Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

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VI. Accionamientos Eléctricos de Velocidad Variable Prof. Fabricio Salgado D.

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VI.Accionamientos Eléctricos de Velocidad Variable

Prof. Fabricio Salgado D.

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VI.1 Introducción

Los primeros sistemas de control de velocidad variable que provocaron que la industria pusiera atención en ellos fueron los que se implementaron con motores de c.d. de excitación separada.

Desde el punto de vista de diseño, la máquina de c.d. presenta muchas desventajas, al ser comparada principalmente con la máquina de c.a.

Comparados con los motores de c.d. los motores de inducción jaula de ardilla de c.a. presentan varias ventajas significativas en la robustez de su diseño:

Tamaño más reducido No necesita mantenimiento Se pueden instalar casi en cualquier medio ambiente Los costos son mucho menores

Sin embargo, los motores de c.a. poseen las siguiente desventajas:

La ecuación del par electromagnético no se encuentra desacoplada. El control de estas máquinas es más complicado.

Page 3: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.3 Accionamiento Eléctrico de Velocidad Variable para Motores de C.D.

(rad/s). angular velocidad la es y (Wb) magnético flujo el es paralelo, en

circuitos de pares de número el es activos, sconductore de número el es

motor, del polos de pares de número el es con ,Volts

:como expresa se que (FEM), inducida rizelectromot contra fuerza la es

qN

Pq

PNkkE

E

,2

EiRU

VI.3.1 Características mecánicas de motor de corriente continua de excitación independiente

La característica mecánica del motor se puede determinar de manera general si se mantiene el voltaje de campo fijo (V) y se considera un régimen en estado permanente de forma que para el circuito de armadura se tiene:

donde:

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k

iRU

NmikT

222 C

RT

C

U

k

RT

k

U

kC

Entonces se tiene

para la característica mecánica, recordando que el par electromagnético desarrollado es

donde

Es importante mencionar que el flujo tiende a desaparecer, esto es entonces teóricamente la velocidad alcanzaría valores muy elevados; esta condición puede aparecer cuando se suspenda la alimentación eléctrica en el devanado de campo.

0C

Page 5: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

R

UE

R

EUi

22

k

RT

k

U

ikT

Cuando se tiene una velocidad del motor que la mayor velocidad de vacío ideal y la FEM es mayor que el voltaje aplicado , entonces la máquina eléctrica trabaja como generador por lo que la corriente cambia de sentido y se puede tener una ecuación definida por

U

Entonces el par del motor cambia de signo y se tiene que

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VI.3.3 Variables de estado y diagramas de bloques para la representación de la máquina de corriente directa

Cuando se requiere tener un modelo dinámico se puede recurrir a un modelo en variables de estado o al empleo de un diagrama de bloques; estas dos representaciones son de las más empleadas.

En la figura 5.5 se muestra el modelo eléctrico del motor de c.d. en el que se tienen los circuitos de armadura y del campo: el circuito de la armadura se puede identificar como el circuito que contiene la FEM, el circuito del campo se encuentra definido únicamente por una resistencia, un inductor y una fuente de alimentación.

E

Page 7: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

2.5

4.5

3.5

Edt

dILRIu a

aaaa

dt

dILRIu f

ffff

Lae Tdt

dJKIT

aa KIIkT

5.5

carga. la de par el es

fricción. de ecoeficient el es :

inercia. de ecoeficient el es

:

:

LT

J

Se puede plantear la siguiente ecuación diferencial para la descripción del circuito de la armadura.

mientras que para el circuito de campo se tiene que

El par electromagnético es

La ecuación mecánica es

donde:

Page 8: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Las variables de estado son aquellas que describen un sistema.A continuación se plantea la definición general de estas variables y luego se presenta un ejemplo basado en un circuito RLC, de segundo orden, en el que se encontrará el modelo en variables de estado que sirve de representación del circuito.

En términos básicos las variables de estado son el conjunto mínimo de variables que determinan el estado de un sistema, y al ser representadas por un vector de n variables éste recibe el nombre de vector de estado. Este concepto se emplea principalmente en sistemas con múltiples entradas y salidas, como lo son los motores eléctricos.

El modelo matemático de estos sistemas son las ecuaciones 5.6 y 5.7 para los casos continuos y discretos, respectivamente; en ambos casos la primera ecuación, que contiene la dinámica del sistemas, se denomina ecuación de estado y la segunda ecuación de salida.

Page 9: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

)()()(

)()()1(

kDukCxky

kBukAxkx

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

111

111

ppqnnqq

npnnnnn

uDxCy

uBxAx

6.5

7.5

8.5

donde A, B, C y D son matrices reales cuyas dimensiones están especificadas en la ecuación 5.7, mientras que u, y, x son los vectores que contienen las variables de entrada, salida y estado respectivamente.

Cualquiera que sea la interpretación que se adopte se debe tener presente que:

Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.

Las variables de estado pueden o no ser medibles.

Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

Page 10: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

0)0( cV

0)0()(1

)()(

CvdttiC

tRidt

tdiL

9.5

10.5

Ejemplo: Circuito eléctrico RLC. A continuación se presenta la descripción analítica para modelar y obtener la ecuación característica del sistema RLC.

Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura 5.6 con la particularidad de que v(t) se supone igual a 0.

El estado inicial del sistema está determinado por:

El estado transitorio está descrito por las leyes de Kirchhoff como sigue:

Page 11: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

0)(1)()(

2

2

tiCdt

tdiR

dt

tidL 11.5

Al derivar esta ecuación se tiene que:

A continuación se presentan dos formas de obtener la ecuación característica del sistema: una es empleando la descripción analítica del sistema y la otra es utilizando una representación de variables de estado.

A) Descripción analítica

Se propone la solución

02 ttt eC

AeRAeAL

tAeti )(

012

CRLAe t 14.5

12.5

13.5y luego de sustituir ésta en la ecuación 5.11 se tiene que

y agrupando términos se obtiene la ecuación característica que sólo depende se los parámetros del sistema como se esperaba:

Page 12: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

15.5

B) Representación de variables de estado

)(1)(

)(1

)(1

)()(

tiCdt

tdv

tvL

tvL

tiL

R

dt

tdi

LC

CLL

Para cumplir con las condiciones del modelo en variables de estado, el sistema de ecuaciones puede representarse de la siguiente forma:

Empleando las dos ecuaciones diferenciales que describen al circuito se tiene que

Cc iC

v1

16.5

17.5LL vL

i1

De las ecuaciones de Kirchhoff también se puede plantear que:

18.5CL vRiv

Page 13: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

por lo que las ecuaciones pueden agruparse en la siguiente forma matricial.

19.5

c

c

C

C

C

C

i

v

L

R

L

Ci

vA

i

v1

10

que en la forma de representación de estado resulta que

20.5 )(0

1

)(

)(

01

1

)(

)(

tvLtv

ti

C

LL

R

dt

tdvdt

tdi

C

L

C

L

Para demostrar que ambas ecuaciones características son iguales, se calcula el determinante donde es la matriz identidad.I 0det AI

L

R

L

CAI

1

1

det0det

De aquí se obtiene la ecuación característica siguiente:

21.5C

RLCLL

R 110 22

Page 14: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Para plantear el modelo del motor de c.d. en variables de estado, a partir de las ecuaciones 5.1 a 5.4 se obtiene el modelo matricial

CXy

BUAXx

L

aaaa

ff

a

a

a

T

u

J

LI

JJ

KL

IL

L

RI

10

01

dt

dILRIEu

ILk

aaaaaa

ff

dt

dILRIILu a

aaaffa

donde

Simplificando se tiene que

Page 15: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

L

a

f

a

f

aff

fa

fa

f

a

a

f

f

a

f

T

u

u

J

L

L

IIJ

L

IL

LI

I

J

I

RL

R

I

I

100

01

0

001

0

00

00

00

Laff

aa

fa

fa

a

aa

ff

ff

ff

TJJ

IIL

Jdt

d

uL

IL

LI

L

R

dt

dI

uL

IL

R

dt

dI

1

1

1

Entonces el conjunto de ecuaciones diferenciales que describen al motor de c.d. son:

Dentro de los modelos en variables de estado existen representaciones que permiten incluir relaciones no-lineales que en ocasiones se tienen que tomar en cuenta para representar diferentes fenómenos que se presentan en la máquina de corriente directa.

Page 16: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

El modelo lineal se puede encontrar si se mantiene una fuente de alimentación constante, sea ésta la de campo o armadura, por lo que el modelo del motor de c.d. con la corriente de campo constante, se define por:

ctef

If

LK

ILE

dt

dILRIEu

Tdt

dJKIT

ffa

aaaaaa

Lae

donde

L

aaa

ff

a

a

a

Laff

a

a

a

aaa

T

u

J

LI

JJ

KL

IL

L

RI

TJ

IJ

IL

J

L

E

L

u

L

IRI

a

a

10

01

1

Page 17: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.3.4 Modelado del motor de c.d. en diagrama de bloques

aKIT

Para realizar una representación en bloques es conveniente que cada bloque contenga la descripción del comportamiento del sistema, usando funciones de transferencia.

Así en forma general se puede definir una función de transferencia como la relación entre la salida y la entrada del sistema, con condiciones iniciales nulas y en el dominio de la frecuencia.

Para determinar la función de transferencia del motor de c.d. se parte de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento físico. Las ecuaciones del motor en la armadura se pueden escribir como:

(5.23)

(5.24)

dt

dJTT L

(5.22)

kuIRdt

dIL aaa

a

aKIJ

(5.25)

Page 18: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

)()()( sKIsJss a

2))(( KRsLJs

K

u aaa

donde

fricción. de ecoeficient :

inercia. de ecoeficient

carga. de par

par.

angular. posición

:

:

:

:

J

T

T

L

)(sIa

Aplicando la transformada de Laplace se tiene que

Si se elimina se obtiene la siguiente función de transferencia, donde la salida es la velocidad del rotor

)26.5(

)()()( sksusIRsL aaaa )27.5(

Page 19: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua
Page 20: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.3.5 Modelado empleando diagrama de bloques para el motor de c.d.

Usando las ecuaciones diferenciales básicas del modelo del motor y mapeando el dominio de la frecuencia con la transformada de Laplace, en cada una se puede obtener el diagrama mostrado en la figura 5.7 si se mantiene la corriente de campo constante.

Page 21: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Por otro lado, si se mantiene la corriente de armadura constante, para un modelo del motor de c.d. empleando el circuito del campo se tiene que

Laff

ff

ff

ff

fffff

afaLfa

ffa

TJ

IIJ

L

Jdt

d

uL

IL

R

dt

dIdt

dILIRu

ILKTdt

dJIKT

ILIkT

1

1

donde

En variables de estado, para el modelo del motor de c.d. en ecuaciones de campo se tiene que

L

fff

f

f

f

f

T

u

J

LI

JJ

KL

R

I

10

01

0

Page 22: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

donde el diagrama de bloques puede definirse por la siguiente expresión

Page 23: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.4 Función de Transferencia Experimental

En muchos casos para determinar un modelo es necesario conocer los parámetros del sistema, como lo visto anteriormente, por lo que es necesario tener métodos experimentales para obtener la descripción del mismo cuando no se tiene la posibilidad de conocer los parámetros (por ejemplo: ), esto es, se necesita un método experimental que sirva para obtener un modelo matemático que represente el comportamiento del motor en estado transitorio y en estado permanente, lo cual se puede lograr determinando la función de transferencia que se componga de dos polos y una ganancia.

aff RRLJ ,,,,

Este proceso experimental se basa en la respuesta transitoria y permanente de un sistema de segundo orden cuando se excita con una señal escalón unitario, cumpliendo la condición básica de tener los polos alejados uno del otro, aproximadamente con una diferencia de tres veces; esto lo cumple el motor de c.d. por lo que se puede aplicar este método experimental.

Page 24: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

))(()(

21 psps

ksG

31

2 p

p

2121 ))((

)()(

ps

C

ps

B

s

A

psps

k

s

sGsY

Tomando en cuenta las condiciones anteriores para el modelado del motor de c.d., se puede tener una función de transferencia de la siguiente forma.

Si , se puede aplicar una excitación del tipo escalón al sistema

para poder definir la función de transferencia, empleando la respuesta transitoria y permanente. Por expansión de fracciones parciales esto significa escribir como una suma de funciones más simples:

CBA y ,

Para esto se requiere obtener las raíces de así como los coeficientes)(sD

)(sY

En el caso del polo con multiplicidad el coeficiente se puede calcular empleando:

Page 25: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

)()()(

)()()(

)(

1222

2111

210

2

1

ppp

ksYpsC

ppp

ksYpsB

pp

kssYA

ps

ps

s

quedando definidos los coeficientes como

La respuesta escalón se obtiene con la siguiente expresión:

1(t)CeBeAy(t) tptp 21

Page 26: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

t

Las dos componentes de la respuesta se definen como

tpc

tp

Cety

BeAty2

1

)(

)(

)()( tyty f

1p

tptpf CeBetyAtz 21)()(

)(tz f

tpf Betz 1)(

Como para un valor de grande entonces 12 pp

También se puede definir una función

Con esto se elimina la ganancia de estado permanente, y si se tiene una grande se obtiene que

por lo que se puede obtener el valor de usando el logaritmo natural:

Page 27: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

11 -ptp será pendiente la de valor el grande con que ya, de valor

el obtener puede se que en gráfica forma la muestra se 5.9 figura la En

que lo por permanente estado en encuentra se donde de valor un

selecciona se conocidos y de partir a , y de valor el obtener Para

)(12

tyt

pAkp

tpf BeAty 1)(

por tanto

tpe

AtyB

1

)(

Page 28: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

)( BAC

12 pC

Bp

tpf BeAty 1)(

21 pApk

tpfc Cetytytz 2)()()(

de partir a calcular puede se obtener de Después CB

de partir a calcula se de valor el Finalmente k

usando de valor el obtener puede se de valor este cony 2pC

Para validar el proceso, empelando los datos experimentales se puede graficar

como define se Luego )(tzc

grandes de valores de dentro a igual es que pendiente, la obtiene seY tp2

Page 29: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.5 Control en Cascada en Motores de C.D.

En el caso de motores el controlador más empleado por la industria es del tipo cascada, donde normalmente se emplean uno más lazos internos en cascada.

Para realizar el control de los motores eléctricos se tiene un lazo interno de corriente y el externo de velocidad o posición.

En la figura 5.10 se ve que la corriente es la variable interna y el lazo externo es de velocidad.

Page 30: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

rconvertido del muerto tiempo el es Donde 0

En la figura 5.11 se muestra un controlador de posición que está descrito mediante un diagrama de bloques.

En la figura 5.11 lo primero que se observa es el lazo de corriente en el que se tiene a la FEM como un disturbio, de tal manera que su efecto puede ser negado porque su cambio es muy lento en comparación con la corriente.

El convertidor estático de potencia presentado en la figura anterior y que es fundamental en la transmisión de la energía que se suministra al motor, se puede aproximar a través de un sistema inercial de primer orden de la siguiente forma.

01

10

se s

Page 31: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.7 Diagrama de Bloques Simplificado de Control de Posición de un Motor

01

10

se s

Empleando la descripción del convertidor

y las partes descritas anteriormente, se puede simplificar el control de posición de un motor empleando el diagrama de la figura 5.18

Si se controla θ(s) a través de la velocidad ω(s) se obtiene el diagrama de bloques de la figura 5.19

Page 32: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

En este tipo de control no se recomienda usar la acción diferencial, debido a que puede existir ruido en al señal, afectando nocivamente el desempeño del sistema. Se propone el uso de controladores con acción proporcional e integral (PI).

Se puede apreciar que éste es un sistema tipo cero, sistemas de acuerdo con el número de polos en el origen, por lo que para anular el error de posición en estado permanente se requiere un control PI.

Para controlar el par es necesario controlar primero la variable eléctrica que es la corriente, y ésta se puede controlar a través del voltaje de entrada mientras que la FEM se puede observar como una perturbación en el circuito eléctrico del motor.

Page 33: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Para el control de velocidad, se tiene que considerar que la variable manipulada es el par electromagnético.

Si se ajusta el control de corriente con un ancho de banda superior a 3 veces se puede suponer que el lazo de par electromagnético actúa de la siguiente manera:

5.24. a 5.22 figuras las en mostrados

control de lazos los tener puede se tanto, lo por ,ee

unitaria. ganancia una fuera si como es, esto ,ee TT

Se puede decir que el lazo de velocidad en un control de posición tiene un efecto que estabiliza el sistema.

Page 34: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Se pueden proponer controladores proporcionales para los dos lazos, el lazo de posición y el lazo de velocidad.

Page 35: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

se tiene que tomar en cuenta que se desprecia el efecto de la fricción en la ecuación mecánica.

velocidad. de ganancia

posición. la para ganancia:

:donde

:

k

k

kkskJs

kk

s

s

2* )(

)(

Como resultado se tiene la siguiente función de transferencia:

J

kk

J

k

J

kpolos

2

2

42

donde los polos se pueden definir como:

Page 36: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

dttetektu

ip )(

1)()(

)(1

)( ses

sksu

i

ip

)()()( * tytyte

kJs

k

s

s

2* )(

)(

Si las ganancias de los controladores son positivas, entonces los polos están en el semiplano izquierdo del plano complejo, lo que caracteriza el comportamiento de un sistema estable.

Si sólo se tiene el control de posición, la función de transferencia está representada por:

Los polos están en el eje imaginario y no se puede estabilizar empleando sólo el control proporcional. Lo más usado y recomendado es el empleo de controladores tipo PI (analógica o digital).

El controlador tipo PI se puede definir de manera continua como se presenta a continuación, donde la entrada para el controlador es el error:

Para evaluar la salida se tiene que:

La función de transferencia del controlador queda como:

integral. tiempo de constante

r.controlado del alproporcion constante

donde

:

:

i

pk

Page 37: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

En este tipo de controladores se debe tener cuidado cuando el valor del error permanece por mucho tiempo; esto ocurre porque la acción integral se incrementa y tiende a saturarse, por lo que la señal de salida se tiene que limitar, lo cual se puede lograr de una manera muy sencilla restando la parte proporcional de la señal de salida.

De manera analógica se puede tener una topología conformada por un amplificador operacional, un diodo zener, elementos resistivos y capacitivos; el diagrama de esto se muestra en la figura 5.26.

Page 38: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua
Page 39: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

)())(()(

))(()(

))(()()()(

0

0

*

kukekku

keT

Tkku

keT

Tkykykku

integradorp

kn

ni

spintegrador

kn

ni

sp

)()()( * kykyke por define se error el donde

}

))(()()(

)(

{)( if else

}

))(()()(

{)( If

min

min

min

máx

máx

máx

kekkuku

uku

uku

kekkuku

uu(k)

uku

pintegrador

pintegrador

Cuando se requiere programar el controlador, empleando un microcontrolador, de manera digital, es necesario tener la ecuación en forma discreta, definiéndose de la siguiente manera.

De forma digital se puede programar un anti-windup, en la cual se tienen límites de los valores de la acción integral.

Page 40: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

pipi

ip

ksksJ

sk

s

s

2

)1(

)(*

)(

i

ppp

J

k

J

k

J

kpolos

2

2

42

Se debe tener en cuenta que para el control de velocidad se tienen dos integradores, por lo que se pueden ubicar los polos teniendo en cuenta el diagrama de bloques de la figura 5.27 que representa este sistema.

La función de transferencia se define por

Los polos se encuentran empleando la siguiente expresión:

Se considera que el lazo de control del par es infinitamente rápido (por esta razón el valor de kp no puede ser muy grande, porque puede demeritar la condición del lazo de par)

Page 41: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.8 Observador Lineal en Motores de C.D.

cxy

uBAxxsx

xcy

uBxAxxs

ˆˆ

ˆˆ

En esta sección se exponen los principios básicos de los observadores y se diseñan sistemas de control por retroalimentación de estado.

El observador lineal se usa para estimar los estados de un sistema, basados en la dinámica de la entrada y la salida, por lo que un modelo básico puede diseñarse como se muestra en la figura 5.28.

La planta se puede describir mediante la siguiente ecuación de estado:

El observador se define como:

Page 42: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Los dos sistemas tienen la misma entrada y salida, por lo que podría pensarse que tienen la misma dinámica, sin embargo, se tienen que tomar en cuenta las condiciones iniciales de la planta siendo necesario definir el error entre la planta y el observador.

AEsE

xssxsE

ˆ

EkcAsE )(

)ˆ(ˆˆ yykBuxAxs

xxE ˆ

Se puede escribir:

Si el sistema es estable, entonces después de un tiempo finito el sistema converge.

Para corregir el valor estimado, se suma un término proporcional a la ecuación del observador:

donde la dinámica del error se puede escribir como:

Page 43: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Si se selecciona el valor de la ganancia k de manera correcta se pueden fijar los polos de la dinámica del error, lo que puede determinar la proporción de convergencia de los estados estimados, reduciendo el problema al seleccionar el valor de k, además de tomar en cuenta que la entrada del sistema no afecta el tiempo de convergencia del observador.

En la figura 5.29 se muestra el diagrama de bloques de la planta y del observador, y en él se puede ver de manera clara la conformación de cada uno de ellos.

También se puede determinar que una función de transferencia de U(s) a Y(s) no es afectada por la dinámica del observador. El observador actúa como un sensor de la planta.

Page 44: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Ejemplo: Se tiene el caso de un servomotor que se describe mediante un modelo en variables de estado, las cuales son la posición y la velocidad.El objetivo es determinar la matriz de ganancia k para el diseño de un observador, que cumpla con al menos tener una dinámica superior diez veces que la planta.

Entonces se tiene que:

10

4

0

1.00

10

cxy

u

1

2

ncA

cA

cA

c

El paso inicial para el diseño del observador es la definición de la matriz de observabilidad, para analizar si es de rango completo (número de filas o columnas linealmente independientes):

Page 45: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

10

01

01

cA

c

y

1.00

10

cA

c

Para el sistema planteado se tiene que:

que no es de rango completo, esto es, no se pueden estimar todos los estados del sistema, en consecuencia no se puede calcular la posición a través de la velocidad, por esto es necesario reformular el modelo de una manera alterna tomando como salida la posición:

Siendo este sistema de rango completo, se concluye que se puede estimar la velocidad a través de la posición.

Page 46: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

))...()(( 1111

1

nnnnk

Tkk

)(1...00 1 AMk dc

En el segundo paso del diseño se requiere el cálculo de la ganancia K; entre los métodos existentes se tiene el de Bass Gura y la fórmula de Ackermann, para lo cual se tienen que definir la posición de los polos deseados.

En este caso particular se plantea que sean 10 veces más rápidos que la planta, por lo que el valor de la ganancia es igual a k=[1,9 0.81]

En general los dos métodos citados se describen de la siguiente forma:

Método de Bass Gura

Método de Ackermann

Page 47: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua
Page 48: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.9 Retroalimentación de Estados Para definir con más detalle como se puede obtener el valor de esta

ganancia k, se puede ver como una ganancia que altera la dinámica del observador y también que puede encontrarse una ganancia que altere la dinámica de la planta (controlador).

Tomando como base el diagrama en lazo abierto de la planta que se tiene, y sumando después la matriz de ganancia en lazo cerrado se tiene un controlador que reubica los polos del sistema cambiando la dinámica de la misma.

Page 49: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

xbgAx )'(

Se tiene que G = g es un vector

ng

g

g

g

2

1

la señal de salida del sistema es un escalar

n

nm

x

x

gggxgr 1

21'

Se supone que la entrada y la salida son escalares (y, r y rm son escalares), entonces u= -rm= -g’x. Sin tomar en cuenta la entrada del sistema se puede decir que

0)'( bgASI

n ,,, 21

Por lo tanto los eigenvectores en lazo cerrado son

y los polos buscados están definidos por

Page 50: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

21

21

21

21

21

2121

2221

1

2221

01

0

0'

222

1'

gsg

ggs

gg

gg

s

sbgASI

gg

ggggbg

2

1

21

01

B

A

Ejemplo: Se tiene un motor de c.d. descrito por el modelo en variables de estado que se presenta a continuación, y se desea ubicar los polos del sistema en s=-1± j por lo que se requiere obtener la matriz de ganancia k que es equivalente al vector g en el sistema en lazo cerrado.

El modelo del motor c.d. es

Desarrollando para obtener el vector se tiene que

Page 51: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

0)322()23( 21212 ggggss

022)1)(1( 2 ssjsjs

0)12()2)(1( 1221 gggsgs

Luego de calcular el determinante se obtiene que

y de aquí resulta que

Usando los polos deseados se tiene que

)28.5(

)29.5(

Igualando los coeficientes correspondientes de (5.28) y (5.29) se obtiene que

032

12

21

21

gg

gg

2

3

2

3

2

1

g

g

g

21 23' xxxgu

y resolviendo este sistema resulta que

y por tanto

Page 52: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

0

Λ

lidadcontrolabi de matriz

12

21

1

22

11

nnnnn

nn-n-n

T

asasasas

IaAaAaA

C

0222 ss

32

11

21

01

ABBC

A

T

1100' TCxg

Otra forma de obtener el vector g es a través de la fórmula de Ackermann.

donde

en donde las a son los coeficientes deseados y A es la matriz del sistema.

Retomando el ejemplo anterior, en este caso se tiene lo siguiente.

Para el coeficiente de s se tiene que a1=2 y para el coeficiente independiente a2=2, por tanto

y también

Page 53: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

2321

01

12

1310'

21

01

20

02

42

02

43

01

2n para 12

13

212

1

xg

IaAaA

CT

La matriz de controlabilidad que cumple es de rango completo

Page 54: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

JcVk 1

Ejemplo: otro ejemplo de diseño para un motor de c.d. como se muestra en la figura 5.32, con el voltaje como entrada y un par electromagnético (simplificado) de salida, manteniendo el par de carga igual a cero, TL=0.Entonces

En lazo abierto y con las ecuaciones básicas del motor de c.d. se tiene

uJ

k

J

c

BuAxx

vJ

k

J

c

m

im

001

0

0

8

01

002.0V

mN 8

smN 02.0

cmkg 0.1 2

B

A

k

c

J

m

con los siguientes datos

Page 55: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

0)'(

80

16.08

bgASI

CT

08)802.0( 212 ggss

La matriz de controlabilidad, de rango completo, es

La ecuación característica del sistema en lazo cerrado es

Page 56: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

212

1 8)802.0(

8

ggssv

125.0

2475.0

2

1

g

g

)'~~

(

)'''(

3333

),,ker(

xgbAx

kCA

iidespol

despolbaacg

18

2802.0

012

2

1

2

g

g

ssLa ecuación deseada es

y la solución del sistema es

Reduciendo el diagrama de bloques resulta que

Como se ve esto es igual que la anterior.

Por otro lado, se puede emplear el comando de Matlab (acker) para obtener g:

Page 57: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

VI.10 Pasos Básicos para la Retroalimentación de Estados

)()(

)()()()(

tCxty

tBNtxBKAtx r

)()(

)()()(

tCxty

tButAxtx

Técnica para el posicionamiento o colocación de dos valores propios.

Dada la ecuación de estado de lazo abierto

se aplica la ley de control u(t)=Nr(t) – kx(t) y se obtiene la ecuación de estado de lazo cerrado

Si un sistema es controlable, proyectándose una matriz de ganancia K apropiada, se pueden posicionar los autovalores de (A-BK) en cualquier posición deseada en el plano s.

Page 58: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

02.2012202.0

110)det()( 2

sss

sAsIs

Ejemplo: Considérese un motor de c.d. descrito por las ecuaciones de estado.

)(

)(01

)(2

0

)(

)(

202.0

110

)(

)(

ti

ty

tvti

t

ti

t

dt

d

1. Su polinomio característico de lazo abierto (sin retroalimentación de estados) está dado por

Las raíces de la ecuación característica Δ(s)=0 son s=-9.9975 y s=-2.0025.

Obsérvese que el sistema lleva aproximadamente 3 segundos para alcanzar el valor nominal. La velocidad final está cerca de 1/10 de la amplitud de la tensión de entrada.

Se desea diseñar un controlador por retroalimentación de estados, de forma que la respuesta del motor sea más rápida, y lograr que ω(t) siga valores constantes r(t).

Page 59: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

2. Para calcular la ganancia de retroalimentación adecuada, se debe seguir la matriz de controlabilidad Mc:

2rango ;42

20

(Mc)ABBMc

El sistema es controlable

Como el sistema no se encuentra en forma canónica controlable, se determina la transformación T necesaria para llevar el sistema a esta forma canónica. Si se conoce esta transformación de la matriz de controlabilidad Mc, se puede determinar la matriz K por los tres métodos ya vistos:

i. Por sustitución directa.

ii. Por la ecuación de Bass-Gura.

iii. Por la ecuación de Ackermann.

A continuación se van a aplicar los métodos (ii) y (iii), y se van a comparar los resultados.

Page 60: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

Método (ii): Ecuación de Bass-Gura. Para usar esta ecuación se necesita determinar la matriz de transformación T o el polinomio despejado Δd(s).

T=McW. Mc se determinó anteriormente. Ahora se va a determinar la matriz W.

220

02

01

112

42

20

01

112

01

1

que tienese 02.2012)( Como

)(con

0001

001

01

1

1

2

11

1

1

32

121

Ta

W

sss

asasass

a

aa

aaa

W

nnnn

nn

nn

Page 61: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

)())(( 1111 aaak nnnn

298.5

121002.2026))(( 1122

aak

2610)5)(5()( 2 ssjsjssk

:1-TkK

19912

4

1

220

022985

220

022985

1

-.

)(..

K

K

Para determinar

primero se necesita obtener un polinomio característico deseado (coeficiente ) y para esto es indispensable especificar los polos deseados.

i

Supóngase que se desea posicionar los polos de lazo cerrado en s=-5±j, los cuales resultan en una respuesta de escalón con un sobrepeso de 0.1% en un tiempo de establecimiento de aproximadamente 1 segundo. A partir de estas especificaciones, el polinomio característico deseado es:

Con Δ(s) y Δk(s), se determina la ganancia K en las coordenadas (forma canónica controlable):

Finalmente, se obtiene la matriz K en las coordenadas originales del problema mediante

Page 62: Control de Velocidad de Motores de Corriente Continua

199.12

261042

2010

)(...100

2

1

1

IAA

AMc d

K

K

j 5)( BKA

Método (iii): Ecuación de Ackermann.

Autovalores de , como se deseaba.