CONTENIDO

Pág.

Presentación 2

Introducción 3

1. Espacios Euclidianos 4

2. Distancia entre dos puntos 5

3. Concepto de vector. Definición geométrica 8

4. Igualdad de Vectores 11

5. Translación de vectores. Definición analítica 13

6. Producto por escalar - Vectores paralelos 18

7. Suma de Vectores 22

8. Propiedades de suma de vectores y producto por escalar 25

9. Norma de vectores - Distancia entre dos vectores 29

10. Producto interno 32

11. Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad 39

12. Vector proyección 50

13. Propiedades de determinantes de tercer orden 54

14. Producto vectorial - Producto mixto. 65

15. Planos en el espacio _ 83

16. Rectas en el espacio 98

Bibliografía 109

PRESENTACION

La puesta en marcha de los nuevos planes de estudio

para Ingenierías que hacen énfasis particular en

el trabajo extraclase del estudiante requiere de

la producción de abundante material de referencia

bibliográfica que complemente convenientemente las

directrices de las clases.

Con este propósito, y dirigidas a estudiantes de

Matemáticas de primer semestre en Ingenierías, el

Profesor OCIAR EVELIO OSPINA A. ha preparado sus NOTAS

DE GEOPETRIA VECTORIAL en donde expone su punto de

vista sobre lo que debe ser el enfoque y la secuencia

pedagógica con la que se debe afrontar esta temática.

Ante las expectativas que se están generando alrededor

de nuevas metodologías, éste y otros documentos deben

considerarse como alternativas que, respaldadas en

la experiencia docente de sus autores, sugieren

estrategias de discusión para el cumplimiento de

los objetivos de las materias de los nuevos

curriculos.

CARLOS EDUARDO ORREGO ALZATE

Director Departamento de Ciencias

INTRODUCCION

Las presentes notas de Geometría Vectorial pretenden

ser una ayuda para los estudiantes que se inician

en el tema de vectores y deberá ser complementado

con ejercicios sobre el tema.

Agradezco la lectura y comentarios que del primer

borrador de estas notas hicieron los profesores LUCY

YANETH MEDINA DE POLO y LUIS ALVARO SALAZAR SALAZAR.

OMAR EVELIO OSPINA A.

Profesor

Universidad Nacional

u

1. ESPACIOS EUCLIDIANOS

Recordemos que R, el conjunto de los números reales,

se puede representar por los puntos sobre una recta,

llamada recta real.

R 2 = R X R = {(x, y) | x e R , y , Y e R}

es decir el producto cartesiano de R consigo mismo,

se puede representar por el conjunto de puntos en

el plano.

R 3 = {(x, y, z) | x e R, y e R, z e R)

se puede representar por el conjunto de puntos en

el espacio. Pero el conjunto

R n = R X R X ... X R = N Y f n veces

= í(xi» x 2 , xs, ..., x n ) | x. e R, para i = 1,

2, ... n}

no se puede representar gráficamente para n > 3,

pero no por ello son conjuntos menos importantes

que R 2 o R 3 , como lo podrán apreciar en cursos

posteriores.

5

FIGURA 1

2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Observemos la Figura 2. Sean P 0 = (x 0, y o t z D ) y

pi • (xi» Yi» zi) dos puntos cualesquiera en el

espacio. Vamos a calcular la distancia entre los

puntos P 0 y P l t es decir la longitud del segmento

6

de recta P 0 Pj ; sea L la magnitud de la proyección

del segmento P 0 Pi sobre el plano x y; los puntos

P o tQ» pi determinan un triángulo rectángulo. Si

notamos d(P 0, Pi) la distancia entre P 0 y Pi, entonces

por el teorema de Pitáqoras se tiene que

[d(P0,Pi)]2 = L 2 + (zi - z Q )

2 . Analicemos ahora el

triángulo que reposa en el plano x y cuyos vértices

son (x 0,y 0), (xi, yi) y Q 1 , evidentemente este

triángulo es rectángulo, por consiguiente utilizando

nuevamente el teorema de Pitágoras tenemos que L 7

= (xi - x 0)2 + (yi - y D )

2 .

Reemplazando este valor de L z en la ecuación de arriba

tenemos que:

[d(P 0, Pi)]2 = (xi - x 0)

2 + ( y i - y 0)2 + ( Z l - z 0)

2

es decir

[d(P 0, Pi)] = / (xx - x 0)2 + ( y i - y 0)

2 + ( 2 l - z 0)2

donde se está considerando la raíz positiva.

Si consideramos los dos puntos P 0 y Pi en el plano,

se puede verificar fácilmente que si P 0 = (xQ , y 0)

y pi = (x l t yi) entonces:

7

FIGURA 2

d(P 0, P j = / (xx - x 0)2 + (yi - y 0)

2'

Generalizando, si se tienen dos puntos: P 0 = (xi

, x 2 , x 3 , ... , x n) y Q 0 = (yi, y 2 , ... y n ) de R n ,

la distancia entre estos dos puntos se define como:

d(P„> Q 0 ) = / (yi - xi)2 + (y2 - X2)2 + ... + ( Y - x j 2

8

3. CONCEPTO DE VECTOR - DEFINICION GEOMETRICA.

Al conjunto de números reales lo llamaremos

frecuentemente conjunto de escalares. Estos escalares

(reales) se utilizan para representar ciertas

magnitudes como distancias, temperaturas, peso etc.,

que quedan totalmente determinadas por un número

real. Pero además de estas magnitudes escalares

existen otras magnitudes que no pueden ser

representadas solamente por un número: consideremos

por ejemplo un objeto con un peso determinado, ubicado

en un punto A, sabiendo que si queremos llevarlo

del punto A al punto B en línea recta se requiere

aplicar una fuerza de K Kgs; es evidente que para

llevarlo a ese punto B, no basta solamente con aplicar

esta fuerza, sino que es necesario también "orientar"

la fuerza que se hace, hacia el punto B, pues si se

orienta en otro sentido no se llegará en línea recta

al punto deseado. Esto pone de manifiesto que no

se puede representar la fuerza para llevar el objeto

del punto A al punto B solamente mediante el número

K, sino que es necesario además indicar en que

dirección se aplica. Estas "nuevas magnitudes" las

llamaremos VECTORES. Daremos inicialmente una

definición geométrica de ellos, y más adelante los

representaremos en forma analítica.

9

DEFINICION (Definición geométrica de vector).

Dados dos puntos P y Q en el espacio R 3 o en el plano

R 2 , el segmento de recta orientado que tenga punto

inicial en P y punto final en Q lo notaremos PQ y

lo llamaremos el vector que va de P hacia Q, o

simplemente el vector A = PQ (en ese orden).

De acuerdo con esta definición A = PQ se puede

representar geométricamente por una flecha que sale

del punto P y llega al punto Q.

En la Figura 3(a) la flecha que va desde Q = (6,1)

hasta P = (-2, -1), representa un vector A en el

plano R 2 , con punto inicial en Q y punto final en

P, es decir A = QP. Mientras que en la Figura 3(b)

tenemos un vector B en el espacio R 3 , con punto

inicial en P = (1, 1, 0) y punto final en Q = (1,

4, 5) representado por la flecha que va desde P hasta

Q, es decir B = PQ.

10

Tres elementos importantes caracterizan un vector:

a. La magnitud: La determina la longitud del segmento

de recta que separa el punto inicial y el punto

final, es decir es la distancia entre estos dos

puntos.

b. La dirección: La determina la recta sobre la

cual reposa el vector, o cualquier recta paralela

a ellai Lo que equivale a decir que para que

dos vectores tengan la misma dirección deben

reposar en una misma recta o en rectas paralelas.

c. El Sentido: Está determinado por la orientación

11

que toma el segmento de recta que representa

el vector, lo que significa que el único segmento

de recta que une dos puntos P y Q puede represen-

tar dos vectores: Uno que tiene el sentido de

P hacia Q, es decir con punto inicial en P y

punto final en Q, y otro que tiene el sentido

de Q hacia P.

4. IGUALDAD DE VECTORES (VECTORES LIBRES)

DEFINICION: Dos vectores se dicen "iguales", si tienen

la misma magnitud, la misma dirección y el mismo

sentido, sin importar la posición en el espacio.

NOTAS:

1) Realmente la palabra "igualdad" usada aquí,

es un- abuso de Lenguaje, pues rigurosamente

deberíamos hablar de vectores equivalentes y

considerar diferentes "clases de equivalencia"

en lugar de diferentes vectores, lógicamente

después de definir una relación de equivalencia

entre vectores. Pero por comodidad seguiremos

utilizando el término "igualdad".

12

2) Los vectores que se estudian con esta definición

de igualdad, y que son los únicos que trataremos

en estas notas se llaman Vectores Libres»

diferentes de los llamados vectores ligados,

los cuales responden a otra definición de

igualdad a saber: "Dos vectores son iguales

si tienen la misma magnitud, dirección, sentido

y posición en el espacio".

3) Los vectores los notaremos con letras mayúsculas

con una flecha encima, o simplemente con letras

mayúsculas cuando no haya lugar a confusión.

EJEMPLO;

FIGURA 4

13

De acuerdo a nuestra definición de vectores, y

observando la Figura 4, los vectores A, B y C son

iguales, pues los tres tienen la misma magnitud,

dirección y sentido, sin importar que el vector

A vaya de (0,0) a (2,0), el vector B vaya de (2,1)

a (4,1), y el vector C vaya de (-5, 1.5) a (-3,

1.5). Los vectores B y D son diferentes, pues a

pesar de tener la misma dirección y magnitud tienen

diferente sentido.

5. TRANSLACION DE VECTORES. DEFINICION ANALITICA.

Yi — 0(Xi,Yi)

Yi - Yo

Yo R

Q'"(XI-XO,YI-YO)

(YI-YO)

O (XI-XO) R' Xo Xi

FIGURA 4

14

Consideremos el vector A (Figura 5) con punto inicial

P 0 = ( xo» Yo) y Punto final Q = (xi,yi), según

nuestra definición de igualdad de vectores, sabemos

que hay infinitos vectores iguales a A, en particular

trataremos de encontrar uno que sea igual a A y

que tenga punto inicial en (0,0). Para ello

simplemente tomemos el triángulo rectángulo con

vértices en P, Q, R, y llevémolo al origen, de tal

forma que el punto inicial del vector A, es decir

P, coincida con (0,0), y el cateto PR repose sobre

el eje x, sin que el vector A que hace de hipotenusa

cambie ni de dirección ni de sentido. Este triángulo,

cuyos vértices llamamos OR'Q', tiene como hipotenusa

un vector que es igual a A, que tiene punto inicial

en (0,0) y punto final en (xi-x 0, yi - y 0). Es decir,

dado un vector cualquiera en el plano, con punto

inicial (ai, 3i) y punto final (a2> B 2)> se puede

trasladar al origen o lo que es lo mismo, se puede

encontrar un vector igual a él pero con punto inicial

en el origen: este ^vector tendrá como punto final

(«2 - ai , 3 2 - 3i) y será único.

Análogamente en el espacio: si P = (x0 , y 0 , z 0 )

y Q = (xi , yi , zi), podemos encontrar un vector

igual a PQ que parte del origen: es el vector que

15

desde él, llega al punto R = (XJ-XQ, yi-y0, ZX-ZQ)

y es único.

El hecho de que dado cualquier vector, exista un

único vector igual a él con punto inicial en el

origen, nos permite reducir el estudio de vectores

solamente a aquellos que tengan punto inicial en

el origen (si no lo tiene, se traslada), y puesto

que un vector queda determinado por sus puntos

inicial y final, ya conociendo que todos tienen

el mismo punto inicial, solamente nos interesa de

un vector así, su punto final, para que quede

totalmente determinado.

Por tanto, existe una correspondencia biunívoca

entre los puntos del espacio (o del plano) y los

vectores en el espacio (o en el plano), pues a un

vector cualquiera le podemos hacer corresponder

un único punto, precisamente aquel, que es el punto

final del vector una vez trasladado su punto inicial

al origen; y recíprocamente, a cada punto en el

espacio le corresponde un único vector, precisamente

el vector que tiene punto inicial en el origen,

y punto final en el punto dado. Esto permite

identificar a los vectores en el espacio con los

puntos en R 3 , y a los vectores en el plano con los

puntos de R 2 , y a esta representación se le llama:

16

representación analítica de los vectores.

El punto 0 = (0,0) se le llama vector nulo en el

plano» y al punto 0 = (0,0,0) se le llama vector

nulo en el espacio. Estos dos vectores no tienen

ni dirección ni sentido, y su magnitud es cero.

Una de las múltiples ventajas que presenta este

tipo de representación analítica es que ofrece la

posibilidad de generalizar el estudio de los vectores

a espacios R n con n > 3, en donde es imposible

trabajar gráficamente, simplemente identificando

un vector que va de P = (pi , P2, ..., P R ) hasta

Q = (qx , q 2 , ... , q n ) con el punto

V = (qi-Pi*q2 - P2 » ••• , q n - p n ) y recíprocamente

cada punto p 0 = (xi, ..., x nJ se identifica con

el vector que va de 0 = (o, ..., o) hasta el punto v /

n veces

P 0 . (Análogo al caso de R Z y R 3 , al vector 0 = (o,

»»•» o)j se le llama el vector nulo o cero de R n ,

n veces

y no tiene dirección ni sentido, teniendo como

magnitud cero.

17

EJEMPLOS:

1. Si 1) es un vector con

y punto final en (2,3)

3 - 5) = (- 2, - 2).

Si W es un vector con

y punto final en (5.1)

-3) = (-3 , -2).

Claramente \l U, pues

y (-3 , -2) tienen

diferentes.

punto inicial en (4,5)

entonces V = (2 - 4,

punto inicial en (8,3)

entonces ÜJ = (5 -8, 1

las parejas (-2 ,-2)

primeras componentes

2. Si \l es un vector con punto inicial en (1, 2)

y punto final en (3, 4), entonces V = (3 -1,

4 -2) = (2, 2).

Si W es un vector con punto inicial en (7,2)

y punto final en (9, 4) entonces UJ = (9 -7,

4 -2) = (2, 2).

Qbserve que aquí \l = W a pesar de no tener los

mismos puntos inicial ni final.

18

B. PRODUCTO POR ESCALAR - VECTORES PARALELOS:

DEFINICION: Sea X e R, T = ( U l , v 2 , v 3 ) e R3.

Llamamos el producto del escalar X por el vector

V y lo notamos AV, al vector que resulta de multi-

plicar cada una de las componentes de V por X , es

decir

X\1 = A(VI , V 2 , v 3 ) = (Avi , AV?, Av 3).

Análogamente para R n en general (n = 2, 3, 5,

AV = A(vj, ..., v n ) = (Avi, ... , A V ^ ) .

Veamos inicialmente que significa el producto por

escalar desde un punto de vista geométrico.

i) Si V = IF= (o,o) -* A T = A(O,O) = 0.

S I A = o - » - A V = A(VI,V 2) = o(vi, v 2 ) = (ovi,

ov 2) = 0

ii) Sea A o , V*"= (vj , v 2 ) 0

La magnitud de AV, es la distancia de AV al

19

origen, es decir es iqual a

/ A M + x V 2 ' « |x| / v ¡ + vV

Como / v/i + v 2 es la distancia de V al origen,

o lo que es lo mismo la magnitud de \l, podemos

concluir que la magnitud de MI es |X| por la magnitud

d e T .

Resulta evidente por tanto, que si |X| > 1 el vector

MI será de mayor longitud que V, y si |X| < 1 enton-

ces su longitud será menor que la de V.

En lo que se refiere a la dirección de XV, observemos

que la recta que pasa por el origen y contiene al

punto MI = (Xvi, Xv 2), que es la recta sobre la cual

reposa MI, tiene como pendiente

X V2 _ V2 Xvi ~ vi '

si vi ^ o, que es la misma pendiente de la recta

que contiene a V, es decir V y XV tienen la misma

dirección.

Para determinar el sentido de XV consideremos dos

casos:

Si X > o, Xvi tendrá el mismo signo que vj, v Xv2

20

el mismo signo que v 2 » lo que indica que (v^,

v 2) y (Avi , Xv 2) están en el mismo cuadrante, lo

cual significa que V y XV/ tienen el mismo sentido.

Si X < o, Xvi tendrá signo opuesto a vi, y Xv 2 signo

opuesto a v/2, lo que indica que XV y V tienen senti-

dos opuestos. (FIG. 6(a), 6(bV).

NOTA: Si X = - 1, el v/ector XV = (-1) V se acostumbra

a notar -V, y de acuerdo a lo dicho atrás tienen

la misma dirección que V, la misma magnitud, y

sentido opuesto a V. Por consiguiente si V es un

vector con punto inicial en P y punto final en Q,

el vector - V se puede considerar como el vector

con punto inicial en Q y punto final en P. Si V

= (a, B) , - V = (-a, - B). FIG. 7(a).

DEFINICION Dos vectores se dicen paralelos, si uno

es el producto de un escalar por el otro; es decir

si A = X B entonces A y B son paralelos.

NOTA: Es claro que dos vectores paralelos pueden

tener el mismo sentido o sentido opuesto (FIG. 7(b)).

EJEMPLO:

Si V = ( 2 , -7, 5)

21

W = 3\l = (6, -21, 15) es paralelo a \l con el mismo

sentido.

R = -\l = (-2, 7, -5) es paralelo a \1 con sentido

opuesto

s 1/2 y = (1, - 7/-, 5/-) es paralelo a \l con

el mismo sentido.

22

7. SUCIA DE V/ECTORES

Dados dos vectores V = (vi v 2 , ... , \in), W = (OJI

g)2, ... 0)^) en R°, llamamos la suma de \l y lü y la

notarnos u + ÜT al vector cuyas componentes están

dadas por:

\l + W = (v i + Ü)i, v? +o)2 > ... Í v n + o> ).

En R 2 esta suma se puede representar gráficamente,

(lo misma en R 3 ) , situando los dos vectores en un

punto de partida común P D; estos dos, con vectores

paralelos a ellos, determinan un paralelogramo;

\/ + W es entonces el vector representado por la

diagonal de este paralelogramo, con punto inicial

el punto común de V y UJ.

Apreciémolo en la Figura Q

23

Los triángulos con vértices en 0, wi »

\l + tiJ son iguales, por consiguiente Oü)i

y U)i üi = R, \l + W

La primera componente de \l + W es

Ov/i + Vi l s Vi + (Di

La segunda componente de V + W es

0v 2 + R, V + W = v 2 + u>i W = v 2 + W2

EJEflPLO:

Sea (4, 1) "w = (-2, 2).

Geométricamente:

/>

VtW«(2,3)

24

Analíticamente:

y + y = (4, 1 ) + (-2, 2).

= (4 -2, 1 + 2)

= (2, 3).

Si A y B son dos vectores, podemos definir la

diferenciaT - ~B = T + (^B).

Apreciémolo gráficamente en la Figura 9.

Y

X

FIGURA 9

Como se Duede apreciar el vector A + (-B) = A -B

25

abajo, es igual al vector que tiene punto inicial

en B y punto final en A.

EJEMPLO:

Sea V = (2, -3, 8)

W = (3, 7, -1)

\l —UJ = (2 -3, -3 -7, 8 + 1) = (-1, -10, 9)

NOTA: Es preciso aclarar que si se desean sumar

o restar analíticamente dos vectores que no tienen

punto inicial en el origen, o inclusive que no tienen

punto inicial común, se les debe primero trasladar

al origen, y entonces si sumarlos componente a

componente.

8. PROPIEDADES DE SUMA DE VECTORES Y PRODUCTO POR

ESCALAR:

Las siguientes 8 propiedades de la suma de vectores

y producto por escalar, son básicas en el manejo

de los vectores y en el estudio del algebra lineal

(concretamente en el estudio de espacios

vectoriales), y sus demostraciones son sencillas,

pues requieren únicamente de las definiciones de

estas operaciones y propiedades de números reales:

26

1. Propiedad asociativa de la suma de vectores

SÌ T , T , T e R n » T + (b" + ~c) = (T + ~b) +

c"

2. Propiedad conmutativa de la suma de vectores.

Si T , B e R n , T + ~B=~B + ~A

~*>. Propiedad modulati va de la suma de vectores.

FI LI e Rn , satisface la propiedad 0 + A = A

+ 0 = A para todo A e R n

4. Propiedad invertiva de la suma de vectores.

Para cada vector A e Rn, existe -A e R

n, tal

que "A + (.TA) = (IA) + "A = 0*

5. Propiedad asociativa del producto por escalar.

Para todo a, 3 e R, para todo A z Rn,

A(3~A) = (a 3) A" = 3 (a T )

fl• propiedad distributiva riel producto por escalar,

27

respecto a la suma de escalares.

Para todo a, & e R, para todo A £ R n ,

(« + B ) T = o í T + G T

7. Propiedad distributiva del producto por escalar,

respecto a la suma de vectores.

Para todo a e R, para todo A, B e R n ,

a (/T+ IT) = a T + a ?

8. Propiedad modulativa del producto por escalar.

El 1 e R, satisface que 1. A = A para todo A

e R n .

Con las propiedades 1 y 6 ilustraré como se demues-

tran estas propiedades; en base a ésto las demás

se pueden demostrar como ejercicio:

Para propiedad 1:

Sea A = (ai , a 2 , a 3 ) B = (&i» S 2» B 3 )

C = (Yi. Y 2 » Y»)

28

A + (B + C) = («!, a 2 , a 3 ) + ((3i * Yi)» (32 + Y2)»

(3s + Ys))

= (ai + (0i + Yi). ot2 + (3î + Y2 )» <*3 + (33 + Yj))

= ((«i + 3i) * Yi » (<*2 + 32) + Y 2 » («3 + 3 3 ) + Yj)

= (ai * 3i, a 2 + 32 » a 3 + 3 3 ) + (yt , y 2 » Ys)

= (A + B) + C.

para la propiedad 6:

Sean a, 0 e R, A => ( a, b, c)

(a «• 3) A = ((a • 3) a , (a • 3) b , (a 3) c)

= (aa + 3 a , a b « - 3 b , a c + 3 c )

- (aa, ab, ac) + (3a, 3b, 3c)

= a(a, b, c) • 3 (a, b, c)

= a A • 3 A

29

9. NORMA OE VECTORES - DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES:

La norma de un vector V = (v í f v n ) e Rn está

dada por:

||V|| « • VI* + ... +

Si V e R 3 (o R 2 ) es evidente que ||ü| | coincide con

la distancia de V al origen, o lo que es lo mismo

(puesto que V ya está trasladado al origen) con la

longitud del vector V.

Las siguientes cuatro propiedades son básicas en

el trabajo con normas:

1. | |U| | £ G para todo iTe R n

2. | [V/11 = 0 si y solo si =~Q

3. IIXVll = |A| ||V|| si A e R , 7 e R n

4. | |V + U| | < | |V| | + | |bl| | para todo V, W e Rn

(Desigualdad triangular)

Las propiedades 1. 2. y 3. resultan evidentes de

la definición de norma. La propiedad 4. se demostrará

30

más adelante cuando se vea el producto interno de

vectores; pero geométricamente se puede visualizar

para R ? (o para R 3 ) en la Figura 10, teniendo en

cuenta que la suma de las longitudes de dos lados

de un triángulo es mayor que la del tercero (Tome

| |\/| | |w| | como dos lados y | |V + W| | el tercer

lado).

figura 10.

DEFINICION: Un vector se dice unitario si tiene norma

1.

Dado un vector V o", el vector 1 V, es un vector

T M J

paralelo a V, pues es un escalar ( 1/1|v| |) multipli-

cado por V; tiene el mismo sentido que V, pues el

escalar V I M I > ü, y además es unitario, pues:

31

1 V

I

W'W ¡MI I M J

EJEMPLO:

sí \i = (1, -3, -1) , | M | = / 1 + 9 + r = / I T

, entonces el v/ector:

1 1 3 1 V = ( , - —— , - ) es unitario con

| \M | | / I T / I T / T T

el mismo sentido y dirección que V/.

DEFINICION: Sean "\T, vectores en R n , llamamos la

distancia entre V y U y lo notamos d (V,W), a la

norma del vector \l - li!, es decir

d(v,ui) = ] | v - m| |.

E.sta definición resulta ¡nuy natural, si entendemos

que la distancia entre dos vectores es la distancia

¿ntre sus puntos finales, una vez que los vectores

coincidin en su punto inicial. Asi, si el tanto

inicial está en el origen y los puntos finales en

V y W la distancia entre los dos vectores es la

distancia entre los puntos V y U.

Si \l = (vi, v? .... v ) >iJ = (tú-,, U)2, ..., ta) )

32

d(V, W) = /(u>. - v/x)2 + (ü)2 - v 2)2 + ... + (o» - y j2'

n n

= llv - w||.

De las propiedades de la norma resultan inmediatas

(ejercicio) las siguientes propiedades básicas de

la distancia.

1. d(V, Ui) > o

2. d(V,üi) = d(W,V)

3. d(V,W) = o Si y solo si V = U.

U. d(V,W) $ d(V,Z) + d(Z,W) para cualesquiera V,

W, Z e R n

EJEMPLO:

v = (2, 7, -1) UJ = (8, 7, 15)

d(V,W) = / (2-8)2 + (7-7)2 + (-1-15) 2'

= / 36 + O + 256 '= / 292 '

10. PRODUCTO INTERNO.

Definiremos a continuación una operación entre dos

v/ectores que produce como resultado, no un vector,

33

sino un número real. Esta operación se llama producto

interno o producto punto o producto escalar y está

definida así.

DEFINICION:

Dados dos vectores V = (vi, v 2 , ... » v n)

y UJ = (coi, Ü>2» ...» w n ) llamamos el Producto interno

de \l y W, y lo notamos V. W» al número real dado

por:

n V . W = l w k

3 «i «i + ••• + un u

n i

k-i

NOTA:

i) Observe que si V » (w», v 2 , ..., v n )

\l.\l = vi \j\ + v 2 v 2 + ... + v n v n

= v* + vf + ... + v n8 = \ \\l\\z

ii) \l.\l se acostumbra a notar V2. y como se puede

apreciar es yn número real, razón por la cual

notaciones como V 3 , \lk, \l*, .... etc. carecen

de sentido.

34

La importancia de este producto tanto geométricamente,

para vectores en R* y R J , como analíticamente, en

espacios de dimensión superior, se hará notoria cuando

en las siguientes secciones estudiemos el ángulo

entre dos vectores, y el vector proyección. Por lo

pronto enunciemos las principales propiedades, que

caracterizan el producto interno:

1. V.U) = W.V para todo V/, W, e R n

2. V.(üJ + Z) = V.W + V .Z

para todo V, Id, Z e R n

3. (AV).ID = A(V.üi) = V.(A W)

para todo A e R, V/, W t R n

4. Si V = 0 entonces V.V = o

5. V.V > o Si V vt O,

Las demostraciones de estas propiedades sort muy

sencillas, pues solo se requiere de la definición

y de propiedades elementales de números reales, ft

manera de ilustración se demostrará la propiedad

3.

prop. 3: (AV).to = A(U.ui) = w.(AW)

35

para todo X e R, V, W e R n

Sea V = (vi, v/2» ..., v n ) W = » o)2, ...» u>n).

(AV).tiJ = (Xv/i, ...» Awn).(u)i, ... , w n )

= Xv/i o)i + Xv2u)2 + ... + Xvn<¿)n

= A(v/1 0)1 + \¡2 0)2 + ...+ « n 0)n)

= x[(vi, ..., v ). (o)i ,..., U )]

= X(V.liJ)

y también:

(XV).W = Xui o)i + Xv/2 0)2 + ... + Xu n o>n

= V/1 (X 0)1 ) + v 2 (X 0)2) + ... + v n (X u )

= («i, ..., w ).(Xü)i, ...» Xo>n) = V.(XW)

Anteriormente se había enunciado la desigualdad

triangular sin demostración, se hará la demostración

36

en este momento, pero para ello se requiere primero

demostrar un resultado de gran utilidad conocido

como la desigualdad de Cauchy - Schiuartz:

- DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARTZ.

Si V, W e R 3 , entonces:

Para demostrarla partimos del hecho que para cualquier

par de números reales x, y se tiene que:

|v.u| ||v|| I N I

o 4 | |xu" + yW| | 2 = (xV + yüi).(xV + yüF).

x 2V.V + xyV.UJ + yxlii.V + y 2W.W

x 2 ||V||2 + 2xy(V.W) + y 2 | |ld| | 2

Es decir tenemos que para cualquier par de números

reales x, y

x 2 IMI2 + 2xy(V.W) + y 2 | |U]| | 2 ^ 0

Como esto se tiene para cualquier número real x e

y» en particular se tendrá para: para:

37

x = liJ.li/ e y= -U.W

Con estos valores de x e y tenemos de (*).

(ÜJ.UÍ)2 ||\/||2 + 2(liJ.li/)(-\/.liJ)(V.liJ) +

+ (-V.ÜJ)2 | |U/| | 2 » o

«m. ||u|r I M I 2 -2 I M I 2 (V.U/)2 +

+ (V.Id)2 | |W| | 2 * o

•• IMI2 \\\¡\\2 -2(V.W)2 + (V.li/)2 »o si |M | * o

~ IMI2 IM|2 "(V-W)2 * o

IMI2 IMI2 » (v-w)2

~ IMI IMI » /(v.w)2'

IMI IMI » ly-wl Can lo que queda demostrada la desigualdad de Cauchy-

Schuartz.

Si | M I = 0 0 IMI- o se tiene la igualdad.

Ahora sí, usando este resultado, podemos demostrar

la desigualdad triangular:

38

||v+w|| < I M I + I M I

IIv+wlI2 = (v+w).(v+w)

= \I.M + V.W + W.V + W.W

= ||U||2 + 2 V.W + ||Ui||2

* \\\l\\* + 2 |V.lil| + ||UI||2

(pues A < |A|, para todo AeR)

s IMI2 + 2 | |v| | | N | • IMI2

(por desigualdad Cauchy-Schujarz)

- I I M I 2 « IMI* + 2 \\M\\ ||tal|| + ||W||2

- ||V/+Ui||2 « ( | M | + ||Ul||)2

||V+W|| 4 ||U|| + ||üi|| que es lo que

se quería demostrar.

EJEMPLO

a) Sea V = (2, -3, 5) U = (3, 0, 1)

V.W = (2)(3) + (-3)(o) + (5)(1) = 11

39

b) V = (3, 2, 1 ) W = (4, -1, -1U)

V.LJ = (3)(4) + (2)(-1 ) + (1)(-10) = o

observe que el producto puede dar cero sin que

V ni W sean ceros.

1. ANGULO ENTRE DOS VECTORES - ORTOGONALIDAD

Inicialmente definiremos el ángulo entre dos vectores,

solamente para vectores de R 2 o de R 3 , pues para

ello recurriremos a la representación geométrica

de estos vectores.

Después generalizaremos esta definición para vectores

en R n con n > 3.

DEFINICION: Sean V y W vectores en R 2 o R 3 diferentes

de cero. Llamamos el ángulo entre V y W, al ángulo

comprendido entre o y ir, que forman los segmentos

de recta que representan los vectores, al hacer

coincidir sus puntos iniciales.

Utilizaremos ahora esta definición para buscar una

fórmula que nos permita hallar analíticamente el ángulo

entre dos vectores:

40

Para ello consideremos dos v/ectores V y UJ, no nulos

eri R 2 o en R 3 con punto inicial en el origen, sea

0 el ángulo comprendido entre ellos (o < 0 < ir),

estos dos vectores, junto con el vector V-W (vector

que va del punto final de ÜJ al punto final de \l)

determina un triángulo (ver Figura 11) con vértices

en o, V, W y lados de longitud ||v|l [|U||, ||V-W||

w

FIGURA 11

Como el lado de longitud | |V-W| | es opuesto al ángulo6,

entonces por el teorema del coseno tenemos:

I M I 2 = IMI2 + IMI2 - 2 IMI IN I eos 0 (i)

Por otra parte como | |V-W| | 2 _ (V-lü) . (u-w), usando

las propiedades del producto interno tenemos:

41

| |V-UI| |2 = (V-U).(U-W)

= (v/.v) - (v.w) - (w.v) + (u.u)

= ||v|l2 - 2 (v.w) + | M I 2 (II)

igualando (I) y (II) tenemos:

IMI2 + IMI* - 2 |M| | N | eos 0 = IMI2 " 2(V.W) • ||üi||2

de donde:

- 2 | M | I M I eos e * - 2(y.w)

es decir

c o s 6 i k ü

IMI IMI

EJEMPLO: Hallemos el ángulo entre los vectores

V = (6,0)' y Ul = (3,3):

V.W = (B)(3) + (0)(3) = 18

|\M\| = y/ 6 2 + O 2 ' = 6

42

I M I - / a + 9'- 3 S T

V.UJ 18 1 / ? entonces: eos 0 =

I M I I M I 6(3 / T ) / T 2

Z 2 7

Luego 0 es el ángulo entre 0 y TT cuyo coseno es

PS decir 0 = tt/4

Puesto que por la desigualdad de Cauchy - Schwarz,

dados dos vectores en R n , V y W (diferentes de cero).

M I « I M I I N I

. M I

M I I N

« 1

Es decir la expresión en valor absoluto

IMI IMI es siempre menor que uno. Esto nos permite definir

el coseno del ángulo entre dos vectores en cualquier

espacio R n por esta expresión. Así entonces para

todo V, W e R n , El ángulo 0 tal que eos 0 = — ^

I M I I M

con o < 0 « TT es el ánqulo entre U y UJ. (con \l,

W e R n).

Haciendo uso de la representación geométrica de

43

vectores en R 2 y R 3 , diremos que dos vectores son

perpendiculares (u ortogonales) , si el ángulo entre

estos vectores es TT/2

De acuerdo a esto: Para \l, lil ̂ 0 Si V y li) son

perpendiculares entonces:

0 = TT/2 > eos rr/2 = U

M I I M

V. W .. .. ->- o = =— -*• V.Ill = o

l l v l l l N I

Y recíprocamente Si il.lil s o entonces:

Cos 0 = •»• eos 0 =

M U N I l|v|||N

•*• cos 0 = o + 0 = tt/2

+ V y W son perpendiculares

Es decir dos vectores V y lii son perpendiculares si

y solo si V.llJ = o.

4 4

Esta equivalencia de la definición de

perpendicularidad» que es analítica, nos sirve para

generalizar el concepto de ortogonalidad a espacios

R n , asi, diremos que en R n dos vectores U y lil son

ortogonales si y solo si V J = o

EJEMPLOS:

1 ) v = (-2, - 1 , 3 ) w = (2, 2, 2)

V/.üJ = (-2)(2) + (-1 )<2) + (3)(2) = o

•*• \l y üJ son ortogonales (en R 3 , es decir perpen-

diculares).

¿E V * (3, -4, 2, -1 ) Ul = (2, 2, 3, 4)

V.üí = (3)(2) + ( - 4 X 2 ) + (2 )(3) + (-1 )(4) = 0

V y ÜJ son ortogonales (en R")

NOTA:

Dados los vectores V y üJ, sabiendo que 9 es el ángulo

comprendido entre II y lil, Se acostumbra también a

definir el producto interno enre V y W como lo que

65

resulta al despejar \1.\¡¡ de la expresión que define

el ángulo entre dos vectores, es decir:

V/.ÜJ = I |v|11 |w| I eos 0

Existen en R n unos conjuntos de vectores ortogonales

entre si, de gran importancia, que son los llamados

vectores coordenados unitarios, veámoslos inicialmente

en R 2 , luego en R 3 y R n:

Consideremos en R 2 , los dos vectores, que notaremos

r.7:

T = ( 1 , o) 7 = 1 )

Es claro que los dos vectores son unitarios, es decir

I|i|I = IIj|I = 1» Y s o n perpendiculares entre si,

pues i.j = o. (fig. 12)

Y

í kJ = (o,i)

7» (i.o)

FIGURA 12