es que los números
complejos no son números, pero son pares de números. Recordemos, sin embargo,
que de manera similar se definen los números racionales. Un número racional es
una clase de equivalencia de fracciones, y una fracción es un par de números
enteros de la forma 𝑎𝑏⁄ (donde 𝑏 ≠ 0) de esta manera las operaciones en
números racionales son simplemente operaciones en pares de números enteros
(Kurosh, 1978).
Otra objeción debe ser que un número es un objeto que nos permite medir algo.
Otra objeción debe ser. Si pensamos que los números son entidades por las cuales
se puede medir todo, entonces uno debe excluir del conjunto de estas entidades,
por ejemplo, los números negativos porque no hay segmentos de longitud -3 cm, y
un tren no puede ir por – 4 horas. Si, por el contrario, uno piensa que los números
son objetos por los cuales es posible (o conveniente) medir al menos una cantidad,
entonces los números complejos son similares a los otros números: con ellos se
describe muy bien, por ejemplo, el potencial y la resistencia de corrientes alternas
en circuitos eléctricos, que se utilizan extensivamente en electrotecnia. Los
números complejos se emplean con éxito en hidrodinámica y aerodinámica
también (Arnold, 2004).
94
Así que el salto de los números reales a complejos es tan natural como, por
ejemplo, el salto de los números enteros a los números racionales.
2.3.4. La unicidad del número complejo.
Consideremos ahora la cuestión de si los números complejos podrían definirse de
otra forma. En otras palabras, la pregunta que respondemos en esta sección es la
siguiente: queremos obtener un campo, que es una extensión del campo de los
números reales: ¿existe más de un campo que es una extensión del campo de los
números reales? (Arnold, 2004).
Definición. Llamamos una función isomórfica (o simplemente un isomorfismo)
de un campo en otro una función biyectiva Ϙ que es un isomorfismo con respecto
a la adición, y a la multiplicación, es decir, que cumple con: (Arnold, 2004).
Ϙ(𝑥 + 𝑦) = Ϙ(𝑥) + Ϙ(𝑦)
Ϙ(𝑥𝑦) = Ϙ(𝑥)Ϙ(𝑦)
Tal que entre dos campos se puede definir un isomorfismo, entonces se dice que
ambos campos son isomórficos. Si en un campo se considera exclusivamente las
operaciones de adición y multiplicación, entonces los campos isomórficos tienen
propiedades idénticas. Como consecuencia, como en el caso de los grupos, los
campos isomórficos no pueden diferenciarse (Redheffer, 1975).
Como hemos visto en la sección anterior, en el campo de los números complejos
sólo hay un elemento 𝑖 tal que 𝑖2 = −1 el siguiente ejercicio muestra al
estudiante que al añadir este elemento al campo de los números reales uno
necesariamente obtiene el campo de los números complejos (Redheffer, 1975).
Complemento y ejercicios.
95
1. Sea M sea un campo que contenga el campo de números reales y un cierto
elemento 𝑖0 tal que 𝑖02 = −1. Demuestre que M contiene un campo M’
isomorfo al campo de los números complejos.
Podemos decir, que un campo es el campo mínimo con las propiedades
requeridas, Si posee estas propiedades y no contiene otros campos con las mismas
propiedades.
El resultado del problema anterior se puede formular de esta manera: el campo
mínimo que contiene el campo de los números reales, y un elemento 𝑖0 tal que
𝑖02 = −1 es el campo de los números complejos. Este resultado demuestra en
cierto sentido la singularidad del campo de los números complejos. Sin embargo,
otro, mucho más fuerte, sostiene resultados. De hecho, supongamos que
eliminamos el requisito de que el campo M contenga un elemento tal que y
plantea el problema de encontrar todos los campos que son extensiones mínimas
del campo de los números reales. Resulta que sólo hay dos extensiones (hasta
isomorfismo): uno de ellos es el campo de los números complejos. Demuestre esta
afirmación (Arnold, 2004).
Supongamos que el campo M contiene todos los números reales, es decir, que M
contiene todos los números reales y que las operaciones en ellos coinciden con las
operaciones habituales en los números reales. Supongamos, además, que M
contiene un elemento diferente j de todos los números reales. Así para todos los
conjuntos de n números reales 𝑎0, 𝑎1, … . . , 𝑎𝑛 existe en M un elemento igual a
(Redheffer, 1975)
𝒂𝟎𝒋𝒏 + 𝒂𝟏𝒋
𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒋 + 𝒂𝒏 (𝟐. 𝟔)
Llamaremos n al grado del polinomio en la expresión (2,6).
Hay dos casos posibles:
96
a) una cierta expresión de la forma (2.6) es igual a 0 para n≥1
b) no hay expresiones de la forma (2.6) igual a 0 para n≥1
Analicemos primero el caso (a).
Definición. Un polinomio con coeficientes en un determinado campo K se dice
que es reducible sobre K si se puede representar como un producto de dos
polinomios de menor grado con coeficientes en K. En el caso opuesto se dice que
es irreducible sobre K. (Arnold, 2004)
Por ejemplo, los polinomios 𝑥3 − 1 y 𝑥2 − 9𝑥 − 14 son reducibles sobre el
campo de los números reales, porque
𝑥3 − 1 = (𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 + 1 ) y 𝑥2 − 9𝑥 − 14 = (𝑥 − 7)(𝑥 − 2)
mientras que los polinomios 𝑥2 + 1 y 𝑥2 − 𝑥 + 1 son irreducibles sobre el
campo de los números reales. Lo que resulta evidente es que los polinomios de
primer grado sobre cualquier campo son irreducibles.
2. Elijamos, entre todas las expresiones de tipo (2.6), la expresión de grado
mínimo n (n>=1) que se anula en M: la correspondiente ecuación es
𝒋𝒏 + 𝒂𝟏𝒋𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒋 + 𝒂𝒏 = 𝟎
Pruebe que el polinomio
𝒙𝒏 + 𝒂𝟏𝒙𝒏−𝟏 + ⋯+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙 + 𝒂𝒏
no es reducible sobre el campo de los números reales.
97
Se puede demostrar que cada polinomio con coeficientes reales de grado superior
a 2 es reducible sobre el campo de los números reales. Por lo tanto, en el problema
anterior n no puede ser superior a 2. Pero como n ≠1 (de lo contrario deberíamos
tener 𝑗 + 𝑎 = 0 y j sería igual al número real -a). Obtenemos que n=2 (Arnold,
2004)
En consecuencia, en el caso (a) existen dos números reales p y q en M que
satisfacen
𝑥2 + 𝑝𝑗 + 𝑞 = 0
y para el cual el polinomio es irreducible sobre el campo de los números reales.
El alumno deberá realizar entonces el siguiente ejercicio:
3. Demostrar que en el caso (a) el campo M contiene un elemento tal que
𝑖02 = −1
De los resultados de los problemas 1 y 3 se deduce que en el caso a) el campo M
contiene un campo isomórfico M’ para el campo de números complejos. Por lo
tanto, si el campo M es una extensión mínima del campo de números reales
entonces el campo M debe coincidir con M’ como consecuencia, en el caso (a)
cualquier campo mínimo que represente una extensión mínima del campo de los
números reales coincide (es decir, es isomórfico) con el campo de números
complejos. Así que en el caso (a) sólo hay un campo que es una extensión mínima
del campo de los números reales, es decir, el campo de los números complejos
(Redheffer, 1975).
Terminaremos este punto con el siguiente ejercicio.
4. Buscar todos los campos que son extensiones mínimas del campo de
números en el caso (b).
98
2.3.5. Descripción geométrica del número complejo.
Consideremos en el plano un sistema de coordenadas ortogonales (𝑥, 𝑦) y que nos
asocia a cada número complejo de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖 con el punto del plano con
coordenadas (𝑎, 𝑏) obtenemos una correspondencia biyectiva entre todo numero
complejo y todos los puntos del plano. Esta es la primera representación
geométrica de los números complejos (Arnold, 2004).
Se propone el siguiente complemento y ejercicios
Complemento y ejercicios.
1. Qué números complejos corresponden a los puntos indicados en las
siguientes figuras
Figura 9. Ejercicio 1(Descripción geométrica del número complejo)
Fuente: (Arnold, 2004)
99
Figura 10. Ejercicio 2 (Descripción geométrica del numero complejo)
Fuente: (Arnold, 2004)
2. Sean los números complejos representados en el plano cartesiano. ¿Cuál es
la interpretación geométrica de la función Ω definida para cada número
complejo z de las siguientes formas?
a. Ω(z) = -z
b. Ω(z) = 2z
c. Ω(z) = 𝑧
Sean 𝐴 = (𝑥𝑎,𝑦𝑎) 𝑦 𝐵 = (𝑥𝑏,𝑦𝑏) dos puntos en el plano cartesiano, el
segmento AB se denomina el vector 𝐴𝐵 .Las coordenadas del vector son
por definición calculadas en la siguiente forma
𝑋𝐴𝐵 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
𝑌𝐴𝐵 = 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
Dos vectores se consideran iguales si y solo si son paralelos y tienen la
misma dirección y la misma longitud.
100
3. Probar que dos vectores son iguales si y solo si sus coordenadas son
iguales.
El conjunto de vectores iguales se considera un vector único, caracterizado
por sus coordenadas, que se llama vector libre. Poniendo en
correspondencia cada número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 con el vector libre que
tiene coordenadas (𝑎, 𝑏) obtenemos la segunda representación geométrica
de los números complejos.
4. Sean 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 los vectores libres correspondientes a los números
complejos 𝑧1 , 𝑧2 𝑦 𝑧3 . Demostrar que si 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧3 sí y solo si 𝑢 +
𝑣 = 𝑤 donde los vectores se suman de acuerdo a la regla del
paralelogramo.
5. Probar la siguiente relación entre las dos representaciones geométricas de
los números complejos:
Si 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵 𝑦 𝑧 𝐴𝐵 son los números complejos correspondientes a los puntos
A, B y al vector 𝐴𝐵 entonces 𝑧 𝐴𝐵 = 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 .
Por definición, dos vectores iguales tienen longitudes iguales. Esta longitud se
asume además que es la longitud del vector libre correspondiente a un conjunto
dado de vectores iguales.
Definición. Se le llama módulo del número complejo Z (denotado por |𝑍|) a la
longitud de su correspondiente vector libre (Arnold, 2004).
6. Sea 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 Demostrar que:
|𝑍|2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑍.
101
donde es conjugado de 𝑍.
7. Probar las desigualdades:
a) |𝑍1 + 𝑍2| ≤ |𝑍1 | + |𝑍2|
b) |𝑍1 − 𝑍2| ≥ ||𝑍1 | − |𝑍2||
Donde 𝑍1 , 𝑍2 son números complejos arbitrarios. ¿En qué caso se
sostiene la igualdad?
8. Demuestre por medio de los números complejos que en cualquier
paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las
diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de todos
los lados.
2.3.6. Forma trigonométrica del número complejo.
Recuerde que el ángulo entre los rayos OA y OB se define como el ángulo por el
cual el rayo OA gira en sentido contrario a las agujas del reloj sobre el origen O
con el fin de llevarlo al rayo OB (si la rotación es hacia la derecha, el ángulo tiene
el signo negativo. Por lo tanto, el ángulo no se define de forma única, sino que s
una familia de ángulos los cuales difieren en 2𝜋𝑘 radianes donde 𝑘 es cualquier
número entero (Redheffer, 1975).
Definición. Sea el punto O el origen de las coordenadas, y supongamos que el
vector OA con coordenadas (𝑎, 𝑏) que corresponde al número complejo 𝑧 = 𝑎 +
𝑏𝑖 Se denomina argumento del número complejo z y se representa como 𝒂𝒓𝒈 𝒛 al
ángulo formado entre la dirección positiva del eje 𝑂𝑥 y el rayo OA (Figura 11) (si
Z= 0 entonces arg Z no está definido) (Arnold, 2004).
102
Figura 11. Forma trigonométrica del número complejo
Fuente: (Arnold, 2004)
Puesto que para un número 𝑍 ≠ 0 dado que el ángulo no se define de forma única,
por la expresión 𝒂𝒓𝒈 𝒛 nos referiremos a una función de múltiples valores que
toma infinitos valores, cuyas diferencias son iguales a múltiplos de 2𝜋 (Arnold,
2004)
La expresión 𝒂𝒓𝒈 𝒛 = 𝝋 significará que uno de los valores del argumento es
igual a φ.
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 |𝑧| = 𝑟 .El vector 𝑂𝐴 con coordenadas (a, b) corresponde al
número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 y su longitud es por lo tanto igual a r.
Sea 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝜑 se tiene por la definición de funciones trigonométricas.
𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 𝑎
𝑟 𝑆𝑒𝑛 𝜑 =
𝑏
𝑟
Por consiguiente
103
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟. 𝐶𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖. 𝑟. 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 𝑟(𝐶𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖. 𝑆𝑒𝑛 𝜑)
Donde |𝑧| = 𝑟 𝑦 𝑎𝑟𝑔 𝑧 = 𝝋
Luego de esta forma se obtiene la representación trigonométrica del número
complejo
Por ejemplo, sea 𝑍 = −1 + √3 𝑖 entonces |𝑧| = √1 + 3 = 2 y además:
𝐶𝑜𝑠 𝜑 = −1
2 𝑆𝑒𝑛 𝜑 =
√3
2
entonces podemos asumir que 𝜑 = 2𝜋
3 de este modo
𝑧 = −1 + √(3 ) 𝑖 = 2(𝐶𝑜𝑠 2𝜋/3 + 𝑖. 𝑆𝑒𝑛 2𝜋/3)
Se le propone al estudiante el siguiente complemento y ejercicios.
Complemento y ejercicios.
1. Representar en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
a) 1 + 𝑖
b) −√3 − 𝑖
c) 3𝑖
d) −5
e) 1 + 2𝑖
2. Sean 𝑍1 = 𝑟1𝐶𝑜𝑠 𝜑1 + 𝑖𝑟1𝑆𝑒𝑛 𝜑1 y 𝑍2 = 𝑟2𝐶𝑜𝑠 𝜑2 + 𝑖𝑟2𝑆𝑒𝑛 𝜑2
Demostrar que:
a) 𝑍1. 𝑍2 = 𝑟1. 𝑟2(𝐶𝑜𝑠 (𝜑1 + 𝜑2) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 (𝜑1 + 𝜑2))
b) 𝑍1
𝑍2=
𝑟1
𝑟2(𝐶𝑜𝑠 (𝜑1 − 𝜑2) + 𝑖𝑆𝑒𝑛 (𝜑1 − 𝜑2))
104
Así como resultado de la multiplicación los módulos de los números
complejos se multiplican y se suman sus argumentos; como resultado de la
división los módulos se dividen y los argumentos se restan.
3. Pruebe la fórmula de D’Moivre:
[𝑟(𝐶𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜑)]𝑛 = 𝑟𝑛(𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜑 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝑛𝜑)
para cada entero n ≥ 0
4. Calcular (1 − √3𝑖)100
2100⁄
5. Sea 𝑍 = 𝑟 (𝐶𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜑) un número complejo dado y 𝑛 un número
natural. Encuentra todos los números complejos W que satisfacen la
ecuación
𝑊𝑛 = 𝑍
Definición. La raíz de la expresión √𝑍 𝑛
𝑠e denota como una función de
múltiples valores, que pone en correspondencia con cada número complejo
𝑍 ≠ 0 con todas las n raíces de la ecuación del ejercicio 5. Para 𝑍 = 0 se tiene
√0 𝑛
= 0 (Redheffer, 1975)
6. Encuentre todos los valores de las raíces:
a) √−1
b) √83
c) √𝐶𝑜𝑠 100𝑜 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 100𝑜4
d) √𝑖 + 13
En lo sucesivo adoptaremos la siguiente notación:
105
𝜃𝑛 = 𝑐𝑜𝑠2𝜋
𝑛+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
2𝜋
𝑛
7. Demostrar que todos los valores de √−1𝑛
son 1, 𝜃𝑛, 𝜃𝑛2, 𝜃𝑛
3 …… . , 𝜃𝑛𝑛−1
Observación. Dado que 𝜃𝑛𝑛 = 1, el conjunto de elementos 1,
𝜃𝑛, 𝜃𝑛2, 𝜃𝑛
3 …… . , 𝜃𝑛𝑛−1 es un grupo cíclico sobre la multiplicación.
8. Sea 𝜃1 uno de los valores de √𝑍𝑛
, hallar todos los valores de √𝑍𝑛
El profesor utilizara la representación de números complejos por los
puntos del plano, es decir, el número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 corresponderá al
punto del plano que tiene las coordenadas (𝑎, 𝑏) así que en lugar del punto
correspondiente al número complejo Z, vamos a decir simplemente el
punto Z.
9. Sean los números complejos representados por los puntos del plano. ¿Cuál
es el significado geométrico de las siguientes expresiones?
a) |𝑍|
b) Arg Z
c) |𝑍1 − 𝑍2|
d) Arg( 𝑍1
𝑍2)
10. Encontrar la posición en el plano de los puntos Z que satisfacen las
siguientes condiciones (donde 𝑍0, 𝑍1 𝑦 𝑍2 son números complejos dados y
R es un número real dado)
a) |𝑍| = 1
b) |𝑍| = 𝑅
c) |𝑍 − 𝑍0| = 𝑅
d) |𝑍 − 𝑍0| ≤ 𝑅
e) |𝑍 − 𝑍1| = |𝑍 − 𝑍2|
f) Arg z = π
106
g) Arg z = 9𝜋 4⁄
h) Arg z = φ
11. ¿Cómo son todos los valores de √𝑍𝑛
distribuidos en el plano, donde Z es
un número complejo dado?
2.3.7. Continuidad en los números complejos.
En este trabajo investigativo jugará un papel importante la noción de continuidad.
Y, en particular, por la de curva continua. Muchas veces el estudiante no conoce
la definición precisa de tal concepto sin embargo lo entiende intuitivamente, pero
por otra parte podrá responder ¿qué es una curva continua, así como una función
continua de variable real? (en el nivel intuitivo se puede decir que es una función
cuya gráfica es una curva continua). (Arnold, 2004)
Pero si la función de una variable real es suficientemente complicada. Por
ejemplo,
𝑥4 − 2𝑥2
𝑥3 − cos(𝑥) + 3
Decir si es continua o no, usando solo la idea intuitiva es algo complicado.
De ahí damos la definición rigurosa de continuidad y por medio de ella
probaremos algunas propiedades básicas de las funciones continuas. Damos la
definición de continuidad para funciones de una variable real así como para
funciones de una variable compleja (Arnold, 2004).
La gráfica de una función de un argumento real puede ser discontinua en algunos
puntos, y en algunos puntos puede tener algunas rupturas (“huecos”). Por lo tanto,
es natural considerar primero la noción de continuidad de una función en un punto
dado antes de abordar la definición general de continuidad (Arnold, 2004).
107
Si intentamos definir con mayor precisión nuestra idea intuitiva de continuidad de
una función 𝑓(𝑥) en un punto dado obtenemos que la continuidad significa lo
siguiente: bajo pequeños cambios del argumento cerca del punto 𝑥0 el valor de la
función cambia un poco con respecto al valor 𝑓(𝑥0). Además, es posible obtener
una variación del valor de la función 𝑓(𝑥0) sobre un intervalo tan pequeño como
queramos eligiendo un intervalo suficientemente pequeño de la variación del
argumento en torno a 𝑥0. Por tanto podemos formular esto más rigurosamente de
la siguiente forma (Arnold, 2004)
Definición. Sea f una función de una variable real o compleja de z. Se dice que la
función 𝑓(𝑧) es continua en 𝑧0 si para cada 휀 > 0 arbitrario se puede elegir un
número real 𝛿 > 0 (que depende de 𝑧0 y 𝑑𝑒 휀) y de tal manera que para todos los
números 𝑧 que satisfacen la condición |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 implica que la
desigualdad |𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)| < 휀 es cierta (Arnold, 2004).
Como ilustración el profesor desarrollará el siguiente ejemplo:
Demuestre que la función 𝑓(𝑧) = 2𝑧 con argumento complejo es continua en
cualquier punto 𝑧0.Sean el punto 𝑧0 y un número real 휀 > 0. Tenemos que elegir
un número real 𝛿 > 0 tal que para todos los números z que satisfacen la condición
|𝑧 − 𝑧0| ≤ 𝛿. La desigualdad |𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)| = |2𝑧 − 2𝑧0| < 휀 se satisfaga
(Redheffer, 1975).
No es difícil ver eso. Podemos elegir 𝛿 = 휀2⁄ (independientemente del punto 𝑧0)
De hecho, tomando en cuenta la condición |𝑧 − 𝑧0| ≤ 𝛿 se sigue que:
|2𝑧 − 2𝑧0| = |2(𝑧 − 𝑧0)| = |2| |(𝑧 − 𝑧0)| < 2δ =ε
Es decir |2𝑧 − 2𝑧0| < ε , como consecuencia de esto la función 𝑓(𝑧) = 2𝑧 es
continua en cualquier punto del plano 𝑧. En particular, es continua para todos los
valores reales del argumento de z. Por lo tanto, si uno restringe la función a los
108
valores reales del argumento, se obtiene que la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 también es
continua.
Se propone el siguiente ejercicios:
Complemento y ejercicios.
1. Sea 𝑎 un número complejo (o, en particular, real). Probar que la función
compleja (o real) 𝑓(𝑧) = 𝑎, es continua para todos los valores del
argumento.
2. Demostrar que la función de un argumento complejo 𝑓(𝑧) = 𝑧 y la
función de un argumento real 𝑓(𝑥) = 𝑥 son continuas para todos los
valores de su argumento.
3. Probar que la función de argumento complejo 𝑓(𝑧) = 𝑧2 es continua para
todos los valores de 𝑧.
Definición. Sean 𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑧) dos funciones de argumento complejo (o real).
Podemos definir la suma de las funciones 𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑧) a la función ℎ(𝑧) de
argumento complejo (o real) que satisface en cada punto 𝑧0 la relación ℎ(𝑧0) =
𝑓(𝑧0) + 𝑔(𝑧0). Si el valor 𝑓(𝑧0) o el valor 𝑔(𝑧0) no está definido, entonces el
valor ℎ(𝑧0) tampoco está definido. (Arnold, 2004)
Del mismo modo se define la diferencia, el producto y el cociente de dos
funciones.
4. Sean las funciones 𝑓(𝑧) de un argumento complejo o real y 𝑔(𝑧) continuas
en 𝑧0. Probar que las siguientes funciones también son continuas en 𝑧0:
a) ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧).
b) ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧).
c) ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧). 𝑔(𝑧).
109
Del resultado del Problema 4(c) obtenemos, en particular, que si una
función 𝑓(𝑧) es continua en un punto 𝑧0 y n es un número entero, entonces
la función [𝑓(𝑧)]𝑛 también es continua en el punto 𝑧0.
5. Sean 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) dos funciones de argumento complejo (o real) continuas
en 𝑧0 y supongamos que 𝑔(𝑧0) ≠ 0 probar que en 𝑧0 las siguientes
funciones son continuas.
a) ℎ(𝑧) = 1𝑔(𝑧)⁄
b) ℎ(𝑧) =𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)⁄
definición. Sean 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) dos funciones de argumento complejo (o real). Se
llama a la composición de las funciones 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) a la función ℎ(𝑧) que
satisface en cada punto 𝑧0 la ecuación ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑔(𝑧)) . Si el valor de 𝑔(𝑧0) no
está definido, o la función 𝑓(𝑧) no está definida en el punto 𝑔(𝑧0), entonces el
valor ℎ(𝑧0) tampoco está definido.
6. Sean 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) dos funciones de argumento complejo (o real). Sea
𝑔(𝑧0) = 1 y sean las funciones 𝑓(𝑧) 𝑦 𝑔(𝑧) continuas en los puntos 𝑧0 y
𝑧1 respectivamente. Probar que la función es ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑔(𝑧)) es
continua en el punto 𝑧0.
De los resultados de los problemas 4 al 6 se deduce, en particular, que
cualquier expresión obtenida de cualquier función de un argumento
complejo (o real), es continua para todos los valores del argumento, por
medio de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división,
elevación a potencia de un exponente entero y la composición representan
una función continua en todos los puntos en los que el denominador no se
anula.
110
Por ejemplo, de los resultados de los problemas 1 y 2 obtenemos que las
funciones 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧𝑛 y más en general.
𝑓(𝑧) = 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
Son funciones continuas de todo número complejo z, para los números 𝑎0,
𝑎1 …… , 𝑎𝑛 complejos.
7. Demostrar que las funciones de un argumento real 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) son continuas para todos los valores de 𝑥.
8. Considera para todos los valores reales 𝑥 ≥ 0 la función √𝑥𝑛
donde n es un
entero positivo distinto de 0. Probar que esta función es continua para cada
𝑥 > 0
Durante el estudio de la continuidad se encuentran algunas afirmaciones
que intuitivamente parecen evidentes; Sin embargo, sus pruebas exactas
implican serias dificultades técnicas y requiere una definición de los
números reales mucho más estricta que la que normalmente se aprende en
cursos ordinarios, así como el estudio de los fundamentos de la teoría de
conjuntos y de topología.
Un ejemplo de tales declaraciones puede ser representado por la siguiente
proposición. Si una función 𝑓(𝑥) de un argumento real es continua en
algunos intervalos y en este intervalo toma solo valores enteros, entonces
toma solo un valor en todo el intervalo. De hecho, parece intuitivamente
evidente que en la medida en que el punto 𝑥 se mueve en el intervalo, el
valor de la función 𝑓(𝑥) debe cambiar continuamente y no puede "saltar"
de un valor entero a otro.
Sin embargo, probar esta proposición de una manera exacta es bastante
difícil. En el presente trabajo confiamos en la "evidencia intuitiva" de
111
algunas propuestas relacionadas con la continuidad sin dar demostraciones
de ellas.
En particular, adoptamos, sin prueba, algunas proposiciones que tenemos
formuladas en forma de ejemplos.
2.3.8. El teorema fundamental del algebra en el campo de los
números complejos
Considere dos planos de números complejos: el plano 𝑍 y el plano 𝑊, y una
función 𝑤 = 𝑓(𝑧) que pone en correspondencia con cada valor 𝑧 con un valor
𝑤 únicamente definido. Si en el plano Z hay una curva continua C que tiene por
ecuación z(𝑡) entonces mediante la función 𝑤 = 𝑓(𝑧) cada punto de esta curva se
envía un punto al plano 𝑊. De ahí que si la función 𝑓(𝑧) es continua también
obtenemos en el plano 𝑊 una curva continua, la cual tiene ecuación 𝑤0 =
𝑓(𝑧(𝑡)) denotaremos esta curva por 𝑓(𝐶) (Redheffer, 1975).
Proponemos el siguiente bloque de ejercicios para este punto.
Complemento y ejercicios
1. ¿Cuál es la curva 𝑓(𝐶) si 𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑍2 y la curva C es:
a) un cuarto de círculo 𝑧(𝑡) = 𝑅(cos (𝜋𝑡2⁄ ) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑡
2⁄ ))
b) un semicírculo 𝑧(𝑡) = 𝑅(cos (𝜋𝑡) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑡))
c) un círculo (𝑡) = 𝑅(cos (2𝜋𝑡) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑡))
2. Sea la variación del argumento a lo largo de una curva C igual a φ. ¿Cuál
es la variación del argumento a lo largo de la curva 𝑓(𝐶) si:
a) 𝑓(𝑧) = 𝑧2
b) 𝑓(𝑧) = 𝑧3
c) 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛 donde 𝑛 ≠ 0
112
3. Supongamos que la curva C gira 𝑘 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 alrededor del punto 𝑧 = 𝑧0.
¿Cuántas veces gira la curva 𝑓(𝐶) alrededor del punto 𝑤 = 0 si
𝑓(𝐶) = (𝑧 − 𝑧0)𝑛?
4. Supongamos que una curva C gira alrededor de los puntos 𝑧 = 0, 𝑧 = 1,
𝑧 = 𝑖, 𝑧 = −𝑖; 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 veces respectivamente. Cuantas veces la curva
gira alrededor del punto 𝑤 = 0 si:
a) 𝑓(𝑧) = 𝑧2 − 𝑧
b) 𝑓(𝑧) = 𝑧2 + 1
c) 𝑓(𝑧) = (𝑧 + 𝑖𝑧)4
Consideremos la ecuación
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
Donde 𝑎0, 𝑎1, …… , 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 1 𝑦 𝑎0 ≠ 0 son números complejos
arbitrarios, nuestro primer objetivo es mostrar que esta ecuación tiene al
menos una raíz compleja. Si 𝑎𝑛 = 0 entonces evidentemente la ecuación
posee una raíz 𝑧 = 0, por tanto asumimos 𝑎𝑛 ≠ 0
Teorema fundamental del algebra para números complejos
La ecuación
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
Donde 𝑎0, 𝑎1, …… , 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 1 y 𝑎0 ≠ 0 son números complejos
cualesquiera, tiene al menos una raíz compleja
5. Demuestre el teorema de Bézout: Si 𝑧0 es una raíz de la ecuación
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
113
Entonces el polinomio 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 es divisible por
el binomio 𝑧 − 𝑧0 sin resto (división exacta).
6. Demostrar que el polinomio 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
Donde 𝑎0 ≠ 0. Se puede representar en la forma:
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
= 𝑎0(𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2)… . (𝑧 − 𝑧𝑛)
7. Sea una raíz 𝑧0 de la ecuación.
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
Donde 𝑎0, 𝑎1, …… , 𝑎𝑛 son coeficientes reales. Probar que el número
conjugado 𝑧0 también es una raíz de esa ecuación.
8. Supongamos que la ecuación con coeficientes reales.
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
tiene una raíz compleja 𝑧0 que no es un número real. Probar que el
polinomio
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
es divisible por un polinomio de segundo grado con coeficientes reales.
9. Demostrar que cada polinomio con coeficientes reales puede escribirse. En
forma de un producto de polinomios de primer y segundo grado con
coeficientes reales.
114
Observación. Del resultado del problema 9 se deduce que únicamente los
polinomios irreducibles sobre el campo de los números reales son los
polinomios de primer grado y de segundo grado sin raíces reales (Arnold,
2004).
Habíamos utilizado esta propiedad en la sección 3.3 de este capítulo. Sobre
el campo de los números complejos, según el resultado del problema 6,
solo polinomios de primer grado son irreductibles
Definición. Sea 𝑧0 una raíz de la ecuación
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0
Se dice que 𝑧0 es una raíz de orden 𝑘 si el polinomio.
𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
es divisible por (𝑧 − 𝑧0 ) 𝑘 y no por (𝑧 − 𝑧0 )
𝑘+1
10. ¿Cuál es el orden de las raíces 𝑧 = 1 y 𝑧 = −1 ? en la ecuación
𝑧5 − 𝑧4 − 2𝑧3 + 2𝑧2 + 𝑧 − 1 = 0
Definición. Se denomina derivada del polinomio
𝑃(𝑧) = 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
al polinomio
𝑃′(𝑧) = 𝑎0𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎1(𝑛 − 1)𝑧𝑛−2 + ⋯+ 𝑎𝑛−1
115
11. Sean 𝑃(𝑧) 𝑦 𝑄(𝑧) dos polinomios. Probar que:
a) (𝑃(𝑧) + 𝑄(𝑧))′= 𝑃′(𝑧) + 𝑄′(𝑧)
b) (𝐶𝑃(𝑧))′= 𝐶𝑃′(𝑧) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎
c) (𝑃(𝑧). 𝑄(𝑧))′= 𝑃′(𝑧) 𝑄(𝑧) + 𝑃(𝑧)𝑄′(𝑧)
12. Sea 𝑃(𝑧) = (𝑧 − 𝑧0)𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 1 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 Probar que 𝑃′(𝑧) =
𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛−1
13. Probar que si la ecuación 𝑃(𝑧) = 0 tiene una raíz 𝑧0 de orden 𝑘 > 1.
Entonces la ecuación 𝑃′(𝑧) = 0 tiene una raíz 𝑧0 de orden 𝑘 − 1, y si la
ecuación 𝑃(𝑧) = 0 tiene una raíz 𝑧0 de primer orden, entonces 𝑃′(𝑧0) ≠ 0
2.3.9. Campos de Gauss.
En sus estudios sobre los ceros de la derivada de un polinomio 𝑃(𝑧), Gauss señaló
que
los ceros de 𝑃(𝑧), que no son ceros de 𝑃(𝑧), son los puntos de equilibrio del
campo de fuerzas determinado por partículas ubicadas en los ceros de 𝑃(𝑧),
teniendo cada partícula como masa su multiplicidad como cero de 𝑃(𝑧) y donde
cada una de estas partículas repele con una fuerza cuya magnitud es su masa por
el inverso de la distancia.
Este enfoque ha sido utilizado en el estudio de la localización de los ceros de la
derivada de un polinomio por Bocher, Jensen, Walsh y Marden entre otros. En
este capítulo vamos a estudiar los ceros del gradiente de un polinomio de
distancias en el espacio y vamos a generalizar, para esta situación, algunos
resultados clásicos conocidos en el plano.
116
2.3.10. Ecuaciones de 2-do, 3-ro y 4-to grados.
Sin duda, una de las formalidades más conocidas y usadas en la matemática a es la
que provee las alternativas de una ecuación de segundo grado. En cambio, para las
ecuaciones de tercer y cuarto grado tal recurso es prácticamente desconocido, si
perfectamente se sabe que ellas pueden resolverse a través de fórmulas del mismo
lenguaje. Aparecen algunas citas en tomos de tradición sin embargo en la relación
de rendimiento general no se encuentran exposiciones sencillas tampoco mucho
salvo ejemplos o ejercicios.
Por supuesto, la trascendencia de este asunto es más didáctica e histórica que
norma. En ámbito, hoy en día existen apuntes de ordenador que a través de
razonamientos algorítmicos resuelven absolutamente y rápidamente cualquier
ecuación polinómica de cualquier grado.
En todo este escrito, las “ecuaciones” son ecuaciones polinómicas con una sola
indeterminada. Una ecuación de primer grado tiene la forma siguiente, donde los
coeficientes a y b son números reales o complejos y a ≠ 0.
ax + b = 0
Usualmente se denota a simple vista que el único recurso está dado por la
correspondencia siguiente:
x = −𝑏
𝑎
2.3.10.1. Ecuaciones de Grado 2.
La ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0
117
Figura 12. Papiro Rhind
con a ≠ 0, se puede resolver utilizando la formula general
Resulta más atrayente derivación una ecuación de segundo grado, que en general
tiene la siguiente forma donde a, b y c son números reales o complejos y a ≠ 0
ax2 + bx + c = 0
Duplicando esta ecuación por a y aglomerando algunos componentes resultan las
ecuaciones siguientes:
a2 x2 + abx + ac = 0
(ax) 2 + b(ax) = −ac
Precisando la indeterminada y como ax se consigue la subsiguiente ecuación, en
la cual se puede “perfeccionar el cuadrado” como se muestra a continuación:
y2 + by = −ac
𝑦2 + 2𝑦 (𝑏
2) = ac
𝑦2 + 2𝑦 (𝑏
2) + (
𝑏
2)2 = (
𝑏
2)2 − 𝑎𝑐
118
(𝑦 +𝑏
2)2 = (
𝑏
4) − 𝑎𝑐
(𝑦 +𝑏
2) 2 = (
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4)
De forma compleja la ecuación z2 = d tiene dos soluciones: si d es un número real
positivo, son √d y −√d; si es un real negativo, son i√−d y −i√−d; si d es un número
complejo no real, asimismo preexisten dos raíces cuadradas, opuestas la una de la
otra. En todos los argumentos se escribe absolutamente z = ±√ d, donde el signo ±
(más o menos) no simboliza “casi” como en el lenguaje común, sino que
representa “dos valores, opuestos el uno del otro”.
Precisamente las ecuaciones primeras trasfieren a las subsiguientes, reemplazando
de nuevo el valor determinado a y, de igual forma, fraccionando entre a (lo cual es
posible porque a ≠ 0) se obtiene a la muy conocida formula.
Los inicios de la producción de medios para la ecuación cuadrática se encumbran
posiblemente al Neolítico, teniendo demostraciones de valor de este arquetipo de
ecuaciones en la sabiduría china, en la cultura griega.
Método Cardano
Los métodos de resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de tercer y
cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inútiles que esta feo que
un matemático no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de
característica distinta de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, las soluciones de la ecuación
cuadrática (Ivorra, s.f.).
ax2 + bx + c = 0
en una clausura algebraica de K aparecen dadas por:
119
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
entendiendo que la ecuación tiene una única raíz doble x = −b/2a cuando se anula
el
discriminante D = b2 − 4ac.
De esta manera, es célebre que Tartaglia y Cardano localizaron una formula
análoga para
ecuaciones cubicas (en la que aparecen raíces cubicas además de raíces cuadradas)
y que
Ferrari acertó otra más complicada para ecuaciones cuarticas. En circunstancias,
más que
formulas, hallaron métodos de resolución que pueden sintetizar en sendas
formulas, si bien, en el caso de las ecuaciones cuarticas, la fórmula es tan
compleja que trasciende inmanejable, y es preferente representar el proceso de
resolución como un algoritmo de varios pasos. Por último, Abel demostró que,
para n > 4, no coexisten formulas análogas que expresen las raíces de la ecuación
general de grado n en función de sus coeficientes por medio de sumas, productos,
cocientes y extracción de raíces, lo que convierte a las fórmulas de Cardano-
Ferrari en dos particularidades algebraicas.
2.3.10.2. Ecuaciones de Grado 3.
No obstante, tuvo ciertos medios individuales con anterioridad, no fue sino hasta
el siglo XVI que los algebristas italianos Scipione dal Ferro, Niccolo Tartaglia y
Gerolamo Cardano consiguieron el procedimiento para la ecuación cubica
general.
120
Cerca de 1515 Scipione dal Ferro, posiblemente afectar por Luca Pacioli, resolvió
la ecuación cubica de la representación ax3 + bx = c.
El cual no hizo público su resultado, pero lo notificó a su alumno y yerno
Annibale della Nave y al menos a otro alumno, Antonio Maria Fiore. Niccolo
Fontana (apodado Tartaglia), quien llegó a existir a Venecia en 1534, era
acreditado por solucionar ecuaciones cubicas. Fiore reto a Tartaglia a una
concurrencia, para solucionar ecuaciones cubicas, mismo que gano Tartaglia. El
medico Gerolamo (o Girolamo) Cardano estaba perfeccionando un libro maten
ático y, poseyendo referencias del concurso entre Fiore
y Tartaglia, le pertenezco incluir el procedimiento de la ecuación cubica. Intento
persuadir a Tartaglia de que le diera su solución. Al fin lo concluyo, pero, de
acuerdo con Tartaglia, Cardano se comprometió por el Espíritu Santo y su fe
como caballero, no publicar el descubrimiento. En 1539 surgió el libro de
Cardano descarto precedentemente sin la solución de Tartaglia.
2.3.10.3. Ecuación de Grado 4.
El discípulo y ayudante de Cardano, Ludovico Ferrari manifestó que la ecuación
general de grado cuatro se puede someter a una ecuación sitúa y por tanto ser
solventada por medio de raíces cuadradas y raíces cubicas. Cardano explica el
método de Ferrari en su obra titulada Ars Magna, el cual principia con un teorema
sobre cuadrados y rectángulos y utiliza en dos períodos la completación de
cuadrados.
2.3.10.4. Ecuación de Grado 5.
Una vez producidas las fórmulas para las raíces de las ecuaciones de grados 3 y 4,
continuaron infructuosos ensayos para solucionar las ecuaciones de grado 5 por
medio de radicales, es decir, conseguir una formula del mismo modo (que
implicara solamente sistematizaciones fundamentales y extracción de raíces, a
121
partir de los coeficientes de la ecuación). Las raíces de tales ecuaciones existen
(por el Teorema Fundamental del Algebra), podrían lograr bajo otros criterios y
hay metodologías para delimitar, separarlas y aproximarlas.
2.4. Superficie de Riemman de la función 𝒘 = √𝒛.
Se considera funciones de un solo valor para las cuales corresponde un valor
único de la función a cada valor de la variable independiente. En lo que sigue nos
ocuparemos principalmente de las funciones multi-valor, para las cuales hay
valores distintos de la función que corresponden a un valor de la variable
independiente. Explicaremos el motivo de nuestro interés en tales funciones.
De hecho, el objetivo final de nuestro estudio es la prueba del teorema de Abel,
según el cual una función, que expresa las raíces de la ecuación general de quinto
grado, no puede ser representada por radicales. Pero esta función es de múltiples
valores, porque una ecuación de quinto grado tiene, en general, para determinados
coeficientes, cinco raíces. También las funciones que están representadas por
radicales son multi-valuadas (Arnold, 2004).
La idea principal de la demostración del teorema de Abel es la siguiente. Ponemos
en correspondencia con una función multivalor de una variable compleja un grupo
determinado, el llamado grupo de monodromía. Para introducir la noción de grupo
de monodromía, consideramos primero otra noción muy importante en la teoría de
las funciones de una variable compleja: la noción de la superficie de Riemann de
una función. Comenzamos por la construcción de la superficie de Riemann para el
ejemplo más simple de una función multi-valor, la función 𝑤 = √𝑧
Ya sabemos que la función 𝑤 = √𝑧 toma el valor único para w=0 y z=0 los dos
valores z≠0 para todos los valores Además, si 𝑤0 es uno de los valores de √𝑧0
entonces el otro valor de √𝑧0 es −𝑤0. (Kurosh, 1978).
122
Complemento y ejercicios.
1. Encuentre todos los valores de:
a) √1
b) √−1
c) √𝑖
d) √1 + 𝑖 √3 (aquí está el valor positivo de la raíz √3).
Se recorta el plano z a lo largo del lado negativo del eje real de 0 a -∞ y, por cada
z no perteneciente al corte, escojamos el valor 𝑤 = √𝑧 que se encuentra en el
semiplano derecho w. De esta manera obtenemos una función continua de un solo
valor w en todo el plano, excepto el corte. Esta función, que denotamos por 1√𝑧,
define un mapeo continuo y de un solo valor del plano z, excepto el corte, en el
semiplano derecho w. (Arnold, 2004)
Observación. Se elige arg z de tal manera –π< arg z < π, que para la función
1√𝑧 obtenemos 𝑎𝑟𝑔1√𝑧 = ½ arg z. Por lo tanto, bajo el mapa 𝑤 =1 √𝑧 , el
plano z se contrae como un abanico cuyos radios se acortan a medida que su
ángulo de apertura se reduce a la mitad.
Si ahora elegimos, por cada z no tirado en el corte, cuyo valor w= √𝑧 se
encuentra en el semiplano izquierdo w obtenemos otra función, aún única
valorada y continua sobre todo el plano z excepto el corte. Esta función, que
denotamos por 2 √𝑧 define un mapeo continuo de un solo valor del plano z,
excepto el corte, en el semiplano izquierdo w. (Figura 12). Aquí 2 √𝑧 = −1√𝑧 .
123
Figura 13. Ejercicio Mapeo 𝑊=1√𝑧
Figura 14. Ejercicio Mapeo w= 2√𝑧 .
Las funciones 1√𝑧 y 2√𝑧 así definidas se denominan ramas continuas de un
solo valor de la función 𝑤 = √𝑧 (para el corte dado).
Considere ahora dos copias del plano z, que llamaremos hojas, y corte cada hoja a
lo largo del lado negativo del eje real de 0 a -∞. (Figura b).
Tomemos la función 1√𝑧 en la primera hoja y la función 2√𝑧 en la segunda
hoja. Por lo tanto, podemos ver las funciones 1√𝑧 y 2√𝑧 como una función
única de un solo valor, definida ya no en el plano sino en una superficie más
compleja que consta de dos hojas distintas
Entonces, si un punto z se mueve continuamente en la primera (o en la segunda
hoja),sin cruzar el corte, la función de un solo valor que hemos definido varía
continuamente. Pero si el punto z que se mueve, por ejemplo, en la primera hoja,
124
atraviesa el corte, entonces se pierde la continuidad. Esto se desprende de los
puntos de cierre A y B en el plano z enviado por la asignación 1√𝑧 ,
respectivamente, a puntos A’ y B’ lejos uno del otro (ver, Figura a).
Figura 15. Corte 2 √𝑧 = −1√𝑧 .
Por otro lado, es fácil ver en las Figuras 13 y 14 que la imagen del punto A debajo
del mapeo 𝑊=1√𝑧 (el punto A’) está cerca de la imagen del punto D debajo del
mapeo w= 2√𝑧 (el punto D’) Por consiguiente, si, atravesando el corte, el punto
z se mueve desde el lado superior de una hoja al lado inferior de la otra hoja, la
función de valor único que hemos definido varía continuamente. Para garantizar
que el punto z se mueva según lo solicitado, consideramos el lado superior del
corte en la primera hoja unida al lado inferior del corte en la segunda hoja, y el
lado inferior del corte en la primera hoja unida al lado superior del corte en la
segunda hoja (Figura 14). Además, al unir las hojas debemos Añadir entre ellos el
eje negativo real desde el punto 0 al -∞. Durante la primera unión, para los puntos
z que se encuentran en este semieje, elegimos los valores de 𝑤 = √𝑧 mentir en el
lado positivo del eje imaginario, y durante la segunda unión seleccionamos los
valores 𝑤 = √𝑧 sobre los cuales se encuentra el lado negativo del eje imaginario.
(Arnold, 2004)
125
Mediante la unión explicada anteriormente, hemos transformado la función de 2
valores en otra función 𝑤 = √𝑧 que es de valor único y continua, ya no en el
plano z sino en una nueva superficie. Esta superficie se llama la superficie de
Riemann de la función 𝑤 = √𝑧.
Los intentos de hacer la unión sin intersecciones (y sin inversión del plano) se
hacen en vano. Suponemos que la figura 14 representa una imagen de la superficie
de Riemann de la función 𝑤 = √𝑧. utilizando la convención adicional de que la
auto-intersección a lo largo del lado negativo del eje real solo es aparente (Arnold,
2004).
La superficie de Riemann de una función w =(z) multivalor se puede construir de
manera análoga a la utilizada por la superficie de Riemann de la función 𝑤 = √𝑧.
Para ello, primero debemos separar las ramas continuas de valor único de la
función w(z), excluyendo los puntos z que pertenecen a los cortes. Luego,
tenemos que unir las ramas obtenidas, eligiendo los valores en los cortes de tal
manera que obtengamos una función continua de un solo valor en toda la
superficie. La superficie obtenida es llamada la superficie de Riemann de la
función multivalor w (z) (Kostrikin, 1989).
Sea w(z) una función multivalor y corrija uno de los valores 𝑤0 de la función w(z)
en un cierto punto 𝑧0 .Sea w’(z) una rama continua de un solo valor de la función
w(z) definida en alguna región del plano z (por ejemplo, en todo el plano, excepto
algunos cortes), y tal que w’(𝑧0 ) = 𝑤0 Supongamos, además, que existe una curva
continua C, que se conecta 𝑧0 a un punto 𝑧1 que se encuentra completamente en
la región del plano considerado.
Así mientras el punto z se mueve continuamente a lo largo de la curva C desde 𝑧0
a 𝑧1 la función w’(z) varía continuamente desde w’(𝑧0 ) a w’(𝑧1) (Kurosh, 1978).
126
También se puede usar esta propiedad a la inversa, es decir, para la definición de
la función w’(z), supongamos que, en cierto punto 𝑧0 , uno de los valores 𝑤0 de la
función w(z) será elegido. Sea C una curva continua que comienza en 𝑧0 y
termina en cierto punto 𝑧1. Moviéndose a lo largo de la curva C, elegimos para
cada punto z que se encuentra en C uno de los valores de la función w(z) de tal
manera que estos valores varíen continuamente mientras nos movemos a lo largo
de la curva C a partir del valor 𝑤0. Entonces, cuando llegamos al punto 𝑧1, el
valor 𝑤1 = 𝑤(𝑧1) está completamente definido. Decimos que 𝑤1 es el valor de w
(𝑧1)definido por la continuidad a lo largo de la curva C bajo la condición 𝑤(𝑧1) =
𝑤0 (Arnold, 2004).
Si los valores de la función w(z) elegidos para todos los puntos de la curva C
están representados en el plano w, obtenemos una curva continua que comienza en
el punto 𝑤0y termina en el punto 𝑤1. Esta curva es una de las imágenes continuas
de la curva C debajo del mapeo w=w(z).
Bloque de ejercicios
1. Para la función w(z) =√𝑧 escojamos w(1)= √1=1 . Definir por continuidad w(-
1)= √−1, a lo largo de las siguientes curvas:
a) el semicírculo superior del radio 1 con el centro en el origen de
las coordenadas;
b) el semicírculo inferior (Figura 15).
127
Figura 16 Ejercicio superficie de Riemann(Circulo)
Figura 17. Ejercicio superficie de Riemann ( -1, 1)
1. De hecho, al utilizar para una función la definición por continuidad a lo largo
de una curva determinada, podemos encontrar algunas dificultades. Considere
el siguiente ejemplo.
2. Encuentre todas las imágenes continuas 𝑤0(𝑡) de una curva C con ecuación
paramétrica z(t)=2t-1 (Figura 16 ) debajo del inicio del mapeo :
a) En el punto
b) En el punto -i
128
3. Supongamos que la variación del argumento de z(t) a lo largo de una curva C
sea igual a φ Encontrar la variación del argumento de 𝑤0(𝑡) a lo largo de una
imagen continua arbitraria de la curva C debajo del mapeo 𝑤(𝑧) = √𝑧.
4. Deje 𝑤(𝑧) = √𝑧 y elija 𝑤(1) = √1= -1 Definir el valor de w (i) =√1 por
continuidad a lo largo de:
a) los puntos de unión del segmento z= 1 y z= i
b) La curva con la ecuación paramétrica z=(t) cos ¾ 𝝅- isin 3/2 𝝅t
c) La curva con la ecuación paramétrica z(t)= cos5/2 𝝅t + isin 5/2 𝝅t
5. Deje 𝑤(𝑧) = √𝑧 y elija en el punto inicial de una curva C, 𝑤(1) = √1 = 1
6. Defina por continuidad a lo largo de la curva C el valor de 𝑤(1) = √1 en el
punto final si la curva C tiene la ecuación:
a) 𝑧(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑡 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑡
b) 𝑧(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑡 – 𝑖𝑠𝑖𝑛 4𝜋𝑡
c) 𝑧(𝑡) = 2 – 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑡 – 𝑖 𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑡
5. Sea C una curva cerrada en el plano z (es decir, 𝑧(0) = 𝑧(1)), Demuestre que
el valor de la función √𝑧 en el punto final de la curva C, definido por la
continuidad, coincide con el valor en el punto inicial si y solo si la curva C se
ajusta un par de veces alrededor del punto z=0.
Definición. Sea C una curva continua con una ecuación paramétrica z(t). Se
denota por 𝐶−1 la curva geométricamente idéntica a C, pero orientada en la
dirección opuesta; su ecuación es 𝑧1(𝑡) = 𝑧(1 − 𝑡) (Arnold, 2004).
Definición. Supongamos que el punto inicial de una curva 𝐶2 coincide con el
punto final de una curva 𝐶1 . Denotaremos por 𝐶1 𝐶2 la curva obtenida uniendo el
punto final de 𝐶1 al punto inicial de 𝐶2 . (Arnold, 2004)
Complemento y ejercicios.
1. Demuestre que 1√𝑧 ≠ 2√𝑧 por cada punto z fuera del corte.
129
2. Fije el valor 𝑤′ = 1√𝑧′ en un cierto punto z’ y defina los valores de la función
√𝑧 en los otros puntos z del plano (excepto el corte) por la continuidad a lo largo
de las curvas a partir de y sin intersección con el corte. Probar que las ramas
continuas de un solo valor obtenidas de este modo coinciden con la función 1 √𝑧
(definida por el valor en el punto z’)
3. Probar que al girar alrededor de un punto𝑧0, uno permanece en la misma
hoja de la superficie de Riemann de la función √𝑧 si 𝑧0 ≠ 0 y uno se
mueve sobre la otra hoja si 𝑧0 = 0
La superficie de Riemann de la función √𝑧 se puede representar mediante un
esquema
Figura 18 Ejercicio superficie de Riemann(Circulo)
Este esquema muestra que la superficie de Riemann de la función 𝑤 = √𝑧 tiene
dos hojas, que el punto z=0 es un punto de bifurcación y que al girar alrededor del
punto uno se mueve de una de las hojas a la otra. Además, la flecha entre las dos
hojas en correspondencia con el punto z=0 indica el paso de una hoja a la otra no
solo por un giro alrededor del punto z= 0 sino también por cruzar un punto de la
hoja uniendo el punto z=0 al infinito. Hemos visto que esta relación entre puntos
de ramificación y cortes que provienen de estos puntos no es arbitraria. (Arnold,
2004)
2.4.2. Superficie de Riemann de otras funciones.
Considera la función multi-valorada
130
Complemento y ejercicios.
1. Deje que la variación del argumento a lo largo de la curva z(t) sea igual
a φ, y 𝑤0(𝑡) sea la imagen continua de la curva z(t) bajo el mapeo 𝑤 =
√𝑧3
. Encuentre la variación 𝑤0(𝑡) del argumento a lo largo de la curva.
2. Encuentra los puntos de ramificación de la función √𝑧3
.
3. Hagamos un corte desde el punto z= 0 hasta el -∞ lado negativo del eje
real y asumamos, además, las ramas continuas de función 𝑤 = √𝑧3
de un
solo valor que deben ser dadas por las condiciones:
𝑓1(1) = 1
𝑓2(1) = cos (2𝝅
𝟑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (
𝟐𝝅
𝟑) = −
𝟏
𝟐+ 𝒊√3/2
𝑓3(1) = cos (4𝝅
𝟑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (
𝟒𝝅
𝟑) = −
𝟏
𝟐+ 𝒊√3/2
Encontrar:
a) 𝑓1(𝑖)
b) 𝑓2(𝑖)
c) 𝑓1(8)
d) 𝑓3(8)
e) 𝑓3(−𝑖)
131
4. Dibuje la superficie de Riemann (y su esquema) de la función 𝑤 =
√𝑧3
.
5. Sea C una curva continua con ecuación paramétrica z(t), y sea 𝑤0 uno
de los valores de √𝑧0𝑛 . Probar que existe al menos una imagen continua
de la curva C debajo del mapeo w(z)= √𝑧𝑛
, que comienza en el punto 𝑤0.
6. Supongamos que la variación del argumento a lo largo de una curva
z(t) sea igual a φ y 𝑤0(𝑡) sea la imagen continua de la curva z(t) debajo
del mapeo w(z) = √𝑧𝑛
. Encuentre la variación del argumento a lo largo
de la curva 𝑤0(𝑡)
7. Encuentre los puntos de ramificación de la función √𝑧𝑛
.En la
ecuación 2.5 hemos usado la notación
𝑛 = cos (2𝝅
𝒏) + 𝑖 sin (
2𝝅
𝒏)
y se ha considerado algunas propiedades de este número complejo.
8. Supongamos que una curva z(t) no pasa por el punto z=0 y 𝑤0(𝑡) es
una de las imágenes continuas de la curva z(t) debajo del mapeo
Encuentra todas las imágenes continuas de la curva debajo del mapeo
𝑤 = √𝑧𝑛
.
Del resultado del Problema 6 obtenemos que el punto z=0 no es un punto de
derivación de la función √𝑧2 . Sin embargo, las imágenes de las curvas que pasan
a través del punto z=0 no están definidas de forma única. Por ejemplo, las
imágenes continuas de la línea discontinua AOB (Figura 1) debajo del mapeo 𝑤 =
√𝑧2 son las líneas discontinuas COD, COF, EOD y EOF (Figura 1). Al pasar por
el punto z=0, uno puede permanecer en la misma hoja (las líneas DQO y EOF) o
132
moverse sobre la otra (las líneas COF y EOD). La superficie de función de
Riemann 𝑤(𝑧) = √𝑧2, se muestra en la Figura 2
Figura 19. Superficie de Riemann 𝑤(𝑧) = √𝑧2
Figura 20 Ejercicio superficie de Riemann 𝑤(𝑧) = √𝑧2
Definición. Los puntos donde se pierde la singularidad de las imágenes continuas
de las curvas pero que no son puntos de ramificación se denominan puntos de no
singularidad de la función dada.
Al construir las superficies de Riemann, no se deben dibujar cortes desde los
puntos de no singularidad hasta el infinito: al dibujar cualquier curva, estos puntos
siempre deben evitarse (Arnold, 2004).
Complemento y ejercicios.
1. Dibuje los esquemas de las superficies de Riemann de las siguientes
funciones:
a) √𝑧2 + 2 4
133
b) √𝑧2 4
c) √(𝑧 − 1)2 + (𝑧 − 1)3 4
d) √(𝑧2 − 1)3(𝑧 + 1)3 4
2. Dibuja el esquema de las superficies de función de Riemann √1/𝑧.
3. Dibuje los esquemas de las superficies de Riemann de las siguientes
funciones:
a) √1/(𝑧 − 𝑖)
b) √(𝑧 − 1)/(𝑧 + 1)3
c) √(𝑧 + 𝑖)2/(𝑧 (𝑧 − 𝑖)3)4
Resolviendo los problemas de esta sección, siempre hemos encontrado que,
después de haber hecho los cortes de todos los puntos de la rama al infinito, la
función considerada resultó ser descomponerse en ramas continuas de un solo
valor que se unen entre sí de una manera definida por los cortes. Esta la propiedad
es poseída por una clase bastante amplia de funciones. En particular, está poseído
por todas las funciones que hemos considerado, por ejemplo, por todas las
funciones representables por radicales (Ecuación 2.11) y por funciones
algebraicas (Ecuación 2.14) (estas dos clases son casos especiales de una clase
más amplia de funciones, llamada analítica, que posee esta propiedad también)
(Arnold, 2004).
Monodromía de la propiedad. Supongamos que dos curvas continuas 𝐶1 y 𝐶2 en el
plano z unen dos puntos 𝑧0 y 𝑧1 no pasan ni por los puntos de derivación ni por
los puntos de no singularidad de la función w(z). Además, supongamos que la
134
curva 𝐶1 se puede transformar, variando continuamente, en la curva 𝐶2 en tal una
forma en que ninguna de las curvas durante la deformación pasa a través de los
puntos de ramificación, y que los extremos de estas curvas son fijos (consulte la
Figura 35 a y b son puntos de ramificación). Por lo tanto, el valor 𝑤(𝑧1) se define
de forma única por la continuidad a lo largo de las curvas 𝐶1 y 𝐶2 (cuando
𝑤0𝑤(𝑧0) se elige un valor). (Arnold, 2004).
Complemento y ejercicios.
1. Supongamos que una función w(z) posee la propiedad de la
monodromía. En el plano z , haga los cortes, sin intersecarse entre sí,
desde los puntos de w(z) la rama hasta el infinito. Demuestre que de esta
manera la función se descompone en ramas continuas de un solo valor.
2. Suponga que en las condiciones del problema anterior, los cortes no
pasan a través de los puntos de no unicidad de la función w(z) y que w(z)
tienen un número finito de puntos de ramificación. Demuestre que al
atravesar el corte (en una dirección definida) uno se mueve de una rama
dada de la función w(z) a otra, una bien definida, independientemente del
punto real en el que se cruza el corte.
Durante un giro alrededor de un punto de bifurcación uno atraviesa una vez que el
corte une este punto al infinito. En consecuencia, en virtud del resultado del
problema 2, los pasajes entre dos ramas diferentes que atraviesan el corte en un
punto arbitrario coinciden con los pasajes obtenidos por un giro (con la
orientación correspondiente) alrededor del punto de la rama desde el cual se ha
dibujado el corte, y así coinciden con los pasajes indicados por las flechas en
correspondencia con este punto en el esquema de la superficie de Riemann
(Kostrikin, 1989).
135
A partir de los resultados de los problemas 1 y 2, se deduce que si una función
multivalor w(z) posee la propiedad de monodromía, entonces uno puede construir
su superficie de Riemann. Para entender la estructura de esta superficie basta con
encontrar los puntos de ramificación de la función w(z) y definir los pasajes entre
las ramas correspondientes a los giros alrededor de estos puntos (Kostrikin, 1989).
Todas las funciones que consideraremos en la secuela poseen la propiedad de
monodromia. No probamos exactamente esta afirmación, porque para esto sería
necesario poseer la noción precisa de la función analítica. Sin embargo, damos la
idea de la prueba de la afirmación de que una función w(z) posee la propiedad de
la monodromía si es "suficientemente buena" (Arnold, 2004).
Supongamos que se cumplen las condiciones requeridas por la propiedad de la
monodromía. Sean 𝐶′′1 y 𝐶′′2 las imágenes continuas de las curvas 𝐶1y 𝐶2 bajo el
mapeo w(z) con 𝑤0 = 𝑤(𝑧0) como punto inicial. Tenemos que demostrar que las
curvas 𝐶′′1 y 𝐶′′2 las terminan en el mismo punto.
Supongamos primero que todas las curvas obtenidas se deforman 𝐶1 para 𝐶2 que
no pasen por los puntos de derivación ni por los puntos de no singularidad de la
función. Sea C una de estas curvas. Por lo tanto, existe una imagen 𝐶′′única de la
curva C’ bajo el mapeo w(z) que comienza en el punto𝑤0 = 𝑤(𝑧0). Si la función
w(z) es 'suficientemente buena' , durante la deformación continua de la curva C
desde 𝐶1 a 𝐶2 la curva C’ se deforma continuamente desde 𝐶′1 hasta 𝐶′2.
El punto final de la curva 𝐶′es continuamente desplazado también. Pero la curva
C termina en el punto 𝑧1, por lo tanto, el punto final de la curva 𝐶′ debe coincidir
con una de las imágenes de 𝑧1. Si la función w(z) toma en cada z (en particular a
𝑧1) en solo un número finito de valores (y consideramos solo funciones de este
tipo), entonces el punto final de la curva 𝐶′ no puede saltar de una imagen de un
punto 𝑧1 a otro, ya que esto debería destruir la continuidad de la deformación
(Arnold, 2004).
136
De ahí los puntos finales de las curvas 𝐶′ y, en particular, de 𝐶′1y 𝐶′2 de sí
coinciden.
Considere ahora qué sucede cuando la curva C pasa por un punto de no unicidad
(cuando no es un punto de derivación) de la función. Considere solo el caso
particular en el que la curva varía solo en la vecindad de un punto de no unicidad,
por ejemplo. Si a en el punto 𝑧0 uno ha elegido un valor 𝑤0 = 𝑤(𝑧0 ), entonces
se define por continuidad el valor de w(z) en el punto A.
Posteriormente, los valores de w(z) en el punto E se definen únicamente por
continuidad a lo largo de las curvas ADE y ABE, porque de lo contrario, se hace
un giro a lo largo de la curva EDABE, el valor de la función w(z) debería cambiar
a y el punto debería ser un punto de ramificación de la función w(z).
Posteriormente, como habíamos definido únicamente el valor de w(z) en el punto
E a lo largo de las dos curvas, también definimos por continuidad a lo largo de la
curva 𝐸𝑍1 el valor de w(z) en el punto (Arnold, 2004). Por lo tanto, el punto
"oscuro" en nuestra exposición sigue siendo la afirmación de que todas las
funciones que consideraremos son "suficientemente buenas".
2.4.3. Funciones representables por radicales.
Definición. Sean f(z) y g(z) sean dos funciones multivalor. Por 𝑓(𝑧) +
𝑔(𝑧) denotaremos la función multivalor cuyos valores en un punto 𝑧0 se obtienen
al agregar cada valor 𝑓(𝑧0) a cada valor de 𝑔(𝑧0) Similar, se definen las funciones
𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧), 𝑓(𝑧). 𝑔(𝑧) y 𝑓(𝑧)/ 𝑔(𝑧). (Arnold, 2004)
Por [𝑓(𝑧)]𝑛 , donde n es un entero arbitrario no cero, denotaremos una función
cuyos valores en el 𝑧0 punto se obtienen elevando para potenciar n cada valor
𝑓(𝑧0 ).
137
Por √𝑓(𝑧),𝑛 donde n es un entero distinto de cero, denotaremos la función cuyos
valores 𝑧0 en un punto se obtienen extrayendo todas las raíces n del orden
𝑓(𝑧0)de cada valor (Arnold, 2004).
Complemento y ejercicios.
Encuentra todos los valores de:
a) √−83
+ √2𝑖
b) ( 1 − √−2𝑖)/√−4;
c) √𝑖 + √−1
d) √(1 + 𝑖)24
e)(√𝑖 + √𝑖)2
Definición. Diremos que una función h(z) es representable por radicales si puede
escribirse en términos de la función f(z) =z y de funciones constantes (g(z)=a, a
como cualquier número complejo) por medio de las operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, aumento de una potencia y extracción de números
enteros de una raíz de orden entero. (Arnold, 2004)
Por ejemplo, la función ℎ(𝑧) = (√√𝑧 + 3𝑧2 − 3/√𝑧3
)4es representable por
radicales. Ya hemos visto otras funciones que son representables por los radicales.
Bloque de ejercicios.
138
1. Sea una función ℎ(𝑧) representable por radicales y sea C una curva
continua en el plano z, que comienza en un punto 𝑧0 y no pasa por los
puntos en los que ℎ(𝑧) no está definido. Demuestre que si 𝑤0 es uno de los
valoresℎ(𝑧0) , entonces existe al menos una imagen continua de la curva C
bajo el mapeo 𝑤 = ℎ(𝑧) que comienza en el punto 𝑤0 (Suponemos que la
ecuación paramétrica 𝑤(𝑡) = 𝑎 donde a es un número complejo dado,
describe una curva degenerada a un punto)
2. Teniendo ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)
Eliminar del plano todos los puntos de no singularidad de la función h(z) y
haga que los cortes no se intersecten entre sí, comenzando desde todos los
puntos de la rama f(z) e g(z) y hasta el infinito. Sean 𝑓1(𝑧), … 𝑓𝑛(𝑧) y
𝑔1(𝑧), …𝑔𝑚(𝑧) sean las ramas continuas de un solo valor de las funciones
𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑧) definidas en el plano con los cortes. Encuentra las ramas
continuas de un solo valor de la función ℎ(𝑧).
3. Encuentre todos los valores de 𝑓(1) si:
a) 𝑓(𝑧) = √𝑧 + √𝑧
b) 𝑓(𝑧) = √𝑧 + √𝑧24
c) √𝑧3
+ √𝑧3
4. Dibuje los esquemas de las superficies de Riemann usando el método
formal y los esquemas correctos para las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑧) = √𝑧 + √𝑧
b) 𝑓(𝑧) = √𝑧 + √𝑧24
139
c) √𝑧3
+ √𝑧3
5. Construye los esquemas de las superficies de Riemann de las siguientes
funciones:
a) (√𝑧4
)2
b) (√𝑧 + √𝑧)2
c)(√𝑧. √𝑧 − 13
)3
Analicemos ahora cómo se relaciona la superficie de Riemann de la
función √𝑓(𝑧) 𝑛con el esquema de la superficie de Riemann de la función
𝑓(𝑧)
6. Sea C una curva en el plano z con una ecuación paramétrica 𝑧(𝑡) y sea
𝑤0(𝑡) la ecuación paramétrica de la imagen continua de la curva C en el
plano w debajo del mapeo 𝑤 = √𝑓(𝑧) 𝑛. Demuestre que la curva con la
ecuación 𝑤𝑘(𝑡). 𝑛𝑘 es también una imagen continua de la curva C bajo el
mapeo 𝑤 = √𝑓(𝑧) 𝑛
Teorema. Construir los esquemas de las superficies de Riemann de las funciones
ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧) − 𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧). 𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧) = 𝑓(𝑧)/ 𝑔(𝑧)
140
A partir de los esquemas de las superficies de Riemann de las funciones 𝑓(𝑧) y
𝑔(𝑧) con los mismos cortes, basta con hacer lo siguiente:
a) poner en correspondencia con cada par de ramas,𝑓𝑖(𝑧) y 𝑔𝑖(𝑧) una hoja
en la cual la rama ℎ𝑖𝑗(𝑧), es igual a
𝑓𝑖(𝑧) + 𝑔𝑖(𝑧)
𝑓𝑖(𝑧) − 𝑔𝑖(𝑧)
𝑓𝑖(𝑧). 𝑔𝑖(𝑧)
𝑓𝑖(𝑧)/𝑔𝑖(𝑧) se define;
b) Si girando alrededor del punto 𝑍0 uno se mueve desde la rama 𝑓𝑖1(𝑧) a
la rama 𝑓𝑖2(𝑧) y de la rama 𝑔𝑖1(𝑧) a la rama 𝑔𝑖2(𝑧) luego para la función
ℎ(𝑧) por el mismo turno uno se mueve desde la rama ℎ𝑖1,𝑗1(𝑧) a la rama
ℎ𝑖2,𝑗2(𝑧)
c) identificar las hojas en las que coinciden las ramas ℎ𝑖𝑗
Teorema. Para construir el esquema de la superficie de Riemann de la función
ℎ(𝑧) = [𝑓(𝑧)]𝑛 a partir del esquema de la superficie de función 𝑓(𝑧) de Riemann
definido por los mismos cortes, basta con hacer lo siguiente:
a) en el esquema de la superficie de Riemann de la función 𝑓(𝑧) considere, en
lugar de las ramas 𝑓𝑖(𝑧), las ramas ℎ𝑖(𝑧) = [𝑓𝑖(𝑧)]𝑛
b) identificar las hojas en las que coinciden las ramas ℎ𝑖(𝑧).
141
Teorema. Para construir el esquema de la superficie de Riemann de la función
ℎ(𝑧) = √𝑓(𝑧) 𝑛 a partir del esquema de la superficie de Riemann de la función
𝑓(𝑧) definida por los mismos cortes, basta con hacer lo siguiente: (Arnold, 2004)
a) Reemplace cada hoja del esquema de la superficie de Riemann de la
función 𝑓(𝑧)por un 'paquete' de n hojas;
b) Girando alrededor de un punto de derivación arbitrario de la función ℎ(𝑧) ,
uno se mueve de todas las hojas de un paquete a todas las hojas de un
paquete diferente.
c) Estos pasajes de un paquete de hojas a otro corresponden a los pasajes
entre las hojas de la superficie de Riemann de la función 𝑓(𝑧)
d) Si las ramas en los grupos se enumeran de tal manera 𝑓𝑖,𝑘(𝑧) = 𝑓𝑖,0(𝑧)𝑛𝑘
que luego, al pasar de un grupo a otro, las hojas de los paquetes
correspondientes no se mezclan, sino que permutan cíclicamente.
142
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1. Introducción
El presente capítulo tiene como finalidad la presentación y descripción de la
propuesta, la cual se basa en proveer a los profesores de nivel medio superior de
una herramienta de consulta a fin de desarrollar este tema en la asignatura de
Algebra y profundizar el conocimiento del Teorema de Abel y de qué forma hacer
uso del mismo, a través de la Teoría de Grupos y del campo de los números
complejos.
Esta estrategia está fundamentada principalmente en resolución de problemas,
apoyada en las teorías cognitivas, en estrategias orientadas hacia una mejor
transferencia (metacognitivas), en el modelo de Gary Phye para mejorar la
Transferencia y en algunos de los principios del Aprendizaje Programado. Todas
aplicadas al proceso de aprendizaje, y delimitadas por el conjunto de
“Actividades” específicas y propias del teorema de Abel. Estas “Actividades” se
definen como problemas matemáticos de libre escogencia pero que forman parte
integral del currículum regular segun Zehavi (1984).
Las “Actividades”, orientarán a los estudiantes en la resolución de los problemas
que se le presenten y a través de las cuales deberán revelar la acción a desarrollar
en función de la capacidad de transferir el conocimiento impartido de la función
polinómica.
Se elaboró un material didáctico escrito, con contenidos prácticos tanto de la vida
cotidiana, como contenidos relacionados, y con un diseño, donde se requiere por
parte del estudiante un trabajo físico o mental con el fin de capacitarlo para la
transferencia de la función polinómica.
143
Para tener una visión del proceso de aprender de los estudiantes (entender cómo
aprenden lo que se les enseña, en que aciertan y en que fallan y por qué), todas las
“Actividades” contienen estrategias de aprendizaje andragógicas centradas en el
desarrollo de procesos cognoscitivos, así como también consignas motivacionales
y también evaluadoras del estudiante como sujeto pensante. Es importante denotar
que estas consignas forman parte del modelo cognitivo de evaluación educativa de
Bernad.
Para la secuencia en que vienen presentadas, se tomó en cuenta la organización de
experiencias de aprendizaje para satisfacer los requisitos del conocimiento como
disciplina.
Ibarra (1978) estructura y establece las secuencias posibles referidas a la unidad
objeto de estudio de la resolución de ecuaciones de la teoría de Liouville,
diferencial de la teoría de Galois, y topológico obstrucciones. Esta estructuración
y secuencias desarrolladas por él, fueron tomadas para el caso específico de esta
investigación. En lo relativo a los contenidos de cada “Actividad”, algunos de
ellos tienen ideas tomadas tanto del Dr. Donovan Johnson; y de la Doctora Zehavi
Nury; (todos fueron adaptados y modificados sobre la base de promover el
proceso de transferencia), y en su mayor parte, fueron diseñados en su totalidad
por autoría propia, tomando como base la experiencia en la labor docente en
asignaturas propias.
Evidentemente, para determinar qué teorías enmarcan la propuesta a elaborar, se
cumplió con la fase que constituye uno de los pasos que en forma lógica
estructuran el plan de toda investigación: La revisión Documental; incluida desde
el principio en que se decide hacer un trabajo de investigación y se intensifica en
la búsqueda y revisión de antecedentes, en la elaboración de bases teóricas y en la
obtención de definiciones de conceptos básicos.
Esta fase permitió profundizar en las teorías de:
144
- Resolución de Problemas.
- Enseñanza para la promoción de aprendizajes significativos.
- Estrategias para el aprendizaje significativo.
- Transferencia en el Aprendizaje.
Esta fundamentación teórica sirvió de base para la elaboración de una Estrategia
de Aprendizaje centrada en resolución de problemas para promover la
Transferencia.
La educación es un proceso progresivo permanente de parte del ser humano, que
le conduce a un perfeccionamiento integral de su personalidad. El acto educativo
se presenta con las más variadas formas y modalidades donde quiera que vivan los
seres humanos, pero no se realiza de una manera abstracta, sino por el contrario se
debe considerar al educando en su unidad funcional de vida es decir, se deben
tomar en cuenta los fundamentos bio-psico-sociales que definen al hombre como
aprendiz en las diferentes etapas de la vida lo que le confieren particularidad a
cada quien y le garantizan el derecho de singularidad que tiene todo ser humano
de ser cual es dentro de su conglomerado social.
Según Astolfi (2003) en el ámbito educativo siempre se encontrarán expresiones
tales como “falle”, “me equivoque”, es decir no se logró la meta prevista, y así
muchas veces en la vida se cometen errores.
Según Ernest (como se citó en Colina, 2006) “el error es una condición humana,
por tanto, la posibilidad de error siempre estará presente” (p. 3).
El problema del error en el aprendizaje es tan antiguo como la enseñanza misma,
sin embargo, sigue siendo una fuente de angustia y estrés tanto para el docente
145
como para el estudiante, ya que muchas veces se desea trabajar desde lo ideal y no
desde lo real, Astolfi lo expresa de la siguiente manera:
“Todo educador sueña con un mundo ideal donde lo que aprenden los
alumnos es el sosegado reflejo de lo que se les enseña. La realidad le
obliga a aceptar (o al menos tolerar) que el mundo es imperfecto, aunque
nunca pierde la esperanza. Hay algo de paraíso perdido en ésta búsqueda
de “lo perfecto”, pero también una equivocación sobre qué es- y qué
podría ser- aprender, si se aplica este término con toda seriedad”. (Astolfi,
2003, p.1)
Los errores se pueden presentar en los trabajos de los alumnos principalmente
cuando se enfrentan a conocimientos novedosos que los obligan a hacer una
revisión o reestructuración de lo que ya saben. Como señala Matz (1980), “los
errores son intentos razonables, pero no exitosos de adaptar un conocimiento
adquirido a una nueva situación” (p. 94). Se entiende que el error tendrá distintas
procedencias, pero siempre se considerará como un esquema cognitivo
inadecuado y no sólo como consecuencia de falta de conocimiento o de un
despiste.
Al igual que Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en el
alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una
falta específica de conocimiento o una distracción.
Aprender involucra el riesgo de cometer errores, y el aprendizaje de las
matemáticas no escapa de este hecho, Como lo expresa Gil y Gómez (2011) las
dificultades y obstáculos en el área de matemáticas son especialmente palpables
debido a la abstracción que exige el entendimiento de este saber.
El hecho del bajo rendimiento en matemáticas, es una problemática conocida a
nivel mundial, según Colina (2006) “el rendimiento de los alumnos en matemática
146
suele ser bajo y esto no es un problema particular de los países desarrollados, sino
más bien constituye una problemática mundial” (p. 4)
Cabe destacar un dato importante proporcionado por Herrera (2010) donde cita
que en el VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, realizado en
enero de 2009 en la ciudad de Puerto Montt se presentaron al menos ocho
investigaciones dirigidas al estudio de los errores en la enseñanza y aprendizaje.
También es importante resaltar la publicación de al menos seis trabajos
relacionados con el estudio de errores y dificultades en el aprendizaje y enseñanza
de las matemáticas en las Actas Latinoamericanas de Matemática Educativa
(ALME) entre los años 2010-2013, lo que indica que tanto la problemática como
su investigación aún continúan vigente.
El bajo rendimiento en el aprendizaje matemático es una preocupación latente de
las instrucciones a nivel de educación superior, así lo expresa Castillo (2011) al
referirse a carreras donde se imparte cálculo numérico en los primeros semestres:
“Solo un 20 por ciento pasa al segundo semestre sin materias reprobadas. Del 80
por ciento restantes una parte repite, estas materias y el resto que es poco,
abandona” (p. 5).
Aunado a lo anterior, cabe mencionar que específicamente la asignatura de
álgebra es importante para las otras disciplinas matemáticas y necesarias para los
estudiantes en toda su carrera en dicha mención. Inclusive los contenidos
referentes de álgebra están inmersos casi todos los temas programáticos de los
pensum de estudios de diversas carreras universitarias y por su puesto en la
educación matemática. De acuerdo a investigaciones previas se evidencia la
deficiencia en la comprensión y aplicación del contenido de ecuaciones e
inecuaciones. A la hora de presentar evaluaciones se observan los diversos errores
que comenten los estudiantes en ecuaciones e inecuaciones y que se ha convertido
en una problemática general para muchos estudiantes que cursan estudios
universitarios a nivel nacional.
147
De lo anteriormente mencionado se resalta la relevancia de la apropiación de los
contenidos de ecuaciones e inecuaciones por ser el primer tema abordado en la
materia según el programa analítico de la asignatura, y el dominio de este tema
constituirá la base fundamental del aprendizaje de los otros tópicos de la materia y
aun representa un contenido fundamental para el aprendizaje significativo del
resto de las disciplinas matemáticas.
3.2. Objetivos
Consolidar en los estudiantes de matemática los conocimientos previos necesarios
en Álgebra.
3.3. Justificación e importancia
El recorrido básico de álgebra para estudiantes de educación superior se presenta
como una solución, al grave problema de las deficiencias básicas en matemática
que presentan los aspirantes universitarios. De esta forma, se pretende
complementar una enseñanza que no fue impartida en el momento oportuno y que
se caracteriza por necesidades no cubiertas y competencias por consolidar en la
generalidad de los participantes que se inscriben en la especialidad.
Se aspira preparar al estudiante para un mejor desempeño y rendimiento
estudiantil a lo largo de su desarrollo profesional. De igual forma, va a permitir, a
corto plazo, la reducción del número de aplazados en las primeras materias de la
mención, así como la deserción a otras menciones.
Este esfuerzo servirá de base para la formación de los futuros docentes de
matemática, que por ende tendrán un mejor desempeño en sus futuras labores
como docente. En este sentido, el país contará con un personal capacitado para la
enseñanza de la matemática y en la misma medida en que egresen docentes mejor
preparados el sistema educativo comenzará a mejorar; así se obtendrán
cíclicamente estudiantes a nivel universitario con una base más sólida.
148
3.4. Fundamentación
3.4.1. Teoría de la instrucción.
Los resultados de investigaciones sobre la enseñanza han producido nuevos
enfoques, aplicados al desarrollo de materiales instruccionales, módulos,
programas instruccionales, así como sistemas masivos de enseñanza.
Estos enfoques tienen algunos aspectos en común, tales como su fundamentación
en la teoría de sistemas. “Así, las metas de la instrucción se derivan del análisis
del contexto del sistema; los objetivos de la enseñanza se formulan en términos de
las conductas que se esperan alcancen los alumnos; el alumno desempeña el
principal rol en el proceso, por lo cual deben considerarse sus conductas de
entrada, y su evaluación debe realizarse en función de los logros obtenidos por
cada uno de ellos y no comparándolos entre sí” (Dorrego y García, 1993 p.16).
Agregan Dorrego y García (1993) que: “para el diseño de las lecciones se toman
en cuenta las jerarquías del aprendizaje, así como las diferentes fases del
aprendizaje, que determinan las características más adecuadas de los eventos que
promoverán el aprendizaje en cada una de sus fases” (p.16). En este sentido, el
diseño instruccional toma en consideración los tres componentes básicos del
proceso de enseñanza y aprendizaje como lo son alumno, medio y docente.
Al respecto, Sequera (1996) señala que: “De nada vale un docente brillante con
muchos conocimientos, si no toman en cuenta las necesidades de los alumnos, o
un alumno muy inteligente sin la adecuada orientación del profesor con alta
disposición para el proceso, pero sin medios para lograrlo. Es importante y en la
medida de lo posible, mantener un equilibrio y armonía entre estas componentes e
integrarlos para desarrollar una educación eficiente” (p.5).
Es a través del diseño instruccional que se logra una interrelación armónica de
esos tres componentes, haciendo el proceso enseñanza y aprendizaje más
149
Formulación
de Objetivos
Terminales
eficiente. Existen muchos modelos instruccionales, los cuales tienen su basamento
en teorías de sistema. Sin embargo, para efectos de este estudio se seleccionará el
modelo de Dorrego y García (1993) por tener en su estructura todos los elementos
necesarios en la planificación escolar, además es un modelo adaptado al país.
3.4.2. Aprendizaje jerarquizado.
Uno de los aspectos que se deben tener presente cuando se pretende enseñar a los
estudiantes un tópico nuevo es que éste no viene aislado, sino que por el contrario
forma parte de una red dependiente de otros temas básicos sin los cuales el
aprendizaje no es posible. Esto es, existe un conjunto de reglas previas necesarias
para alcanzar las nuevas. En este sentido Gagné (1979) señala que:
“Aunque es útil exponer la adquisición de una regla aislada, en su mayor
parte no se aprenden por separado salvo quizá en el niño de corta edad. En
Tabla 3.
Modelo para el Diseño Instruccional
150
efecto, el escolar y el adulto normalmente aprenden grupos afines de reglas
que pertenecen a un campo más amplio. También se relacionan unas con
otras en el sentido psicológico de que el aprendizaje de unas sirve como
base para el aprendizaje de otras, del mismo modo que los conceptos son
requisitos para aprender reglas”. (p.126)
Dos o más reglas pueden ser el requisito de la adquisición de una regla de orden
superior. Una vez adquirida ésta, se le puede combinar con otra y así
sucesivamente. El conjunto entero de reglas organizadas de esa manera forma una
jerarquía del aprendizaje, que describe, por regla general, la vía eficaz para
conseguir un conjunto organizado de habilidades intelectuales que permiten
comprender un tópico. La adquisición de las habilidades intelectuales que son el
objetivo de la instrucción consiste en la combinación de otras habilidades
aprendidas de antemano.
Según Gagné, el aprendizaje es acumulativo porque las habilidades intelectuales
particulares son transferibles a otras de orden superior y a diversos problemas.
Ello es lo que hace que el aprendizaje no sea aislado, inclusive existen relaciones
entre materias que a simple vista parecieran que son excluyentes unas de otras.
Sin embargo, la biología, por ejemplo, necesita de conocimientos matemáticos
para elaborar modelos poblacionales; la química al igual que la física utilizan
ecuaciones matemáticas en la resolución de problemas. En fin, cualquier tipo de
habilidad intelectual, aunque se adquiera como una entidad relativamente
específica, se generalizará a través de mecanismos de transferencia para la
obtención de muchas otras destrezas y para la solución de problemas nuevos.
En consecuencia, las jerarquías del aprendizaje suelen representar un conjunto
ordenado de reglas y conceptos que el alumno ha de aprender para alcanzar un
conocimiento del tema en cuestión. Para Gagné (1979):
151
Las jerarquías implican que el aprendizaje posee un carácter acumulativo,
gracias al cual la adquisición de reglas específicas crea la posibilidad de
transferir el aprendizaje a varias reglas más complejas de “orden superior”.
Por esta propiedad de transferencia cada habilidad intelectual del individuo
en múltiples sentidos. Las reglas específicas que se adquieren posibilitan el
aprendizaje de otras más complejas, cuya aplicabilidad es cada vez más
general. Se puede pensar que el desarrollo intelectual del hombre se debe a
la adquisición de muchas habilidades intelectuales específicas que
intervienen en el aprendizaje de otras más complejas y generales”. (p.135).
Muchos autores consideran que las jerarquías limitan al estudiante bien dotado,
esto es, aquellos que son capaces de saltar una habilidad previa para aprender otra
de mayor nivel. Sin embargo, Resnick, y Ford (1991) establecen que “… si se
utilizan con prudencia y flexibilidad, las jerarquías bien diseñadas pueden resultar
útiles para asegurarse de que todos los niños, hasta los menos dotados, lleguen a
dominar los principios básicos de las matemáticas escolares, sobre todo las
habilidades de cálculo”. (p.78).
3.4.3. Aprendizaje significativo.
Es importante que el nuevo contenido que se pretenda enseñar se relacione con
aquel que el alumno ya adquirió para que de esta forma el aprendizaje tenga
sentido, es decir, sea significativo. Ello es señalado por Chadwick en estos
términos: “en la planificación de la instrucción se deben destacar las dependencias
del nuevo material con respecto a los materiales ya aprendidos, y la nueva unidad
a ser aprendida debe programarse en una secuencia adecuada para facilitar esa
integración” (Chadwick, 1993 p.17).
Según Ausubel y otros (1987), la posibilidad de que un contenido pase a tener
sentido depende de que sea incorporado al conjunto de conocimientos
previamente existentes en la estructura mental del sujeto. Esto hace que el
152
aprendizaje sea no arbitrario debido a que se lleva a cabo con algún objetivo o
según algún criterio.
Las razones por las cuales Ausubel escoge el aprendizaje de contenido verbal con
sentido, las justifica diciendo que: “la relación no arbitraria entre un contenido
con sentido potencial y los conocimientos previos del individuo, para establecer
nuevas ideas en la estructura cognitiva, permite que el aprendiz explore su
conocimiento preexistente a fin de interpretar la nueva información” (Chadwick,
1993 p.19). A esto se le puede agregar que el hecho de ser significativo el
aprendizaje, minimiza la cantidad de información que debe procesar y recordar el
individuo.
Para Ausubel y otros (1987), “la tremenda eficacia del aprendizaje significativo se
debe a sus dos características principales: su sustancialidad y su falta de
arbitrariedad” (Ausubel y otros, 1987 p.47). La sustancialidad y no arbitrariedad
se refiere a que las ideas se relacionan con algún aspecto existente
específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del alumno, como una
imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición.
Finalmente, Ausubel y otros (1987) concluyen diciendo que: “adquirir grandes
volúmenes de conocimientos es sencillamente imposible si no hay aprendizaje
significativo. La coherencia del discurso, lograda por comprensión, facilita
indudablemente el aprendizaje y la retención; pero a menos que el aprendizaje sea
también significativo será muy poco el conocimiento, organizado de cualquier
otra manera, que pueda asimilarse” (Ausubel y otros, 1987 p.69).
Para efectos de este estudio se tomaron en cuenta no sólo la teoría de la
instrucción y las jerarquías de aprendizaje de Gagné, sino que también fue
considerado el aprendizaje significativo por cuanto es la forma como los
estudiantes adquieren más fácilmente el conocimiento. Es decir, cuando a ellos se
les enseña tomando en cuenta los aspectos ya conocidos y sobre todo que vean la
153
aplicabilidad de los mismos. En tal sentido, el módulo fue elaborado tomando
como base la teoría del aprendizaje significativo.
3.4.4. El Teorema de Abel.
El teorema de Abel plantea lo siguiente:
La ecuación algebraica general de grado n ≥ 5,
𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0
no es soluble mediante el uso de radicales.
Usaremos una metodología para guiar al alumno al resultado esperado y no
abrumarle con la demostración del Teorema de Abel (1824) la cual es extensa y
conocida libros de algebra (Arnold, 2004).
Consideremos la ecuación modelo
3𝑤5 − 25𝑤3 + 60𝑤 − 𝑍 = 0
Tomemos en cuenta a Z como un parámetro y por cada valor de Z lograremos
encontrar las raíces complejas que satisfacen esta ecuación. En virtud del
resultado del problema 6 del bloque de ejercicios, la ecuación dada para tiene 5
raíces (teniendo en cuenta la multiplicidad de estas) (Kurosh, 1978).
Según Rzedowski indica que Paolo Ruffini fue el primero (1799 - 1813) en
alternar de experimentar (y casi comprobar) que la ecuación general de grado 5 o
mayor no se puede solucionar por medio de radicales.
Se denota que, en caso una función es soluble por radicales, su grupo de
monodromía es soluble. Con esto, se experimenta el teorema de Abel-Ru-ni,
154
presentando que existe una familia de ecuaciones de grado 5 que hacen énfasis
una ocupación algebraica con grupo de monodromía no soluble. Esto envuelve la
dificultad de la coexistencia de una fórmula general para ecuaciones de grado
mayor o igual a 5.
Es importante apuntar que, Ruffini se basaba en los métodos de Lagrange.
Consideraba funciones racionales de las raíces de una ecuación general de grado
n. Si m es el número de permutaciones que dejan tal función inalterada, m es un
divisor de n, y el número de servicios desiguales que toma la función, si se alteran
las raíces, es n. Lagrange había comprobado que tal función es raíz de una
ecuación de grado n.
Ruffini expuso que en la demostración de la quintica 5 m puede ser 2 o 5, pero no
3 o 4, lo que simboliza que una resolvente en el resentido de Lagrange que integre
una ecuación de grado 3 o 4 es improbable. Su demostración no era
completamente considerada pues faltaba demostrar que los radicales se obtuvieran
expresar como funciones racionales de las raíces de la ecuación.
A modo que, en el preámbulo, se demostró un esquema de demostración fundado
en el punto de vista de Michael Rosen, que tiene el espíritu de la demostración de
Abel, que usa lenguaje moderno y no manipula la teoría de Galois.
En caso de k un campo con varias raíces de la unidad, un ejemplo de ellos es,
puede tomarse k = C.
Sea f (x) ∈ k[x] un polinomio mónico. Si f(x) = (x − θ1) (x −θ2). . .(x − θn),
llamamos a F = k(θ1, θ2, . . . , θn) un campo de descomposición de f(x) sobre k.
Una dilatación algebraica finita E/k es llamada torre de radicales si existe una
serie de campos intermedios.
k = E0 ⊂ E1 ⊂ · · · ⊂ Em−1 ⊂ Em = E
155
tal que para cada 0 ≤ i ≤ m, Ei+1 = E(pi√αi) donde pi es primo y αi ∈ E ∗ i.
La ecuación f (x) = 0 es soluble por medio de radicales si existe una torre de
radicales E/k tal que F ⊆ E.
Observamos que si f(x) = 0 es soluble por medio de radicales, no necesariamente
se tiene que F/k sea una torre de radicales (por ejemplo, para f(x) = x 3 + x 2 − 2x
− 1 la extensión F/Q es una extensión de Galois de grado 3 que no es radical pues
las tres raíces de f(x) son reales y las raíces primitivas cubicas de la unidad no son
reales, pero que si es soluble por medio de radicales).
La demostración de Abel, fue en 1824, cuando se reproduce a continuidad de las
primeras páginas de la versión de 1824 que está en la edición de Sylow y Lie de
los trabajos de Abel, el pliego completo se logró de la siguiente liga, dicha
demostración antes de morir dejó como legado al universo la demostración del
teorema al cual se consagra este texto. (La demostración de Abel, s.f.).
Figura 21. La demostración de Abel
156
3.5. Diseño del módulo instruccional para la enseñanza de Álgebra
Para el desarrollo del diseño instruccional del módulo propuesto, se consideró el
modelo de Dorrego (1993), en el que las metas de la instrucción surgen a partir
del análisis del contexto del sistema; los objetivos de la enseñanza se formulan en
función de las tareas del alumno y de sus necesidades reales; todo el proceso se
centra en la formación integral del estudiante sobre la base de su experiencia. La
evaluación, en este sentido, se toma en cuenta en relación con la función de los
logros obtenidos por cada uno de los participantes y no comparándolos entre sí.
Por eso, se considera un proceso formativo y uno sumativo final.
Por razones institucionales, se asumió el formato de planificación que se
promueve en la educación superior en el que figuran contenidos conceptuales,
procedimentales y actitudinales, con la descripción general de la evaluación.
Para el desarrollo del diseño Instruccional de este repositorio, fue necesario un
estudio previo del contexto y del perfil de los estudiantes, la sistematización de
contenidos conceptuales, la determinación de contenidos procedimentales y la
estructuración de contenidos actitudinales, así como de actividades de evaluación,
todo construido sobre la base de la experiencia y los aportes de los participantes.
Allí radica el valor práctico de esta propuesta.
3.6. Contexto
El contexto en el que se desarrollará el módulo propuesto será la educación
superior, específicamente, los contenidos están dirigidos a los alumnos de
matemática, quienes requieren la consolidación de competencias básicas y la
fundación de una plataforma cognoscitiva para garantizar el éxito en futuras
asignaturas de altos niveles de complejidad y abstracción.
157
3.6.1. Contenidos conceptuales.
Sobre la base de los aportes de estudiantes y docentes, sujetos de esta
investigación, los contenidos conceptuales que se consideraron para el montaje
del módulo fueron los siguientes:
- Álgebra: Conjuntos, relaciones y funciones.
- Cálculo: Conjunto de los números, operaciones en cada conjunto numérico,
potenciación de cada conjunto numérico, ecuaciones, polinomios, productos
notables y valor absoluto.
- Geometría: Definiciones básicas, figuras geométricas planas, ángulos, pendiente
de una recta, polígonos.
3.6.2. Contenidos procedimentales.
Este tipo de contenidos, que para Dorrego (1993) deben estar centrados en el
alumno, poseen relación directa con los anteriores y son los siguientes:
Álgebra
Conjuntos
• Definición de conjunto.
• Clasificación de los conjuntos: finito, infinito, vacío, unitario y universal.
• Definición de subconjunto.
• Identificación de un subconjunto.
158
• Reconocimiento de formas para determinar un conjunto: - Por extensión, -
Por comprensión.
• Realización de operaciones con conjuntos: unión, intersección,
complemento, diferencia, diferencia simétrica.
Relaciones
• Definición de relación
• Tipos de relaciones: reflexivas, simétricas y transitivas.
• Relaciones de equivalencia.
• Reconocimiento de relaciones con conjuntos: reflexivas, simétricas,
transitivas y de equivalencia.
Funciones
• Definición de función.
• Clasificación de las funciones: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
• Identificación del dominio de una función.
• Identificación del rango de una función.
• Reconocimiento de una función inversa.
• Reconocimiento de una función compuesta.
• Identificación de funciones notables.
159
Ecuaciones
• Resolución de ecuaciones en el conjunto de los números.
Polinomios
• Definición de polinomios.
• Clasificación de los polinomios (monomios, binomios, trinomios y
polinomios).
Productos notables
• Desarrollo de ejercicios de aplicación de productos notables en el contexto
de los conjuntos numéricos.
Valor absoluto
• Definición de Valor Absoluto.
• Reconocimiento del Valor Absoluto en cantidades propuestas.
• Reconocimiento del Valor Absoluto en los números reales.
• Resolución de ecuaciones en las que se apliquen las propiedades del Valor
Absoluto en números reales.
Geometría
Definiciones básicas
• Definición de punto.
160
• Definición de semirrecta.
• Definición de segmento.
• Definición de semiplano.
• Definición de plano.
• Definición de recta perpendicular.
Figuras geométricas planas
• Determinación en triángulos de: longitud, área, base, altura, mediana,
baricentro (punto de corte de las tres medianas), bisectriz, perímetro.
• Determinación en círculos de: área, radio, diámetro, cuerda y arco.
• Determinación en cuadrados, rectángulos, rombos y trapecios de: base,
altura, perímetro, longitud y área.
Ángulos
• Definición de ángulo.
• Clasificación de los ángulos según su magnitud,
sus características y su posición.
Pendiente de una recta
• Definición de pendiente de una recta.
• Cálculo de la pendiente de una recta.
161
• Representación de la pendiente de una recta
Polígonos.
• Definición de polígonos.
• Clasificación de los polígonos en cóncavos y convexos.
• Representación de polígonos cóncavos y convexos.
Contenidos actitudinales
Valoración de los contenidos para la transferencia a situaciones reales
contextualizadas en la vida cotidiana de los participantes.
Apreciación de los contenidos desarrollados como base y plataforma para el
desarrollo de asignaturas de mayor nivel de complejidad dentro del pensum de
formación profesional.
Promoción del trabajo en equipo
Establecimiento de relaciones significativas entre la creatividad y la resolución y
proposición de problemas contextualizados.
3.6.3. Estrategias metodológicas.
Realización de esquemas previos por parte del docente para la presentación de la
información.
Exposición sobre los diferentes tipos de conjuntos y sobre los conjuntos de
diversos tipos de números.
162
Discusión en aula y resolución de ejercicios mediados por el docente.
Desarrollo de talleres y sesiones prácticas en los que se promueva el trabajo
grupal.
Desarrollo de ejercicios en forma individual para consolidar conocimientos
previos y competencias básicas relacionadas con el área.
Actividades de evaluación
Formativa
Consultas y mediación de apoyo a los participantes por parte del facilitador.
Prácticas grupales e individuales con resolución sistematizada de ejercicios por
parte de los pares o del mediador.
Sumativa
Pruebas orales en el pizarrón.
Pruebas escritas
Talleres grupales
Producciones individuales y resolución de ejercicios.
En el diseño de cada unidad temática se tomaron en cuenta las jerarquías en la
estructura de los contenidos, así como las diferentes fases del aprendizaje, que
determinan las características más adecuadas de los eventos que promoverán el
aprendizaje en cada momento didáctico, según Dorrego (1993).
163
Seguidamente, se ofrece la planificación sistematizada de la herramienta de
consulta, razón central de esta investigación:
Bloque de Ejercicios
1. Cuales valores pueden ser raíces múltiples de la ecuación
3𝑤5 − 25𝑤3 + 60𝑤 − 𝑍 = 0
¿Para qué valores de Z estas raíces son múltiples?
De la solución del problema anterior se desprende que para la ecuación
anterior 𝑧 = ±38 𝑦 𝑧 = ±16 tiene cuatro raíces distintas, y para los
otros valores de Z tienen 5 raíces distintas. Estudiemos la función W(z).
(Kostrikin, 1989)
Primero probamos que para pequeñas variaciones del parámetro las raíces
de la ecuación (5.1) varían solo ligeramente. Esta propiedad se expresa
más precisamente por el siguiente ejercicio.
2. Sea 𝑍0 un número complejo arbitrario y sea 𝑤0 una de las raíces de la
ecuación (5.1) para 𝑍 = 𝑍0 Consideremos un disco de radio 𝑟
arbitrariamente pequeño con su centro en 𝑤0. Probar que existe un número
real 𝜌 > 0 tal que si |𝑍 − 𝑍′0| < 𝜌 entonces en el disco considerado
existe al menos una raíz de la ecuación (5.1) para 𝑍 = 𝑍′0 también.
Supongamos que la función 𝑤(𝑧) expresa las raíces de la ecuación (5.1) en
términos del parámetro z y 𝑤0 es uno de los valores de 𝑤(𝑧0) (que se
desprende del resultado del problema 2 que si 𝑧 cambia continuamente a lo
largo de una curva, comenzando en el punto 𝑧0, entonces uno puede elegir
uno de los valores 𝑤(𝑧) de tal forma en que el punto 𝑤 también se mueve
continuamente a lo largo de una curva que comienza desde el punto 𝑤0. En
164
otras palabras, la función 𝑤(𝑧) puede ser definida por continuidad a lo
largo de una curva arbitraria C. Por lo tanto, si la curva C evita los puntos
de ramificación y los puntos de no singularidad de la función. La función
𝑤(𝑧) está definida de manera única por continuidad a lo largo de la curva
C.
3. Demostrar que puntos diferentes de 𝑧 = ±38 𝑦 𝑧 = ±16 no pueden ser
ni puntos de ramificación ni puntos de no singularidad de una función que
exprese las raíces de la ecuación (5.1) en términos del parámetro Z.
Sea la función que expresa las raíces de la ecuación (5.1) en términos del
parámetro Z. La función, que es una función algebraica, es en términos de
la literatura "Suficientemente buena", es decir, posee la propiedad de
monodromía. Por lo tanto, se puede construir para la función la superficie
de Riemann. Esta superficie de Riemann evidentemente tiene 5 hojas.
En virtud del resultado del problema 3, los únicos puntos de ramificación
posibles de la función son los puntos 𝑧 = ±38 𝑦 𝑧 = ±16 pero aún no
está claro si este es realmente el caso.
4. Supongamos que se sabe que el punto 𝑧 = 38 (𝑜 𝑧 = −38 𝑜 𝑧 = ±16). Es
un punto de ramificación de la función que expresa las raíces de la
ecuación (5.1) en términos del parámetro 𝑍¿Cómo se unen las hojas de la
superficie de Riemann de la función 𝑤(𝑧) en el punto 𝑧0 (más
precisamente, a lo largo de los cortes que unen el punto hasta el infinito)
5. Sea una función 𝑤0 que expresa las raíces de la ecuación (5.1) en términos
del parámetro 𝑧 . Por otra parte, sea 𝑧0 y 𝑧1 dos puntos arbitrarios
diferente de 𝑧 = ±38 𝑦 𝑧 = ±16 y sean 𝑤0 y 𝑤1 dos imágenes
arbitrarias de estos puntos bajo la función 𝑤(𝑧). Probar que es posible
dibujar una curva continua uniendo los puntos 𝑧0 y 𝑧1 y no pasando a
165
través de los puntos 𝑧 = ±38 𝑦 𝑧 = ±16 tal que su imagen sea
continua, comenzando desde el punto 𝑤0 𝑦 finalizando en el punto 𝑤1.
6. Demuestra que los cuatro puntos 𝑧 = ±38 𝑦 𝑧 = ±16 son puntos de
ramificación de la función 𝑤(𝑧) ¿Cómo podemos representar el esquema
de la superficie de Riemann de la función 𝑤(𝑧)? Dibuja todos los
diferentes esquemas posibles (Consideramos dos esquemas diferentes si no
se pueden obtener uno de otro por una permutación de las hojas y de los
puntos de ramificación).
7. Encuentra el grupo de monodromia de la función 𝑤(𝑧) que expresan las
raíces de la ecuación
3𝑤5 − 25𝑤3 + 60𝑤 − 𝑍 = 0
En términos del parámetro z.
8. Probar que la función 𝑤(𝑧) que expresa las raíces de la ecuación.
3𝑤5 − 25𝑤3 + 60𝑤 − 𝑍 = 0
En términos del parámetro Z no es representable por radicales.
9. Demostrar que la ecuación general algebraica de quinto grado.
𝑎0𝑤5 + 𝑎1𝑤
4 + 𝑎2𝑤3 + 𝑎3𝑤
2 + 𝑎4𝑤 + 𝑎5 = 0
Donde 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5 son parámetros complejos, no es soluble por
radicales, es decir, que no hay fórmulas que expresen las raíces de esta
ecuación en términos de los coeficientes mediante las operaciones de
suma, resta, multiplicación, división, elevación a una potencia entera y
extracción de una raíz de orden entero.
10. Consideremos la ecuación.
166
(3𝑤5 − 25𝑤3 + 60𝑤 − 𝑍)𝑤𝑛−5 = 0
Probar que para 𝑁 > 5 la ecuación algebraica general de grado 𝑁 no es
soluble por radicales.
Los resultados de los problemas 9 y 10 contienen la prueba del teorema de
Abel que es el tema central de este trabajo.
Respecto a esto se hará las siguientes observaciones.
Observación 1. En la introducción se deduce la fórmula de Cardano para la
solución de la ecuación algebraica general de tercer grado. Las raíces de la
ecuación no están dadas por todos los valores expresados por estas fórmulas, pero
solo por aquellos que satisfacen algunas condiciones suplementarias. Uno puede,
por lo tanto, plantear la cuestión de si es posible, también para la ecuación general
de grado n (n≥5) para construir por radicales una fórmula tal que las raíces de la
ecuación son solo una parte de los valores que se expresan por esta fórmula. Esto
no es posible incluso para la ecuación (5.1) (Arnold, 2004).
De hecho, si los valores de la función 𝑤(𝑧) que expresan las raíces de la ecuación
(5.1) en términos del parámetro z es solo una parte de los valores de una función
𝑤1(𝑧) representada por radicales, entonces la superficie de Riemann de la
función 𝑤(𝑧) es una parte separada de la superficie de Riemann de la
función 𝑤1(𝑧). Si G es el grupo de monodromía de la función 𝑤1(𝑧), entonces a
cada permutación del grupo G corresponde una permutación de las cinco hojas de
la función 𝑤(𝑧) . Esta función es un homomorfismo del grupo G en el grupo 𝑆5,
dado que el grupo no es soluble, entonces el grupo G tampoco es soluble. Por otro
lado, el grupo G debe ser soluble, siendo el grupo monodromático de una función
representable por radicales. Así hemos obtenido una contradicción (Kurosh,
1978).
167
Observación 2. De la Observación 1 se deduce que el teorema de Abel también
se mantiene si se permite usar, además de los radicales, algunas otras funciones,
por ejemplo, todas las funciones analíticas (como 𝑒𝑧, 𝑠𝑒𝑛 𝑧, etc.), la función
𝑙𝑛 (𝑧) y algunas otras (Arnold, 2004).
Observación 3. Considere la ecuación (5.1) solo en el dominio de los números
reales. Supongamos que la función 𝑦(𝑥) expresa las raíces reales de la ecuación
(Arnold, 2004)
3𝑦5 − 25𝑦3 + 60𝑦 − 𝑥 = 0
en términos del parámetro real. ¿Es la función 𝑦(𝑥) representable por radicales?
La respuesta es no. Para las personas que conocen la teoría de las funciones
analíticas diremos que esto se desprende del teorema de la continuidad analítica.
De hecho, la función que expresa las raíces de la ecuación (5.1) en términos del
parámetro Z es analítica. Si la función fuera representable por radicales, entonces
la fórmula correspondiente, considerada en el dominio de los números complejos,
debe dar, en virtud del teorema de la continuidad analítica, la función w(𝑧) es
decir, la función sería representables por radicales (Arnold, 2004).
Por lo tanto, el teorema de Abel también se mantiene si se consideran solo las
raíces reales de la ecuación general de grado 𝑛 (𝑛 ≥ 5) para todos los posibles
valores reales de los coeficientes. Además, en virtud de la Observación 2 el
teorema también es válido si se permite usar, además de los radicales, algunas
otras funciones, por ejemplo, todas las funciones con una continuación analítica
de un solo valor, etc.), la función 𝑙𝑛 y algunas otras (Arnold, 2004).
Observación 4. El campo de las funciones algebraicas es enormemente rico e
interesante. En particular, uno puede probar que todas las funciones representables
por radicales son algebraicas. Hemos demostrado que cada función representable
por radicales posee un grupo monodrómico soluble. De lo que resulta que si el
168
análisis se restringe a funciones algebraicas entonces lo contrario también es
válido: si el grupo de monodromía de una función algebraica es soluble, entonces
esta función es representable por los radicales (Arnold, 2004).
Una función algebraica es, pues, representable por los radicales, si y solo si su
grupo monodrómico es soluble.
169
CAPÍTULO IV
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
El proyecto investigativo emprende en la metodología de enseñanza y aprendizaje
de las ecuaciones algebraicas por medio de un método diferente y poco conocido
para muchos estudiantes.
Para el desarrollo del tema primero se indaga en la teoría de grupos puesto que
esta área de las matemáticas se aplica a todas las asignaturas existentes y es la
primicia para la resolución de las ecuaciones algebraica aplicando las operaciones
básicas asociadas a teoremas que permiten la solución de los problemas
planteados.
En segundo lugar, se define lo que son números complejos considerando que este
es un tema que presenta cierta dificultad en los niveles colegiales, pero de mucha
importancia para el estudio de ecuaciones algebraicas.
Como tercer paso se hace un estudio a las superficies de Riemann que
descompone las funciones en ramas que permiten interpretan de mejor manera las
funciones sean sencillas o tengan una estructura más complicada ya que se define
radicales multivalor en el que se fundamenta el teorema de Abel.
Como quinto paso se determina que el teorema de Abel muestra una manera
simple de resolver ecuaciones algebraicas de un orden mayor a cinco por medio
de una serie de radicales que ayudan a simplificar y reducir su grado tornando esta
operación menos complicada evitando errores comunes.
En sexto lugar se realizan ejercicios de los temas mencionados con ello se crea
una fuente de consulta tanto para estudiantes como para docentes que deseen
170
enriquecer su conocimiento en cuanto a ecuaciones algebraicas y su resolución
con un teorema simplificado y de fácil comprensión.
Como séptimo paso se compara la teoría de Abel con la tradicional con lo cual se
demuestra que la teoría de Abel permite resolver las ecuaciones de una manera
más rápida, comprensible y continua.
Para esclarecer esta incógnita, base de un problema relacionado con línea de
investigación pedagogía y didáctica de la matemática, fue necesario determinar un
conjunto de objetivos de acción sobre los cuales se desarrollaron estrategias que
permitieron la propuesta de estas reflexiones finales de todo este trabajo
cualitativo el ámbito educativo, especialmente centrado en un área relacionada
con el desarrollo de las competencias esenciales en matemática en el ámbito de
educación superior, específicamente, Álgebra.
Al estudiar el enfoque didáctico para el desarrollo de competencias relacionadas
con el área de matemática en los estudiantes, se puede inferir que los programas
de Álgebra, proponen sistemáticamente el desarrollo de un conjunto de
competencias complejas que requieren de una base cognoscitiva en los estudiantes
que las cursen, tal como se menciona en su justificación e importancia, para que
los participantes del curso se inserten en el contexto de estas disciplinas, requieren
del dominio de un conjunto de aspectos formales para asegurar la organización
estructural del contenido en sus campos cognoscitivos.
Es por ello que se propuso una herramienta de consulta, como aporte didáctico al,
para que los estudiantes de nuevo ingreso puedan consolidar un verdadero
andamiaje cognoscitivo que sirva de plataforma para el éxito futuro en asignaturas
que les exigirán un cúmulo de conocimientos y competencias previas que se
requieren para el logro de los objetivos de cada programa.
171
No se trata de buscar un culpable del problema. En ocasiones, éste surge de los
alumnos y sus actitudes; en otros, depende de las instituciones donde los
estudiantes se están formando como bachilleres; lo esencial de toda esta situación
analizada es que existe una necesidad que fue considerada en este estudio como
una necesidad instruccional, por lo que se dio un enfoque formativo y remedial a
la herramienta de consulta a través de repositorio de ejercicios para que los
docentes que surgió a partir de este trabajo de investigación.
En las instituciones de educación media y superior, los programas de las
asignaturas deberían nutrirse de la experiencia de los docentes que las imparten y,
al final de cada curso, sería necesario promover reuniones de ajuste y
homogeneización de los contenidos, las estrategias y los enfoques didácticos que
subyacen en ellos. Este proceso de reciclaje y renovación o actualización de los
programas es esencial para vincular el hecho educativo con la realidad de los
participantes que nutren los cursos en cada período académico.
Tomando en cuenta que este estudio fue enmarcado en el contexto de una de las
ciencias de la educación y que los participantes se forman como futuros docentes
que harán vida en las escuelas de nuestro país, se recomienda primero que nada
recordar las dimensiones didácticas de un docente sobre la base de los
planteamientos de Martín (1999). La función esencial de la docencia, no queda
para muchos suficientemente clara, los profesores han de responder sobre:
- Rendimiento y progreso de los alumnos (mediante exámenes públicos).
- Disciplinas o materias del currículum.
- Métodos de enseñanza.
- Seguridad de los niños en los centros.
- Deberes y actividades extra.
172
El profesor ha de responder específicamente a las verdaderas condiciones que
exige el proceso de evaluación. Es decir, que el profesional de la docencia queda
sometido al control del papel que desempeña, el cual no lo ha fijado él, sino que
se lo han encomendado.
Por otra parte, ha de responder a un modelo dialogante, explicando y justificando
ante otros las decisiones que ha tomado y las actuaciones que ha realizado. Para
lograr esta misión, el docente debe utilizar racionalmente los programas de las
asignaturas que imparte como una guía, como un camino que debe recorrer para
lograr sus metas y convertirse en un profesional competente que sea capaz de
entender las necesidades de sus estudiantes, sus debilidades, sus fortalezas y sus
talentos para trabajar sobre la base de la configuración de cada grupo.
Si se pretende conocer el grado de competencia de una persona en formación, es
decir, su conocimiento, sus creencias, actitudes y destrezas o aptitudes la vía es
clara y casi obvia, se indagan en las actitudes de esta persona. En este sentido, se
evalúa al aspirante, con el fin de averiguar su saber y su saber hacer.
De aquí que la evaluación pueda ser no sólo teórica, acerca de lo que sabe, sino
también práctica, con la posibilidad de demostrar en qué medida sabe hacer, de
hecho.
Pues, una evaluación orienta la acción si sirve a la toma de decisiones de poder
elegir u optar entre varias alternativas -las que conoce el profesor- y si se utiliza
con los recursos necesarios y el tiempo adecuado. La evaluación sistemática es un
medio para determinar la formación del personal, su responsabilidad pública o
bien con efectos de promoción.
Por esta razón, fue necesaria durante el desarrollo de esta investigación acción la
integración de los participantes en el proceso de configuración de los contenidos
del repositorio de ejercicios, ya que los mismos sujetos de investigación vivieron
173
experiencias que los vincularon directamente con el problema planteado a inicios
de este trabajo.
A toda intuición de educación compete la formación inicial específica de los
profesionales de la enseñanza y otras carreras que intervienen en el sistema
educativo, como inspectores, diseñadores, asesores técnicos, profesores,
miembros de equipos multiprofesionales encargados de la orientación y
asesoramiento de problemas específicos de aprendizaje, entre otros. Así mismo se
ocuparía la facultad de la formación didáctica del profesorado de secundaria sobre
la base de una pedagogía abierta y con una profunda orientación social.
En una pedagogía de este tipo el aprendiz es el centro del proceso y el objetivo
principal es dirigirlo hacia una autonomía en el aprendizaje. Es a partir de
condiciones sociales y de conocimiento, de creencias, intereses, necesidades y
estrategias de los alumnos como el profesor determina y selecciona los materiales
y metodologías adecuadas. La pedagogía transmite una actitud, y la pedagogía
actual deberá transmitir no pasividad sino dinamismo y disposición al cambio.
Ello implica que el profesor se presente como un colaborador, como un guía que
busca el desarrollo de las potencialidades de los alumnos a través de un verdadero
proceso de evaluación formativa, compartida y analizada en el contexto social en
el que se desenvuelve.
Recomendaciones
Una de las recomendaciones a proponer en este proyecto es su aplicación y
posterior comparación de resultados con el fin de evaluar el proceso de
aprendizaje y enseñanza en los estudiantes que cursan esta asignatura. Los
resultados que se generen se deben demostrar que la compresión de las ecuaciones
algebraicas se desarrolla de una manera más fluida y comprensible en los
estudiantes.
174
El nivel de intuición algebraica de los estudiantes debe agudizarse con la
aplicación de la metodología y de la retroalimentación de los estudiantes y el
profesor con las experiencias que se viven a través de la resolución de ejercicios.
El proyecto en sí apuesta su aplicación y resultados pedagógicos favorables en
cuanto a la enseñanza simple de ecuaciones algebraicas como un avance valioso
en la formación de profesionales con un nivel de conocimientos matemáticos
bastos y bien fundamentados elevando el nivel de capital humano del país en una
manera significativa.
Otro aspecto sobre el cual es necesario reflexionar es la conformación de equipos
de alto desempeño dentro de las instituciones. Se observa cierta tensión que
genera el desacuerdo entre los docentes que el diálogo y las reuniones académicas
periódicas podrían superar fácilmente.
La gerencia actual exige el desarrollo de equipos de alto desempeño que
promuevan la participación de sus miembros como si se tratara de una estructura
física concreta; pero, en este caso, la organización gerencial permite conformar
estructuras sociales en las que cada uno de los participantes cumple una función
determinada e importante que asegura la permanencia y el éxito de todo el
conjunto.
En relación con este argumento inicial, Morín (2003) enriquece estas ideas con
los conceptos de complejidad, sistema abierto, los modelos de la complejidad, las
nociones de pensamiento simple y pensamiento complejo y los conceptos de
programa y estrategia, optando por la concepción de estrategia interactiva.
A la luz de estos puntos de vista, se recomienda la promoción las siguientes
estrategias de evaluación, a la hora de consolidar procesos de formación de
competencias en el ámbito de la formación matemática entendida como parte de la
práctica social de los aprendices:
175
Cooperación entre iguales. Dos o más aprendices colaboran durante la realización
de ejercicios.
Tutoría. Docente y aprendiz interactúan con varios objetivos, no sólo evaluativos.
Comentario magistral. Durante una clase lectiva el docente expone al grupo
aspectos relacionados con la resolución de problemas y manejo de teorías.
Autoevaluación. El aprendiz controla autónomamente su proceso de formación
con algún tipo de ayuda externa (guion, pauta).
Prueba. El docente (o una institución diferente del centro escolar) prepara,
administra, corrige y valora un ejercicio escrito, más o menos desvinculado de la
actividad educativa del aula o la que se promoverá en el futuro, para medir las
capacidades del aprendiz.
Resulta muy importante también fundar en el estudiante y en el docente una
conciencia de trabajo en equipo para beneficio directo de los aprendices. Pare ello,
cada uno de los participantes de la acción didáctica en este ámbito debe tener
claro cuál es su rol.
El educando, por ejemplo, debe saber que entre sus responsabilidades figuran:
Seguir las instrucciones precisas del maestro.
Estar capacitado para autocorregirse o para corregir a un compañero. Estar
consciente de que puede cometer errores; sin embargo, estar abierto a la
observación de docentes o compañeros para poder mejorar.
Eliminar la visión del que espera una calificación en forma de nota. La mejor
recompensa es un trabajo óptimo.
176
El maestro debe saber que es necesario cambiar y eliminar esa visión autoritaria y
conductista del que enseña y deposita sus saberes en el alumno, ente carente de
luz, de conocimiento, por plantear esta situación como una ironía. Por ello debe
eliminarse actitudes como:
Decidir unilateralmente qué es lo que se tiene que evaluar, cómo y cuándo.
Ver la corrección como responsabilidad exclusiva suya. Solo él o ella saben lo
necesario para hacerlo.
La visión de que está obligado a corregir todos los ejercicios. Casi es la
demostración de su capacidad y trabajo.
Estas actitudes positivas o negativas, necesarias para el cambio, redundan en una
filosofía que puede reinar en el aula como base para la acción didáctica. Por esa
razón, se propuso un programa en el que el docente y el alumno se integraron y
participaron en conjunto para el logro de un solo fin: un documento formal para el
desarrollo de acciones orientadas a la verdadera formación sobre la base de la
práctica social.
Los aportes de los docentes, la discusión o los acuerdos entre grupos de
investigadores que actualicen, que revitalicen los programas que promueven cada
semestre o cada año en los institutos donde trabajan es una necesidad imperante.
No se debe instaurar un programa o una estrategia en forma unilateral sino
comunitaria con una visión verdaderamente funcional.
Por último, se recomienda a los docentes no abusar de la intuición, sino
enriquecer los programas que dictan sobre bases sólidas centradas en la
coherencia y la unidad que da la didáctica que puede aportarles la consulta a los
protagonistas de los procesos: sus estudiantes y a los co- protagonistas de la
acción; sus colegas.
177
Este producto, resultado de la investigación, no es definitivo, puede mejorarse con
otros aportes y con la visión de otros investigadores o personas que deseen
participar en ello. La perfectibilidad del trabajo se da gracias a la integración. Se
aspira que, sobre esta base, surjan nuevos estudios de la misma naturaleza que
complementen y completen la labor que ya se ha iniciado.
178
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184
ANEXO A. BIOGRAFÍA DEL AUTOR
LIC. LUIS ANGEL REINOSO PEREZ
Técnico Docente. Universidad de las Américas.
Quito Ecuador
Luis Ángel Reinoso Pérez nació en La Habana el 1 de
marzo de 1957, siendo el único hijo del matrimonio
formado por Juan Ramon Reinoso Diaz, y María Teresa Pérez Gines, ambos de
clase media y con elevaros valores que supieron inculcarle desde pequeño
Fue constante en sus estudios se ha destacado por su dedicación y empeño en los
mismos, aprendió a leer desde la edad de 3 años, asistiendo primeramente a la
escuela primaria Walfrido Hernández. Posteriormente paso su etapa secundaria
básica en las escuelas “Fabric Aguilar” y “Josué País”. Pasando después a la etapa
Pre Universitaria al Instituto Pre Universitario Especial “Raúl Cepero Bonilla”
egresando del mismo en julio de 1975, obteniendo el número 52 en el escalafón
nacional de graduados, lo cual permitió que se le concediera una beca para
estudiar la carrera de Licenciatura en Ciencias de la Computación en la extinta
Unión Soviética (actual Rusia) en la Universidad Estatal M.V. Lomonósov de
Moscú, permaneciendo en la misma hasta el 7mo semestre donde por motivos de
salud después de un accidente paso a la Universidad de la Habana terminando sus
estudios en la carrera de Licenciatura en Cibernética Matemática el día 16 de julio
de 1980.
Su primera experiencia laboral fue en el ININTEF (Instituto de Investigación
Técnica Fundamental) formando parte del cuerpo de investigadores del mismo, en
1983 fue separado de ese centro por tener una actitud contraria al régimen
comunista el cual le privo de continuar sus estudios de candidato a Doctor en
Ciencias Técnicas, a partir de ahí fue jefe del centro de Cálculo del Puerto de la
Habana hasta 1989, renunciando al puesto por la grave enfermedad de su padre
que culmino en su deceso a fines de 1990, y en 1991 se incorporó a la actividad
docente en el Palacio Central de Computación impartiendo sus conocimientos a
los jóvenes ávidos de aprender esta novedosa tecnología del mundo del software.
En 1996 después de un breve paso por una institución estatal logra ingresar a la
Empresa de Telecomunicaciones de Cuba S.A. Donde desarrolla habilidades
como Director de Proyectos participando en la creación del Sistema Nacional de
Facturación Telefónica, mismo que fue desarrollado de conjunto con la empresa
OffNet en la ciudad de Roma entre marzo y mayo de 2000.
En 2001 decide abandonar el país rumbo a Ecuador país que le brindó su apoyo y
acogida y del cual se siente infinitamente agradecido, laboro como instructor de
Informática dictando cursos de software de última tecnología en las empresas de
capacitación Intergrupo y New Horizons, Centro de Educación Continua de la
185
EPN, y la Red Cedia (de la cual forma parte actualmente), así como docente en
algunas universidades de la ciudad de Quito, como la Universidad Israel, la
Universidad SEK, el Instituto de Artes Visuales de Quito y desde 2013 forma
parte del colectivo de profesores la Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas de
la Universidad de la Américas.
Fiel a sus principios de superación y amor a la profesión docente e instando a sus
educandos con el ejemplo decide inscribirse en la Maestría de Docencia
Matemática Universitaria en el 2015 y culminando con muchos desafíos con más
de 60 años de edad la misma en busca de nuevos conocimientos afrontado el
desafío de los estudios conjuntamente con la labor docente y el apoyo a la Red
Cedia con la cual colabora en la catedra de programación y la cual le ayuda como
complemento a fin de aplicar tecnologías de la información y aprendizaje
colaborativo en sus clases, con el objeto de usar las TIC para el mejor aprendizaje
de sus alumnos tanto en el diseño de aulas virtuales y manejo de herramientas e-
learning; para inculcar a sus alumnos en su misión como estudiantes para que
contribuyan al desarrollo de un país mejor y un futuro brillante en su vidas.
