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Planificación, diseño y cálculo de presas para control de azolves

José Luis Oropeza Mota

Introducción La formación de cárcavas en cualquier tipo de terreno indica un grado avanzado de erosión hídrica; y su rehabilitación por medio de presas de control de azolves construidas con gaviones requiere de fuertes erogaciones debidas a los altos costos de inversión. Además, dentro de las obras de conservación del suelo y del agua, el control de esta forma de erosión hídrica constituye la parte no rentable de las obras de ingeniería agrícola, debido a que casi siempre los costos de construcción exceden el valor de la tierra. Sin embargo, este tipo de control justifica la protección de las tierras bajas, necesaria en muchos de los casos cuando las obras de infraestructura hidroagrícola demandan altos costos de mantenimiento. Construir presas de gaviones, de mampostería hidráulica, mampostería seca y/o de piedra acomodada, etc. implica la necesidad de un estudio minucioso que determine la cantidad de obra mínima necesaria dentro de los objetivos que las normas de construcción demanden y de la utilidad que se les pretenda dar, ya que la mayoría de las veces es más conveniente prevenir la formación de cárcavas que rehabilitarlas. En estas notas, primeramente se considerará la actividad correspondiente a la planificación de la cuenca hidrológica donde se pretende ubicar las estructuras de control de azolves, posteriormente, se darán las diferentes opciones de adoptar el diseño más conveniente y por último, se propone una secuela de cálculo donde se indica el procedimiento analítico que guarda la estabilidad estructural de las presas de gaviones. Antes de considerar la planificación, diseño y cálculo de las presas de control de azolves construidas con gaviones, mampostería seca (piedra acomodada) y mampostería hidráulica nos vamos referir a algunos conceptos de carácter general. Los gaviones se definen como prismas rectangulares formados por malla de alambre galvanizado, los cuales se rellenan de piedra con objeto de formar el cuerpo de la obra que constituye la presa de control. Las mallas de alambre presentan la forma de un hexágono entrelazado con triple torsión y de peso por metro cúbico de gavión constante. La Figura 1 muestra la forma del hexágono y el Cuadro 1 las diferentes medidas de las mallas más usualmente comercializadas.

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Figura 1. Dimensiones de una malla utilizada en gaviones rectangulares.

Cuadro 1. Tipos de malla comerciales utilizados en los gaviones rectangulares.

NÚMERO DE MALLA

CALIBRE DEL ALAMBRE

DIÁMETRO DEL

ALAMBRE (en mm)

5 × 7 13 2.0 5 × 8 14 2.2 8 × 10 15 2.4 9 × 12 16 2.7 12 × 14 17 3.0

Un gavión esta constituido por cuatro rectángulos y dos cabezas, ver figura 2. El rectángulo I forma la tapa del gavión y los rectángulos II y IV las caras frontales y la base esta formada por el rectángulo III, las cabezas (T) forman las caras laterales, las cuales cierran el prisma rectangular.

Figura 2. Partes que constituyen un gavión rectangular. Cada gavión rectangular está determinado volumétricamente por su largo, ancho y espesor. El Cuadro 2 muestra las medidas comerciales más comúnmente utilizadas en la construcción de presas de gaviones. Con objeto de facilitar su transporte y manejo, los gaviones se pliegan y se transportan en pacas de 10.

7 cm

5 cm

IV

III

II

I

TT

3

Cuadro 2. Medidas y precios unitarios de los gaviones comúnmente utilizados en la construcción de presas de control.

DIMENSIONADO (en m) Largo Ancho Espesor

PESO (en Kg.)

VOLUMEN (en m3)

COSTO UNITARIO

(en $)* 3.0 1.0 1.0 22.0 3.0 450.00 2.0 1.0 1.0 16.5 2.0 300.00 1.5 1.0 1.0 12.0 1.5 150.00 4.0 1.0 0.5 22.2 2.0 300.00 3.0 1.0 0.5 17.0 1.5 275.00 2.0 1.5 0.5 11.7 1.0 250.00 4.0 1.0 0.3 18.5 1.2 275.00 3.0 1.0 0.3 14.4 0.9 200.00 2.0 1.0 0.3 9.25 0.6 175.00

El alambre galvanizado calibre 13 para cosido y tensores se cotiza a $ 15.00 kilogramo. *Precios actualizados hasta mayo del 2000

La operación de armado de gaviones comprende las siguientes etapas: Primera etapa. Despliegue y enderezado de los gaviones, ver figura 3a.

Figura 3a. Despliegue y enderezado de los gaviones Segunda etapa. Armado y cosido. Esta parte implica levantar las caras frontales 11 y IV y coserlas con alambre galvanizado del número 13 con las caras laterales (T) hasta formar un verdadero cubo, ver figura 3b.

Figura 3b. Armado y cosido de gaviones

T III T

IV

II

I

C D

B

F

JI

H

TA

IV

II

III G

T

I

E

4

Tercera etapa. Colocado y punteado. En esta etapa el gavión se coloca en el sitio seleccionado donde se va a levantar la presa, si el colocado corresponde a la cimentación de la presa, éste se hará sobre tierra firme, de otra manera el gavión se colocará encima de otros que ya fueron colocados. Con objeto de unir un gavión con otro se lleva a cabo el punteado, el cual consiste en amarrar las superficies de contacto entre gaviones. Ver figura 3c.

Figura 3c. Colocado y punteado de gaviones

Cuarta etapa. Llenado y atirantado. El llenado de los gaviones debe realizarse buscando el ángulo de reposo de la piedra, de tal manera que se logre un mejor colocamiento. Cuando el llenado alcanza cierta altura, es conveniente atirantarlo mediante alambres horizontales. Esta operación evita que el gavión sufra deformaciones debido a la presión del material de relleno durante el llenado. Ver figura 3d.

Figura 3d. Llenado y atirantado de gaviones

Quinta etapa. Tapado y cosido. Esta etapa implica cerrar el gavión una vez que ha sido llenado convenientemente mediante el cosido de la tapa, logrando un bloque rectangular de mampostería gavionada, ver figura 3e.

Figura 3e. Tapado y cosido de gaviones

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La planificación en el control de cárcavas a) Objetivos y justificación Antes de rehabilitar una cárcava es mejor decidir que tipo de medidas correctivas deberán ser adoptadas para su control y si estas medidas se justifican en términos de valor de la tierra aguas arriba y abajo de la obra. El valor de la tierra puede considerarse en función de su rentabilidad, beneficio social, protección de la cuenca de recepción de una obra hidráulica, la protección aguas abajo de tierras de regadío, la protección de vías de comunicación, áreas urbanas, etc. Cada uno de los ejemplos anteriores podrían ser considerados como prioritarios, pero sería más conveniente evaluarlos en función del costo actual y de la relación beneficio-costo que cada uno de ellos representa. b) Rehabilitación La rehabilitación en el control de cárcavas considera dos principios básicos: la rehabilitación parcial y la rehabilitación total. El control parcial de una cárcava es muy económico y se utiliza satisfactoriamente cuando el objeto principal no es corregir la cárcava totalmente, sino que se utiliza como medida preventiva. Teóricamente, esta clase de solución es muy económica debido a la sencillez de las estructuras que se utilizan, pero desafortunadamente este tipo de sistema no llega a recuperar el estado original de la cárcava, lo que implica que el problema de degradación persista, ocasionando gastos inútiles, tiempo y esfuerzo. Además, el control parcial no controla el punto donde se origina la cárcava, es decir, no considera el control de la erosión remontante. El segundo principio considera la restauración total de la cárcava bajo los siguientes puntos de vista: la rehabilitación de su sistema hidráulico mediante estructuras de control permanentes y/o creando nuevas condiciones hidráulicas para reducir el escurrimiento superficial mediante canales colectores, interceptores y de desviación. c) Orden de ejecución de las obras Los principios anteriores nos permiten seleccionar el orden de ejecución de las obras. Se ha considerado que esta parte es la más discutida dentro de la planeación del control y corrección de cárcavas. Existen diferentes opiniones de que los trabajos de corrección deben iniciarse por la parte más alta y otras que por la parte más baja. Sin embargo, debido a que cada cárcava es un caso particular, el orden de ejecución de las obras debe iniciarse por donde sea más urgente.

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d) Etapas de control Por otra parte, las etapas de control de una cárcava señalan la secuencia de los trabajos a desarrollar a fin de garantizar la seguridad de su rehabilitación. Entre estas etapas, pueden distinguirse cuatro como las más importantes: 1. Origen de la cárcava. Esta etapa detecta el origen de formación de la cárcava mediante

el control de la erosión remontante, evitando de esta manera el crecimiento de la cárcava en longitud. Esta etapa de control es comúnmente llamada cabeceo de la cárcava.

2. Estabilización de taludes. Esta se encarga de estabilizar los taludes de las márgenes

derecha e izquierda de la cárcava, evitando que esta crezca en su ancho y al mismo tiempo controla y reduce el escurrimiento superficial lateral.

3. Caracterización física del suelo. Esta etapa consiste en determinar las características

físicas del suelo (permeabilidad, compactación, estructura, dureza, etc.) a fin de conocer su comportamiento al momento de cimentar la obra.

4. Selección del tipo de estructura. Finalmente, la cuarta etapa implica seleccionar el tipo

de obra en función de las etapas anteriores. Para este caso en particular, se trata de presas de gaviones específicamente.

e) Clasificación de las obras de control Las presas de control de azolves se clasifican en temporales y permanentes de acuerdo a los materiales empleados para su construcción y la vida útil que estos presentan. Las presas temporales pueden durar de uno a dos años, ya que únicamente se utilizan para ayudar a la estabilización de material vegetativo o bien para controlar azolves en cárcavas en proceso de formación. Las presas de carácter permanente, pueden tener una duración de cuarenta o más años. Por otra parte, las presas de gaviones están garantizadas para una duración de 30 años sin que esta sufra deterioro, siempre y cuando los materiales utilizados para la construcción no se encuentren muy intemperizados. f) Selección de los sitios de construcción Esta parte implica seleccionar el sitio más adecuado de la cárcava para la construcción de la presa. La selección considera los siguientes puntos: a) El sitio seleccionado deberá ser la parte más angosta de la cárcava a fin de disminuir los

costos de construcción y lograr una mayor estabilización de las márgenes de la misma. b) El lugar seleccionado deberá tener un tramo recto de aproximadamente 20 metros aguas

arriba del sitio de construcción a fin de lograr que las aguas de escurrimiento se conduzcan linealmente hasta impactarse sobre el muro transversal, debe evitarse

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construir presas en meandros y lugares curvos del cauce para que el agua no forme socavaciones.

c) El sitio de construcción deber tener sus taludes bien consolidados, guardando una

relación 0.7:1 a fin de evitar cualquier deterioro; ninguna de las márgenes deberá ser una salida de otra cárcava.

d) Si el sistema de drenaje se encuentra muy disectado por un gran número de cárcavas, el

sitio de construcción deberá ser seleccionado en una confluencia punto donde ocurren otras cárcavas) a fin de controlar varias cárcavas con una sola obra. Por el contrario, en muro de control no deberá construirse en una bifurcación (punto donde se originan dos cárcavas).

g) Espaciamiento entre presas El espaciamiento entre presas es función de la pendiente de la cárcava (Pc), de la pendiente de los sedimentos aguas arriba de la presa (Ps) y del tratamiento que se pretenda en el control. De acuerdo al Manual de Conservación del Suelo y del Agua editado por el Colegio de Postgraduados en 1975, para determinar el espaciamiento más adecuado entre presas deberá tomarse las siguientes consideraciones: 1. El espaciamiento más eficiente se obtiene cuando una presa de control se construye en

la parte en donde terminan los sedimentos depositados por la presa anterior. 2. Para obtener un espaciamiento adecuado, deberá conocerse el volumen de sedimentos

transportados por las aguas de escurrimiento que circulan por la cárcava a fin de determinar la capacidad de azolves de la presa.

En función de lo anterior se considera que los criterios de espaciamiento se determinan como sigue: Espaciamiento unitario y por doble espaciamiento. Tanto el espaciamiento unitario corno el doble espaciamiento presentan una superficie inclinada formada por los sedimentos retenidos aguas arriba de la presa. Esta superficie inclinada es conocida como pendiente de compensación o aterramiento, menor que la pendiente de la cárcava. Su valor se determina en función del tamaño de los materiales transportados por escurrimiento máximo y por las características hidráulicas de la cárcava. h) Diseño de la presa de gaviones El diseño de las presas de gaviones tiene por objeto conocer el dimensionamiento más adecuado de los tendidos que forman el cuerpo de la obra y la estabilidad de los mismos. Para el diseño de la presa básicamente se consideran los siguientes puntos:

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1. Determinar las secciones transversales de la cárcava donde se desea llevar a cabo la construcción. Estas deben dibujarse a escala 1:100 preferentemente.

2. Determinar la curva de áreas y capacidades con el fin de cuantificar los volúmenes de

agua y sedimentos que serán almacenados aguas arriba de la presa. 3. Estimar el escurrimiento máximo que tiene lugar en la cuenca de la cárcava (área de

recepción) a fin de diseñar la capacidad máxima del vertedor. 4. Diseñar el vertedor a fin de satisfacer la capacidad de descarga del escurrimiento

máximo. 5. Considerar los empotramientos máximos permisibles en ambas márgenes de la cárcava

con el propósito de evitar posibles filtraciones que podrían debilitar la seguridad de la obras.

6. Proporcionar un colchón amortiguador a fin de evitar el golpe de la caída del agua sobre

el piso aguas abajo de la obra en el momento de verterse las aguas, evitando de esta manera la socavación del lecho y el deterioro de las paredes laterales.

7. Considerar el volumen total de excavación que la construcción demande, así como la

dureza del suelo y las condiciones físicas del lecho de la cárcava. i) Cálculo estructural El cálculo estructural de una presa de gaviones constituye el análisis de cada fuerza que actúa sobre él muro y que al mismo tiempo determina la estabilidad de la obra. En esta parte se presenta un método original que señala los procedimientos de cálculo utilizados en la construcción de este tipo de obras. En términos generales, se analiza directamente la resistencia del muro de gaviones a soportar los efectos por deslizamiento y volteamiento causados por el empuje hidrostático del agua. j) Abastecimiento de materiales En esta parte se considera el abastecimiento de materiales que serán destinados a la formación del muro. Los materiales que estas obras requieren son los siguientes: Piedra, alambre, gaviones y herramientas de trabajo. Debe considerarse así mismo la construcción de caminos de acceso y la mano de obra que generalmente se forma por una brigada de seis personas. k) Ejecución de la obra La ejecución de la obra es la etapa final de la planeación. Esta parte contempla los siguientes conceptos que deben llevarse a cabo en el orden siguiente:

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1. Excavación 2. Armado y cosido de los gaviones 3. Colocación y punteado 4. Llenado y atirantado de gaviones 5. Tapado y cosido

l) Evaluación de las Obras Esta parte es muy importante considerarla debido a que permite conocer el impacto, el éxito y la bondad de las obras a cumplir con la justificación para lo cual fueron construidas, al mismo tiempo que determinan todos los posibles fracasos en el control. Un diagrama de flujo que señala la secuencia de la planeación que debe considerarse en un programa de control de cárcavas se presenta en la figura 4. Diseño de la presa de gaviones El diseño de la presa se lleva a cabo en función de los siguientes parámetros: parámetros relacionados con la topografía del suelo y parámetros en función de las características hidrológicas de la cuenca. La topografía del suelo influye en la planeación como sigue: 1. Espaciamiento entre presas. El espaciamiento entre presas se determina en función de

la relación siguiente:

donde: E = Espaciamiento entre dos presas consecutivas (en m) H = Altura efectiva de la presa (en m) Pc = Pendiente de la cárcava (en %) Ps = Pendiente de compensación (en %) 2. Pendiente de la cárcava. La pendiente de la cárcava (Pc) se determina con nivel montado y/o clinómetro usando la siguiente relación:

donde: Pc = Pendiente de la cárcava (en %) Dn = Desnivel entre dos puntos considerados (en m) L = Longitud horizontal entre dos puntos (en m)

(1) 100PP

HE

sc×

−=

(2) 100L

DP n

c ×=

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Figura 4. Diagrama de flujo para construcción de presas de gaviones en cuencas

hidrológicas

11

3. Pendiente de compensación. La pendiente de compensación (Ps) también se conoce como pendiente de aterramiento, este valor es siempre menor (Pc). Su valor se determina en función de las leyes del transporte máximo de sedimentos. Para fines prácticos se ha determinado que (Ps) toma los siguientes valores, 1 % < Ps < 3.0 %. De acuerdo con la ecuación (1) se pueden adoptar los criterios de espaciamiento unitario y doble espaciamiento. El espaciamiento unitario considera la construcción de la presa en función de la ecuación (1), ver figura 5.

Figura 5. Espaciamiento unitario considerado en las presas de gaviones.

El doble espaciamiento considera la construcción de la presa en función de la ecuación (1) multiplicada por dos. Ver figura 6.

Figura 6. Doble espaciamiento considerado en las presas de gaviones.

4. Altura efectiva de la presa. La altura de las presas de gaviones se determina en función del aterramiento determinado por la pendiente de la cárcava, la pendiente de compensación y el espaciamiento. Su valor se determina a partir de la ecuación (1), despejando el valor de (H). H = E (Pc - Ps) (3) donde: E = Espaciamiento entre dos presas consecutivas (en m) H = Altura efectiva de la presa (en m)

E

PS

PC

2E

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Pc = Pendiente de la cárcava (en %) Ps = Pendiente de compensación (en %) Las características hidrológicas de la cuenca se obtienen como sigue:

1. Area de embalse. El área de embalse se determina por cualquier procedimiento de topografía. Este se utilizará posteriormente para determinar la curva de áreas y volúmenes de sedimento que serán captados por la presa. Una gráfica del área de embalse y una curva de áreas y volúmenes de sedimento se presenta en las figuras 7 y 8.

Figura 7. Área de embalse de una cárcava mostrando sus áreas parciales y su elevación.

Figura 8. Curva típica para determinar las áreas y volúmenes de sedimento en el embalse de una cárcava.

0.5A 1

1.01.5

2.02.5

3.0 A 2

A 3

A 4

A 5

A 6

ELEVACION

EL

EV

AC

ION

(m

)

AREA

AR

EA

VOLUMENES

100 200 30003.0

2.0

1.0

15 30 45 60 75 900

VOLUMEN (m3)

AREA (m2)

13

Cuadro 3. Cuadro para el cálculo de áreas y volúmenes de sedimento en cárcavas. Elevación

(m) Area (m2)

Area acumulada

(m2)

Equidistancia (m)

Volumen Parcial

(m3)

Volumen total (m3)

0.0 0.0 0.0 0.0 0.00 0.00 0.5 12.3 12.3 0.5 6.15 6.15 1.0 18.4 30.7 0.5 15.35 21.50 1.5 29.7 60.4 0.5 30.20 51.70 2.0 41.8 102.2 0.5 51.10 102.80 2.5 50.4 152.6 0.5 76.30 179.10 3.0 70.6 223.2 0.5 111.60 290.70

2. Caudal máximo de diseño. Un procedimiento rápido y sencillo para determinar el caudal máximo para el diseño del vertedor de las presas de gaviones es el método de sección y pendiente. Este método determina el máximo escurrimiento en función de la huella máxima observada en las márgenes de la cárcava que deja el escurrimiento superficial. El método parte de la ecuación de continuidad que se escribe como sigue: Qmáx. = AV (4) donde: Qmáx = Gasto máximo de diseño (en m3 s-1) A = Area hidráulica de la cárcava (en m2) V = Velocidad del escurrimiento (en m s-1) El área hidráulica se determina en función de la sección transversal del sitio donde se pretende ubicar la obra. La sección transversal se obtiene por cualquier procedimiento topográfico y se representa en papel milimétrico escala 1:100. De esta manera se obtiene el área hidráulica determinada por figuras geométricas conocidas, ver figura 9.

ACOTACIONES EN METROS ESC: 1: 100

Figura 9. Sección transversal de una cárcava.

A1 A2 A3 A4 A5

MDMI

A B

14

La velocidad del escurrimiento se estima en función de la ecuación de Manning, como sigue:

donde: V = Velocidad (en m s-1) S = Pc = Pendiente de la cárcava (en m m-1) R = Radio hidráulico = A/Pm (en m) η = Coeficiente de rugosidad de Manning A = Area hidráulica (en m2) Pm = Perímetro de mojado (en m) 3. Diseño del vertedor. En función del gasto máximo se diseña el vertedor. En estructuras de gaviones se utilizan vertedores rectangulares de cresta gruesa cuya fórmula se escribe como sigue, ver figura 10.

Figura 10. Dimensionado de un vertedor rectangular de cresta gruesa utilizado en el diseño de una presa de gaviones.

Qmáx= C LH3/2…………………......................................................................... (6) donde: Qmáx = Escurrimiento máximo (en m3 s-1) C = Coeficiente de rugosidad, adimensional = 1.45 L = Longitud del vertedor (en m) H = Carga sobre el vertedor (en m) Como el valor de (Qmáx) es conocido, dado que se determinó por el método de sección y pendiente, se pueden proponer valores de (L) y (H) para obtener las dimensiones del vertedor. La ecuación (7) muestra el cálculo de (H) proponiendo un valor cualquiera de (L).

4. Diseño de la colocación de los gaviones. Finalmente, se determina la colocación de los gaviones en función de la sección transversal de la cárcava, así como el número de gaviones

(5) RS1

V 2/31/2

η=

Y A

QmaxH

L

(7) CL

QH

2/3max

=

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y el tamaño de los mismos. La colocación, tamaño, número y volumen de gaviones se presenta en la figura 11 y 12 y en el Cuadro 4.

Figura 11. Vista de frente, perfil y en planta de la disposición de

los gaviones en una sección transversal.

Cuadro 4. Número, tamaño y volumen de gaviones de acuerdo con su arreglo en la sección transversal de la figura 11.

NUMERO DE GAVIONES

TAMAÑO DEL GAVION

(largo, ancho y espesor) (m)

VOLUMEN (m3)

COSTO UNITARIO

(en $)

COSTO TOTAL (en $)

4 3.0 x 1.0 x 0.5 6.0 275.00 1100.00 13 1.5 x 1.0 x 1.0 19.5 150.00 1950.00 6 3.0 x 1.0 x 1.0 18.0 450.00 2700.00 3 2.0 x 1.0 x 1.0 6.0 300.00 900.00 26 49.5 6650.00

Volumen proyectado = 49.50 m3 Volumen aparente = 49.50 x 0.33 = 16.50 m3 Volumen real = 49.50 + 16.50 = 66.00 m3 Coeficiente de abundamiento = 0.33

MDMI

LVDLVI

L3

L2

L1

L0

P0

P1

P2

P3

AZ

Z3

Z2

Z1

Z0

PVDPVD

VISTA DE PERFIL

VISTA DE FRENTE

VISTA EN PLANTA

16

3 x 1 x 0.5

3 x

1 x

0.5

3 x

1 x

0.5

3 x

1 x

0.5

3 x 1 x 1 2 x 1 x 1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

3 x 1 x 1

3 x 1 x 1

3 x 1 x 1

3 x 1 x 1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

1.5x

1x1

2 x 1 x 1 3 x 1 x 12 x 1 x 1

Figura 12. Vista en planta del arreglo de los gaviones en una sección transversal Cálculo estructural de la presa de gaviones El cálculo de una presa de gaviones se realiza a partir de la sección crítica unitaria, esto es, que las dimensiones están referidas a la unidad de ancho del muro, considerando el perfil de la figura 13, se procede como sigue:

Figura 13. Vista de frente y perfil de la sección crítica unitaria.

b2

b1

b

qK

b/2

Zp p

K'

h'

h4

h3

h2H

E

A B

B

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De acuerdo con la sección crítica unitaria de la figura 13, a continuación se define la siguiente simbología: H = Altura de la presa (en m) h' = Altura de la lámina vertiente (en m) h1, h2, h3, h4 = Alturas de los tendidos (en m) B = Base de la presa (en m) b = Corona de la presa (en m) K = Longitud constante del escalón (en m) k' = Longitud del colchón amortiguador (en m) b1, b2, b3 = Ancho de los tendidos (en m) q = Peso de la lámina vertiente (en t) E = Empuje hidrostático del agua (en t) P = Peso total de la sección crítica unitaria (t) V = Volumen total de la obra (en m3) W = Peso específico del agua con sedimentos (en kg m-3) δ = Peso específico de la piedra (en kg m-3) δa = Peso específico aparente (en kg m-3) µ = Coeficiente de fricción (adimensional) S = Superficie de mojado de la sección unitaria (en m2) h = Centro de gravedad de la superficie de mojado (en m) a) Peso de la lámina vertiente (q) q = h' b w Su brazo de palanca con respecto al punto (A) de la figura 13 es:

b) Peso de la sección crítica unitaria (P) b1. Cálculo del volumen unitario V = (h1 b1) + (h2 b1) + (h3 b3) + (h4 B) b.2. Cálculo del peso específico aparente δa = (δ - w) P = V. δa Su brazo de palanca con respecto al punto (A) es: X(P) = Zp

2

b(q) =Χ

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c) Cálculo del empuje hidrostático del agua (E) E = S h w Su brazo de palanca con respecto al punto (A) es: X(E) = H/3 d) Cálculo de la condición del núcleo central

e) Cálculo de la condición de no deslizamiento (q + P) µ � E f) Cálculo de la condición de no volteamiento

Para determinar el cálculo estructural de un ejemplo práctico, nos apoyaremos en el diseño de las figuras 11 y 12. Ejemplo de cálculo de una presa de gaviones a) Determinación del centro de gravedad de la obra. El objetivo principal de determinar el

centro de gravedad de la presa es conocer el lugar de la sección crítica unitaria, es decir, el lugar donde se concentran las fuerzas horizontales y verticales que actúan sobre el muro. Para ese ejemplo tomaremos el diseño de la figura 11 y figura 14, los cálculos correspondientes se presentan en el Cuadro 5.

V

2

)bb(h

2

)bb(h

2

)bb(h

Z

333222111

p

+

+

=

( ) ( ) ( ) ( )BPq3

2q EPq +≤Χ+Χ+Χ

( )( ) 1

E

P

E

P ≥ΧΧ

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Figura 14. Vista de frente y perfil de la sección crítica unitaria

Cuadro 5. Cálculo del centro de gravedad de la presa de acuerdo con la figura 14.

TENDIDO V (m³)

X (m)

Y (m)

Z (m)

VX (m4)

VY (m4)

VZ (m4)

TVI 4.00 2.0 4.0 0.5 8.0 16.0 2.0 TVD 3.00 8.5 4.0 0.5 25.5 12.0 1.5 T3 12.00 5.0 3.0 0.75 60.0 36.0 9.0 T2 12.00 5.0 2.0 1.0 60.0 24.0 12.0 T1 12.50 5.5 1.0 1.25 68.75 12.5 15.62 T0 6.00 6.0 0.25 2.0 36.0 1.5 12.0 TOTALES 49.50 258.25 102.0 52.12

Las coordenadas centroidales son las siguientes:

Los valores anteriores determinan el centro de gravedad de la sección crítica unitaria (ver figura 11). En función del centro de gravedad se determina la sección crítica unitaria. A partir de esta sección se calculará la estabilidad de la obra de toda la estructura, ver Figura 14. Determinación de las fuerzas que actúan sobre la sección crítica unitaria. b.1. Cálculo de la línea de acción del peso de la obra, cuyo objeto es determinar los momentos estáticos con respecto a un punto considerado, ver Figura 15 y Cuadro 6.

3.0 1.0

1.0

1.0

1.0

0.5 3.0

5.0

6.0

4.0

2.5

2.0

1.5

1.0

8.0

3.0

4.5

1.0

2.0

3.0

4.0

m 21.550.49

25.258

V

VXX c === ∑

m 06.250.49

0.102

V

VYYc === ∑

m 05.150.49

12.52

V

VZZc === ∑

20

Figura 15. Determinación de la sección crítica unitaria

Cuadro 6. Determinación de la línea de acción del peso (P) de la sección crítica unitaria.

TENDIDO VOLUMEN UNITARIO

(m3)

Y (m)

Z (m)

VY (m4)

VZ (m4)

A3 1.5 3.0 0.75 4.5 1.12 A2 2.0 2.0 1.00 4.0 2.00 A1 2.5 1.0 1.25 2.5 3.12 A0 2.0 0.25 2.00 0.5 4.00 TOTAL 8.0 11.5 10.25

Los valores (Yp) y (Zp) son las coordenadas que determinan la posición de la línea o punto donde actúa el peso de la sección critica unitaria (P).

b.2. Peso de la lámina vertiente (q): q = h' b W = 1.0 x 1.0 x 1.2 = 1.2 t.

b.3. Cálculo de la superficie de mojado: S = H x 1.0 = 3.0 x 1.0 = 3.0 m²

b.4. Cálculo del centro de gravedad de la superficie de mojado:

m 43.10.8

5.11

V

VYYp === ∑

m 28.10.8

25.10

V

VZZp === ∑

P

Y'=1/3 H

E

Zp' Zp

4.0

2.5

2.0

1.5

H

21

h' = H/2 = 3.0/2 = 1.5 m b.5. Cálculo del empuje hidrostático del agua sobre el muro aguas arriba: E = S h' W = 3.0 x 1.5 x 1.2 = 5.4 t. W = Peso específico del agua con sedimentos = 1.2 t m-3

b.6. Cálculo del peso de la sección crítica unitaria. P = V δa = 8.0 x 1.2 = 9.6 t δa = (δ - W) = Peso específico aparente = 1.2 t m-3 δ = Peso específico de la piedra = 2.4 t m-3

b.6. Determinación del factor de seguridad al deslizamiento. (q + P)µ � E = (1.2 + 9.6)0.75 = 8.1 �5.4

µ = Coeficiente de rozamiento correspondiente a piedra sobre piedra = 0.75.

b.7. Determinación del factor de seguridad al volteamiento.

c). Comprobación de la condición de equilibrio o condición del núcleo central. c. 1. Determinación del desplazamiento de la línea de acción del peso P, ver figura 16.

Figura 16. Diagrama de cuerpo libre del empuje hidrostático E y el peso P

Z’= tg α Y' = 0.56 x 1.0 = O.56 Z’ = 0.56

( )( ) 1

E

P

E

P ≥ΧΧ

183.44.5

11.26

1.05.4

2.729.6 >==×

×

Y'

E

Z'

P

56.06.9

4.5

P

Etg ===α

56.06.9

4.5

Y'

Z'tg ===α

22

Z' = Desplazamiento que sufre P cuando actúa E. Dado que la base B de la obra de gaviones se divide entre 3 para determinar el tercio medio, se tiene que B/3 = 1.33 m y el tercio medio vale 2.66 m, por lo tanto nos queda:

Desplazamiento total = Zp + Z’ = 1.28 + 0.56 = 1.84 m. Tercio medio = 2.66 m > 1.84 m.

Lo anterior indica que la presa esta muy sobrada, y es posible reducir sus dimensiones.

d) Cálculo del volumen de excavación.

El volumen de excavación se determina en función del diseño y de la colocación de los gaviones sobre la sección transversal de la cárcava, considerando la escala del proyecto. Ver Cuadro 7 y Figura 11.

Cuadro 7. Determinación del volumen de excavación. TENDIDO VOLUMEN DE

EXCAVACION PRECIO/m3 ($ 150.00)*

TVI 1.5 225.00 TVD 1.5 225.00 T3 3.3 495.00 T2 3.4 510.00 T1 4.5 675.00 T0 6.0 900.00 TOTALES 20.20 3030.00

* Precio sujeto a la región y dureza del material

Cuadro 8. Tipos y costos de excavación (Extinta SARH, Costos de construcción) MATERIAL DUREZA IMPLEMENTO COSTO/m3

TIPO I ARCILLA HUMEDA PALA 80.00 SUELTA TIPO II SUELO SECO CON PALA Y PICO 100.00 GRAVA DURA TIPO III TEPETATE Y PALA, PICO 150.00 ROCA EXPLOSIVOS

Cuadro 9. Costo total de la obra de gaviones CONCEPTO UNIDAD CANTIDAD COSTO

UNITARIO ($) COSTO TOTAL

($) PIEDRA m3 66 160.00 10,560.00 GAVIONES m3 26 255.76 6,650.00 ALAMBRE kg 66 15.00 990.00 EXCAVACION m3 20.2 150.00 3,030.00 MANO DE OBRA m3 66 200.00 13,200.00 TOTAL 34,430.00

Nota: Costo total de la obra sin considerar desgaste de herramientas

23

Especificaciones de los muros de piedra acomodada Los muros de piedra acomodada se construyen para alturas hasta de seis metros, cuando se considera para su construcción las fuerzas que actúan sobre el muro. La exposición que a continuación se indica se refiere a las fuerzas que actúan sobre el muro y en la estabilidad que éstas guardan sobre el mismo. Las partes de un muro de piedra acomodada se presentan en la Figura 17, y se denominan como sigue: (todas las dimensiones del muro están en metros). e = Corona del muro (en m) H = Altura del muro (en m) h = Altura de la lámina de agua vertiente (en m) B = Base del muro (en m) B' = Base del colchón amortiguador (en m) e' = Base del triángulo (en m) α = Angulo formado por el paramento aguas abajo del muro

Figura 17. Partes que constituyen un muro de control de azolves de piedra acomodada.

Debido a que en los muros de piedra acomodada el agua se introduce por los huecos de las piedras que forman el muro, se produce una fuerza ascendente debida al principio de Arquímedes lo que hace que el peso del muro disminuya. Si consideramos a (W) como el peso específico del agua y δ al peso específico real de la piedra con la que está construido el muro, su peso específico aparente será: (δ - W).

C

e e'

h

H

e

D

B A

α

B

x

B'

24

Para la sección AB presentada en la Figura 17, la condición de no deslizamiento es el peso del muro considerando el peso específico aparente.

donde A t = Area del triángulo (en m2) A r = Area del rectángulo (en m2) e' = Base del triángulo (en m) P = Peso del muro (en t) δ = Peso específico real de la piedra (en t m-3) W = Peso específico del agua con sedimentos (en t m-3) e = Espesor de la corona del muro (en m) H = Altura del muro (en m) α = Angulo formado por el paramento aguas abajo del muro δ = Peso específico real de la piedra (en t m-3) Para la sección presentada en la Figura 17, la condición de deslizamiento es el empuje hidrostático que actúa sobre el paramento (BD) del muro.

.......(9)................................................................................ )2

H(h' HWE +×=

Donde: E es el empuje hidrostático (t); h' es la altura de la lámina de agua vertiente (m), hcg es el centro de gravedad de la superficie de mojado (m); H es la altura del muro (m): W es el peso específico del agua con sedimentos (t m-3); y S es el área de mojado de la sección crítica unitaria (m²) Si consideramos a (µ) como un coeficiente de rozamiento que actúa entre piedra sobre piedra, se cumple la siguiente condición de equilibrio

......(8)........................................ ) tgH2

1H (ew)-(P 2 αδ +=

αtgH2

1A 2

t =

H eA r =

H

e'tg =α

α tgHe'=

WhSE cg ××=

1HS ×=

'h2

Hhcg +=

25

......(10)........................................ } tgH2

1H {eW)()

2

H(h' WH 2 µαδ +−=+×

Dividiendo la ecuación (10) entre (H) nos queda:

( ) µαδ

×+×−=

+ tgH2

1e W

2

Hh'W

Haciendo tender (H) igual a cero, lo que significa imponer la condición de no deslizamiento en secciones próximas a la corona y despejando el valor de (e) nos queda:

W h' = µ (δ - W) e donde:

)11.........(................................................................................W)(

h'We

−=

δµ

Sí al valor de (e) se le afecta por un coeficiente de seguridad por asentamiento y acomodamiento (c) nos queda:

)...(12................................................................................ W)(

ch'We

−=

δµ

donde: e = Espesor de la corona del muro (en m) W = Peso específico del agua con sedimentos (en t m-3) h' = Altura de la lámina vertiente (en m) c = Coeficiente de seguridad, adimensional µ = Coeficiente de fricción, adimensional δ = Peso específico real de la piedra (en t m-3) Los valores del coeficiente de seguridad (c) se dan en función de la altura del muro. La experiencia recomienda los siguientes valores:

H (m)

c Adimensional

0.5 1 2 3 4 5 6 7 8

0.2 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7

26

Los valores del coeficiente de fricción (µ) se adoptan según la condición de la Tabla siguiente:

Condición (µ) Piedra sobre piedra 0.70 Piedra sobre arcilla expansiva 0.67 Piedra sobre grava 0.55 Piedra sobre arena 0.50 Piedra sobre arcilla 0.40

El cálculo del espesor en la base del muro se determina como sigue (ver figura 19).

Figura 19. Dimensionado del muro de piedra acomodada.

Considerando el peso aparente del muro y su brazo de palanca con respecto al punto D de la Figura 19 nos queda:

)13.(......................................................................).........W( H2

e)(BP −+= δ

donde: P = Peso aparente del muro (en t) B = Base del muro (en m) e = Corona del muro (en m) H = Altura del muro (en m) δ = Peso específico de la piedra en (t m-3) W = Peso específico del agua con sedimentos (en t m-3)

t

r

H/3

X2

N

B

P

M

E

A

e e'

H

B

D C

X1

Z

27

El peso (P) del muro está aplicado en el centro de gravedad del mismo. El centro de gravedad se calcula a partir de la figura 19. Tomando momentos estáticos con respecto al punto D obtenemos el centro de gravedad como sigue: MDT = MD r + MD t MDT = VT .X VTX = MD r + MD t

)(14................................................................................V

tMr MX

T

DD +=

donde: MDT = Momento estático del trapecio con respecto al punto D, (en m4) MDr = Momento estático del rectángulo con respecto al punto D, (en m4) MDt = Momento estático del triángulo con respecto al punto D, (en m4) X = Distancia a partir del punto (D) al centro de gravedad, (en m) VT = Volumen total del trapecio, (en m3) Los momentos estáticos con respecto al punto D, se calculan como sigue: MD r = Vr X1 MD t = Vt X2 donde: Vr = Volumen del rectángulo (en m3)

V t = Volumen del triángulo (en m3) X1 y X2 = Distancias a partir del centro de gravedad del rectángulo y triángulo al punto (D) Sustituyendo valores nos queda:

2

He)

2

e(H) (eXVrM

2

1rD =×=×=

6

2eBe(B He

3

e)1(B

2

H e)(BXVtM

22

2tD

−+=

+−

−=×=

Sabiendo que el volumen total del trapecio es:

2

H e)(BVT

+=

Sustituyendo valores en la ecuación 14 nos queda:

28

2e)H(B

6)2eBe(B

H2He

X

222

+

−++=

2e)H(B6

)2eBe(BH

X

22

+

−+

=

e)6H(B

)eBe2H(BX

22

+−+=

.(15)...................................................................... e)3(B

eBeBX

22

+−+=

Si hacemos que la resultante del empuje hidrostático y del peso del muro pase por el tercio medio de la base (2B/3) (M), con objeto de evitar tracciones en el punto (D) y proporcionar mayor economía nos queda: (Ver figura 19)

).....(16........................................ Ze)3(B

eBeB

e)3(B

eBeB

3

2B 2222

=+

−+=+

++−

Z = Distancia a partir del centro de gravedad del trapecio hasta el punto M (Tercio medio) El momento estático del peso del muro (P) con respecto a su brazo de palanca (Z) y con respecto al punto (D) de la figura 19, nos queda como sigue:

( )6

)eBe(B H W)(

e)3(B

eBeB

2

e)HW)(B( 2222 −+−=

+−+

+− δδ

)17.........(........................................6

)eBe(B H w)(PM

22

D

−+−= δ

Dado que (W) es igual al peso específico del agua con sedimentos, tenemos que el empuje hidrostático (E) del agua sobre el muro es:

)18.....(.......................................................................HW 2

1E 2=

El brazo de palanca del empuje hidrostático (E) con respecto al punto (D) de la figura 19 es H/3. Por tanto, el momento estático nos queda:

29

6

WH

3

HWH

2

1EM

32

D =×=

)19.....(.....................................................................6

WHEM

3

D =

Igualando fuerzas nos queda: MD P = MD E

6

WH)eBe(B

6

H W)( 322 =−+−δ

Resolviendo la ecuación de estabilidad nos queda:

W)(

WH

6W)H(6

WH

eBeB2

3

22

−=−=−+

δδ

destabilidadeEcuaciónW)(

WHeBeB

222 =

−−−+

δ

2

)W)(

WHe4(ee

B

222

−−−−±−

=δ

)......(20............................................................2

e

W)(

WHe

4

5B

22 −

−= +

δ

Tomando en consideración el peso específico aparente (δ-W) que es el empuje de Arquímedes y admitiendo 1/3 de huecos en el muro que posteriormente van a estar ocupados por los sedimentos nos queda lo siguiente:

).......(21..............................3

W2W

3

1W)(

3

2a W)(

−=+−==− δδδδ

Sustituyendo (21) en (20) nos queda:

(22)............................................................2

eH

W)2(

3We

4

5B 22 −

−+=

δ

Si se considera para δ = 2.4 t m-3 y para W = 1.2 t m-3 que son valores promedios de las condiciones de nuestro país, la ecuación (15) nos queda:

30

)23......(..................................................................................2

eHe

4

5B 22 −+=

Donde B = Base del muro (en m) e = Corona del muro (en m) H = Altura del muro (en m) Las ecuaciones (22) y (23) resuelven completamente la estabilidad del muro y pueden emplearse sin ningún inconveniente para diques hasta de 6 metros de altura, sin que sea necesario comprobar el deslizamiento ni el volteamiento ni las cargas de trabajo en la base del muro, ya que nunca sobrepasarán los valores admitidos con alturas inferiores a 6 metros. El Cuadro 10 sintetiza los cálculos del dimensionado para muros hasta de 6 metros de altura.

Cuadro 10. Cálculos del dimensionado para muros de piedra acomodada H

(m) H

(m) e

(m) B

(m) h’

(m) B’ (m)

X (m)

2 0.5 0.70 1.80 0.30 1.0 0.20 2 1.0 1.35 1.85 0.30 1.0 0.20 3 0.5 0.85 2.70 0.30 1.0 0.20 3 1.0 1.65 2.70 0.30 1.0 0.20 4 0.5 1.00 3.65 0.50 1.0 0.20 4 1.0 2.00 3.60 0.50 1.0 0.20 5 0.5 1.35 3.90 0.50 1.5 0.20 5 1.0 2.70 4.10 0.50 1.5 0.20 6 0.5 1.40 4.00 0.50 1.5 0.20 6 1.0 2.85 4.35 0.50 1.5 0.20

e = Corona del muro (en m) H = Altura del muro (en m) h = Altura de la lámina de agua vertiente (en m) B = Base del muro (en m) B' = Base del colchón amortiguador (en m) e' = Base del triángulo (en m) X = Altura de la base del colchón amortiguador. (en m)