Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián...
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Control Digital/Avanzado Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Estabilidad, Función de
Transferencia, TransformadasTransferencia, TransformadasM. en C. Luis Adrián Lizama PérezM. en C. Luis Adrián Lizama Pérez
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Respuesta al impulsoRespuesta al impulso
La respuesta al impulso se denota por h(t) y La respuesta al impulso se denota por h(t) y constituye la respuesta de un sistema LTI constituye la respuesta de un sistema LTI relajado a un impulso unitario relajado a un impulso unitario (t)(t)
Los métodos en el dominio del tiempo son Los métodos en el dominio del tiempo son tediosos, por lo que es más fácil si se acude al tediosos, por lo que es más fácil si se acude al dominio transformadodominio transformado
Impulso de entrada (t) Sistema LTI relajado
Respuesta al impulso h(t)
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La respuesta al impulso h(t) es la derivada de La respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escalón s(t):la respuesta al escalón s(t):
h(t)=s’(t)=ds(t)/dth(t)=s’(t)=ds(t)/dt s(t)=s(t)= h(t)dt h(t)dt Un impulso produce un cambio súbito de Un impulso produce un cambio súbito de
estado (condiciones iniciales)estado (condiciones iniciales)
Resolver y’(t)+Resolver y’(t)+y(t)=y(t)=(t), y(0)=0 es (t), y(0)=0 es equivalente a y’’(t)+equivalente a y’’(t)+y(t)=0 , y(0)=1y(t)=0 , y(0)=1
-
t
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De manera similar un sistema de segundo orden De manera similar un sistema de segundo orden y’’(t)+y’’(t)+11y’(t)+y’(t)+22y’(t)=x(t), puede encontrarse y’(t)=x(t), puede encontrarse mediante la ec. homogénea y’’(t)+mediante la ec. homogénea y’’(t)+11y’(t)+y’(t)+22y’(t)=0, y’(t)=0, c.i. y(0)=0, y’(0)=1c.i. y(0)=0, y’(0)=1 Ej: Sea y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0, Ej: Sea y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0,
raíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Kraíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Kee-2t-2t
con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=ee-2t-2tu(t)u(t) Ej: Sea y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es Ej: Sea y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es
ss22+3s+2=0, raíces s+3s+2=0, raíces s11=-1, s=-1, s22=-2, la respuesta natural es =-2, la respuesta natural es h(t)=Kh(t)=K11ee-2t -2t + K+ K22ee-2t-2t, con h(0)=0, h’(0)=-K, con h(0)=0, h’(0)=-K11-2K-2K22=1, de donde =1, de donde KK11=1 y K=1 y K22=-1, entonces h(t)=(=-1, entonces h(t)=(ee-t -t - - ee-2t-2t)u(t))u(t)
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Función de transferenciaFunción de transferencia
La función de transferencia o ganancia del La función de transferencia o ganancia del sistema se puede definir como el cociente de la sistema se puede definir como el cociente de la salida en estado estable entre la entrada en salida en estado estable entre la entrada en estado estable:estado estable:Función de transferencia = Salida Estable / Entrada EstableFunción de transferencia = Salida Estable / Entrada Estable
Ej: Al insertar una moneda en una máquina de Ej: Al insertar una moneda en una máquina de chocolates se obtiene la de salida de una barra de chocolates se obtiene la de salida de una barra de chocolate. La FT es 1 barra/moneda. Si el sistema es chocolate. La FT es 1 barra/moneda. Si el sistema es LTI para dos monedas se obtienen dos chocolatesLTI para dos monedas se obtienen dos chocolates
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Hasta se ha considerado los valores en estado Hasta se ha considerado los valores en estado estable pero no los cambios transitorios en el estable pero no los cambios transitorios en el tiempotiempo
Ahora veremos el comportamiento de los Ahora veremos el comportamiento de los sistemas en el tiempo, se decir el sistemas en el tiempo, se decir el comportamiento dinámico de los sistemascomportamiento dinámico de los sistemas
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Suponga un sistema en el que la entrada x está relacionada con Suponga un sistema en el que la entrada x está relacionada con la salida y por la ecuación:la salida y por la ecuación:
Si las condiciones iniciales son cero la ecuación queda:Si las condiciones iniciales son cero la ecuación queda:
donde G(s) es la función de transferencia donde G(s) es la función de transferencia
iooo xbya
dt
dya
dt
yda 1012
2
2
)()(
)(
)()()()(
012
2
1
1012
2
sGasasa
b
sx
sy
sxbsyassyasysa
i
o
iooo
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Ej: Escriba la función de transferencia para los Ej: Escriba la función de transferencia para los sistemas siguientes:sistemas siguientes:A) Un sistema masa-resorte-amortiguador con F como A) Un sistema masa-resorte-amortiguador con F como
entrada y x como salidaentrada y x como salida
B) Un circuito resistor-capacitor con v como entrada y vB) Un circuito resistor-capacitor con v como entrada y vcc
como salidacomo salida
Fkxdt
dxc
dt
xdm
2
2
CC v
dt
dvRCv
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C) Un circuito resistor-capacitor-inductor con v como entrada C) Un circuito resistor-capacitor-inductor con v como entrada y vy vcc como salida como salida
D) Un sistema eléctrico con v como entrada y vD) Un sistema eléctrico con v como entrada y vcc como salida como salida
E) Un sistema hidraúlico con q como entrada y h como salidaE) Un sistema hidraúlico con q como entrada y h como salida
cc
c vdt
dvRCdtv
L
Rv
CCC v
dt
vdLC
dt
dvRCv
2
2
R
gh
dt
dhAq
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F) Los elementos en el sistema de un motor de cd controlado F) Los elementos en el sistema de un motor de cd controlado por armadura. Entrada (vpor armadura. Entrada (vaa-v-vbb), salida i), salida i
Embobinado de armadura: entrada iEmbobinado de armadura: entrada iaa, salida T:, salida T:
Carga: entrada T, salida Carga: entrada T, salida ::
Lazo de realimentación:Lazo de realimentación:
G) Sistema hidráulico con carga:G) Sistema hidráulico con carga:
aaa
aba iRdt
diLvv
kxdt
dyc
dt
yd
2
2
T
dt
dI
akiT
kvb
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EstabilidadEstabilidad
En el dominio del tiempo, la estabilidad de En el dominio del tiempo, la estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que cada entrada acotada resulta en implica que cada entrada acotada resulta en una salida acotadauna salida acotada
Las condiciones de estabilidad se pueden Las condiciones de estabilidad se pueden determinar de la ecuación característica:determinar de la ecuación característica: Cada raíz debe tener una parte real negativa y la Cada raíz debe tener una parte real negativa y la
derivada más alta de la entrada no debe exceder a derivada más alta de la entrada no debe exceder a la de la salidala de la salida
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Las raíces con partes reales negativas aseguran que la Las raíces con partes reales negativas aseguran que la respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado cero) siempre permanece acotada para una entrada cero) siempre permanece acotada para una entrada acotadaacotada
Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes reales iguales a cero producen una respuesta natural reales iguales a cero producen una respuesta natural constante (o senoidal) que es acotada, pero si la constante (o senoidal) que es acotada, pero si la entrada es una constante o una senoide, la respuesta entrada es una constante o una senoide, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente forzada es una rampa o senoide creciente
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Las raíces repetidas con parte real igual a cero Las raíces repetidas con parte real igual a cero producen una respuesta que es un polinomio o producen una respuesta que es un polinomio o senoide crecientesenoide creciente Ej: El sistema y’’(t) +3y’(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que Ej: El sistema y’’(t) +3y’(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que
las raíces de su ecuación característica slas raíces de su ecuación característica s22+3s+2=0 son s=-1, +3s+2=0 son s=-1, -2 y tienen partes reales neg-2 y tienen partes reales neg
El sistema y’’(t) +3y’(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su El sistema y’’(t) +3y’(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su ec. Característica sec. Característica s22+3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no +3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural es acotada, la entrada escalón produce una respuesta es acotada, la entrada escalón produce una respuesta forzada de la forma Ctu(t) que no es acotadaforzada de la forma Ctu(t) que no es acotada
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El sistema y’’’(t) +3y’’(t) = x(t) es inestable. Las El sistema y’’’(t) +3y’’(t) = x(t) es inestable. Las raíces de su ecuación sraíces de su ecuación s33+3s+3s22=0 son s=0 son s11=0, s=0, s22=0 y =0 y
ss33=-3 que producen la respuesta natural =-3 que producen la respuesta natural
yyNN(t)=Au(t) + Btu(t) + C(t)=Au(t) + Btu(t) + Cee-3t-3tu(t) que es no acotadau(t) que es no acotada
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Basic Tool For Continuous Time: Basic Tool For Continuous Time: Laplace TransformLaplace Transform
Convert time-domain functions and operations into Convert time-domain functions and operations into frequency-domain frequency-domain ff((tt) ) FF((ss) ) Linear differential equations (LDE) Linear differential equations (LDE) algebraic expression algebraic expression
in Complex planein Complex plane Graphical solution for key LDE characteristicsGraphical solution for key LDE characteristics Discrete systems use the analogous z-transformDiscrete systems use the analogous z-transform
0)()()]([ dtetfsFtf stL
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Laplace Transforms of Common Laplace Transforms of Common FunctionsFunctions
Name f(t) F(s)
Impulse
Step
Ramp
Exponential
Sine
1
s
1
2
1
s
as 1
22
1
s
1)( tf
ttf )(
atetf )(
)sin()( ttf
00
01)(
t
ttf
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Laplace Transform PropertiesLaplace Transform Properties
)(lim)(lim
)(lim)0(
)()()
)(1)(
)(
)0()()(
)()()]()([
0
0
2121
0
2121
ssFtf-
ssFf-
sFsFdτ(ττ)f(tf
dttfss
sFdttfL
fssFtfdt
dL
sbFsaFtbftafL
st
s
t
t
theorem valueFinal
theorem valueInitial
nConvolutio
nIntegratio
ationDifferenti
calingAddition/S
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Orden de un sistemaOrden de un sistema
El orden de un sistema es la máxima potencia de la El orden de un sistema es la máxima potencia de la derivada en la ecuación diferencialderivada en la ecuación diferencial
La máxima potencia de s en el denominador de la La máxima potencia de s en el denominador de la función de transferenciafunción de transferencia
Primer orden: Primer orden:
En el dominio de s: aEn el dominio de s: a11s Y(s) + as Y(s) + a00 Y(s) = b Y(s) = b00 X(s) X(s)
G(s)= bG(s)= b00 / (a / (a11s + as + a00))
xbyadt
dya 001
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En el dominio de s: aEn el dominio de s: a11s Y(s) + as Y(s) + a00 Y(s) = b Y(s) = b00 X(s) X(s)
bb00/a/a00 es la F.T. en estado estable G del sistema, es la F.T. en estado estable G del sistema,
aa11/a/a00 es la constante de tiempo es la constante de tiempo del sistema del sistema
1)/(
/)(
01
00
saa
absG
1)(
s
GsG
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Segundo orden: Segundo orden:
donde bdonde b00, a, a00, a, a11 y b y b00 son constantes. Con c.i.=0 se son constantes. Con c.i.=0 se
tiene en el dominio de s: tiene en el dominio de s:
aa22ss22Y(s) + aY(s) + a11s Y(s) + as Y(s) + a00 Y(s) = b Y(s) = b00 X(s) X(s)
G(s)= bG(s)= b00 / (a / (a22ss22 + a + a11s + as + a00))
xbyadt
dya
dt
yda 0012
2
2
1)/()/(
/)(
012
02
00
saasaa
absG
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La ecuación de segundo orden se puede escribir en términos La ecuación de segundo orden se puede escribir en términos de la frecuencia natural de la frecuencia natural y del factor de amortiguamiento y del factor de amortiguamiento ::
es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará en es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará en ausencia de cualquier amortiguamiento y ausencia de cualquier amortiguamiento y es el factor de es el factor de amortiguamiento. En el dominio de s: amortiguamiento. En el dominio de s:
ss22Y(s) + 2 Y(s) + 2 s Y(s) + s Y(s) + 22Y(s) = bY(s) = b002 2 X(s)X(s)
xbydt
dy
dt
yd 20
22
2
2
22
20
2)(
ss
bsG
![Page 22: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/22.jpg)
First Order SystemFirst Order System
Impulse responseImpulse response ExponentialExponential
Step responseStep response Step, Step, exponentialexponential
Ramp responseRamp response Ramp, step, Ramp, step, exponentialexponential
1 sT
K
/1
2 Ts
KT-
s
KT-
s
K
/1
Ts
K-
s
K
No oscillations (as seen by poles)
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Respuesta al escalónRespuesta al escalón
1 2 3 4 5
0.63G
0.86G0.95G
Tiempo
y
G
y= G(1-e-t/) para una entrada escalón unitario
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1 2 3 4 5
0.63G
0.86G
Tiempo
y
G
y= G[1- (1-e-t/)] para una entrada rampa unitaria
Respuesta a la rampaRespuesta a la rampa
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1 2 3 4 5
0.37G/
Tiempo
yG
y= G ( 1/ ) e-t/ para una entrada impulso unitario
0.13G/
0.05G/
Respuesta al impulsoRespuesta al impulso
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Respuesta a la rampaRespuesta a la rampa
Tiempo
y
Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada rampa unitaria
y= bt, =0
y= bt - 2/
<1
=1
![Page 27: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/27.jpg)
Respuesta al impulsoRespuesta al impulso
t
y/b0
Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada impulso
=0.1
=0.5
=1
=2
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statesteady of % specified within stays time Settling :
reached is valuepeak whichat Time :
valuestatesteady reachfirst untildelay time Rise :
valuestatesteady of 50% reach untilDelay :
s
p
r
d
t
t
t
t
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
Mp = Máximo sobrepaso
tstptrtd
Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón
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Sistemas DiscretosSistemas Discretos
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Respuesta al impulsoRespuesta al impulso
Es la respuesta de un sistema a un impulso Es la respuesta de un sistema a un impulso unitario unitario [n][n]
Proporciona un método para encontrar la Proporciona un método para encontrar la respuesta de estado cero de sistemas LTI sobre respuesta de estado cero de sistemas LTI sobre cualquier entrada usando superposicióncualquier entrada usando superposición
La respuesta al impulso y la repuesta al La respuesta al impulso y la repuesta al escalón se usan para evaluar el funcionamiento escalón se usan para evaluar el funcionamiento de los sistemas digitalesde los sistemas digitales
![Page 31: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/31.jpg)
h[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=h[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=[n][n] s[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=u[n]s[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=u[n]
Impulso de entrada [n] Sistema LTI relajado
Respuesta al impulso h[n]
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Respuesta h[n] por recursiónRespuesta h[n] por recursión Ej: Encuentre h[n] si y[n]-Ej: Encuentre h[n] si y[n]-y[n-1]=x[n]y[n-1]=x[n]
Se encuentra h[n] como la solución a Se encuentra h[n] como la solución a h[n]= h[n]= h[n-1] + h[n-1] + [n] sujeto a la condición y[-1]=0. [n] sujeto a la condición y[-1]=0. Por recursión:Por recursión:
h[0]= h[0]= h[-1] + h[-1] + [0]=1 [0]=1 h[2]= h[2]= h[1] = h[1] = 22
h[1]= h[1]= h[0] = h[0] = h[3]= h[3]= h[2] = h[2] = 33
La forma general de h[n] se puede encontrar como La forma general de h[n] se puede encontrar como h[n]= h[n]= nnu[n]u[n]
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EstabilidadEstabilidad
La estabilidad de entrada acotada, salida La estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que a cada entrada acotada (BIBO) implica que a cada entrada acotada debe corresponder a una salida acotada debe corresponder a una salida acotadaacotada
Las condiciones de estabilidad se determinan Las condiciones de estabilidad se determinan por medio de las raíces de la ecuación por medio de las raíces de la ecuación característica: una condición es que cada raíz característica: una condición es que cada raíz debe tener una magnitud menor que unodebe tener una magnitud menor que uno
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Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen al Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen al sistema inestable: sistema inestable: Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud unitaria Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud unitaria
producen una respuesta natural constante o senoidal que es producen una respuesta natural constante o senoidal que es acotada, pero si la entrada es una constante o senoide a la acotada, pero si la entrada es una constante o senoide a la misma frecuencia, la respuesta forzada es una rampa o misma frecuencia, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente (véase Tabla 5.2)senoide creciente (véase Tabla 5.2)
Las raíces repetidas con magnitud unitaria producen una Las raíces repetidas con magnitud unitaria producen una respuesta natural que es senoidal creciente o polinomial respuesta natural que es senoidal creciente o polinomial crecientecreciente
Los filtros FIR son siempre establesLos filtros FIR son siempre estables
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|z|=1
Longer settling time
Re(s)
Im(s)
Unstable
Stable
Higher-frequencyresponse
Tsez :Intuition
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Transformada ZTransformada Z
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Example 1: Example 1: Consider the time functionConsider the time function x[n] nu[n]
X(z) x[n]z n nz n (z 1)n
n0
n0
n
1
1 z 1 z
z
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Another example …Another example …
Example 2: Example 2: Now consider the time functionNow consider the time function
Let Let Then, Then,
x[n] nu[ n 1]
X(z) x[n]z n nz n (z 1)n
n
1
n
1
n
l n;n l ;n 1 l 1
(z 1)n (z 1)l 1 l1
n
1
(z 1)l 1 1
1 z 1 1
1 z 1l0
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The importance of the region of The importance of the region of convergenceconvergence
Did you notice that the Did you notice that the ZZ-transforms were identical for Examples 1 -transforms were identical for Examples 1 and 2 even though the time functions were different? Yes, indeed, and 2 even though the time functions were different? Yes, indeed, very different time functions can have the same very different time functions can have the same Z-Z-transform! transform! What’s missing in this characterization? The region of What’s missing in this characterization? The region of convergence (ROC).convergence (ROC).
In Example 1, the sum converges only forIn Example 1, the sum converges only for
In Example 2, the sum converges only forIn Example 2, the sum converges only for
So in general, we must specify not only the So in general, we must specify not only the Z-Z-transform transform corresponding to a time function, but its ROC as well. corresponding to a time function, but its ROC as well.
X(z) nz n
n0
z
X(z) nz n
n
1
z
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What shapes are ROCs for What shapes are ROCs for ZZ--transforms?transforms?
In Example 1, the ROC was We can represent this In Example 1, the ROC was We can represent this graphically as: graphically as:
| z || |
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What shapes are ROCs for What shapes are ROCs for ZZ--transforms?transforms?
In Example 2, the ROC was We can represent this In Example 2, the ROC was We can represent this graphically as:graphically as:
(ROC is(ROC is
shadedshaded
area) area)
| z || |
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![Page 44: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/44.jpg)
Propiedades de la Transformada ZPropiedades de la Transformada Z
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Transformadas Transformadas
ZZ
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Polos de Transformada ZPolos de Transformada Z
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Ej: El sistema y[n] – (1/6)y[n-2] = x[n] es estable Ej: El sistema y[n] – (1/6)y[n-2] = x[n] es estable ya que las raíces de la ec. característica ya que las raíces de la ec. característica zz22-(1/6)z-1/6=0 son z-(1/6)z-1/6=0 son z11=1/2 y z=1/2 y z22= -1/3 y sus = -1/3 y sus
magnitudes son menores a 1magnitudes son menores a 1 Ej: El sistema y[n] – y[n-1] = x[n] es inestable. La Ej: El sistema y[n] – y[n-1] = x[n] es inestable. La
raíz de su ec. característica es z=1 y resulta la raíz de su ec. característica es z=1 y resulta la respuesta natural yrespuesta natural yNN=Ku[n] que es acotada, pero si =Ku[n] que es acotada, pero si
x[n]=u[n], la respuesta forzada es Cnu[n] que es no x[n]=u[n], la respuesta forzada es Cnu[n] que es no acotadaacotada
![Page 55: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/55.jpg)
El sistema y[n] – 2y[n-1] + y[n-2]= x[n] es El sistema y[n] – 2y[n-1] + y[n-2]= x[n] es inestable. Las raíces de zinestable. Las raíces de z22-2z+1=0 son iguales y -2z+1=0 son iguales y producen la respuesta natural no acotada producen la respuesta natural no acotada yyNN[n]=Au[n] + Bnu[n][n]=Au[n] + Bnu[n]
Ej: El sistema y[n] – (1/2)y[n-1] = nx[n] es lineal, Ej: El sistema y[n] – (1/2)y[n-1] = nx[n] es lineal, variante e inestable. La entrada en escalón variante e inestable. La entrada en escalón (acotada) x[n]=u[n] produce una respuesta que (acotada) x[n]=u[n] produce una respuesta que incluye a la rampa un[n] que es no acotadaincluye a la rampa un[n] que es no acotada
Ej: El sistema y[n]=x[n] – 2x[n-1] es estable Ej: El sistema y[n]=x[n] – 2x[n-1] es estable porque describe un filtro FIRporque describe un filtro FIR
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![Page 57: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/57.jpg)
Tarea C. DigitalTarea C. Digital
1.1. Evalúe la respuesta natural, forzada, de Evalúe la respuesta natural, forzada, de estado cero, de entrada cero y total. Suponga estado cero, de entrada cero y total. Suponga y’(0)=1 y las otras condiciones iniciales y’(0)=1 y las otras condiciones iniciales iguales a ceroiguales a ceroy’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = 2ee-t-tu(t) u(t) y(0)=0 y(0)=0 y’(0)=1y’(0)=1
y’’(t) + 4y’(t) + 3y(t) = 36t u(t) y’’(t) + 4y’(t) + 3y(t) = 36t u(t) y(0)=0 y(0)=0 y’(0)=1y’(0)=1
![Page 58: Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.](https://reader035.fdocumento.com/reader035/viewer/2022062809/5665b4581a28abb57c90b484/html5/thumbnails/58.jpg)
Tarea C. Digital AvanzadoTarea C. Digital Avanzado
1.1. Para el sistema {1 – zPara el sistema {1 – z-1 -1 – 2z– 2z-2-2}y[n]=x[n] }y[n]=x[n] establezca su ecuación de diferencias y establezca su ecuación de diferencias y calcule la respuesta totalcalcule la respuesta total
2.2. Encuentre la respuesta al impulso h[n] por Encuentre la respuesta al impulso h[n] por recursión hasta n=4 para los sistemasrecursión hasta n=4 para los sistemas
y[n] – y[n-1] = 2x[n]y[n] – y[n-1] = 2x[n]
y[n] – 3y[n-1] + 6y[n-2] = x[n-1]y[n] – 3y[n-1] + 6y[n-2] = x[n-1]
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3.3. Investigue la causalidad y estabilidad de los Investigue la causalidad y estabilidad de los sistemas:sistemas:
y[n] – 2y[n-1] = x[n]y[n] – 2y[n-1] = x[n]
y[n] + y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n]y[n] + y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n]
y[n] = x[n] + x[n-1] + x[n-2]y[n] = x[n] + x[n-1] + x[n-2]