CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL

Juan Pablo ArcilaAndres Felipe BarenoMiguel Angel Pedraza

24 de Septiembre de 2015

Resumen

La energıa es uno de los fenomenos fısicos mas relevantes que se conozcan, en su estudio es unpapel determinante el fenomeno de conservacion, el cual es posible apreciar a traves de diferentes pro-cedimientos. En este caso mediante un pendulo se evidencia como se transforma y conserva la energıaen nuestro sistema experimental, del cual realizando las mediciones pertinentes se concluyo que real-mente si se evidencia una conservacion de la energıa.

1. Objetivos

1. Comprobar experimentalmente la conservacion de la energıa presente en cualquier fenomeno fısico.

2. Encontrar una expresion para el montaje experimental que evidencie una conservacion de la energıadel sistema.

3. Determinar como se evidencia la conservacion de la energıa en el montaje experimental planteado.

2. Introduccion

La energıa es uno de los conceptos de mayor utilidad para la fısica, puesto que mediante esta se pueden re-solver con facilidad gran cantidad de problemas que de otra manera serıan extremadamente complicados,es decir es un concepto unificador de diferentes fenomenos. La definicion de energıa1 va estrechamenteligada a la de trabajo, por lo tanto a continuacion se han de presentar ambas.

Se dice que una fuerza realiza trabajo cuando altera el estado de movimiento de un cuerpo. El trabajode la fuerza sobre ese cuerpo sera equivalente a la energıa necesaria para desplazarlo de manera

acelerada.[1]

Una vez se tiene clara esta definicion se puede hablar de energıa

Energıa es la capacidad de un sistema fısico para realizar trabajo.[2]

Una de las propiedades mas utiles e importantes de la energıa es que esta se conserva, lo cual se conocecomo el principio de conservacion de la energıa, este establece que en un sistema fısico cerrado2 lacantidad total de energıa permanece invariable con el tiempo. La ley de la conservacion de la energıaafirma que la energıa no puede crearse ni destruirse, solo se puede cambiar de una forma a otra[?].

En la mecanica clasica(newtoniana) se distinguen principalmente dos tipos de energıa, energıa potencialgravitacional y energıa cinetica.

Energıa Potencial Gravitacional Es el tipo de energıa mecanica asociada a la posicion de un objetocon respecto a la superficie terrestre, es decir que un objeto adquiere energıa potencial gravitacional

1Dicha definicion es la que se aplica en la mecanica clasica, es decir no es una concepto universal de energıa.2Se dice que un sistema fısico es cerrado cuando no no interactua con otros agentes fısicos situados fuera de el y por

tanto no esta conectado casualmente ni correlacionalmente con nada externo a el.[3]

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cuando se encuentra a cierta altura. Generalmente se representa por la letra U y se calcula mediante.

U = mgh (1)

Donde m representa la masa del objeto, g la aceleracion de la gravedad y h la altura a la cual seencuentra.

Energıa Cinetica Es la energıa asociada al movimiento de un objeto, es decir viene determinada porla velocidad a la cual este se desplaza. Se denota por Ek y se expresa como.

Ek =1

2mv2 (2)

Donde m representa la masa del objeto, v la velocidad a la cual se desplaza.

3. Predicciones

Una vez se ha planteado el laboratorio se puede hacer uso de la fısica teorica para tener una idea bastanteacertada de como han de ser los resultados que se hallen en la practica. La manera en la cual se va aevidenciar la conservacion de la energıa va a ser en el alcance horizontal que tenga la esfera luego de queesta sea liberada del hilo y continue con un movimiento parabolico (Si se quiere ver figura(1,2)).

Antes elaborar cualquier posible prediccion es necesario aclarar donde se ha de situar el sistema dereferencia para realizar todos los calculos, en este caso lo mas conveniente para facilitar la labor escolocarlo en el punto donde se ha de cortar la bolita, de tal forma que allı se encuentre el punto (0,0).

Con base en la informacion presentada anteriormente se sabe que antes de que la esfera se suelte, poseeuna energıa potencial U dada por la altura a la cual se encuentra y que luego de que se suelte, estaenergıa se va a convertir transitoriamente en energıa cinetica Ek, y en el punto mas bajo del movimiento,cuando la bola ya no tenga altura toda la energıa U pasara a ser Ek, luego se tiene una relacion entrelas ecuaciones 1 y 2.

mgh =1

2mv2

A partir de la cual de obtiene la velocidad con la cual teoricamente tendrıa que iniciar el movimientoparabolico.

v =√

2gh (3)

Para poder aplicar la ecuacion(3) es necesario antes determinar como sera el comportamiento en elmovimiento semiparabolico. Partiendo de las siguientes ecuaciones para la distancia recorrida x y laaltura y se tiene.

X = v0t (4)

−y = −1

2gt2 (5)

En la ecuacion(5) se observa en la igualdad −y en lugar de y como se podrıa esperar, esto debido a laaclaracion hecha sobre el sistema de referencia anteriormente, debido a su ubicacion para analizar estaparte del movimiento la altura corresponde a una magnitud de signo negativo (esto solo aplica paraefectos de calculos no en la experiencia fısica real). De dicha ecuacion se puede obtener el tiempo quetoma a la esfera en recorrer y, por lo tanto este sera el tiempo de vuelo

t =

√2y

g(6)

Ahora se pueden combinar las ecuaciones 3, 4, 6 para obtener la ecuacion(7) que determina el alcancemaximo teorico de la esfera, que es la relacion a verificar.

2

X2 = 4hy (7)

Aplicando la ecuacion(7) a las alturas propuestas a continuacion se obtiene.

Altura del pendulo(h± 0,1)cm Alcance teorico(X2t ± cm)

5 90010 180015 270020 360025 4500

Tabla 1: X2 vs h teorico

Es decir que la relacion(ec 7) que se va a analizar, presenta un incremento lineal, por lo tanto es deesperar que los datos encontrados en las medidas presenten esta distribucion.

4. Procedimiento y Resultados

Se tiene una cuchilla unida a una barra de metal ubicada verticalmente sobre una mesa una altura deH = (45± 0,1)cm sobre esta. A una altura h (medida sobre la cuchilla y que ha de variar) se amarra unhilo con una esfera en uno de sus extremos. Este hilo va a tener entonces longitud h (Ver Figura(1)).

Figura 1: Montaje experimentalinicial

Figura 2: Montaje experimentalen movimiento

El objetivo del montaje es levantar la bola hasta que la cuerda a la cual esta atada quede perpendiculara la barra horizontal para soltarla, y en el instante en que esta pase por la cuchilla se va a cortar y labola va a describir un movimiento parabolico (Ver Figura 2)

En el primer instante la bola se encuentra elevada a una altura h y solo posee energıa potencial U = mghpuesto que , una vez se suelta va perdiendo energıa potencial para ir ganando cinetica Ek, de tal modoque cuando la bola llega a la cuchilla, posee una energıa cinetica maxima, dado que ya ha bajadocompletamente la altura a la cual esta separada de la cuchilla.

Cuando la bola pasa por la cuchilla, se puede asumir que en cortar el hilo no se pierde una energıaconsiderable que pueda afectar la velocidad, por lo tanto se tiene que la velocidad en ese instante sera lavelocidad inicial con la cual comenzara el movimiento semiparabolico, el cual seguira las mismas ecua-ciones y comportamientos anteriormente explicados en las predicciones.

Aplicando el procedimiento experimental y realizando las mediciones correspondientes se obtuvieron losdatos que se presentan en la tabla(2).

3

Altura cuchilla: H = (45 ± 0,1)cm

Altura pendulo: h(±0,1cm) Alcance Horizontal x(±0,1cm) Promedio x(±0,1cm)5 21.4 27.7 25.1 27 31.7 25.6810 41 45.1 45.7 45 50.6 45.4815 55.5 63.3 63.7 64 62 61.7020 68 69.7 70 69.4 69.5 69.3225 71.3 71.7 74.5 74.6 76.9 73.8

Tabla 2: Alcance maximo medido en funcion de la altura del pendulo

A partir de la informacion consignada en la tabla(2) y aplicando la ecuacion (7) se obtiene la tabla(3).Para la cual se determina la incertidumbre(ecuacion 8) aplicando propagacion de errores.

δX2 =

√(∂X2

∂yδy

)2

+

(∂X2

∂hδh

)2

(8)

Altura del pendulo(h± 0,1)cm Alcance Experimental(X2e cm)

5 706,496±18,11110 2068,430±18,43915 3806,890±18,97420 4805,262±19,69825 5446.440±20,591

Tabla 3: X2 vs h

En los datos consignados en la tabla 3 y 1 Se puede apreciar una diferencia notable entre el resultadoesperado y el observado, para lo cual se realiza la grafica(3). Debido a que los puntos experimentales noproporcionan una recta lo suficientemente buena como para arrojar una conclusion, se aplica el metodode mınimos cuadrados para hallar la mejor recta posible a traves de los datos obtenidos (vease Tabla 3)obteniendo la ecuacion 9 correspondiente al grafico 3

X2 = (247,28 ± 1,22)h+ (−337,8419 ± 19,48) (9)

Figura 3: X2 en funcion de h

Ahora si se puede establecer una comparacion precisa entre los resultados encontrados experimentalmen-te, y los esperados teoricamente. En un principio se ve que la pendiente de la recta experimental(re) es

4

mayor a la que posee la recta teorica (rt), pero la teorıa nos dice por la ecuacion 7 que la pendiente 4Hes constante, por lo tanto se debe determinar cual es el porcentaje de error presente entre lo propuestoen las predicciones y la pendiente de la recta teorica (ver ecuacion 7 y 9). Para esto se determina

δ =4H −m

4H∗ 100( %) (10)

Mediante esta ecuacion se obtiene entonces que el porcentaje de error es de 37,37 %, un porcentaje bas-tante alto para este experimento. Eso se debe principalmente a dos factores observados, el primero elinstrumento utilizado para realizar las mediciones aunque era bueno, no fue lo suficientemente apto comopara proporcionar un mejor acercamiento; en segundo lugar a lka hora de calibrar el montaje del expe-rimento influyen notoriamente los errores humanos dados por multiples factores. Estos dos principalesmotivos sumados a algunos mas arrojan una diferencia porcentual tan grande entre las pendientes de lasrectas encontradas para describir el comportamiento de la esfera.

Partiendo de las predicciones realizadas y los resultados encontrados se puede decir efectivamente quese visualiza un fenomeno de conservacion de energıa, a pesar de que hayan factores externos como elrozamiento con el aire y la resistencia que puede oponer el hilo a ser cortado, realmente se denota lapresencia de esta propiedad fısica de la energıa. Desde una perspectiva de un fısico se podrıa decir queeste sistema puede ser considerado como uno de los escenarios mas apropiados para poder evidenciar dedicha propiedad.

5. Conclusiones

Se pudo apreciar notoriamente la propiedad de conservacion de la energıa, aunque los resultados medidossean mayores a los teoricos, se concluye que realmente este fenomeno esta presente en cualquier sistemafısico. Este principio de la fısica, apreciado en un experimento simple, puede ser aplicado en multiplescampos del desarrollo humano, por ejemplo, en el deporte, se usa este principio para estudiar el compor-tamiento de balones, discos, pelotas, etc, que se mueven por el espacio, es decir, estudiar su movimientoincluyendo aspectos como el roce con el aire Los resultados obtenidos en relacion al comportamiento delfenomeno estudiado reflejan una relacion directamente proporcional entre la altura de la cual se lanzael pendulo y el alcance horizontal que alcanza, lo cual se puede expresar como una funcion lineal dela altura f(h) = mh + b con a la variable alcance y h la altura. No se deberıa esperar un crecimientoexponencial con el aumento de una variable, sino uno progresivo lineal constante.

Referencias

[1] SEVILLA SEGURA, C., REFLEXIONES EN TORNO AL CONCEPTO DE ENERGIA. IMPLI-CACIONES CURRICULARES, Valencia(1986), p. 247-252.

[2] Energıa, (s.f). En Wikipedia. Recuperado el 13 de Septiembre de 2015 dehttps://es.wikipedia.org/wiki/Energıa.

[3] Sistema Cerrado, (s.f). En Wikipedia. Recuperado el 13 de Septiembre de 2015 dehttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema-cerrado.

[4] Conservacion de la Energıa, (s.f). En Wikipedia. Recuperado el 13 de Septiembre de 2015 dehttps://es.wikipedia.org/wiki/Conservacion-de-la-energıa

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