Control Deformaciones
-
Upload
antonio-villena-martin -
Category
Documents
-
view
9 -
download
0
description
Transcript of Control Deformaciones
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
1
ASIGNATURA: TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
PROFESOR: DAVID HERNÁNDEZ LÓPEZ. 2ª PARTE: ANÁLISIS DE DEFORMACIONES POR MÉTODOS
GEODÉSICOS. CONTENIDO:
1. INTRODUCCIÓN. 2. DISEÑO DE LA RED DE CONTROL.
3. ANÁLISIS DE DOS ÉPOCAS. 4. ANÁLISIS MULTIÉPOCAS. 5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA DE ANÁLISIS DE DOS ÉPOCAS.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
2
1. INTRODUCCIÓN.
- La teoría del análisis de deformaciones es popular desde la década de los ochenta.
- Las primeras actuaciones se remontan a los años veinte.
- Principales causas de su desarrollo e implantación:
i. La realidad de su necesidad es cada día más evidente.
ii. El avance tecnológico lo posibilita:
1. Desarrollo de instrumental de altas prestaciones. 2. Equipos informáticos muy potentes.
- Su reciente actualidad motiva que todavía se encuentren en desarrollo modelos teóricos que han de intervenir en diferentes fases.
- Aplicaciones actuales:
i. Control de movimientos/deformaciones de obras de ingeniería.
ii. Estudios de deslizamientos de pendientes.
iii. Movimientos corticales.
iv. Evolución de glaciares.
v. Fenómenos de subsidencia.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
3
- Objetivo básico:
Analizar la variación en el tiempo de la geometría de un objeto o superficie, o parte del mismo.
- Elementos fundamentales que intervienen.
i. Posible modelo teórico de la evolución geométrica en el tiempo.
ii. Caracterización de la posible variación de la geometría a partir de la modificación de la posición relativa de ciertos puntos singulares.
iii. Necesidad de un marco de referencia respecto al cual medir la variación
geométrica.
iv. Necesidad de medir variación de geometría. Dos métodos básicos:
1. Medición directa. ( inclinómetros, péndulos, extensómetros, ...) 2. A partir de estimación de posiciones o magnitudes geométricas (
ángulos, distancias, incrementos de altitud, ... ) obtenidas en distintos instantes de tiempo comprendidos dentro del intervalo de análisis.
Las medidas son fundamentales además en la definición del marco de referencia.
- Estudiaremos el caso del análisis de deformaciones a partir de las diferentes posiciones encontradas de ciertos puntos singulares del objeto de análisis.
- Consideraremos dos casos generales:
i. Control de obras de ingeniería.
ii. Control de superficies de terreno.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
4
- En el control de obras de ingeniería por métodos geodésicos podremos considerar una red de control que incluya a sus puntos agrupados en dos conjuntos:
i. Bloque de referencia. Definirá, junto a los observables el marco de
referencia. Estará integrado por vértices de posición estable en el tiempo. Normalmente se localizarán fuera de la estructura a analizar.
ii. Bloque objeto. Conjunto de puntos a partir de cuya modificación espacial
en el tiempo se obtendrán los resultados de variación geométrica a contrastar con los modelos teóricos, si los hubiera. Su crítica localización es función del modelo de predicción de variación geométrica.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
5
- En el control de superficies de terreno únicamente se puede hablar en principio de bloque objeto. Caso del estudio geológico de una zona de terreno separada por una falla que dividiría la red de control en dos subredes, pudiendo determinarse únicamente desplazamientos relativos entre los dos bloques. El desplazamiento relativo pasará por considerar uno de ellos fijo de acuerdo a ciertas hipótesis.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
6
- Una fase fundamental del análisis será el diseño de la red, tanto de los vértices incluidos como las observaciones entre ellos.
- El concepto de época de observación hace referencia a cada una de las
campañas de observación repetidas a lo largo del tiempo con un cierto intervalo. - El intervalo entre épocas de observación será función de:
i. Exigencia de detectar ciertas magnitudes de las deformaciones frente al
modelo de evolución de las mismas en el tiempo.
ii. Magnitud de las deformaciones en el tiempo frente a la precisión con la que se consiga su determinación a partir de la red de control, del instrumental y metodología empleados en la observación.
- Teóricamente todas las observaciones de una época se refieren a un instante de
tiempo. Habrá que considerar los problemas asociados a la relación entre la duración de una campaña de observación y las posibles deformaciones producidas durante el tiempo invertido en la misma.
- Los tipos de análisis temporales que se realizan son fundamentalmente de dos
tipos:
i. Análisis dos épocas. Se realizan a partir de dos épocas sucesivas de observación, comenzándose en el momento que se disponga de las dos primeras. La base del análisis son los vectores de deformación.
ii. Análisis multiépoca. Se puede realizar desde el momento en que se
disponga de tres épocas. Aparecen en el análisis velocidades de desplazamiento e incluso aceleraciones del mismo.
- Los métodos geodésicos que se van a describir son una potente herramienta para
investigar la estabilidad de los objetos o superficies analizados. Sin embargo, la fiabilidad de los resultados obtenidos será función de:
i. La calidad del diseño de la red de control.
ii. La calidad del modelo matemático. iii. La calidad de las observaciones.
Cualquier incorrección del modelo: sistematismos no contemplados, errores groseros no detectados, incorrecta evaluación a priori de la precisión de los observables, ... contaminarán el resultado pudiendo incluso dar lugar a estimar deformaciones cuando no las hay.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
7
- Los resultados obtenidos en el primer análisis de dos épocas pueden ser
determinantes para introducir modificaciones en el programa del proceso de análisis. Esto sucederá fundamentalmente cuando las deformaciones obtenidas excedan en mucho a las previstas o cuando, por el hecho de no disponer de un modelo de predicción, se concluya que las hipótesis base para el proyecto de análisis eran incorrectas.
Estas modificaciones se pueden referir, principalmente a:
i. Modificación de la localización de los vértices que configuran la Red de Control, siendo dos causas las principales:
1. Inestabilidad de una parte importante del bloque de referencia que
obligue a incluir nuevos vértices en este conjunto o a modificiar la monumentación de los existentes.
2. La localización singular de los puntos del bloque objeto no es
suficiente o correcta para el análisis de la tendencia de movimientos en la estructura. Puede ser que ciertas zonas sufran movimientos cuyo modelo funcional precise de más puntos o de localizaciones distintas a las diseñadas en principio.
ii. Modificación del diseño de la campaña de observación. Normalmente
vendrá motivada por la alteración de la configuración de la Red de Control. También se puede deber a la detección de observaciones prescindibles o, por el contrario, de la conveniencia de nuevas observaciones no diseñadas en principio, motivadas por movimientos previstos que no se producen, o por movimientos producidos y no previstos, respectivamente.
iii. Modificación del intervalo de tiempo transcurrido entre épocas de
observación, debido a que no se cumplen los criterios, ya comentado, con que fue fijado en principio.
- Todos los resultados se obtendrán a partir del modelo Gauss-Markov
convencional. - La definición del sistema de referencia es un grave problema debido a que es
función de la configuración de la red y de los observables, y se verá afectado de los resultados obtenidos a lo largo de todo el análisis.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
8
2. DISEÑO DE REDES DE CONTROL DE DEFORMACIONES. 2.1. OBJETIVOS Y VARIABLES.
- Se entiende por diseño de una Red de Control de Deformaciones no solo el diseño de la localización de los vértices que definen su configuración, sino también el diseño de la campaña de observación: observables a medir, instrumental y metodología a emplear.
- Los objetivos de la optimización de una Red de Control de Deformaciones son:
i. Alcanzar una precisión global predeterminada.
ii. Establecer un modelo matemático testeable y real.
iii. Dar sensibilidad suficiente en ciertas funciones conocidas a priori de los
parámetros.
iv. Diseñar una configuración y una campaña de observación viable bajo consideraciones prácticas y económicas.
- La consecución de una precisión global predeterminada estará condicionada de
forma directa con la precisión de los observables, la configuración de la red, el diseño de la campaña de observación y la definición del sistema de referencia. En ningún caso se deberá optar por sistemas de referencia definidos a partir de ciertos constreñimientos que implique pérdida de precisión de los observables. Muy relacionado con el problema del datum se encuentra la pretensión de que las funciones de los parámetros a analizar sean invariantes.
- El segundo objetivo no es otro que la búsqueda de la fiabilidad del modelo.
- El tercer objetivo es fundamental en control de deformaciones dado que una
deformación prevista se puede expresar como una función de los parámetros del modelo. Será crítico que la Red pueda dar respuesta a una deformación de cierta magnitud prevista pues este es el objetivo básico de todo el análisis.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
9
- Para conseguir el cuarto objetivo será de gran ayuda contar con un modelo, una cartografía, lo más real posible de la zona de emplazamiento del objeto de análisis, para obtener una primera aproximación. Sin embargo, será imprescindible realizar visitas al lugar con objeto de:
i. Definir el tipo de monumentación o materialización de los vértices de la
Red, que además tendrá un importante peso en el coste del proyecto.
ii. Verificar la intervisibilidad entre los vértices.
iii. Estimar tiempos y dificultades en la realización de cada una de las observaciones de cara a obtener una previsión de coste.
- Las variables que intervienen en el diseño de la Red ya han sido introducidas:
localización de los vértices ( coordenadas aproximadas ), diseño de la campaña de observación ( cada una de las funciones del modelo funcional del GMM ) y la estimación de la precisión de las observaciones, es decir la matriz A de diseño de las incógnitas y la matriz de pesos, P.
- No existe un método matemático que conjugue las variables enunciadas con los
objetivos perseguidos debido a la alta complejidad del problema. Todos los métodos tienen un carácter iterativo.
- Existen dos técnicas básicas para enfrentarse al problema de diseño: a través de
los métodos de simulación y a través de los denominados problemas de diseño. El que se lleva a la práctica habitualmente es el primero.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
10
- El proceso de diseño según el método de simulación es iterativo e incluye los siguientes pasos secuenciales:
i. Selección de la ubicación de los vértices con estimación de tipo y coste de
monumentación y sistema de centrado.
ii. Especificar todas las observaciones posibles.
iii. Selección del instrumental y metodología de observación.
iv. Para cada uno de los observables estimar la precisión y coste.
v. Formular el GMM y calcular: medidas de la precisión, fiabilidad y sensibilidad ( funciones objetivo – datum ).
vi. Calcular la influencia de cada observable en las tres medidas del punto v
y en el coste. Ordenar las observaciones a partir de criterios de ordenación establecidos previamente.
vii. Comparar los resultados del paso v con las exigencias de partida y buscar
la solución de mínimo coste cumpliendo los criterios de precisión, fiabilidad y sensibilidad. Esto se consigue realizando:
1. Eliminar algún observable o relajar su método de medida. 2. Contemplar un cambio de instrumentación.
viii. Tras obtener un resultado satisfactorio se puede iterar a partir de otra
localización de los vértices.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
11
3. ANÁLISIS DE DOS ÉPOCAS. 3.1. INTRODUCCIÓN.
- El análisis simultáneo de dos épocas sucesivas de observación es de fundamental importancia al ser la fuente más directa de análisis del movimiento producido en el intervalo de tiempo limitado por los instantes correspondientes a cada una de las mismas.
- Normalmente se realiza entre cada dos campañas sucesivas aunque también se
puede realizar cada cierto número de campañas.
- Los principales objetivos de este análisis son:
i. Confirmar la estabilidad de los puntos del bloque de referencia y detectar movimientos singulares, individuales, de puntos que se considerarán como independientes del tiempo no conformando parte del modelo de deformación continua.
ii. Contrastar un modelo de movimientos a partir de los vectores de
deformación, o formular uno en caso de no disponer de uno previsto.
iii. Detectar deformaciones críticas imprevistas de graves consecuencias.
b. Este tipo de análisis suele ser suficiente en muchas aplicaciones.
TOPOGRAFÍA DE ALTA PRECISIÓN Y CONTROL DE DEFORMACIONES.
12
3.2. SEGUNDA FASE. ANÁLISIS DE LOS OBSERVABLES.
- Comenzamos por la segunda fase debido a que suele considerar como primera fase el diseño de la Red de Control. Se ha estudiado aparte dado que no suele cambiar, a no ser que se de alguno de los supuestos considerados anteriormente a partir del análisis de dos épocas.
- Esta fase incluye en completo análisis de los datos geodésicos incluyendo
detección de errores groseros y test globlal del modelo. - Se realiza para cada una de las épocas independientemente.
- La importancia es crucial dado que cualquier error no detectado nos llevaría a
otorgarle una interpretación de deformación.
- Se suele llevar a cabo realizando un ajuste Red Libre minimizando la traza de la matriz cofactor de las incógnitas completa, minimizando la norma de todas las incógnitas, solución pseudoinversa. No se eliminan incógnitas.
- Esta fase se da por completada si se cumple para cada una de las épocas que:
i. No se rechaza el test global del modelo.
ii. No se detectan observaciones con error grosero.
iii. Se verifica que los grupos de observables siguen distribuciones normales.
iv. Se verifica la compatibilidad de grupos de observables.
v. Se verifica la inexistencia de sistematismos en grupos de observables.
- Como posibles causas del rechazo del test global del modelo se pueden citar:
i. En el modelo funcional: Incorrecta reducción y/o proyección de observables, parámetros de calibración de instrumental, campo de la gravedad, refracción, ...
ii. En el modelo estocástico: varianzas a priori, correlaciones, ...
iii. En los observables: errores groseros, errores de centrado, no siguen
distribuciones normales, errores sistemáticos no modelados, ...
iv. En los cálculos: errores de programación, errores de entrada, estabilidad de los métodos numéricos, acumulación de errores de redondeo, ...
ESQUEMA DE PRIMER Y SEGUNDO PASO DE LA METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE DEFORMACIONES BASADO EN MÉTODOS GEODÉSICOS.
DISEÑO DE LA
RED DE CONTROL.
MODELO GAUSS-MARKOV.
AJUSTE MÍNIMOS CUADRADOS.
PRECISIÓN.
FIABILIDAD.
SENSIBILIDAD.
VIABILIDAD, COSTO.
DISEÑO DE LA CAMPAÑA DE OBSERVACIÓN.
OBSERVABLES. MODELO
GAUSS–MARKOV.
AJUSTE MÍNIMOS
CUADRADOS
TEST GLOBAL DEL MODELO.
DETECCIÓN DE ERRORES GROSEROS.
CONJUNTO DE TEST ESTADÍSTICOS.
PRECISIÓN.
COSTE.
ÉPOCA 1 ÉPOCA 2 ÉPOCA 3
DISEÑO Y VERIFICACIÓN DEL MODELO GAUSS – MARKOV ( GMM )
TEORÍA BASADA EN LA
EXPERIENCIA.
MUNDO REAL
EXPERIMENTOS DE MEDIDA:
OBSERVABLES.
MODELO MATEMÁTICO GAUSS – MARKOV.
MODELO FUNCIONAL.
( ) AxtE =
MODELO ESTOCÁSTICO.
( ) QE T 20σεε =Σ=
CÁLCULO / ESTIMACIÓN - MÍNIMOS CUADRADOS.
PARÁMETROS FUNCIONALES:
( )xfx ˆ ,ˆ
PARÁMETROS ESTOCÁSTICOS.
( )xfxo QQs ˆˆ2 , ,
TESTS ESTADÍSTICOS:
¿ TEORÍA ⇔ REALIDAD ?
RECHAZO.
ACEPTACIÓN.
PROBLEMA DEL DATUM. S-TRANSFORMACIONES.
DEFINICIÓN DEL DATUM POR EL METODO DE LOS CONSTREÑIMIENTOS.
MODELO GMM EXTENDIDO: 0 , =+= xRvtAx t ( ) ( ) rndrAranknmnmMatA −===>ℜ×∈ def.rango , , ,,
Condiciones que se imponen a la matriz R: su rango ha de ser igual al defecto de rango de A y sus columnas deben pertenecer al espacio nulo de A. Conclusión:
( ) ( ) ( ) ( ) 1 −+∃→=+−=+=+ TTTTTT RRPAAnddnRRrankPAArankRRPAArank
SOLUCIÓN GMM EXTENDIDO:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
0000ˆˆ
21
12111
PAAQ
QQPAAR
RPAAx TT
T
T
λ
( ) ( ) 111111
11 , :cumple que , QNNNQRRNNRRNQ TT ∀=++=−−
1111ˆˆ
11ˆNQQQPtAQx
PAAN
xx
T
T
==
=
CONJUNTO DE SOLUCIONES MÍNIMOS CUADRADOS: { } { }PtAQx T11ˆ =
ELECCIÓN DE SOLUCIÓN EN BASE A OPTIMIZAR PRECISIÓN EN UN CONJUNTO DE INCÓGNITAS.
LA SOLUCIÓN QUE OPTIMIZA LA PRECISIÓN EN UN CONJUNTO DE INCÓGNITAS ES AQUELLA QUE MINIMIZA LA TRAZA PARCIAL DE LA MATRIZ COFACTOR DE LAS
INCÓGNITAS CORRESPONDIENTE: ( ) minˆˆ =xxQtrp 1ª SOLUCIÓN: Solución pseudoinversa. Se minimiza la traza total de Qxx. Se consigue con la
elección de: 0 , == ASSR
Obtención de S para redes planimétricas: -Si todas las incógnitas son coordenadas:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=
....
....1001
11
11
yxxy
S
Las dos primeras columnas hacen referencia a la traslación, origen (x,y), la tercera a la orientación y la cuarta a la escala. Se factoriza por cholesky: LLSS TT = y se obtiene 1−= SLSn , se consigue
Solución: ( ) Tnn
Tnn SSSSNNQ −+==
−+ 111 y, se demuestra: += NQ xxˆˆ porque la
pseudoinversa cumple: +++ = NNNN - Si aparecen u incógnitas de descentrado al principio,
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
=
....
....1001
0100....0100
11
11
yxxyS
PROBLEMA DEL DATUM. S-TRANSFORMACIONES.
ELECCIÓN DE SOLUCIÓN EN BASE A OPTIMIZAR PRECISIÓN EN UN CONJUNTO DE INCÓGNITAS.
LA SOLUCIÓN QUE OPTIMIZA LA PRECISIÓN EN UN CONJUNTO DE INCÓGNITAS ES AQUELLA QUE MINIMIZA LA TRAZA PARCIAL DE LA MATRIZ COFACTOR DE LAS
INCÓGNITAS CORRESPONDIENTE: ( ) minˆˆ =xxQtrp 2ª SOLUCIÓN: Solución minimizando en más de dos puntos de la red la traza parcial de Qxx,
maximizando la precisión en esos puntos. Se consigue con la elección de:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
===
0.
0
0.
0
,0 , kIBASBSR
Con Ik la matriz identidad de tamaño igual al doble del número de puntos y localizada en la posición correspondiente a las incógnitas asociadas a esos puntos.
3ª SOLUCIÓN: Caso solución Red Ligada. Se consigue como caso particular del anterior cuando
del número de puntos es 2. Las incógnitas asociadas a los dos puntos se anulan así como la parte afectada de la matriz cofactor de las incógnitas.
TRANSFORMACIÓN DE UNA SOLUCIÓN A OTRO DATUM. SE BASA EN LA PROPIEDAD: NNNQ =11 , INVARIANTE. SEAN DOS SOLUCIONES DE LA MISMA RED EN DOS DATUM, R1 Y R2.
( ) ( ) 111
111
111
−−++= TT RRNNRRNQ , PERO, NNNQ =2
11 Y ( ) ( ) 111
211
111
111
−−++= TT RRNNNQRRNQ
TENIENDO EN CUENTA LA LEY DE PROPAGACIÓN DE COFACTORES: T
xxyy AAAxy Σ=Σ→=
SE PUEDE INTERPRETAR: 212
1121111 KQKQ = , CON ( ) NRRNK T 1
1121−
+=
LUEGO: ( ) PtANQRRNPtAQKPtAQxKx TTTT 211
111
21121
1112211 ˆˆ −
+==== PUDIÉNDOSE APLICAR DE FORMA RECURSIVA: ( ) 11311223112232233 ˆˆˆˆˆ xKxKKxKKxKx ====
FUNCIONES INVARIANTES FRENTE AL CAMBIO DE DATUM. [ ] xxE ≠ˆ , dado que: [ ] [ ] [ ] NxQPAxAQtPEAQPtAQExE TTT
11111111ˆ ==== ,y, en general, INQ ≠11 Sin embargo, si Bxf = , con TAB = , [ ] [ ] [ ] [ ] fBxTAxNxTAQxTAExTAExBEfE ======= 11ˆˆˆˆ por ser ANAQ =11 un invariante: ANAQPAANPAQANNNQ TT =→=→= 111111 Así, son ejemplos de invariantes: T
xxvvT
xxtt AAQQQtxAvAAQQxAt ˆˆˆˆˆˆˆˆ ,ˆˆ , ,ˆˆ −=−===
CONJUNTO DE TEST ESTADÍSTICOS A LOS QUE SE PUEDE SOMETER EL GMM Y LOS OBSERVABLES.
TEST GLOBAL DEL MODELO. Ho: El modelo es completo y correcto. [ ] 2
020 σ=sE
( )ArankmvPvs
T
−=
ˆˆ20 , estadísto
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧= 2
0
20
20
20 ,max s
sq σσ
No se rechaza si ( ) ( ) ∞−−< ,,1 ArankmFq α α es el nivel de significación, o nivel de riesgo, o probabilidad cometer error tipo I.
TEST DE BAARDA DE DETECCIÓN DE ERRORES GROSEROS. Hipótesis de partida: Los residuos están normalmente distribuidos y σ0 es conocido. Ho: La observación i-ésima no presenta error grosero.
Se definen los residuos tipificados: ( )iiQvw
vv
ii ,
ˆˆˆ0σ
=
Bajo Ho, los residuos tipificados wi una distribución ( )1,0N Bajo la hipótesis de un error ∆i, en la observación i-ésima, wi sigue una distribución ( )iwN ∆,0
Siendo: ( )
( )iii
vv
vv
ii ww
iiQiiPiiQ
vw ∆+=∆+=0
ˆˆ
ˆˆ0
,),(,
ˆσσ
Elegidos un α (nivel de significación) y un β ( potencia de test ), de acuerdo al test, una observación es detectada como rechazable si ( )1,0
215.0 α−
> Nwi teniendo en cuenta que:
- hay una probabilidad (1- β) de aceptar una observación con error grosero. - hay una probabilidad α de rechazar una observación sin error grosero.
Normalmente se adoptan: α=0.001 ( con lo que la cota de detección resulta 3.29 ) y β=0.8
CONJUNTO DE TEST ESTADÍSTICOS A LOS QUE SE PUEDE SOMETER EL GMM Y LOS OBSERVABLES.
TEST DE POOPE DE DETECCIÓN DE ERRORES GROSEROS. Hipótesis de partida: Los residuos están normalmente distribuidos pero σ0 no es conocido. Ho: La observación i-ésima no presenta error grosero.
El estadístico a utilizar es: ( )iiQsvT
vv
ii ,
ˆˆˆ0
=
Bajo Ho, Ti sigue una distribución ( )( )Arankm −τ , distribución que se puede obtener a partir de la distribución t-student
( ) ( )
( )2
1
1
1 −
−
+−=
f
f
tf
tffτ
Ho: [ ] { }mivE i ,...2,1 ,0ˆ ∈∀= Ha: Se detecta una observación errónea a través de su residuo. Para un nivel de significación elegido, α, dado que este test consta de m individuos, se determina: un valor aproximado de ( ) m
10 11 αα −−= , nivel de significación de este test m-dimensional.
Ho es rechazado para un residuo k-ésimo si: ( ))(,2 Arankmk oT
−> ατ
TEST DE NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS DE GRUPOS DE OBSERVABLES.
Se comienza por agrupar a los observables en función del tipo, instrumental,... y para cada grupo se testea si los residuos estimados de los mismo siguen una distribución normal a través de un test de adherencia. Sea el grupo de residuos k. Se dispone a agruparlos en clases, eligiendo un intervalo de clase adecuado. Sea Ic el intervalo de clase elegido, µ la media y σ2 la varianza del grupo de residuos. La clase que
contiene a la media tendrá por límites del intervalo: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +− 2,2
cc II µµ , la siguiente a la derecha
tendrá por límites: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++ 2
3,2cc II µµ , y así sucesivamente. Se procede a calcular la probabilidad
asociada a cada intervalo a partir de tipificar sus extremos. Ho: El grupo de observables sigue una distribución normal.
Se rechaza Ho si ( )
( ) ( )2
1,11
2
−−=
>−∑ k
k
m
m
i ik
iik
pmspm
αχ , con mk el número de residuos del grupo, pi la
probabilidad de cada clase y si el número de elementos de cada clase.
HIPÓTESIS LINEAL GENERAL.
UTILIDAD: PLANTEAR UN TEST PARA VERIFICAR SI LOS PARÁMETROS RESUELTOS SEGÚN GMM VERIFICAN UN CONJUNTO DE CONDICIONES EXPRESADAS LINEALMENTE.
GMM: [ ] ε+== AxtAxtE o
[ ] QE T 20σεε =Σ=
Ho: [ ] 0 o =−= gxHEgxH TT Si no se rechaza Ho, se tendrá que: ( ) HHgNxHg xx
Tgggg
Tˆˆˆˆˆˆ con ,,~ˆˆ Σ=ΣΣ=
y se demuestra que,
( ) ( ) ( )22
0ˆˆ ~ˆˆ HrankggT ggQggq χσ−−= −
∆ y, también,
( )
( )( ) ( )ArankmHrankF
Arankmq
Hrankq
T −
∆
−
= ,~
siendo,
vPvq T ˆˆ=
Ho no se rechazará si se verifica que: ( ) ( ) ( )ArankmHrankFT −−< ,,1 α , para un α elegido.
SOLUCIÓN DEL MODELO SUJETO A LAS RESTRICCIONES.
( ) ( )xHgNHHHNxx TTH ˆˆˆ −+=
−−
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )0ˆ que ya
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
=
+=−−+=−+−+=
−+=−+−=−=−−=
∆
Av
qqxxNxxvPvxxAvPxxAvq
xxAvxAxAtxAtxAvtxAPtxAq
TH
TH
TH
THH
HHHH
HT
HH
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )xHgHNHxHg
xHgNHHHNNxHgNHHHNxxNxxqTTTT
TTT
TTH
TH
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
−−=
=−−=−−=−−
−−−−∆
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )xHgHNHxHgq
HNHQxHg
xHgQxHgqxHgggQggq
TTTT
Tg
T
Tg
TTTg
T
ˆˆ expresiónmisma la Resultando
error de npropagaciópor resulta ˆˆ comoy
ˆˆ luego, ˆˆ pero ˆˆ
ˆ
ˆˆ
−−=
==
−−==−−=
−−∆
−
−∆
−∆
ESQUEMA DE TERCER PASO DE LA METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE DEFORMACIONES BASADO EN MÉTODOS GEODÉSICOS.
ÉPOCA i SISTEMA REFERENCIA:
( ) minˆ =rixQTr
iixoixri fsQxQxoiri
, , ,ˆ, ,ˆ 20ˆˆ
FACTOR DE VARIANZA COMÚN.
fs ,20
TEST DE CONGRUENCIA BLOQUE REFERENCIA.
( ) ( )rjri xExEH ˆˆ :0 =
rirj xxrirj QQQxx ˆˆ ,ˆˆ +=−=∆ ∆
( )∆∆−∆∆ =∆∆= QrankfQq T ,
? F~ ¿ ,20
ffsf
qT
∆
∆
∆
=
BLOQUE REFERENCIA rx
BLOQUE OBJETO ox
ÉPOCA j SISTEMA REFERENCIA:
( ) minˆ =rjxQTr
jjxojxrj fsQxQxojrj
, , ,ˆ, ,ˆ 20ˆˆ
NO SE RECHAZA Ho
EL BLOQUE DE REFERENCIA HA QUEDADO DEFINIDO.
SE RECHAZA Ho
AL MENOS UN PUNTO DEL BLOQUE DE REFERENCIA PRESENTA MOVIMIENTOS
SINGULARES.
Ha : TODOS LOS PUNTOS EXCEPTO UNO DEL BLOQUE DE REFERENCIA SON ESTABLES.
EL PUNTO DE MAYOR CONTRIBUCIÓN A LA
FORMA CUADRÁTICA ∆q SE ELIMINA DEL BLOQUE DE REFERENCIA,
PASÁNDOSE AL BLOQUE OBJETO, Y SE ITERA.
METODOS DE OBTENER q∆ DEL TEST DE CONGRUENCIA DEL BLOQUE REFERENCIA.
TEST DE CONGRUENCIA BLOQUE
REFERENCIA.
( ) ( )rjri xExEH ˆˆ :0 =
rirj xxrirj QQQxx ˆˆ ,ˆˆ +=−=∆ ∆
∆+= qqqH
? F~ ¿ ,20
ffsf
qT
∆
∆
∆
=
METODO 1. MODIFICACIÓN DEL MODELO GMM DEL AJUSTE COMÚN
DE FORMA QUE A LOS PUNTOS A TESTEAR SE LES ASIGNEN UNAS ÚNICAS INCÓGNITAS.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
j
i
j
i
oj
oi
r
ojrj
oiri
tt
xxx
AAAA
εε
00
RESUELTO EL AJUSTE SE OBTENDRÍAN LOS RESIDUOS TALES QUE:
HHH vPvq ˆˆ= Y SE OBTENDRÍA EL VALOR BUSCADO: qqq H −=∆
METODO 2. APLICANDO LA HIPÓTESIS LINEAL GENERAL.
Ho: ( ) 0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
rj
riT
xx
IIxH
OBTENIÉNDOSE, DIRECTAMENTE:
( ) ( ) ( )rjrixxxxT
rjri xxQQxxqrjrjriri
ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ −+−= −∆
DIAGNOSIS DE PUNTOS SINGULARES.
CONSIDERAREMOS TRES CASOS:
1. TEST DE CONGRUENCIA SINGULAR PARA EL PUNTO. 2. DETECTAR PUNTOS DESPLAZADOS DE UN BLOQUE DE
REFERENCIA CUANDO FALLA EL TEST DE CONGRUENCIA DEL MISMO.
3. DETECTAR PUNTOS DESPLAZADOS DE UN BLOQUE OBJETO CUANDO FALLA EL TEST DE ESTABILIDAD DEL BLOQUE.
LA SOLUCIÓN DEL PRIMERO PASARÍA POR PLANTEAR UN TEST DE CONGRUENCIA SIMILAR AL ANALIZADO PARA EL BLOQUE REFERENCIA.
MOVIMIENTOS SINGULARES EN EL BLOQUE DE REFERENCIA.
Ha: TODOS LOS PUNTOS DEL BLOQUE SALVO UNO SON ESTABLES. HAY QUE DETECTAR EL PUNTO QUE SE HA DESPLAZADO CON MÁS PROBABILIDAD, ELIMINARLO DEL BLOQUE DE REFERENCIA E ITERAR. SE PROCEDE A DETERMINAR LA CONTRIBUCIÓN DE CADA PUNTO A q∆. CONSIDERAREMOS DOS MÉTODOS QUE APORTAN LOS MISMOS RESULTADOS.
DESCOMPOSICIÓN IMPLÍCITA POR LA Ho FORMULADA.
Es un método muy transparente pero exige muchos cálculos. Si qH se obtenía con la imposición de que todos los puntos del bloque eran estables, ahora se determina q’H relajado en el sentido de que se libera de esa condición el punto P cuya contribución se quiere determinar, según el modelo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
j
i
j
i
oj
Pj
oi
Pi
r
ojPjjr
oiPiir
tt
xxxxx
AAAAAA
εε
0000
donde: rx representa al bloque referencia salvo P.
Resuelto el ajuste se obtendría: HHP qqq '−=∆
DIAGNOSIS DE PUNTOS SINGULARES.
MOVIMIENTOS SINGULARES EN EL BLOQUE DE REFERENCIA.
DESCOMPOSICIÓN SUCESIVA DE LA FORMA CUADRÁTICA.
Se puede escribir: ( )∆∆−∆∆ =∆∆= QrankfQq T ,
Con, rjrjriri xxxxrjri QQQxx ˆˆˆˆ ,ˆˆ +=−=∆ ∆ La consideración de que el punto P se ha movido mientras que el resto son estables nos lleva a plantear una consideración a bloques,
−
∆−∆ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆∆
=∆PPPN
NPNN
PPPN
NPNN
P
N
QQQQ
PPPP
PQ ,
Descomponemos la forma cuadrática en dos subformas estocásticamente independientes por transformación de ∆. Esto se realiza de forma que los subvectores resultantes, uno referido a P y el otro al resto de los puntos, resulten ortogonales. La transformación será:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆∆
=∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆ −
P
N
PNPP IPPI
1
0
Se demuestra que: −− −= NNPNPNPP QQPP 1
Comprobándose que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= −−−∆NPNNPNPP
NNT
NNPNPPPN
NPNN
NNPN QQQQQ
IQQI
QQQQ
IQQI
Q0
000
Resultando la descomposición,
( ) PNPNNPNPPTPNNN
TN
T QQQQQQ ∆−∆+∆∆=∆∆−−−−
∆
1
Pero, se demuestra que: NPNNPNPPPP QQQQP −− −=1 Y, finalmente,
PN
PPPTPNNN
TN
T
qqq
PQQ
∆∆∆
−−∆
+=
∆∆+∆∆=∆∆
DIAGNOSIS DE PUNTOS SINGULARES.
ELIPSE DE DEFORMACIÓN.
MOVIMIENTOS SINGULARES EN EL BLOQUE OBJETO.
De acuerdo al método de descomposición sucesiva de la forma cuadrática, se obtiene para cada
punto del bloque objeto su contribución iPq∆ . Se plantea el siguiente test para verificar el desplazamiento de cada punto. Ho: El punto Pi es estable. Se rechaza Ho para un nivel de significación elegido si,
( ) f
P
Ff
q
qT
i
,2,12
α−
∆
>=
Una aproximación gráfica al problema anterior se consigue si se dibuja la elipse de deformación junto al vector de deformación. Si el extremo del vector cae fuera de la elipse de confianza ( para un 95%, equivalente a un 0.05 de α anterior ) se dice que el punto es inestable. La elipse de deformación se obtiene de la forma cuadrática bidimensional:
∆∆=∆ PPTP
P Pq i
Si, por correspondencia por las elipses de error, denominamos: 1−= xxPP QP Los parámetros de la elipse de error se obtendrán según:
Y la elipse de confianza resultará de aplicar un factor a los semiejes definido por:
( ) fFsm ,2,10 2 α−=
( )( )
( )
( )yyxx
xy
yxxyyyxx
yyxx
yyxx
qqq
qqqqz
zqq
zqq
−=
+−=
−+=
++=
22tan
42
12
1
22
2
1
α
λ
λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yyyx
xyxxxx qq
qqQ
ESQUEMA DEL CUARTO PASO DE LA METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE DEFORMACIONES BASADO EN MÉTODOS
GEODÉSICOS. NO SE RECHAZA LA Ho DEL TEST DE
CONGRUENCIA DEL BLOQUE REFERENCIA: LOS PUNTOS DEL BLOQUE REFERENCIA
DEFINEN UN BUEN SISTEMA DE REFERENCIA PARA ANALIZAR LAS
DEFORMACIONES DE LOS PUNTOS DEL BLOQUE OBJETO.
SE PROCEDE A UNIFICAR LAS DOS ÉPOCAS REALIZANDO UNA NUEVA COMPENSACIÓN CONJUNTA CONSIDERANDO UNAS ÚNICAS
INCÓGNITAS PARA LOS PUNTOS DEL BLOQUE REFERENCIA ENCONTRADO O SE
APLICAN S-TRANSFORMACIONES. EN LA NUEVA SOLUCIÓN SE MINIMIZA LA
TRAZA PARCIAL DE LA MATRIZ COFACTOR DE LAS INCÓGNITAS EN EL BLOQUE
REFERNCIA ENCONTRADO.
LOS VECTORES DE DEFORMACIÓN DE LOS PUNTOS DEL BLOQUE OBJETO SERÁN LAS DIFERENCIAS ENTRE SUS PARES DE
COORDENADAS DEL AJUSTE ANTERIOR. A PARTIR DE LOS MISMOS SE REALIZA EL SIGUIENTE ANÁLISIS:
ANÁLISIS DE PUNTOS SINGULARES SOBRE LA FORMA CUADRÁTICA:
( )∆∆
−∆∆ =∆∆= QrankfQq T ,1
oiojojoiojojoioi xxxxxxxxojoi QQQQQxx ˆˆˆˆˆˆˆˆ ,ˆˆ −−+=−=∆ ∆
ESQUEMA DEL QUINTO PASO DE LA METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE DEFORMACIONES BASADO EN MÉTODOS
GEODÉSICOS.
TEST DE ESTABILIDAD DE LOS PUNTOS DEL BLOQUE OBJETO.
Ho: Los puntos son estables, no hay deformación. Se rechaza para un nivel de significación elegido si:
( ) F ,,120
ffsf
qT
∆−∆
∆
>= α
Siendo ∆f el doble del número de puntos del bloque objeto. 20s el calculado en el ajuste del paso cuarto.
A PARTIR DEL RESULTADO DEL TEST NOS PLANTEAMOS:
NO SE RECHAZA EL TEST. NO EXISTEN DEFORMACIONES.
TALVEZ SEA PRECISO
INCREMENTAR EL INTERVALO DE TIEMPO ENTRE ÉPOCAS, O MEJORAR EL INSTRUMENTAL.
SE RECHAZA EL TEST. EXISTEN DEFORMACIONES.
HABRÁ QUE PROCEDER A
ESTUDIAR DISTINTAS POSIBILIDADES.
ÚNICAMENTE APARECEN
DEFORMACIONES SINGULARES EN
PUNTOS. LA DEFORMACIÓN NO
RESPONDE A UN MODELO.
ESTO SE AVERIGUA PLANTEANDO EL
TEST DE MOVIMIENTOS
SINGULARES EN EL BLOQUE OBJETO.
TODOS LOS PUNTOS
PRESENTAN DEFORMACIONES.
DEFORMACIÓN TIPO SÓLIDO RÍGIDO.
DEFORMACIÓN SEGÚN ALGÚN MODELO
CONOCIDO.
DEFORMACIÓN SEGÚN FUNCIÓN POLINÓMICA.
DEFORMACIÓN TIPO DISTORSIÓN HOMOGÉNEA.
DEFORMACIÓN A MODELAR.
..............
ESTUDIO DE UN DETERMINADO MODELO DE DEFORMACIÓN SOBRE LOS VECTORES DE DEFORMACIÓN DEL BLOQUE
OBJETO.
DATOS DE PARTIDA Y ESTIMACIÓN MÍNIMOS CUADRADOS:
A partir del ajuste común de las dos épocas comentado anteriormente disponemos de:
- vector de deformación de los puntos del bloque objeto, que será el vector de observables, - y de su matriz varianza-covarianza, que será la de los observables.
EL modelo de deformación se escribirá en general:
[ ] [ ] ( )∆∆∆ →=Σ==
+∆=
QsNQsEEBp
T 20
20 ,0~ , ,0
,εεεε
ε
donde:
ojoi xx ˆˆ −=∆ , es el vector de deformación de los puntos objeto.
oiojojoiojojoioi xxxxxxxx QQQQQ ˆˆˆˆˆˆˆˆ −−+=∆ , su matriz cofactor.
20s , es la estimación de la varianza a aposteriori del ajuste común.
B , es la matriz de diseño del modelo planteado. p , es el vector de parámetros del modelo.
Estimación mínimos cuadrados:
( )( )
( )
npnptoQs
BBQBBQQ
pB
BQBQ
QBBQBp
T
TT
Tpp
TT
−=
−=
∆−=
=
∆=
−∆
−−∆∆
−−∆
−∆
−−∆
2ˆ
ˆ
ˆ
120
11
11ˆˆ
111
δδ
δ
δδ
donde, 2npto es el número de ecuaciones, y np es el número de parámetros. También se deberán estimar: residuos tipificados, mínimo error detectable, números de redundancia, ...
ESTUDIO DE UN DETERMINADO MODELO DE DEFORMACIÓN SOBRE LOS VECTORES DE DEFORMACIÓN DEL BLOQUE
OBJETO.
TEST ESTADÍSTICOS A LOS QUE SE SOMETE EL MODELO.
1. TEST GLOBAL DEL MODELO. Ho: El modelo es congruente con la deformación a estudiar. Se rechaza Ho si para un nivel de significación elegido,
( ) ff pFs
ss
s,,12
0
20
20
20
ˆ,ˆmax α−>⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
donde fp son los grados de libertad del modelo.
2. TEST DE SIGNIFICANCIA DE LOS PARÁMETROS. Ho: Los parámetros del modelo no son significativos. Se rechaza Ho si para un nivel de significación elegido,
( ) fnp
p
Tp
Fsnp
q
T
pQpqpp
,,120
ˆ
1ˆ
ˆ
ˆˆˆˆ
α−
−
>=
=
donde np es el número de parámetros del modelo.
3. TEST DE SIGNIFICANCIA DE LOS RESIDUOS DEL MODELO. Ho: Los residuos de las deformaciones no son significativos. Se rechaza Ho si para un nivel de significación elegido,
( ) ffp
T
pF
sf
q
T
,,120
1
ˆ α
δ
δδδ δδ
−
−
>=
=
donde fp son los grados de libertad del modelo.
MODELO DE DEFORMACIÓN DE CUERPO ELÁSTICO SUJETO A ESFUERZOS.
FUNDAMENTOS DE ESTE MODELO. SE ENCUENTRAN EN LA TEORÍA DE ELASTICIDAD APLICADA A CUERPOS ELÁSTICOS QUE SE ENCUENTRAN SOMETIDOS A ESFUERZOS, EN LA MECÁNICA DE MEDIOS ELÁSTICOS. ESTE ESTUDIO CENTRADO EN LA TIERRA CONSTITUYE UNO DE LOS OBJETIVOS BÁSICOS DE LA SISMOLOGÍA. PARA UN MEDIO ELÁSTICO PERFECTO, LA LEY DE HOOKE ESTABLECE QUE LAS DEFORMACIONES SON PROPORCIONALES A LOS ESFUERZOS. AL SER LA DEFORMACIÓN CONTINUA POR DEFINICIÓN, EL MODELO SE PODRÍA EXPRESAR COMO: tFxx +=' , SIENDO F CONTINUA Y t UNA POSIBLE TRASLACIÓN CONTEMPLADA. LA LINEALIDAD DE LA EXPRESIÓN SE CORRESPONDE CON LA LEY DE HOOKE Y PLANTEA ADEMÁS UNA HOMOGENEIDAD QUE PUEDE NO AJUSTARSE A LA REALIDAD POR LO QUE PUEDE SER PRECISO PLANTEAR EL PROBLEMA EN EL MARCO DE LOS ELEMENTOS FINITOS, CONSIDERANDO LA LINEALIDAD EN CIERTAS REGIONES LIMITADAS POR FALLAS, FRACTURAS, ... LA APLICACIÓN MÁS DIRECTA SERÁ A ESTUDIOS DE DEFORMACIONES DE LA CORTEZA TERRESTRE, DE MOVIMIENTO DE TIERRAS, DE DESLIZAMIENTO DE LADERAS, ... ADMITIREMOS QUE LAS DEFORMACIONES SON PEQUEÑAS, DE ACUERDO A LA MAGNITUD DE LOS PARÁMETROS ELÁSTICOS DE LA TIERRA APORTADOS POR LA SISMOLOGÍA Y GEOFÍSICA. IDENTIFICAREMOS LOS PARÁMETROS QUE DEFINEN ESTE MODELO CON LOS PARÁMETROS DE UNA TRANSFORMACIÓN AFÍN QUE PERMITE OBTENER LA GEOMETRÍA DEL CUERPO DEFORMADO A PARTIR DE LA GEOMETRÍA ORIGINAL. CONSIDERAREMOS UN MODELO COMPUESTO POR UNA DEFORMACIÓN TIPO SÓLIDO RÍGIDO Y POR UNA DISTORSIÓN. LA PRIMERA PODRÁ DEBERSE A UNA ROTACIÓN Y UNA TRASLACIÓN QUE PRODUCIRÁ UN DESPLAZAMIENTO EN EL CUERPO PERO NO LO DISTORSIONARÁ. SE ESTUDIARÁ QUE LOS PARÁMETROS DE LA DEFORMACIÓN SE PUEDEN OBTENER A PARTIR DE MEDICIONES GEODÉSICAS POR DOS CAMINOS DISTINTOS:
- A TRAVÉS DE LA DIFERENCIA EN LA POSICIÓN DE UN CONJUNTO DE PUNTOS SINGULARES REPRESENTATIVOS DE LA DEFORMACIÓN DEL CUERPO PARTICULAR.
- A PARTIR DE DIFERENCIAS ENTRE OBSERVACIONES GEODÉSICAS REALIZADAS ENTRE ESOS PUNTOS ANTES Y DESPUÉS DE LA DEFORMACIÓN.
SE EXPONDRÁN DISTINTOS PARÁMETROS PARA EXPRESAR LA DEFORMACIÓN: MATRIZ DE DEFORMACIÓN, TENSOR DE DISTORSIÓN, TENSOR DE ESFUERZOS, ROTACIÓN, TENSOR DE CAUCHY, TENSOR DE GREEN, TENSOR DE DISTORSIÓN PURA, EXTENSIÓN DE LÍNEA, ELONGACIÓN CUADRÁTICA, FACTOR DE ESCALA, ...
MODELO DE DEFORMACIÓN DE CUERPO ELÁSTICO SOMETIDO A ESFUERZOS.
PARÁMETROS DEL MODELO.
MODELO: dFIdfffdf
ffff
yy
xy
yx
xx
FtFxxyyyx
xyxx
yyyx
xyxx +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=+=1
1''
'' ,' , t traslación.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yyyx
xyxx
yyyx
xyxx
eeee
Edfffdf
dF
F es la denominada matriz de deformación, dF, o E, es el tensor de deformación. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DIRECTA, PRESCINDIENDO DE LA TRASLACIÓN:
( )( ) xtgydfy
ytgxdfx
yy
xx
⋅++=⋅++=
βα
1'1'
siendo: ( )xxdf+1 Factor de escala aplicado en el eje x origen. ( )yydf+1 Factor de escala aplicado en el eje y origen. α, β Ángulos de compresión de los ejes y, x originales, respectivamente. MODELO INTRODUCIENDO EL VECTOR DESPLAZAMIENTO:
Edfffdf
FtdFxdxyyyx
xyxx =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+= d ,
F en general no es simétrica pero dado que es de rango completo se puede factorizar en la forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
==yyxy
xyxx
VVVV
VRFωωωω
cossinsincos
* siendo R una matriz de rotación y V la matriz de distorsión.
La simetría de V permite encontrar una expresión para la rotación: yyxx
yxxyT
ffff
tgFRV+
−=→= ω
Se introducen los tensores de Cauchy, C, y Green, G: ( ) GIVVICGVVFFC TTT 221 , +=→−===
La descomposición en autovalores y autovectores de V dará los módulos de deformación máximo y mínimo, tensiones principales, así como sus orientaciones, dando la elipse de tensión:
( ) ( )
( )yyxx
xyxyyyxx
yyxxyyxx
VVV
tgVVVaux
auxVVemauxVVem
−=+−=
−+=+==++=+==
22 ,4
211 ,2
11
22
222111
θ
λλ
Otros parámetros de interés:
yyxx
xy
CCC
='cosϕ , ángulo que formarán los ejes x, y , deformados.
( )2' ,'s
sqssse =−= , extensión de línea y elongación cuadrática.
( ) tsenCtsentCtCtq yyxyxx22 cos2cos ++= , elongación cuadrática dirección t con eje x origen, directo.
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−=
xFdxddxdyffdyfdxf
atgdt Txxyyxyyx
22
, variación que experimenta una dirección.
21 ,1' ,' λλ=+==−
= AA mdAAAm
AAAdA , dilatación superficial y módulo de dilatación superficial.
MODELO DE DEFORMACIÓN DE CUERPO ELÁSTICO SOMETIDO A ESFUERZOS.
SIMPLIFICACIÓN DEL MODELO: DEFORMACIÓN INFINITESIMAL.
Si la deformación es infinitesimal, IG << , retomando
( ) GIVVVVCICG TT 2 ,21 +=→=−=
se deduce que, V se puede aproximar por la suma de I y G, ya que 0→GGT ( ) ( ) GIGGGIGIGIVVGIV TTT 22 +≈++=++=→+=
despreciando términos de segundo orden.
Se escribe: ε+=+= IGIV ii , siendo ε el tensor de esfuerzos: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yyyx
xyxx
εεεε
ε
Se puede obtener de: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )TTTT dFdFIdFIdFIIFFIVVG +≈−++=−=−== 2
12
12
12
1ε
( ) ( ) ( )( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+=+=+=
yyyxxy
yxxyxxTT
eee
eeeEEdFdF
21
21
21
21ε
despreciando términos de segundo orden. En cuanto a la rotación, al ser el ángulo infinitesimal, ii dRIR += Considerando: ( ) ( ) εεεε +=++=+=+== iiiiiiii RdRIRRRIRVRF , despreciando términos de segundo orden, y considerando también, εε +=−+=−= ii dRIRIFdF , finalmente,
( ) ( ) ( )TTTii FFdFdFIdFdFdFIEdFIdRIR −=−+=+−+=−+=+= 2
12
12
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )yxxy
xyyx
yxxyTTi eew
ee
eeEEdFdFwdR −=→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=−=−= 2
102
12
102
12
1
siendo directo que, ( ) ( ) i
TT dREEEEEdF +=−++== ε21
21