Control Discreto

[CONTROL DIGITAL MITIT

Jaime Martínez Verdú | Introducción al control digital 1

Introducción al control digital El control automático de sistemas no se habría podido desarrollar sin un paso anterior,

dado por los reguladores, con el descubrimiento del computador digital, que abrió un campo

muy amplio de avance.

Hasta la aparición de los sistemas digitales, el único dispositivo de cálculo con que

contaba la Ingeniería de Control eran los computadores analógicos electrónicos. Lo mismo

ocurría con la implementación de los reguladores. Estos se construían con elementos

analógicos mecánicos, neumáticos o electrónicos.

No obstante, el desarrollo de la electrónica y de los computadores digitales permitió

cambiar rápidamente la idea. Los primeros ordenadores digitales fueron usados en sistemas de

control de procesos enormemente complicados. Con la disminución continua de los precios y

tamaño, hoy se implementan reguladores digitales individuales por lazo de control. Los

computadores digitales son usados también como herramienta para el análisis y diseño de los

sistemas automatizados.

Ilustración 1. Diagrama de bloques de un control digital.

La automática o ciencia del control cuenta con elementos mucho más poderosos que

en el pasado. Los computadores digitales están en constante progreso especialmente con los

avances en la tecnología de la integración en muy alta escala.

En un primer momento, se intentaba trasladar todos los algoritmos y mecanismos de

diseño del campo analógico a los elementos digitales. Pero la teoría del control ha avanzado

creando técnicas imposibles de implementar en forma analógica.

Por lo tanto se llega a la existencia de dos formas de analizar los sistemas discretos.

Una, como una aproximación de los reguladores analógicos, pero ésta es una visión pobre y los

resultados a lo sumo son iguales a los obtenidos anteriormente. La segunda es ver a los

sistemas discretos de control como algo distinto y de esta manera obtener conclusiones más

poderosas.



Un sistema discreto se implanta en el lazo de control a fin de sustituir el regulador

pero el proceso físico continúa teniendo un carácter continuo en la mayoría de los casos de

interés. La señal de salida se muestrea cada cierto tiempo (llamado período de muestreo T) y

se discretiza mediante un conversor analógico digital A/D. Esta información es procesada y

convertida nuevamente a analógica mediante un conversor digital analógico. Por lo tanto,

internamente, el computador se independiza del tipo de señal con que está trabajando y trata

todas las magnitudes como una serie de valores discretos (de precisión finita). Por esto resulta

cómodo trabajar con ecuaciones en diferencia en lugar de ecuaciones diferenciales como se

hacía con los métodos analógicos.

Características del Control Digital Como características básicas del control digital se pueden mencionar las siguientes:

1. No existe límite en la complejidad del algoritmo. Cosa que sí sucedía inicialmente en

los sistemas analógicos.

2. Facilidad de ajuste y transformación. Por el motivo primero, un cambio en un control

analógico implica, en el mejor de los casos, un cambio de componentes si no un

cambio del controlador completo.

3. Exactitud y estabilidad en el cálculo. Debido a que no existen desvíos u otras fuentes

de error.

4. Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos, administración, etc.)

5. Costo - número de lazos. No siempre se justifica un control digital ya que existe un

costo mínimo que lo hace inaplicable para un número reducido de variables.

En cuanto a la arquitectura de un lazo de control es de la forma en que lo muestra la

Ilustración 1. El proceso en la mayoría de los casos es continuo, es decir, se debe excitar el

mismo con una señal continua y entonces éste genera una salida continua. Esta señal, como en

cualquier lazo de control es monitorizada por un dispositivo que a su vez entrega una señal

continua proporcional a la magnitud medida. Por otra parte, se dispone de un computador que

sólo es capaz de operar con valores discretos. Para compatibilizar ambos existen dos

elementos: el D/A y el A/D que realizan la conversión de magnitudes.

Para aplicar un control discreto hemos de actuar del siguiente modo:

1. Definir el periodo de nuestro T.

Elegir el periodo de nuestro periodo de muestreo T.

La más usada que corresponde al ancho de banda del sistema en bucle cerrado.

La frecuencia es tal que su la magnitud que aparece en su diagrama de Bode es de

Se selecciona el Tpráctico ya que

2.1 Se diseña un controlador continuo y se discretiza. Puede pasar de estable a inestable.

2.2 Se discretiza y se aplican técnicas en discreto.



Ilustración 2. Diagrama de bloques de una planta empleando un control digital.

Sólo sabemos lo que pasa en los intervalos de muestreo.

Ilustración 3. Señal continua y digitalizada durante el control.

D/A A/D

T



EJERCICIO

Disponemos de una planta con la siguiente función de transferencia:

Ecuación 1

Con un periodo de muestreo de . Para discretizar el sistema, el código

empleado ha sido el siguiente:

sist_c=tf([1],[1 10 20]);

sist_d=c2d(sist_c,0.001,'zoh');

sisotool;

Se ha empleado la función C2d(sist_c, T, ‘zoh’) que nos permite obtener la función

discretizada de la planta empleando un retenedor de orden cero. Los resultados obtenidos se

muestran a continuación:

Transfer function:

1

---------------

s^2 + 10 s + 20

Transfer function:

4.983e-007 z + 4.967e-007

-------------------------

z^2 - 1.99 z + 0.99

Sampling time: 0.001

Ilustración 4. Respuesta ante escalón del sistema con MP = 30 %, ts = 0,56 s y ep = 10%.

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



Ilustración 5. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%.

Ilustración 6. Detalle lugar geométrico de las raíces MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%.

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Real Axis

Imag A

xis

0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15


Real Axis

Imag A

xis



-1-0.8

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.60.8

1-2.5 -2

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

2.5

Root Locus Editor for O

pen Loop 1 (OL1)

Real A

xis

Imag Axis

EJERCICIO

Disponemos de una planta discretizada con la siguiente función de transferencia:

Ecuación 2

Repetiremos el procedimiento:

SIST_D=tf([1],[1 -0.3 0.5],1/20)

sisotool(SIST_D)

Ilustración 7. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%.

Ilustración 8. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%.

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5



Puesto que el sistema presenta unas malas especificaciones, procederemos a su

control mediante un controlador PID discreto:

Ecuación 3

Aplicaremos la Transformación bilineal:

Ecuación 4

Tendremos lo siguiente:

; ;

El código empleado es:

PID_C=tf([10 100 200],[1 0])

PID_D=c2d(PID_C,0.12,'tustin')

Ilustración 9. Ilustración de un control mediante un PID discreto.

Step

Scope3

Scope2

Scope1

Scope

PID_D

LTI System4

SIST_D

LTI System3

SIST_D

LTI System2

SIST_D

LTI System1

SIST_D

LTI System

0.5

Gain



Ilustración 10. Respuesta inestable del sistema con PID discreto.

Se puede observar la dificultad y los problemas que acarrea la utilización de un PID

discreto para este caso. Se puede usar PID_c pero luego hay que retocar. Por ello, se decide

emplear sisotool y proceder a introducir un par de polos y ceros:

Polos en -1 y +1

Ceros en -0.5 y +0.5

Para un compensador con una ganancia de 0.10137 el sistema cumple las

especificaciones:

Ts<2s

Mp<5%

ep<1%

Ilustración 11. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Real Axis

Im

ag A

xis



Ilustración 12. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%.

Time (sec)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

System: Closed Loop r to y

I/O: r to y

Settling Time (sec): 1.78



EJERCICIO

Disponemos de una planta discretizada con la siguiente función de transferencia:

Ecuación 5

Con un periodo de muestreo de T = 0,1s. Se trata de un ejercicio de controladores

básico donde la expresión del controlador PID es:

Ecuación 6

Se desean unas especificaciones como las siguientes:

Ts < 1,75 s

Mp < 15 %

ep = 0

Para controlar el sistema, empezaremos por implementar el siguiente código:

NUM_D=0.007*[1,0,94]

NUM_D=0.007*[1 0.94]

DEN_D=conv([1 -0.86],[1 -0.95])

SIST_D=tf(NUM_D,DEN_D,0.1)

sisotool(SIST_D)

Mediante la utilización del esquema en Simulink antes ilustrado, encontramos que el

sistema es muy lento por lo que no se cumplen las especificaciones requeridas. <Intentamos

mejorar el comportamiento del sistema cerrando el lazo de control y siguen sin cumplirse las

especificaciones. Procederemos a calcular un regulador PID basándonos en la ecuación

anterior. Introducimos las especificaciones para ver más o menos y probamos Kp habiendo

colocado los polos y ceros de modo que los ceros se obtengan del siguiente modo:

1. Buscamos z-a y z-b.

2. Colocamos un polo en el origen y obtenemos la parte real de un cero ,

por ejemplo a:

Ecuación 7

3. El valor del cero correspondiente al integrador b la buscamos.

a. Colocamos un polo en 0.

b. Colocamos otro polo en -1.

c. Colocamos un cero en 0,95.

d. Buscamos el último cero de modo que consigamos las especificaciones.

Ecuación 8



Ilustración 13. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %.

Ilustración 14. Detalle del lugar geométrico de las raíces con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Real Axis

Imag A

xis

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.5

0

0.5

1


Real Axis

Imag A

xis


Jaime Martínez Verdú | Referencias 12

Ilustración 15. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %.

Referencias 1. Åström, Karl J.: Computer Controlled Systems. Theory and Design, Prentice Hall –1984

2. Aracil Santonja, R.: Sistemas Discretos de Control, Universidad Polit. de Madrid– 1980

3. Isermann, R.: Digital Control Systems, Springer Verlag – 1981

4. Papoulis, A: Sistemas Digitales y Analógicos, Marcombo – 1978

5. Kuo, B: Discrete Data Control Systems, Prentice Hall – 1970

6. Tou, : Digital and Sampled Data Control Systems, Mac Graw Hill – 1959

7. Proakis, J.G. & Manolakis, D.G.: Tratamiento Digital de Señales: Principios,

8. Algoritmos y Aplicaciones, Traducción de Digital Signal Processing: Principles, Algorithms

and Applications, 3rd. edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, UK., 1998.

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Jaime Martínez Verdú | Tabla de contenidos 13

Tabla de contenidos Introducción al control digital ....................................................................................................... 1

Características del Control Digital ................................................................................ 2

EJERCICIO .................................................................................................................. 4

EJERCICIO .................................................................................................................. 6

EJERCICIO ................................................................................................................ 10

Referencias .................................................................................................................................. 12

Tabla de contenidos .................................................................................................................... 13

Tabla de ilustraciones Ilustración 1. Diagrama de bloques de un control digital. ............................................................ 1

Ilustración 2. Diagrama de bloques de una planta empleando un control digital. ....................... 3

Ilustración 3. Señal continua y digitalizada durante el control. .................................................... 3

Ilustración 4. Respuesta ante escalón del sistema con MP = 30 %, ts = 0,56 s y ep = 10%............. 4

Ilustración 5. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%. .. 5

Ilustración 6. Detalle lugar geométrico de las raíces MP = 30%, ts = 0,56s y ep = 10%. ................. 5

Ilustración 7. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%. ............... 6

Ilustración 8. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = - y ep = 80%. ............. 6

Ilustración 9. Ilustración de un control mediante un PID discreto. .............................................. 7

Ilustración 10. Respuesta inestable del sistema con PID discreto. ............................................... 8

Ilustración 11. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%. ....... 8

Ilustración 12. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = -, ts = 1,78 s y ep = 0%...... 9

Ilustración 13. Lugar geométrico de las raíces del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. .. 11

Ilustración 14. Detalle del lugar geométrico de las raíces con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %..... 11

Ilustración 15. Respuesta ante entrada escalón del sistema con MP = 0 %, ts = 1,5 s y ep = 0 %. 12

Tabla de ecuaciones Ecuación 1 ............................................................................. 4

Ecuación 2 ........................................................................... 6

Ecuación 3 ........................................................................ 7

Ecuación 4 ...................................................................................... 7

Ecuación 5............................................ 10

Ecuación 6 .................................................. 10

Ecuación 7 .................................................................................... 10

Ecuación 7 .............................................. 10

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