Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

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  • 1. VI. Accionamientos Elctricos de Velocidad Variable Prof. Fabricio Salgado D.

2. VI.1Introduccin

  • Los primeros sistemas de control de velocidad variable que provocaron que la industria pusiera atencin en ellos fueron los que se implementaron con motores de c.d. de excitacin separada.
  • Desde el punto de vista de diseo, la mquina de c.d. presenta muchas desventajas, al ser comparada principalmente con la mquina de c.a.
  • Comparados con los motores de c.d. los motores de induccin jaula de ardilla de c.a. presentan varias ventajas significativas en la robustez de su diseo:
      • Tamao ms reducido
      • No necesita mantenimiento
      • Se pueden instalar casi en cualquier medio ambiente
      • Los costos son mucho menores

Sin embargo, los motores de c.a. poseen las siguiente desventajas:

      • La ecuacin del par electromagntico no se encuentra desacoplada.
      • El control de estas mquinas es ms complicado.

3. VI.3 Accionamiento Elctrico de Velocidad Variablepara Motores de C.D. VI.3.1Caractersticas mecnicas de motor de corriente continuade excitacin independiente

  • La caracterstica mecnica del motor se puede determinar de manera general si se mantiene el voltaje de campo fijo ( V ) y se considera un rgimen en estado permanente de forma que para el circuito de armadura se tiene:

donde: 4. Entonces se tiene para la caracterstica mecnica, recordando que el par electromagntico desarrollado es donde

  • Es importante mencionar que el flujo tiende a desaparecer, esto es
  • entonces tericamente la velocidad alcanzara valores muy elevados; esta condicin puede aparecer cuando se suspenda la alimentacin elctrica en el devanado de campo.

5.

  • Cuando se tiene una velocidad del motor que la mayor velocidad de vaco ideal y la FEM es mayor que el voltaje aplicado, entonces la mquina elctrica trabaja como generador por lo que la corriente cambia de sentido y se puede tener una ecuacin definida por

Entonces el par del motor cambia de signo y se tiene que 6. VI.3.3Variables de estado y diagramas de bloques para larepresentacin de la mquina de corriente directa

  • Cuando se requiere tener un modelo dinmico se puede recurrir a un modelo en variables de estado o al empleo de un diagrama de bloques; estas dos representaciones son de las ms empleadas.
  • En la figura 5.5 se muestra el modelo elctrico del motor de c.d. en el que se tienen los circuitos de armadura y del campo: el circuito de la armadura se puede identificar como el circuito que contiene la FEM, el circuito del campo se encuentra definido nicamente por una resistencia, un inductor y una fuente de alimentacin.

7.

  • Se puede plantear la siguiente ecuacin diferencial para la descripcin del circuito de la armadura.

mientras que para el circuito de campo se tiene que El par electromagntico es La ecuacin mecnica es donde: 8.

  • Las variables de estado son aquellas que describen un sistema.
  • A continuacin se plantea la definicin general de estas variables y luego se presenta un ejemplo basado en un circuito RLC, de segundo orden, en el que se encontrar el modelo en variables de estado que sirve de representacin del circuito.
  • En trminos bsicos las variables de estado son el conjunto mnimo de variables que determinan el estado de un sistema, y al ser representadas por un vector denvariables ste recibe el nombre de vector de estado. Este concepto se emplea principalmente en sistemas con mltiples entradas y salidas, como lo son los motores elctricos.
  • El modelo matemtico de estos sistemas son las ecuaciones 5.6 y 5.7 para los casos continuos y discretos, respectivamente; en ambos casos la primera ecuacin, que contiene la dinmica del sistemas, se denomina ecuacin de estado y la segunda ecuacin de salida.

9. dondeA ,B ,CyDson matrices reales cuyas dimensiones estn especificadas en la ecuacin 5.7, mientras queu ,y ,xson los vectores que contienen las variables de entrada, salida y estado respectivamente. Cualquiera que sea la interpretacin que se adopte se debe tener presente que:

      • Las variables de estado pueden tener o no sentido fsico.
      • Las variables de estado pueden o no ser medibles.
      • Para un mismo sistema dinmico las variables de estado no son nicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

10. Ejemplo: Circuito elctrico RLC.A continuacin se presenta la descripcin analtica para modelar y obtener la ecuacin caracterstica del sistema RLC. Considrese el circuito RLC que se muestra en la figura 5.6 con la particularidad de que v(t) se supone igual a 0. El estado inicial del sistema est determinado por: El estado transitorio est descrito por las leyes de Kirchhoff como sigue: 11. Al derivar esta ecuacin se tiene que: A continuacin se presentan dos formas de obtener la ecuacin caracterstica del sistema: una es empleando la descripcin analtica del sistema y la otra es utilizando una representacin de variables de estado. A) Descripcin analtica Se propone la solucin y luego de sustituir sta en la ecuacin 5.11 se tiene que y agrupando trminos se obtiene la ecuacin caracterstica que slo depende se los parmetros del sistema como se esperaba: 12. B) Representacin de variables de estado Para cumplir con las condiciones del modelo en variables de estado, el sistema de ecuaciones puede representarse de la siguiente forma: Empleando las dos ecuaciones diferenciales que describen al circuito se tiene que De las ecuaciones de Kirchhoff tambin se puede plantear que: 13. por lo que las ecuaciones pueden agruparse en la siguiente forma matricial. que en la forma de representacin de estado resulta que Para demostrar que ambas ecuaciones caractersticas son iguales, se calcula el determinantedondees la matriz identidad. De aqu se obtiene la ecuacin caracterstica siguiente: 14.

  • Para plantear el modelo del motor de c.d. en variables de estado, a partir de las ecuaciones 5.1 a 5.4 se obtiene el modelo matricial

donde Simplificando se tiene que 15. Entonces el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen al motor de c.d. son: Dentro de los modelos en variables de estado existen representaciones que permiten incluir relaciones no-lineales que en ocasiones se tienen que tomar en cuenta para representar diferentes fenmenos que se presentan en la mquina de corriente directa. 16. El modelo lineal se puede encontrar si se mantiene una fuente de alimentacin constante, sea sta la de campo o armadura, por lo que el modelo del motor de c.d. con la corriente de campo constante, se define por: 17. VI.3.4Modelado del motor de c.d. en diagrama de bloques

  • Para realizar una representacin en bloques es conveniente que cada bloque contenga la descripcin del comportamiento del sistema, usando funciones de transferencia.
  • As en forma general se puede definir una funcin de transferencia como la relacin entre la salida y la entrada del sistema, con condiciones iniciales nulas y en el dominio de la frecuencia.
  • Para determinar la funcin de transferencia del motor de c.d. se parte de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento fsico. Las ecuaciones del motor en la armadura se pueden escribir como:

18. dondeAplicando la transformada de Laplace se tiene queSi se eliminase obtiene la siguiente funcin de transferencia, donde la salida es la velocidad del rotor 19. 20. VI.3.5Modelado empleando diagrama de bloques para el motor de c.d.

  • Usando las ecuaciones diferenciales bsicas del modelo del motor y mapeando el dominio de la frecuencia con la transformada de Laplace, en cada una se puede obtener el diagrama mostrado en la figura 5.7 si se mantiene la corriente de campo constante.

21. Por otro lado, si se mantiene la corriente de armadura constante, para un modelo del motor de c.d. empleando el circuito del campo se tiene que En variables de estado, para el modelo del motor de c.d. en ecuaciones de campo se tiene que 22. donde el diagrama de bloques puede definirse por la siguiente expresin 23. VI.4Funcin de Transferencia Experimental

  • En muchos casos para determinar un modelo es necesario conocer los parmetros del sistema, como lo visto anteriormente, por lo que es necesario tenermtodos experimentalespara obtener la descripcin del mismo cuando no se tiene la posibilidad de conocer los parmetros (por ejemplo:), esto es, se necesita un mtodo experimental que sirva para obtener un modelo matemtico que represente el comportamiento del motor en estado transitorio y en estado permanente, lo cual se puede lograr determinando lafuncin de transferenciaque se componga dedos polos y una ganancia .
  • Este proceso experimental se basa en la respuesta transitoria y permanente de un sistema de segundo orden cuando se excita con unaseal escaln unitario,cumpliendo la condicin bsica de tener los polos alejados uno del otro, aproximadamente con una diferencia detres veces ; esto lo cumple el motor de c.d. por lo que se puede aplicar este mtodo experimental.

24. Tomando en cuenta las condiciones anteriores para el modelado del motor de c.d., se puede tener una funci